4-2_中心极限定理
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
4-2中心极限定理
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
n
lim Fn ( x ) lim P {Yn x } lim P{ k 1
n x n
Xk n
n
n
x}
1 2π
t2 e 2 dt
( x ).
定理4.6表明:
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函 数.
x
x
1 e 2π
t2 2
dt ( x ).
注 1º 定理4.7表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
即 若n ~ B( n, p ) ( n 1,2,; 0 p 1)，则
n的标准化随机变量： n E (n ) n np Yn D(n ) np(1 p )
例4 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、 0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有1名 家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 (1) 以 X k ( k 1, 2,, 400) 记
且都在区间 ( 0,10) 上服从均匀分布 , 记 V Vk ,
k 1 20
求 P {V 105} 的近似值 .
解
100 E (Vk ) 5, D(Vk ) ( k 1,2,,20). 12 V E (V ) V 20 5 Z 100 D(V ) 20 12
第四章中心极限定理与参数估计
当 n 很大时,近似地服从正态分布.
第四章 中心极限定理与参数估计
例 1、对敌人的防御工事进行 80 次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹 数目的数学期望为 2，方差为 0.8，且各次轰炸相互独立，求在 80 次轰炸中有 150 颗～170 颗炸弹命中目标的概率。 解：第 i 次轰炸命中目标炸弹的数目 X i (i 1,2,,80) 都是离散型随机
根据随机变量数学期望的性质，计算数学期望
80
80
80
E( X ) E( X i ) E( X i ) 2 160
i 1
i 1
i 1
第四章 中心极限定理与参数估计
由于离散型随机变量变量 X 1 , X 2 ,, X 80 相互独立，根据随机
变量方差的性质，计算方差
80
80
80
D( X ) D( X i ) D( X i ) 0.8 64 82
分大时，离散型随机变量 X 近似服从参数为 np, npq ( p q 1)
的正态分布，即近似有离散型随机变量 X ～ N(np, npq) 定理4.22表明:
正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可 以利用该定理来计算二项分布的概率.
随机变量 X 的取值在数学期望 E(X ) 附近的密集程度越低。
第四章 中心极限定理与参数估计
（3）在使用切贝谢夫不等式时，要求随机变量 X 的数学期望 E( X ) 与方差 D( X ) 一定存在，这时无论随机变量 X 的概率分布已知或未
知，都可以对事件 X E(X ) 发生的概率进行估计。 2、切贝谢夫不等式的应用举例 例1、 已知电站供电网有电灯 10000 盏，夜间每一盏灯开灯的概率 皆为 0.8，且它们开关与否相互独立，试利用切贝谢夫不等式估计夜 晚同时开灯的灯数在 7800 盏～8200 盏之间的概率。
中心极限定理 公式
中心极限定理公式
摘要：
1.中心极限定理的概念
2.中心极限定理的公式
3.中心极限定理的应用
4.总结
正文：
1.中心极限定理的概念
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
中心极限定理为数理统计学提供了一个理论依据，使我们能够在实际问题中应用正态分布来近似描述大量相互独立的随机变量的和的分布。
2.中心极限定理的公式
中心极限定理的公式如下：
设随机变量X1，X2，...，Xn 是相互独立的，且均值为μ，方差为σ^2。
则随机变量S_n = X1 + X2 +...+ Xn 的分布随着n 的增大趋近于一个均值为μ，方差为σ^2 的正态分布。
数学表达式如下：
lim(n→∞) [P(S_n - μσ≤x ≤S_n + μσ)] = N(x; μ, σ^2)
其中，N(x; μ, σ^2) 表示均值为μ，方差为σ^2 的正态分布。
3.中心极限定理的应用
中心极限定理在实际应用中有广泛的应用，例如在统计学中的假设检验、
回归分析等领域。
在假设检验中，我们通常使用正态分布来近似描述样本均值的分布，从而进行参数估计和假设检验。
在回归分析中，中心极限定理为回归系数的估计提供了理论依据。
4.总结
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
第四章 大数定律和中心极限定理
设需N台车床工作， 现在的问题是：
求满足
P(X≤N)≥0.999
的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台 工作所需电力即N千瓦.）
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np 近似N(0,1), np(1 p)
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
这里 np=120, np(1-p)=48
第四章
大数定律和中心极限定理
§1 大数定率
一. 切比雪夫不等式 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，
有
D( X ) P{| X E( X ) | } ; 2
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) . 2
P{Y 60000 0.9 }
P{Y>60000}=P{1000012-aX>60000}
=P{X60000/a}0.9; 由中心极限定理,上式等价于
60000 10000 0.006 ( a ) 0.9 10000 0.006 0.994
a 3017
例3 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿 命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率. 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
