高一数学函数的零点与二分法教案
高中数学 241(函数的零点)教案 新人教B版必修1 教案
函数的零点 教案教学目标：1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系 .2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.重点、难点：教学过程：一．自主达标1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数处的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，则ｘ叫做． ２．把一个函数的图像与叫做这个函数的零点．３．二次函数ｙ＝ａ2x ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），当Δ＝2b －４ａｃ＞０时，二次函数有个零点；Δ＝2b －４ａｃ＝０时，二次函数有个零点；Δ＝2b －４ａｃ＜０时，二次函数有个零点．４．二次函数零点的性质：（１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），．（２）在相邻的两个零点之间所有．二。
典例解析例１．若函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，求ａ，ｂ的值． 例1、解：函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，也就是方程2x ＋ａｘ＋ｂ＝０的两个根是２和－４，由根与系数的关系可知⎩⎨⎧=-⨯-=-+ba )4(2)4(2得ａ＝２，ｂ＝－８．评析：反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键． 例２．求证：方程５2x －７ｘ－１＝０的一个根在（－１，０）上，另一个根在（１，２）上．例2、证明：设ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１，则ｆ（－１）ｆ（０）＝－１１＜０，ｆ（１）（２）＝－１５＜０．而二次函数ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１是连续的．所以，ｆ（ｘ）在（－１，０）和（１，２）上分别有零点．即方程５2x －７ｘ－１＝０的根一个在（－１，０）上，另一个（１，２）在上． 评析：判断函数是否在（ａ，ｂ）上存在零点，除验证ｆ（ａ）•ｆ（ｂ）＜０是否成立外，还需考察函数是否在（ａ，ｂ）上连续．若判断根的个数问题，还须结合函数的单调性．例３：学校请了３０名木工，要制作２００把椅子和１００X 桌子．已知制作一X 桌子与制作一把椅子的工时数之比为１０：７，问３０名工人应当如何分组（一组制桌子，另一组制椅子），能使完成全部任务最快？例3、解：设名ｘ工人制桌子，（３０－ｘ）名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制７X 桌子或１０把椅子，所以制作１００X 桌子所需时间为函数ｐ（ｘ）＝x7100，制作２００把椅子所需时间为函数ｑ（ｘ）＝)30(10200x -，完成全部任务所需时间为ｙ（ｘ）＝ｍａｘ｛ｐ（ｘ），ｑ（ｘ）｝． x 7100＝)30(10200x -，解得ｘ＝１２．５，考虑到人数x N +∈，考察ｐ（１２）与ｑ（１３），ｐ（１２）＝84100≈１．１９，ｑ（１３）＝≈1720１．１８，即ｙ（１２）＞ｙ（１３）．所以用１３名工人制作桌子，１７名工人制作椅子完成任务最快．评析：对于本题要用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来解，则可使应用问题化生为熟，尽快得到解决．三、达标练习：１．已知函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调且ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０，则函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上（ ）Ａ．至少有一个零点 Ｂ．至多有一个零点 Ｃ．没有零点 Ｄ．必有唯一零点 ２．已知ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）－２并且α，β是函数ｆ（ｘ）的两个零点，则实数ａ，ｂ，α，β的大小关系可能是（ ）Ａ．ａ＜α＜ｂ＜β Ｂ．ａ＜α＜β＜ｂ Ｃ．Α＜ａ＜ｂ＜βＤ．ａ＜ａ＜β＜ｂ３．函数ｆ（ｘ）＝222(1)2(1)x x x x x -≥⎧⎨-<⎩，则函数ｆ（ｘ）－０．２５的零点 ．４．如果函数f （x ）=2x +ｍx ＋（ｍ＋３）至多有一个零点，则ｍ的取值X 围． ５．对于函数ｆ（ｘ）；若存在0x ∈Ｒ，使ｆ（0x ）＝0x 成立，则称0x 为ｆ（ｘ）的不动点．已知函数f （x ）=a 2x +（b ＋１）x ＋（ｂ－１）（ａ≠０）．（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，求函数ｆ（ｘ）的不动点；（２）若对任意实数ｂ，函数ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点，求ａ的取值X 围． 参考答案：１．Ｄ ２．Ｃ ３．254,89- ４．2-6≤≤m ５．（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，ｆ（ｘ）＝x 2－ｘ－３，由题意可知ｘ＝x 2－ｘ－３ 解得ｘ＝－１或ｘ＝３，故当ａ＝１，ｂ＝－２时ｆ（ｘ）的两个相异的不动点为－１，３．（２） f （x ）=a x 2+（b ＋１）x ＋（ｂ－１）恒有两个相异的不动点．∴ｘ＝a x 2+（b ＋１）x ＋（ｂ－１），即ａx 2＋ｂｘ＋（ｂ－１）＝０恒有两个相异的实数根，得Δ＝)(0)1(42R b b a b ∈>--恒成立，即)(0442R b a ab b ∈>+-恒成立，于是∆1＝016162<-a a ，解得０＜ａ＜１．故当R b ∈，ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点时，ａ取值X 围为０＜ａ＜１．。
【B版】人教课标版高中数学必修一《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教学教案1-新版
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法──二分法一、教学目标1、知识与技能目标：理解用二分法求函数零点的原理，能借助计算器用二分法求出给定函数满足一定精度要求的零点的近似解；2、过程与方法目标：通过具体实例的求解，总结用二分法求函数零点近似解的过程与步骤，感受、体验二分法中的算法思想；3、情感、态度与价值观目标：了解有关解方程的历史，感受函数与方程的内在联系，在探究解决问题的过程中，培养学生与他人合作的态度、表达与交流的意识；培养认真、耐心、严谨的数学品质。
二、重点、难点分析：学习重点：学会用二分法求函数零点的近似解学习难点：对用二分法求函数零点近似解的步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。
二分法作为求函数零点近似解的一种常用方法，也是一种通法，它操作简单，程序性强，只要按部就班地去做，总会算出结果，现在又有了计算机，更容易实现。
同时此处也为后续的算法内容作了铺垫。
所以重点放在会用二分法求函数零点的近似解。
二分法的一般算法，比较抽象，学生不易理解。
求函数零点近似解的过程中，又蕴含着极限的思想，它可以达到要求的任何精度，这种思想可以用于确定函数值。
而一种方法的学会以及“精确到”、“精确度”等概念的理解只有结合实例、亲手计算、辅以工具等才易领悟。
所以难点放在对用二分法求函数零点近似解的步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。
三、教材内容分析（一）本节课在教材中的地位二分法是高中数学新课程的新增内容，这节内容安排在函数、函数性质、函数的零点之后，引入它的重要意义在于：体现了函数与方程的联系及蕴含其中的数形结合思想，打开了求解方程的新思路；引入二分法的另一个重要意义在于它引入了“近似”的概念。
一方面，在实际中离不开近似，另一方面求函数零点近似解的过程，蕴含着极限的思想，它可以达到要求的任何精度，这种思想可以用于确定函数值等等。
二分法是求函数零点近似解的一种常用方法，它的特点是操作简单，程序性强，为后续的算法内容作了铺垫。
高一数学二分法教案
高一数学二分法教案【篇一：《二分法》教案】3.1.2用二分法求方程的近似解【教学设计】1、教材分析本节课注重从学生已有的基础(基本初等函数图像、零值定理)出发，从具体到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系。
在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.2、目标分析学生已学习过的函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数，同时已掌握了求函数零点准确值的一些方法，对函数与方程的关系有了一定的认识。
用二分法求函数零点的近似解是利用了函数图像的连续性，不断逼近函数零点从而求得对应方程近似解的一种计算方法，因此通过学习二分法可以进一步培养学生有意识地运用函数图像及其性质去分析并解决问题的能力。
在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生能熟练地运用计算器演算。
由此得出本节课的教学目标为：知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感态度价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
3、重难点分析重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程的根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 4、教法分析本节课突出方法的讲授与思维的训练，遵循“实例导入→揭示课题→实践探究→总结提炼→回归定义→视野拓展→学生感悟”的教学环节，由特殊到一般，由具体到抽象，循序渐进训练学生思维，给学生更多独立思考的空间。
二分法求函数零点教案(可编辑修改word版)
１、二分法的概念用二分法求方程的近似解对于在区间[a, b]上连续不断且 f (a ) · f (b ) < 0 的函数 y = f (x ) , 通过不断把函数f (x ) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。
２、用二分法求函数 f (x ) 的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证： f (a ) · f (b ) < 0，确定精确度（２）求区间(a , b)的中点 x 1（３）计算 f (x 1 )若 f (x 1 ) =0, 则就 x 1 是函数的零点若 f (a ) · f (x 1 ) <０，则令 b = x 1 （此时零点 x 0∈(a,x 1 )）若 f (x 1 ) · f (b ) <０，则令 a = x 1 （此时零点 x 0∈( x 1 , b)） （４）判断是否达到精确度即若 | a – b | <, 则得到零点的近似值为 a （或 b ），否则重复（２）～（４） 3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。
否则为不变号零点。
