第2章 晶体结构讲解
cljc 第二章 晶体
材料科学基础
材料科学基础
晶面族{h k l}中的晶面数：
4 ＝ 24组，如{1 2 3} a）h k l三个数不等，且都≠0，则此晶面族中有 3！
b）h k l有两个数字相等 且都≠0，则有，
3 ！ 4 ＝ 12 2 ！
如{1 1 2}
3! 4 4组，如{111} c) h k l三个数相等，则有， 3! 3! 4 12组，如{1 2 0} d）h k l 有一个为0，应除以2，则有 2
晶胞
材料科学基础 Z
c
b Y
a
X
晶格常数 a ， b， c
材料科学基础
第二讲
材料科学基础
描述晶胞的形状和大小
建立坐标系，晶格常数可由三个棱边的长度a、 b、c、d（点阵常数）及其夹角α、β、γ这六个参数 完全表达，只要任选一个阵点为原点，将a、b、c 三个点阵矢量作平移，就可得到整个点阵。 点阵 中任一阵点的位置均可用下列矢量表示：
材料科学基础
a, b, c棱边长（点阵常数lattice 描述晶胞 , , 晶轴间的夹角
parameter）
或用点阵矢量a, b, c
阵点 ruvw ua vb wc
体积V＝a (b×c)
简单晶胞（初级晶胞）：只有在平行六面体每个顶角上有一阵点 复杂晶胞： 除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点
2、晶体的空间点阵（Space lattice）
1) 空间点阵的概念
材料科学基础
将晶体中原子或原子团抽象为纯几何点（阵点 lattice point）， 即可得到一个由无数几何点在三维空间排列成规则的阵列 —空间点阵（space lattice） 特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环境 (surrounding)
晶体的常识(教案)
晶体的常识(全套教案)第一章：引言教学目标：1. 让学生了解晶体的基本概念和特点。
2. 培养学生对晶体研究的兴趣。
教学内容：1. 晶体的定义：晶体是由原子、分子或离子按照一定的规律排列形成的固体物质。
教学活动：1. 引入话题：通过展示晶体的图片，引导学生思考为什么晶体具有规则的形状。
2. 讲解晶体定义和特点：通过PPT或板书，详细讲解晶体的定义和特点。
3. 讨论：让学生举例说明生活中常见的晶体，并分析其特点。
教学评价：1. 检查学生对晶体定义和特点的理解程度。
2. 观察学生在讨论中的参与情况和思考能力。
第二章：晶体的结构教学目标：1. 让学生了解晶体结构的基本类型。
2. 培养学生对晶体结构的理解和分析能力。
教学内容：1. 晶体结构的基本类型：立方晶系、六方晶系、四方晶系、正交晶系和单斜晶系。
2. 晶体结构的表示方法：晶胞、晶格和空间群。
教学活动：1. 讲解晶体结构的基本类型：通过PPT或板书，讲解各种晶体结构的特点和实例。
2. 展示晶体结构的图片和模型：让学生直观地了解晶体结构的形状和结构特点。
3. 练习：让学生分析给出的晶体结构图，判断其属于哪种基本类型。
教学评价：1. 检查学生对晶体结构的基本类型的理解和记忆。
2. 观察学生在练习中的操作情况和分析能力。
第三章：晶体的生长教学目标：1. 让学生了解晶体生长的原理和过程。
2. 培养学生对晶体生长的理解和观察能力。
教学内容：1. 晶体生长的原理：溶液蒸发、熔体冷却、离子注入等。
2. 晶体生长过程：成核、生长和成熟阶段。
教学活动：1. 讲解晶体生长的原理：通过PPT或板书，讲解晶体生长的原理和过程。
2. 演示晶体生长实验：进行晶体生长实验，让学生观察和记录晶体生长的过程。
3. 讨论：让学生分析晶体生长的速度和形状受到哪些因素的影响。
教学评价：1. 检查学生对晶体生长的原理和过程的理解程度。
2. 观察学生在实验中的观察和记录能力。
第四章：晶体的性质教学目标：1. 让学生了解晶体的一些基本性质。
第二章 晶体结构ppt课件
空间点阵——每个阵点处原子都具有相同的环境，其种类有限 （仅有14种）。
亦即是说，每种空间点阵都可以形成无限多的晶体结构。