7 500 100 100 2 P{ X i 500} 1 35 1 (8.78) 0 i 1 10 12
2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De MoivreLaplace)
设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1) 的二项分布，则
概率统计中的大数定律与中心极限定理-教案
概率统计中的大数定律与中心极限定理-教案一、引言1.1概率统计的基本概念1.1.1随机事件与概率1.1.2随机变量与分布函数1.1.3数学期望与方差1.1.4大数定律与中心极限定理的关系1.2大数定律与中心极限定理的应用领域1.2.1自然科学领域1.2.2社会科学领域1.2.3工程技术领域1.2.4经济学领域1.3教学目标与教学方法1.3.1理解大数定律与中心极限定理的基本原理1.3.2学会运用大数定律与中心极限定理解决实际问题1.3.3培养学生的数据分析能力与逻辑思维能力1.3.4采用案例教学、讨论式教学等方法提高教学效果二、知识点讲解2.1大数定律2.1.1大数定律的定义2.1.2大数定律的证明2.1.3大数定律的应用2.1.4大数定律与频率稳定性2.2中心极限定理2.2.1中心极限定理的定义2.2.2中心极限定理的证明2.2.3中心极限定理的应用2.2.4中心极限定理与正态分布2.3大数定律与中心极限定理的关系2.3.1大数定律是中心极限定理的基础2.3.2中心极限定理是大数定律的推广2.3.3大数定律与中心极限定理在实际应用中的联系2.3.4大数定律与中心极限定理在理论分析中的联系三、教学内容3.1大数定律的教学内容3.1.1大数定律的基本概念与性质3.1.2大数定律的证明方法3.1.3大数定律在实际问题中的应用3.1.4大数定律与频率稳定性在教学中的实例分析3.2中心极限定理的教学内容3.2.1中心极限定理的基本概念与性质3.2.2中心极限定理的证明方法3.2.3中心极限定理在实际问题中的应用3.2.4中心极限定理与正态分布在教学中的实例分析3.3大数定律与中心极限定理的关系教学内容3.3.1大数定律与中心极限定理的联系与区别3.3.2大数定律与中心极限定理在实际应用中的相互依赖3.3.3大数定律与中心极限定理在理论分析中的相互补充3.3.4大数定律与中心极限定理在教学中的综合运用实例分析四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1掌握大数定律和中心极限定理的基本概念4.1.2理解大数定律和中心极限定理的数学表达和证明方法4.1.3能够应用大数定律和中心极限定理解决实际问题4.1.4培养学生的数据分析能力和逻辑推理能力4.2过程与方法目标4.2.1通过实例引入，让学生体会从具体到抽象的学习过程4.2.2采用小组讨论，培养学生合作学习和交流表达能力4.2.3利用数学软件进行模拟实验，增强学生的实践操作能力4.2.4通过问题解决，训练学生的批判性思维和创造性思维4.3情感、态度与价值观目标4.3.1培养学生对概率统计学科的兴趣和热情4.3.2强调数学知识在实际生活中的应用价值4.3.3增强学生的科学精神和求真态度4.3.4培养学生的团队合作精神和责任感五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1大数定律和中心极限定理的数学证明5.1.2大数定律和中心极限定理在实际问题中的应用5.1.3学生对概率统计概念的理解和运用5.1.4学生数据分析能力的培养5.2教学重点5.2.1大数定律和中心极限定理的基本概念和性质5.2.2大数定律和中心极限定理的数学表达和直观理解5.2.3大数定律和中心极限定理在生活中的实际应用5.2.4学生数据分析技能的提升六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体教学设备（投影仪、电脑等）6.1.2数学软件（如MATLAB、R等）用于模拟实验6.1.3实物模型或教具（如骰子、硬币等）用于演示6.1.4教学课件和讲义6.2学具准备6.2.1笔记本电脑或平板电脑（用于数学软件操作）6.2.2笔和纸（用于笔记和练习）6.2.3预习资料和阅读材料6.2.4小组讨论记录表七、教学过程7.1导入新课7.1.1通过生活实例引入大数定律的概念7.1.2提问学生对概率统计的基本理解7.1.3介绍大数定律和中心极限定理的历史背景7.1.4阐述本节课的学习目标和重要性7.2主体教学7.2.1详细讲解大数定律的定义和数学表达7.2.2通过数学软件演示大数定律的实验验证7.2.3讲解中心极限定理的原理和数学证明7.2.4分析中心极限定理在实际问题中的应用案例7.3练习与讨论7.3.1分组进行数学软件模拟实验7.3.2小组讨论实验结果和理论联系7.3.3解答学生在实验和讨论中的疑问7.4.1回顾本节课的主要内容和重点难点7.4.2强调大数定律和中心极限定理的实际应用7.4.3布置相关的练习题和思考题7.4.4预告下一次课的内容和学习要求八、板书设计8.1大数定律与中心极限定理基本概念8.1.1大数定律的定义8.1.2中心极限定理的定义8.1.3大数定律与中心极限定理的关系8.1.4实际应用案例8.2大数定律与中心极限定理的数学表达8.2.1大数定律的数学表达8.2.2中心极限定理的数学表达8.2.3数学证明的关键步骤8.2.4数学表达在实际问题中的应用8.3大数定律与中心极限定理的教学实例8.3.1大数定律的教学实例8.3.2中心极限定理的教学实例8.3.3教学实例中的关键点分析九、作业设计9.1基础练习题9.1.1大数定律的基本概念题9.1.2中心极限定理的基本概念题9.1.3大数定律与中心极限定理的关系题9.1.4实际应用案例分析题9.2数学软件模拟实验9.2.1大数定律的数学软件模拟实验9.2.2中心极限定理的数学软件模拟实验9.2.4实验中的关键点和难点解析9.3拓展阅读与思考9.3.1相关历史背景和数学家的研究9.3.2大数定律与中心极限定理在其他领域的应用9.3.3对概率统计学科未来发展的思考9.3.4学生自主研究项目提案十、课后反思及拓展延伸10.1教学效果评估10.1.1学生对大数定律与中心极限定理的理解程度10.1.2学生在实际问题中的应用能力10.1.3教学方法和教学内容的适应性10.1.4教学目标达成情况的评估10.2教学改进措施10.2.1针对学生的反馈调整教学内容和方法10.2.2增加更多的实际应用案例和讨论环节10.2.3引入更多的数学软件和工具进行辅助教学10.2.4鼓励学生进行自主研究和项目实践10.3拓展延伸方向10.3.1大数定律与中心极限定理在其他学科的应用10.3.2概率统计领域的前沿研究和最新发展10.3.3学生自主研究和项目实践的方向指导10.3.4与其他数学分支的联系和交叉研究重点关注环节补充和说明：1.教学内容的适应性：根据学生的反馈和理解程度，适时调整教学内容和难度，确保学生能够充分理解大数定律与中心极限定理的基本概念和原理。
