2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题(解析版)

2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2【答案】B【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由{}12A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--， 则AB ={}0,1.故选：B2．命题“0,sin 1x x ∀≥≤”的否定是（ ） A ．0,sin 1x x ∀<> B ．0,sin 1x x ∀≤> C ．0,sin 1x x ∃<> D ．0,sin 1x x ∃≥>【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题，sin 1x ≤的否定是sin 1x >，即可得到答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，sin 1x ≤的否定是sin 1x >， 所以命题“0,sin 1x x ∀≥≤”的否定是0,sin 1x x ∃≥> 故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.3．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（ ）A ．sin y x =B ．y =C ．3y x =-D ．lg y x =【答案】A【分析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案.【详解】对A ，根据正弦函数的性质可得sin y x =是奇函数，在()0,1单调递增，故A 正确；对B ，y =[)0,+∞，不关于原点对称，故不是奇函数，故B 错误；对C ，3y x =-在()0,1单调递递减，故C 错误；对D ，lg y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，故不是奇函数，故D 错误. 故选：A.4．函数()37f x x x =--的零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【分析】先判断函数()f x 在()0,1上的范围，排除A ；再判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性，根据函数零点存在性定理，即可判定出结果.【详解】因为()()32717f x x x x x =--=--是定义在R 上的连续函数，当()0,1x ∈时，()210x x -<，所以()()2170f x x x =--<，即零点不可能在()0,1内；任取121x x <<，则()()()()()3333121122121277f x f x x x x x x x x x -=-------=- ()()122221121x x x x x x =++--，因为121x x <<，所以120x x -<，22112210x x x x ++->，即()()()()221121212210f x x x f x x x x x ++---<=，即()()12f x f x <，所以()37f x x x =--在()1,+∞上单调递增；又()111770f =--=-<，()282710f =--=-<，()32737170f =--=>，()46447530f =--=>，根据零点存在性定理，可得()37f x x x =--在()2,3内有零点，故选：C.5．已知函数()2cos f x x x =+.若120x x +=，则（ ）A ．()()12f x f x <B ．()()12f x f x >C ．()()120f x f x +=D ．()()120f x f x -=【答案】D【分析】判断函数为偶函数，根据题意可得1x 与2x 是一对互为相反数，由奇偶性定义即可求解.【详解】由()2cos f x x x =+，则()()()()22cos cos f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数为偶函数，又120x x +=，则12x x =-， 所以()()()22112122cos cos x x x f x f x x +-=+-()()()()222222222222cos cos cos cos 0x x x x x x x x =-+--+=+-+=.故选：D6．已知0.5a =，0.60.5b =，0.6log 0.5c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】A【分析】利用指数函数、对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】0.5a =，由0.5xy =是单调递减函数，00.610.50.50.5>>，所以1b a >>0.6log y x =是单调递减函数，0.60.6log 0.5log 0.61c =>=，所以a b c << 故选：A7．已知函数()y f x =可表示为（ ）则下列结论正确的是（ ） A ．()()43ff =B ．()f x 的值域是{}1,2,3,4C ．()f x 的值域是[]1,4D ．()f x 在区间[]4,8上单调递增【答案】B 【分析】()()42ff =，所以选项A 错误；由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，所以选项B 正确C 不正确；()f x 在区间[]4,8上不是单调递增，所以选项D 错误. 【详解】A. ()()(4)3,4(3)2f ff f ===，所以该选项错误；B. 由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，所以该选项正确；C. 由表得()f x 的值域是{}1,2,3,4，不是[]1,4，所以该选项错误；D. ()f x 在区间[]4,8上不是单调递增，如：54>，但是(5)=(4)=3f f ，所以该选项错误. 故选：B【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.8．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级y （单位：dB ）与声强度I （单位：2W /m ）之间的关系为010lgI y I =，其中基准值122010W /m I -=.若声强级为60dB 时的声强度为60I ，声强级为90dB 时的声强度为90I ，则9060I I 的值为（ ）A ．10B ．30C ．100D ．1000【答案】D【分析】根据题意，把9060I I 转化为对数运算即可计算． 【详解】由题意010lgIy I =可得： 9060009010lg6010lg I I I I ==， 90609060000030=906010lg10lg =10lg lg I I I II I I I ∴-=--（） 90609009000060603=lglg 3=lg ?=lg I I I I II I I I I ∴-∴，（） 39060=10=1000I I ∴故选：D【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.9．