美国人口增长模型
数学建模 之 人口模型
数学建模———关于人口增长的模型摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。
首先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。
对两种模型的求解，我们引入了微分方程。
其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。
先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。
一、 问题的提出：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百模型一（指数增长模型）1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。
然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。
附图A2、基本假设：人口的增长率是常数增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。
故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。
设人口增长率为常数r 。
时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O由假设，对任意△t>0 ，有)()()(t rx tt x t t x =∆-∆+即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即：o t →∆lim)()()(t rx tt x t t x =∆-∆+ 引入微分方程：)1( )0()(0⎪⎩⎪⎨⎧==x x t rx dtdx3、模型求解： 从（1）得rdt xdx= 两边求不定积分：c rt x +=ln∵t=0时0x x =，∴C x =0lnrt e x rt x x 00ln ln ln =+=∴rte x t x 0)(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长.备注； r 的确定方法：要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33.5==r,359.1307.0=e,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(⨯=4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):x(22)=3325.772020的人口为x(23):x(23)=4519.735、检验：根据所建立的指数模型预测1790以后近两百年的美国人口数量,在此6、模型讨论：由表可见，当人口数较少时，模型的预测结果与实际情况相差不大（不超过5%）。
人口指数增长模型和Logistic模型
表1 美国人口统计数据指数增长模型：rt e x t x 0)(=Logistic 模型：()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭解：模型一:指数增长模型。
Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：}2120010120()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x ey x t a r a x =+=⇒=+⇒=====程序：t=1790:10:1980;x(t)=[ ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a =r= x0=所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = ， 输入：t=2010;x0 = ;x(t)=x0*exp*t)得到x(t)= 。
即在此模型下到2010年人口大约为 610⨯。
模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设)/1()(m x x r x r -=，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，m x 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(xx x x rx dt dxm 建立函数文件function f=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/*exp(-a(2)*(t-1790))); 在命令文件中调用函数文件 % 定义向量（数组） x=1790:10:1990; y=[ 76 ... 92 204 ];plot(x,y,'*',x,y); % 画点，并且画一直线把各点连起来 hold on;a0=[,1]; % 初值% 最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m 文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); % 显示结果 % 画图检验结果 xi=1790:5:2020; yi=curvefit_fun2(a,xi); plot(xi,yi,'r'); % 预测2010年的数据 x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1) hold off 运行结果： a= y1 =其中a(1)、a(2)分别表示()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭中的m x 和r ，y1则是对美国美国2010年的人口的估计。
微分方程模型之人口增长模型
练习：2006年1 月至2007年4月 上证指数历史 数据如下。建 立指数增长模 型和logistic 模型；进行模 型验证；并分 别进行为期2个 月的预测。男 生用开盘价做， 女生用收盘价 做。
日期 20060125 20060228 20060331 20060428 20060531 20060630 20060731 20060831 20060929 20061031 20061130 20061229 20070131 20070228 20070330 20070416
2020 6:41:39 AM06:41:392020/12/13
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/13/
谢 谢 大 家 2020 6:41 AM12/13/2020 6:41 AM20.12.1320.12.13
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。13-Dec-2013 December 202020.12.13
传染病模型学习小结
一 常用传染病模型类型—微分方程模型 1指数增长模型 2 SI模型(logistic模型) 3 SIS模型 4 SIR模型
二 SAS传播模型中的收获 增加人群分类，构建SEIR或SEPIR模型 关于经济的正面或负面影响地分析 ——学会全面地看问题 写作是建模学习的一个重要内容.
