梅涅劳斯定理范文
一道初三课外练习的证明——梅涅劳斯定理和塞瓦定理的应用
一道初三课外练习的证明——梅涅劳斯定理和塞瓦定
理的应用
梅涅劳斯定理：梅涅劳斯定理是一个关于圆的定理，它告诉我们，如果一个圆的外接的正多边形的各个角度都是相等的，那么，这个正多边形的每条边都是等边的。
塞瓦定理：塞瓦定理是一个关于圆的定理，它告诉我们，如果一个圆的内接正多边形的每条边都是等边的，那么，这个正多边形的每个角度也是相等的。
证明：为了证明梅涅劳斯定理和塞瓦定理之间的关系，我们使用反证法。
假设正多边形的每个角度都是相等的，而它的每条边不是等边的。
根据梅涅劳斯定理，我们知道这个正多边形的每条边都是等边的，而这与我们的假设矛盾，因此该假设是错误的。
反之，假设正多边形的每条边都是等边的，而它的每个角度不是相等的。
根据塞瓦定理，我们知道这个正多边形的每个角度都是相等的，而这与我们的假设矛盾，因此该假设也是错误的。
由此可见，梅涅劳斯定理和塞瓦定理之间有着密切的联系。
即正多边形的每个角度都是相等的，那么它的每条边也都是等边的；反之，正多边形的每条边都是等边的，那么它的每个角度也都是相等的。
综上所述，梅涅劳斯定理和塞瓦定理之间是成立的。
梅涅劳斯定理入门篇
梅涅劳斯定理（入门篇）雷雨田 （广西师范大学附属外国语学校高50班 541004）梅涅劳斯定理这个定理怎么记最好呢？ 个人感觉“顶到分、分到顶、顶到分、分到顶、顶到分、分到顶”这样记忆来得非常容易不过找了很多资料，感觉仅仅是把这个定理（或者后面附一个逆定理）陈述然后证明完了之后，就直接给例题（或者直接讲赛瓦定理），看上去不怎么舒服，所以我把其他的一些东西附在这里，以供参考。
第一角元形式的梅涅劳斯定理（就是把线段比改为正弦值比）其表达式为：1=∠∠∙∠∠∙∠∠BA'B sin 'CBB sin CB 'C sin 'ACC sin AC 'A sin 'BAA sin 证明如下：如图所示，由三角形面积公式（正弦定理）可得：AC 'A sin AC 'BAA sin AB AC 'A sin AC 'AA 'BAA sin 'AA AB S S C 'A 'BA C 'AA 'ABA ∠⋅∠⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅==∆∆2121 同理可得CB'C sin BC 'ACC sin AC B 'C 'AC ,BA 'B sin AB 'CBB sin BC A 'B 'CB ∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅=把这三个式子相乘，运用梅氏定理，就可得到这个式子怎么记最好呢？个人感觉根据梅涅劳斯定理中线段所对应的角来记忆最好。
第二角元形式的梅涅劳斯定理设O 是不在三角形ABC 三边所在直线上的任意一点，其他条件不变，则表达式为： 1=∠∠∙∠∠∙∠∠OA'B sin 'COB sin OB 'C sin 'AOC sin OC 'A sin 'BOA sin 现证明如下：B C A’如图，由C'A 'BA S S OC 'A 'BOA =∆∆ 可得A'B 'BA OB OC OC 'A sin 'OA B sin ⋅=∠∠同理得到另外两个对称式，相乘，运用梅氏定理即得证这个式子就这样记吧：先记住原来的梅涅劳斯定理形式，然后在每条线段表达式中间插一个O ，然后再在前面加上∠sin （比如BA'就变成'BOA sin ∠）梅氏定理的用处这个定理是平面几何的一个重要定理（好像所有竞赛书都把他与赛瓦定理放在第一节，不知是惯性还是怎么地），它大概有如下用处：可以用来证明三点共线；可以用来导出线段比例式；可以用来寻求一条线段是另一条线段的几分之几或几倍（即线段倍分）；怎么用梅氏定理知道了这个定理，还要会用才行。
梅涅劳斯定理的证明及运用
梅涅劳斯定理（入门篇）雷雨田（广西师范大学附属外国语学校高50班 541004）梅涅劳斯定理证明2：面积法AF/FB = △ADF/△BDF ①BD/DC = △BDF/△CDF ②CE/EA = △CDF/△ADF ③式① * ② * ③可得：（AF/FB）*（BD/DC）*（CE/EA）= 1 得证。
证明3：相似法证明4：这个定理怎么记最好呢？个人感觉“顶到分、分到顶、顶到分、分到顶、顶到分、分到顶”这样记忆来得非常容易不过找了很多资料，感觉仅仅是把这个定理（或者后面附一个逆定理）陈述然后证明完了之后，就直接给例题（或者直接讲赛瓦定理），看上去不怎么舒服，所以我把其他的一些东西附在这里，以供参考。
第一角元形式的梅涅劳斯定理（就是把线段比改为正弦值比）其表达式为：1=∠∠•∠∠•∠∠BA'B sin 'CBB sin CB 'C sin 'ACC sin AC 'A sin 'BAA sin 证明如下：如图所示，由三角形面积公式（正弦定理）可得： AC 'A sin AC 'BAA sin AB AC 'A sin AC 'AA 'BAA sin 'AA AB S S C 'A 'BA C 'AA 'ABA ∠⋅∠⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅==∆∆2121同理可得CB'C sin BC 'ACC sin AC B 'C 'AC ,BA 'B sin AB 'CBB sin BC A 'B 'CB ∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅= 把这三个式子相乘，运用梅氏定理，就可得到这个式子怎么记最好呢？个人感觉根据梅涅劳斯定理中线段所对应的角来记忆最好。