西北工业大学《概率论与数理统计》4-2 中心极限定理
(
)
2⎞ ⎛ 1 σ ⎟ ⎜ X = ∑ X i ~ AN ⎜ µ , ⎟ n i =1 n ⎠ ⎝ 3° 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间 (0， 10 )上服从均匀分布 , 记V =
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所 至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
⎧1, 第i台机床工作 Xi = ⎨ ⎩0, 第i台机床不工作
内容小结
独立同分布情形 独立同分布情形
⎧林德贝格 − 列维中心极限定理 ⎪ 独立不同分布情形 独立不同分布情形 ⎪ ⎪ ⎨李雅普诺夫定理 ⎪ 二项分布的正态近似 二项分布的正态近似 ⎪ ⎪ ⎩棣莫佛 − 拉普拉斯定理
中心极限定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间(−1, 1) 上服从均匀分布(i=1, 2,…, n), 试证 n 1 当 n充分大时, 随机变量 Z n = ∑ X 2 近似服从 i n i =1 正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi = X i2 , ( i = 1,2, , n) E ( Yi ) = E ( X i2 ) = D( X i )
注 1° 定理4.7是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有
∗ Yn ~ AN (0, 1)
而
n ⎛ n ⎞ 2 ⎟ µ , σ ∑ X i ~ AN ⎜ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 i =1 ⎠ i =1 n
概率论与数理统计第4章 随机变量的数字特征与极限定理
25
定义4.3 设X是随机变量，若E［X－E（X）］2存 在，则称它为X的方差，记为D（X），即
由定义4.2，随机变量X的方差反映了X的可能取值 与其数学期望的平均偏离程度．若D（X）较小，则X的 取值比较集中，否则，X的取值比较分散．因此，方差 D（X）是刻画X取值离散程度的一个量．
3
定义4.1 设离散型随机变量X的分布律为
4
5
6
7
8
9
4.1.2 几个常用分布的数学期望 1.0—1分布 设随机变量X服从以p为参数的（0—1）分布，则X 的数学期望为
２.二项分布 设随机变量X～B（n,p），则X的数学期望为
10
3.泊松分布 设随机变量X～P（λ）分布，则X的数学期望为
41
Hale Waihona Puke 424.３ 协方差、相关系数及矩
4.3.1 协方差 对于二维随机变量（X，Y），除了分量X，Y的数 字特征外，还需要找出能体现各分量之间的联系的数字 特征．
43
44
4.3.2 相关系数 定义4.5 设（X,Y）为二维随机变量，cov （X,Y）,D（X）,D（X）均存在，且D（X）>0,D（X） >0，称
15
16
17
定理4.2 设（X,Y）是二维随机变量，z=g（x,y） 是一个连续函数． （1）如果（X,Y）为离散型随机变量，其联合分布 律为
18
19
20
4.1.4 数学期望的性质 数学期望有如下常用性质（以下的讨论中，假设所 遇到的数学期望均存在）：
概率论与数理统计(第二版.刘建亚)习题解答——第四章
概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第四章4－1 解：()10.2520.430.240.150.05 2.3E X4－2 解： 由22()()[()]D X E X E X 得∵ D(X 1)<D(X2)，用甲法测定的精度高。
4－3 解：E(X)=0.3003，E(X 2)=0.4086，D(X)=0.3184，[D(X)]1/2=0.5643。
4－4 解：*()[()][()()]0()()()E X E E X E X E X E X D X D X D X2*222211()()[()]()[()]()1()()()D X E X E X E X EE X E X D X D X D X D X4－5 解：121221122221220022()()01()()11sin 1112sin (1cos )21()()[()]2E X xf x dx dx x E X x f x dx dxdxxx xt tdxt dxD XE X E X4－6 解：2220201()()021()[()](0)22222x x x x x x x E X xf x dx xe dx D X E X E X x e dx x e dx x exe dxxee dx ； 4－7 解：令 1a p a，则 111p a，1p ap；11111()()(1)(1)11(1)()(1)(1)111(1)1(1)11kk kk k k k k kk k aE X kP X k k k p p p p kp a a dd d p p p p p p p p p dpdp dp p d d p p p p dp p dp p21(1)(1)1p p p ap p22210121112112122221()()(1)[(1)]11(1)(1)(1)()(1)kk k k k k k k kk k k k kk aE X k P X k kp p kk k p a a dp pk k p kpp p pp kp dpd p p p a dp 22222223(1)12(1)22(1)1d p a p p dp pp p p aaa a p p22222()()[()]2D X E X E X a aa a a4－8 证明：设X 为连续型随机变量，其概率密度函数为)(x f 。
第四章 大数定律与中心极限定理
1 n 1 n lim P ∑Xi − ∑E( Xi ) n→ +∞ n i=1 n i=1 <ε =1
2、切比雪夫大数定律 {Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共同的 上界，则 {Xn}服从大数定律.定理4.2.2 证明用到切比雪夫不等式.
