第7章 相关与回归分析。

第七章相关与回归分析

学习内容

一、变量间的相关关系

二、一元线性回归

三、线性回归方程拟合优度的测定

学习目标

1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用

2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二

3. 掌握回归方程的显著性检验

4. 利用回归方程进行预测

5. 了解可化为线性回归的曲线回归

6. 用Excel 进行回归分析

一、变量间的相关关系

1. 变量间的关系（函数关系）

1)是一一对应的确定关系。

2)设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，

并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，

则称y 是x的函数，记为y = f (x)，其中x 称为自变量，y 称为因变量。

3)各观测点落在一条线上。

4）函数关系的例子

–某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)。

–圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = π R2。

–企业的原材料消耗额(y)与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3间的关系可表

示为y =x1 x2 x3。

单选题

下面的函数关系是（）

A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系

B、圆周的长度决定于它的半径

C、家庭的收入和消费的关系

D、数学成绩与统计学成绩的关系

2. 变量间的关系（相关关系）

1)变量间关系不能用函数关系精确表达。

2)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。

3)当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个。

4)各观测点分布在直线周围。

5）相关关系的例子

–商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系。

–商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系。

–粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度 (x3)之间的关系。

–收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系。

–父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系。

3. 相关图表

1)相关表：将具有相关关系的原始数据，按某一顺序平行排列在一张表上，以观察它

们之间的相互关系。

2)相关图：也称为分布图或散点图，它是在平面直角坐标中把相关关系的原始数据用

点描绘出来，通常以直角坐标轴的横轴代表自变量x，纵轴代表因变量y。

4. 相关关系的类型

相关关系的图示（散点图）

5. 相关关系的测度（相关系数）

1)对变量之间关系密切程度的度量。

2)对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数。

3)若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为ρ。

4)若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r。

样本相关系数的计算公式

化简为

相关系数取值及其意义

a)r 的取值范围是 [-1,1]。

|r|=1，为完全相关。(r =1，为完全正相关。r =-1，为完全负相关。)

b)r = 0，不存在线性相关关系。

c)-1

d)0

e) |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切。

单选题

①下列哪两个变量之间的相关程度高（）

– A、商品销售额和商品销售量的相关系数是0.9

– B、商品销售额和商业利润率的相关系数是0.84

– C、平均流通费用率与商业利润率的相关系数是0.94

– D、商品销售价格与销售量的相关系数是-0.91

②下列关系中，属于正相关关系的有（）

– A、合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系

– B、产品产量与单位产品成本之间的关系

– C、商品的流通费用与销售利润之间的关系

– D、流通费用率与商品销售量之间的关系

③变量之间的相关程度越低，则相关系数值（）

A、越小

B、越接近于0

C、越接近于-1

D、越接近于1

④已知Σ(X-X¯)2是Σ(Y-Y¯)2的两倍，并已知Σ(X-X¯) (Y-Y¯)是Σ(Y-Y¯)2的1.2倍，则相关系数r为（）

A、不能计算

B、0.6

C、1.2/

D、

多选题

变量之间的不完全相关可以表现为（）

A、零相关

B、正相关

C、负相关

D、曲线相关

E、相关系数为1

求X与Y的相关系数

二、一元线性回归

1. 什么是回归分析？（内容）

1)从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式。

2)对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中

找出哪些变量的影响显著，哪些不显著。

3)利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取

值，并给出这种预测或控制的精确程度。

回归分析与相关分析的区别

1)相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，

处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化。

2)相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变

量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量。

3)相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变

量 x 对变量 y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。

多选题

线性相关分析的特点表现为（）

– A、两个变量之间的地位是对等关系

– B、只能算出一个相关系数

– C、相关系数有正负号

– D、相关的两个变量必须都是随机变量

– E、不反映任何自变量和因变量的关系