二分法只能求函数的变号零点。
例题讲解：例 1：下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）解：应选 B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
1 例 2、 利用二分法求方程 x= 3 - x 的一个近似解（精确到 0.1）。
解：设 f (x ) = 1 + x - 3 ，则求方程 1= 3 - x 的一个近似解，即求函数 f (x ) 的一个近似零x x点。
∵ f (2) = - 1 < 0 ， f (3) = 1> 0 ，∴取区间[2,3]作为计算的初始区间。
人教B版高中数学必修一2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教学设计
《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教学设计一、教材分析1.教学内容《求函数零点近似解的一种算法——二分法》，选自普通高中课程标准实验教科书人教B版必修1第二章函数中《函数与方程》第二节，本单元主要研究函数的零点，求函数零点的近似解的一种算法——二分法，给出零点的概念，讨论零点个数的判定方法，给出了函数零点的性质，用二分法求函数的变号零点是零点性质的应用。
2.教材的地位与作用算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
教材有目的、有意识地将算法思想渗透在高中数学有关内容中，让学生不断加深对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。
二分法正是这一思想的体现。
二、学情分析在本节课之前，学生学习了函数零点的定义及性质，会求简单函数的零点，了解了函数零点与方程根以及函数图象的关系，这些为本节课的学习奠定的必要的知识基础。
再者，学生经过了必修一第二章函数部分内容的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、判断、归纳、概括、表达等能力，这些为本节课的学习做了能力和方法上的准备。
实际问题中的二分思想在生活中的广泛应用，也为学生学习二分法提供了思维平台。
三、教学目标分析根据学生的认知水平和教科书的内容，本节课要求学生在掌握函数零点概念及性质的基础上，理解二分法的思想，会应用二分法求函数零点的近似解，明确二分法是求函数零点近似解的一种算法，故而确立本节课的三维教学目标为：1.知识与技能目标：（1）理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求函数零点近似解的一种算法；（2）能够借助计算器，用二分法求某些具体函数零点的近似解，会用二分法思想解决其他的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对二分法原理的探索，引导学生形成用函数的观点处理问题的意识，体会数形结合的思想；（2）通过求具体函数零点的近似解，体现了从特殊到一般的认知过程；（3）让学生充分体验近似思想、逼近思想和算法思想，并为继续学习算法做知识准备。
高一 数学 函数的零点与二分法课件
二分法在寻找函数零点中的应用
二分法是一种通过不断将区间 一分为二来逼近函数零点的数 值方法。
在给定一个连续函数和一个闭 区间，不知道零点所在的大致 位置时，可以使用二分法来找 到零点。
二分法的基本思想是，如果函 数在区间两端取值异号，则该 区间内必定存在一个零点。
二分法在解决函数零点问题中的优势
实例
以 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 为例， 其零点为 $x = -1, x = 3$。
高次函数的零点问题
高次函数零点定义
高次函数 $f(x)$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值。
零点求解方法
通过解高次方程来找到零点。
实例
以 $f(x) = x^3 - x - 1$ 为例，其零点为 $x = 1, x = -1, x = frac{1}{3}$。
以 $f(x) = x - 3$ 为例，其零点为 $x = 3$。
零点求解方法
通过解方程 $ax + b = 0$ 来找到零 点。
二次函数的零点问题
二次函数零点定义
二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的
$x$ 值。
零点求解方法
通过解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 来找到零点。
导数法
通过判断导数的正负来判 断函数的单调性，进而找 到函数的零点。
03 二分法原理
二分法的定义
二分法定义
二分法是一种求解实数近似值的方法，通过不断将区间一分 为二，使区间长度逐渐缩小，当区间长度小于给定的误差范 围时，区间内的任意实数近似值即可作为所求的近似解。
函数的零点与二分法(优质课)教案
函数的零点与二分法（优质课）教案教学目标：1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
教学过程：一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．答案：B练习1：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )A．只有一个变号零点B．有一个不变号零点C．至少有一个变号零点D．不一定有零点答案：C练习2：用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案：B类型五用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的 答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： (7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，1 2.∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为。
人教B版高中数学必修一教案-2.4.1 函数的零点
《函数的零点》教学设计一、教学内容分析本课题是普通高中课程标准实验教科书数学1（必修）人教B版第二章《函数》，第4节函数与方程的第一课时，本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法．其目的是使学生体会函数与方程之间的联系．为下一节《二分法》做准备．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．本章主要渗透了“函数与方程”和“数形结合”的数学思想．二、教学目标分析知识与技能目标：理解函数零点的意义，了解函数的零点与方程根的关系，会求简单函数的零点，能判断二次函数零点的存在性，并能对零点存在定理进行简单的应用．过程与方法目标：引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.；体验函数零点存在定理的形成过程，初步感受零点存在定理在解题中的应用．情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想．三、教学基本条件分析1．学生条件：学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究．2．前期内容准备：前面学习一次函数和二次函数时，教师对函数和方程的联系已经做了适当的渗透．3．教学媒体条件：支持幻灯片展示．四、教学重难点分析教学重点：函数零点的定义的理解．教学难点：正确理解函数零点的判定方法的不可逆性；函数与方程的联系及应用．五、教学过程设计（一）开门见山，揭示课题前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的图象与性质，初步学习了研究函数的一般方法，今天我们通过研究函数的另一个重要知识，来进一步感受函数与方程的联系．问题引入：已知二次函数y＝x 2－x－6，试问x取什么值时，y=0？方程有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点；方程的根就是图象与x轴交点的横坐标．－2、3在方程中称为实数根，对函数来说称为零点．（板书课题）函数的零点定义：如果函数在实数x0处的值等于零，即f(x0)＝0，则x0叫做这个函数的零点．注意：零点不是点．设计意图：因为对这个定义的直观理解不难，所以直接给出，意为锻炼学生的数学阅读理解的能力，同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫．由此得出：函数与方程的关系．（二）设问疑问，引导探究 例1：求出下列函数的零点，并作出函数的图象．（1）y ＝x 2－2x ＋1 （2）y ＝x 2＋x ＋1解：过程略．设计意图：加深对概念的理解．让学生知道二重（二阶）零点的含义；不是所有的函数都有零点． （幻灯片展示）上面我们给出的三个函数都是一元二次函数，那么你能总结出对于一般的一元二次函数y=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，它的零点的情况与什么有关？预设答案：与方程的判别式有关．当△＞0时，一元二次方程有两个不等的实数根x 1，x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有两个交点 (x 1，0)，(x 2，0)，函数有两个零点x 1，x 2；【变号零点】当△＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根x 1= x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有一个交点 (x 1，0)，函数有一个二重零点x 1；【二阶零点】当△＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x 轴没有交点，函数没有零点． 设计意图：让学生在总结二次函数零点情况的过程中，理清方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标和函数的零点之间的逻辑关系．通过图象看到函数零点的性质：①图象通过零点穿过x 轴时，函数值变号．——变号零点；②零点把x 轴分成的每个区间上函数值保持同号．研究函数的零点也就是研究相应方程的实数根，也就是研究函数的图象与x 轴的交点情况．（三）利用方程，研究函数例2．求函数y ＝x 3－2x 2－x ＋2的零点并画出函数的图象（简图）．问题1：函数零点把x 轴分成了几部分？请考察在函数每个区间内函数值的符号．问题2：请仔细观察表格，你能发现哪些规律？（让学生观察发现）预设答案：零点两侧符号相反．问题3：是所有函数零点两侧函数值的符号都相反吗？预设答案：不是，譬如函数y ＝x 2－2x ＋1．只有变号零点两侧符号相反．设计意图：学生应用函数与方程的联系，通过方程研究函数的性质，做出函数的简图．同时，研究的过程也是在为后面发现零点存在定理作方法上的铺垫．（四） 探究发现“零点存在定理”1．探究发现例3：已知函数f (x )＝x ＋b 在(－1，1)上存在零点，求b 的取值范围．解：法一：求零点；(由教师引导)法二：由题意：f (－1)·f (1)<0，解得b ∈(－1，1)．通过以上分析，请同学们思考，函数在某区间(a ，b )上是否存在零点，与该区间的端点函数值的符号情况是否有某种关系？探究：若函数y =f (x ) 在区间(a , b )内满足f (a )·f (b )＜0，则f (x ) 在区间(a , b )内是否存在零点？