由于 ( ( X n + Yn ) − ( a + b ) ≥ ε ) ⊂ [( X n − a ≥
0 ≤ P ( ( X n + Yn ) − ( a + b ) ≥ ε ) ≤ P( X n − a ≥
4 December 2010
ε
2
) ∪ ( Yn − b ≥
ε
2
)]
ε
2
) + P ( Yn − b ≥
A
y 1
y=f(x)
=∫ f (x)dx = J
0
1
即J=P，而概率P可以用频率取 代，生成n个随机数(xk,yk)，满足 yk < f(xk) 的有m个，则J≈m/n EXCEL综合实验
4 December 2010
A 0 1 x
宁波工程学院
理学院
第四章 大数定律与中心极限定理
第8页
4.2.2 常用的几个大数定律 1、大数定律一般形式：
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42. 设供电量为y, 则从
y /15 + 0.5 −140 P{15Y ≤ y} ≈ Φ ≥ 0.95 42 中解得 y ≥ 2252.
4大数定律及中心极限定理
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例.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 将一颗骰子连掷100次 100 500的概率是多少 的概率是多少？ 500的概率是多少？ 解:设Xk为第 次掷出的点数 设 为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 则 X1,…,X100独立同分布. 独立同分布 7 1 6 2 49 35 E ( X 1 ) = , D( X 1 ) = ∑ k − = 2 6 i =1 4 12
n−>∞
则称 { X n } 服从大数定律。
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第四章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
定理 4.1（切比雪夫大数定理） 设随机变量 X 1 ,L, X n ,L 相互独立， 且具有相同的数学期
1 n 望及方差， EX k = µ，DX k = σ ，k = 1,2,L， 令 Yn = ∑ X k ， n k =1
n
≤ x} =
1 2π
−∞
∫e
x
t2 − 2
dt
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常见的中心极限定理
定理3（德莫佛-拉普拉斯定理）(De Moivre--Laplace) 设随机变量 η n (n = 1,2,L) 服从参数为n,p(0<p<1)的二 项分布 ，即 η n ~ B ( n, p ).
则对于任意 x ，恒有：
n =10, p = 0.2, np = 2, npq ≈1.265. (1) 直接计算: P(ξ ≤ 3) = C ×0.2 ×0.8 ≈ 0.2013
3 10 3 7
(2)用局部极限定理近似计算: P(ξ ≤ 3) =
例 产品为废品的概率为p=0.005, 求10000件产 品中废品数不大于70的概率.
华东理工大学概率论与数理统计课件第四章解读
注意 辛钦大数定理成立的条件中只需 X i的数学 期望存在；而当 X i 的方差存在时，其即为切比雪夫大 数定理的直接推论. 大数定理是参数估计和假设检验的重要理论基础.
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例1.
k 互相独立随机变量序列，且
证: 由切比雪夫不等式：P X EX 1
1 1 P X i EX i 1 n i 1 n i 1
n n
D( X )
n
2
得
D( 1 X i ) n i 1
n
2
1
D( X i )
n
i 1 2 2
1
3 k 1 2 3 k 1 2
i
k 的分布
(k=1,2, …),
试证大数定理成立. 解： k 互相独立，且
1
E k 0
2 3
D k k
1 0
3 2
n
2
D( i )
1
n
1
n
2
k
1
n
nn n2
2 3
n
1 3
(n )
14 100 14 86 30 100 30
70
20 20 20 20 P e e 14! 30! 0.0387 0.0083
14
30
返回
例5 某校有4900个学生，已知每天每个学生去阅览室自修 的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位，才能以99%的概 率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。
解 设Xi(i=1,2,…,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则 X1,X2,…,Xn独立同分布, EXi=50, DXi=52=25,令 Yn X i ,
浙江大学概率论与数理统计盛骤第四版数理统计部分
为什么？
答：只有(4)不是统计量。
17
随机变量独立性的两个定理
定理6.1：设X1, X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，
又设y gi x1, , xni , x1, , xni Rni , i 1, 2, k是k个连续函数，
且有n1 n2 nk n, 则k个随机变量：
[说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)，
则样本（X1,X2,…,Xn）具有联合密度函数：
n
fn x1, x2, xn f xi
i 1
16
统计量：样本的不含任何未知参数的函数。
常用统计量：设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本
1.