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。06:4 1:3906: 41:3906 :4112/ 13/2020 6:41:39 AM
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人口增长模型的确定
题目：人口增长模型的确定摘要人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。
本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。
通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。
关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测一、问题重述1.1 问题背景1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。
表1 人口记录表1.2 问题提出我们需要解决以下问题：1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。
2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。
3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。
二、问题分析首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。
1780180018201840186018801900192019401960198050100150200250图1 1790到1980年的美国人口数据图从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。
因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。
三、问题假设为简化问题，我们做出如下假设：（1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响；（2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况；（3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动；（4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信；（5）假设人口净增长率为常数。
人口指数增长模型
Malthus 人口指数增长模型的检验和改进姓名：陈明富 学号：20071060005 学院：信息 专业：计科Malthus 人口指数增长模型的假设：1、人口的增长率为常数，记为r2、记时刻t 的人口为)(t x ，初始时刻的人口为0x模型建立：微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(xx rx d d t xrdt xd x= 两端积分，并结合初值条件得：)(00)(t t r e x t x -=模型检验：从1790─1980年间美国每隔10年的人口记录如下表：根据上表：当时对应的1790年，对应的是1800年，十年的增长率为307.0ln 9.33.5==r，359.1307.0=e ，则t t x )359.1(9.3)(⨯= 将表中的数据代入后发现，当人口较少时模型的预测结构与实际情况相差不大。
但人口多时模型的预测与实际相差比较大，同时根据所列的方程发现，+∞==-∞→∞→)(00lim lim )(t t r t t e x t x 这不合常理。
在讨论模型的合理性时发现人口的增长率是随人口的增长而呈下降趋势的。
模型改进：随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口的增长开始起阻滞的作用，人口的增长率也会随之逐渐下降。
模型假设：1、人口增长率是当时人口数x 的递减函数)(x r2、m x 表示资源资源和环境条件下的最大人口容量3、r 表示固有增长率，即人口很少时，0)()0→→→→x t x x r x x m 时，；时，人（模型建立：设ax r x r -=)(，显然0→x 时，r x r →)(.由假设m x x →时， 应0)(→x r ，即m ax r -=0mx ra =∴，)1()(mm x x r x x r r x r -=-=∴ 用)(x r 代替Malthus 人口指数增长模型中的r ：)0()1(0⎪⎩⎪⎨⎧=-=xx x x x r dtdxm 求方程的解为：rtm mmm rtm c rtm m m m m m m m m e xx x t x x x c c x x x x t e c x x e c e c x x x c rt x x xc rt x x x rdt dx xx x dx x x x dx x x x x x x x x x dx x ---+=-=∴+===+=∴==-+=-+=--=-+-+=-+-=-=)1(1)(1 ,1,01 ),.......(ln ,)ln(ln )11()11()()()(003300322111时两边求不定积分左边所求出的方程解为下图所示：模型讨论：该模型相对于Malthus人口指数增长模型来说更合理，克服了人口指数增长模型的不足，对于人口的增长起到了一定参考作用。
人口模型
p p ( r , t ) p( r , t ) r t
p p 人口发展方程 r t ( r , t ) p ( r , t ) p ( r ,0) p0 ( r ), r 0 ~已知函数（人口调查） p (0, t ) f (t ), t 0 ~生育率（控制人口手段）
a a x 时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凸。 2b b
令上述第二个方程的右边为 0，得 x1 0 ， x 2 b ，称它们是微分方程（(5.15)
x(t ) ，故又称 衡解。易知 tlim b b a
dx BDI E dt x(t 0 ) x0
以下介绍的两个人口模型都是根据这个原理建立的.
(5.11)
微分方程模型实例1——人口模型