空间点阵概括地表明了原子、离子、原子集团、分 子等粒子在晶体结构空间中作周期分别的最基本规律。 空间点阵是把晶体中的质点抽象为阵点，用来描述和分 析晶体结构的周期性与对称性，要求各个阵点的周围环 境相同，它只能有14种类型。 晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子） 的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此， 实际存在的晶体结构是无限的。 无论多么复杂的晶体结构都只有一个空间点阵。
二、结合力与结合能（续）
1-3 双原子结合力、结合能模型
双原子互作用力模型
双原子互作用能模型
三、原子半径（Ra)
1.计算公式 当R=R0时，两个正离子间的 中心距，称为原子直径（2Ra),亦 即R0=2Ra；
2.影响因素 ① 致密度越高，则Ra越小；
②键合力越高，则Ra越小；
③不同方向上Ra也可能不同；
四、晶体性
1.固体的分类 晶体——原子呈周期性排列； 非晶体——原子呈不规则排列； 2. 晶体的分类 单晶体——整个物质由一个晶粒组成，其中原子排列位向相同， 具有各向异性。 多晶体——有许多位向不同的小单晶体组成，具有各向同性（单 个经历的各向异性被“平均化”）。 3.晶体和非晶体相互关系 晶体和非晶体在一定的条件下可以相互转化。例如，在极大的冷 速下，可以得到非晶态金属。其原因是液态金属在冷却时来不及 转变成晶体就凝固了，非晶体实质上是一种过冷的液体结构（短 程有序）。
Material Material
上海交大材基-第二章晶体结构--复习提纲讲解
第2章晶体结构提纲：2.1 晶体学基础2.2 金属的晶体结构2.3 合金相结构2.4 离子晶体结构2.5 共价晶体结构2.6 聚合物的晶态结构2.7 非晶态结构学习要求：掌握晶体学基础及典型晶体的晶体结构，了解复杂晶体(包括合金相结构、离子晶体结构，共价晶体的结构，聚合物的晶态结构特点)、准晶态结构、液晶结构和非晶态结构。
1．晶体学基础（包括空间点阵概念、分类以及它与晶体结构的关系；晶胞的划分，晶向指数、晶面指数、六方晶系指数、晶带和晶带定律、晶面间距的确定、极射投影）；2．三种典型金属晶体结构（晶胞中的原子数、点阵常数与原子半径、配位数与致密度、堆垛方式、间隙类型与大小）；3．合金相结构（固溶体、中间相的概念、分类与特征）；4．离子晶体的结构规则及典型晶体结构（AB、AB2、硅酸盐）；5、共价晶的结构规则及典型晶体结构体（金刚石）6、聚合物的晶态结构、准晶态结构、液晶结构和非晶态结构。
重点内容1.选取晶胞的原则；Ⅰ) 选取的平行六面体应与宏观晶体具有同样的对称性；Ⅱ）平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；Ⅲ）当平行六面体的棱角存在直角时，直角的数目应最多；Ⅳ）在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
2.7个晶系，14种布拉菲空间点阵的特征；（1）简单三斜（2）简单单斜底心单斜（3）简单正交底心正交体心正交面心正交（4）简单六方（5）简单四方体心四方（6）简单菱方（7）简单立方体心立方面心立方3.晶向指数与晶面指数的标注，包括六方体系，重要晶向和晶面需要记忆。
4.晶向指数，晶面指数，晶向族，晶面族，晶带轴，共带面，晶面间距5.8种,即1，2，3，4，6，i，m，。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，C i，C s，S4。
微观对称元素6.极射投影与Wulff网；标hkl直角坐系d4⎧⎨⎩微观11213215243滑动面 a，b，c，n，d螺旋轴 2；3，3；4，4，4；6，6，6，6，67.三种典型金属晶体结构的晶体学特点；在金属晶体结构中，最常见的是面心立方(fcc)、体心立方（bcc）和密排六方(hcp)三种典型结构，其中fcc和hcp系密排结构，具有最高的致密度和配位数。
硅酸盐晶体结构讲解
结构与性质的关系：
结构中每个O2-离子同时和1个[SiO4]和3个[MgO6] 相连接，因此，O2-的电价是饱和的，晶体结构稳定。 由于Mg-O键和Si-O键都比较强，所以，镁橄榄 石表现出较高的硬度，熔点达到1890℃，是镁质耐火 材料的主要矿物。 由于结构中各个方向上键力分布比较均匀，所以， 橄榄石结构没有明显的解理，破碎后呈现粒状。