第二角元形式的梅涅劳斯定理设O 是不在三角形ABC 三边所在直线上的任意一点，其他条件不变，则表达式为：1=∠∠•∠∠•∠∠OA'B sin 'COB sin OB 'C sin 'AOC sin OC 'A sin 'BOA sin AB C A’ B’C’现证明如下： 如图，由C 'A 'BA S S OC 'A 'BOA =∆∆ 可得A'B 'BA OB OC OC 'A sin 'OA B sin ⋅=∠∠同理得到另外两个对称式，相乘，运用梅氏定理即得证这个式子就这样记吧：先记住原来的梅涅劳斯定理形式，然后在每条线段表达式中间插一个O ，然后再在前面加上∠sin （比如BA'就变成'B OA sin ∠）梅氏定理的用处这个定理是平面几何的一个重要定理（好像所有竞赛书都把他与赛瓦定理放在第一节，不知是惯性还是怎么地），它大概有如下用处：可以用来证明三点共线；可以用来导出线段比例式；可以用来寻求一条线段是另一条线段的几分之几或几倍（即线段倍分）；怎么用梅氏定理知道了这个定理，还要会用才行。
梅涅劳斯(Menelaus)定理
补充讲义梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
AFED证明：塞瓦定理ΔABC的三边BC，CA，AB上有点D，E，F.若AD，BE，CF三线交于一点O.求证：. BD/DC*CE/EA*AF/FB=1∵三角形ABC内一点O，AO，BO，CO交对边于D，E，F。
证（AF/FB）*（BD/DC）*（CE/EA）=1。
1）最简单的证法：用面积证。
2）用梅涅劳斯定理：3）用分角定理：证明：塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心MAD ESB M C实际运用：2010年上海中考题25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC 相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若1tan3BPD∠=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用) 图11(备DP武汉2010年中考试题24．(本题满分10分) 已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点。
连结AC，BD交于点P．(1) 如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求APPC的值；(2) 如图2，当OA=OB，且AD1AO4时，求tan∠BPC的值．(3) 如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶tan∠BPC的值．（图1）（图2）（图3）25．(本题满分12分) 如图．抛物线经过A （－1，0），C （2，）两点， 与x 轴交于另一点B ．(1) 求此地物线的解析式；(2) 若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点 (不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上 移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x ，MQ=，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出 自变量x 的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于点E ，G ，与(2)中的 函数图象交于点F ，H ．问四边形EFHG 能否为平行四边形? 若能，求m ，n 之间的数量关 系；若不能，请说明理由．补充知识点：1、 中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2)AB C212y ax ax b =-+3222yP2、广勾定理：在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．A AB CD C （锐角）证明：AC2=AB2+BC2-2BD*BC （钝角）证明：AC2=AB2+BC2+2BD*BC知识补充：（北京市2010年中考题第25题）1、问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。
梅涅劳斯定理推论
梅涅劳斯定理推论1. 哎呀，说起梅涅劳斯定理的推论，可别觉得是什么高不可攀的数学知识！今天我们就用最接地气的方式，把这个看似复杂的定理聊明白！2. 你们知道吗？梅涅劳斯定理就像是三角形里的"魔法切线"！它告诉我们，当一条直线横着切过三角形的三条边时，就会发生一些神奇的事情。
3. 来，我们打个超级生动的比方：想象一下，三角形就是一块大披萨，这条横着切过去的线就像是一把锋利的披萨刀。
这刀一划，就把三条边都切出了点，这些点之间还藏着特别的数学关系呢！4. 定理的推论告诉我们，如果在三角形的三边上分别取了三个点，只要这三个点满足一定的比例关系，它们就一定在同一条直线上。
就像是三个小伙伴约好了，非要排成一条直线拍照似的！5. 这个推论最厉害的地方在于，它给了我们一个判断三点共线的绝妙武器！你看啊，只要算算这些线段的比值，就能知道这三个点是不是真的乖乖排成一条直线了。
