苏教版数学高二-选修2-1单元检测第2章圆锥曲线与方程(A卷)

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选修2-1数学第2章_圆锥曲线与方程单元练习题含答案

选修2-1数学第2章圆锥曲线与方程单元练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A.√2B.12C.√24D.√222. 如图，已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|=6，|BC|=52，则此双曲线的离心率为（）A.√2B.32C.52D.√53. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（）A.x24+y23=1 B.x23+y2=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=14. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点和焦点到C的同一条渐近线的距离之比为12，则双曲线C的离心率是()A.√2B.2C.√3D.35. 已知点A(0,1)，抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线相交于M，与其准线相交于点N，若|FM|:|MN|=2:√5，则a=()A.2B.4C.6D.86. 焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x7. 椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A.√32B.34C.√22D.238. 若双曲线x24−m +y2m−2=1的渐近线方程为y=±13x，则m的值为（）A.1B.74C.114D.59. 抛物线y=2x2的通径长为( )A.2B.1C.12D.1410. 已知双曲线C:x24−y2=1，则C的渐近线方程为 ( )A.y=±14x B.y=±13x C.y=±12x D.y=±x11. 椭圆x24+y25=1的离心率是（）A.3 5B.√55C.25D.1512. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线l与两条渐近线交于A，B两点．若△OAB为等腰直角三角形（O为坐标原点）则△OAB的面积为( )A.a2B.2a3C.2a2或a2D.2a2或12a213. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.14. 若直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则b的取值范围是________．15. 与椭圆x25+y23=1共焦点的等轴双曲线的方程为________．16. 已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若k OD+k OE+k OF=−8（点O为坐标原点，且k OD，k OE，k OF均不为零），则1k AB +1k BC+1k AC=________.17. 设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0.若“p∧(¬q)”为真，求实数a的取值范围.18. 回答下列问题：（1）求过点(2,−2)且与双曲线x 22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程；（2）求双曲线x 24−y25=1的焦点到其渐近线的距离．19. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有|AF1|+|BF1|=4，且∠F1AF2的最大值为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A′是A关于x轴的对称点，设点N(4,0)，连接NA与椭圆C相交于点E，问直线A′E与x轴是否交于一定点，如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由.20. 已知椭圆的焦点在α轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为e=√5，过椭圆的右焦点F的直线1与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆的方程．(2)设点C是点A关于x轴的对称点，在α轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知直线l：x−y+1=0与焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)相切.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，点P(1, 32)为椭圆上一点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)如图，过点C(0, 1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．参考答案与试题解析选修2-1数学第2章圆锥曲线与方程单元练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分） 1.【答案】 D【考点】椭圆的定义【解析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a 2−b 2=c 2，和离心率公式e =ca ，计算即可．【解答】解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b =2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2√2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a =2√2，则椭圆的半焦距c =√a 2−b 2=1，根据离心率公式得，e =c a =√2=√22；故选D ． 2. 【答案】 B【考点】双曲线的标准方程【解析】本题主要考查双曲线的几何性质．【解答】解：因为2c =|AB|=6，所以c =3．因为b 2a =|BC|=52，所以5a =2b 2．又c 2=a 2+b 2，所以9=a 2+5a 2，解得a =2或a =−92（舍去），故该双曲线的离心率e =c a=32．故选B ． 3. 【答案】 A【考点】椭圆的标准方程【解析】由|BF 2|=|F 1F 2|=2，可得a =2c =2，即可求出a ，b ，从而可得椭圆的方程．【解答】解：∵ |BF 2|=|F 1F 2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=√3，∴椭圆的方程为x24+y23=1．故选A．4.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：∵双曲线C的顶点和焦点到同一条渐近线的距离之比为12，由三角形相似得ac =12，∴e=ca=2.故选B．5.【答案】D【考点】斜率的计算公式抛物线的性质【解析】无【解答】解：依题意F点的坐标为(a4,0)，作MK垂直于准线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，因为|FM|:|MN|=2:√5，则|KN|:|KM|=1:2.k FN =0−1a4−0=−4a ，k FN =−|KN||KM|=−12，所以−4a =−12，求得a =8. 故选D ． 6. 【答案】 A【考点】抛物线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，抛物线的焦点为(0,2)，可得p =4.又抛物线的焦点在y 轴的正半轴，所以抛物线的标准方程为x 2=8y . 故选A. 7. 【答案】 A【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答 8.【答案】 B【考点】双曲线的定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答 9.【答案】 C【考点】抛物线的定义抛物线的性质【解析】抛物线y =−2x 2，即x 2=−12y ，可得2p .解：抛物线y=2x2，化为标准方程为x2=12y，可得2p=12，因此通径长为12.故选C．10.【答案】C【考点】双曲线的渐近线【解析】根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线即可. 【解答】解：由题意可得，a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±12x.故选C.11.【答案】B【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2=a2−b2就可求出c，再利用离心率e=ca得到离心率．【解答】解：由椭圆方程为x 24+y25=1可知，a2=5，b2=4，∴c2=a2−b2=1，a=√5，∴c=1，∴椭圆的离心率e=ca =√55.故选B.12.【答案】D【考点】双曲线的简单几何性质双曲线中的平面几何问题本题主要考查双曲线的性质以及直线和双曲线的关系，联立方程组，求出点的坐标，再求出面积即可.【解答】解：①若∠AOB=90∘，则∠AOF=45∘，∴ba=1故c=√a2+b2=√2a，∴S△OAB=12⋅2c⋅c=c2=2a2；②若∠BAO=90∘，则l与y=bax垂直且过F点，垂足为A，∴ l的斜率为−ab，则直线l的方程为y=−ab(x−c)，联立{y=−ab⋅(x−c),y=bax,解得x=a 2c ，y=abc，则点A为(a 2c ,ab c)∴ △OAB为等腰直角三角形，OB为斜边，∴ OA=AB，OA2=(a2c )2+(abc)2=a2，∴S△OAB=12OA⋅AB=12OA2=12a2.综上所述S△OAB=2a2或12a2.故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】√15【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由椭圆方程可知a=3，c=2，∴F(−2, 0)，根据题意，画出图形：设线段PF中点为M，椭圆右焦点为F1，∵M在以O为圆心，|OF|为半径的圆上，∴F1也在圆上，连接OM, PF1, MF1，则∠FMF1=90∘，OM是△FPF1的中位线，∴|PF1|=2|OM|=2|OF|=2×2=4，由椭圆定义|PF|+|PF1|=2a=6，得|PF|=2，|MF|=|PF|2=1，又∵∠FMF1为直角，|MF1|2=|FF1|2−|MF|2=15，∴tan∠MFF1=|MF1||MF|=√151=√15，∴直线PF的斜率是√15.故答案为：√15.14.【答案】(−1,1]∪{−√2}【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】x=√1−y2⇔x2+y2=1(x≥0)方程x2+y2=1(x≥0)所表示的曲线为半圆（如图）当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．此时−1<b≤1或b=−√2，所以b的取值范围是(−1,1]∪{−√2}．15.【答案】x2−y2=1【考点】双曲线的标准方程圆锥曲线的共同特征【解析】利用椭圆的三参数的关系求出双曲线的焦点坐标；利用等轴双曲线的定义设出双曲线的方程，据双曲线中三参数的关系求出双曲线的方程．【解答】解：对于x 25+y23=1知半焦距为c=√5−3=√2所以双曲线的焦点为(±√2,0)设等轴双曲线的方程为x 2a2−y2a2=1据双曲线的三参数的关系得到2a2=2所以a2=1所以双曲线的方程为x2−y2=1．故答案为：x2−y2=116.【答案】−1【考点】斜率的计算公式中点坐标公式与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x12−y128=1，x22−y228=1,两式相减得(x1−x2)(x1+x2)=(y1+y2)(y1−y2)8，整理可得x1−x2y1−y2=y08x0，即1k AB=k OD8，同理得1k BC =k OE8，1k AC=k OF8.因为k OD+k OE+k OF=−8，所以1k AB +1k BC+1k AC=−1.故答案为：−1.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7；命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 双曲线的标准方程一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7；命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 18. 【答案】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)，所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1．（2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ，即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等，且(3,0)为双曲线的一个焦点，所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)，所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1．（2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ，即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等，且(3,0)为双曲线的一个焦点，所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．19.【答案】解：(1)点A 为椭圆C 上任意一点， A 关于原点O 的对称点为B ，由|AF 1|+|BF 1|=4知 2a =4，得a =2.又∠F 1AF 2的最大值为π3，知当A 为上顶点时，∠F 1AF 2最大，所以a =2c ，得c =1，所以b 2=a 2−c 2=3. 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题知NA 的斜率存在，设NA 方程为 y =k(x −4)，与椭圆联立，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0.① 设点A (x 1,y 1),E (x 2,y 2)，则A ′(x 1,−y 1).直线A ′E 方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y1=k(x1−4),y2=k(x2−4)代入，整理得，x=2x1x2−4(x1+x2)x1+x2−8.②x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2−124k2+3.代入②整理，得x=1.所以直线A′E与x轴交于定点Q(1,0). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题与直线关于点、直线对称的直线方程直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，由|AF1|+|BF1|=4知2a=4，得a=2.又∠F1AF2的最大值为π3，知当A为上顶点时，∠F1AF2最大，所以a=2c，得c=1，所以b2=a2−c2=3.所以椭圆C的标准方程为x 24+y23=1.(2)由题知NA的斜率存在，设NA方程为y=k(x−4)，与椭圆联立，得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0.①设点A(x1,y1),E(x2,y2)，则A′(x1,−y1).直线A′E方程为y−y2=y2+y1x2−x1(x−x2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y 1=k (x 1−4),y 2=k (x 2−4)代入，整理得，x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8.②x 1+x 2=32k 24k 2+3， x 1x 2=64k 2−124k 2+3.代入②整理，得x =1.所以直线A ′E 与x 轴交于定点Q(1,0). 20. 【答案】（1）椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(ab >0)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b =1，由e =ac √1−b 2a 2=√5解得a 2=5，∴ 椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）由得F (2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)设直线l 的方程为y =k (x −2)(k ≠0),代入椭圆方程，消去y 可得 (5k 2+1)x 2−20k 2x +20k 2−5=0, 则x 1+x 2=20k 25k 2+1，x 1x 2=20k 2−55k 2+1．∵ 点C 与点A 关于x 轴对称， ∴ C (x 1,−y 1) ．假设存在N (t,0),使得C ，B ，N 三点共线，则BN →=(t −x 2,−y 2),CN →=(t −x 1,y 1). ∵ C ，B ，N 三点共线，∴ BN →//CN →，∴ (t −x 2)y 1+(t −x 1)y 2=0，即(y 1+y 2)t =x 2y 1+x 1y 2 ∴ t =k (x 1−2)x 2+k (x 2−2)x 1k (x 1−2)+k (x 2−2) =2⋅20k 2−55k 2+1−2⋅20k 25k 2+120k 25k 2+1−4=52∴ 存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线．21.【答案】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0，解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ，点B 到直线l 的距离为d B ，点M 到直线l 的距离为d ，则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 【考点】直线与抛物线结合的最值问题二次函数在闭区间上的最值抛物线的标准方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0，解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ，点B 到直线l 的距离为d B ，点M 到直线l 的距离为d ，则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 22. 【答案】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =ca =2，则a ＝2c ．又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1．又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0． ∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x 12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0．解得：k =16或k =32．又由k >1，则k =32．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）根据题意，由椭圆离心率可得a ＝2c ，进而可得b =√3c ，则椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将P 的坐标代入计算可得c 的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线l 的方程为y ＝kx +1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将直线的方程与椭圆联立，可得(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0，由根与系数的关系分析，：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0，解可得k 的值，即可得答案．【解答】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =c a=2，则a ＝2c ．又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1．又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0．∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴ y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k 3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0．解得：k =16或k =32．又由k >1，则k =32．。

