公平的席位分配等四个数学模型例子
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每两场间隔场次
3+3+3+3+3+3＝18 4+4+4+3+2+2＝19 2+4+4+4+3+2＝19 4+4+3+2+2+2＝17 2+2+4+4+4+3＝19 4+3+2+2+2+4＝17 2+2+2+4+4+4＝18 3+2+2+2+4+4＝17
18 8 4
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
补例12 洗衣节水问题
模型假设： 我们在问题的分析中已经知道了洗衣的原理是将吸 附在衣物上的污物溶于水中，通过拧干（脱水）而荡 涤污物。因此我们有以下的两个假设：
1）在漂洗时间足够的前提下，衣服上的污物能 被洗涤剂完全溶解在水中。
2）每次拧干后衣服中残留的水量是一致的。
补例2 洗衣节水问题
模型建立与求解：
补例2 洗衣节水问题
（3）式为一递推关系式，以下导出 N n关于初始值 N 0 的 表达式。
（2）式可化为
N2 N0 W2 W W1 W W2 (4)
因此由数学归纳法证得
N0 Nn W W1 W W2 Wn (5)
W Wn
补例2 洗衣节水问题
补例1 赛程安排问题
问题提出：1. 某校组织乒乓球比赛，因报名人数较多，决 定采用单淘汰进行比赛。请问如何合理地安排赛程？ 2. 某校举办排球比赛，比赛形式为单循环赛。请问应如何 安排比赛？ 问题分析：1. 选择赛制（不同的赛制决定赛程安排的差异） 2. 比赛的总场次、比赛的轮数及轮空人数等问题
模型建立与求解：
P 1 2 22
2k 1 2k 1 n ห้องสมุดไป่ตู้ 1
（2）若n 2m m Z ，则存在一个正整数 k，使得
2k 1 n 2k
1 k 第一轮的比赛次数是 n 2k ， 2 n 人轮空，剩下的人
k 1 k 1 n ( n 2 ) 2 数为 ，这样之后的k－1轮比赛中的 场数为 2k 1 1
W0 设洗衣服一开始浸泡时的用水量为 W0 ，按照问题的分析， 可看成是一个常量。
经拧干后残留污物的质量为 N0 ，记第 i 次拧干后残留于衣服 中的污物（ N0 还包含了洗涤剂的质量）为 Ni ，同时记衣服 中残留的水量为 W ，再设洗衣服的总水量为 A ，
问题归结为：在水的总量为 A 的条件下，将水分成 n 次洗涤， n 次洗涤，衣服上 每次用量分别为 W1,W2 , ,W 。问经过这 n 还剩下多少污物？
补例2
i 1, 2,
洗衣节水问题
, n ，即每多洗涤一次，污物就少一些。实际上
Nn N0 1 A nW
n
模型分析：从残留在衣服中污物量的浓度变化可知 Qi Qi 1 在每次洗涤加水量相同的条件下，由(5)式得
(7)
N n 关于 n 是单调递减的函数。即漂洗衣服最好少量多次。
因为N n N0 1
1 A nW
n
， 所以 ＝ 1 ＋A
nW
n
,
两边取对数得： ln n ln 1 A
nW
补例2
洗衣节水问题
若取定＝0.018， A W 4 ，即总水量与衣服中残留水量之比 4 为4 :1。则有 ln 0.018 n ln 1 。由近似计算公式得 n
N1 N0 W W W1 (1)
补例2 洗衣节水问题
仿此，可得第二次漂洗时的浓度
Q2 N1 W W2 N1 W W W2
此时拧干残留的污物为
N 2 Q2 W (2)
依此类推，可得第 n 此漂洗之后，衣服上的残留污 物量为
N n 1 Nn W W Wn (n 1, 2,3, ) (3)
（5）式还可以改写为
N0 Nn W1 W2 1 1 W W Wn 1 W
洗衣服的目的是要使污物越来越少，即在漂洗过程中洗涤剂 浓度越来越少，转化为数学语言就是在一定条件下，如何选 取 W1,W2 , ,Wn 方能使 N n达到最小。
补例2 洗衣节水问题
我们引入洗涤剂的浓度概念 Qi（单位质量水中所含的 污物质量）（ Qi 表示第 i 次漂洗污物的浓度），第一次漂 洗时的浓度为
Q1 N0 W W1
我们引入洗涤剂的浓度概念 （单位质量水中所含的污 N1 物质量）（ 表示第 次漂洗污物的浓度），第一次漂洗 N1 Q1 W 时的浓度为
2
补例1 赛程安排问题
优缺点分析：（略） 例3：参加排球比赛的26个班级，先分成3个小组，其中两个 组为9队，另一个组为8队，在小组中，先用单循环赛产生每
个小组的前两名，接下来，每小组的前两名共6个队再进行单
循环赛。以8支队的小组为例，对赛程进行合理安排。