已知α，β均为第一象限角，则“αβ<”是“sin sin αβ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用充分性和必要性分别讨论即可. 【详解】由π7π,33αβ==均为第一象限的角， 满足αβ<，但sin sin αβ=， 因此不充分； 由sin sin αβ<，得π-5π,66αβ==均为第一象限的角， 得到αβ>，因此不必要； 故选：D.10．设函数()4sin2xf x π=，若存在实数12,,,n x x x ，满足当12n x x x <<<时，()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，则正整数n 的最小值为（ ） A ．505 B ．506C ．507D ．508【答案】C【分析】根据正弦函数的性质，确定()4sin2xf x π=的最值，根据题中条件，得到()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈尽可能多的取得最大值4，即可求解.【详解】因为()[]4sin0,42xf x π=∈，即()min 0f x =，()max 4f x =，所以()()124f x f x -≤，当()1f x 与()2f x 一个等于0，另一个为4时，()()12f x f x -取得最大值4；为使满足()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=的正整数n 最小，只需()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈尽可能多的取得最大值4， 而505420202021⨯=<，所以至少需506个()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈，才能使()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，此时1506n -=，即507n =. 故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定()f x 的最大值，得到()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈中有505项取得最大值4时，即可求解.二、填空题11．函数()()lg 1f x x =-的定义域为______.【答案】()1,+∞【分析】根据对数型复合函数定义域可得：010x x ≥⎧⎨->⎩，解不等式即可求解.【详解】由()()lg 1f x x -，则010x x ≥⎧⎨->⎩，解得1x >，所以函数的定义域为()1,+∞. 故答案为：()1,+∞12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则xy 的最大值为______. 【答案】1【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当1,1x y ==取等号， 所以xy 的最大值为1， 故答案为：1【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P⎝⎭，则tanα=______.【答案】1 2【分析】根据正切函数的定义即可求出.【详解】α终边经过点P⎝⎭，1tan2α∴==.故答案为：12.14．若函数()()cos2f x xφ=+的图象关于直线3xπ=对称，则常数ϕ的一个取值为______.【答案】3π（答案不唯一，满足2,3k k Zπϕπ=-∈即可）【分析】令2,x k k Zϕπ+=∈，将3xπ=代入可求出ϕ.【详解】令2x kϕπ+=，k Z∈，解得,22kx k Zπϕ=-∈，()f x∴关于,22kx k Zπϕ=-∈对称，3xπ=是()f x的对称轴，,322kk Zππϕ∴=-∈，解得2,3k k Zπϕπ=-∈，令1k=得3πϕ=.故答案为：3π（答案不唯一，满足2,3k k Zπϕπ=-∈即可）.15．设0a b<<，给出下列四个结论：①a b ab+<；②23a b<；③22a b<；④a a b b<.其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④【分析】利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数2xy =的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可. 【详解】由0a b <<知，0ab >，110a b +<，故110a b a b ab++=<，得a b ab +<，故①正确；取3,2a b =-=-，满足0a b <<，但26,36a b =-=-，不满足23a b <，故②错误； 由指数函数2xy =单调递增可知，0a b <<，则22a b <，故③正确； 由0a b <<知，0a b ->->，0a b >>，根据不等式性质可知，()()0a a b b -⋅>-⋅>，故0a a b b <<，故④正确.故答案为：①③④.三、双空题16．已知函数()221x x mf x +=+.①当0m =时，()f x 的值域为______；②若对于任意,,a b c ∈R ，()f a ，f b ，()f c 的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()0,1；122m ≤≤. 【分析】①当0m =时，先利用分离常数法整理函数， 再利用20x >逐步计算101112x<-<+，即得值域； ②先分析知()f a +f b ()f c >恒成立，再利用定义法讨论函数单调性，并结合单调性求得值域，根据恒成立关系列关于参数的不等关系，解得参数范围即可.【详解】①当0m =时，函数()2211212112x x x x xm f x +===-+++，定义域为R ， 由20x >知，121x +>，则10112x<<+，即11012x -<-<+，故101112x <-<+， ()f x 的值域为()0,1；②依题意，作为某一个三角形的三边长，()f a +f b ()f c >恒成立，函数()221111212112x x x x xm m m f x +++--===++++，定义域为R ， 任取1212,,x x R x x ∈<，则()()121211111212x xm m f x f x --⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()121111212x x m ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭()()()21122211212x x x x m -=-⋅++，由12x x <可知12022x x <<，即21220x x ->，故()()21122201212x x x x ->++， 当10m ->，即1m 时，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，()f x 在R 上单调递减，又10112x<<+，则10112x m m -<<-+，11112x m m -<+<+，即()f x 的值域为()1,m ，故()()1,1a f f b >>，则()()2f a f b +>，又()f c m <，要使()f a +f b ()f c >恒成立，则需2m ≤，故m 的取值范围是12m <≤； 当10m -=，即1m =时，()1f x =，()f a +112f b，()1f c =，显然()f a +f b ()f c >恒成立，故1m =符合题意；当10m -<，即1m <时，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，()f x 在R 上单调递增，又10112x<<+，则11012x m m --<<+，11112x m m -<+<+，即()f x 的值域为(),1m ，故()()2f a f b m +>，()1f c <， 要使()f a +f b ()f c >恒成立，则21m ≥，即12m ≥，故m 的取值范围是112m ≤<； 综上所述：m 的取值范围是122m ≤≤. 