大物上海交大课后答案第十二章

习题12

12-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。

解：（1）具有MeV 10动能的电子，可以试算一下它的速度：

212k mv E =

⇒v c ==>光速，所以要考虑相对论效应。 设电子的静能量为20m c ，总能量可写为：20k E E m c =+，用相对论公式：

222240E c p m c =+

，可得：p

=

h p λ=

=

348-= 131.210m -=⨯；

（2）对于具有MeV 10动能的质子，可以试算一下它的速度：

74.410/v m s ===⨯，所以不需要考虑相对论效应。 利用德布罗意波的计算公式即可得出：

34159.110h m p λ--====⨯。

12-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。

解：（1）用非相对论公式：

34

127.7610h m p λ--====⨯； （2）用相对论公式：设电子的静能为20m c ，动能为：k E eU =，

由20222240E eU m c E c p m c

=+=+⎧⎪⎨⎪⎩

，有：127.6710m λ-==⨯。

12-3．设电子与光子的德布罗意波长均为0.50nm ，试求两者的动量只比以及动能之比。

解：动量为 λh

p = 因此电子与光子的动量之比为 1=γ

p p e ； 电子与光子的动能之比为 322

104222)(2-⨯====.c

m h m ch pc m p E E e e e k ke λλ

λγ

12-4．以速度3610/v m s =⨯运动的电子射入场强为5/E V cm =的匀强电场中加速，为使电子波长

A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：利用能量守恒，有：212E mv eU =+

，考虑到h p λ==

有：222211111[()][()]222h h U mv mv e m e m λλ

=-=- 34

2313219311011 6.6310[()9.1110(610)]2 1.6109.111010

-----⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 19

172310(4.8210 3.2810)150.63.2V --↑=⨯-⨯=太小，舍去

， 利用匀强电场公式U E d =有：150.60.301500

U d m E ===。

12-5．用电子显微镜来分辨大小为1nm 的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以eV 为单位） 解：由于需要分辨大小为1nm 的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1nm ， 由h

p λ=，有电子的动量为：342596.6310 6.6310/10

p kgm s ---⨯==⨯； 试算一下它的速度：25

5310 6.63107.2810/9.1110

p v m s c m --⨯===⨯<<⨯光速， 所以不考虑相对论效应，则利用2

02k p E m =，有电子动能的最小值： 252

1931(6.6310) 2.41029.1110

k E J ---⨯==⨯⨯⨯ 1.5eV =。

12-6．设电子的位置不确定度为

A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。 解：由不确定关系：x p h ∆⋅∆≈，有3423106.6310 6.6310kg m/s 0.110

h p x ---⨯∆≈==⨯⋅∆⨯， 由2k e E E m c =+，可推出：

223152 6.6310 1.2410J k p p E E p p m m --⎛⎫∆=∆=∆=∆= ⎪=⨯=⨯。

12-7．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为 A 10

2-，计算原子处在被激发态上的平均寿命。 解：能量hc E h νλ

==

，由于激发能级有一定的宽度E ∆，造成谱线也有一定宽度λ∆，两者之间的关系为：2hc E λλ∆=∆，由不确定关系，/2E t ∆⋅∆≥，平均寿命t τ=∆，则： 22

224t E h c c λλτλπλ=∆===∆∆∆10211812(4340.510)5104 3.1431010s ---⨯==⨯⨯⨯⨯⨯。

12-8．若红宝石发出中心波长m 103.67-⨯=λ的短脉冲信号，时距为91(10s)ns -，计算该信号的波长宽

度λ∆。

解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：x c t ∆=∆，

由不确定关系：2x p x ∆⋅∆≥，有：2224x x p λλπλλ

∆==≈∆∆∆ ∴72

2

389(6.310) 1.3231031010nm c t λλ---⨯∆===⨯∆⨯⨯。

12-9．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥∆∆θ，式中L ∆为粒子角动量的不确定度，θ∆为粒子角位置的不确定度。

证明：当粒子做圆周运动时，设半径为r ，角动量为：L rmv r p ==，

则其不确定度P r L ∆=∆，而做圆周运动时：θ∆=∆r x ，

利用：P x h ∆⋅∆≥代入，可得到：h L ≥∆∆θ。

12-10．计算一维无限深势阱中基态粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率。设粒子的势能分布函数为：()00()0U x x L U x x x L

=<<=<⎧⎨∞>⎩，，和 解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0x L <<之间运动时，其定态归一化的波函

数为：()0()00n n

n x x x L l x x x L πψ=<<ψ=<>⎧⎪⎨⎪⎩，，和， 概率密度为：22()sin 0n n P x x x L l l

π=<<， 粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率：23

02112()sin sin 323

l

n n n P x x l l n πππ=

=-⎰， 如果是基态，1n =，则202112()sin sin 0.19519.5%323l n P x x l l πππ==-==⎰。

12-11．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽m 1014-=L 。

（1）质子的零点能量有多大？

（2）由2=n 态跃迁到1=n 态时，质子放出多大能量的光子？

解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：2

22

8n h E n mL = 1n =时为零点能量：2342

131227142(6.6310) 3.291088 1.6710(10)

h E J m L ----⨯===⨯⨯⨯⨯。 （2）由2n =态跃迁到1n =态时，质子放出光子的能量为：

21321121)9.8710E E E E J -∆=-=-=⨯(。

思考题12

12-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。

证明：设电子轨道的半径为n r ，则电子轨道的周长为2n r π，需要证明2n r n πλ=。 玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：2

22

002n h r n r n me

επ==

而电子的德布罗意波长：2022h n me ελ==（∵2204

281h me n E n ε=）