高二数学选修2-1第二章《圆锥曲线》测试题56617

高二数学选修2-1第二章《圆锥曲线》测试题班级：姓名：座号：评分：一.选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分。

请将答案写在括号里。

1、已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（）Ａ．k ＜１Ｂ．k ＞２Ｃ．k ＜１或k ＞２Ｄ．１＜k ＜２ 2、已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax其中和），它们所表示的曲线可能是（）ＡＢＣＤ3、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（）Ａ．必在圆222x y +=内Ｂ．必在圆222x y +=上Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能4、椭圆13610022=+y x上的点P 到它的左准线的距离是10，那么P 点到椭圆的右焦点的距离是（）A.15B.10C.12D.85、双曲线1322=-y x 的两条渐近线所成的锐角是 ( )A.30°B.45°C.60°D.75° 6、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132xx x =+，则有（）Ａ．123FP FPFP += Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FPFP FP =+ Ｄ．2213FPFP FP =·7、双曲线22ax -22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A.2 B.3C. 2D. 238、过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y xP y x P 两点，若621=+y y，则21P P 的值为（）A ．5B ．6C ．8D ．10 二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9、设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心互为倒数,则该椭圆的方程是。

选修2-1第二章圆锥曲线与方程测试(含解析答案)

第二章圆锥曲线与方程单元综合测试班别：姓名：成绩：一、选择题(每小题5分，共60分) 1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32B.34C.22D.232．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( )A ．－1B ．1C ．－1020D.1023．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB | 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．37．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0 9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点，则双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.3210．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b <0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若 PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.1＋32 C ．2 D.1＋2212．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3] 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是．14．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________， ∠F 1PF 2的大小为________．15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，则点M 的轨迹方程是． 16．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于__________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共60分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18、（12分）知抛物线xy42 ，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，P A →·PB→＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标．21．（14分）已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．第二章圆锥曲线与方程单元综合测试参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．A 解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，故选A.2．A 解析把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m＝1，则a 2＝－3m ，b 2＝－1m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝－4m ＝4，∴m ＝－1.3．B 解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．4．D 解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2，则点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选D. 5．D 解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，故选D. 6．B 解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，则易求得|AB |＝2b 2a ，∴2b 2a ＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝3，故选B.7．B 解析：由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有且仅有两条．8．D 解析：设l 与椭圆的两交点分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.9．C 解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，因为A 、B 在渐近线上，所以1＝b a ·2，b a ＝22，e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝62.10．C 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.11．A 解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，则由勾股定理，得 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，① 由双曲线的定义，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③ 由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)． 12．D 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca ≤3，得e ∈(1,3]，故选D. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．x 29－y 2＝1 解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是 (10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.14．2；120° 解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2.在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.15．(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2 解析：由题意知|MP |＝|F 1P |，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a .∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.16．2 2 解析设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由2(1)4y x y x=--⎧⎨=⎩,得y 2＋4y －4＝0，∴|y 1－y 2|＝()()221212444442y y y y +-=-+⨯=∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2. 三、解答题17．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. （10分）18． [解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22122y y x x ⇒⎩⎨⎧=-=y y x x 21222，又Q 是OP 的中点 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==221212y y x x ⇒⎩⎨⎧==-==yy y x x x 422422121，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y . （12分）19．解：设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1. （12分）20．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB→＝x 2－2＋y 2.① ②∵P A →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2，即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为 m 1：y ＝kx ＋b . 由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.① 把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0，则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0，即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 此时，由方程组⎩⎨⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．（12分）21． [解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)， 2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2. 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322 将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2 即Q (－3km 1＋3k 2，m1＋3k 2) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上，∴k l k AB ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k 2＝－1 ，解得m ＝1＋3k 22 …③又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0， ∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1). （14分）。