样本均值
n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
n
9
定理5.5 德莫佛--拉普拉斯定理
解：设机器出故障的台数为X,则X b400,0.02，分别用三种方法计算：
1. 用二项分布计算
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.98400 4000.020.98399 0.9972
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969
概率论与数理统计第四章第四节 大数定理与中心极限定理
第四节 大数定理与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性. 例如, 大量的抛掷硬币的随机试验中, 正面出现频率; 在大量文字资料中, 字母使用频率; 工厂大量生产某种产品过程中, 产品的废品率等. 一般地, 要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律, 就要研究大量随机现象的问题.在生产实践中, 人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景. 在这一节中，我们将介绍有关随机变量序列的最基本的两类极限定理----大数定理和中心极限定理.教学目标：了解大数定理与中心极限定理。
教学重点：大数定理与中心定理。
教学难点：中心定理。
教学内容：一、依概率收敛与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性.定义1 设 ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列, a 为一个常数,若对于任意给定的正数ε,有 ,1}|{|lim =<-∞→εa X P n n 则称序列 ,,,,21n X X X 依概率收敛于a , 记为).(∞→−→−n a X Pn定理1 设,,b Y a X Pn P n −→−−→−又设函数),(y x g 在点),(b a 连续, 则),(),(b a g Y X g Pn n −→−.二、切比雪夫不等式定理2设随机变量X 有期望μ=)(X E 和方差2)(σ=X D ,则对于任给0>ε, 有22}|{|εσεμ≤≥-X P .上述不等式称切比雪夫不等式.注：(i) 由切比雪夫不等式可以看出,若2σ越小, 则事件}|)({|ε<-X E X的概率越大, 即, 随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.(ii) 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式.如取,3σε= 则有.111.09}3|)({|22≈≤≥-σσσX E X P故对任给的分布,只要期望和方差2σ存在, 则随机变量X 取值偏离)(X E 超过σ3的概率小于0.111.三、大数定理1．切比雪夫大数定律定理3 (切比雪夫大数定律)设 ,,,,21n X X X 是两两不相关的随机变量序列,它们数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即,,2,1,)( =≤i K X D i 则对任意0>ε, 有1)(11lim 11=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-∑∑==∞→εn i i n i i n X E n X n P 注: 定理表明: 当n 很大时,随机变量序列}{n X 的算术平均值∑=ni i X n 11依概率收敛于其数学期望∑=ni i X E n 1)(1.2．伯努利大数定理定理4 (伯努利大数定律)设A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, p 是事件A 在每次试验中发生的概率, 则对任意的0>ε, 有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-→∞εp n n P A n 或 0l i m =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-→∞εp n n P A n . 注：(i) 伯努利大数定律是定理1的推论的一种特例, 它表明: 当重复试验次数n 充分大时, 事件A 发生的频率nn A依概率收敛于事件A 发生的概率p .定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 在实际应用中, 当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率.(ii) 如果事件A 的概率很小，则由伯努利大数定律知事件A 发生的频率也是很小的，或者说事件A 很少发生. 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为小概率原理，它的实际应用很广泛. 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的. 在多次试验中，小概率事件也可能发生.3．辛钦大数定理 定理5 (辛钦大数定律) 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望,,2,1,)( ==i X E i μ 则对任意0>ε, 有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P . 注: (i) 定理不要求随机变量的方差存在;(ii) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况;(iii) 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 例如, 要估计某地区的平均亩产量, 可收割某些有代表性的地块, 如n 块,计算其平均亩产量, 则当n 较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 此类做法在实际应用中具有重要意义.四、中心极限定理在实际问题中, 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的. 这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 以一门大炮的射程为例, 影响大炮的射程的随机因素包括: 大炮炮身结构的制造导致的误差, 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差, 瞄准时的误差, 受风速、风向的干扰而造成的误差等. 其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互独立的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响. 因此需要讨论大量独立随机变量和的问题.中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它的分布就近似服从正态分布.1．林德伯格—勒维定理定理6 (林德伯格—勒维) 设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列, 且,,,2,1,)(,)(2n i X D X E i i ===σμ则 ⎰∑∞--=∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-x t n i i n dt e x n n X P 2/1221lim πσμ 注: 定理6表明: 当n 充分大时, n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布. 虽然在一般情况下, 我们很难求出n X X X +++ 21的分布的确切形式, 但当n 很大时, 可求出其近似分布. 由定理结论有.1),/,(~)1,0(~/1)1,0(~1211∑∑∑====⇒-⇒-n i i ni i ni i X n X n N X N nX n N n n X σμσμσμ近似近似故定理又可表述为: 均值为μ, 方差的02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础.2. 