第7章 相关与回归分析。

第七章相关与回归分析
学习内容
一、变量间的相关关系
二、一元线性回归
三、线性回归方程拟合优度的测定
学习目标
1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用
2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二
3. 掌握回归方程的显著性检验
4. 利用回归方程进行预测
5. 了解可化为线性回归的曲线回归
6. 用Excel 进行回归分析
一、变量间的相关关系
1. 变量间的关系（函数关系）
1)是一一对应的确定关系。

2)设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，
并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，
则称y 是x的函数，记为y = f (x)，其中x 称为自变量，y 称为因变量。

3)各观测点落在一条线上。

4）函数关系的例子
–某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)。

–圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = π R2。

–企业的原材料消耗额(y)与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3间的关系可表
示为y =x1 x2 x3。

单选题
下面的函数关系是（）
A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系
B、圆周的长度决定于它的半径
C、家庭的收入和消费的关系
D、数学成绩与统计学成绩的关系
2. 变量间的关系（相关关系）
1)变量间关系不能用函数关系精确表达。

2)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。

3)当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个。

4)各观测点分布在直线周围。

5）相关关系的例子
–商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系。

–商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系。

–粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度 (x3)之间的关系。

–收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系。

–父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系。

3. 相关图表
1)相关表：将具有相关关系的原始数据，按某一顺序平行排列在一张表上，以观察它
们之间的相互关系。

2)相关图：也称为分布图或散点图，它是在平面直角坐标中把相关关系的原始数据用
点描绘出来，通常以直角坐标轴的横轴代表自变量x，纵轴代表因变量y。

4. 相关关系的类型
相关关系的图示（散点图）
5. 相关关系的测度（相关系数）
1)对变量之间关系密切程度的度量。

2)对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数。

3)若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为ρ。

4)若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r。

样本相关系数的计算公式
化简为
相关系数取值及其意义
a)r 的取值范围是 [-1,1]。

|r|=1，为完全相关。

(r =1，为完全正相关。

r =-1，为完全负相关。

)
b)r = 0，不存在线性相关关系。

c)-1<r<0，为负相关。

d)0<r<1，为正相关。

e) |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切。

单选题
①下列哪两个变量之间的相关程度高（）
– A、商品销售额和商品销售量的相关系数是0.9
– B、商品销售额和商业利润率的相关系数是0.84
– C、平均流通费用率与商业利润率的相关系数是0.94
– D、商品销售价格与销售量的相关系数是-0.91
②下列关系中，属于正相关关系的有（）
– A、合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系
– B、产品产量与单位产品成本之间的关系
– C、商品的流通费用与销售利润之间的关系
– D、流通费用率与商品销售量之间的关系
③变量之间的相关程度越低，则相关系数值（）
A、越小
B、越接近于0
C、越接近于-1
D、越接近于1
④已知Σ(X-X¯)2是Σ(Y-Y¯)2的两倍，并已知Σ(X-X¯) (Y-Y¯)是Σ(Y-Y¯)2的1.2倍，则相关系数r为（）
A、不能计算
B、0.6
C、1.2/
D、
多选题
变量之间的不完全相关可以表现为（）
A、零相关
B、正相关
C、负相关
D、曲线相关
E、相关系数为1
求X与Y的相关系数
二、一元线性回归
1. 什么是回归分析？（内容）
1)从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式。

2)对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中
找出哪些变量的影响显著，哪些不显著。

3)利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取
值，并给出这种预测或控制的精确程度。

回归分析与相关分析的区别
1)相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，
处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化。

2)相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变
量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量。

3)相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变
量 x 对变量 y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。

多选题
线性相关分析的特点表现为（）
– A、两个变量之间的地位是对等关系
– B、只能算出一个相关系数
– C、相关系数有正负号
– D、相关的两个变量必须都是随机变量
– E、不反映任何自变量和因变量的关系
回归模型的类型
2. 一元线性回归
1)涉及一个自变量的回归。

2)因变量y与自变量x之间为线性关系。

–被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示。

–用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量，用x表示。

3)因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来表示。

3. 一元线性回归模型（概念要点）
1)当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量y 与自变量 x 之间为线性关系时
称为一元线性回归。

2)对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系。

3)描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项ε的方程称为回归模型。

4）一元线性回归模型可表示为： y =（a+bx）+ ε
◆y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项。

◆线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化。

◆误差项ε是随机变量,反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对
y 的影响，不能由 x 和 y之间的线性关系所解释的变异性。

◆a和 b称为模型的参数。

5）基本假定
◆误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。

◆对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = a+ b x。

◆对于所有的 x 值，ε的方差σ2都相同。

◆误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立，即ε~N( 0 ,σ2 )。

–独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关。

–对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x所对应的 y 值也不相关。

4. 回归方程
1)描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程。

2)一元线性回归方程的形式如下： E( y ) =β0+ β1x
–方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程。