高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测卷含解析

选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)6．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.2－12 D.347．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( ) A ．2a ＋2m B ．4a ＋2m C ．a ＋m D ．2a ＋4m8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.559．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．－2或210．从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( ) A ．5 6 B ．6 5 C ．10 2 D ． 5 211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r|等于( )A ．3B ．6C ．1D ．2第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_ ___________．14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF u u u r＝3FB u u u r，则k ＝________.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点M (p,0)的直线与抛物线交于A 、B 两点，则OA u u u r ·OB uuu r ＝________.16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_ _______. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18．(本小题满分12分)已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．19.( 本小题满分12分)已知两个定点A (－1,0)、B (2,0)，求使∠MBA ＝2∠MAB 的点M 的轨迹方程．20．(本小题满分12分)已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA u u u r ·PB u u u r ＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)．21.( 本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．22．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA u u u r ＝m FA u u u r ，MB u u u r ＝n FB u u u r，求m ＋n 的值．选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题参考答案选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDDABBABACB【第5题解析】2201.02.21 3.x y b y x a c ======∴=-=时，时，故选A.【第6题解析】2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2，又∵c ＝m 2－m 2－1＝1，∴离心率e ＝c a ＝12.故选B.【第7题解析】∵A ，B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a ，|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m ，∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ..故选B. 【第8题解析】如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.故选A. 【第9题解析】由题意B 为抛物线的焦点．令A 的横坐标为x 0，则|AB |＝x 0＋1＝1，∴x 0＝0.故选B. 【第10题解析】由题得2,0|3,26,P p x y ∴=∴=±焦点的坐标为（），PM|=5,1526562PFM S ∆∴=⋅⋅= .故选A.【第11题解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x消去y 得，k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝[－4(k ＋2)]2－4k 2×4＝64(1＋k )>0，解得k >－1，由x 1＋x 2＝4k ＋2k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2.故选C. 【第12题解析】因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36，故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.填空题答案第13题 22或2－1 第14题 3 第15题－p 2第16题2【第14题解析】设直线l 为抛物线的准线，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 1为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，由AF →＝3FB u u u r ，∴cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12，∴∠BAE ＝60°，∴tan∠BAE ＝ 3.即k ＝ 3.故填 3.【第15题解析】直接取两个特殊点1212(2)(,2)A p B p OA OB x x y y -∴⋅=+u u u r u u u r和，222p p =-2p =-.故填－p 2.【第16题解析】设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故|BF |＝|AF |＝2. 故填2. 【第17题答案】x 24－y 2＝1.【第17题解析】由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5c 2＝a 2＋b 2c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 【第19题答案】点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)．【第19题解析】设动点M 的坐标为(x ，y )．设∠MAB ＝β，∠MBA ＝α，即α＝2β， ∴tan α＝tan 2β，则tan α＝2tan β1－tan 2β.① (1)如图(1)，当点M 在x 轴上方时，tan β＝y x ＋1，tan α＝y2－x，将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y >0)； (2)如图(2)，当点M 在x 轴的下方时， tan β＝－y x ＋1，tan α＝－y2－x，将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y <0)；(3)当点M 在x 轴上时，若满足α＝2β，M 点只能在线段AB 上运动(端点A 、B 除外)，只能有α＝β＝0. 综上所述，可知点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)．【第20题答案】（1）x 2＝2y ；（2）证明见解析. 【第20题解析】(1)解 ∵A (0，－2)，B (0,4)， ∴PA →＝(－x ，－2－y )，PB →＝(－x,4－y )．【第21题答案】（1）抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；（2）符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【第21题解析】(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 【第22题答案】（1）x 25＋y 2＝1；（2）m ＋n ＝10.【第22题解析】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)，则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1.由e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝255. 得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.FA u u u r ＝ (x 1－2，y 1)，FB u u u r＝(x 2－2，y 2)．∵MA →＝m FA u u u r ，MB →＝n FB u u u r ，∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2， ∴m ＋n ＝2x 1x 2－2x 1＋x 24－2x 1＋x 2＋x 1x 2，又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k 21＋5k2 ＝－101＋5k2， 4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2 ＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k 2， ∴m ＋n ＝10.。

苏教版高中数学(选修2-1)单元测试-第二章圆锥曲线与方程

圆锥曲线与方程综合练习一、选择题：1.已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)12=，则=+BC AC （）A ．6B ．4C ．2D ．不能确定2. 抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（） A ．7 B ．53 C ．6 D ．53.双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x轴的弦为AB ，若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为（）A ．)22(21- B ．12- C ．12+ D ．)22(21+4.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线221(,0)x y m n m n-=>有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的交点，则21PF PF ⋅的值是（） A ．n b -B ．m a - C ． n b -D ． 2a m -5.已知F 是抛物线241x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（） A ．122－＝y x B ．16122－＝y x C ．212－＝y xD ．222－＝y x6. 给出下列结论,其中正确的是（）A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a b y 的双曲线的标准方程一定是12222=-b y a xB ．抛物线221x y -=的准线方程是21=xC ．等轴双曲线的离心率是2 D．椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---7.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、48.一个椭圆中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，P （2）是椭圆上一点，且1122||||||PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为（）22222222.1.1.1.18616684164x y x y x y x y A B C D +=+=+=+=9.双曲线2214x y k +=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（） .(,0).(12,0).(3,0).(60,12)A B C D -∞----10. 方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应11. 12,F F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF 的最大值是．12.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．13.在△ABC 中，AB=BC ，7cos 18B =-．若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．14.已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB>，则FA与FB的比值等于．三、解答题：15．(1)已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为10，求双曲线的标准方程。

苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.1含答案

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________．答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什么曲线？解设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支．引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．答案 ③解析椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线．故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________．答案直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。

高中数学(苏教版选修2-1)学业分层测评第2章圆锥曲线与方程 2.3.1 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．双曲线－＝上一点到一个焦点的距离是，那么点到另一个焦点的距离是．【解析】据题意知－＝－＝，∴＝或.【答案】或．双曲线－＝的焦距是．【解析】由题意，得＝＝，∴焦距为＝.【答案】．已知双曲线－＝的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆＋＝相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则－＝.【解析】设′是双曲线的右焦点，连接′(图略)，因为，分别是，′的中点，所以＝′.又＝＝，且由双曲线的定义知－′＝，故－＝－－′＝(－′)－＝×－＝－.【答案】－．焦点分别是(，－)，()，且经过点(－)的双曲线的标准方程是．【解析】由题意，焦点在轴上，且＝，可设双曲线方程为－＝(<<)，将(－)代入，解得＝.因此所求双曲线标准方程为－＝.【答案】－＝．已知双曲线－＝，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若⊥，则＋的值为．【解析】不妨设在双曲线的右支上，因为⊥，所以()＝＋，又因为－＝，所以(－)＝，可得·＝，则(＋)＝＋＋·＝，所以＋＝.【答案】．已知双曲线－＝上一点的横坐标为，则点到左焦点的距离是. 【导学号：】【解析】由于双曲线－＝的右焦点为()，将＝代入双曲线可得＝，即双曲线上一点到右焦点的距离为，故利用双曲线的定义可求得点到左焦点的距离为＋＝＋＝.【答案】．已知，是双曲线－＝的左，右焦点，是双曲线右支上一点，是的中点，若＝，则的值为．【解析】因为是的中点，所以＝＝，又由双曲线的定义知：－＝＝，所以＝.【答案】．若圆＋－－＝与轴的两个交点，都在双曲线上，且，两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为. 【导学号：】【解析】解方程组(\\(＋－－＝，＝，))得(\\(＝，＝))或(\\(＝，＝－.))∵圆＋－－＝与轴的两个交点，都在双曲线上，且，两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴(，－)，()，且＝＝，∴＝－＝，∴双曲线方程为－＝.【答案】－＝二、解答题．求适合下列条件的双曲线的标准方程．()＝，经过点；()经过点()，(－，－)．【解】()当焦点在轴上时，设所求标准方程为－＝(＞)，把点的坐标代入，得＝－×＜，不符合题意；当焦点在轴上时，设所求标准方程为－＝(＞)，把点的坐标代入，得＝，∴所求双曲线的标准方程为－＝.()设双曲线的方程为＋＝(＜)，∵双曲线经过点()，(－，－)，。