马尔萨斯(Malthus)模型
考虑一个国家或地区的人口总数随时间变化的情况，记x(t) 为t时刻该国家或地区的人口总数，对一个国家而言，迁 入和迁出人数相对很小，故略去迁移对人口变化的影响， 即人口变化仅与出生率和死亡率有关。
短期预报比较准确 不适合中长期预报
没有考虑环境对人口增长的制约作用。
微分方程模型实例1——人口模型
洛杰斯蒂克(Logistic)模型 提出背景
人们发现在人口比较稀少，资源较丰富的条件下，人口
增长较快，可以在短期内维持常数增长率；但当人口数量
发展到一定水平后，会产生许多问题，如食物短缺，交通 拥挤等，这又导致人口增长率的减少，这种现象在某些动 物种群的实验中也观察到。 在1837年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数K，表示人 类生存空间及可利用资源(食物、水、空气)等环境因素所能 容纳的最大人口数量(也称为饱和系数或环境容纳量)。
人口增长logistic模型的拟合1
人口增长logistic模型的拟合李月200911131952谭结200911131959刘延卿200911131915问题摘要关于人口模型的研究，我们已经有很多方法。
这个题目要求我们用LOGISTIC模型来拟合美国人口数据。
了解到LOGISTIC模型的性质和原理之后，我们根据老师给出的数据：分为以下几个步骤来进行估计。
首先，我们把离散的数据全部利用起来，已经知道，LOGISTIC模型中，x’=rx(1-x/k)是关键的函数，我们需要做的事情就是通过离散的数据来估计函数中出现的系数，r以及k，先拟合线性模型un=r-m*yn，其中un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我们编写了一个for循环语句，在MATLAB中实现对方程的参数的估计。
其次，我们以此近似值为参数的初值拟合非线性函数y=k/[1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)]需要做的就是能够尽量好的估计参数k，r。
同样我们利用非线性拟合，就可以得到一个更加好的参数估计。
在MATLAB中实现。
最终我们得到结果：（需要完善的部分）1 关键词LOGISTIC模型非线性拟合循环语句参数估计内禀增长率2 问题的重述3 问题的分析问题的关键是要做一个LOGISTIC模型。
在模型的建立中，至关重要的是对参数的估计。
我们知道的LOGISTIC模型，x’=rx(1-x/k)是这个模型的基础，所以我们最重要的任务就是要合理估计参数。
分为以下几个步骤来进行估计。
1我们把离散的数据全部利用起来，已经知道，LOGISTIC模型中，x’=rx(1-x/k)是关键的函数，我们需要做的事情就是通过离散的数据来估计函数中出现的系数，r以及k，2先拟合线性模型un=r-m*yn，其中un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我们编写了一个for循环语句，在MATLAB中实现对方程的参数的估计。
3我们以此近似值为参数的初值拟合非线性函数y=k/[1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)]需要做的就是能够尽量好的估计参数k，r。
数学建模 之 人口模型
数学建模———关于人口增长的模型摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。
首先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。
对两种模型的求解，我们引入了微分方程。
其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。
先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。
一、 问题的提出：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百模型一（指数增长模型）1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。
然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。
附图A2、基本假设：人口的增长率是常数增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。
故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。
设人口增长率为常数r 。
时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O由假设，对任意△t>0 ，有)()()(t rx tt x t t x =∆-∆+即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即：o t →∆lim)()()(t rx tt x t t x =∆-∆+ 引入微分方程：)1( )0()(0⎪⎩⎪⎨⎧==x x t rx dtdx3、模型求解： 从（1）得rdt xdx= 两边求不定积分：c rt x +=ln∵t=0时0x x =，∴C x =0lnrt e x rt x x 00ln ln ln =+=∴rte x t x 0)(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长.备注； r 的确定方法：要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33.5==r,359.1307.0=e,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(⨯=4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):x(22)=3325.772020的人口为x(23):x(23)=4519.735、检验：根据所建立的指数模型预测1790以后近两百年的美国人口数量,在此6、模型讨论：由表可见，当人口数较少时，模型的预测结果与实际情况相差不大（不超过5%）。
数学建模美国人口预测报告1
