湖北省武汉市汉铁高级中学2014届高三上学期第二次周练 数学(文)试题 Word版含答案

一， 选择题
1．设复数i z +=11，)(22R b bi z ∈+=，若21z z ⋅为实数，则b 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2- 2.若集合A=｛x ∈R|ax 2
+ax+1=0｝其中只有一个元素，则a=
A.4
B.2
C.0
D.0或4
3．若平面向量=a )2,1(-与b 的夹角是︒180，且︱b ︱53=，则b 的坐标为（ ） A ．)6,3(-
B ．)6,3(-
C ．)3,6(-
D ．)3,6(-
4. 已知函数()()(
)40,
40.x x x f x x x x +<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，， 则函数()f x 的零点个数为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．将函数3cos sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是
A ．
π
12
B ．
π6 C ．π
3
D ．
5π
6
6.等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是（ ）
A ．6S
B ．11S
C ．12S
D ．13S 7.函数f (x )=(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )
π
π
O
1
y x
π
π
O
1
y x
π
π
O
1
y x
π
π
O
1
y x
8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为
A.200+9π
B. 200+18π
C. 140+9π
D. 140+18π
9.抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且2
π3
AFB ∠=，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为|
|||,AB M M M ''则的最大值为
A
B
C
D
10.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋2x x ≤0
ln(x ＋1) x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )
（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] (C)[－2，1] (D)[－2，0] 二．填空题
11.设a R ∈，函数()x x f x e ae -=+的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，则a 的值为——————
12.在锐角△A B C 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于_______________.
13.点(,)P x y 在不等式组20
10220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域上运动，则z x y =-的最大值为
___________
14某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y=_________
.
_
____________
16.设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos20x x αα-+≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为 ．
17.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是--------- 三．解答题
18.（本题满分12分）.在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =,
a = 3, 2cos 3
B =. (Ⅰ) 求b 的值;
(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
的值.
19.（本题满分12分） 向量)sin ,1(x m a +=→，))6
cos(4,1(π
+=→
x b ，设函数→
→⋅=b a x g )(，
（R m ∈，且m 为常数）
（1）若x 为任意实数，求)(x g 的最小正周期；
（2）若)(x g 在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡3,
0π上的最大值与最小值之和为7，求m 的值. (20) (本小题满分13分)
如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;
(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;
(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.
21.
(本小题满分14分)设函数
3221
()231(01)3
f x x ax a x a =-+-+<<，
（1）求函数()f x 的极大值；
（2）记()f x 的导函数为()g x ，若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a g x a -≤≤成立，试确定
实数a 的取值范围.
22．（本小题满分14分）
已知双曲线()22
1222:10,0x y C a b F F a b
-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线
2y C =与 （I ）求,;a b ； （II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且
11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列
参考答案 选择题
1.D
2.A
3.B
4.C 5B . 6.B 7.C 8.A 9.b. 10.D
填空题
11. 1 12.
6
π
13. 2 14. 63. 15. 12
16. 【答案】5[0,][
,]66πππ． 17.1
(0,)2
. 三．解答题
18（I ）解：在ABC ∆中，由sin a A =sin b B
，可得sin sin b A a B =,又由sin 3sin b A c B =，可得a=3c ，又a=3，故c=1.
由2222cos b a c ac B =+-，cos B =2
3
，可得b =
（II ）解：由co s B =
23，得sin B =，进而得cos 2B =22cos 1B -=19-，
sin 22sin cos B B B ==
.
所以sin 23B π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭=sin 2cos 3B πcos 2sin 3B π-=
20.
（I ）证明：如图，在三棱柱ABC 111A B C -中，
AC ∥11AC ，且AC =11AC ，连接ED ，在
ABC ∆中，因为D,E 分别为AB, BC 的中点，所以DE=1
2
AC 且DE ∥AC ，又因为F 为11AC 的中点，可得1A F DE =,且1A F ∥DE ，即四边形1A DEF 为平行四边形，所以EF ∥1.DA 又EF ⊄平面1ACD ,1DA ⊂平面1ACD ，所以，EF ∥平面1
ACD 。

（II ）证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱1A A
⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1A A ⊥CD ，又1A A
AB A =，因此CD ⊥平面
11A ABB ，而CD ⊂平面1ACD ，所以平面1
ACD ⊥11A ABB 。

（III ）解：在平面11A ABB 内，过点B 作BG ⊥1A D 交直线1A D 于点G ，连接CG. 由于平面1ACD ⊥平面11A ABB ，而直线1A D 是平面1ACD 与平面11A ABB 的交线，故BG ⊥平面1ACD 。

由此得BCG ∠为直线BC 与平面1
ACD 所成的角。

设棱长为a ，可得1A D =
，由1
AA D ∆∽BGD ∆，易得BG =。

在Rt BGC ∆
中，sin BG BCG BC ∠=
=
所以直线BC 与平面1
ACD
22.（Ⅰ）由题设知3c a =，即222
9a b a
+=，故22
8b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=. 将
y=2代入上式，求得，x =由题设知，=，解得，21a =.所以
1,a b ==
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2
2
88x y -=. ①
由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <，代入①并化简得，
2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则
11x ≤-，21x ≥，2122
68k x x k +=-，2122988
k x x k +∙=-.于是
11||(31)AF x ===-+，
12||31BF x ===+
由11||||AF BF =得，12(31)31x x -+=+，即122
3
x x +=-
. 故22
62
83
k k =--，解得245k =，从而12199x x ∙=-.
由于21||13AF x =
==-，
22||31BF x ===-，
故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，
221212||||3()9-116AF BF x x x x ∙=+-=.
因而222|||||AB|AF BF ∙=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.。