高中数学选修2-1章末检测卷2：第二章圆锥曲线与方程

章末检测卷二)时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.双曲线3x 2－y 2＝9的实轴长是( ) A.2 3 B.2 2 C.4 3 D.4 2[答案] A[解析] ∵3x 2－y 2＝9，∴x 23－y 29＝1， ∴a ＝3，∴2a ＝2 3.2.抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )A.1B.2C.4D.8[答案] C[解析] ∵2p ＝8，∴p ＝4.3.椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( ) A.k >3B.2<k <3C.k ＝2D.0<k <2[答案] C[解析] k >0，c ＝9－k 2＝k ＋3，∴k ＝2. 4.F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1P A ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|P A |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|P A |＋|PF 2|)＝a ， ∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆.5.直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1( ) A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点 [答案] D[解析] 当x >0时，双曲线y 29－x 24＝1的渐近线为：y ＝±32x ，而直线y ＝x ＋3斜率为1,1<32， ∴y ＝x ＋3与x 轴上半部分的一支双曲线有一交点.当x ≤0时，曲线y 29＋x 24＝1为椭圆，又∵直线y ＝x ＋3过椭圆顶点，∴直线y ＝x ＋3与椭圆左半部分有两交点，共计3个交点，选D.6.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12 [答案] D[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ c 2＝m 2＋n 2，c 2＝am ，2n 2＝2m 2＋c 2，解得c 2a 2＝14，∴e ＝c a ＝12. 7.与抛物线x 2＝4y 关于直线x ＋y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )A.(1,0)B.(116，0)C.(－1,0)D.(0，－116) [答案] C[解析] x 2＝4y 关于x ＋y ＝0对称的曲线为y 2＝－4x ，其焦点为(－1,0).8.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62[答案] D[解析] |F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1. ∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a .在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D. 9.已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 [答案] A[解析] ∵抛物线焦点为(－1,0)，∴c ＝1，又椭圆的离心率e ＝12，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 10.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2B.2 2C.4D.8 [答案] C[解析] 设C ：x 2a 2－y 2a2＝1. ∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a 2＝1和x ＝－4得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，∴|AB |＝216－a 2＝43， ∴a ＝2，∴2a ＝4.∴C 的实轴长为4.11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A.2B.3C.6D.8[答案] C[解析] 由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1. ∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204) ＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2，∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.12.从双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T 交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A.|MO |－|MT |>b －aB.|MO |－|MT |＝b －aC.|MO |－|MT |<b －aD.不确定[答案] B[解析] 如图，设双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2.∵O 、M 分别为F 1F 2、F 1P 的中点，∴OM 是△PF 1F 2的中位线，∴|OM |＝12|PF 2|，由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝|PF 1|－2a ，∴|MO |－|MT |＝12(|PF 1|－2a )－|MT | ＝12|PF 1|－|MT |－a ＝|MF 1|－|MT |－a ＝|TF 1|－a ＝|OF 21|－|OT |2－a ＝c 2－a 2－a ＝b －a .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________. [答案] y ＝±34x [解析] 双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为x 216－y 29＝0，即y ＝±34x . 14.如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥AB →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.[答案] 5－12[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c .∵BF →⊥BA →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2，∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1，∴e ＝5－12. 15.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.[答案] 2[解析] 由y 2＝4x ，知p ＝2，F (1,0)，由抛物线定义，x A ＋p 2＝|AF |， ∴x A ＝2－1＝1，因此AB ⊥x 轴，F 为AB 中点，从而|BF |＝|AF |＝2.16.已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是________.[答案] x 24－y 2＝1 [解析] 由PF 1⊥PF 2，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2，由已知，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝25，|PF 1|·|PF 2|＝2⇒(2a )2＋2×2＝(25)2⇒a 2＝4⇒b 2＝c 2－a 2＝5－4＝1.则双曲线方程为x 24－y 2＝1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过焦点F 1的弦AB (A ，B 在双曲线的同支上)长为m ，另一焦点为F 2，求△ABF 2的周长.解 ∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴(|AF 2|－|AF 1|)＋(|BF 2|－|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ＋m .∴△ABF 2的周长等于|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .18.(12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.19.(12分)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点.求证：△AOB 是钝角三角形.证明 ∵焦点F 为(1,0)，过点F 且与抛物线交于点A 、B 的直线可设为ky ＝x －1，代入抛物线y 2＝4x ，得y 2－4ky －4＝0，则有y A y B ＝－4，则x A x B ＝y 2A 4·y 2B 4＝1. 又|OA |·|OB |cos ∠AOB ＝OA →·OB →＝x A x B ＋y A y B ＝1－4＝－3<0，得∠AOB 为钝角，故△AOB 是钝角三角形.20.(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10). (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积.(1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上.(3)解 S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6. 21.(12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2).(1)求椭圆G 的方程；(2)求△P AB 的面积.解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63. 解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) (x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92. 22.(12分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值. 解 (1)由已知得e ＝c a ＝32，c 2a 2＋14b2＝1，又c 2＝a 2－b 2，所以a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1. (2)方法一如图，由题意知 |F 1M ||MF 2|＝|PF 1||PF 2|即|PF 1|4－|PF 1|＝c ＋m c －m ＝3＋m 3－m，整理得： m ＝32(|PF 1|－2). 又a －c <|PF 1|<a ＋c ，即2－3<|PF 1|<2＋ 3.∴－32<m <32.故m 的取值范围为m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32. 方法二由题意知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM →|PF 2→||PM →|，即PF 1→·PM →|PF 1→|＝PF 2→·PM →|PF 2→|. 设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标化得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0.所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32. (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0).联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 所以Δ＝64(ky 0－k 2x 0)2－16(1＋4k 2)(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0. 故k ＝－x 04y 0，又1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0. 所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2 ＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·⎝⎛⎭⎫2x 0y 0＝－8. 所以1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.。

高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。

高二数学选修21第2章圆锥曲线与方程单元检测(含答案)题型归纳

高二数学选修21第2章圆锥曲线与方程单元检测（含答案）题型归纳圆锥曲线与方程是高二数学最常考察的知识点，以下是第2章圆锥曲线与方程单元检测，希望对大家有帮助。

一、填空题1.已知A-12，0，B是圆F：_-122+y2=4 (F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹为________.2.方程5(_+2)2+(y-1)2=|3_+4y-12|所表示的曲线是________.3.F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从焦点F2向△F1MF2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P，延长F2P交F1M的延长线于G，则P点的轨迹为__________(写出所有正确的序号).①圆;②椭圆;③双曲线;④抛物线.4.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向_轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹是____________.5.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是________.6.若点P到F(4,0)的距离比它到直线_+5=0的距离小1，则点P的轨迹表示的曲线是________.7.已知两点F1(-5,0)，F2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是__________.8.一动圆与⊙C1：_2+y2=1外切，与⊙C2：_2+y2-8_+12=0内切，则动圆圆心的轨迹为______________.二、解答题9.已知圆A：(_+3)2+y2=100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，求证：圆心P的轨迹是椭圆.10.已知△ABC中，BC=2，且sinB-sinC=12sinA，求△ABC的顶点A的轨迹.能力提升11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号).①直线;②圆;③双曲线;④抛物线.12.如图所示，已知点P为圆R：(_+c)2+y2=4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹.1.椭圆定义中，常数F1F2不可忽视，若常数2.双曲线定义中，若常数F1F2，则这样的点不存在;若常数=F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线.3.抛物线定义中Fl，若Fl，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l的直线.第2章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线知识梳理3.两个定点F1，F2的距离的和焦点焦距4.两个定点F1，F2距离的差的绝对值焦点焦距5.到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点定点F 定直线l6.圆锥曲线作业设计1.椭圆解析由已知，得PA=PB，PF+BP=2，PA+PF=2，且PA+PFAF，即动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆.2.抛物线解析由题意知(_+2)2+(y-1)2=|3_+4y-12|5.左侧表示(_，y)到定点(-2,1)的距离，右侧表示(_，y)到定直线3_+4y-12=0的距离，故动点轨迹为抛物线.3.①解析∵F2MP=GMP，且F2PMP，F2P=GP，MG=MF2.取F1F2中点O，连结OP，则OP为△GF1F2的中位线.OP=12F1G=12(F1M+MG)=12(F1M+MF2).又M在椭圆上，MF1+MF2=常数，设常数为2a，则OP=a，即P在以F1F2的中点为圆心，a为半径的圆上.4.椭圆5.椭圆6.抛物线解析由题意知P到F的距离与到直线_=-4的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线.7.双曲线8.双曲线的一支9.证明设PB=r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距PA=10-r，即PA+PB=10(大于AB).点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆.10.解由正弦定理得：sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.代入sinB-sinC=12sinA得：b-c=12a，即b-c=1，即AC-AB=1 (A的轨迹是以B、C为焦点且靠近B的双曲线的一支，并去掉与BC的交点.11.④解析∵D1C1面BCC1B1，C1P平面BCC1B1，D1C1C1P，点P到直线C1D1的距离即为C1P的长度，由题意知，点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离相等，这恰符合抛物线的定义.12.解由题意，得MP=MQ，RP=2a.MR-MQ=MR-MP=RP=2a点M的轨迹是以R、Q为两焦点，实轴长为2a的双曲线右支.第2章圆锥曲线与方程单元检测的全部内容就是这些，预祝大家新学期可以取得更好的成绩。