结构和性质上特征等
2
一、硅酸盐晶体的组成表征、结构特点及分类
在地壳中形成矿物时，由于成矿的环境不可能十分 纯净，矿物组成中常含有其它元素，加之硅酸盐晶体中的 正负离子都可以被其它离子部分或全部地取代，这就使得 硅酸盐晶体的化学组成甚为复杂。因此，在表征硅酸盐晶 体的化学式时，通常有两种方法：一种是所谓的氧化物方 法，另一种是无机络盐表示法。
14
三、组群状结构
组群状结构是2个、3个、4个或6个[SiO4]四面体通过 共用氧相连接形成单独的硅氧络阴离子团，如图1-33所示。 硅氧络阴离子团之间再通过其它金属离子连接起来，所以， 组群状结构也称为孤立的有限硅氧四面体群。
有限四面体群中连接两个Si4+离子的氧称为桥氧，由 于这种氧的电价已经饱和，一般不再与其它正离子再配位， 故桥氧亦称为非活性氧。相对地只有一侧与Si4+离子相连 接的氧称为非桥氧或活性氧。
第二章 晶体结构(Structure of Crystal)
§２.1 结晶学基础知识
§２.2 晶体中质点的堆积 §２.3 单质晶体结构 §２.4 决定离子晶体结构的基本因素 §２.5 无机化合物结构 §２.6 硅酸盐晶体结构
1
§2.6 硅酸盐晶体结构
铝: 7.45 wt% 硅: 26.0wt% 氧: 49.130wt % 地壳中的优势矿物为硅酸盐和铝硅酸盐 基本结构单元的构造 基本结构单元之间的连接
高中化学知识点详解晶体结构
高中化学知识点详解晶体结构晶体结构是高中化学中重要的知识点之一，它涉及到晶体的组成、排列和结构等方面。
本文将详细解析晶体结构的相关概念和特征。
晶体是由一定数量的原子、离子或分子按照一定的规律结合在一起形成的具有规则外观的固体物质。
晶体的结构对其性质和应用具有重要影响。
晶体结构可以通过实验方法和理论模型来研究和解释。
1. 晶体的基本组成晶体的基本组成单位分为晶体胞和晶胞内的基本组织。
晶体胞是晶格的最小重复单位，可以通过平移操作来无限重复整个晶体结构。
晶胞内的基本组织是晶体内的原子、离子或分子的排列方式。
2. 晶体的晶格类型晶体的晶格类型可以分为立方晶系、四方晶系、单斜晶系、正交晶系、三斜晶系、五类三方晶系和六斜晶系。
不同的晶格类型对应着晶胞的不同形状，给晶体带来了不同的结构和性质。
3. 晶体的点阵晶体的点阵是晶格具有的一个特征，它描述了晶体内的原子、离子或分子的排列方式。
点阵可以分为简单点阵、面心立方点阵和密堆积点阵。
不同的点阵结构给晶体带来了不同的物理和化学性质。
4. 晶体的组成晶体的组成可以分为离子晶体、共价晶体、金属晶体和分子晶体四种类型。
离子晶体由阳离子和阴离子按照一定的配位比例组成，共价晶体由原子通过共用电子而形成，金属晶体则是由金属原子通过金属键连接在一起，而分子晶体则是由分子通过范德华力相互作用形成。
5. 晶体的结构特征晶体的结构特征包括晶胞参数、平均密度、元素比例和晶胞中原子、离子或分子的具体排列方式等。
通过实验和理论模型的分析，可以确定晶体的结构特征，并进一步研究其性质和应用。
总结起来，晶体结构是由晶体胞和胞内基本组织构成的，晶格类型和点阵类型直接影响晶体的结构和性质。
晶体的组成类型包括离子晶体、共价晶体、金属晶体和分子晶体。
通过对晶体的结构特征的研究和分析，可以进一步揭示其性质和应用。
通过本文的详解，我们对高中化学中的晶体结构有了更深入的了解，希望对学习和掌握该知识点有所帮助。
晶体结构PPT教学课件
(b)
a2 a1
a4 a3
a6
a5
固体物理学原胞
a8 a7
维格纳--塞茨单胞
(3)三维
立方晶系 ab bc ca a b c
取 i , j ,k为坐标轴的单位矢量,
设晶格常量(布拉维原胞棱边的长度)为a,
即立方体边长为a, a ai ,b a j,c ak
布拉维原胞的体积: V a3
布拉维晶格(简单格)
第二节 晶体结构
本节主要内容: 1.2.1 晶体结构的周期性 1.2.2 原胞 1.2.3 密堆积、配位数和致密度
§1.2 晶体结构
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a)
(b)
(c)
1.2.1 晶体结构的周期性
一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重
垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积 (或面积)即为W--S原胞。
特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1 个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
2.几种晶格的实例 (1)一维原子链 一维单原子链
a
x na x 0 x a
一维双原子链
b a
(2)二维
(a)
(a)简立方
c b a
a1 ai a2 a j a3 ak
每个布拉维原胞包含1个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a3
(b)面心立方
ak
a1
a2 a j a3
ai
a
a1 j k 2
a 2 a i k 2 a a3 i j
2
平均每个布拉维原胞包含4个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 4
《晶体结构和性质》课件
2 光学特性
晶体可以表现出不同的光学效应，如双折射 和干涉。
3 热学性质
晶体对温度变化的响应，包括热胀冷缩和热 导率。
4 电学特性
晶体具有不同的电导性、电介质性和压电体类型 离子晶体 共价晶体 金属晶体 分子晶体
原子结构 正负离子排列 共用、局部或全局共轭键 阳离子和电子云共享 分子间的弱范德华力
键型 离子键 共价键 金属键 范德华键
晶体的力学性质和热学性质
1
力学性质
晶体的强度、脆性和弹性。
热学性质
2
晶体的热膨胀、热导率和热扩散。
3
电学性质
晶体的电导性和介电性。
金属晶体
由阳离子的原子核与电子云共享而成，具有良 好的导电性和延展性。例如：铁。
共价晶体
由共用、局部或全局共轭键连接而成，具有高 硬度和高熔点。例如：金刚石。
分子晶体
由分子间的弱范德华力相吸结合而成，具有低 熔点和溶解性。例如：葡萄糖。
常见晶体结构的特点和应用领域
钻石晶体结构
金属晶体结构
由纯碳形成的立方晶系结构，具有高硬度和透明度， 主要用于珠宝制作。
由金属元素形成的晶体结构，具有良好的导电性和 延展性，广泛应用于制造业。
离子晶体结构
由正负离子按比例排列形成的晶体结构，具有高熔 点和电导性，用于制造陶瓷和玻璃。
分子晶体结构
由分子间的弱范德华力结合而成的晶体结构，用于 食品和制药行业。
晶体的性质和物理特征
1 硬度
晶体的强度特征，取决于原子间键的强度和 排列方式。
《晶体结构和性质》PPT 课件
晶体结构和性质简介
晶体的定义和特点
• 晶体是由高度有序的原子、离子、或分子组成的固体。 • 具有规则的几何形状和平整的平面。 • 晶体呈现独特的物理与化学性质。 • 晶体结构中的最小重复单元称为晶胞。
1-2第二章晶体结构之一：周期性
第二章晶体结构一、教学要求（1）内容提要：物质通常有三种聚集状态：气态、液态和固态。
而按照原子（或分子）排列的规律性又可将固态物质分为两大类，晶体和非晶体。
晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列；而非晶体的原子则是无规则排列的。
原子排列在决定固态材料的组织和性能中起着极重要的作用。
金属、陶瓷和高分子的一系列特性都和其原子的排列密切相关。
一种物质是否以晶体或以非晶体形式出现，还需视外部环境条件和加工制备方法而定，晶态与非晶态往往是可以互相转化的。
本章主要内容包括：：晶体学基础；金属的晶体结构；合金相结构；离子晶体结构；共价晶体结构；聚合物的晶态结构；非晶态结构。
（2）基本要求掌握晶体的空间点阵、晶胞、晶向和晶面指数、晶体的对称性等结晶学基础知识，了解32种点群和230种空间群等；掌握三种典型的金属晶体结构、合金相结构、离子晶体结构和硅酸盐晶体结构，了解共价晶体结构和分子与高分子晶体结构。
（3）重点难点重点：结晶学基本原理及典型的金属晶体、合金相、离子晶体结构。
难点：空间点阵、非化学计量化合物和鲍林规则。
（4）主讲内容①晶体学基础；②金属的晶体结构；③合金相结构；④离子晶体结构；⑤共价晶体结构；⑥聚合物晶体结构。