–β0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值。

–β1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值。

5. 估计（经验）回归方程
1)总体回归参数β0和β1都是未知的，必须利用样本数据去估计。

2)用样本统计量a和b代替回归方程中的未知参数β0和β1，就得到了估计的回归方程。

3)简单线性回归中估计的回归方程为：yˆ = a + bx
单选题
劳动消耗和产量之间的回归方程为Y=18+2.1X，这意味着劳动消耗每增加一单位时，产量增加的单位为（）
A、8
B、2.1
C、20.1
D、2.1%
6. 参数a和b的最小二乘估计
一元回归方程数值试验
1)使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得a和b的方法。

即：
2)用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直
线都小。

3)根据最小二乘法的要求，可得求解a和b的标准方程如上图。

参数a和b的最小二乘估计（例题）
某从事饮食业的企业家认为高校后勤社会化是一个很好的投资机会，他得到10组高校人数与周边饭店季营业额的数据资料，并想根据数据决策其投资规模。

7. 回归系数与相关系数的关系
b-回归系数 r-相关系数
单选题
在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0.8时，则其回归系数为（）
A、8
B、0.32
C、2
D、 12.5
多选题
①相关系数与回归系数（）
- A、回归系数大于零则相关系数大于零
- B、回归系数小于零则相关系数小于零
- C、回归系数大于零则相关系数小于零
- D、回归系数小于零则相关系数大于零
- E、回归系数等于零则相关系数等于零
②直线回归方程y=a+bx 中的b 称为回归系数,回归系数的作用是（）
– A、可确定两变量之间因果的数量关系
– B、可确定两变量的相关方向
– C、可确定两变量相关的密切程度
– D、可确定因变量的实际值与估计值的变异程度
– E、可确定当自变量增加一个单位时,因变量的平均增加量
三、线性回归方程拟合优度的测定
1. 离差平方和的分解
1)因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。

变差来源于两个方面：
-由于自变量 x 的取值不同造成的。

-除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响。

2)对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 y − y
来表示。

图解
三个平方和的关系
三个平方和的意义
1)总平方和(SST)总偏差
-反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差。

2)回归平方和(SSR)回归偏差
-反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与y 之间的线性关系引起的 y的取值变化，也称为可解释的平方和。

3)残差平方和(SSE)剩余偏差
-反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和。

-
2. 判定系数r2
1)回归平方和占总离差平方和的比例。

2)反映回归直线的拟合程度。

3)取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间。

4)r2 →1，说明回归方程拟合的越好；r2→0，说明回归方程拟合的越差。

5)判定系数等于相关系数的平方，即r2＝(r)2。

r2等于多少？
3. 估计标准误差 S yx
1)实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根。

2)反映实际观察值在回归直线周围的分散状况。

3)从另一个角度说明了回归直线的拟合程度。

4)计算公式为：
S yx越小，拟合越好；S yx越大，拟合越差。

5）相关系数与估计标准误差在数量上具有以下关系：
r值与估计标准误差负相关。

单选题
①回归估计的估计标准误差的计量单位与（）
– A、自变量相同
– B、因变量相同
– C、自变量及因变量相同
– D、相关系数相同
②计算估计标准误差的依据是（）
– A、因变量的总变差
– B、因变量的回归变差
– C、因变量的剩余变差
– D、因变量数列
多选题
估计标准误差是反映（）
– A、回归方程代表性大小的指标
– B、估计值与实际值平均误差程度的指标
– C、自变量与因变量离差程度的指标
– D、因变量估计值的可靠程度的指标
– E、回归方程适用价值大小的指标
判断题
①回归系数b和相关系数r都可用来判断现象之间相关的密切程度。

( )
②只有当相关系数接近于1时，才能说明两个变量之间存在高度相关关系。

( )
③相关关系和函数关系都属于完全确定性的依存关系。

( )
④不具有因果关系的两个变量之间，一定不存在相关关系。

（）
⑤负相关是指两个量之间的变化方向相反，即一个呈下降（上升）而另一个呈上升（下降）趋势。

（）
⑥假定变量x与y的相关系数是0.8，变量m与n的相关系数为-0.9，则x与y的相关密切程度高。

( )
⑦正相关指的就是两个变量之间的变动方向都是上升的( )
⑧若直线回归方程Y＝170—2.5X，则变量x和y之间一定存在负的相关关系。

( )
⑨在其他条件不变的情况下，相关系数越大，估计标准误差就越大;反之，估计标准误差就越小。

可见估计标准误差的大小与相关系数的大小是一致的。

（）
⑨相关系数的数值越大，说明相关程度越高;同理，相关系数的数值越小，说明相关程度越低。

（）
计算题
要求：（1）建立回归直线方程，估计教育经费为500万元的在校学生数；
（2）计算估计标准误差。

②有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下：
（1）说明两变量之间的相关方向；
（2）建立直线回归方程；
（3）计算估计标准误差；
（4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时总产值（因变量）的可能值。

用Excel进行回归分析
第1步：选择“数据”下拉菜单
第2步：选择“数据分析”选项
第3步：在分析工具中选择“回归”，然后选择“确定”
第4步：当对话框出现时
–在“Y值输入区域”方框内键入Y的数据区域
–在“X值输入区域”方框内键入X的数据区域
–在“置信度”选项中给出所需的数值
–在“输出选项”中选择输出区域
–在“残差”分析选项中选择所需的选项。