苏教版数学高二- 选修2-1试题 2-1圆锥曲线

2.1圆锥曲线双基达标限时15分钟1．已知定点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点轨迹是________．解析因为MF1＋MF2＝10，且10>F1F2，所以动点M轨迹是椭圆．答案椭圆2．已知点M(x，y)的坐标满足（x－1）2＋（y－1）2－（x＋3）2＋（y＋3）2＝±4，则动点M的轨迹是________．解析点(x，y)到(1，1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1，1)与(－3，－3)距离为42，由定义知动点M的轨迹是双曲线．答案双曲线3．到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是__________．解析MF1－MF2＝±6，而F1F2＝6，轨迹为两条射线．答案两条射线4．若点M到F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹表示的曲线是________．解析由题意知M到F的距离与到x＝－4的距离相等，由抛物线定义知，M点的轨迹是抛物线．答案抛物线5．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆②已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆③到点F1(－6，0)、F2(6，0)两点的距离之和等于点M(10，0)到F1、F2的距离之和的点的轨迹是椭圆④到点F1(－6，0)、F2(6，0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析椭圆是到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．①中|F1F2|＝12，故到F1、F2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F1F2.②中点到F 1、F 2两点的距离之和8小于|F 1F 2|，故这样的点不存在．③中点(10，0)到F 1、F 1两点的距离之和为（10＋6）2＋02＋（10－6）2＋02＝20>|F 1F 2|＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．故正确的是③.答案 ③6．已知动圆M 过定点A(－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，判断动圆圆心M 的轨迹．解设动圆M 的半径为r.因为动圆M 与定圆B 内切，所以MB ＝8－r.又动圆M 过定点 A ，MA ＝r ，所以MA ＋MB ＝8，故动圆圆心M 的轨迹是椭圆．综合提高限时30分钟7．△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(－2，0)，(2，0)，中线AD 的长度为3，则A 点的轨迹方程是________________________________________________________．解析 ∵B(－2，0)，C(2，0)，∴BC 的中点D(0，0)设A(x ，y)，又∵AD ＝3，∴x 2＋y 2＝3(y≠0)所以A 点的轨迹方程x 2＋y 2＝9(y≠0)．答案 x 2＋y 2＝9(y≠0)8．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是__________．解析把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．答案抛物线9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若点P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是__________．解析点P 到直线C 1D 1的距离就是点P 到点C 1的距离，所以动点P 的轨迹就是动点直线BC 与到点C 1的距离相等的点的轨迹，是抛物线的一部分．答案抛物线的一部分10．已知点A(－1，0)、B(1，0)．曲线C 上任意一点P 满足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.则曲线C 的轨迹是______．解析由PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0，得|PA →|＋|PB →|＝4，且4>AB.故曲线C 的轨迹是椭圆．答案椭圆11．已知动圆与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2相内切，且过点A(2，0)，求动圆圆心M 的轨迹．解设动圆M 的半径为r ，∵圆C 与圆M 内切，点A 在圆C 外，∴MC ＝r －2，MA ＝r ，∴MA －MC ＝2，又∵AC ＝4>2，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支．12．如图所示，已知点P 为圆R ：(x ＋c)2＋y 2＝4a 2上一动点，Q(c ，0)为定点(c>a>0，为常数)，O 为坐标原点，求线段PQ 的垂直平分线与直线RP 的交点M 的轨迹．解由题意，得MP ＝MQ ，RP ＝2a.MR －MQ ＝MR －MP ＝RP ＝2a<RQ ＝2c.∴点M 的轨迹是以R 、Q 为两焦点，实轴长为2a 的双曲线右支．13．(创新拓展)设Q 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点A(3，0)，线段AQ 的垂直平分线交半径OQ 于点P.当Q 点在圆周上运动时，求点P 的轨迹．解因为线段AQ 的垂直平分线交半径OQ 于点P ，所以PA ＝PQ.而半径OQ ＝OP ＋PQ ，所以OP ＋PA ＝2，且2>3＝OA ，故点P 的轨迹为椭圆(除去与x 轴相交的两点)．。

苏教版数学高二-选修2-1试题 2.1圆锥曲线

2.1圆锥曲线一、基础过关1．已知定点M(1,1)，定直线l：x＝3，有一动点N，点N到M点的距离MN始终等于N点到直线l的距离，则N点的轨迹是一条__________．2．动点P到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10，则动点P的轨迹是_________．3．已知A(－3,0)，B(3,0)，且MA－MB＝0，则M点的轨迹是________________．4．设定点F1(－7,0)，F2(7,0)，动点P(x，y)满足条件|PF1－PF2|＝14，则动点P的轨迹是________________________________________________________________________．5．平面内有两个定点F1，F2及动点P，设命题甲是“|PF1－PF2|是非零常数”，命题乙是“动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”，那么，甲是乙的______________条件．6．若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心轨迹是________________．二、能力提升7．方程5x＋22＋y－12＝|3x＋4y－12|所表示的曲线是________．8．F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从焦点F2向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为__________．9．设动点P(x，y)满足条件x＋12＋y2＋x－12＋y2＝a (a≥2)，则动点P的轨迹是什么曲线？10．已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形：(1)|x＋52＋y2－x－52＋y2|＝6；(2)x＋42＋y2－x－42＋y2＝6.11．已知动圆M与圆C：(x＋2)2＋y2＝2相内切，且过点A(2,0)，求动圆圆心M的轨迹．三、探究与拓展12．在△ABC中，已知AB＝42，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，求顶点C的轨迹．答案 1．抛物线 2．线段F 1F 2 3．线段AB 的垂直平分线 4．两条射线 5．必要不充分6．抛物线 7．抛物线 8．圆9．解 x ＋12＋y 2，x －12＋y 2分别表示(x ，y)到C(－1，0)，D(1,0)的距离，∵CD ＝2，又a≥2， ∴当a>2时，点P 的轨迹表示椭圆；当a ＝2时，点P 的轨迹表示线段CD.10．解 (1)∵|x ＋52＋y 2－ x －52＋y 2|表示点P(x ，y)到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值，F 1F 2＝10，∴|PF 1－PF 2|＝6<F 1F 2，故点P 的轨迹是双曲线．(2)∵x ＋42＋y 2－x －42＋y 2表示点P(x ，y)到两定点F 1(－4,0)，F 2(4，0)的距离之差，F 1F 2＝8，∴PF 1－PF 2＝6<F 1F 2，故点P 的轨迹是双曲线的右支．11．解设动圆M 的半径为r ，∵圆C 与圆M 内切，点A 在圆C 外，∴MC ＝r －2，MA ＝r ，∴MA －MC ＝2，又∵AC ＝4>2，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支．12．解由正弦定理，得sin A ＝a 2R， sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 的外接圆半径)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2，从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB. 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．。