下面我们一起探究函数的零点存在的充分条件．学生先独立完成，再通过小组讨论，最后全班交流．探究①：观察图象，归纳函数y＝f(x)在区间端点的函数值f(a)，f(b)的正负情况．预设答案：f (a)·f (b)＜0或f (a)·f (b)＞0．探究②：函数y＝f (x)具备了什么条件，就可确定函数在区间(a，b)上存在零点呢？预设答案：f (a)·f (b)<0．探究③：具备上述特征的函数y＝f(x)是否在区间(a，b)上一定存在零点？预设答案：不是．反例：y＝1x或画图验证．所以函数的图象在[a,b]上必须是连续不断的．探究④：如果连续函数f(x)满足f (a)·f (b)<0，则在区间(a，b)上存在唯一的零点吗？预设答案：不对．反例画图验证．应表述为“至少存在一个”．师生归纳总结：函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点的条件．预设答案：①函数图象连续不断；②区间端点函数值满足f (a)·f (b)<0．2．函数存在零点的条件如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少存在一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)=0．（五）总结升华问题：通过本节课的学习，你在知识、数学思想方法等方面有哪些收获?设计意图：通过小结，理清思路，归纳总结，更好的掌握知识技能，理解数学思想方法，提高解决问题的经验．学生活动，教师进行简要的概括和升华．（六）作业课本P72练习A 1、2；P75习题2－4A 3、4、5、6.六、板书设计（略）七、课后反思方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题．首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性其次教学要把握内容结构，突出思想方法像这些中学新增内容的教学，教学就要取得成功的确不易，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善．.。
教学设计4：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法数零点求解三法我们知道，如果函数y ＝f (x )在x ＝a 处的函数值等于零，即f (a )＝0，则称a 为函数的零点．本文现介绍函数零点求解三法．一、代数法例1 求函数f (x )＝x 2＋2x －3的零点．解 令x 2＋2x －3＝0，Δ＝22－4×(－3)＝16>0， 方程有两个不相等实数根． 方法一 因式分解法或试根法x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)或由f (x )＝x 2＋2x －3， 试一试f (1)＝12＋2×1－3＝0， f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)－3＝0. 所以f (x )的零点为x 1＝1，x 2＝－3. 方法二 配方法x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4＝0，所以x ＋1＝±2.所以零点x 1＝1，x 2＝－3. 方法三 公式法x 1,2＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－2±42.所以零点x 1＝1，x 2＝－3.点评 本题用了由求函数f (x )的零点转化为求方程f (x )＝0的实数根的办法．运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法．二、图象法求函数y ＝g (x )－h (x )的零点，实际上是求曲线y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点的横坐标，即求方程g (x )－h (x )＝0的实数解．三、用二分法求函数近似零点例2 用二分法求函数f (x )＝x 3－3的一个正零点(精确到0.01)． 解 由于f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，因此区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：因为1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5<0.01，所以x 8＝1.437 5＋1.445 312 52≈1.44为函数的一个近似解．点评 首先确定正零点所在的大致区间，区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，应注意运算的准确性，也应注意对精确度的要求．分法在经济和科学技术中的应用 应用问题1：市场的供需平衡问题．详释：市场经济价格自行调整，若供过于求，价格会跌落，若供不应求，价格会上涨，找一个价格平衡点，应怎样找？不妨试着求一下．例 3 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给表表2 )应在区间()A．(2.3,2.4)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内解析由图表分析比较知，市场供需平衡点应在中间某个值，又供给量与需求量均为70×1 000 kg时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡．答案C点评充分阅读题目，理解题意，把两表中的信息与题目要求结合起来，可找到答案．分法在日常生活中的应用应用问题2：运用二分法查线路故障．详释：在日常生活中，经常遇到电线或电话线、网线等出现故障．我们不妨用二分法排查一下．例 4 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？解如图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．点评有步骤地缩小解所在的区间，是二分法的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想．函数的零点错例剖析一、忽略了概念例5 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上连续，且f(a)·f(b)>0，则有结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)上不存在零点．判断该命题是否正确．错解正确．剖析对区间(a，b)上的连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则必存在零点；反之，则不然．正解无法判断是否存在零点及零点个数问题．如函数f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)＝1>0，而在区间(－1,1)上显然存在零点．故该命题不正确．点评 (1)函数y ＝f (x )的图象在区间(a ，b )上连续且有f (a )·f (b )<0，所得在(a ，b )上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点；(2)零点定理仅能判断当函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是连续曲线，并且f (a )·f (b )<0时，在(a ，b )上至少存在一个零点，而无法确定零点个数．二、忽略了分类讨论例6 若函数y ＝ax 2－2x ＋1只有一个零点，求实数a 的取值范围． 错解 由题意可得，实数a 所满足的条件为Δ＝4－4a ＝0，∴a ＝1.剖析 没有对系数a 进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数． 正解 (1)当a ＝0时，y ＝－2x ＋1，有唯一零点； (2)当a ≠0时，由题意可得Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1. 综上，实数a 的取值范围为a ＝0或a ＝1.点评 对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．三、忽略了区间端点值例7 已知f (x )＝3mx －4，若在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，求实数m 的取值范围． 错解 因为在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0， 则f (－2)·f (0)<0，所以(－6m －4)·(－4)<0， 解得m <－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23)．剖析 本题的x 0在[－2,0]上可取到端点， 即f (－2)·f (0)≤0.正解 由f (－2)·f (0)≤0，解得m ≤－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23]．点评 区间值要全部考虑到，做到不重不漏． 四、图象应用例8 已知函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则方程f (x )＝0( )A．有三个实根B．当x<－1时恰有一实根C．当－1<x<0时恰有一实根D．当0<x<1时恰有一实根E．当x>1时恰有一实根错解将已知函数图象向上平移0．01个单位(如图所示)，即得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01的图象．故选B项．剖析肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼”．正解∵f(－2)<0，f(－1)>0，∴f(－2)·f(－1)<0，∴B项正确．又f(0)>0，∴C项错误．而f(0.5)<0，f(1)>0，∴f(x)＝0在区间(0,1)上有两个实根，则D项错误，E项也错，并且由此可知A项正确．故选A、B两项．点评应用数形结合思想处理方程问题，直观易懂，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想与函数思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．解因为f(－1)＝3×(－1)3－2(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．二、确定方程根的个数例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个分析利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．解析设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.答案A点评在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有惟一的零点．三、求参数的取值范围例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．解析因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，所以f(－2)f(0)≤0.即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.