广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期月考(一)数学(理)试题

南宁三中2020~2021学年度上学期高二月考（一）理科数学试题一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 11cos6π=（ ）． A. 12-B.12C.32D. 32-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，直接化简求解，即可得出结果. 【详解】113cos cos 2cos cos 66662πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题主要考查根据诱导公式化简求值，属于基础题型. 2. 已知集合{}0,1,2,3,4S =，{}24|T x x x =<，则ST （ ）A. {}1,2B. {}1,2,3C. {}1,2,3,4D. {}0.1,2,3,4【答案】B 【解析】 【分析】先求集合T ，再求ST .【详解】2404x x x <⇒<<，求得集合{}|04T x x =<<，所以{}1,2,3S T =.故选：B【点睛】本题考查集合交集，属于基础题型. 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的b =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果. 【详解】该程序的运行过程为：0a =，10b =，a b <，判断框条件不成立，开始执行循环体；8b =，1a =，a b <，继续循环；6b =，2a =，a b <，继续循环；4b =，3a =，a b <，继续循环；2b =，4a =，a b >，跳出循环，输出2b =.故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 222石 B. 220石 C. 230石 D. 232石【答案】C 【解析】 【分析】根据米255粒内夹谷29粒，求得频率，再根据频率计算这批米内夹谷量.【详解】根据米255粒内夹谷29粒，则频率为29255， 则这批米内夹谷约为292020230255⨯=（石）. 故选：C.【点睛】本题考查了用样本估计总体，属于基础题.5. 设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列说法错误．．的是（ ） A. 若m α⊥，n α⊥，则//m n ； B. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥； C. 若//m α，//n α，则//m n ； D. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥．【答案】C 【解析】 【分析】直接由直线平面的定理得到选项,A B 正确；对于选项C ， m ，n 可能平行、相交或异面，所以该选项错误；对于选项D ，m 与β内一直线l ，所以l α⊥，因为l 为β内一直线，所以αβ⊥．所以该选项正确.【详解】对于选项A ，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，所以该选项正确； 对于选项B ，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，所以该选项正确；对于选项C ，若//m α，//n α，则m ，n 可能平行、相交或异面，所以该选项错误； 对于选项D ，若m α⊥，//m β，则m 与β内一直线l ，所以l α⊥，因为l 为β内一直线，所以αβ⊥．所以该选项正确. 故选：C ．【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. a ，b ，c ，d R ∈，则下列不等关系中一定成立的是（ ）A. 若0a b +>，则c a c b +>-B. 若a b >，c a <，则b c >C. 若a b >，c d >，则a bc d< D. 若22a b >，则a b >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质和特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若0a b +>，则a b >-，a c c b +>-，故A 正确； 对选项B ，令5a =，2b c ==，满足a b >，c a <，不满足b c >，故B 错误； 对选项C ，令5a =，3b =，2c =，0d =，此时满足a b >，c d >， 则a bc d<无意义，故C 错误； 对选D ，令5a =-，1b =满足22a b >，不满足a b >. 故选：A【点睛】本题主要考查不等式的性质，特值法为解题的关键，属于简单题. 7. 在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++，若M ，A ，B ，C 共面，则λ=（ ） A.712B.13C.512D.12【答案】A 【解析】 【分析】利用空间四点共面可知11146λ++=，直接求λ的值. 【详解】因为M ，A ，B ，C 共面，则11146λ++=，得712λ=.故选：A【点睛】本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.8. 已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. 221()f x x x=- B. 221()f x x x=- C. 31()f x x x=- D. 31()f x x x=-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性进行判断即可.