高中数学(苏教版选修2-1)第2章圆锥曲线与方程曲线与方程2

一、填空题1．如图2-6-2所示，方程y ＝|x |x2表示的曲线是________．图2-6-2【解析】 y ＝|x |x2＝⎩⎨⎧1x，x ＞0，－1x ，x ＜0，所以图②满足题意．【答案】 ②2．方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示的曲线是________．【解析】方程(x ＋y －1)x －y －3＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≥0，x ＋y －1＝0，或x －y －3＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥2)或x －y －3＝0，故方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝0.【答案】射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝03．条件甲“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，条件乙“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的图形”，则甲是乙的________条件．【解析】在曲线的方程和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)．所以甲是乙的必要不充分条件．【答案】必要不充分4．在平面直角坐标系中，方程|x 2－4|＋|y 2－4|＝0表示的图形是________．【解析】易知|x 2－4|≥0，|y 2－4|≥0，由|x 2－4|＋|y 2－4|＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，表示的图形为(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点．【答案】 (2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点 5．下列命题正确的是________(填序号)．①方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线；②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0； ③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；④曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.【解析】对照曲线和方程的概念，①中的方程需满足y ≠2；②中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而③中动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有④是正确的．【答案】 ④6．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是________________(填序号).【导学号：09390057】①y ＝x 与y 2＝x ；②y ＝x 与xy＝1；③y 2－x 2＝0与|y |＝|x |；④y ＝lg x 2与y ＝2lg x .【解析】 ①中y ＝x 时，y ≥0，x ≥0，而y 2＝x 时，x ≥0，y ∈R ，故不表示同一曲线；②中xy ＝1时，y ≠0，而y ＝x 中y ＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．【答案】 ③7．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________.【解析】由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.【答案】 58．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的直线是________(填序号)．①过点P 且垂直于l 的直线； ②过点P 且平行于l 的直线； ③不过点P 但垂直于l 的直线； ④不过点P 但平行于l 的直线．【解析】点P 的坐标(x 0，y 0)满足方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0，因此方程表示的直线过点P .又∵f (x 0，y 0)为非零常数，∴方程可化为f (x ，y )＝f (x 0，y 0)，方程表示的直线与直线l 平行．【答案】 ② 二、解答题9．分析下列曲线上的点与方程的关系．(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系； (2)作出函数y ＝x 2的图象，指出图象上的点与方程y ＝x 2的关系；(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系．【解】(1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即y＝x.①l上点的坐标都是方程x－y＝0的解；②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l上．(2)函数y＝x2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程y＝x2，即方程y＝x2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y＝x2.(3)如图所示，直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程．10．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－25，2)是否在这个圆上．【解】①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以x20＋y20＝5，也就是x20＋y20＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x20＋y20＝25，两边开方取算术平方根，得x20＋y20＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由①②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－25，2)代入方程x2＋y2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．[能力提升]1．已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为________．【解析】由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.【答案】 π3或5π32．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是____________(填序号)．图2-6-3【解析】由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．【答案】 ③3．由方程(|x |＋|y |－1)(x 2＋4)＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是________．【解析】表示的曲线为|x |＋|y |＝1，其图形如图所示，为一正方形，S ＝(2)2＝2.【答案】 24．已知点P (x 0，y 0)是曲线f (x ，y )＝0和曲线g (x ，y )＝0的交点，求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．【证明】因为P 是曲线f (x ，y )＝0和曲线g (x ，y )＝0的交点，所以P 在曲线f (x ，y )＝0上，即f (x 0，y 0)＝0，P 在曲线g (x ，y )＝0上，即g (x 0，y 0)＝0，所以f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0＋λ0＝0，故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上.。

苏教版高中数学选修2-1章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程.docx

章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．抛物线y＝－18x2的准线方程是________．【解析】把抛物线方程化为标准形式得x2＝－8y，所以抛物线的准线方程为y＝2.【答案】y＝22．如果方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．【解析】焦点在x轴上，则标准方程中a2>a＋6，解得a>3或a<－2.又a2>0，a＋6>0，所以a>3或－6<a<－2.【答案】a>3或－6<a<－23．双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r等于________．【解析】双曲线x26－y23＝1的渐近线方程为y＝±22x，与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，得r＝ 3.【答案】 34．若F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的共同的左、右焦点，点P 是两曲线的一个交点，且△PF 1F 2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是________. 【导学号：09390068】【解析】不妨设PF 1＞PF 2，则PF 1＝F 1F 2＝8，由双曲线及椭圆的定义，可知⎩⎨⎧ PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＋PF 2＝10，即⎩⎨⎧ 8－PF 2＝2a ，8＋PF 2＝10，得2a ＝6，a ＝3. 又a 2＋b 2＝16，所以b 2＝7，故双曲线的渐近线方程为y ＝±73x .【答案】 y ＝±73x5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．【解析】易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1，且k ≠0，综上可知，－1≤k ≤1.【答案】 [－1,1]6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为______________．【解析】由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a ×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.【答案】 x 24－y 23＝17．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】由题意知，|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.【答案】 28．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．【解析】由抛物线的定义知，AF ＝2c ，∴b 2a ＝2c .∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0.又∵e >1，∴e ＝2＋1.【答案】 2＋19．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是________．【解析】如图，分别过点A ，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为点M ，N ，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝AB ＝8.又四边形AMNB 为直角梯形，故AB 中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x＝－p 2，所以4＝2＋p 2，即p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x10．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________．【解析】由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴FM ＝2，PQ ＝1＋14＝54，MQ ＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2×1＝138. 【答案】 13811．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为________．【解析】因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，所以c ＝2，a ＝1，所以双曲线的离心率为2.【答案】 212．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →，则点P 的轨迹C 的方程为________．【解析】设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )，得x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y ，因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1. ∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.【答案】 x 22＋y 2＝113．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若AF ＝3，则BF ＝________.【解析】由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)．又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，由图知，y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧ y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2. 知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2， ∴BF ＝12－(－1)＝32.【答案】 3214．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________．【解析】因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，a 2＝20，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1. 【答案】 x 220＋y 25＝1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.【解】 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把(4，－10)代入双曲线方程得42－(－10)2＝λ，∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)知双曲线方程为x 2－y 2＝6，∴双曲线的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)．∵点M 在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3.∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.16．(本小题满分14分)已知一条曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l 交曲线C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为D (2，－1)，求直线l 的一般式方程. 【导学号：09390069】【解】 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)，化简得y 2＝4x (x ＞0)．即曲线C 的方程为y 2＝4x (x ＞0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② ①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，易知l 的斜率k 存在，故(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝4，即－2k ＝4，所以k ＝－2，故l 的一般式方程为2x ＋y －3＝0.17．(本小题满分14分)如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点是坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．图1(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．【解】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 1－1(x 2≠1)． ∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4.②－①，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)． 18．(本小题满分16分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．【解】依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上， ∴6＝2p ×32，解得2p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上，∴c ＝1，则a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上， ∴94a 2－6b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝14，b 2＝34或⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去). ∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分16分)如图2所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA→＋OB →＝(－4，－12)．图2(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从点A 到点B 运动时，求△ABP 面积的最大值．【解】 (1)由⎩⎨⎧ y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎨⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎨⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设点P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与直线l 平行时，△ABP 的面积最大．设切线方程是y ＝2x ＋t ，由⎩⎨⎧ y ＝2x ＋t ，x 2＝－2y ，得x 2＋4x ＋2t ＝0， ∴Δ＝42－4×2t ＝0，∴t ＝2.此时，点P 到直线l 的距离为两平行线间的距离，d ＝|2＋2|5＝455.由⎩⎨⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0， AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410.∴△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2.20．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|＜253时，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由题意知，e ＝c a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2. 又因为b ＝21＋1＝1，所以a 2＝2，b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线AB 的斜率存在．设AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)＞0，k 2＜12，x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)， y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|＜253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜209，∴(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2＜209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＞0，∴k 2＞14，∴14＜k 2＜12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， ∴－2＜t ＜－263或263＜t ＜2，∴实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2.。

