正弦定理证明

正弦定理的证明解读

克拉玛依市高级中学 曾艳

一、正弦定理的几种证明方法

1.利用三角形的高证明正弦定理

（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。

由此，得

sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B =， 故有 sin sin a

b

A B =sin c C =.从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 =∠sin sin a

b

A ABC ，

同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 =∠sin sin a b A ABC sin c

C =

. 由(1)(2)可知，在∆ABC 中，sin sin a

b

A B =sin c

C = 成立.

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a

b

A B =sin c

C =.

1’用知识的最近生长点来证明：

实际应用问题中，我们常遇到问题：

已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ，

需要定位点C ，即：

在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ，

求边AC 的长b

解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则

cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C

===

sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+

== a b D A B C A B C D b

a

推论：sin sin b c B C = 同理可证：sin sin sin a b c A B C == 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为 D.则Rt △ADB

中,AB

AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 2

1sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2

1sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C

c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理

(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与

AB 的夹角为90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+, 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)(

由分配律可得AB j CB j AC •=•+

. B ∴|j |AC Co s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ). j

∴asinC=csinA.∴C

c A a sin sin =. A 另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得B

b C

c sin sin =. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与

AC 的夹角为90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B )∴C c B b A a sin sin sin ==.

(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与

垂直的单位向量j ,则j D C B A C

与AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C . 由AB CB AC =+,得j ·AC +j ·CB =j ·AB , j

即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.

∴C c A a sin sin = 另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与

AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为90°+B .同理,可得

C c B b sin sin =.∴ C

c B b simA a sin sin == 4.外接圆证明正弦定理 在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,

连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到

∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=R c B C 2sin sin ='=.∴R C

c 2sin =. 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C

c B b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式

C

c B b A a sin sin sin ==. 二、剖析四种证明方法的本质联系

虽然正弦定理的有四种证明方法（也可以看成5种，对于第一种证明方法也可以用向量的形式来表示，可以看成向量、向量在向量方向上的投影相等），虽然每种证明方法都用不同的数学知识从不同的角度去证明了正弦定理，但是仔细观察会发现有一条纽带一直联系在正弦定理的各种证明方法之间，可以说每一种证明方法离开这条纽带都是没办法成立的，这条纽带就是：直角三角形思想。正弦定理的四种证明方法（在正弦定理的第一种证明方法中，用到的就是最基本的通过三角形作高把斜三角形转化为直角三角形。第二面积法，三角形的面积等于低乘高，也是把一般的三角形问题转化为垂直关系来研究。第三种向量法用到的也是向量的垂直关系。第四种外接圆法也借助了直径所对的圆周角等于090这个特殊的直角三角形）都是利用了直角三角形；余弦定理的平面几何证明方法，也是利用三角形做高转化成直角三角形来证明；在没学正余弦定理之前，学生直接利用初中的知识来解斜三角形，也是转化成直角三角形来解。从这其中我们可以发现直角三角形它那不可替代的特殊作用。所以，我觉得正弦定理的四种证明方法的本质联系就是：直角三角形。

其实，研究正余弦定理就是为了解斜三角形，在没有正余弦定理之前，我们只能够解直角三角形。而正弦定理的发现也是借助于直角三角形，通过直角三角 B A