3．模型建立模型1(1.1) 假设美国人口上限为5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型；(1.2) 利用 (1.1) 中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差；(1.3) 利用 (1.1) 中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口； (1.4) 假设人口增长率服从[1.1,1.3]上的均匀分布，结合 (1.1) 中建立微分方程模型，预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口.图1为美国1790-2000年的人口数据，人口增长率r 为每10年的取值。
首先对人口增长率进行处理求出其他年份相对于1790年的增长率R1.....nnt t t r r R n其中t1=1800年….. t21=2000年(1<n ≤21) 例如1810年相对于1790年的增长率为 (3.11+2.99)/2=3.05 其他年份同理可得如图2；对增长率R 求平均直为Rx=2.64%模型1 为阻滞增长模型 假设人口增长率 r(x)是t 时人口x(t)的函数，r(x)应该是x 的减函数。
一个简单的假设是假设 r(x)为x 的线性函数r(x)=r-s*x , s>0.最大人口数量Xm=500 当x=Xm 时增长率为零。
在线性化假设前提下可以得到r(x) = r (1 – x / Xm)，(公式1)其中的r 我们取之前求得的平均增长率r=0.0264 , Xm=500。
在公式1假设下，模型可修改为0(1)(0)xtm d x rx d x x x (公式2)图1上述方程改为Logistic模型x t =m x/1+(m x/0x-1)rt e(公式3)()e取2.718，t为t，求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口数以及和实际值的误差见图3。
2010年的R*t=5.808，预测人口为362.32；2020年的R*t=6.072，预测人口为387.59；2030年的R*t=6.336，预测人口为408.16；2040年的R*t=6.6 ，预测人口为427.35；2050年的R*t=6.864，预测人口为442.48；观察预测结果1930年以前只有1800 1810 1820误差较小，其它年份误差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最大人口数后增长率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。
sf人口模型
人口增长模型摘要：建立指数增长模型与阻滞增长模型，模拟美国1790年至2000年的人口增长形态，并预报2010年的美国人口总数。
求出两个模型在1790至2000年每 10年的人口数，并与实际人口数进行比较。
关键词：指数增长模型 阻滞增长模型 微分方程模型 数据拟合 1 问题复述利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万为单位），做出人口模型，并对模型作检验，最后用它预报2010年美国人口。
2 问题假设2. 1 人口增长率为常数2.2 自然资源，环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并随着人口的增加，阻滞作用越来越大。
2.3 符号的设定：增长率:r今年人口:0x k 年后人口:k x t 时刻人口:()x t 人口容量:m x 确定系数:s3 模型的建立与求解3.1 模型I 的建立与求解 3.1.1 模型分析记今年的人口为0x ，k 年后人口为k x ，年增长率为r ，则()01x x r =+，()01kk x x r =+ （1）记t 时刻的人口为()x t ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，()x t 是一个很大的整数。
为了利用微积分这一数学工具，将()x t 视为连续，可微函数。
记初始时刻(0)t=的人口为0x 。
假设人口增长率为常数r ，单位时间内()x t 的增量等于r 乘以()x t 。
考虑t 到t t +∆时间内人口的增量，显然有()()()x t t x t rx t t+∆-=∆令0t∆→，得到()x t 满足微分方程()0,0d x rt x x d t== （2）由这个方程很容易解出()0rtx t x e= （3）r >时（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。
3.1.2 模型I 的求解（3）式的参数r 和0x 可以用表1的数据估计。
为了利用简单的线性最小二乘法，将（3）式取对数，可以得到：0,ln ,ln y rt a y x a x =+== （4）以1790年至1900年的数据拟合（4）式，计算可以得到0.2743/10r=年，0 4.1884x =。
美国人口增长模型
4.1 美国人口增长问题研究4.1.1 问题重述认识人口数量的变化过程，建立数学模型描述人口发展规律，做出较为准确的增长预测，是制定积极、稳妥的人口政策的前提。
请使用下表的美国人口统计数据进行参数估计，并作模型检验和增长预测。
4.1.2 符号规定与基本假设1. 符号规定1.r表示人口增长率x t表示人口数量2.()x表示人口容量3.m2. 基本假设1)假设人口增长符合生长规律；2)不考虑战争等非射幸因素；3)不考虑突发事故所引起的人口数量变化；4.1.3 模型分析与建立考察一个国家或者地区的人口数量随着时间延续而发生变化的规律时，可以将人口看作连续时间t 的延续可微函数()x t 。
记初始时刻()0t =的人口为0x 。
假设单位时间人口增长率为常数r ，即可得到满足人口增长的微分方程和初始条件为：()0,0dxrx x x dt== (1.1)易得：()0n x t x e =(1.2)若0r >，人口将按指数规律无限增长。
根据已知数据对模型的参数进行估计又称为数据拟合。
对式(1.1)中的参数0,r x 进行估计主要有以下两种方法。
方法一：直接使用人口数据和线性最小二乘法，对 (1.2)式取对数可得：0,ln ,ln y rt a y x a x =+==(1.3)由本题所给表格，通过MATLAB 软件可计算得出，0.2020/10r =年，0 6.0496x =。