6. 有趣的是，这个推论还能反过来用。
如果我们发现三个点在一条直线上，那它们把三角形的边分成的部分肯定也符合特定的比例关系，就像是一个完美的平衡艺术！7. 在解题的时候，这个推论简直就是救命稻草！遇到那些看起来特别难的共线问题，只要想到用梅涅劳斯定理的推论，问题就会变得清晰明了，就像是迷雾中突然出现了一盏明灯！8. 我给大家举个实际的例子：假如你在三角形边上随便点了三个点，想知道它们是不是在一条直线上，不用傻傻地去拿尺子量，用这个推论算算比值就搞定啦！9. 这个推论还告诉我们一个有趣的事实：如果三个点真的共线，那么它们产生的六段线段之间会有一个神奇的乘积关系，就像是数学界的"连连看"游戏！10. 在几何题中，这个推论经常会和其他定理"联手作战"。
比如和塞瓦定理搭配使用，简直就是几何问题的"黄金搭档"，威力大得惊人！11. 记住啊，运用这个推论的时候，别忘了注意正负号。
梅涅劳斯定理及例题拓展
梅涅劳斯定理及例题拓展梅涅劳斯介绍：在证明点共线时，有一个非常重要的定理，它就是梅涅劳斯定理，梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍。
下面的定理就是他首先发现的。
这个定理在几何学上有很重要的应用价值。
定理：设D 、E 、F 依次是三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1=⋅⋅FA CF EC BE DB AD 证明：（此定理需要分四种情况讨论，但有两种可以排除） 先来说明两种不可能的情况 情况一：当三点均在三角形边上时，由基本事实可知三点不可能共线（只能组成内接三角形的三角形。
情况二：当一点在三角形一边上，另两点分别在三角形另两边的延长线上时，如图是三角形ABC 直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，平移直线DE 即可发现不能可两点同时在延长线上 情况三：当两点分别在三角形两边上，另一点在三角形另一边的延长线上时，如图是三角形ABC 直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，∵D 、E 、F 三点共线∴可过C 作CM ∥DE 交AB 于M ，于是FCAF DM BD DM AD EC BE FCAF DM AD DM BD EC BE ⋅=⋅∴==,,所以1=⋅⋅FA CF EC BE DB AD 情况四：三点分别在三角形三边的延长线上时，如图是三角形ABC 直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，同情况三∵D 、E 、F 三点共线∴可过C 作CM ∥DE 交AB 于M ，于是FCAF DM BD DM AD EC BE FCAF DM AD DM BD EC BE ⋅=⋅∴==,,所以1=⋅⋅FACF EC BE DB AD∴设D 、E 、F 依次是三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1=⋅⋅FACF EC BE DB AD拓展（1题）在任意三角形PQR 中，A2,A4分别是PR,PQ 延长线上的点，做射线A4A2,A6是射线A4A2上的一点，做射线A6Q ，A1是射线A6Q 上的一点，连结A1A2交射线PR 于X ，作射线A4A3交射线PQ 于点A3，交射线A1A6于点Y ，连结A1A3交射线PR 于点A5，连结A6A5交射线PQ 于点Z ，求证X,Y,Z 三点共线（该命题又为一六边形相间各顶点分别在两直线上求证：它的三对对边（所在直线）的交点共线）这个定理为帕波斯定理（2题）给定△ABC内两点O,O',连结AO,AO'交BC于点X,X',BO,BO'交AC于Y,Y',CO,CO'交AB于Z,Z'.设YZ'与Y'Z交于点P,ZX'与Z'X交于点Q,XY'与X'Y 交于点R.求证O,O',P,Q,R五点共线（3题）在任意三角形ABC中，E是直线AC上的一点，D是直线BC上的一点，F 是直线DE上一点，G是直线AC上一点，作直线BG交直线DF于点Q，作直线CF 交直线AB于点P，作直线GF交直线AB于点H作直线DH交直线AC于点R,求证P,Q,R三点共线（4题）一直线截△ABC三边BC,CA,AB或延长线X,Y,Z。
梅涅劳斯定理证明
梅涅劳斯(Menelaus)定理的证明1. 梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus ）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理。
它指出：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积。
直线与三角形的位置关系有两种情况：1) 如图(1)，三角形ABC 与直线DEF 交点其中两点在边上，另一交点在边的延长线上，则有：2) 如图(2)，三角形ABC 与直线DEF 的三个交点均在边的延长线上时，仍有：AF FB ×BD DC ×CE EA =1图(1) AF FB ×BD DC ×CE EA=1图(2)AF FB =AI BJ BD DC =JD DH ,CE EA =CH AI ∴AF FB ×BD DC ×CE EA =AI BJ ×JD DH ×CH AI =CH BJ ×JD DH=12. 证明方法分析命题：设直线l 分别与△ABC 的三边所在直线相交于点D 、E 、F ，则有分析：需证明比例式，一般采用的方法为相似、正弦或余弦定理、共边共角定理等。