棣莫佛—拉普拉斯定理在第二章中，作为二项分布的正态近似，我们曾经介绍了棣莫佛—拉普拉斯定理，这里再次给出，并利用上述中心极限定理证明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量n Y 服从参数p n ,)10(<<p 的二项分布, 则对任意x , 有)(21)1(lim 22x dt e x p np np Y P x tn n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--∞→π注: 易见，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒维定理的一个特殊情况.3．用频率估计概率的误差设n μ为n 重贝努里试验中事件A 发生的频率, p 为每次试验中事件A 发生的概率,,1p q -=由棣莫佛—拉普拉斯定理,有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-pq n npqnp pq nP p n P n n εμεεμ .12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈pq n pq n pq n εεε这个关系式可用解决用频率估计概率的计算问题:4. 李雅普诺夫定理定理8（李雅普诺夫定理） 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 它们具有数学期望和方差: ,2,1,0)(,)(2=>==i X D X E kk k k σμ，记.122∑==nk k nB σ 若存在正数δ, 使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE Bδδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量:nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x , 满足).(21lim )(lim 2/112x dt e x B X P x F x t n n k k n k k n n n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎰∑∑∞--==∞→∞→πμ注：定理8表明, 在定理的条件下, 随机变量.11nnk kn k kn B X Z ∑∑==-=μ当n 很大时,近似地服从正态分布)1,0(N . 由此, 当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk k Z B X 11μ近似地服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这就是说,无论各个随机变量),2,1( =k X k 服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和∑=nk k X 1当n 很大时,就近似地服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因.在很多问题中,所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和,例如,在任一指定时刻,一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的,它们往往近似地服从正态分布.例题选讲：切比雪夫不等式例1(讲义例1)在每次试验中, 事件A发生的概率为0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?中心极限定理例2(讲义例2) 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g标准差是10g, 一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.例3 (讲义例3)计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则。
中心极限定理在药品测试问题的应用
2013年02月下半月刊266艺术文化交流中心极限定理自18世纪由棣莫弗提出至今，其内容已经非常丰富。
中心极限定理研究一个随机变量何时服从正态分布，若一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而每个个别因素在总的影响中的作用都是微小的，那么这个随机变量往往服从或近似服从正态分布，这就是中心极限定理所得的结论。
本文主要研究了中心极限定理在药品测试问题中的应用。
定理（勒维—麟德伯格（Levy-Lindeberg ）定理）设(1,2,)n n ξ=L 为相互独立同分布的随机序列，且(),k E a ξ=22()(0),(1,2,),k D k ξσσ=<∞≠=L 则{}n ξ服从中心极限定理，即随机变量nkn naξη−∑的分布函数()n F x 对于任意x满足212lim ()lim ().n k xt n n n na F x P x edt x ξ−−∞→∞→∞−==Φ∑例（药品测试问题）药品测试也是一个需要用到概率统计知识的领域。
对大量的数据进行统计分析，判断治愈率高低，进而做出最优的决策。
这就是中心极限定理在药品测试中的重要作用。
某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝。
若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，则接受这一断言的概率是多少?解 把每一位病人服用此药的疗效当作一次试验，则100个人服用此药的效果视为100重伯努利试验。
设事件X 表示其中治愈的病人人数，则~(100,0.8).X b 已知()0.8,~(100,0.8),p P A X b ==则4,np =由80~(0,1),4X N −得(75100)P X ≤≤75808010080444X P −−− =≤≤801.2554X P −=−<<(5)(1.25)=Φ−Φ−0.8944,=故接受这一断言的概率为0.8944。
中心极限定理的内容及意义
中心极限定理的内容及意义1. 中心极限定理呀，这可是个超神奇的东西呢！简单说就是不管原来的总体分布长啥样，只要样本量足够大，样本均值的分布就近似于正态分布。
就好比咱们学校组织抽奖，奖品有好多不同类型，一开始奖品的分布是乱七八糟的。
可是当抽奖的次数足够多，也就是样本量够大的时候，每次抽奖得到的平均奖品价值的分布就变得很有规律了，就像正态分布那样规规矩矩的。
这多奇妙啊！2. 中心极限定理的意义可不得了。
它就像一把万能钥匙，能打开很多统计学上的难题之门。
比如说，有个卖水果的小贩，他进的水果大小不一，最开始水果大小的分布特别复杂。
但是如果他每次称一大袋水果当作一个样本，称的次数多了，这些样本的平均水果大小就会遵循正态分布。
这让他能更好地预估自己水果的平均大小，然后定价啊，控制成本啥的，是不是超级有用？3. 嘿，中心极限定理！你知道吗？它让我们能在很复杂的情况下做出靠谱的估计。
想象一下，一个工厂生产各种形状和大小的零件，那些零件最初的尺寸分布乱得像一团麻。
但是呢，当我们从生产线每次取足够多的零件当作样本，样本的平均尺寸就会像听话的孩子一样，接近正态分布。
这就像给工程师们吃了颗定心丸，他们能根据这个来判断生产是否正常，多棒啊！4. 中心极限定理是统计学里的一颗璀璨明星啊。
它的内容就是告诉我们，即使总体是千奇百怪的分布，只要样本量上去了，样本均值的分布就向正态分布看齐。
就像一群性格各异的人，一开始乱哄哄的。
可是当把他们分成足够多的小组，每个小组的平均性格就会有一定的规律，就好像被正态分布的魔力给约束住了一样。
这对我们做调查研究可太有帮助了，能让我们从混乱中找到规律呢。
5. 哇塞，中心极限定理真的很牛！它的内容可以这么理解，无论总体的分布是像高山一样起伏不定，还是像迷宫一样错综复杂，只要样本数量足够大，样本均值的分布就会变得像正态分布那样平滑和有规律。
比如说，在一个大型的购物商场里，顾客的消费金额分布一开始各种各样。
4-3中心极限定理
由中心极限定理, X X k N (150,100)
近似 k 1
100
故 P{ X k 120} P{ X 120}
k 1
100
X 150 120 150 P{ } 10 10
120 150 ( ) ( 3) 0.0013 10
nA n (3)估计频率与概率的误差: P{ p } 2( )1 n p(1 p)
证 : nA代表n重伯努利试验中A发生的次数,
1 第i次试验A发生 设X i 0 第i次试验A没有发生
nA : B(n, p)
(i 1, 2, ..., n)
X i : B(1, p)
则100次轰炸命中目标的次数 X X k
k 1 100
由题意 E( X k )=2, D( X k )=1.69
{ X k }独立同分布, 满足中心极限定理条件.