答案m≥1点评 本题对方程实根的研究转化为对一次函数f (x )在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m 的不等式求出m 的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．巧用零点与方程根的关系求系数范围例4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0,1)C ．b ∈(1,2)D ．b ∈(2，＋∞)分析 本题主要考查函数的零点及待定系数法，解答时从图中获取正确信息是解答的关键．解析 方法一 从图中可以得f (0)＝0，∴d ＝0，由图可知f (x )有三个零点，故可设函数的解析式是f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .当x >2时，f (x )>0，因此a >0， ∵b ＝－3a ，∴b <0.方法二 由f (0)＝0，得d ＝0， 又∵f (1)＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0① 又∵f (－1)<0，即－a ＋b －c <0 ②①＋②得2b <0，∴b <0. 答案 A例5 已知关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围．分析 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布，函数f (x )的图象只能如图所示．对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，解出即可．解 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是k >0或k <－4.点评 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．二分法思想的应用“逐步逼近”是重要的数学思想，同学们现在学习的求方程近似解的“二分法”就充分运用了这一思想．“考察极端”、“化整为零”、“无限分割”等都是这一数学思想的具体体现．作为研究和解决问题的思想方法，“逐步逼近”渗透在中学数学的许多内容中，比如初中学习的圆面积公式，就是由正多边形“逐步逼近”圆推导的；又如两个集合相等，就是由集合间的子集关系“逼近”的(即A ⊆B 且B ⊆A ⇔A ＝B )；再如，由“有理数逼近无理数”使我们认识了实数指数幂等，在以后的学习中，我们还会看到这一思想的运用(如球的表面积和体积公式的推导)．下面通过“两边夹法则”的应用来体会和领悟“逐步逼近”思想的奥妙．两边夹法则：如果实数a ，b 满足a ≥b ，且b ≥a ，则a ＝b .例6 已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b .当a >0，－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1且g (x )的最大值为2，求f (x )．解 ∵a >0，∴g (x )＝ax ＋b 在[－1,1]上是增函数． 又g (x )在[－1,1]上的最大值为2， ∴g (1)＝2，即a ＋b ＝2.①于是f (1)－f (0)＝2.由题设有－1≤f (0)＝f (1)－2≤1－2＝－1， ∴f (0)＝－1，从而c ＝－1. 又由题设知f (x )≥－1＝f (0)， ∴二次函数f (x )的对称轴为x ＝0，于是－b2a ＝0，得b ＝0，将其代入①，得a ＝2.∴f (x )＝2x 2－1.山重水复疑无路，柳暗花明又一村探索解题方法对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此．分析时“条条是道”，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的．当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的．本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：题目：已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x 1<x 2且f (x 1)≠f (x 2)，求证：方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等的实根，且必有一根属于(x 1，x 2)．分析一：数形结合，从图象分析入手，分别作出两函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象，直观上可以看出两函数有两个不同的交点．方法一 由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是二次函数，不妨设a >0，则函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上．而y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象呢？是一条平行于x 轴的直线．此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f (x 1)与f (x 2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！分析细节：f (x 1)与f (x 2)是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 分别在x 1，x 2处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f (x 1)≠f (x 2)，说明12[f (x 1)＋f (x 2)]一定比最小值大；若y 2的值就是最小值，此时，直线与抛物线相切于顶点，而12[f (x 1)＋f (x 2)]大于最小值，则y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]与二次函数图象一定有两个不同的交点．又因为min{f (x 1)，f (x 2)}≤12[f (x 1)＋f (x 2)]≤max{f (x 1)，f (x 2)}，故必有一根属于(x 1，x 2)．分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的“b 2－4ac ”，然后，再结合函数零点的存在定理．方法二 由f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]，得2ax 2＋2bx ＋2c －f (x 1)－f (x 2)＝0. 那么Δ＝(2b )2－4×(2a )·[2c －f (x 1)－f (x 2)] ＝4[b 2－4ac ＋2af (x 1)＋2af (x 2)]．此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！ 分析细节 在上式中存在f (x 1)与f (x 2)，可否将其替换呢？于是Δ＝4[b 2－4ac ＋2a (ax 21＋bx 1＋c )＋2a (ax 22＋bx 2＋c )] ＝2(4a 2x 21＋4abx 1＋b 2)＋2(4a 2x 22＋4abx 2＋b 2)＝2(2ax 1＋b )2＋2(2ax 2＋b )2≥0.又x 1<x 2，得Δ>0，因此方程有两个不等的实根． 又设g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)g (x 2)＝{f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}·{f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0.说明g(x1)与g(x2)异号，即12[f(x1)＋f(x2)]∈[f(x1)，f(x2)]．故方程必有一根属于(x1，x2)．通过本例，我们可以看出：当思维受挫时，仔细去分析细节，通过细节使问题获解是重要的思维策略，有必要真正掌握.高考中的函数与方程函数与方程是高中数学的重要内容，尤其是二次函数与二次方程，它们有着密切的关系，函数可以看作方程，某些方程也可以看作是函数关系．在解决有关问题时，函数、方程常相互转化．本文精选历年高考试题为例加以说明．考点一函数转化为方程1．(上海高考)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．分析抓住函数f(x)的不动点概念列出方程，即可解决问题(1)；利用方程恒有一个实数解的条件可解决问题(2)．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3.由题意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.故当a＝1，b＝－2时，f(x)的两个不动点为－1和3.(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)恒有两相异不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个相异的实数根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0 (b∈R)恒成立．于是Δ＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1.故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0<a<1.点评本题中的新情境——不动点，它的实质就是方程f(x)＝x的根．考点二方程转化为函数2．(聊城模拟)若关于x的方程x2－3x＋a＝0两根中有一根在(0,1)之间，求实数a的取值范围．分析本问题可转化为函数y＝x2－3x＋a有两个零点，其中有一个在(0,1)内．那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m，n)内有零点的条件f(m)·f(n)<0，求a的取值范围．解 根据题意，函数y ＝x 2－3x ＋a 有两个零点，其中有一个在(0,1)内，作函数y ＝x 2－3x ＋a 的大致图象，如图所示，则可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4a >0，f 0>0，f 1<0.解得0<a <2.故a 的取值范围是(0,2)．点评 利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件．需从三个方面考虑：①判别式；②对称轴直线x ＝－b 2a与区间端点的关系； ③区间端点函数值的正负． 考点三 函数与方程的循环转化3．(浙江高考)若f (x )和g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f [g (x )]＝0有实数解，则g [f (x )]不可能是( )A ．x 2＋x －15B ．x 2＋x ＋15C ．x 2－15D ．x 2＋15 分析 由于本题未知函数f (x )、g (x )的类型，试图用待定系数法去解决比较困难．故可采用较灵活的方法——逐一验证法．解析 若g [f (x )]＝x 2＋x －15，不妨设f (x )＝x 2＋x －15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0即得x 2－15＝0，显然，x 2－15＝0有解．故函数g [f (x )]有可能为x 2＋x －15. 