二、具体章节及学时分配（总计22.0h）：2009-3-2,2009-9-1，2011.03.27引言——晶体的结构特征与基本性质（1.0h）2.1晶体结构的周期性（4.0-6.0h）2.2.1点阵与平移群一、点阵结构与点阵（1）一维点阵结构与直线点阵；（2）二维点阵结构与平面点阵（3）三维点阵结构与空间点阵二、点阵的条件与性质（1）定义；（2）条件；（3）点阵与点阵结构的对应关系。
2.2.2点阵单位与点阵参量一、点阵单位与点阵常数（1）直线点阵单位与线段参数（2）平面点阵单位与网格参数（3）空间点阵单位与晶胞参数二、其他晶体结构参数（1）（原子）阵点坐标与原子间距；（2）晶向（直线点阵）指数（3）晶面（平面点阵）指数；（4）晶面间距与晶面夹角（5）晶带与晶带定律三、极射投影*2.2.3 倒易点阵与晶体衍射*2.2晶体结构的对称性（4.0h）2.3.1对称性的基本概念——对称及其对称元素与对称操作2.3.2宏观对称性—晶体外形（有限）表现的对称性—点对称性一、点对称操作与宏观对称元素；二、点群及其表示方法——32个点群（晶类）；三、晶系与空间点阵型式——7种晶系与14种布拉菲点阵2.3.3微观称对性—晶格基元（无限）排列的对称性—体对称性一、空间对称操作与微观对称元素；二、空间群及其表示方法；三、等效点系——2.3.4点群与空间群的关系2.3.4 晶体结构符号2.3典型晶体结构分析（8.0h）2.3.1金属晶体结构2.3.2共价晶体结构2.3.3离子晶体结构2.3.4分子晶体结构2.3.5高分子(晶体)结构2.4 合金相结构引言——晶体的结构特征与基本性质晶体与非晶体的区别，主要在于组成物质的各种粒子（原子、离子或分子及其集团）具有在空间按一定周期性排列的规律，即所谓的“长程有序”（周期平移有序）。
第二组晶体结构解析PPT精选课件
1.2 相角问题 晶体衍射实验所得到的直接结果只有晶胞参数、
空间群和衍射强度(intensities)数据(I0)
Io通过一系列还原与校正，可转换成结构因子的 绝对值，即结构振幅|Fo| (structure factor amplitude)
因此，晶体数据测量后，已知的数据是：晶胞参
数、衍射指标、 结构振幅|Fo| 、可能的空间群、原子 的种类和数目等
寻找并计算出各个电子密度的最大值点，就可以得到晶胞中的原子坐标。
这种方法相当于把空间的电子密度数x据yz画成等高线。
信息。因此差值傅里叶合成是从部分已知结构 设G(b)和f(x)是两个任意函数如方程式a成立， 且积分遍及整个空间， 则G(b)是f(x)的傅里叶变换，也可以表示为加和的形式。
ρxyz = 1/VΣFhkl·exp[-i2π(hx + ky + lz)
未知的数据是衍射点的相角和原子坐标，这就是
解析结构所需要解决的问题。
晶胞中电子密度与结构因子的关系：
ρxyz = 1/VΣFhkl·exp[-i2π(hx + ky + lz) = 1/VΣFhkl·exp(-iαhkl)
该式表明对每个衍射点（hkl）的结构因子加和， 即Fourier合成（也叫Fourier转换，简称FT），就 可以得到晶胞中任意坐标的电子密度 。
傅里叶变化的定义和有关数学原理推导出二者 具有以下关系
Puvw=∫v ρxyz ρx-u ρy-v ρz-wdv
可以看出， Puvw是一个实函数，其数值可以直接从衍射强 度数据计算得到
帕特森方法的特点
故帕特森法难以得到轻原子的坐标信息，通常只能用于解析含有重原子的结构。
晶最体初结 获构得解的析结过构程模中型，可经能常在采一用定的Pa误tter差so，n和不直过接这法些解信决息相包角含问了题所（需即相获角得的大信致息准确的相角数据）
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第2章晶体结构为了便于对材料进行研究，常常将材料进行分类。
如果按材料的状态进行分类，可以将材料分成晶态材料，非晶材料及准晶材料。
因所有的晶态材料有其共同的规律，近代晶体学知识就是为研究这些共同规律而必备的基础。
同时为了研究非晶材料与准晶材料及准晶材料也必须以晶体学理论做为基础。
