反距离加权插值方法研究

倒数距离加权插值，又称“反距离加权平均”或“Shepard 方法”。

设有n 个点，平面坐标为),(i i y x ，垂直高度为i z ，n i ,,2,1 =，倒数距离加权插值的插值函数为

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

===≠=∑∑==时

当时

当n i y x y x z

n i y x y x d d z y x f i i i

i i n

j p j n j p j j

,,2,1,),(),(,,2,1,),(),(1

),(11 。

其中，22)()(j j j y y x x d -+-=

是),(y x 点到),(j j y x 点的水平距离，n j ,,2,1 =。

p 是一个大于0的常数，称为加权幂指数。

容易看出，z ∑∑===

n

j p j

n

j p j

j

d

d

z 1

11

是 n z z z ,,,21 的加权平均。

),(y x f 是用分段表达式表达的，看起来不连续，实际上，它是处处连续的。

),(lim y x f i i y y x x →→∑∑==→→=n j p

j

n

j p j j

y y x x d d

z i i 111lim p n p i p i p i p p n

n p i i p i i p i i p d d d d d d d z d z d z d z d z i 11111lim

111111111

0++++++++++++=+-++--→ p n p i

p i p i p i p i p p i p

n p

i n p

i p i i i p i p i i p p i d d d d d d d d d d d z d d z z d d z d d z i ++++++++++++=+-++--→ 1

111

1111101lim ),(i i i y x f z == ，

所以，),(y x f 在),(i i y x 连续。

加权幂指数p 可以调节插值函数曲面的形状。p 越大，在节点处函数曲面越平坦；p 越小，在节点处函数曲面越尖锐。

倒数距离加权插值的优点是：公式比较简单，特别适用于结点散乱，不是网格点的问题。它的缺点是：只能在节点上取到函数的最大最小值（因为这种插值是各节点上值的加权平均）。

当节点比较多时，倒数距离加权插值的计算工作量比较大，可将插值公式作下列简化：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧

===≠=∑∑==时

当时

当n i y x y x z n i y x y x d w z d w y x f i i i

i i n

j j n

j j j ,,2,1,),(),(,,2,1,),(),()()(),(11 ，

其中

⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤

<=R

d R d R

R

d R R

d d d w j j j

j j j 0314273

01)(2 。

当 3

R

d j ≤

时，)(j d w 的图像是一段双曲线（就是原来1=p 时的倒数距离加权插值

公式）；当

R d R

j ≤<3

时，)(j d w 的图像是一段抛物线；当 R d j > 时，0)(=j d w ，这样，对于距离大于R 的节点，就可以不必计算，计算工作量也就大大减少了。.