若g [f (x )]＝x 2＋x ＋15，不妨设f (x )＝x 2＋x ＋15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0，即得x 2＋15＝0.显然，x 2＋15＝0无解．故函数g [f (x )]不可能为x 2＋x ＋15. 对于C 、D 两答案，同理可得可能为g [f (x )]．答案 B点评 本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性． 考点四 创新题4．设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，如果存在实数x 0，使得x 0＝f (x 0)，那么x 0为函数y ＝f (x )的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是( )分析 函数的零点即为函数值为0时对应方程的解．因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决．所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去．解析 使x 0＝f (x 0)的解即为y ＝f (x )的图象和y ＝x 的交点的个数问题．观察图象易得结论．答案 B5．关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0，给出下列四个论断：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根其中正确的个数是( )A ．0B ．4C ．2D ．3分析 本题的命制立足函数与方程之间的内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力．解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理．解析 据题意可令x 2－1＝t (t ≥－1)，则方程化为|t |2－|t |＋k ＝0，即k ＝|t |－|t |2.作出y 1＝|t |－|t |2的图象如右图，平移y 2＝k 这一直线，结合函数的图象可知： ①当0<k <14时，t 有4个值，相应的x 有8个值． ②当k ＝14时，t 有2个值，相应的x 有4个值． ③当k ＝0时，t 有3个值，相应的x 有5个值．④当k <0时，t 有1个值，相应的x 有2个值．答案 B6．对于函数y ＝f (x )(x ∈D )其中D 为函数的定义域，若同时满足下列2个条件： ①y ＝f (x )在定义域内是单调函数；②存在区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是[a ，b ]，那么把y ＝f (x )(x ∈D )称为闭函数．(1)求闭函数y ＝－x 3符合条件②的区间[a ，b ]；(2)判断函数f (x )＝－34x ＋1x，x ∈(0，＋∞)是否为闭函数，说明理由． 分析 首先以定义形式给出函数的一项性质，然后围绕此性质进行命题，其实质是对函数单调性的应用考察，其次是函数与方程的转化，数形结合解决有关二次函数根的问题．解 (1)因为y ＝－x 3是R 上的单调递减函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝b ，f b ＝a 且a <b ，即a ＝－b 3<b ，所以b >0.又－a 3＝b 9＝b ，故b ＝1，a ＝－1.所以该区间为[－1,1]．(2)由函数单调性的定义知，该函数在x ∈(0，＋∞)为单调减函数，若为闭函数，则存在x ∈[a ，b ]，值域为[a ，b ]．于是⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ， 即⎩⎨⎧ f a ＝－34a ＋1a ＝b ，f b ＝－34b ＋1b ＝a .所以ab ＝4，得－34a ＋1a ＝4a， 所以a 2＝－4与任意实数的平方是非负数相矛盾，所以不存在满足性质②的区间，故该函数不是闭函数．。
数学必修一 函数的零点教案
4.1.1方程的根与函数的零点学习目标1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．学习重点、难点重点: 零点的概念及存在性的判定．难点: 零点的确定．学习过程(一)课题1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y（二）研讨新知函数零点的概念： 对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．根据函数零点的意义，其求法有：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）． ② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）． ③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．（三）、巩固深化，发展思维1．例题例1． 求函数f(x)=322+--x x 的零点个数。
人教B版高中数学必修一2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教学设计
《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》教学设计一、教材分析1.教学内容《求函数零点近似解的一种算法——二分法》，选自普通高中课程标准实验教科书人教B版必修1第二章函数中《函数与方程》第二节，本单元主要研究函数的零点，求函数零点的近似解的一种算法——二分法，给出零点的概念，讨论零点个数的判定方法，给出了函数零点的性质，用二分法求函数的变号零点是零点性质的应用。
2.教材的地位与作用算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
教材有目的、有意识地将算法思想渗透在高中数学有关内容中，让学生不断加深对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。
二分法正是这一思想的体现。
二、学情分析在本节课之前，学生学习了函数零点的定义及性质，会求简单函数的零点，了解了函数零点与方程根以及函数图象的关系，这些为本节课的学习奠定的必要的知识基础。
再者，学生经过了必修一第二章函数部分内容的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、判断、归纳、概括、表达等能力，这些为本节课的学习做了能力和方法上的准备。
实际问题中的二分思想在生活中的广泛应用，也为学生学习二分法提供了思维平台。
三、教学目标分析根据学生的认知水平和教科书的内容，本节课要求学生在掌握函数零点概念及性质的基础上，理解二分法的思想，会应用二分法求函数零点的近似解，明确二分法是求函数零点近似解的一种算法，故而确立本节课的三维教学目标为：1.知识与技能目标：（1）理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求函数零点近似解的一种算法；（2）能够借助计算器，用二分法求某些具体函数零点的近似解，会用二分法思想解决其他的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对二分法原理的探索，引导学生形成用函数的观点处理问题的意识，体会数形结合的思想；（2）通过求具体函数零点的近似解，体现了从特殊到一般的认知过程；（3）让学生充分体验近似思想、逼近思想和算法思想，并为继续学习算法做知识准备。
高一数学函数的零点与二分法教案5页
一. 教学内容：函数的零点与二分法 三. 知识要点 1、函数的零点一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。
（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标．归纳：方程0)x (f =有实数根⇔函数)x (f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)x (f y =有零点． 3、函数零点存在性的判定方法如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f <⋅，那么，函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点.即存在()b ,a c ∈，使得0)c (f =，这个c 也就是方程0)x (f =的根。
说明：（1）函数)x (f y =在区间[]b ,a 上有定义； （2）函数的图象是连续不断的一条曲线；（3）函数)x (f y =在区间[]b ,a 两端点的函数值必须满足0)b (f )a (f <⋅； （4）函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点，但不唯一；（5）用判定方法验证函数2x )x (f =，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。
4、函数零点的求法：Ⅰ：可以解方程0)x (f =而得到（代数法）； Ⅱ：可以将它与函数)x (f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法） 5、二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表。
高中数学 242(求函数零点近似解的一种计算方法二分法)教案 新人教B版必修1 教案
求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教案
教学目标：
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
3．能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．重点，难点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学过程。
2025届高考数学一轮复习教案：函数-函数的零点与方程的解、二分法