【详解】由图象可知，该函数为奇函数，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，并且在(0,)+∞上单调递增，因为函数221()f x x x=-和221()f x x x =-为偶函数，排除A ，B ； 又31()f x x x=-为奇函数，在(0,)+∞上单调递减，排除C ； 而31()f x x x=-为奇函数，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，并且在(0,)+∞上单调递增. 故选：D.【点睛】本题考查根据函数的图象判断函数的解析式，考查学生对于函数单调性、奇偶性的判断，较简单.9. 过正三棱柱底面一边和两底中心连线的中点作截面，则这个截面的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰梯形D. 平行四边形【答案】C 【解析】 【分析】根据平面的基本性质作交点、交线．根据平面的位置关系确定线线位置关系．【详解】如图，过AB 和1OO 中点M 作截面ABM ，1,D D 分别是11,AB A B 中点，111,O DC O D C ∈∈，直线DM 是截面ABM 与平面11DD C C 的交线，在平面11DD C C 中延长DM与1CC 相交于点H ，由于13DO DC =，∴13OM CH =，而112OM CC =，因此H 在1CC 的延长线上，连接BH 交11B C 于E ，连接AH 交11A C 于F ，连接,,AF FE EB ，四边形ABEF 为截面．由正三棱柱的性质可得//EF AB ，AF BE =，四边形ABEF 是等腰梯形． 故选：C ．【点睛】本题考查棱柱的截面，掌握平面的基本性质是解题关键．要注意两直线的交点只有在同一平面内才可作出．同样平行线也只能在同一平面内才能作出． 10. 已知函数()2sin 24x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则（ ）A. ()f x 的最大值为2B. ()f x 的图象关于直线52x π=对称 C. 4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数 D. ()f x 的最小正周期为π【答案】B 【解析】 【分析】A. 根据[]sin 1,124π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x 判断；B.根据正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈判断；C.利用函数奇偶性定义判断；D.利用最小正周期公式判断. 【详解】因为当sin 124x π⎛⎫+=⎪⎝⎭时，()f x 取得大为2，故A 错误； 因为()2sin 24x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴满足242x k πππ+=+，k Z ∈，当1k =时，52x π=，故B 正确. 因为12sin 2sin 424428x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 1332sin 2sin 2sin 42442828x x f x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则44f x f xππ⎛⎫⎛⎫-≠--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4f xπ⎛⎫-⎪⎝⎭不是奇函数，故C错误；因为()f x的最小正周期2412Tππ==，故D错误；故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11. 斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13…画出来的螺旋曲线，如图1中的实线部分（正方形内的数字为正方形的边长）．自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列，如图2．若一圆锥底面圆的周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度，且轴截面为等边三角形，则该圆锥的高为（）A. 273B.2732C.5334D.5332【答案】B【解析】【分析】根据图1可以求出螺旋线的长度，再根据其等于圆锥底面圆的周长可以求出底面圆的半径，然后根据轴截面为等边三角形可求出圆锥的高，从而得解．【详解】图1中螺旋线的长度为()23581321272πππ++++++=，圆锥底面圆的半径为r，则227rππ=，解得272r=．因为轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为27332r=．故选：B．【点睛】本题以数学文化为背景让学生欣赏数学的美，主要考查弧长公式、圆锥的基本知识，考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题．12. 如图，四棱锥P ABCD-中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD=，Q是线段PC 上的点(不含端点).设AQ 与BC 所成的角为α，AQ 与平面 ABCD 所成的角为β，二面角Q AB C --的平面角为γ，则（ ）A. αβγ<<B. βαγ<<C. γβα<<D. βγα<<【答案】D 【解析】 【分析】根据空间角的定义作出异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，归结在直角三角形中计算正弦值、余弦值，然后可得角大小．