方法二：先对人口数据进行数值微分，再计算增长率并将其平均值作为r 的估计；0x 直接取原始数据。
数值微分的中点公式如下：假设函数()x t 在分点01,,,n t t t (等间距t ∆)的离散值为01,,,n x x x ，那么函数在各个分点的导数近似值为()11,1,2,,12k k k x x x t k n t+--'==-∆ (1.4)()()0122103443,22n n nn x x x x x x x t x t t t---+--+''==∆∆ (1.5)根据式(1.5)可以计算出美国人口1790年至2000年的增长率()()k k k x t r x t '=，为0.2052年/10年，令人口数量初值0 3.9x =，即可预测算出人口数量。
数学建模美国人口预测报告1
3．模型建立模型1(1.1) 假设美国人口上限为5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型；(1.2) 利用 (1.1) 中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差；(1.3) 利用 (1.1) 中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口； (1.4) 假设人口增长率服从[1.1,1.3]上的均匀分布，结合 (1.1) 中建立微分方程模型，预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口.图1为美国1790-2000年的人口数据，人口增长率r 为每10年的取值。
首先对人口增长率进行处理求出其他年份相对于1790年的增长率R1.....nnt t t r r R n其中t1=1800年….. t21=2000年(1<n ≤21) 例如1810年相对于1790年的增长率为 (3.11+2.99)/2=3.05 其他年份同理可得如图2；对增长率R 求平均直为Rx=2.64%模型1 为阻滞增长模型 假设人口增长率 r(x)是t 时人口x(t)的函数，r(x)应该是x 的减函数。
一个简单的假设是假设 r(x)为x 的线性函数r(x)=r-s*x , s>0.最大人口数量Xm=500 当x=Xm 时增长率为零。
在线性化假设前提下可以得到r(x) = r (1 – x / Xm)，(公式1)其中的r 我们取之前求得的平均增长率r=0.0264 , Xm=500。
在公式1假设下，模型可修改为0(1)(0)xtm d x rx d x x x (公式2)图1上述方程改为Logistic模型x t =m x/1+(m x/0x-1)rt e(公式3)()e取2.718，t为t，求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口数以及和实际值的误差见图3。
2010年的R*t=5.808，预测人口为362.32；2020年的R*t=6.072，预测人口为387.59；2030年的R*t=6.336，预测人口为408.16；2040年的R*t=6.6 ，预测人口为427.35；2050年的R*t=6.864，预测人口为442.48；观察预测结果1930年以前只有1800 1810 1820误差较小，其它年份误差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最大人口数后增长率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。
人口增长模型的确定
人口增长模型的确定 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT题目：人口增长模型的确定摘要人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。
本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。
通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。
关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测一、问题重述问题背景1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。
表1 人口记录表问题提出我们需要解决以下问题：1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。
2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。
3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。
二、问题分析首先，我们运用Matlab软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。
图1 1790到1980年的美国人口数据图从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。
因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。
三、问题假设为简化问题，我们做出如下假设：（1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响；（2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况；（3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动；（4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信；（5）假设人口净增长率为常数。
数学建模实例人口预报问题