第七节函数的应用第1课时函数的零点与方程的解、二分法【课程标准】1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解.【考情分析】考点考法:高考命题常以基本初等函数及其图象为载体,考查函数零点是否存在、存在的区间及个数,利用零点的存在情况求参数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y =f (x ),我们把使f (x )=0的实数x 叫做函数y =f (x )的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )有零点⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f (a )f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的解.【微点拨】函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.函数f(x)=2x的零点为0B.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点C.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点D.图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0【解析】选BD.B函数y=f(x)的零点,即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.×D f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件.×2.(必修一P144T2·变形式)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)=0在(0,+∞)上只有一个根,且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2).的零点个数为()3.(2022·北京高考)函数f(x)=2+-2,≤0,-1+ln,>0A.3B.2C.7D.0【解析】选B.由≤0,2+-2=0或>0,-1+ln=0,解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点.4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是[-1,-12].【解析】依题意函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,所以k≠0,函数f(x)在定义域上是单调函数,所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,解得-1≤k≤-12.【巧记结论·速算】1.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.2.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.【即时练】1.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.433-7424.5-36.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选B.依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据函数零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.2.函数f(x)=e x+3x的零点有1个.【解析】f(x)在R上单调递增,又f(-1)=1e-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点.【核心考点·分类突破】考点一函数零点所在区间的判定[例1](1)(2023·唐山模拟)函数f(x)=1-x log2x的零点所在的区间是() A.(14,12)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.因为y=1与y=log2x的图象只有一个交点,所以f(x)只有一个零点.又因为f(1)=1,f(2)=-1,f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=1-x log2x的零点所在的区间是(1,2).(2)(一题多法)设函数f(x)=13x-ln x,则函数y=f(x)()A.在区间(1e,1),(1,e)内均有零点B.在区间(1e,1),(1,e)内均无零点C.在区间(1e,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间(1e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点【解析】选D.方法一(图象法):令f(x)=0,得13x=ln x.作出函数y=13x和y=ln x的图象,如图,显然y=f(x)在(1e,1)内无零点,在(1,e)内有零点.方法二(函数零点存在定理法):当x∈(1e,e)时,函数图象是连续的,且f'(x)=13-1=-33<0,所以函数f(x)在(1e,e)上单调递减.又f(1e)=13e+1>0,f(1)=13>0,f(e)=13e-1<0,所以函数在区间(1e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点.【解题技法】确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【对点训练】1.(2023·荆州模拟)若x0是方程(12)x=13的根,则x0属于区间()A.(23,1)B.(12,23)C.(13,12)D.(0,13)【解析】选C.构造函数f(x)=(12)x-13,易知函数f(x)在R上单调递减,且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,易知f(0)=(12)0-0=1>0,f(13)=(12)13-(13)13f(12)=(12)12-(12)13<0,f(23)=(12)23-(23)13<0,f(1)=12-1=-12<0,结合选项,因为f(13)·f(12)<0,故函数f(x)的零点所在的区间为(13,12),即方程(12)x=13的根x0属于区间(13,12).2.根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为()x12345ln x00.6931.0991.3861.609x-2-10123A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【解析】选C.设f(x)=ln x-x+2=ln x-(x-2),易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续,由题中表格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)=ln3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln4-2=1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0,即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点,即方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(3,4).3.[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程ln x+3x-15=0的根,则[x0]=()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.设f(x)=ln x+3x-15,显然f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,故f(x)=0只有一个根,又f(4)=ln4-3=2ln2-3<2(ln2-1)<0,f(5)=ln5>0,所以x0∈(4,5),故[x0]=4.考点二函数零点个数的判定[例2](1)(一题多法)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.方法一:因为f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.方法二:设y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)=2-2,≤0,1+1,>0,则函数y=f(x)+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.令f(x)+3x=0,则≤0,2-2+3=0或>0,1+1+3=0,解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.(3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2024x+log2024x,则函数f(x)的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.作出函数y=2024x和y=-log2024x的图象如图所示,可知函数f(x)=2024x+log2024x在x∈(0,+∞)上只有一个零点,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在x∈(-∞,0)上只有一个零点,又f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数是3.【解题技法】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点:令f(x)=0,有几个解就有几个零点.(2)函数零点存在定理:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.(3)利用图象交点个数:作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.【对点训练】1.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由2x|log0.5x|-1=0得|log0.5x|=(12)x,作出y=|log0.5x|和y=(12)x的图象,如图所示,则两个函数图象有2个交点,故函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点.2.(一题多法)(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=|ln|,>0,-2(+2),≤0,则函数y=f(x)-3的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.方法一(直接法):由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x>0时,得ln x=3或ln x=-3,解得x=e3或x=e-3;当x≤0时,得-2x(x+2)=3,无解.所以函数y=f(x)-3的零点个数是2.方法二(图象法):作出函数f(x)的图象,如图,函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数,作出直线y=3,由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点,故函数y=f(x)-3的零点个数是2.3.函数f(x)=36-2·cos x的零点个数为6.【解析】令36-x2≥0,解得-6≤x≤6,所以f(x)的定义域为[-6,6].令f(x)=0,得36-x2=0或cos x=0,由36-x2=0得x=±6,由cos x=0得x=π2+kπ,k∈Z,又x∈[-6,6],所以x为-3π2,-π2,π2,3π2.故f(x)共有6个零点.考点三函数零点的应用【考情提示】函数的零点问题充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰富的数形结合思想,因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点,且形式逐渐多样化,各种题型均可考查,属于中档题.角度1根据函数零点个数求参数[例3](1)(多选题)(2023·廊坊模拟)已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|,则下列结论正确的是()A.若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0)B.