结构力学第八章-位移法

移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应
用方便，首先推导杆端弯矩公式。
如图所示，两端固定的等截
P
面梁，两支座还发生位移：转
A
B
角 A、 B及侧移△AB 。
EI
L
转角A、 B顺时针为正， △AB则以整个杆件顺时针方向转 动为正。
A
A′
AB
B
在位移法中，为了计算方便，弯
矩的符号规定如下：弯矩是以对杆 端顺时针为正(对结点或对支座以 A
MAB
逆时针为正)。 图中所示均为正值。
B′ MBA
B
用力法解此问题，选取基本
结构如图。多余未知力为X1、X2。 力法典型方程为
11X1+12X2+ △1△=A
21X1+22X2+ △2△=B
为计算系数，作M 1 、M 2 。 由图乘法算出：
11
L 3EI
，
22
L 3EI
12216LEI
1P
EI
第八章 位 移 法
§8—1 概述 §8—2 等截面直杆的转角位移方程 §8—3 位移法的基本未知量和基本结构 §8—4 位移法的典型方程及计算步骤 §8—5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8—6 对称性的利用
§8—1 概 述
力法和位移法是分析超静定结构的两 种基本方法。力法于十九世纪末开始应用， 位移法建立于上世纪初。
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
2
3
△
4、5、6 三个固定 端 都是不动的 1
2△
3△
点，结点1、2、3均无竖向位移。
又因两根横梁其长度不变，故三个 P
结点均有相同的水平位移△ 。
4
5
6
(a)
事将实结上，构图的(a刚)所结示点结(构包的括独固立定线支位 座移数)都目变，成与图铰(结b)所点示(成铰为结体铰系结的体线系),
则位移使数其目成是为相几同的何。不因变此添，加实用的上最少
MAB=3iA
3i l
ABMAFB
(8—3）（转角位移方程）
式中 M A F BM A F B 1 2 M B F A 3 l2 x B 3 E 2 h I t （8—4）（固端弯矩）
杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。
§8—3 位移法的基本未知量和基本结构
1.位移法的基本未知量 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。
P
1
2
Z1
求。同理， 13杆可以视为一根一端 Z1 固定另一端铰支的梁（见图）。而
Z1 EI=常数
在固定端1处发生了转角Z1，其内 力同样由力法求出。
可见，在计算刚架时，如果以
3
3
l
l
2
2
Z1为基本未知量，设法首先求出Z1，
则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。
由以上讨论可知，在位移法中须解 决以下问题：
地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结
点转动),同时在有线位移的结点上
加上附加支座链杆(阻止结点移动)。
例如 ( 见图a) 基本未知量三个。4
5
6
3
4
(a)
1 2
又例如(见图b)
共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。
称为转角位移方程。
对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)，其转角位移方程
可由式(8—1）导出，设B端为铰支，则因
有
MB BA=41 2 i (BA + 2i3 l AA __B 6li2 1 iM AB B F )A MAF B =0
P
A EI l
t1 B t2
可见，B可表示为A、△AB的函数。将 此式代入式(8—1)第一式，得
(1) 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。
1
2
例如图示刚架
令 i EI l
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－
6i l
AB
MBA=
4i
B
+2i
A－
6i l
AB
(8—1）
MA F B、MFBA是此两端固定的梁在荷载、温度变化等百度文库因作用下的杆 端弯矩，称为固端弯矩。
式(8—1）是MM两ABBA端==固44ii定AB+的+22等iiB截A____面66lli梁i 的AABB 杆MM端AFAF弯BB 矩的(一8—般1公）式，通常
XB L
，
2P
XA EI L
由图知 12ABL AB
这里，AB称为弦转角，顺时针为
正。
A EI A
A′ X1
1
L AB
AB
B
B
B′
X2
X3
M 1图
1
M
图
2
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得
X1= 4L EIA2L EIB6L E 2 IAB
X2= 4L EIB2L EIA6L E 2 IAB
（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生
各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未 知量。
（3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。
§8—2 等截面直杆的转角位移方程
本节解决第一个问题。
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。
计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位
独立的结点角位移
数目为2。
4
5
3
6
返回
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
个独立线位移(侧移)。例如(见图a）
力法——以多余未知力为基本未知量， 由位移条件建立力法方程，求出内力后再 计算位移。
位移法—— 以某些结点位移为基本未 知量，由平衡条件建立位移法方程，求出 位移后再计算内力。
位移法的基本概念
以图示刚架为例予以说明
刚架在荷载P作用下将发生如虚 线所示的变形。在刚结点1处发生转
Z1
P
1
Z1
2
角Z1，结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁（见图）。 1 其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 这两种情况下的内力均可以由力法