添加辅助线的方法多为创造平行线。
在得到比例 式后相乘得所求式子。
3. 证明方法i. 证法1（作平行线，利用平行线分线段成比例）如图(3)，过点C 作直线DF 平行线，交AB 与点G 。
由平行线分线段成比例得：ii. 证法2（作高创造平行，利用比例线段）如图(4)，过点ABC 作直线DF 垂线，垂足为点I 、J 、H 。
∵ BJ ⊥DF ，AI ⊥DF∴ BJ ∥AI∴ ∠3=∠4又∵∠1=∠2∴ △AFI ∼△BFJ得同理 BD DC =FB GF ，CE EA =GF AF ∴AF FB ×BD DC ×CE EA =AF FB ×FB GF ×GF AF =1图(3) 图(4) AF FB ×BD DC ×CE EA =1∴AFFB×BDDC×CEEA=ADEBDE×BDECDE×CDEADE=1AEFBFD=AF×EFFB×DF，BFDCDE=BD×DFDC×DE，CDEAEF=DE×CEEA×EF1=AF×EF×BD×DF×DE×CEFB×DF×DC×DE×EA×EF=AFFB×BDDC×CEEAAFFB×BDDC×CEEA=AF×BD×CEEA×FB×DC=Sin∠AEF×Sin∠BFD×Sin∠EDCSin∠AFE×Sin∠BDF×Sin∠ECDAFFB×BDDC×CEEA=1iii.证法3（利用共边定理）如图(5)，联结BE、AD由共边定理得：iv.证法4（利用共角定理）如图(6)，由共角定理得：三式相乘，得：v.证法5（利用正弦定理）同图(6)，在△AEF、△BDF、△CDE中，由正弦定理得：∵∠AEF=∠ECD，∠EDC=∠FDB∠BFD+∠AFE=180°∴Sin∠AEF=Sin∠ECD，Sin∠EDC=Sin∠FDB且Sin∠BFD=Sin∠AFE∴上式右端分式化为1即图(5)图(6)图(6)。
梅涅劳斯定理的证明方法
梅涅劳斯定理的证明方法嘿，咱今天就来聊聊梅涅劳斯定理的证明方法！你知道吗，这就像是一场奇妙的数学探险。
梅涅劳斯定理啊，那可是几何世界里的一颗璀璨明珠。
想象一下，在一个复杂的几何图形里，线条交织，就像一个神秘的迷宫。
而梅涅劳斯定理呢，就像是给我们指出了走出迷宫的关键线索。
证明梅涅劳斯定理的方法有好几种呢。
有一种方法就像是搭积木，一步一步稳稳地构建起来。
我们先在图形上找到那些关键的点和线，然后通过巧妙的比例关系，就像拼图一样把它们拼在一起，哇，定理就神奇地出现啦！这难道不神奇吗？还有一种方法呢，就像是解开一个复杂的绳结。
我们要耐心地找到每一个线头，慢慢地梳理，一点点地解开。
在这个过程中，你会发现数学的美妙之处，就好像是找到了隐藏在图形背后的密码。
你说数学难？嘿，那只是还没找到乐趣罢了。
梅涅劳斯定理的证明过程，就是一次充满挑战和惊喜的旅程。
当你通过自己的努力，找到了那个正确的证明方法，那种成就感，简直无与伦比！比如说，我们可以在一个三角形里，找到那些特殊的线段比例，然后通过巧妙的代换和推理，梅涅劳斯定理就乖乖地现出原形啦。
这就像是一场智力的较量，我们要和定理斗智斗勇，最后取得胜利。
数学可不只是一堆枯燥的公式和定理，它里面蕴含着无尽的智慧和乐趣。
梅涅劳斯定理就是一个很好的例子。
它就像是一个神秘的宝藏，等待着我们去挖掘，去发现。
你想想看，几百年前的数学家们是怎么发现这个定理的呢？他们是不是也经历了无数次的尝试和失败，最后才找到了这个美妙的证明方法？我们现在站在巨人的肩膀上，更应该好好去体会，去感受数学的魅力呀。
所以啊，别害怕梅涅劳斯定理，也别害怕数学。
勇敢地去探索，去尝试，你会发现一个全新的世界。
在这个世界里，有奇妙的图形，有深奥的定理，还有无尽的乐趣。
总之，梅涅劳斯定理的证明方法是数学世界里的一颗宝石，值得我们去好好钻研和品味。
让我们一起踏上这场数学的冒险之旅吧！。
梅捏劳斯定理
梅捏劳斯定理梅涅劳斯定理是美国数学家，诺伯特·维纳说的。
梅涅劳斯定理说，一个打开装有少量不太浓的氢氧化钠溶液的试剂瓶塞的试管，立即有大量气泡冒出，但当把试管中的液体全部倒出后，试管又恢复了原状。
其原因是：瓶内装有较浓的溶液，倒出一部分溶液后，使溶液与外界空气之间的溶液浓度差减小，外面的空气就从溶液中溶解进去，形成气泡。
这个现象被称为“梅捏劳斯定理”。
它在物理、化学、生物等领域都有广泛的应用。
“好奇害死猫”这句话，大家都听过吧！一位外国著名科学家——梅涅劳斯，他也曾经历过这样一件令人好笑的事情。
那是在1820年的一天，梅涅劳斯一家搬进了一幢新房子，新屋中央摆放着一台新的大型蒸汽机，那台机器有3层楼高。
于是，这些好奇的孩子们跑到这台庞然大物前观看，并好奇地摸摸它，踩踩它，闹得欢天喜地，直到夜幕降临，它才停止了轰鸣。
梅涅劳斯和他的儿子当时只有11岁。
在父亲睡觉后，他便和几个伙伴偷偷地爬上了蒸汽机。
他们来到主轴旁边，看到了安装在主轴上的水泵，便把手伸进嘴里，吸起了烟，没想到，他的父亲正睡得很香。
这时，爸爸的两个同事也来了。
他们吓得直哆嗦，赶紧跑回家，通知了梅涅劳斯。
这时候，爸爸已经醒了，接到邻居的电报后，连忙穿上衣服，骑马奔向机器。
当时机器刚刚停止工作，还没有盖上钢盔，如果碰坏了机器，损失是非常大的。
这个故事告诉我们：一切从实际出发，实事求是，不能盲目行动，否则将会招致失败的结局。
今天我们学习的《最大的麦穗》这篇课文就是说明这个道理的。
这个故事主要讲了，一个叫吉姆的小男孩，很喜欢放风筝，他认为自己放风筝的本领很高。
可是，他的朋友——詹姆斯却认为他这方面的本领很差，根本不是吉姆的对手，如果吉姆把风筝放得更高，那么，詹姆斯就会更加佩服吉姆，所以吉姆应该降低自己的目标，而且要降低的越多越好。