E ( X ) E ( X k ) 200
k 1 100
D( X ) D( X k ) 169 132
近似 k 1
20
或
Z
V E (V ) D(V )
V
k 1
20
k
100
近似 N (0,1)
10 20 / 12
V E (V ) 105 E (V ) } P{V 105} 1 P{V 105} 1 P{ D(V ) D(V ) V E (V ) 105 100 1 P{ } 1 ( 105 100 ) D(V ) 10 20 / 12 10 20 / 12
i 1
近似 根据独立同分布的中心极限定理,nA N (np, np(1 p))
中心极限定理介绍_王筑娟
大数定律和中心极限定理是统计学的两大基 前者确保了统 计 推 断 至 少 在 样 本 增 大 时 可 以 石， 无限接近真相 ， 而后者则给出了大多数统计量分 布的正态近 似
［ ］ １ ２ －
由多个独立的小误差所造成的结果 。 存在着许多 情形 ， 观 察 并 不 受 误 差 影 响， 但 是， 正态分布的合 理性仍然可 以 用 中 心 极 限 定 理 来 保 证 。 例 如 ， 一 定年龄的成年人的身高的分布可以被认为是正态 的， 因为身高可以 被 看 作 是 许 多 独 立 的 微 小 影 响 ， 的总和 。 正态分布并不是起源于 Ｇ 至 少， 它 ａ ｕ ｓ ｓ 零散地出现在 Ｄ 他证明了 ｐ＝ ｅ Ｍ ｏ ｖ ｉ ｅ的工作中 ， １ 时的贝努利场合 （ 即： 第ｎ 个随机变量是投掷硬 ２ 币的结果 ） 的中心极限定理 。 在概率论中 ， 中心极 限定理给出一定的条件 ， 在这些条件下 ， 足够多的
２ （ ｖ ａ ｒ Ｘｎ ） ＝ ０。 令 σ ｎ， ｎ ＜ # 并且至少有一个σ ｎ＞ μ Ｓｎ ＝ Ｘ１ ＋ Ｘ２ ＋ … ＋ Ｘｎ 且 ２ ２ ２ （ ｓ ｖ ａ ｒ Ｓｎ ）＝ 槡 σ ｎ ＝ 槡 １ ＋σ ２ ＋ … ＋σ ｎ 对某个δ＞０， 如果 Ｌ ａ ｕ ｎ ｏ ｖ 条件 ｙ ｐ
ｍ－ 相依序列的一个情形 。 对 ｍ－ 相 依 序 列 的 中 心极限定理 ， 将给出一个新的 、 更容易的证明 。 还
］ ， 该定理见文献 ［ 但是 ， 本文的证明是全新 理， ３ ４ － 的， 且其特点是比原有的证明更简单易懂 。 如 果 对 任 意 给 定 的 ｋ， 随机向量（ Ｘｔ＋１ ， …， 的联 合 分 布 与 ｔ 无 关 ， 则称序列 Ｘｔ＋２ ， Ｘｔ＋ｋ ） …， 是严平稳的 。 如果只要 ｊ－ 有 Ｘ１ ， Ｘ２ ， ｉ＞ｍ ， （ …， …） 和（ 独 立， 则称严 Ｘ１ ， Ｘ２ ， Ｘｉ） Ｘｊ ， Ｘｊ＋１ ， 平稳序列 ｛ 为 ｍ－ 相依的 。 Ｘｎ ｝ …） 定理 ５ 设 Ｙｉ（ 是一个具有０均 ｉ＝１， ２，
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采用正态近似.
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所
至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率
保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
1, 第i台机床工作 i=1, 2,…, 200, Xi 0, 第i台机床不工作
r 120 r 120 17.32 0.999 48 48 r 120 查标准正态分布表得 ＝3.1 48 所以 r=141. 该结果表明, 若供电141KW, 那么由于供电
不足而影响生产的可能性小于0.001.
1 4 故Zn近似服从正态分布 N , . 3 45n
例1-2 某汽车销售点每天出售汽车数服从参数 为2的泊松分布. 若一年365天都经营汽车销售, 且每天出售的汽车是相互独立的, 求一年中售出 700辆以上汽车的概率. 解 记Xi为第i天出售的汽车数量, Y X1 X 2 X 365 为一年的总销量. 由 E X i D X i 2 , 知 E Y DY 730. 利用林德贝格-列维中心极限定理, 可得 700 730 P Y 700 1 P Y 700 1 730 1 1.11 0.8665. 则一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.
由定理4.8得
Yn np lim P n np1 p
n X i np i 1 lim P n np1 p
1 2 π
2 t x e 2 dt
x
x
证毕.
因此随机变量 Yn
Xi EXi
i 1 i 1 n
n
n
D X i i 1 近似服从标准正态分布N0, 1.
计算得
1 99 100 i E X 49.5 1 i 99 100 2 100 i 1 i 1
n
另一方面, 因为 3 3 E X i pi pi 1 pi pi3 1 pi pi 1 pi pi2 1 pi 2 pi 1 pi
于是 n 3 1 1 0 E X pi 1 3 i n Bn i 1 2 n pi 1 pi i 1 即独立随机变量序列满足李雅普诺夫定理的条件.
