数学材料力学能量法新

P1
A
B
沿P2作用方向产生的位
移为d21,而P2作用时P1作
用点沿P1作用方向产生
的位移为d12 ,则
P1 d12= P2 d21
若P1 = P2,则
P2
d12= d21
P1 A
B
此即位移互等定理
也即:载荷P作用于A点时在B点产生的位移 等于载荷P作用于B点时在A点产生的位移
例
• 装有尾部顶针的车削工件可 简化为静不定梁。利用互等
dx1
b
0
Pa l x2 2E I
2
dx2
P2b2 2EI l 2
a3 3
P2a2 2EI l 2
b3 3
P2a2b2 6EI l
W
1 2
P vC
由U W，得：
vC
Pa 2b2 3EI l
例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能， 并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。
解： M() PR sin
U T 2 (x) dx l 2G I p (x)
三、弯曲
纯弯曲：U
W
1 2
m
1 2
m
ml EI
m2l M 2l 2EI 2EI
横力弯曲：U
M 2 (x) 2E I(x)
dx
l
四: 作用在弹性体上力的功的计算 (在线弹性范围内) 使用广义力、广义位移的概念，则
一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功：W 1 Pd 2
随意叠加。 二.克拉贝依隆原理
若弹性体上作用着n 个广义力Pi，则Pi对应的广义位移di
不仅与Pi有关，与n个力可能都有关系，因此算功困难。 而由力的独立作用原理，多个外力的总功与加载次序无
关，所以可以设想一个便于计算变形能的加载次序“比例 加
载”，即：各力从零开始同时按比例增加，最后同时到达 终
各力按比例b增长,则当b有一增量db时
U T 2 () Rd M 2 () Rd
l 2G I p
l 2EI
3 P2 R3 P2 R3
4GI p
4E I
1 W 2 P AV
由U W，得：
3 PR3 PR3
AV 2GI p 2EI
R
§13.3 变形能的普遍表达式
一.一般情况下变形能不符合叠加原理 变形能是广义力(或广义位移)的二次函数，所以不能
定理求解
解
• 第一组力P、RB • 第二组力X=1
在X=1作用下，P及RB作用点的位移 为
（1）线弹性体；非线性弹性体
（2）静定问题；超静定问题 （3）是有限单元法的重要基础
三.功能原理在弹性变形中的应用 在缓慢加载(静载)的条件下，外力所做的功W全部转
化为弹性体的变形能U，即：W = U； 在弹性范围内，外力逐渐解除时，变形能又全部转变
为功。 四.作用在弹性体上的功的计算 (在线弹性范围内)
1.一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功： W 1 Pd 2
这里 P是广义力， d 是对应的广义位移
(1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移；
(2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角；
(3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移；
(4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
第十三章 能量方法
大纲要求
一.掌握弹性体的外力功和杆件基本变形能的计算方法。 二.了解两个互等定理。 三.能应用功能原理计算位移。 四. 熟练运用卡氏第二定理计算位移。 五.熟练运用单位载荷法与图乘法计算位移。
§13－1 概 述
一.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形
固体的位移、变形和内力等的方法。 二.能量法的应用范围：
§13-2 杆件应变能计算
一、轴向拉伸和压缩
U
W
1 2
P l
1 2
P
Pl EA
P
P2l N 2l
2EA 2EA
P
U N 2 (x) dx l 2EA(x)
l l
二、扭转
m
m
U
W
1 m
2
1 ml m
2 GIp
m2l 2G I p
T 2l 2G I p
当T=T(x)或截面变化
A=A(x)时，可取微段：
外力所作的总功为 根据功能原理，应有
对组合变形而言，应变能为 其中
积分可得总变形能
§13.4 互等定理 —— 力在其它力引起的位移上所 做的功之间的关系
一.功的互等定理
1.力 Pi 在力 Pj 的作用点引起的位移是 dji 。
2.功的互等定理：
Pidij = Pjdji
推广：第一组力在第二组力引起的位移上所做的功等于 第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。
后作用Pi组力,该组力所作的功为 作用Pi组力时, Qi作用点产生新的位
移，所作的功为
总变形能为
显然，U1=U2 ，得
功的互等定理:
第一组力在第二组力施加时所产生的位 移上所作的功等于第二组力在第一组力 施加时所产生的位移上所作的功
位移互等定理 P2
当仅作用两个力P1和P2 时,若P1作用时P2作用点
这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功 能原理求自由端B的挠度。
U M 2 () Rd 2 ( PR sin )2 Rd P2 R3
Baidu Nhomakorabea
l 2EI
0 2EI
8EI
W
1 2
P BV
R
由U W，得：
PR3
BV 4EI
例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端 的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的 垂直位移。已知GIp、EI为常量。
解：T() PR(1 cos) , M() PR sin
二.位移互等定理
若 Pi = Pj (仅指数值相等) ，则由功的互等定理可得：
dij = dji (仅数值相等)
两组力Pi,Qi
单独作用Pi组力,该组力所作的功为 后作用Qi组力,该组力所作的功为 作用Qi组力时, Pi作用点产生新的位
移，所作的功为
总变形能为
改变加力次序，先作用Qi组力,该组力 所作的功为
解：
M(x) P x
U M 2 (x) dx l ( Px)2 dx P2l 3
l 2EI
0 2EI
6EI
W
1 2
P
vB
由 U W，得
vB
Pl 3 3EI
例：试求图示梁的变形能，并利用功能原 理求C截面的挠度。
解：
U
l
M 2 (x) dx
2E I
a
Pb l
x1
2
0 2EI