数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.表1 美国人口统计数据2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出. [1] 假设：人口增长率r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.[2] 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x 0, 时刻t 的人口为()t x ，由于量大，()t x 可视为连续、可微函数.t 到t t ∆+时间内人口的增量为：()()()t rx tt x t t x =∆-∆+于是()t x 满足微分方程：()⎪⎩⎪⎨⎧==00x x rx dt dx（1）[3] 模型求解： 解微分方程（1）得()rt e x t x 0= （2）表明：∞→t 时，()∞→t x （r>0）.[4] 模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307. [5] 模型检验：将x 0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.3. 阻滞增长模型（Logistic 模型）[1]假设：（a ）人口增长率r 为人口()t x 的函数()x r （减函数），最简单假定()0, ,>-=s r sx r x r （线性函数），r 叫做固有增长率.（b ）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量m x . [2]建立模型： 当mx x =时，增长率应为0，即()m x r =0，于是m x rs =，代入()sxr x r -=得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m x x r x r 1 （3）将（3）式代入（1）得：模型为： ()⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001xx x x x r dt dx m （4）[3] 模型的求解： 解方程组（4）得()rt m me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110 （5）根据方程（4）作出x dtdx~ 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x~t 曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.[4] 模型的参数估计：利用表1中1790-1980的数据对r 和x m 拟合得：r=0.2072, x m =464. [5] 模型检验：将r=0.2072, x m =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得)())(1()()()1(t x x t x r t x x t x t x m-+=∆+=+ t=0,1,2,… (6) 用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较图1-2 x~t 曲线现应用该模型预测人口.用表1中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083, x m=457.6. 用公式（6）作预测得：x(2000)=275; x(2010)=297.9.也可用公式（5）进行预测.。
美国人口的预测
（四）对指数增长模型求解
利用 Matlab 和模型（1）对 1790—2000 年的 数 据 进 行
280 260 240 220 200 180 160 140 120
01234567
拟合，现对问题进行变形处理，对 x（t）=x0ert 两边取对数可得 lnx（t）=lnx0+rt。用 Matlab 可得到：r1=0.2956，x0=3.9401。
图4 美国1930—2000年人口拟合曲线图 （五）模型评价
所以，1790—1850 年的拟合函数为线性函数 lnx（t）=
根 据 三 个 模 型 ，分 别 求 出 用 指 数 增 长 模 型 预 测 的
模型，其中记当年人口数为 x0，10 年以后的人口数为 x1，增长
率为 r 保持不变，则：
x1=x（0 1+r）
（1）
由于美国人口数 x（t）是一个非常大的数，利用微积分学
知识，不妨把 x（t）看作关于 t 的一个连续可微函数，令初始时刻
100 90 80 70 60 50 40 30
0123456
1930—2000年这三个时间段的数据建立指数增长模型，对未来美国总人口进行预测，发现在短时间内，美国人口随着
时间的推移而不断增长。
关键词：美国；人口预测；马尔萨斯人口增长模型；指数增长模型
中图分类号：C923
文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2020）03-0175-03
一、人口预测方法
比较 麻 烦 ，因 此 在 两 边 取 对 数 ，记 lnx（t）=y，lnx1790=ln3.9 = 1.36=a，则原方程化为 y=a+（r t-1790）。利用 1790—1900 年的 数据进行拟合，得到 r=0.02142。
人口指数增长模型
次多项式，然后用画图函数
plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算
结果之间的图形，看结果如何。
利用1790-1900年的数据进行试验，程序如下：
t=linspace(0,11,12);
x=
[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0];
年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 年 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口 38.6 502. 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 年 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
三、实验环境
MATLAB6.5
四、实验步骤
为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将
x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得