若f(x)恰有2个零点,则a∈(1,5)C.若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5D.若f(x)恰有4个零点,则a∈(5,+∞)【解析】选AC.当x=0时,f(0)=1≠0,所以x=0不是f(x)的零点;当x≠0时,由f(x)=0,整理得a=|x+1+3|,令g(x)=|x+1+3|,则函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|x+1+3|的图象与直线y=a的交点个数,作出函数g(x)=|x+1+3|的大致图象(如图).由图可知,若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0),故A正确;若f(x)恰有2个零点,则a∈{0}∪(1,5),故B不正确;若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5,故C正确;若f(x)恰有4个零点,则a∈(0,1)∪(5,+∞),故D不正确.(2)已知函数f(x)=e,≤0,ln,>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出函数f(x)的图象,并平移直线y=-x,如图所示,由图可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点.角度2根据函数零点范围求参数[例4](1)若函数f(x)=2x-2-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)【解析】选C.因为函数f(x)=2x-2-a在区间(1,2)上单调递增,且函数f(x)=2x-2-a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.(2)(2023·北京模拟)已知函数f(x)=3x-1+B.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是()A.(-∞,43)B.(0,43)C.(-∞,0)D.(43,+∞)【解析】选B.由f(x)=3x-1+B=0,可得a=3x-1,令g(x)=3x-1,其中x∈(-∞,-1),由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域.由于函数y=3x,y=-1在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x-1<g(-1)=3-1+1=43,又g(x)=3x-1>0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为(0,43).因此实数a的取值范围是(0,43).【解题技法】已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求已知函数零点情况的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.【对点训练】1.已知函数f(x)=log2(x+1)-1+m在区间(1,3]上有零点,则m的取值范围为()A.(-53,0)B.(-∞,-53)∪(0,+∞)C.(-∞,-53]∪(0,+∞)D.[-53,0)【解析】选D.因为函数y=log2(x+1),y=m-1在区间(1,3]上单调递增,所以函数f(x)在(1,3]上单调递增,由于函数f(x)=log2(x+1)-1+m在区间(1,3]上有零点,则(1)<0,(3)≥0,即<0,+53≥0,解得-53≤m<0.因此,实数m的取值范围是[-53,0).2.已知关于x的方程ax+6=2x在区间(1,2)内有解,则实数a的取值范围是()A.(-4,-1)B.[-4,-1]C.(-2,-12)D.[-2,-12]【解析】选A.根据题意可得ax=2x-6,故转化为函数y=ax和y=2x-6的图象的交点.易知y=2x-6的图象上的两个点为(1,-4)和(2,-2),如图所示,当直线y=ax过(1,-4)时,a=-4,当直线y=ax过(2,-2)时,a=-1.所以a的取值范围是(-4,-1).3.(2023·济南模拟)已知函数f(x)=,≤0,|2-3|,>0,g(x)=f(x)-12x+a,若g(x)存在3个零点,则实数a的取值范围为[0,34).【解析】函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与y=12x-a的图象有3个交点.画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如图所示.根据图象易知,要使函数f(x)和y=12x-a的图象有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<34.【重难突破】复合函数的零点、方程的根的综合【本质】复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和化归转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点.【常见方法】先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.类型一判断复合函数零点的个数[例1]已知函数f(x)=ln-1,>0,2+2,≤0,则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是() A.2 B.3 C.4D.5【解析】选D.令t=f(x)+1=ln-1+1,>0,(+1)2,≤0.当t>0时,f(t)=ln t-1,则函数f(t)在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln2-12>0,所以由函数零点存在定理可知,存在t1∈(1,2),使得f(t1)=0;当t≤0时,f(t)=t2+2t,由f(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0.作出函数t=f(x)+1的图象,直线t=t1,t=-2,t=0如图所示,由图象可知,直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点.综上,函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5.【解题技法】求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t被几个x对应,将x的个数汇总后即为y=f(g(x))的根的个数,即“从外到内”.【对点训练】已知f(x)=|lg|,>0,2||,≤0,则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是5.【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.由图象知y=12与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.类型二由复合函数零点情况求参数[例2]已知函数f(x)=B+3,≥0,(12),<0,若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是()A.[0,+∞)B.[1,3]C.(-1,-13]D.[-1,-13]【解析】选C.因为f(f(x))-2=0,所以f(f(x))=2,所以f(x)=-1或f(x)=-1(k≠0).(ⅰ)当k=0时,作出函数f(x)的图象如图①所示,由图象可知f(x)=-1无解,所以k=0不符合题意;(ⅱ)当k>0时,作出函数f(x)的图象如图②所示,由图象可知f(x)=-1无解且f(x)=-1无解,即f(f(x))-2=0无解,不符合题意;(ⅲ)当k<0时,作出函数f(x)的图象如图③所示,由图象可知f(x)=-1有1个实根,因为f(f(x))-2=0有3个实根,所以f(x)=-1有2个实根,所以1<-1≤3,解得-1<k≤-13.综上,k的取值范围是(-1,-13].【解题技法】已知复合函数y=f(g(x))零点的个数,求参数的取值范围的问题的方法(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由零点个数结合t=g(x)与y=f(t)的图象特点,从而确定t的取值范围,进而决定参数的范围,即“从内到外”.此法称为双图象法(换元法+数形结合).【对点训练】已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=+14,>0,+1,≤0.若方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是[1,54).【解析】令f(x)=t(t<1),则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)时有2个不同的解,则原方程有4个不同的实数根等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象如图,由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是[1,54).。
课题：二分法求零点,教案
课题：方程的根与函数的零点课 型：新授课教学目标1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．教学重点、难点重点: 零点的概念及存在性的判定．难点: 零点的确定．学法与教学用具1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
2．教学用具：投影仪。
教学过程(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： （用投影仪给出）①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二）互动交流 研讨新知函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）．② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）．③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．（三）、巩固深化，发展思维1．学生在教师指导下完成下列例题例1． 求函数f(x)=322+--x x 的零点个数。
「教案」零点二分法-佳漫
「教案」零点二分法-佳漫一、教学目标1.让学生理解并掌握零点二分法的概念、原理和应用。
2.培养学生运用零点二分法解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学重点与难点1.教学重点：零点二分法的原理和应用。
2.教学难点：零点二分法在实际问题中的应用。
三、教学准备1.教学课件。
2.实际问题案例。
3.小组讨论材料。
四、教学过程第一环节：导入1.利用生活中的实例，如温度测量、物品重量估计等，引导学生思考如何确定一个未知数的范围。
2.提问：你们在生活中有没有遇到过需要确定一个未知数范围的情况？是如何解决的？第二环节：概念讲解1.介绍零点二分法的概念：零点二分法是一种在给定范围内寻找函数零点的方法，通过不断将区间一分为二，逐步缩小零点的范围，直至找到满足条件的零点。
2.讲解零点二分法的原理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，即f(a)f(b)<0。
则存在至少一个x0∈(a,b)，使得f(x0)=0。
