第11讲 反比例函数(3～12分)

C．8
D．－8
反比例函数解析式的确定(10 年 9 考) 例 3 (2011·河南 9 题)已知点 P(a，b)在反比例函数 y＝2x的图象上．若点 P 关于 y 轴对称的点在反比例函数 y＝kx的图象上，则 k 的值为 －2 ． 【解析】 ∵点 P(a，b)在反比例函数 y＝2x的图象上，∴ab＝2.又∵点 P(a，b)关于 y 轴的对称点(－a，b)在反比例函数 y＝kx的图象上，∴k＝－ab＝－2.
5．(2019·禹州一模)如图，点 A 在双曲线 y＝3x上，点 B 在双曲线 y＝kx(k≠0)上，AB
∥x 轴，分别过点 A，B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C．若矩形 ABCD 的面积是 8，
则 k 的值为 11 ．
6．(2019·安顺)如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝kx1(x>0)及 y2＝kx2(x>0)
2．利用 k 的几何意义确定反比例函数的解析式 根据已知条件与关于 k 的几何意义的基本图形确定⑩ ||kk|| ，结合函数图象所在象 限确定 k 的符号，从而确定 k 的值.
序号 1 2 3
中考年份 反比例函数的图象 与性质
命题点 反比例函数解析
k 的几何意义 式的确定
2019 年
2018 年 2017 年
2．如图 1，若点 A 是反比例函数图象上任意一点，过点 A 作 x 轴(或 y 轴)的垂线， 1
则所做垂线、x 轴(或 y 轴)与线段 OA 围成的三角形的面积等于⑧ 2||kk|| .
图1
3．如图 2，双曲线 y＝kx(k≠0)和直线 y＝mx 交于点 P，P′，过点 P 向 x 轴作垂线， 过点 P′向 y 轴作垂线，两垂线的交点为 A，则 S△APP′＝⑨ 22|k|k|| ．
2．求不等式的解集，实质是已知两函数的大小，判断自变量的取值范围，只需以 交点为界限，观察交点左、右两侧的两函数图象上、下的位置关系，从而写出自变量的 取值范围．
3．比较函数值的大小，实质是根据自变量的取值范围确定两函数图象上、下的位 置关系．
4．求与图形面积相关的问题时需注意以下几点：(1)要善于把点的横、纵坐标转化 为图形的边长；(2)对于不能直接求解的图形的面积，往往可分割为能直接求解的图形的 面积进行相关转化；(3)要注意 k 的几何意义的应用．
关于直线 y＝x，y＝－x 成轴对称； 关于⑥ 原原点点 成中心对称； 对称性 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象若有交点，则 两个交点关于原点对称
反比例函数中 k 的几何意义(10 年 3 考) 1．如图 1，过反比例函数图象上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积等于⑦ ||kk|| ．
(1)填空：一次函数的解析式为 y＝－x＋4 ，反比例函数的解析式为 y＝3x(x>0) ．
(2)点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，连接 OP.若△POD 的面积 为 S，求 S 的取值范围．
解：将 A(m，3)代入 y＝－x＋4 中， 得 3＝－m＋4，解得 m＝1. ∴点 A 的坐标为(1，3)． 设点 P 的坐标为(a，－a＋4)，则点 D 的坐标为(a，0)． ∴OD＝a，PD＝－a＋4. ∴S△POD＝12OD·PD＝12a(－a＋4)＝－12(a－2)2＋2.
增减性(13)
利用 k 值作图 [18(2)]
待定系数法求解 析式 18(1) 待定系数法求解 析式 20(1)
反比例函数综合 题 反比例函数模型 探究(21) 与矩形作图相结 合(18) 与一次函数结合 (20)
命题点
序号 中考年份 反比例函数的图象
反比例函数解析 反比例函数综合
k 的几何意义
与性质
满分技巧 反比例函数图象上点的横坐标或纵坐标的大小比较：先判断这几个点是否在同一象 限内，若不在同一象限内，则通过判断函数值的正负即可进行判断；若在同一象限内， 则可以根据反比例函数的增减性来进行判断．
教材链接 1．(人教九下 P7 例 3)已知反比例函数的图象经过点 A(2，6)．这个函数的图象位于 哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
教材链接 2．(人教九下 P3 例 1)已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x＝2 时，y＝6. (1)写出 y 关于 x 的函数解析式． 解：设 y 关于 x 的函数解析式为 y＝kx. ∵当 x＝2 时，y＝6， ∴6＝k2，解得 k＝12. ∴y＝1x2.