当吉姆经过深思熟虑后，他明白了一个道理，那就是：要想取得胜利，必须首先战胜自己。
这个故事启示我们，当一个人确立了奋斗目标后，就要付诸努力，即使到达目标有困难，也要坚持到底，不轻易放弃。
梅涅劳斯定理证明
梅涅劳斯(Menelaus)定理的证明1. 梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus ）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理。
它指出：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积。
直线与三角形的位置关系有两种情况：1) 如图(1)，三角形ABC 与直线DEF 交点其中两点在边上，另一交点在边的延长线上，则有：2) 如图(2)，三角形ABC 与直线DEF 的三个交点均在边的延长线上时，仍有：AF FB ×BD DC ×CE EA =1图(1) AF FB ×BD DC ×CE EA=1图(2)AF FB =AI BJ BD DC =JD DH ,CE EA =CH AI ∴AF FB ×BD DC ×CE EA =AI BJ ×JD DH ×CH AI =CH BJ ×JD DH=12. 证明方法分析命题：设直线l 分别与△ABC 的三边所在直线相交于点D 、E 、F ，则有分析：需证明比例式，一般采用的方法为相似、正弦或余弦定理、共边共角定理等。
添加辅助线的方法多为创造平行线。
在得到比例 式后相乘得所求式子。
3. 证明方法i. 证法1（作平行线，利用平行线分线段成比例）如图(3)，过点C 作直线DF 平行线，交AB 与点G 。
由平行线分线段成比例得：ii. 证法2（作高创造平行，利用比例线段）如图(4)，过点ABC 作直线DF 垂线，垂足为点I 、J 、H 。
∵ BJ ⊥DF ，AI ⊥DF∴ BJ ∥AI∴ ∠3=∠4又∵∠1=∠2∴ △AFI ∼△BFJ得同理 BD DC =FB GF ，CE EA =GF AF ∴AF FB ×BD DC ×CE EA =AF FB ×FB GF ×GF AF =1图(3) 图(4) AF FB ×BD DC ×CE EA =1∴AFFB×BDDC×CEEA=ADEBDE×BDECDE×CDEADE=1AEFBFD=AF×EFFB×DF，BFDCDE=BD×DFDC×DE，CDEAEF=DE×CEEA×EF1=AF×EF×BD×DF×DE×CEFB×DF×DC×DE×EA×EF=AFFB×BDDC×CEEAAFFB×BDDC×CEEA=AF×BD×CEEA×FB×DC=Sin∠AEF×Sin∠BFD×Sin∠EDCSin∠AFE×Sin∠BDF×Sin∠ECDAFFB×BDDC×CEEA=1iii.证法3（利用共边定理）如图(5)，联结BE、AD由共边定理得：iv.证法4（利用共角定理）如图(6)，由共角定理得：三式相乘，得：v.证法5（利用正弦定理）同图(6)，在△AEF、△BDF、△CDE中，由正弦定理得：∵∠AEF=∠ECD，∠EDC=∠FDB∠BFD+∠AFE=180°∴Sin∠AEF=Sin∠ECD，Sin∠EDC=Sin∠FDB且Sin∠BFD=Sin∠AFE∴上式右端分式化为1即图(5)图(6)图(6)。
梅涅劳斯定理向量证明的重新陈述
梅涅劳斯定理向量证明的重新陈述标题: 梅涅劳斯定理向量证明的重新陈述摘要：梅涅劳斯定理是一个重要的向量定理，它可以在许多领域中被应用。
本文重新陈述和证明了梅涅劳斯定理，并探讨了其在几何中的应用。
我们将通过从简到繁的方式来介绍和分析这一定理，以便读者能够更深入地理解梅涅劳斯定理。
引言：梅涅劳斯定理是向量分析中的一个重要定理，它描述了一个平面内的向量和其与该平面法向量的夹角之间的关系。
该定理是由奥地利物理学家弗朗茨·梅涅劳斯在19世纪提出的，后来成为了向量分析的基本理论之一。
本文将首先简要介绍梅涅劳斯定理的基本概念，然后详细推导其证明过程。
接下来，我们将探讨梅涅劳斯定理在几何中的应用，包括面积计算和向量叉乘的关系。
最后，我们将总结梅涅劳斯定理的重要性和应用价值。
梅涅劳斯定理的陈述：梅涅劳斯定理的陈述如下：如果一个向量与平面内的两个非共线向量的叉乘等于零向量，那么这个向量与该平面法向量的夹角为直角。
这一定理可以用数学符号表示为：（A × B）·C = 0 ⇒ A · (B × C) = 0其中，A、B和C都是平面上的向量，符号"·"表示向量的点积，符号"×"表示向量的叉乘。
证明过程：证明梅涅劳斯定理可以分为以下几个步骤：步骤1：定义平面和向量A、B、C我们首先定义一个平面P，并选择该平面上的三个非共线向量A、B、C。
步骤2：计算向量的叉乘通过计算向量B和向量C的叉乘，我们可以得到一个新的向量D：D = B × C步骤3：计算向量的点积然后，我们计算向量A和向量D的点积：A · D = A · (B × C)步骤4：证明点积等于零通过利用向量叉乘的性质和向量的线性无关性质，我们可以证明：A · (B × C) = 0因此，根据梅涅劳斯定理的陈述，由于A · (B × C) = 0，我们可以得出结论：向量A与平面P的法向量的夹角为直角。
梅涅劳斯定理向量证明
梅涅劳斯定理向量证明梅涅劳斯定理是欧几里得几何中一个非常重要的定理，它是描述三角形内部三条线段交点线性相关时的关系。
这个定理被广泛应用于计算三角形内心、重心、垂心等点的坐标。
在这里，我将详细介绍梅涅劳斯定理向量证明。
首先，我们需要了解几个向量的概念和符号，如向量的数量积、向量的叉积、向量之间的投影等。