苏教版数学高二-2016版高中数学苏教版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》章末检测

章末检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析建立坐标系如图所示．则抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x ＝±6.∴水面下降1米后，水面宽为2 6米．2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为__________．答案 2解析依题意两条渐近线方程必为y ＝±x ，则a ＝b ，所以c ＝2a ，故双曲线的离心率为 2.3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．答案 4解析椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，而抛物线y 2＝2px 的焦点为(p 2，0)，则p 2＝2，故p ＝4. 4．△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案 4 3解析由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为4a ＝4 3.5．若方程x 225－m ＋y 216＋m ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________．答案 m >25解析由⎩⎪⎨⎪⎧25－m <0，16＋m >0，解得m 的取值范围是m >25. 6．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 为________．答案 52 解析由于焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±12x ，可得b a ＝12，又c 2＝a 2＋b 2，可解得e ＝c a 的值为52. 7．抛物线y 2＝2px (p >0)上有一点M 纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程是____________．答案 y 2＝8x 或y 2＝16x解析由已知得点M 的横坐标x M ＝(－42)22p ＝16p (p >0)，又x M ＋p 2＝6，即16p ＋p 2＝6，解得p ＝4或p ＝8.故抛物线的方程是y 2＝8x 或y 2＝16x .8．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA →|＝__________.答案 212p 解析依题意可设AF 所在直线方程为y －0＝(x －p 2)tan 60°，∴y ＝3(x －p 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －p 2)，y 2＝2px ，解得x ＝p 6或3p 2， ∵FA →与x 轴正向夹角为60°，∴x ＝3p 2，y ＝3p ， ∴|OA →|＝x 2＋y 2＝212p . 9．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 斜率为－3，那么PF ＝________.答案 8解析由题意可知，∠AFO ＝60°，由焦点到准线的距离为4，所以AF ＝8，∵PA ∥FO ，∴∠PAF ＝60°，又由抛物线的定义，知PA ＝PF ，因而△PAF 为正三角形，所以PF ＝AF ＝8.10．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．答案 22解析不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎨⎧ 2b 2a ＝2，a 2c －c ＝1，即⎩⎨⎧ 2b 2a ＝2， ①b 2c ＝1， ②②÷①得e ＝22. 11．与双曲线x 29－y 23＝1有共同的渐近线，并且经过点(3，－4)的双曲线方程为____________．答案 y 215－x 245＝1 解析由题意可设所求双曲线方程为 x 29－y 23＝λ(λ≠0)， ∵双曲线经过点(3，－4)，∴λ＝(3)29－(－4)23＝－5， ∴所求双曲线方程为y 215－x 245＝1. 12．若中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆短轴端点是双曲线y 2－x 2＝1的顶点，且该椭圆的离心率与此双曲线的离心率的乘积为1，则该椭圆的方程为__________．答案 x 22＋y 2＝1 解析由双曲线y 2－x 2＝1的顶点坐标为(0，±1)，可得椭圆的b ＝1；又双曲线的离心率为 1＋11＝2，从而由已知得椭圆的离心率为22，∴椭圆的a ＝2，∴该椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 13．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．答案 62解析设AF 1＝x ，AF 2＝y ，因为点A 为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1上的点，所以2a ＝4，b ＝1，c ＝3；所以AF 1＋AF 2＝2a ＝4，即x ＋y ＝4；①又四边形AF 1BF 2为矩形，所以AF 21＋AF 22＝F 1F 22，即x 2＋y 2＝(2c )2＝(23)2＝12，②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x 2＋y 2＝12，解得x ＝2－2，y ＝2＋2，设双曲线C 2的实轴长为2a ′，焦距为2c ′，则2a ′＝AF 2－AF 1＝y －x ＝22，2c ′＝222－12＝23，所以双曲线C 2的离心率e ＝c ′a ′＝32＝62. 14．已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.答案 433解析经过第一象限的双曲线的渐近线为y ＝33x .抛物线的焦点为F (0，p 2)，双曲线的右焦点为F 2(2,0)．y ′＝1p x ，所以在M (x 0，x 202p )处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，即三点F (0，p 2)，F 2(2,0)，M (33p ，p 6)共线，所以p 2－00－2＝p 6－p 233p ，即p ＝433. 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)如图，在P 处有一堆肥料沿道路PA 或PB 送到矩形的一块田ABCD 中，已知PA ＝100 m ，PB ＝150 m ，BC ＝60 m ，∠APB ＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送肥料较近而另一侧的点沿PB 送肥料较近？如果能，说出这条界线是什么曲线？并求出它的方程．解设M 是界线上任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PA －PB ＝50(常数)，∴界线是以A 、B 为焦点的双曲线一支(右支)．如图建立直角坐标系，设x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由余弦定理得2c ＝AB ＝1002＋1502－2×100×150cos 60°＝507，∴c ＝257，a ＝25，∴b 2＝c 2－a 2＝3 750，∴界线方程：x 2625－y 23 750＝1(x ≥25，y ≥0)． 16．(14分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ，b >0)的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，PF 1＝43，PF 2＝143； (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．解 (1)因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，F 1F 2＝PF 22＋PF 21＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1. (2)设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．由圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，得圆心M 的坐标为(－2,1)．从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k －27＝0.因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k 4＋9k 2＝－2.解得k ＝89，所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0(经检验，符合题意)． 17．(14分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.18．(16分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上．(3)解 12F MF S ＝12×43×|m |＝6. 19．(16分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63. 解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) (x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以AB ＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12AB ·d ＝92. 20．(16分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过P 点作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值. 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1得y ＝±b 2a，由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2. 又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1. 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM →|PF 2→||PM →|，PF 1→·PM →||PF 1→＝PF 2→·PM →||PF 2→，设P (x 0，y 0)其中x 20≠4，将向量坐标代入并化简得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0，因为x 20≠4, 所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈(－32，32) . (3)由题意可知，l 为椭圆的在p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为x 0x 4＋y 0y ＝1，所以k ＝－x 04y 0，而k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3，代入1kk 1＋1kk 2中得 1kk 1＋1kk 2＝－4(x 0＋3x 0＋x 0－3x 0)＝－8. 因此，1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.。

