第七章_图论

第七章 图论
信 定义7-1.2
息 在图G=<V,E>中与结点v关联的边数，称为该结点
的度数，记作deg(v)。
科 另记
⊿(G) = max{deg(v)| v∈V(G) }
学
(G) = min{deg(v)| v∈V(G) }
分别为G的最大度和最小度。
与
工
程
学
院
第七章 图论
信 定理7-1.1——握手定理
信 7-2 路与回路
息 定义7-2.1 设图G=<V,E>，G中结点与边的交替序列
科
=vi0ej1vi1ej2 … ejkvik
学 称点v,i0r为=0v,i1k ,到…的路,.k其中. :vviri-01，，vviikr分为别ej是r的的端始点和
与 终点. 中边的条数称为它的长度。
工 若vi0=vik ，则称该路为回路。 程 若中所有边各异，则称 为迹。
程 根据定义， 则
学
(1) |V(G1)|= |V(G2)|。 (2) |E(G2)|= |E(G2)|。
院
(3) 度序列相同。 但这仅仅是G1≌G2的必要条件。
第七章 图论
信 例：判断两组图是否同构？
。
。
息
科
。
。
。
。
学
。
与
1-a
工
。
程
学
。
。。
院
。
。
2-a
。 1-b
。。
。
。
。。
2-b
第七章 图论
学 若中所有结点各异，则称 为通路。若
院
vi0=vik ，则称 为圈。
将长度为奇数的圈称为奇圈，将长度为偶数的圈称为偶圈。
第七章 图论
信 设G为无向连通图且为非完全图，则称
k(G)=min{|V`||V`为G的点割集}
息 为G的点连通度，简称连通度。
连通度k(G)是为了产生一个不连通图需要删去的点的最少数目。
院
补充
第七章 图论
信 例:考察下列整数列哪些可图化或可简单图化呢？
(1) (5,5,4,4,2,3)
息 (2) (5,4,3,2,2)
(3) (3,3,3,1)
科 (4) (4,4,3,3,2,2)
(5) (d1, d2, …, dn), d1>d2>…>dn≥1且 为偶数。 n
学
di
i 1
若所得图是简单图，则称d是可简单图化的。
科 如：考察下列整数列哪些可图化或可简单图化呢？
学
与 (1) (0,5,3,1,2,7,6,7,5,0,1) 不可图化
工 (2) (1,6,8,8,8)
不可图化
程 (3) (3,4,5,6)
可图化
(4) (3,2,1,2)
学
可简单图化
院
如何判断一个整数序列可图化或可简单图化呢？
d
d
d
息
e1
科 a e6
e4
c
e4
ca
e4
c
学 与
e2
e5
b
e3
e5
b
e3
b e2
e5 e3
工
(1)
(2)
(3)
程
母图
子图
同时也是(1)的生
真子图
学
成子图
子图 真子图 生成子图
院
第七章 图论
信 定义7-1.9
息
设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无(有)向图，若存在一一对应的映射f: V1→V2,对于 vi,vj ∈V1,
科
学
与
注意：
工
完全图Kn的点连通度为 n-1 非连通图的点连通度为 0
程 存在割点的连通图其连通度为1
学
院
第七章 图论
信 设G为无向连通图，称
(G)=min{|E`||E`为G的边割集}
息 为G的边连通度。
边通度(G)是为了产生一个不连通图需要删去的边的最少数目。
科
学
注意：
与
完全图Kn的边连通度为 n-1
息
设G为任意图，V={v1,v2,…,vn},|E|=m,则
n
科
deg(vi) =2m 即个结点度数之和等于边数的2倍。
i 1
学
与 证明： G中每条边（包括环）均提供2个端点，故在
工 计算各结点度数的和时，每条边均提供2度， 程 m条边共提供2m度。
学
院
补充
第七章 图论
信 零星定义2
息
对于给定的非负整数列d=(d1, d2, …, dn),若存在以V={v1,v2,…,vn}为结点 集的n阶无向图G使得d(vi)=di ,则称d是可图化的。
与
工
。。
。。
程
。
。
学
院
。。
(4)-1
。
。
。。
(4)-2
定义7-1.4 关联一对结点的无向边如果多于1条，则称这些
信边为平行边，平行边的条数称为重数。
息 含平行边的图称为多重图，既不含平行边也不含环的图 称为简单图。
科
定义7-1.6
学给定一个图G，有G中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图，
非连通图的边连通度为 0
工
平凡图G， (G)=0
程
学
院
第七章 图论
与称为G的相对于完全图的补图，简称为G的补图，记作
工G` 若图G≌G,则称G为
程 自补图
学
院
第七章 图论
信 定义7-1.5
息
简单图G=<V,E>中，若每个结点均与其余结点相连，则称G为完全图。
有n个结点的完全图称为n阶完全图，记作Kn(n≥1) 。
科
学
。
如：
与
。。
。
。
工
。
来自百度文库
。
程
。。
学
K3 考虑： Kn的边数为？？？
K6
院
定理7-1.4 Kn的边数为Cn2=n(n-1)/2。
第七章 图论
信 定义7-1.7
息 设G=<V,E>, G`=<V`,E`>为两个图(同时为无向图或有向图)，若V` V且 E` E，则称G`为G的子图， G为G`的母图，记作G`G。
科 若V` V或E` E，则称G`为G的真子图。
若V` = V，则称G`为G的生成子图。
学 定义7-1.8
与
设G`=<V`,E`>是图G=<V,E>的子图，若存在另外一个图G``=<V``,E``>使
得E``= E- E`，且V``中仅含有E``的边所关联的结点，则称G``是子图G`相对于G
工 的补图。
程
学
院
第七章 图论
信 如：判断下列各图的母子关系。
科 (vi,vj)∈E1 (<vi,vj>∈E1 )(f(vi),f(vj))∈E2 (<f(vi),f(vj)>∈E2 )
并且(vi,vj)(<vi,vj>)与(f(vi),f(vj))(<f(vi),f(vj)>)重数相同，则称G1与 学 是G2同构的，记作G1≌G2 。
与
工 如何判断两个图是否同构呢？ 答案：迄今为止还没有有效的算法。
补充
第七章 图论
信 定理7-3
息
设非负整数列d=(d1, d2, …, dn), 则d是可图化的当且仅当
n
科
di 0(mod 2)
i 1
学
即各结点度数之和为偶数或
与
奇数度结点数为偶数。
工 定理
设G为任意n阶无向简单图，则⊿(G)≤n-1.
程
学 这两个定理可用来判断整数序列是否可图化或可 简单图化。