【详解】如图，取AD 中点E ，连接PE ，∵PA PD =，∴PE AD ⊥，而平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD ，连接EC ，作//QO PE 交EC 于O ，则QO ⊥平面ABCD ，∵//AD BC ，∴DAQ ∠为直线AQ 与BC 所成的角，即DAQ α∠=，作QN AD ⊥于E ，∴sin QNQAα=， 连接AO ，则QAO ∠是直线AQ 与平面ABCD 所成的角，即QAO β∠=，显然QO OA ⊥， ∴sin QOAOβ=， 作//OM BC 交AB 于M ，则OM AB ⊥，连接QM ，由OQ ⊥平面ABCD 得QO AB ⊥，QO OM O =，∴AB ⊥平面AOM ，∴AB QM ⊥，∴QMO ∠是二面角Q AB C --的平面角，即QMO γ∠=，同样QO OM ⊥，sin QOOMγ=， 由图可知OQ QN <，∴sin sin αβ>，αβ>（,αβ都是锐角）， OM AO <，∴sin sin βγ<，βγ<（γ也是锐角），又cosNAQAα=，cosOMQMγ=，根据上面作图过程知OMAN是矩形，OM AN=，∴cos cosαγ<，∴αγ，综上βγα<<．故选：D．【点睛】本题考查空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是根据它们的定义作出这些角（平面上的角），然后利用三角函数值比较它们的大小．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卷相应位置上）13. 设x，y满足约束条件2010x yx yy-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y=+的最大值是________.【答案】5【解析】【分析】首先作出可行域，再根据2y x z=-+表示斜率2k=-的一组平行线，根据平移求出最优解，再求目标函数的最大值.【详解】作出x，y满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中()2,1A，()1,1B，O为坐标原点设(),2z F x y x y==+，2y x z=-+表示斜率2k=-的一组平行线，将直线:2l z x y=+进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值()max2,12215z F=⨯+==.故答案为：5【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱DC 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为_______. 【答案】105【解析】 【分析】根据1111ABCD A B C D -是正方体，易得11BC AD ，则1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC 所成角或其补角，然后在三角形1AED 中，利用余弦定理求解. 【详解】因为1111ABCD A B C D -是正方体， 所以11BC AD ，连接1AD ，1D E ，如下图所示：则1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC 所成角或其补角， 不妨设正方体棱长为2，在三角形1AED 中，2222215AE AD DE =+=+=，15D E AE ==，2212222AD =+=. 所以222111110cos 25AD AE D E D AE AD AE +-∠==⨯. 又异面直线夹角的范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，故异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为105.故答案为：105【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法以及余弦定理的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.15. 在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为__________.【答案】1-【解析】【分析】由题意，设,,PA a PB b PC c ===，建立空间的一个基底{},,a b c ，在正四面体中1(),2PE a b BC c b =+=-，根据向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由题意，设,,PA a PB b PC c ===，建立空间的一个基底{},,a b c ， 在正四面体中1(),2PE a b BC c b =+=-， 所以211()()()22PE BC a b c b a c a b b c b ⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅- 0001(22cos6022cos6022cos6022)12=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16. 已知A 、B 为半径为2的球O 表面上的两点，且2AB =.平面α⊥平面β，αβ直线AB ，若平面α、β截球O 所得的截面分别为1O 和2O ，则12OO =________.【答案】3【解析】【分析】将题中点线面放置到长方体1111ABCD A B C D -中，通过解三角形推出结果即可.【详解】解：将题中点线面放置到长方体1111ABCD A B C D -中，如图所示：平面α为平面ABCD ，平面β为平面11A B BA ,则2AB OA OB ===，可得114AC BD ==，设BC a =，1CC h =，则22224a h ++=，得2212a h +=， 则22221212322h a O O OO OO ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案：3. 【点睛】本题考查球的截面问题，空间两点距离公式的应用，考查转化思想及空间想象能力，计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步聚） 17. 学校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.