假设我们有一个三角形ABC，它的三个顶点分别为A、B、C，向量AB、BC、CA分别表示从A指向B、从B 指向C、从C指向A的向量。
然后，我们需要证明两个引理：引理1：如果三角形ABC的内部有一点P，那么向量AP、BP、CP满足下列关系：$AP \times BC + BP \times AC + CP \times AB = 0$证明：我们可以将向量AP、BP、CP分别表示为向量AB、BC、CA的线性组合，即AP=kBC+lCA，BP=mCA+nAB，CP=pAB+qBC。
将这些向量代入原式，得到：$(kBC+lCA) \times BC + (mCA+nAB) \times AC + (pAB+qBC) \times AB$化简可得：$k(BC \times BC) + (l+q)(CA \times AB) + n(AB \times AC) +m(AC \times AC) + p(AB \times BC)$利用向量的叉积性质，这个式子可以进一步改写为：$-k\,{\vec{a}}^{2} + (l + q)\,{\vec{b}}\cdot{\vec{c}} +n\,{\vec{a}}\cdot{\vec{c}} + m\,{\vec{c}}^{2} +p\,{\vec{a}}\cdot{\vec{b}}=0$其中，$\vec{a}=\vec{BC}$，$\vec{b}=\vec{AB}$，$\vec{c}=\vec{CA}$，是三角形ABC的3条边，$\cdot$表示向量的数量积。
根据向量之间的投影关系，我们有$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}$和$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$。
梅涅劳斯定理的证明
数学意义 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。
梅涅劳斯定理的证明
证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1
证明一
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G， 则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
证明三
连接BF。 （AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） =1
若E，F，D三点共线，则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)
梅涅劳斯定理及证明
梅涅劳斯定理及证明
梅涅劳斯定理（Menelaus' Theorem）是一个在几何学中用于描述三角形内部的线段相交关系的定理。
它是由古希腊数学家梅涅劳斯（Menelaus）在约公元前70年提出的。
梅涅劳斯定理的陈述如下：
对于一个三角形ABC，如果P、Q、R分别是三条边BC、CA、AB 上的点，那么这三条线段交于一点的充要条件是：
AP/BP ×BQ/CQ ×CR/AR = 1
下面是梅涅劳斯定理的证明：
证明步骤：
1. 假设P、Q、R三点共线，即线段PQ和QR延长后相交于点A。
2. 在三角形ABC中，利用相似三角形的性质，可以得到以下比值关系：
AP/BP = AQ/CQ
BQ/CQ = BR/AR
3. 将上述两个等式联立，并进行等式变形：
AP/BP ×BQ/CQ ×CR/AR = (AQ/CQ) ×(BR/AR) ×CR/AR
= AQ/AR ×BR/CQ ×CR/AR
= (AQ/AR) ×(BR/CR) ×(CR/CQ)
= 1（根据梅涅劳斯定理的假设）
4. 因此，如果P、Q、R三点共线，上述比值等于1。
5. 反过来，如果上述比值等于1，可以通过逆向的证明过程得到
P、Q、R三点共线的结论。
6. 因此，上述比值等于1是P、Q、R三点共线的充要条件，即梅涅劳斯定理成立。
这就是梅涅劳斯定理的证明过程。
它是一个基础的几何学定理，可以用于解决许多与三角形内部线段相交相关的问题。
梅涅劳斯公式
梅涅劳斯公式梅涅劳斯（Menelaus）公式是一个在平面几何中非常重要的定理。
这玩意儿听起来可能有点高深莫测，但其实理解起来也没那么可怕。
咱先来说说啥是梅涅劳斯公式。
它指的是如果一条直线与△ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点，那么就有(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 。
就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。
有一次课堂上我讲到梅涅劳斯公式，这小子一脸懵，完全不知道我在说啥。
我就给他画了个三角形，标上了几个点，然后一点点给他解释。
我跟小明说：“你看啊，假设这是一个三角形 ABC，有一条直线穿过了它的三条边，分别交于 F、D、E 这三个点。
那咱们就来看看这几个线段的比例关系。
比如说 AF 和 FB 的长度比，乘以 BD 和 DC 的长度比，再乘以 CE 和 EA 的长度比，结果就会等于 1 。
”小明眨巴着眼睛，还是有点迷糊。
我就又举了个例子。
“想象一下，你在操场上跑步，从 A 点跑到 B 点，再从 B 点跑到 C 点，然后有一条线把你的路线分成了几段。
这几段的长度比例之间就存在着梅涅劳斯公式所说的那种关系。