正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi X i2 , ( i 1,2,, n) E ( Yi ) E ( X i2 ) D( X i )
D( Yi ) E (Yi2 ) [ E ( Yi )]2 E ( X i4 ) [ E ( Yi )]2 1 4 1 1 4 因为 E ( X i ) xi dxi , 1 2 5
n
lim Fn x lim P
n
x Yn
x
1 2π
2 t e 2 dt
正态分布N 0, 1, 记为Yn ~ AN 0, 1 . n越大,
注 1 当 n 时,随机变量Yn 渐近服从标准
近似程度越好.
n i 1
2 Yn X i ~ AN nμ, nσ 2
此学生通过考试的可能性很小, 大约只有
千分之五可能性.
定理4.10 棣莫佛-拉普拉斯定理
设随机变量Yn服从二项分布Bn, p, 则其标准化
随机变量
Yn
Yn np np1 p
的分布函数的极限为
Yn np lim P n np1 p
1 x 2 π
内容小结
独立同分布情形
林德贝格 列维中心极限定理 中 心 独立不同分布情形 极 限 李雅普诺夫定理 定 二项分布的正态近似 理 棣莫佛 拉普拉斯定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间1, 1 上服从均匀分布i=1, 2,…, n, 试证 n 1 近似服从 当 n充分大时, 随机变量 Z n X 2 i n i 1
n
2 1 X X i ~ AN , n i 1 n 3 定理4.8表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk
k=1, 2,…, 20. 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间0， 10上服从均匀分布, 记V Vk ,
k 1
Vk 20 5
20
定理4.9 李雅普诺夫(Liapunov)定理 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 它们具有数学 期望与方差
E X i i , D X i i2
i 1, 2,, n
记
2 Bn
i 1
n
2 若存在正数, σi ,
2 t x e 2 dt
证 令
1, 第i次试验 A发生 Xi 0, 第i次试验 A不发生
Yn X i
i 1 n
i 1, 2,, n
X1, X2,…, Xn独立, 同时服从B 1, p 分布, 且
由于 EXi p, DXi p 1 p i=1, 2,…, n,
1 1 4 所以 D( Yi ) , 5 3 45
因为X1, X2,…, Xn相互独立, 所以Y1, Y2,…,Yn 相互独立, 根据定理4.8
Yi n Zn X 2 i
i 1 近似服从正态分布N , , 3 45
注 1 定理4.10表明正态分布是二项分布的极限 分布也称为“二项分布的正态近 似”. 2 与“二项分布的泊松近似”相比较, 两种近 似 都要求n很大. 3 实际应用中当n很大时,
1 如果p很小而np不太大时, 采用泊松近似;
2 如果 np 5 和 n1 p 5 同时成立时,
n 越大,近似程度越好.
二、中心极限定理
定理4.8 林德贝格-列维中心极限定理 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 服从同一分布,
且具有数学期望与方差 EXi , DXi 2 0 i=1, 2,…, n
则随机变量
Yn
X i n
i 1
n
n 的分布函数Fnx 对于任意 x 满足
而该学生通过考试的概率应为
99 P X 60 i i 1
99 X i 49.5 60 49.5 i 1 P 16.665 16.665 1 2.5735 0.0050
1, 学生答对第i 题 Xi 0, 学生答错第i 题
i 1, 2,, 99
于是 Xi 是两点分布: PX i 1 pi ,
PX i 0 1 pi
为了使其成为随机变量序列, 我们规定从 X100开始 都与X99同分布, 且相互独立, 于是
2 Bn D X i Pi 1 pi i 1 i 1 n n
第二节 中心极限定理
一、问题的提出
二、中心极限定理
下
回
停
一、问题的提出
由上一节大数定理,我们得知满足一定条件
的随机变量序列的算数平均值依概率收敛, 但
我们无法得知其收敛的速度, 本节的中心极限 定理可以解决这个问题. 在实际中, 人们发现 n 个相互独立同分布
的随机变量之和的分布近似于正态分布, 并且
2 t e 2 dt
注 1 定理4.9是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有 Yn ~ AN 0, 1
而
n n 2 , X i ~ AN i i i 1 i 1 i 1 n
2 由定理4.8及定理4.9可以看出, 正态随机
使得当n时
Bn
2 δ E X μ 0 i i 2 δ i 1
1
n
则随机变量
Yn
X i i
i 1 i 1
n
n
Bn
的分布函数Fnx 对于任意 x 满足
n
lim Fn x lim P
n
x Yn
x
1 2π
20
求P V 105的近似值.
k 1
解 由于VkU 0, 10 , 易知 100 k 1, 2,, 20 E Vk 5, DVk 12 由林德贝格-列维中心极限定理知
Yn
V 100 近似服从标准正态 20 100 5 10 分布N0, 1, 于是 12 3 V 100 105 100 P V 105 P 5 5 10 10 3 3 V 100 15 1 P 1 0.387 0.348 10 5 10 3
200
则 X X i 表示工作的机床台数, 且
X ~ B200,0.6.
i 1
问题是求r, 使
PX r
k 0
k 200 k k C 0 . 6 0 . 4 0.999 200
r
由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理, 有
0 200 0.6 P 0 X r P 200 0.6 0.4 X 200 0.6 r 200 0.6 200 0.6 0.4 200 0.6 0.4 r 200 0.6 200 0.6 200 0.6 0.4 200 0.6 0.4