（1）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[)6.5,7.5，[)7.5,8.5的学生中抽取6名参加座谈会，你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；（2）利用样本估计总体的方法，估计全校每周阅读时间的中位数a （a 的值精确到0.01）.【答案】（1）按照1：2进行名额分配，理由见解析；（2）8.99a ≈；【解析】【分析】根据每周阅读时间为[)6.5,7.5与每周阅读时间为[)7.5,8.5的差异明显，采用分层抽样的方法，再根据两者频率分别为0.1，0.2求解.（2）根据0.030.10.20.350.680.5+++=>，由中位数[)8.5,9.5a ∈求解.【详解】（1）每周阅读时间为[)6.5,7.5的学生中抽取2名，每周阅读时间为[)7.5,8.5的学生中抽取4名.理由：每周阅读时间为[)6.5,7.5与每周阅读时间为[)7.5,8.5是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本，∵两者频率分别为0.1，0.2，∴按照1：2进行名额分配.（2）∵0.030.10.20.350.680.5+++=>，∴中位数[)8.5,9.5a ∈，由()0.030.10.28.50.350.5a +++-⨯=，解得0.50.338.58.990.35a -=+≈.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及分层抽样方法，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.18. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21n a n =-；（2）2312n n -+. 【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111a b ==，14427a b ==，所以1412141a a d -==-， 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．（2）由（1）知21n a n =-，13n n b -=，可得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，则数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-． 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19. 如图，四棱锥S ABCD -中，M 是SB 的中点，//AB CD ，BC CD ⊥，且2AB BC ==，1CD SD ==，又SD ⊥面SAB .（1）证明：//CM 面SAD ；（2）求四棱锥S ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】【分析】（1）作AS 的中点为G ，可以证明四边形GMCD 为平行四边形，从而//GD CM ，也就是//CM 平面SAD ；（2）取AB 的中点为H ，连接,DH DB .过S 作ST DH ⊥交DH 于T ，可以证明ST ⊥平面ABCD ，故ST 为四棱锥S ABCD -的高，从而求得S ABCD -的体积.【详解】（1））如图，取AS 的中点为G ，连接,,GD GM MC .因为,G M 为,AS BS 的中点，所以1//,2GM AB GM AB =. 又12CD AB =，所以//,GM CD GM CD =，故四边形GMCD 为平行四边形， 所以//GD CM .又CM ⊄平面SAD ，DG ⊂平面SAD ，故//CM 平面SAD .（2）如图，取AB 的中点为H ，连接,DH DB .过S 作ST DH ⊥交DH 于T .在梯形ABCD 中，//,HB CD HB CD =，所以四边形BHDC 为平行四边形，又DC CD ⊥，所以四边形BHDC 为矩形，故CD HD ⊥.因为SD ⊥面SAB ，所以SD AB ⊥.//CD AB所以CD SD ⊥，HD SD D ⋂=，所以CD ⊥ 平面SDH .又CD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面SDH .因为ST DH ⊥，ST ⊂平面SDH ，平面SDH ⋂平面ABCD HD =，所以ST ⊥平面ABCD ，故ST 为四棱锥S ABCD -的高.因为SD ⊥平面SAB ，SH ⊂平面SAB ，所以SD SH ⊥.在矩形BHDC 中，2HD BC ==. 在Rt SHD ∆ 中，22132SD SH DH SD ST DH DH ⨯⨯-===， 所以()11331223222S ABCD V -=⨯+⨯⨯=. 【点睛】（1）要证明立体几何中的线线垂直，我们可以有下面几种途径：①平面几何中的垂直关系（如果勾股定理等）；②利用线面垂直得到线线垂直；③如果一条直线垂直于两条平行线中一条，那么也垂直另一条.（2）线面平行的证明，可以通过在平面中找出与已知直线平行的直线（用平行投影或中心投影）来证明，也可以把已知的直线放置在一个平面中，通过证明面面平行来证明.（3）体积的计算关键是高，可以通过构建面面垂直来作出高.20. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB BC CD ===，3AD =.（1）若6A π∠=，求sin BDC ∠；（2）求3cos cos A C -.【答案】（1）32；（2）1. 【解析】 【分析】 (1)在ABD △中，利用余弦定理求出BD ，进而在BCD 中求出sin BDC ∠；(2)在ABD △和BCD 中分别使用余弦定理表示BD ，联立方程组可得出3cos cos A C -的值．