2 2 2 解： 在第一阶段：C9 C9 C8 36 36 28 100 场
下一个问题：是否在用水量一定的条件下，洗涤的次数足够 多，便可以使 N n 趋向于零，即衣服的污物被完全清除呢？ 即当 n 趋向于无穷大时， N n是否趋向于无穷小？
补例2 洗衣节水问题
因为 lim 1 1
n
n
n
e，所以当n趋于无穷大时， (7)式分母
趋于e W。
当n趋于无穷大时，Nn的极限存在，并有
补例1 赛程安排问题
所以一共要比赛：
(n 2k 1 ) (2k 1 1) n 1
方案2：设有n人报名参赛，每一轮允许有轮空现象。 则存在一个正整数 k，使得
2k 1 n 2k
若本轮比赛的人数为偶数，则没有轮空 ； 若人数为奇数，则有1人轮空。 从而比赛轮空的人数不大于k－1人
lim Nn N0 e
n A W
A
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论: 如何确定洗涤的次数 n 。 先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与 第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0 我们用 来反映衣物洗净的清洁程度。
我们将它总结为以下定理： 定理： 在总用水量一定的条件下，平均分配每次加水量， 实现的洗涤效果最好。
补例2 洗衣节水问题
证： 因为W1 W2
Wn A ，所以 A Wn 1 n 为定值。 W W W 1 n W Wn 1 W (6) W1 W2 1 1 W W 由均值定理得 W1 W2 1 1 W W n W W n 1 1 1 2 W W
一、单淘汰赛： 方案1. 允许在第一轮中有轮空现象 方案2. 在每一轮都要保证尽可能多的 运动员参赛
补例1 赛程安排问题
方案1：设有n人报名参赛，下面对n为不同的值进行讨论。
k n 2 k Z ，第一轮比赛有2 k 1 场，…1/4决赛有 （1）若 22 场，半决赛有2场，冠亚军比赛1场，合计（场）：
A1——A8
A6——A7 A4——A5
A1——A6
A4——A8 A2——A7
A1——A4
A2——A6 A3——A8
A2——A3
A3——A5
A5——A7
补例1 赛程安排问题
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 A2 1 1 5 20 25 16 9 6 21 26 13 23 17 11 A3 A4 A5 5 25 9 20 16 6 2 24 2 19 24 19 15 12 3 10 7 28 27 22 14 A6 21 26 15 12 3 A7 13 23 10 7 28 18 A8 17 11 27 22 14 8 4
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
补例2 洗衣节水问题
问题分析：
衣服洁净的问题实际上是比较复杂的，它不仅有物理 原理，还有化学原理（如果是洗衣机，则与机械原理 有关）。 其基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过 脱水而荡涤污物。 节水目标为在一定量的用水条件下，在洗衣过程中如何 合理地分配这些水，使得能达到把衣服洗净的目的。
补例3 公平的席位分配
• 洪德(dHondt)规则
• 分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、 3、…除，按所有商数的大小排序，席位按此次序 分配。即若A党的人数比D党的人数还多，那么给 A党3席、给D党0席也是合理的。 • 除数 A党 B党 C党 D党 • 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500 • 2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750 • 3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500 • 4 49,750 31,875 － － 总席位 3 1 1 0
补例3 公平的席位分配
• 最大余数法