(2)当 x＝4 时，求 y 的值． 解：把 x＝4 代入 y＝1x2， 得 y＝142＝3.
＝kx(k＞0)上不同的三点，连接 OA，OB，OC，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，过点 B，C
分别作 BE，CF⊥x 轴于点 E，F，OC 与 BE 交于点 M.记△AOD，△BOM，四边形 CMEF
的面积分别为 S1，S2，S3，则( B ) A．S1＝S2＋S3 C．S3＞S2＞S1
B．S2＝S3 D．S1S2＜S23
A．3
B．2
C．1
D．0
反比例函数中 k 的几何意义(10 年 3 考) 例 2 (2016·河南 5 题)如图，过反比例函数 y＝kx(x>0)的图象上一点 A 作 AB⊥x 轴 于点 B，连接 AO.若 S△AOB＝2，则 k 的值为( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 ∵点 A 在反比例函数 y＝kx(x>0)的图象上，并且 AB⊥x 轴于点 B，∴S△ AOB＝12|k|.又∵S△AOB＝2，∴12|k|＝2.∴k＝±4.∵反比例函数 y＝kx(x>0)的图象在第一象 限，∴k＞0，即 k＝4，故选 C．
解析式 k值
反比例函数的图象与性质(10 年 1 考)
y＝kx(k 为常数，k≠0)
k>0
k<0
图象
位置 第② 一一、、三三 象限(x，y 同号)
第③ 二二、、四四 象限(x，y 异号)
在每一个象限内，y 随 x 的增大而④ 在每一个象限内，y 随 x 的增大而⑤
增减性
减减小小
增增大大
比较 第一象限的 y 值大于第三象限的 y 值 第二象限的 y 值大于第四象限的 y 值
与性质
式的确定
题
7 2012 年 8 2011 年
k 的几何意义 (13)
k 的几何意义确定 解析式(13) 待定系数法求 k 与一次函数结合
值(9)，[20(1)] (20)
9 2010 年
待定系数法求 k 与几何图形结合
值[21(1)]
(21)
反比例函数的图象与性质(10 年 1 考) 例 1 (2017·河南 13 题)已知点 A(1，m)，B(2，n)在反比例函数 y＝－2x的图象上， 则 m 与 n 的大小关系为 m<n ． 【解析】 ∵k＝－2<0，∴反比例函数 y＝－2x的图象在第二、四象限内，并且在每 一个象限内，y 随 x 的增大而增大．又∵点 A(1，m)，B(2，n)都在第四象限的图象上， 且 0<1<2，∴m<n.
∴A D∥B C，A B ＝A D＝B C＝5.
在 Rt△AOB 中，sin∠ABC＝OABA＝O5A＝45， ∴OA＝4.
根据勾股定理，得 OB＝3. ∴OC＝BC－OB＝2. ∴C(2，0)． ∵AD＝5，OA＝4， ∴D(5，4)． 设直线 CD 的解析式为 y＝kx＋b， 得25kk＋＋bb＝＝04，，解得kb＝＝43－，83. ∴直线 CD 的解析式为 y＝43x－83.
象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是( C )
A．y1＞y2＞y3
B．y3＞y2＞y1
C．y2＞y1＞y3
D．y1＞y3＞y2
3．函数 y＝|x1|的大致图象为( B )
A
B
C
D
命题点二 反比例函数中 k 的几何意义
4．(2019·株洲)如图所示，在直角平面坐标系 xOy 中，点 A，B，C 为反比例函数 y
解：∵点 A(2，6)在第一象限， ∴这个函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小．
【变式训练】
1．已知反比例函数 y＝－8x，下列结论：①图象必经过点(－2，4)；②图象在二、四
象限内；③y 随 x 的增大而增大；④当 x>－1 时，y>8.其中错误的结论有( B )
∵点 P 在线段 AB 上， ∴1≤a≤3. ∵－12＜0， ∴当 a＝2 时，S 取得最大值，最大值为 2；当 a＝1 或 3 时，S 取得最小值，最小值为32. ∴S 的取值范围为32≤S≤2.
