二次函数闭区间最值问题

解： f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3， 对称轴是x=2，在区间[2, +∞)上是增函数. f(－1)=f(2－3)=f(2+3)=f(5)， f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)， 所以f(1)<f(4)<f(－1)=f(5).
例4, 已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数)， x∈[－1，1]，
y
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5],求 22
函数f(x)的最值；
y
15
22
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
则由上图知解为:
当t+2≤1(t≤-1)时 f(x)max=f(t)=t2-2t-3 f(x)min=f(t+2)=t2+2t－3
当 t＜1 ＜ t+2 (-1 ＜t＜1) 时f(x)min=f(1)=-4
若t＋１＜1 (-1 ＜ t≤０ ) 时f(x)max=f(t)=t2-2t-3 时 若t＋１＞1 (０ ＜t＜１ ) f(x) max=f(t+2)=t2+2t－3
例2、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
若 x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最值.
t
t+2
X=1
y
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
y
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
y
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
y
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
y
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
（4）若x∈[ 1 , 3]，
22
求函数f(x)的最值；
1 3 22
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，wk.baidu.coma，b 的值；
（2）若函数f(x)为奇函数，且f( 1 )= 1 ,求
22
f(x)的值域。
2、 b [m, n] 2a
x


b 2a
时,
ym in

4ac 4a
b2
最大值在闭区间端点处取得，为离对称轴较远的 端点对应的函数值。
练习：求 y x2 2x在[0，2]上的最值
3,2
2,2
对y ax2 bx c(a 0) 在[m, n]上最值的求法可类似推得
二次函数y ax2 bx c(a 0)最值的
一般步骤 :
(一)配方 : y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
（二）判断 b 是否属于闭区间[m, n] 2a
1、 b [m, n] 2a
f (x)在[m, n]上是单调函数， 分别求出f (m)与f (n), 其中大的为最大值,小的为最小值
则由上图知解为:
Ⅰ 当-a≤-2 时 f(x) max= f(2)=7+4a
(a≥2)
f(x) min=f(-2)=7-4a
Ⅱ 当-2＜-a≤0时 f(x) max=f(2)=7+4a (0≤a ＜ 2) f(x) min=f(-a)=3-a2
Ⅲ 当0＜-a≤2时 f(x) max=f(-2)=7-4a (-2 ≤a ＜0) f(x) min=f(-a)=3-a2
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
（4）若x∈[ 1 , 3]，求
y
22
函数f(x)的最值；
(5) 若x∈[0,2],求函数f(x)的最 值
–1 0 1 2 3 4 x
对称轴定区间定 在闭区间[m, n]上求
Ⅳ 当 -a＞2 时 f(x) max=f(-2)=7-4a
(a ≤ -2)
f(x) min=f(2)=7+4a
“轴动区间定”的二次函数最值问题也要讨 论，讨论也分动区间在定轴的左、右两侧及 包含定轴（区间中点在轴的左右两侧两种情 况）．能合并的情况要合并.
例3. 已知函数f(x)=x2－4x+1，不计算函数 值，比较f(－1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。
例2.已知f (x) x2 2ax 3, x [2, 2], a R，求函数的最值
（定义域固定，对称轴变化）
解析：
因为函数f(x)=x2+2ax+3 =（x+a)2+3-a2 的对称轴为x=-a。 要求最值，则要看对称轴x=-a与 区间[-2，2]之间的位置关系，
则从以下几个方面解决如图：
当t ≥1
时 f(x) max=f(t+2)=t2+2t－3 f(x) min=f(t)=t2-2t-3
“轴定区间变”的二次函数最值问题．最值 在端点及对称轴处取得.最值随动区间在定 轴的左、右两侧及包含定轴的变化而变 化．要注意开口方向及端点离对称轴距离。
“轴定区间变”的二次函数最值问题要讨论， 讨论分动区间在定轴的左、右两侧及包含定 轴（区间中点在轴的左右两侧两种情况）．
二次函数在给定区间上的最值
例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的 最值；
y
–2 0 1
3
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （1）若x∈[ –2，0 ]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的
最值；