在一般的教材中对晶体学的基础知识已经有了不同深度的阐述，作为辅导教材，对教科书上已经有较多阐述的内容，本章中就简要的进行说明，而重点在于用动画形式，将在教材中难以用文字表达清楚的内容进行较多的阐述，加深对教材内容的理解记忆2.1晶体学基础2.1.1 空间点阵和晶胞具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元，称为晶胞。
将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵。
为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性，可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶体并简化，将其中每个质点抽象为规则排列于空间的几何点，称之为阵点。
这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列的阵列称为空间点阵，简称点阵。
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞<晶胞、晶轴和点阵矢量>根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属于7种类型，即7个晶系。
按照"每个阵点的周围环境相同"的要求，布拉菲（Bravais A．）用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平面六面体只有14种，这14种空间点阵也称布拉菲点阵。
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象。
1 空间点阵最初人们认为凡是具有规则外形的天然矿物均为晶体。
但现在人们认识到晶体的规则的几何外形是内部结构规律的外在反映. 近代的科学研究表明了下面的两个基本事实:1）如果说某一种材料是晶体，其基本的特征是：组成该材料的内部的微观粒子(原子,分子,离子等)在三微的空间做有规则的周期性的排列。
2）这种排列的规律决定了材料的性能。
根据这样的事实我们可以抽象出个的重要概念即空间点阵。
为了清楚地表明原子在空间排列的规律性，常常将构成晶体的实际质点抽象为纯粹的几何点，称之为点阵或节点。
2 晶胞1 晶胞定义晶胞：单位格子圈出的晶体结构.即将单位格子中的格点换成基元该格子就成为晶胞.图2－22 晶格常数晶胞的边长度一般称为晶格常数或点阵常数，在X,Y,Z轴上分别以表示。
3 棱间夹角晶胞间夹角又称轴间夹角，通常用Y-Z轴，z-x轴和x-y轴之间的夹角分别用表示.2.1.2 晶向指数和晶面指数为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
1.晶向指数晶向指数的确定步骤如下：1)以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x, y , z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。
2)过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。
3)在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3个坐标值。
4)将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，[u v w]即为待定晶向的晶向指数。
2. 晶面指数晶面指数标定步骤如下：1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；3)取各截距的倒数；4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为( h k l )。
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。
另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。
3.六方晶系指数六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述方法标定，这时取a1，a2，c为晶轴，而a1轴与a2轴的夹角为120度，c轴与a1，a2轴相垂直，如图2.13所示。