高中数学第2章圆锥曲线与方程章末检测试卷苏教版高二选修1-1数学试题

第2章圆锥曲线与方程章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1.平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是________.考点圆锥曲线几何性质题点离心率问题答案 12解析由题意可知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝1，由椭圆的离心率e ＝c a ＝12.2.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为__________.考点圆锥曲线几何性质题点求双曲线渐近线方程答案 y ＝±34x解析由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .3.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，则该双曲线的离心率为________.考点圆锥曲线几何性质题点离心率问题答案103解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则它的渐近线方程为y ＝±b a x ，故b a ＝13，因此离心率为e ＝1＋b 2a2＝1＋19＝103. 4.双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则a ＝________.考点圆锥曲线方程题点焦点问题答案22解析双曲线x 2－y 2＝a 2的右焦点的坐标为(2a,0)，抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，从而2a ＝1，故a ＝22. 5.若双曲线的顶点为椭圆x 2＋y 22＝1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的标准方程为__________. 考点圆锥曲线几何性质题点由离心率问题求曲线方程答案y 22－x 22＝1 解析由椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22，则双曲线的离心率为2，且双曲线的顶点为(0，±2)，故双曲线的标准方程为y 22－x 22＝1.6.双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是__________.考点圆锥曲线几何性质题点离心率问题答案 m >1 解析由e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＝1＋m 1＝1＋m >2，得m >1.7.如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点.若F 1F 2＝F 1A ，则椭圆C 2的离心率是________.考点圆锥曲线方程题点求离心率问题答案 23解析由题意知，F 1F 2＝F 1A ＝4. ∵F 1A －F 2A ＝2，∴F 2A ＝2， ∴F 1A ＋F 2A ＝6，又∵F 1F 2＝4， ∴椭圆C 2的离心率是46＝23.8.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线方程为______________. 考点圆锥曲线几何性质题点求双曲线方程答案x 24－y 23＝1 解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b ＝3a .①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7，② 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1.9.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足PF 1∶F 1F 2∶PF 2＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率为________. 考点圆锥曲线方程题点求离心率问题答案 12或32解析由题意可设PF 1＝4m ，F 1F 2＝3m ，PF 2＝2m .当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝PF 1＋PF 2＝4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝F 1F 2＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝12；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝PF 1－PF 2＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝F 1F 2＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 2m ＝32.故e ＝12或32.10.已知二次曲线x 23－k －y 2k ＝1(k <3，k ≠0)与x 25＋y 22＝1，则下列说法正确的是________.(填序号)①有不同的顶点；②有不同的准线；③有相同的焦点；④有相同的离心率. 考点圆锥曲线方程题点几何性质判断答案 ③解析当0<k <3时，则0<3－k <3，∴x 23－k －y 2k＝1表示实轴为x 轴的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.∴两曲线有相同的焦点；当k <0时，3－k >－k >0，∴x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆. a 2＝3－k ，b 2＝－k .∴a 2－b 2＝3＝c 2，与已知椭圆有相同的焦点.综上，二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1有相同的焦点.11.椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是________________. 考点圆锥曲线定义题点圆锥曲线定义的运用答案 (0,3)或(0，－3) 解析 ∵PF 1＋PF 2＝2a ＝10， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝25.当且仅当PF 1＝PF 2＝5时，取得最大值，此时P 点是短轴端点，即P 点坐标是(0,3)或(0，－3).12.已知点A (0,2)，B (2,0).若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________.考点圆锥曲线定义题点圆锥曲线定义的运用答案 4解析由已知可得AB ＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点. 因此满足条件的C 点有4个.13.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________. 答案 53解析椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为(1,0)，所以直线方程为y ＝2(x －1).联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2(x －1)，得3y 2＋2y －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1，y 2是3y 2＋2y －8＝0的两根，所以y 1＝－2，y 2＝43.所以S △OAB ＝S △OFA ＋S △OFB ＝12OF ·|y 1－y 2|＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________. 考点直线与圆锥曲线关系题点求离心率问题答案 27－5解析直线A 1B 2的方程为x －a ＋yb ＝1；直线B 1F 的方程为x c ＋y－b ＝1.二者联立解得T ⎝⎛⎭⎪⎫2ac a －c ，b (a ＋c )a －c ，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a －c ，b (a ＋c )2(a －c )在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，故c 2(a －c )2＋(a ＋c )24(a －c )2＝1，e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5或e ＝－27－5. 又0<e <1，∴e ＝27－5.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(14分)已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的标准方程. 考点圆锥曲线几何性质题点求圆锥曲线方程解 ①若焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，c ＝13.设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1，m ＝a －4.∵e 双e 椭＝73，易得a ＝7，m ＝3.∴b 2＝36，n 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 249＋y 236＝1，双曲线的标准方程为x 29－y 24＝1.②若焦点在y 轴上，同理可得椭圆的标准方程为x 236＋y 249＝1，双曲线的标准方程为y 29－x 24＝1.16.(14分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB ＝5.(1)求此抛物线方程；(2)若M (1,2)是抛物线上一点，求MA →·MB →的值. 考点直线与抛物线的位置关系题点求抛物线方程和其他运算解 (1)因为焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得4x 2－6px ＋p 2＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p2，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝5p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)方程①化为x 2－3x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，直线l 的方程为y ＝2x －2， ∴MA →·MB →＝(x 1－1，y 1－2)(x 2－1，y 2－2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋(2x 1－4)(2x 2－4) ＝5x 1x 2－9(x 1＋x 2)＋17＝5－27＋17＝－5.17.(14分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的上顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值. 考点圆锥曲线定义题点圆锥曲线定义的运用解 (1)∠F 1AF 2＝60°⇔a ＝2c ⇔e ＝c a ＝12.(2)设BF 2＝m ，则BF 1＝2a －m ，在△BF 1F 2中，BF 21＝BF 22＋F 1F 22－2BF 2·F 1F 2·cos120°⇔(2a －m )2＝m 2＋a 2＋am ⇔m ＝35a .△AF 1B 的面积为S ＝12F 1A ·BA ·sin60°⇔12×a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋35a ×32＝403⇔a ＝10， ∴c ＝5，b ＝5 3. 综上a ＝10，b ＝5 3.18.(16分)已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.(1)求与双曲线C 1有相同焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别与双曲线C 1的两条渐近线相交于A ，B 两点.当OA →·OB →＝3时，某某数m 的值.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线位置关系的运用解 (1)∵双曲线C 1：x 2－y 24＝1，∴焦点坐标为(5，0)，(－5，0).设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线C 2与双曲线C 1有相同焦点，且过点P (4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)双曲线C 1的两条渐近线为y ＝2x ，y ＝－2x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x ＋m ，可得x ＝m ，y ＝2m ，∴A (m,2m ). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝x ＋m ，可得x ＝－13m ，y ＝23m ，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13m ，23m .∴OA →·OB →＝－13m 2＋43m 2＝m 2.∵OA →·OB →＝3，∴m 2＝3，∴m ＝± 3.19.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值.考点椭圆方程与几何性质题点椭圆方程与几何性质的综合运用解 (1)A (a,0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2. 所以OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，AB →＝(－a ，b ).因为OM →·AB →＝－32b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b . 因为a 2＝b 2＋c 2，所以c ＝3b . 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32. (2)方法一由a ＝2，得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m .设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2.直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14.方法二由a ＝2，得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.设C (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0(舍去)或x ＝2y 0. 所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0，12x 0.所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14.20.(16分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为x 28＋y 24＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值X 围. 考点椭圆方程与几何性质题点椭圆方程与几何性质的综合运用word11 / 11 解 (1)∵x 28＋y 24＝1，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴k OP ＝22，kF 2M ＝－2，kF 1M ＝24， ∴直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为y ＝24(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2(x －2)，y ＝24(x ＋2)，解得x ＝65. ∴点M 的横坐标为65. (2)设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M )，∵F 1M →＝2MP →，∴F 1M →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－13c ，23y 0，F 2M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－43c ，23y 0， ∵PO ⊥F 2M ，OP →＝(x 0，y 0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－43c x 0＋23y 20＝0，即x 20＋y 20＝2cx 0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋y 20＝2cx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1，消去y 0，得c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2)＝0，解得x 0＝a (a ＋c )c 或x 0＝a (a －c )c， ∵－a <x 0<a ，∴x 0＝a (a －c )c ∈(0，a )， ∴0<a 2－ac <ac ，解得e >12. 综上，椭圆离心率e 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.。

高二数学选修选修2-1《圆锥曲线与方程》(A卷)

高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》单元过关平行性测试卷（A卷）一、单选题：本大题共6小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设椭圆的短轴长为，离心率为. 则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．2．“”是“双曲线的离心率为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为（）A．B．C．D．4．椭圆中，以点为中点的弦所在的直线斜率为（）A．B．C．D．5．已知方程的曲线为C，下面四个命题中正确的个数是（）①当时，曲线C不一定是椭圆；②当或时，曲线C一定是双曲线；③若曲线C是焦点在x 轴上的椭圆，则；④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则.A．1B．2C．3D．46．设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为（）A．18，24B．16，22C．24，28D．20，26二、填空题：本大题共4小题，每小题6分.7．已知双曲线的两个焦点为、，渐近线为，则双曲线的标准方程为．8．给出下列四个结论：①当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则双曲线的标准方程是；③抛物线的准线方程为.④已知双曲线，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（﹣12，0）．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）9．已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线有一点，过点作，垂足为，若等边的面积为_ ．10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，为左准线，，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是_________．三、解答题：本大题共3小题，11题10分，12、13题每题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.11．已知抛物线过点．（I）求抛物线C的方程；（II）求过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．12．已知椭圆：（）的离心率，且右焦点为．斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求的面积．13．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.（I）求曲线的轨迹方程；（II）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点.高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》单元过关平行性测试卷（A卷）参考答案1．A 解析：由题意可得，解得，所以椭圆的方程为，2．C 解析：∵双曲线的离心率为，∴，∵，∴。