满分技巧 对于一次函数与反比例函数综合题，一般的设问有：求函数解析式，求与图形面积 相关的问题，求不等式的解集，比较函数值的大小等，解决这些问题的一般方法如下： 1．求函数解析式时，一般根据一个已知交点的坐标求得反比例函数的解析式，再 由反比例函数的解析式求得另一个交点的坐标，最后将这两个交点坐标分别代入一次函 数的解析式中求解即可．
【变式训练】
3．若一个反比例函数的图象经过点 A(m，m)和点 B(2m，－1)，则这个反比例函数 的解析式为 yy＝＝4x .
反比例函数综合题(10 年 7 考) 例 4 (2017·河南 20 题)如图，一次函数 y＝－x＋b 与反比例函数 y＝k(x>0)的图象
x 交于点 A(m，3)和点 B(3，1)．
命题点一 反比例函数的图象与性质 1．(2019·天门)反比例函数 y＝－3x，下列说法不正确的是( D ) A．图象经过点(1，－3) B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线 y＝x 对称 D．y 随 x 的增大而增大
2．(2019·毕节)若点 A(－4，y1)，B(－2，y2)，C(2，y3)都在反比例函数 y＝－1x的图
∵点 N 的坐标是(3，n)， ∴n＝43×3－83＝43. ∴N(3，43)． ∵点 N 在反比例函数 y＝kx(x>0)图象上， ∴k＝3×43＝4. ∴反比例函数的解析式为 y＝4x.
(2)求证：△OMC 是等腰三角形． 证明：由(1)知，反比例函数的解析式为 y＝4x. ∵点 M 在 AD 上， ∴M(1，4)． ∵C(2，0)， ∴OM＝ 12＋42＝ 17，CM＝ （1－2）2＋42＝ 17. ∴OM＝CM. ∴△OMC 是等腰三角形.
【变式训练】 4．如图，菱形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正半轴上，边 BC 在 x 轴上，且 BC＝5，sin ∠ABC＝45，反比例函数 y＝kx(x>0)的图象分别与 AD，CD 交于点 M，N，点 N 的坐标是
(3，n)，连接 OM，MC．
(1)求反比例函数的解析式． 解：∵四边形 ABCD 是菱形，
第三章 函数
第11讲 反比例函数(3～12分)
【版本导航】人教：九下第二十六章 P1—P22； 北师：九上第六章 P148—P162； 华师：八下第十七章 P54—P59.
反比例函数的概念 形如 y＝kx(k 为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．其中 x 是自变量，y 是函数，自 变量 x 的取值范围是不等于① 00 的一切实数．
易错提醒 1．忽略图象所在的象限而导致 k 的符号出错. 2．弄错矩形或三角形面积与|k|的倍数关系．
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【变式训练】 2．如图，P 是反比例函数 y＝kx图象上的一点，PA⊥y 轴于点 A，点 B 是 x 轴上任
意一点，连接 AB，PB．若△APB 的面积为 4，则 k 的值是( D )
A．4
B．－4
图2
反比例函数解析式的确定(10 年 9 考) 1．用待定系数法确定反比例函数的解析式 (1)基本思路 因为反比例函数 y＝kx(k≠0)中只有一个待定系数 k，故只需一对 x，y 的对应值就可 以确定系数 k 的值，从而确定反比例函数的解析式．
(2)一般步骤 一设：设反比例函数的解析式为 y＝kx(k≠0)； 二列：把已知 x 与 y 的一对对应值同时代入 y＝kx(k≠0)，得到关于 k 的方程； 三解：解方程，求出 k 的值； 四代：将求出的 k 值代入所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式．
式的确定
题
4 2016 年
k 的几何意义确定 k 的几何意义(5)
解析式(5)
5 2014 年
待定系数法求解 与几何图形结合
析式 20(1)
(20)
6 2013 年
待定系数法求 k 与几何图形结合
值 20(1)
(20)
命题点
序号 中考年份 反比例函数的图象
反比例函数解析 反比例函数综合
k 的几何意义