点的极坐标与直角坐标的互化

第二课时 点的极坐标与直角坐标的互化

一、教学目标

(一)知识与技能目标

掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法．

(二)过程与方法目标

能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题．

(三)情感态度与价值观目标

极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，从中可进行同一问题，可以用不同工具和不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法教育．

二、教学重难点

1．重点：点的极坐标与直角坐标的互化公式及其使用方法；

2．难点：直角坐标化为极坐标时极角的取值范围。

三、教学过程

(一)知识回顾、引入新课

知识回顾:

1.什么是极坐标系（如图所示）及其四要素

①极点；

②极轴；

③长度单位；

④角度单位（弧度）及它的正方向（逆时针方向）。

2.点的极坐标表示方法及点与其极坐标除极点外一一对应 的限制条件

),(θρM ,πθρ20,0<≤>限制条件

3.极坐标与直角坐标的区别

主要区别:在于平面内一点的直角坐标是唯一的，而极坐标有无数种。 引入新课:

思考：平面内一点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么这 两种坐标之间有什么关系呢？

（二）新课讲授

1. 极坐标与直角坐标的互化

如图1，设点M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，

若把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，

并在两种坐标系中取相同的长度单位，设点M 的极角为θ，极径为ρ，则点M 的极坐标为),(θρ，

图1

问题一：点M 的两种坐标之间有什么关系？

答：从图1可知θρθρsin ,cos ==y x ，① ①说明：已知平面内任意一点M 的极坐标),(θρ可化成直角坐标),(y x . 问题二：如何将点M 的直角坐标),(y x 化成极坐标呢？ 答：由①可知：22(0),tan (0)y x y x x

ρρθ=+>=≠② ②说明：已知平面内任意一点M 的直角坐标),(y x 可化成极坐标),(θρ. 综上可知:(1)极坐标和直角坐标的互化关系式为：

（极⇒直）θρθρsin ,cos ==y x ①

（直⇒极）220),tan (0)y x y x x

ρρθ=+>=

≠② (2)互化公式的三个前提条件：

①极点与直角坐标系的原点重合;

②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；

③两种坐标系的单位长度相同。

注意：当直角坐标落在y 轴上时，极角θ的取值.

2. 例题讲解

)3.(325 111例教材）化成直角坐标，的极坐标（将点例P M π

解：由极坐标化成直角坐标的公式：

θρθρsin ,cos ==y x

可得：

23532sin 5,2532cos 5==-==ππy x

因此，点M 的直角坐标为5.22-（，

巩固练习：

23244322

ππππ已知点的极坐标（，），（，），（，），（），.求它们的直角坐标

解：由极坐标化成直角坐标的公式：cos ,sin x y ρθρθ==

23244322ππππ分别将极坐标（，），（，），（，），（）

坐标分别为代入公式得各点的直角

）），（），（，），（，（0,234,031223223--

)3.()13( 211例教材化成极坐标，将直角坐标点例P M --

解：由直角坐标化成极坐标的公式0),tan (0)y x x ρρθ=>=

≠ 可得：

2ρ===，tan

θ=== 76M πθ因为点在第三象限，所以可取=

7(2,).6M π因此，点的直角坐标为

注意:直角坐标化成极坐标时，通常有不同的表示法

(0,02.)

ρθπ>≤<即：直角坐标化成极坐标要限定,(2)[0,2)πθπ∈极角相差倍一般只要取就可以了.

巩固练习：

732,0023---已知点的直角坐标分别为（，），（），（，），

(0,02).ρθπ>≤<求它们的极坐标限定

(0,02.)ρθπ>≤<注意：直角坐标化成极坐标要限定

解：由直角坐标化成极坐标的公式：

tan (0)y x x ρθ==

≠

732,02--分别将直角坐标（，），（）

代入公式得各点的极坐标分别为47),(,0).32π 轴负半轴上，所以可取）在，因为直角坐标（y 350-23πθ=

的取值。轴上时，极角注意：当直角坐标落在 θy

），，（），，（点在极坐标系中，已知两例6

72325 3ππB A .,两点间的距离求B A 分析：在直角坐标系中，我们有两点距离公式，若已知平面内任意两点

),,(),,(2211y x B y x A .)()(,212212y y x x AB B A -+-=间的距离为则

解：由极坐标化成直角坐标的公式θρθρsin ,cos ==y x

）代入公式可得，（），，（分别将点672325ππB A

)13(23525---，），，（两点的直角坐标分别为B A

29235)1()25()3(,2

2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=AB B A 间的距离为

三、小结

1、极坐标和直角坐标的互化关系式 （极⇒直）θρθρsin ,cos ==y x

（直⇒极）0),tan (0)y x x

ρρθ=>=≠②

2、互化公式的三个前提条件：)20,0(πθρ<≤>限定 ①极点与直角坐标系的原点重合;

②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系的单位长度相同。

注意：当直角坐标落在y 轴上时，极角θ的取值.

四、作业布置

2.1 12练习P