故答案为：()0,1；122m ≤≤. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于讨论函数的单调性来确定值域，才能将()f a +f b ()f c >恒成立的问题转化到取值范围上，以突破难点.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}1216xB x =<<. （Ⅰ）求()UA B ⋂；（Ⅱ）设非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，若UD A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{}34x x ≤<；（Ⅱ）(][)3,23,--⋃+∞.【分析】（Ⅰ）分别解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果； （Ⅱ）由（Ⅰ），根据集合D 非空，且UD A ⊆，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）因为{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，{}{}121604x B x x x =<<=<<，所以{1UA x x =≤-或}3x ≥，则(){}34U AB x x ⋂=≤<；（Ⅱ）因为非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，且UD A ⊆，所以233a a a <+⎧⎨≥⎩或23231a a a <+⎧⎨+≤-⎩，解得3a ≥或32a -<≤-，即实数a 的取值范围是(][)3,23,--⋃+∞.18．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为2π；②最大值为2；③()01f =-；④03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）请指出()f x 同时满足的三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求()f x 的解析式； （Ⅲ）求()f x 的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）①②④，见解析；（Ⅱ）()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （Ⅲ）52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（Ⅰ）代入③计算，可判断不成立，故满足的三个条件为①②④；（Ⅱ）由①②④，分别计算,,A ωϕ的值，可得函数()f x 解析式；（Ⅲ）利用整体法列不等式计算单调递增区间.【详解】（Ⅰ）因为()0sin f A ϕ=，0A >，02πϕ<<，所以()0sin 0f A ϕ=>，故③不成立；所以()f x 满足的三个条件为：①②④； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，最小正周期为2π，最大值为2，可得212πωπ==，2A =，所以()()2sin f x x ϕ=+，又因为03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πϕ<<，则2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即03πϕ-+=，得3πϕ=，所以()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）由22,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得522,66k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=（或0x ωϕπ+=），即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对A ，ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.19．已知函数()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值； （Ⅲ）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，所得函数图象与函数cos 2y x =的图象重合，求实数m 的最小值.【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）最小值为12-，最大值为1；（Ⅲ）3π 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入6x π=可求；（Ⅱ）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，在利用正弦函数的性质即可求解； （Ⅲ）求出平移后的解析式，可得22,62m k k Z πππ-=+∈，即可解出m ，得出最小值.【详解】（Ⅰ）()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭cos 2cos 2cossin 2sin33x x x ππ=-++12cos 222x x =- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin 26662f πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则当266x ππ-=-，()f x 取得最小值为12-， 当226x ππ-=，()f x 取得最大值为1； （Ⅲ）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，可得sin 226y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则sin 226y x m π⎛⎫=+-⎪⎝⎭和cos 2y x =的图象重合， 22,62m k k Z πππ∴-=+∈，解得,3m k k Z ππ=+∈，0m >，则当0k =时，m 取得最小值为3π. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求三角函数性质，解题的关键是利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 20．设函数()()2mf x x m x=+∈R ，且()212f =. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）判断()f x 在区间()2,+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （Ⅲ）若关于x 的方程()f x a =恰有三个实数解，写出实数a 的取值范围（不必证明）. 【答案】（1）16；（2）()f x 在区间()2,+∞上为增函数，证明见详解；（2）()12,a ∈+∞【分析】（1）将2x =直接代入即可求解.（2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明. （3）根据()f x 的单调性，即可得出结果. 【详解】（1）由()()2mf x x m x=+∈R ，()212f =， 即4122m+=，解得16m =. （2）()f x 在区间()2,+∞上为增函数，由（1）可知()216f x x x=+， 任取()12,2,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()()()()2122121212121212161616x x f x f x x x x x x x x x x x --=+--=-++ ()()1212121216x x x x x x x x +-=-⋅，由120x x -<，124x x +>，124x x >， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数为增函数.（3）由()216f x x x=+，可知()12,a ∈+∞. 21．“函数()x ϕ的图象关于点(),m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()()22x m x n ϕϕ+-=”.若函数()f x 的图象关于点()1,2对称，且当[]0,1x ∈时，()21f x x ax a =-++.（Ⅰ）求()()02f f +的值； （Ⅱ）设函数()42xg x x=-. （i ）证明函数()g x 的图象关于点()2,4-对称；（ii ）若对任意[]10,2x ∈，总存在22,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）4（Ⅱ）（i ）证明见详解；（ii ）[]1,3-【分析】（Ⅰ）计算()()2224f x f x +-=⨯=，令0x =，即求. （Ⅱ）（i ）计算()()4g x g x +-，由新定义即可证明；（ii ）求出()g x 的值域，设()f x 在[]0,2上的值域为A ，存在与恒成立思想可得A 是()g x 的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出A ，结合集合的包含关系即可求出范围.【详解】（Ⅰ）由题意，若函数()f x 的图象关于点()1,2对称， 则()()2224f x f x +-=⨯=， 令0x =，可得()()024f f +=. （Ⅱ）（i ）由()42xg x x=-， ()()()()4444224x x g x g x x x -+-=+--- ()4164816824222x x x x x x--=-==-=⨯----， 所以函数()g x 的图象关于点()2,4-对称. （ii ）()48422x g x x x ==-+--，函数在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()[]1,4g x ∈-，不妨设()f x 在[]0,2上的值域为A ， 对任意[]10,2x ∈，总存在22,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立， 则[]1,4A ⊆-，当[]0,1x ∈时，()21f x x ax a =-++，且()12f =，当02a≤时，即0a ≤，函数()f x 在[]0,1上单调递增，由对称性可知，()f x 在(]1,2上单调递增， ()f x ∴在[]0,2上单调递增，由()01f a =+，()()024f f +=，所以()23f a =-，[]1,3A a a ∴=+-，由[]1,4A ⊆-，可得11430a a a +≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，解得10a -≤≤，当012a<<时，即02a <<， 函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 由对称性可知()f x 在1,22a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在2,22a ⎛⎤-⎥⎝⎦上单调递减， ()f x ∴在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,222aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,22a⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，结合对称性可得()()2,0A f f =⎡⎤⎣⎦或,222a a A f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，02a <<，()()011,3f a ∴=+∈，又()()024f f +=，()()231,3f a ∴=-∈，[]211,224a a f a ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，又2422a a f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22,32a f⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，∴当02a <<，[]1,4A ⊆-成立；当12a≥，即2a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减， 所以()f x 在[]1,2上单调递减，由()01f a =+，()()024f f +=，所以()23f a =-，[]3,1A a a ∴=-+，由[]1,4A ⊆-，可得31412a a a -≥-⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩，解得23a ≤≤，综上所述，实数a 的取值范围为[]1,3-.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，考查了二次函数的最值以及函数对称性，解题的关键是将问题转化为两函数值域的包含关系，考查了任意性、存在性问题，同时考查了分类讨论的思想以及转化与化归的思想.。