”小明似乎有点感觉了，开始自己在本子上画图琢磨。
咱们再深入讲讲梅涅劳斯公式的证明。
证明方法有好几种，其中一种是通过面积法来证明。
把三角形 ABC 的面积看作一个整体。
因为同高的三角形面积比等于底边的比，所以我们可以通过一系列的面积比例转换，最终得出梅涅劳斯公式。
比如说，由三角形 AEF 和三角形 BEF 同高，所以它们的面积比就等于 AF 与 FB 的比。
同理，其他的几个三角形也可以这样比较。
通过巧妙的转换和运算，就能证明出这个公式啦。
在实际解题中，梅涅劳斯公式那可是相当好用的。
比如说，当我们遇到一些需要证明三点共线或者求线段比例的问题时，它就能大显身手。
记得有一次考试，有一道题给出了一个三角形和一条直线与三边的交点，让求其中两条线段的比例关系。
梅涅劳斯定理的推论
梅涅劳斯定理的推论梅涅劳斯定理是几何学中的一个重要定理，它是三角形中的一个简单而又有趣的几何学问题。
在这个问题中，我们研究的是三角形中三个中线所形成的三角形的特性。
梅涅劳斯定理告诉我们，当三角形中三个中线相交于一点时，这个点就是中线交点，也就是三角形的重心。
而且，在重心处，中线所分割的三角形的面积比是2：1。
也就是说，重心与中线所分割出的两个小三角形的面积之比为2：1.那么，我们可以基于梅涅劳斯定理进一步推导其他的几何学问题。
1.利用梅涅劳斯定理证明相似性通过利用梅涅劳斯定理，我们可以很容易地证明两个三角形之间的相似性。
我们只需要证明这两个三角形的中线相交于同一点，即证明它们具有相同的重心。
一旦我们证明了这一点，就可以通过证明两个三角形中一个角的度数相等来证明它们是相似的。
2.利用梅涅劳斯定理计算三角形面积我们可以通过梅涅劳斯定理计算三角形的面积。
我们可以将三角形分成三个小三角形，并用这些小三角形的面积之和减去中间三角形的面积来得到原始三角形的面积。
这个中间三角形就是中线交点处所分割出的三角形。
3.利用梅涅劳斯定理找出三角形的面积的倍数关系我们可以利用梅涅劳斯定理找出两个三角形面积之间的倍数关系。
假设我们有一个三角形ABC和一个三角形DEF，它们的中线相交于同一点。
如果中线所分割出的小三角形的面积之比为2：1，那么我们就可以知道这两个三角形面积之间的比为4：1.4.利用梅涅劳斯定理找出三角形重心的坐标我们可以通过梅涅劳斯定理找出三角形的重心的坐标。
我们只需要找到三角形的顶点坐标，并计算它们之间的中点。
这个中点就是重心的坐标。
综上所述，梅涅劳斯定理是一个非常有用的几何学问题，它可以帮助我们解决许多几何学问题，并推导出许多重要的几何学推论。
通过理解和应用这个定理，我们可以更好地理解三角形和其他几何学形状的性质。
梅涅劳斯定理
关于制作“竞赛专题:梅涅劳斯定理的叙述与证明”的心得2008210395——曾万强通过自己以前对高中数学竞赛的学习，才开始接触关于高中数学竞赛的关于三线共点以及三点共线的问题，自己都有些无从着手，出于自己后来的努力，也是自己在梅涅劳斯定理上有了新的突破，而学习了动态几何后，自己也有了制作自己的课件的冲动，仔细一想，干脆就做个三点共线的问题吧，正好看一下点移动的时候值是否够直观，当然，自己也要让不懂这个软件的同学或者老师能够体验到它的优越性。
其中，我所设计的是一个类似课件的题目讲解，其中都是具有条理性的，比如说按钮，我都是按顺序排列的，以便能够通过依次点击然后进而让大家在头脑中留下更加清晰印象，也就是在这个时候，我同时运用了动画的功能，进而可以为自己的教学做出生动的表率，而这些功能在一些很常用的课件讲解用的软件中式基本没有这个功能的，这就体现了动态几何的动态的感觉。
首先，超级画板这个软件是具有可更改性的。
无论我们在什么时候出了什么错，我们都可以很快的通过隐藏以及删除功能现场操作的，而且其在操作的过程中，如果是正在进行演示，那么还可以很好的想观众展示这样的功能，所以，这个数学类软件是能够满足体现现代人们对简单操作的向往的，相信，任何一个人都会在完成同等要求的条件下选择更加简洁的方式的。
其二，超级画板是具有智能性的，21世纪的人们都渴望以智能的方式来进行生活活动，当然学习也不例外的，拿我所做的作业来看，无论是画三角形还是画直线上的点，都是极具智能的，包括第三页做辅助线的时候，都能够让人耳目一新的，并且其操作时及其简单的，有如此简单而有实用的画线方式，相信理科的同学们都会觉得新奇，进而也希望能够学习到更多的东西。
第三，特点突出，区分明显。
当打开我的第一页的时候，首先引入眼前的就是一个大标题了，那便是由于我在其中加了一种突出的颜色的缘故了，不用紧张，对于那种在字或者图形中做颜色的技巧是绝对基础的，涂色或许在许多软件中都可以实现，但是在同事跟字和图形在同一个界面不用切换就能够实现的毕竟是不多的，而其中的按钮在整个界面当中也自然能够让人眼前一亮，能够通过一个按钮来实现动画的除了最具人气的flash软件以及authware软件，这边是我见过并能很好掌握其基本操作的一个软件了，而且按钮的大小颜色以及位置是可以调节的，当然这都是以满足观看者的眼光为基准了。
梅涅劳斯定理的推论
梅涅劳斯定理的推论
梅涅劳斯定理是一个关于三角形内三条中线交点的性质，它指出这个交点将中线分成三等份。
由此可以推论出很多有意思的结论。
首先，我们可以证明三角形内任意两条中线所构成的三角形是等腰三角形，且顶角等于底角的一半。
这是因为由梅涅劳斯定理可知，这个三角形的底边等于原三角形的底边的一半，而顶角则是底角的补角。
其次，我们可以得到三角形内任意两条中线所构成的三角形的面积是原三角形面积的四分之一。