lnx(t)=lnx0*exp(rt),lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,
所以可得y= rt+a。
根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一
人类文明发展到今天,人们越来越意识到地球资源的有限性,我们感受 到"地球在变小",人口与资源之间的矛盾日渐突出,人口问题已成为当前 世界上被最普遍关注的问题之一,当然人口增长规律的发现以及人口增 长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义.本 节介绍几个经典的人口模型. 3.3.1模型I:人口指数增长模型(马尔萨斯Malthus,1766--1834) 1) 模型假设 时刻t人口增长的速率,即单位时间人口的增长量,与当时人口数成正比, 即人口增长率为常数r. 以P(t)表示时刻t某地区(或国家)的人口数,设人口数P(t)足够大,可以 视做连续函数处理,且P(t)关于t连续可微. 2) 模型建立及求解 据模型假设,在t到时间内人口数的增长量为 , 两端除以,得到 , 即,单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比. 令,就可以写出下面的微分方程: , 如果设时刻的人口数为,则满足初值问题: (1) 下面进行求解,重新整理模型方程(1)的第一个表达式,可得 , 两端积分,并结合初值条件得 . 显然,当时,此时人口数随时间指数地增长,故模型称为指数增长模型(或 Malthus模型).如下图3-2所示. 3) 模型检验 19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后 的许多国家,模型遇到了很大的挑战. 注意到,而我们的地球是有限的,故指数增长模型(Malthus模型)对未来
美国人口增长
作业一：美国人口增长的预报1100610506 电气工程及其自动化 张洋关键字： 人口数 模型 运动 曲线 预测 增长 人口摘要 ：利用已知普查数据，假设人口增长符合Logistic 模型，引入常数并求出相关常数，便可推出美国人口增长的相关情况。
假设与模型建立：美国人口数据（单位~百万指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)：假设人口增长率是常数r ，设x (t ) ~时刻t 的人口，那么由导数基本性质有可以有以下等式： 随着时间增加，人口按指数规律无限增长这种模型提出以来确实在历史流行过一段时间，并对一定时期尤其是19世纪以前部分地区的预测有相当的贡献，然而19世纪以后，它便失去了价值，人口增长率r 不再是常数，而且这种模型也不能预测较长时间的人口预测。
阻滞增长模型(Logistic 模型)：鉴于指数增长模型的种种局限性，比较符合实际的模型便应运而生，该模型假设增长率是随着人口数量而变化的这也是符合实际的，设x m ~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），利用微分方程推出其中r （x ）是实际增长率，r 为固有增长率， 与指数增长模型中的r 是一致的，则容易画出阻滞增长模型的人口数量、增长速度与人口之间的关系：)1()(m x x rx x x r dt dx -==t r t x t x t t x ∆=-∆+)()()(0)0(,x x rx dt dx ==rt e x t x 0)(= t r e x t x )()(0=t r x )1(0+≈参数估计：显然，美国人口的增长基本符合阻滞增长模型，得出上述曲线之后，利用已知数据只要求出参数r 与x （m ）即可。
利用统计数据用最小二乘法作拟合（此过程需要matlab 编程与绘图，能力有限就直接计算了）可以得出r=0.2557，x （m ）=392.1。
模型的检验与应用：用计算出的logistic 模型计算2000年美国人口得出x （2000）=274,5与实际人口数281.4（百万）校正，重新估计模型参数：r=0.2490，x （m ）=434.0用重新校正后的阻滞模型估算2010美国人口：x （2010）=x(2000)+△x=x(2000)+rx(2000)[1-x(2000)/x(m)]=306.0 ]/)1990(1)[1990()1990()1990()2000(m x x rx x x x x -+=∆+=。
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4.1 美国人口增长问题研究4.1.1 问题重述认识人口数量的变化过程，建立数学模型描述人口发展规律，做出较为准确的增长预测，是制定积极、稳妥的人口政策的前提。
请使用下表的美国人口统计数据进行参数估计，并作模型检验和增长预测。
4.1.2 符号规定与基本假设1. 符号规定1.r表示人口增长率x t表示人口数量2.()x表示人口容量3.m2. 基本假设1)假设人口增长符合生长规律；2)不考虑战争等非射幸因素；3)不考虑突发事故所引起的人口数量变化；4.1.3 模型分析与建立考察一个国家或者地区的人口数量随着时间延续而发生变化的规律时，可以将人口看作连续时间t 的延续可微函数()x t 。
记初始时刻()0t =的人口为0x 。
假设单位时间人口增长率为常数r ，即可得到满足人口增长的微分方程和初始条件为：()0,0dxrx x x dt== (1.1)易得：()0n x t x e =(1.2)若0r >，人口将按指数规律无限增长。
根据已知数据对模型的参数进行估计又称为数据拟合。
对式(1.1)中的参数0,r x 进行估计主要有以下两种方法。
方法一：直接使用人口数据和线性最小二乘法，对 (1.2)式取对数可得：0,ln ,ln y rt a y x a x =+==(1.3)由本题所给表格，通过MATLAB 软件可计算得出，0.2020/10r =年，0 6.0496x =。
方法二：先对人口数据进行数值微分，再计算增长率并将其平均值作为r 的估计；0x 直接取原始数据。
数值微分的中点公式如下：假设函数()x t 在分点01,,,n t t t (等间距t ∆)的离散值为01,,,n x x x ，那么函数在各个分点的导数近似值为()11,1,2,,12k k k x x x t k n t+--'==-∆ (1.4)()()0122103443,22n n nn x x x x x x x t x t t t---+--+''==∆∆ (1.5)根据式(1.5)可以计算出美国人口1790年至2000年的增长率()()k k k x t r x t '=，为0.2052年/10年，令人口数量初值0 3.9x =，即可预测算出人口数量。