【详解】(1)在ABD △中，3AD =，1AB =，6A π∠=， 231323cos 423162BD π=+-⨯=-⨯=，得1BD =， 所以1BD BC CD ===，3BDC π∠=，3sin 2BDC ； (2)在ABD △中，由余弦定理得21323cos 423cos BD A A =+-=-，在BCD 中，由余弦定理得2112cos 22cos BD C C =+-=-，423cos 22cos A C -=-， 得3cos cos 1A C -=，所以3cos cos A C -为定值1.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合思想和计算能力，属于基础题． 21. 如图，在几何体ABCD EFGH -中，HD ⊥底面ABCD ，//HD FB ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=︒，2HD =，1FB =，设点M 在棱DC 上，已知AM ⊥平面FBDH .（1）求线段DM 的长度；（2）求二面角H AM F --的余弦值.【答案】（1）1；（2）33. 【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，射线,DA DC DH ，为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设()0,,0M t ，由已知得AM BD ⊥，利用0AM BD ⋅=可求得线段DM 的长度.（2）分别求平面HAM 和平面AMF 的法向量，利用二面角的向量公式进行计算即可.【详解】以D 为坐标原点，射线,DA DC DH ，为,,x y z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=︒，易知1AD =.则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()0,0,2H ，()1,1,1F ，（1）设()0,,0M t ，因为AM ⊥平面FBDH ，所以AM BD ⊥，()1,,0AM t =-，()1,1,0BD =--，10AM BD t ⋅=-=，解得1t =，所以线段DM 的长度为1.（2）设()1,,n x y z =是平面HAM 的一个法向量，()1,0,2AH =-，()1,0,1MF =， 则1100200x y n AM x z n AH ⎧-+=⋅=⎧⎪⇔⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩，可取()12,2,1n =， 同理，设()2,,n u v w =是平面AMF 的一个法向量，则220000u v n AM u w n MF ⎧-+=⋅=⎧⎪⇔⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩，可取()21,1,1n =-.则1212123cos,3n nn nn n⋅==，显然二面角H AM F--为锐二面角，所以二面角H AM F--的余弦值为33.【点睛】本题考查利用空间向量求线段长以及二面角的平面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.22. 圆()22:10C x a x y ay a-++-+=.（1）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（2）已知1a>，圆C与x轴相交于两点,M N（点M在点N的左侧）.过点M任作一条与x轴不重合的直线与圆22:9O x y+=相交于两点,A B.问：是否存在实数a，使得ANM BNM∠=∠？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）220x x y-+=或225440x y x y+--+=；（2）存在，9a=【解析】【分析】（1）先将圆转化为标准方程，由圆C与y轴相切，可知圆心的横坐标的绝对值与半径与相等，列出方程求解即可；（2）先求出,M N两点坐标，假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为()1y k x=-，代入229x y+=，用韦达定理根据NA，NB斜率之和为0，求得实数a的值，在检验成立即可.【详解】解：（1）由圆C与y轴相切，可知圆心的横坐标的绝对值与半径与相等.故先将圆C的方程化成标准方程为：222221122122244a a a a a ax y a++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵22210a a -+>恒成立，∴21122122a a a +=-+求得0a =或4a =， 即可得到所求圆C 的方程为：220x x y -+=或225440x y x y +--+=；（2）令0y =，得()2110x a x a -++=，即()()10x x a --=所以()1,0M ，(),0N a 假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，代入229x y +=得，()22221290k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y 从而212221k x x k +=+，212291k x x k-=+， 因为()()()()()()122112121211k x x a x x a y y x a x a x a x a --+--⎡⎤⎣⎦+=---- 而()()()()()()1221121211212x x a x x a x x a x x a --+--=-+++()2222292218212111k k a a a k k k--=-++=+++ 因为ANM BNM ∠=∠，所以12120y y x a x a +=--，即221801a k -=+，得9a =. 当直线AB 与x 轴垂直时，也成立.故存9a =，使得ANM BNM ∠=∠.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及直线与圆，圆与圆的综合性问题.。