• 按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余的 席位分给余数较大的各党。 • 党名 代表选民数 整数席 余 数 • A 199,000 1 99,000 • B 127,500 1 27,500 • C 124,000 1 24,000 • D 49,500 0 49,500 余额席 总席数 1 2 0 1 0 1 1 1
例1：某校有11位同学参加围棋单淘汰赛，应该进行几场比赛？
补例1 赛程安排问题
二、单循环赛： 单循环赛就是参加比赛的每一个人都要和其他人比赛一次， 然后根据总体成绩排定名次。如果和其他人比赛两次，则 称为双循环赛。 设有n队参加比赛，则每队都要与其余的n－1支队分别比 赛一场。当n为偶数时，则要举行n－1轮比赛；当n为奇 数时，则要举行n轮比赛，且每轮有1队轮空 定理：设有n队参加比赛，则比赛的总场数是 Cn 场。 例2：某校共有26个班，举行排球比赛，在不同的赛制下各要 比多少场？
4 1 4 2 1 4 3 4 n 3 n n 2 n
解得n 3
洗涤的次数大约为3，即洗涤3次可使衣服洁净到一定程度， 这一结果与我们生活实际情况也是相符的。
补例3 公平的席位分配
• 一. 比例代表制
• 例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民， 各政党的选民数为： • A党：199,000 B党：127,500 • C党：124,000 D党： 49,500 • 要选出5名代表： • A党：2席 B党：1席 • C党：1席 D党：0席 • 缺少1席，如何分配这最后一席呢？
2 在第二阶段：C6 15 场
一共比赛的场数为100+15＝115场。
补例1 赛程安排问题
用 Ai , i 1...8 表示八支代表对，则 A1——A2 A3——A4 A5——A6 A7——A8 A1——A3 A5——A2 A7——A4 A8——A6 A1——A5 A7——A3 A8——A2 A6——A4 A1——A7 A8——A5 A6——A3 A4——A2
补例2 洗衣节水问题
其中等号成立当且仅当 W1 W2 1 1 W W 即 W1 W2 Wn
因此当W1 W2
Wn 1 W
Wn 1 W
W1 W2 Wn时， 1 1 W W
n
A 取得最大值，其最大值为1 。 nW 亦即N n达到最小，从而说明第n次洗涤残留在衣服中的 污物最少，定理得证。
3+3+3+3+3+3＝18 4+4+4+3+2+2＝19 2+4+4+4+3+2＝19 4+4+3+2+2+2＝17 2+2+4+4+4+3＝19 4+3+2+2+2+4＝17 2+2+2+4+4+4＝18 3+2+2+2+4+4＝17
18 8 4
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
补例12 洗衣节水问题
模型假设： 我们在问题的分析中已经知道了洗衣的原理是将吸 附在衣物上的污物溶于水中，通过拧干（脱水）而荡 涤污物。因此我们有以下的两个假设：
1）在漂洗时间足够的前提下，衣服上的污物能 被洗涤剂完全溶解在水中。
2）每次拧干后衣服中残留的水量是一致的。
补例2 洗衣节水问题
模型建立与求解：
补例2 洗衣节水问题
（3）式为一递推关系式，以下导出 N n关于初始值 N 0 的 表达式。
（2）式可化为
N2 N0 W2 W W1 W W2 (4)
因此由数学归纳法证得
N0 Nn W W1 W W2 Wn (5)
W Wn
补例2 洗衣节水问题
补例1 赛程安排问题
问题提出：1. 某校组织乒乓球比赛，因报名人数较多，决 定采用单淘汰进行比赛。请问如何合理地安排赛程？ 2. 某校举办排球比赛，比赛形式为单循环赛。请问应如何 安排比赛？ 问题分析：1. 选择赛制（不同的赛制决定赛程安排的差异） 2. 比赛的总场次、比赛的轮数及轮空人数等问题
模型建立与求解：
P 1 2 22
2k 1 2k 1 n ห้องสมุดไป่ตู้ 1
（2）若n 2m m Z ，则存在一个正整数 k，使得
2k 1 n 2k
1 k 第一轮的比赛次数是 n 2k ， 2 n 人轮空，剩下的人
k 1 k 1 n ( n 2 ) 2 数为 ，这样之后的k－1轮比赛中的 场数为 2k 1 1
W0 设洗衣服一开始浸泡时的用水量为 W0 ，按照问题的分析， 可看成是一个常量。
经拧干后残留污物的质量为 N0 ，记第 i 次拧干后残留于衣服 中的污物（ N0 还包含了洗涤剂的质量）为 Ni ，同时记衣服 中残留的水量为 W ，再设洗衣服的总水量为 A ，