方法三：将指数增长模型进行改进，原先的模型(1.1)式改写为 ()()()010,0dxr t x r rt x x x dt==-= (1.6)易得()()21/20r t r t x t x e-= (1.7)根据美国人口增长率数据可得010.3252,0.0114r r ==，令人口数量初值取3.90即0 3.90x =，拟合结果如图 4.1所示。
Logistic 方法一：（非常重要的预测方法，需要重点掌握！！！）随着人口数量的增长，资源和环境对其增长起到了阻滞作用。
即增长率r 随着人口数量x 的增加而下降，用()r x a bx =+。
为了赋予增长函数中系数的实际意义，引入以下两个参数。
1) 内廪增长率r 表示0x =的增长率，即()0r r =，则a r =；2) 人口容量m x 表示资源和环境所能容纳的最大人口数量，当m x x =即表示人口不在增长，即()0m m r x r bx =+=，得mrb x =-。
增长率函数()1m x r x r x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()01,0m dx x rx x x dt x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(1.8)式(1.8)中，右端rx 体现人口自身增长趋势，而1m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。
人口增长是两者同时作用的结果。
以下是对Logistic 模型的参数估计。
将式(1.8)改写为()0/,0mdx dt rxr x x x x =-= (1.9)(1.9)式左端作数值微分之后计算增长率，右端使用线性最小二乘法进行参数估计。
可以计算出结果为00.2805,352.0548, 3.9m r x x ===，由式(1.9)可以计算出最终预测结果。
4.1.4模型的求解编写如下代码：clc,clear%1790-2010美国人口数据P=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7...122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4 308.7];n=length(P)-1;%选取1790-2000美国人口数据及相应的时间节点,总计n个t=[0:n-1]';P1=P(1:n)';% 指数增长模型的参数估计%方法一，线性最小二乘方法---------------------------------------- % A=[ones(n,1) t];% b=log(P1);% F=inv(A'*A)*(A'*b);% x0=exp(F(1));%初始人口（t=0）% r=F(2);%增长率/10年% %1790-2000美国人口估计% x=zeros(n,1);% x(1)=x0;% for i=1:n% t1=i-1;% x(i)=x(1)*exp(r*t1);% end% figure% plot(1:n,P1,'r.');% hold on% plot(1:n,x,'k-.');% grid on% xlabel('t')% ylabel('x')% legend('实际人口','模拟结果')%----------------------------------------------------------------------% % %方法二，数值微分方法---------------------------------------- % rk=zeros(n,1);%每十年的相对增长率% rk(1)=(-3*P1(1)+4*P1(2)-P1(3))/2;%1790年增长率% rk(n)=(P1(n-2)-4*P1(n-1)+3*P1(n))/2;%2000年增长率% for i=2:n-1% rk(i)=(P1(i+1)-P1(i-1))/2;% end% rk=rk./P1;%每十年的相对增长率% r=sum(rk)/n;%每十年的平均相对增长率% %1790-2000美国人口估计% x=zeros(n,1);% x(1)=P1(1);%初值% for i=1:n% t1=i-1;% x(i)=x(1)*exp(r*t1);% end% figure% plot(1:n,P1,'r.');% hold on% plot(1:n,x,'k-.');% grid on% xlabel('t')% ylabel('x')% legend('实际人口','模拟结果')% -------------------------------------------------------%Logistic增长模型的参数估计% %方法一，数值微分方法+线性最小二乘估计---------------------------------------- rk=zeros(n,1);%每十年的相对增长率rk(1)=(-3*P1(1)+4*P1(2)-P1(3))/2;%1790年增长率rk(n)=(P1(n-2)-4*P1(n-1)+3*P1(n))/2;%2000年增长率for i=2:n-1rk(i)=(P1(i+1)-P1(i-1))/2;endrk=rk./P1;%每十年的相对增长率A=[ones(n,1) -P1];b=rk;F=inv(A'*A)*(A'*b);r=F(1);%增长率/10年xm=r/F(2);%人口总量% %1790-2000美国人口估计x=zeros(n,1);x(1)=P1(1);for i=1:nt1=i-1;x(i)=xm/(1+(xm/P1(1)-1)*exp(-r*t1));endfigureplot(1:n,P1,'r.');hold onplot(1:n,x,'k-.');grid onxlabel('t')ylabel('x')legend('实际人口','模拟结果')表4.1 指数模型三种方法运算出的结果4.1.5 结果分析图4.1 方法一拟合出图像图4.2 方法二拟合出图像图4.3 Logistic 方法一拟合出图像。