五年级奥数综合问题 第三讲 方阵问题

五年级奥数综合问题 第三讲 方阵问题

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学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：

1．总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）

2．外一层每边人数比内一层每边人数多2

相邻两层之间，每层的总数相差8 3．最外层每边人数=（最外层总人数÷4）＋1 最外层总人数 = (最外层每边人数-1) ×4 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 5. 中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4 例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? 解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

根据四周人数和每边人数的关系可以知：

每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列 的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）

整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。

【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？

【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？

【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？

【巩固4】小红摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？

例2：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这 个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员

有多少人？

解析：

从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最

外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：

去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1

解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，

则去掉的一行（或一列） 人数＝172)133(=÷+ 人

方阵的总人数为最外层每边人数的平方， 所以总人数为2891717=⨯（人）

【巩固】 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列， 如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？

例3：解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？

解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。

（1）中实方阵总人数：12×12=144（人）

（2）第四层每边人数：12-2×（4-1）=6（人）

（3）空心方阵人数：（6-2）×（6-2）=16（人）

（4）中空方阵人数：144-16=128（人）

答：总人数是128人。

小结：中空方阵总人数=外边人数×外边人数-（内边人数-2）×（内边人数-2）

解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。

（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人）

（2）每个长方形的宽是层数：4人

（3）总人数：8×4×4=128（人）

答：总人数是128人。

小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）×层数×4

【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？

例4：一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？

整个花园中共栽多少棵花？

解析：①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.

又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵

数为：17129=-⨯（棵）。

②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，

所以大三角形三条边上共栽花：483)117(=⨯-（棵）。

③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算

大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上

栽花棵数为：729=-（棵）

解：大三角形三条边上共栽花：483)1129(=⨯--⨯（棵）

中间画斜线小三角形三条边上栽花：213)29(=⨯-（棵）

整个花坛共栽花：692148=+（棵）

答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。

【巩固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？

例5：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，

请问：最外边一层每边有多少枚棋子？

解析1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，

可知最外层共有棋子数：

（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（个）

最外层每边的棋子数：56÷4+1＝15（个）

解析2：如练习中的图，把棋子分成相等的四部分。

每一部分的棋子数：200÷4＝50（个）

每一部分每排的棋子数：50÷5＝10（个）

最外层每边的棋子数：10＋5＝15（个）

综合列式为：200÷4÷5＋5＝15（个）

答：最外边一层每边有15枚棋子。

【巩固】游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方

阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？

课后作业 1、若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各

增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？

2、 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？

3、 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样 一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？