但这种方法标定的晶面指数和晶向指数，不能完全显示六方晶系的对称性，为了更好地表达其对称性,根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样，其晶面指数就以(h k i l)四个指数来表示。
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。
前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i＝－ ( h + k ) 。
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述（见图2.14），晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里u + v = - t。
4.晶带所有平行或相交于同一直线的这些晶面构成一个晶轴，此直线称为晶带轴。
属此晶带的晶面称为晶带面。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系： hu + kv + lw = 0凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带，故此关系式也称作晶带定律。
5.晶面间距。
通常，低指数的面间距较大，而高指数的晶面间距则较小。
由晶面指数还可求出面间距dhkl2.1.3 晶体的对称性1.对称元素晶体的对称元素可分为宏观和微观两类。
宏观对称元素反映出晶体外形和其宏观性质的对称性。
而微观对称元素与宏观对称元素配合运用就能反映出晶体中原子排列的对称性。
a.宏观对称元素；1)回转对称轴当晶体绕某一轴回转而能完全复原时，此轴即为回转对称轴。
注意该轴线定要通过晶格单元的几何中心，且位于该几何中心与角顶或棱边的中心或面心的连线上。
在回转一周的过程中，晶体能复原n次，就称为n 次对称轴。
2) 对称面晶体通过某一平面作镜像反映而能复原，则该平面称为对称面或镜面。
3) 对称中心若晶体中所有的点在经过某一点反演后能复原，则该点就称为对称中心，用符号 i 表示。
4) 回转-反演轴若晶体绕某一轴回转一定角度,再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此轴称为回转－反演轴。
b.微观对称元素；(1)滑动面。
一个对称面加上沿着此面的平移所组成，晶体结构可借此面的反映并沿此面平移一段距离而复原。
(2)螺旋轴。
回转轴和平行于轴的平移所构成。
2.32种点群点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。
利用组合定理可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
2.1.4极射投影1.极射投影原理2.WulFF)网3.标准投影以晶体的某个晶面平行于投影面上作出全部主要晶面的极射投影图称为标准投影。
一般选择一些重要的低指数的晶面作为投影面，这样得到的图形能反映晶体的对称性。
立方晶系常用的投影面是 ( 001 ),( 110 )和( 111 )；六方晶系则为( 0001 )。
立方晶系的( 001 )标准投影如上图所示2.2金属的晶体结构2.2.1 三种典型的金属晶体结构面心立方结构A1或 fcc、体心立方结构A2或 bcc和密排六方结构A3或 hcp三种。
1.晶胞中的原子数2.点阵常数与原子半径3.配位数和致密度体心立方晶格1).晶胞中的原子数体心立方晶体每个角上的原子只有1/8个属于这个晶胞,晶胞中心原子完全属于这个晶胞,所以体心立方晶胞中的原子数为8*1/8+1=2.2).原子半径原子沿立方体对角线紧密接触.设晶格常数为,则立方体对角线长度为,等于4个原子半径,所以体心立方晶胞中的原子半径.3).配位数所谓配位数是指晶体结构中与任一个原子最近的原子得数目.体心立方晶格的配位数位8.4).致密度体心立方晶格的致密度为:5).原子密排面和密排排方向密排面 {110}密排方向: <111>6).