高考数学二轮复习 专题七 第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列 理

解 (1)点 P 的坐标满足条件 1≤b＝a－3≤n－3，所以 An＝n－3. (2)设 k 为正整数，记 fn(k)为满足条件以及 a－b＝3k 的点 P 的个数， 只要讨论 fn(k)≥1 的情形. 由 1≤b＝a－3k≤n－3k 知 fn(k)＝n－3k，且 k≤n－3 1，设 n－1＝3m
解 (1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个 绿球，所以 P＝C24＋CC2329＋C22＝6＋336＋1＝158. (2)随机变量 X 所有可能的取值为 2，3，4. {X＝4}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”，故 P(X＝ 4)＝CC4449＝1216； {X＝3}表示的wenku.baidu.com机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜 色的球，或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球”，
(2014·江苏卷)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿 球，这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P； (2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别 记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概 率分布和数学期望E(X).
＝
m！（nn！ －m）！(m≤n，m，n∈N*).
(3)组合数性质：Cmn ＝Cnn－m；Cmn ＋Cmn －1＝Cnm＋1.
4.数学归纳法 运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推 基础)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归 纳递推(或归纳假设)，假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证 明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题 对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可.
(1)求f(3)； (2)求f(n).
解 (1)当 n＝3 时，1，2，3 的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)， (2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一 个 i∈{1，2，3}，使得 ai＞ai＋1 的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2， 3，1)，(3，1，2)，所以 f(3)＝4.
m
m
＋r，其中 m∈N*，r∈{0，1，2}，则 k≤m，所以 Bn＝k∑＝1fn(k)＝k∑＝1 (n
－3k)＝mn－3m（m2＋1）＝m（2n－23m－3），
将 m＝n－31－r代入上式，化简得 Bn＝（n－1）6（n－2）－r（r－6 1），
所以 Bn＝n（（nn－－613））6（，nn3－是2整）数，，n3不是整数.
故 P(X＝3)＝C34C15＋C94C33C16＝201＋266＝1633； 于是 P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)
＝1－1633－1126＝1114. 所以随机变量 X 的概率分布如下表：
X
23
4
P
11 13 1 14 63 126
因此随机变量 X 的数学期望
E(X)＝2×1114＋3×1633＋4×1216＝290.
热点一 与计数原理有关的问题 【例 1】 (2011·江苏卷)设整数 n≥4，P(a，b)是平面直角坐标系
xOy 中的点，其中 a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b. (1)记 An 为满足 a－b＝3 的点 P 的个数，求 An； (2)记 Bn 为满足13(a－b)是整数的点 P 的个数，求 Bn.
探究提高 此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件 对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原 理进行计算.
【训练1】 (2015·南通调研)记1，2…，n满足下列性质T的排列a1， a2…，an的个数为f(n)(n≥2，n∈N*).性质T：排列a1，a2，…， an中有且只有一个ai＞ai＋1(i∈{1，2，…，n－1}).
n 1
综上，f(n)＝f(n－1)＋ i 1
Cni－－11＝f(n－1)＋2n－1－1.
从而 f(n)＝23（11－－22n－3）－(n－3)＋f(3)＝2n－n－1.
考点整合
1.两种计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.排列 (1)排列的定义；(2)排列数公式：Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝（n－n！m）！(m≤n，m，n∈N*).
3.组合
(1)组合的定义；
(2)
组
合
数
公
式
：
C
m n
＝
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） m！
5.概率、随机变量及其分布 (1)离散型随机变量及其概率分布的表示： ①离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散 型随机变量； ②离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表； 性质：1°pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；2°p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1.
(2)特殊的概率分布列：①0－1 分布(两点分布)符号表示：X～0－1 分布； ②超几何分布：1°符号表示：X～H(n，M，N)； 2°概率分布列：X～H(r；n，M，N)＝P(X＝r)＝CrMCCNMnN－－rM； ③二项分布(又叫独立重复试验，伯努利试验)：1°符号表示：X～ B(n，p)；2°概率分布列：P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k. 注意：P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝r)＋…＋P(X＝n)＝ 1.
第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量 及其分布列
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)分类加法计数 原理、分步乘法计数原理，B级要求.(2)排列与组合，B级要 求.(3)数学归纳法的简单应用，B级要求；(4)n次独立重复试 验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，B级 要求.
真题感悟
(2)在 1，2，…，n 的所有排列(a1，a2，…，an)中，
若 ai＝n(1≤i≤n－1)，从 n－1 个数 1，2，3，…，n－1 中选 i－1
个数按从小到大顺序排列为 a1，a2，…，ai－1，其余按从小到大的
顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为 Cni－－11.
若 an＝n，则满足题意的排列个数为 f(n－1).