问题归结为：在水的总量为 A 的条件下，将水分成 n 次洗涤， n 次洗涤，衣服上 每次用量分别为 W1,W2 , ,W 。问经过这 n 还剩下多少污物？
补例2
i 1, 2,
洗衣节水问题
, n ，即每多洗涤一次，污物就少一些。实际上
Nn N0 1 A nW
n
模型分析：从残留在衣服中污物量的浓度变化可知 Qi Qi 1 在每次洗涤加水量相同的条件下，由(5)式得
(7)
N n 关于 n 是单调递减的函数。即漂洗衣服最好少量多次。
因为N n N0 1
1 A nW
n
， 所以 ＝ 1 ＋A
nW
n
,
两边取对数得： ln n ln 1 A
nW
补例2
洗衣节水问题
若取定＝0.018， A W 4 ，即总水量与衣服中残留水量之比 4 为4 :1。则有 ln 0.018 n ln 1 。由近似计算公式得 n
N1 N0 W W W1 (1)
补例2 洗衣节水问题
仿此，可得第二次漂洗时的浓度
Q2 N1 W W2 N1 W W W2
此时拧干残留的污物为
N 2 Q2 W (2)
依此类推，可得第 n 此漂洗之后，衣服上的残留污 物量为
N n 1 Nn W W Wn (n 1, 2,3, ) (3)
（5）式还可以改写为
N0 Nn W1 W2 1 1 W W Wn 1 W
洗衣服的目的是要使污物越来越少，即在漂洗过程中洗涤剂 浓度越来越少，转化为数学语言就是在一定条件下，如何选 取 W1,W2 , ,Wn 方能使 N n达到最小。
补例2 洗衣节水问题
我们引入洗涤剂的浓度概念 Qi（单位质量水中所含的 污物质量）（ Qi 表示第 i 次漂洗污物的浓度），第一次漂 洗时的浓度为
Q1 N0 W W1
我们引入洗涤剂的浓度概念 （单位质量水中所含的污 N1 物质量）（ 表示第 次漂洗污物的浓度），第一次漂洗 N1 Q1 W 时的浓度为
2
补例1 赛程安排问题
优缺点分析：（略） 例3：参加排球比赛的26个班级，先分成3个小组，其中两个 组为9队，另一个组为8队，在小组中，先用单循环赛产生每
个小组的前两名，接下来，每小组的前两名共6个队再进行单
循环赛。以8支队的小组为例，对赛程进行合理安排。
2 2 2 解： 在第一阶段：C9 C9 C8 36 36 28 100 场
下一个问题：是否在用水量一定的条件下，洗涤的次数足够 多，便可以使 N n 趋向于零，即衣服的污物被完全清除呢？ 即当 n 趋向于无穷大时， N n是否趋向于无穷小？
补例2 洗衣节水问题
因为 lim 1 1
n
n
n
e，所以当n趋于无穷大时， (7)式分母
趋于e W。
当n趋于无穷大时，Nn的极限存在，并有
补例1 赛程安排问题
所以一共要比赛：
(n 2k 1 ) (2k 1 1) n 1
方案2：设有n人报名参赛，每一轮允许有轮空现象。 则存在一个正整数 k，使得
2k 1 n 2k
若本轮比赛的人数为偶数，则没有轮空 ； 若人数为奇数，则有1人轮空。 从而比赛轮空的人数不大于k－1人
lim Nn N0 e
n A W
A
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论: 如何确定洗涤的次数 n 。 先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与 第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0 我们用 来反映衣物洗净的清洁程度。
我们将它总结为以下定理： 定理： 在总用水量一定的条件下，平均分配每次加水量， 实现的洗涤效果最好。
补例2 洗衣节水问题
证： 因为W1 W2
Wn A ，所以 A Wn 1 n 为定值。 W W W 1 n W Wn 1 W (6) W1 W2 1 1 W W 由均值定理得 W1 W2 1 1 W W n W W n 1 1 1 2 W W
一、单淘汰赛： 方案1. 允许在第一轮中有轮空现象 方案2. 在每一轮都要保证尽可能多的 运动员参赛
补例1 赛程安排问题
方案1：设有n人报名参赛，下面对n为不同的值进行讨论。
k n 2 k Z ，第一轮比赛有2 k 1 场，…1/4决赛有 （1）若 22 场，半决赛有2场，冠亚军比赛1场，合计（场）：
A1——A8
A6——A7 A4——A5
A1——A6
A4——A8 A2——A7
A1——A4
A2——A6 A3——A8
A2——A3
A3——A5
A5——A7
补例1 赛程安排问题