原子堆垛方式原子面的空隙是有四个原子所构成的,原子排列的紧密程度较差,通常称为次密排面.原子堆垛方式为ababab.7)晶体中的间隙体心立方晶格有两种间隙,一种是八面体间隙,另一种是四面体间隙,如右图所示:1>八面体间隙间隙原子半径的计算:体心立方晶格四面体间隙的棱边长度不全相等,为不对称的扁八面体间隙.间隙半径为顶点原子之间隙中心的距离减去原子半径,原子中心到间隙中心的距离皆为,所以间隙半径为.2>四面体间隙间隙原子半径的计算:体心立方晶格四面体间隙的棱边长度不全相等,为不对称的间隙.间隙半径为顶点原子之间隙中心的距离减去原子半径,原子中心到间隙中心的距离皆为,所以间隙半径为. 面心立方晶格1).晶胞中的原子数面心立方晶体每个角上的原子只有1/8个属于这个晶胞,六个面中心的原子只有1/2属于这个晶胞,所以面心立方晶胞中的原子数为8*1/8+1/2x6=4.2).原子半径在面心立方晶胞中,只有沿着晶胞六个面的对角线方向,原子是互相接触的,面对角线的长度为.它与4个原子半径的长度相等,所以面心立方晶胞的原子半径.3).配位数所谓配位数是指晶体结构中与任一个原子最近的原子得数目.面心立方晶格的配位数位12.4).致密度面心立方晶格的致密度为:5).原子密排面和密排排方向密排面 {111}密排方向: <110>6).原子堆垛方式原子面的空隙是有三个原子所构成的,原子排列较为紧密,原子堆垛方式为abcabc.7)晶体中的间隙面心立方晶格有两种间隙,一种是八面体间隙,另一种是四面体间隙,如右图所示:1>八面体间隙间隙原子半径的计算:面心立方晶格八面体间隙属于正八面体间隙.间隙半径为顶点原子之间隙中心的距离减去原子半径,原子中心到间隙中心的距离皆为,原子半径为所以间隙半径为: .2>四面体间隙间隙原子半径的计算:面心立方晶格四面体间隙属于正四面体间隙,间隙半径为顶点原子之间隙中心的距离减去原子半径,原子中心到间隙中心的距离皆为,所以间隙半径为: .密排六方晶格1).晶胞中的原子数在密排六方晶格中,六方柱每个角上的原子均属于六个晶胞所共有,上,下底面中心的原子同时为两个晶胞所共有,再加上晶胞内的三个原子,故晶胞中的原子数为1/6x12+1/2x2+3=6.2).原子半径在密排立方晶胞中,从上下地面可以看出,两个原子半径即等于晶格常数,所以原子半径,所以原子半径.3).配位数所谓配位数是指晶体结构中与任一个原子最近的原子得数目.密排六方晶格的配位数位12.4).致密度密排六方晶格的致密度为:5).原子密排面和密排排方向密排面:{0001}密排方向:[1120]2.2.2 晶体的原子堆垛方式和间隙原子密排面在空间一层一层平行的堆垛起来就分别构成以上三种晶体结构。
面心立方和密排六方结构的致密度均为0.74，是纯金属中最密集的结构。
金属晶体存在许多间隙，这种间隙对金属的性能、合金相结构和扩散、相变等都有重要影响。
体心立方点阵四面体间隙面心立方点阵四面体间隙密排六方点阵四面体间隙体心立方点阵八面体间隙面心立方点阵八面体间隙密排六方点阵八面体间隙6).原子堆垛方式原子面的空隙是有三个原子所构成的,原子排列较为紧密,原子堆垛方式为ababab.7)晶体中的间隙密排六方晶格的八面体间隙和四面面体间隙的形状与面心立方晶格的完全相似,当原子半径相等时,间隙大小完全相等,只有间隙中心在晶胞中的位置不同,如图所示.有关间隙半径的计算请参阅面心立方晶格章节.1>八面体间隙间隙原子半径的计算:体心立方晶格四面体间隙的棱边长度不全相等,为不对称的扁八面体间隙.间隙半径为顶点原子之间隙中心的距离减去原子半径,原子中心到间隙中心的距离皆为,所以间隙半径为.2>四面体间隙间隙原子半径的计算:体心立方晶格四面体间隙的棱边长度不全相等,为不对称的间隙.间隙半径为顶点原子之间隙中心的距离减去原子半径,原子中心到间隙中心的距离皆为,所以间隙半径为小结:晶体类型体心立方面心立方密排六方晶胞中的原子数 2 5 6原子半径配位数8 12 12最密排面和最密排方向原子堆垛方式ABABAB... ABCABC... ABABAB...四面体间隙半径/原子半径0.29 0.225 0.225八面体间隙半径/原子半径0.15 0.414 0.4142.2.3 多晶型性有些固态金属在不同的温度和压力下具有不同的晶体结构即具有多晶型性，转变的产物称为同素异构体。