通过将区间一分为二，计算中点处的函数值，判断零点所在的子区间，逐步缩小范围。
第三环节：案例分析1.选取一个实际问题，如求方程x^24=0在区间[1,5]内的根。
2.引导学生分析问题，确定函数f(x)=x^24，区间[a,b]=[1,5]。
3.按照零点二分法的步骤进行计算，引导学生观察函数值的变化，判断零点所在的子区间。
4.最终找到方程的根x0≈2。
第四环节：小组讨论1.将学生分成若干小组，每组选取一个实际问题，要求运用零点二分法求解。
2.学生在小组内展开讨论，互相交流解题思路和方法。
3.每组派代表分享讨论成果，展示解题过程。
2.引导学生思考：如何改进零点二分法，使其在求解过程中更加高效？3.拓展：介绍其他求解方程零点的方法，如牛顿法、弦截法等。
五、课后作业（1）x^36x+2=0，区间[-1,4]；（2）e^x3x=0，区间[0,2]。
2.分析所求解的方程，讨论其收敛速度和精度。
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一. 教学内容：函数的零点与二分法二. 学习目标1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。
2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。
三. 知识要点 1、函数的零点一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。
说明：（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标．归纳：方程0)x (f =有实数根⇔函数)x (f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)x (f y =有零点．3、函数零点存在性的判定方法对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f <⋅，那么，函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点.即存在()b ,a c ∈，使得0)c (f =，这个c 也就是方程0)x (f =的根。
说明：（1）函数)x (f y =在区间[]b ,a 上有定义； （2）函数的图象是连续不断的一条曲线；（3）函数)x (f y =在区间[]b ,a 两端点的函数值必须满足0)b (f )a (f <⋅； （4）函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点，但不唯一；（5）用判定方法验证函数2x )x (f =，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。
4、函数零点的求法：Ⅰ：可以解方程0)x (f =而得到（代数法）； Ⅱ：可以将它与函数)x (f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法） 5、二次函数零点的判定2y ax bx c =++20ax bx c ++=6、二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（变号零点），函数值变号。
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。
引申：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立。
7、二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。
②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。
注：二次函数的零点的应用可推广到一般函数。
8、用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中。
第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+。
计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==； ③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+。
计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b == ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止。
这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度。
【典型例题】例1. 利用二分法求方程x 3x 1-=的一个近似解（精确到0.1）。
解：设3x x 1)x (f -+=，则求方程x3x 1-=的一个近似解，即求函数)x (f 的一个近似零点。
∵021)2(f <-=，031)3(f >=，∴取区间[]3,2作为计算的初始区间。
用二分法逐次计算，列表如下：∵区间[]625.2,5625.2的左右端点精确到0.1所取的近似值都是2.6， ∴函数)x (f 满足题设的一个近似零点是2.6故方程x3x 1-=满足题设的一个近似解是2.6评析：利用二分法可以求方程（两曲线交点横坐标）的近似解。
利用二分法求函数的变号零点时，只需按照方法步骤机械地重复计算。
直至求出满足题设要求的一个近似零点为止。
例2. )R x (c bx ax y 2∈++=则使函数值大于0的自变量的取值集合是___________。
解：由上表提供信息，知函数的零点是－2，3，且开口向上，借助二次函数示意图可得函数值大于0的自变量的取值集合是),3()2,(+∞⋃--∞评析：分析图表，得到函数零点，开口方向是解题关键。
例3、已知函数6x 5x 2x )x (f 23+--=的一个零点为1 （1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量x 的取值范围。
解：（1）由题意，设n x )m n (x )1m (x )n mx x )(1x ()x (f 232--+-+=++-=，∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-6n 5m n 21m解得⎩⎨⎧-=-=6n 1m令0)x (f =，即0)6x x )(1x (2=---，解得=x 1，－2，3 ∴函数的其他零点是－2，3（2）函数的三个零点将x 轴分成4个区间： ]2,(--∞，]1,2(-，]3,1(，],3(+∞作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量x 的取值范围是：),3()1,2(+∞⋃- 评析：（1）函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，方程有几个实数根函数就有几个零点，方程没有实数根，函数就没有零点；（2）借助函数零点作出函数的示意图，借助图象可求出函数值大于或小于零时自变量的取值范围（即不等式0)x (f >或0)x (f <的解集）。
例4. 若二次函数1mx x y 2-+-=的图象与两端点为)0,3(B ),3,0(A 的线段AB 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围。
解：线段AB 的方程是)3x 0(3y x ≤≤=+由题意，得方程组⎩⎨⎧-+-==+1mx x y 3y x 2在3x 0≤≤上有两组实数解 解得：04x )1m (x 2=++-在3x 0≤≤上有两个实根令4x )1m (x )x (f 2++-=，则二次函数)x (f 在3x 0≤≤上有两个零点。
∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-=≥=<+<>-+=∆04)1m (39)3(f 04)0(f 321m 0016)1m (2解得310m 3≤<故实数m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛310,3本讲涉及的主要数学思想方法1. 在对二次函数的零点与方程的根的关系的研究过程中，体会由特殊到一般的思维方法。
2. 通过由零点的性质作函数图象的过程及函数零点的性质的总结，渗透“数形结合”的思想方法。
3. 体验求函数零点的近似解的常用方法——二分法求函数零点近似解的过程，初步体会数形结合、逼近、近似算法等重要数学思想方法，提高学习数学知识的综合应用能力。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、方程lg x ＋x ＝0的根所在的区间是（ ）A. （－∞，0）B. （0，1）C. （1，2） D, （2，4）2、若函数b ax )x (f +=的零点是2，则函数ax bx )x (g 2-=的零点是（ ）A. 0，2B. 0，21C. 0，21-D. 2，21-3、已知偶函数f （x ）的图象与x 轴共有四个交点，则函数f （x ）的所有零点之和等于（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0**4、若函数2x 2x x )x (f 23--+=的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数那么方程02x 2x x 23=--+的一个近似根（精确到0.1）为（ ）．A. 1.4B. 1.3C. 1.2D. 1.55、函数)0a (c bx ax )x (f 2>++=的零点为2，3，若2＜x ＜3,则f （x ）的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定正负*6、设函数2,0,()(4)(0),(2)2,2,0.x bx c x f x f f f x ⎧++≤=-=-=-⎨>⎩若则关于x 的方程x )x (f =解的个数为（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题*7、若函数b ax x )x (f 2-+=的两个零点是2和4-，则实数a 、b 的值为_________。
8、若方程ax 2－x －1＝0在（0，1）内有解，则实数a 的取值范围是_____。
**9、若函数ƒ（x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g （x ）＝bx 2－ax －1的零点是______。
三、解答题*10、已知二次函数ƒ（x ）＝x 2－（m －1）x ＋2m 在区间[0,1]上有且只有一个零点，求实数m 的取值范围。
11、求函数32()33f x x x x =+--的零点。
**12、已知函数f （x ）＝x ax 2x 2++,x ∈［1,＋∞)（1）当a ＝21时，求函数f （x ）的最小值。
（2）若对任意x ∈［1,＋∞),f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围。
试题答案1、B2、C3、D4、A5、B6、C7、a ＝2,b ＝88、解：f （0）ƒ（1）＜0,则a ＞29、31,21--10、解：[－2，0]11、解：32()33f x x x x =+--22(1)3(1)(1)(3)x x x x x =+-+=+-(1)(0x x x =+=，∴函数的零点为1-， 12、（1）解：当a ＝21时，f （x ）＝x ＋x 21＋2∵f （x ）在区间［1，＋∞ 上为增函数，∴f （x ）在区间［1，＋∞)上的最小值为f （1）＝27。