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 A2 1 1 5 20 25 16 9 6 21 26 13 23 17 11 A3 A4 A5 5 25 9 20 16 6 2 24 2 19 24 19 15 12 3 10 7 28 27 22 14 A6 21 26 15 12 3 A7 13 23 10 7 28 18 A8 17 11 27 22 14 8 4
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
补例2 洗衣节水问题
问题分析：
衣服洁净的问题实际上是比较复杂的，它不仅有物理 原理，还有化学原理（如果是洗衣机，则与机械原理 有关）。 其基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过 脱水而荡涤污物。 节水目标为在一定量的用水条件下，在洗衣过程中如何 合理地分配这些水，使得能达到把衣服洗净的目的。
补例3 公平的席位分配
• 洪德(dHondt)规则
• 分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、 3、…除，按所有商数的大小排序，席位按此次序 分配。即若A党的人数比D党的人数还多，那么给 A党3席、给D党0席也是合理的。 • 除数 A党 B党 C党 D党 • 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500 • 2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750 • 3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500 • 4 49,750 31,875 － － 总席位 3 1 1 0
补例3 公平的席位分配
• 最大余数法
• 按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余的 席位分给余数较大的各党。 • 党名 代表选民数 整数席 余 数 • A 199,000 1 99,000 • B 127,500 1 27,500 • C 124,000 1 24,000 • D 49,500 0 49,500 余额席 总席数 1 2 0 1 0 1 1 1
例1：某校有11位同学参加围棋单淘汰赛，应该进行几场比赛？
补例1 赛程安排问题
二、单循环赛： 单循环赛就是参加比赛的每一个人都要和其他人比赛一次， 然后根据总体成绩排定名次。如果和其他人比赛两次，则 称为双循环赛。 设有n队参加比赛，则每队都要与其余的n－1支队分别比 赛一场。当n为偶数时，则要举行n－1轮比赛；当n为奇 数时，则要举行n轮比赛，且每轮有1队轮空 定理：设有n队参加比赛，则比赛的总场数是 Cn 场。 例2：某校共有26个班，举行排球比赛，在不同的赛制下各要 比多少场？
4 1 4 2 1 4 3 4 n 3 n n 2 n
解得n 3
洗涤的次数大约为3，即洗涤3次可使衣服洁净到一定程度， 这一结果与我们生活实际情况也是相符的。
补例3 公平的席位分配
• 一. 比例代表制
• 例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民， 各政党的选民数为： • A党：199,000 B党：127,500 • C党：124,000 D党： 49,500 • 要选出5名代表： • A党：2席 B党：1席 • C党：1席 D党：0席 • 缺少1席，如何分配这最后一席呢？
2 在第二阶段：C6 15 场
一共比赛的场数为100+15＝115场。
补例1 赛程安排问题
用 Ai , i 1...8 表示八支代表对，则 A1——A2 A3——A4 A5——A6 A7——A8 A1——A3 A5——A2 A7——A4 A8——A6 A1——A5 A7——A3 A8——A2 A6——A4 A1——A7 A8——A5 A6——A3 A4——A2
补例2 洗衣节水问题
其中等号成立当且仅当 W1 W2 1 1 W W 即 W1 W2 Wn
因此当W1 W2
Wn 1 W
Wn 1 W
W1 W2 Wn时， 1 1 W W
n
A 取得最大值，其最大值为1 。 nW 亦即N n达到最小，从而说明第n次洗涤残留在衣服中的 污物最少，定理得证。