这是因为这个等腰三角形的高等于原三角形的中线长度，所以它的面积是原三角形面积的一半，而由于有两条中线所构成的三角形有两个，因此它们的面积之和就是原三角形面积的四分之一。
最后，我们还可以证明三角形内所有中线的交点是三角形内心，即内切圆的圆心。
这是因为连接三角形内心与三个顶点的线段分别与三条中线垂直，并且由梅涅劳斯定理可知，这个点将中线分成三等份，所以它同时也是三条中线的交点。
综上所述，梅涅劳斯定理虽然只是一个简单的性质，但是它可以推导出很多有趣的结论，对于研究三角形的性质和应用具有重要意义。
- 1 -。
角元梅涅劳斯定理
角元梅涅劳斯定理
角元梅涅劳斯定理（又被称为梅涅劳斯相对论）是一个基本的物
理定理，由德国物理学家西格玛·角元梅涅劳斯在1887年发表。
该定
理提供了一种可以使用微观物理原理来推动宇宙的大尺度运动的方法。
该定理也可以看作是一种基本性质的物理定律，它给出了宇宙结构形
成的机制。
它将宇宙内部的物理过程解释为两个不同层次上的运动：
一是宇宙的极大规模，二是它的微观物理过程。
该定理揭示了一个基本的物理规律：宇宙的极大规模运动是由它
的微观物理过程驱动的。
即宇宙的物理状态是由微观物理过程决定的。
该定理主要指出，宇宙的极大范围内的物理运动，例如星系碰撞、星
系形成及其他相关运动，可以由它的微观物理过程来驱动。
它表明，宇宙内部的物理过程具有一定的普遍性，而且还可能与
宇宙的极大规模运动相关联。
具体来说，它指出宇宙极大规模运动受
物理规律的制约，一般由具体的微观物理过程决定。
因此，它将宇宙
的极大规模运动与它的微观物理过程联系起来，构成了一个完整的物
理系统，即宇宙的大尺度物理系统。
角元梅涅劳斯定理可以说是宇宙物理学发展的重要里程碑，它在
揭示宇宙结构形成机制方面有着重要意义。
它认为，宇宙的大尺度运
动是由它的微观物理过程来驱动的，就是说，宇宙的大尺度运动是由
它的微观物理过程来决定的。
它也为宇宙物理理论的发展奠定了基础，使宇宙物理研究获得了显著的突破。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
梅涅劳斯定理范文
梅涅劳斯定理
定理叙述
设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1
注意：
最简单的证明（张景中院士说过“做足够多的三角形可以解任何几何题”。
等价说法是“做足够多的垂线可以解任何几何题”）证明：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，
AD：DB=AA'：BB'
BE：EC=BB'：CC'
CF：FA=CC'：AA'
所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
一应用梅涅劳斯定理
1.定理的条件已经具备，正向或反向应用定理。
例：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
分析：目标明确，写出比例式就行了。
例:不等边三角形的三条外角平分线与对边延长线的交点共线。
例：
分析：直线若平行于BC，则命题显然成立。
若不平行，则作出直线与直线BC的交点是非常自然的。
例：
如图在三角形三边取相同比例的分点。
中间黑色三角形面积等于白色面积，求边上的分点比例。
分析：没啥好分析的。
总结：用定理要选取三角形和截线。
目标中共线的三个点所在的直线上，一般不会包含所选取的三角形的边。
2.几个不适合用梅氏定理的例子。
例：
如图锐角x的两条边上取A,B两点。
甲乙二人分别从A,B出发沿箭头方向前进。
保持速度不变。
证明两人以及锐角顶点组成的三角形垂心在某直线上运动。
分析：本题具备定理的基本图形，并且目标是证明共线。
但此处不可使用梅氏定理。
因为垂心所在的定直线一般是不过锐角顶点的。
那么我们取几个时刻的垂心呢？两个就够了。
只要证明这两个垂心连线的斜率只与两人的速度比有关……
总结：用数学定理要看定理中的条件部分，估计计算复杂程度。
比如逆定理条件是共线，不共线则不可使用逆定理。
例：
两个线段上的点列如图连线得到交点。
证明三个交点共线。
用梅氏定理的证明见初三仁华课本。
这里绕个路证明此题。
首先，下面这个事实有用。
x,y,z,w等8个数看作所在点横坐标。
（用了定比分点）
此时中间两个线段分点比例可由a,b,c,d,p,q,m,n给出。
请自行练习
x,y,z,w等8个数看作所在点纵坐标，此时中间两个线段分点比例仍可由a,b,c,d,p,q,m,n给出，且与上面结果相同。
这表明图中里边的线段分点比例只与外围分点比例有关，与外围线段长度，夹角无关。
等价的，引理：如图三点共线。
则保持图中线段分点比例不变，旋转，平移，均匀伸缩粉色线段，会使三个黑点仍然
/news/55a54887fd48c7b6.html共线。
看原题中的图，两条直线交于O,根据梅氏定理，G,H,I分所在线段比例由OA:AB:BC
OD:DE:EF确定。
只要保持这两个连比不变，G,H,I分所在线段比例不变。
根据引理，G,H,I分所在线段比例不变情况下证明了三点共线，则间接证明了原题。
所以，令角AOD为直角，O为坐标原点。
下略。
总结：不应刻意追求代数流或纯几何，自然为上。
3 比较该定理和赛瓦定理
联系：基本图形接近。
我们试图用下图统一两个定理。
三角形ADO，截线BC,有梅氏定理。
三角形ADC, 截线OB，有梅氏定理。
三角形ABC, 点O,有塞瓦定理等等这个图的补注：
代数方法解几何题综合考虑两点：1 用尽量少的数标识图形。
2
为了保持对称性和形式的简洁，可以适当增加数。
这个图形可以用五个数表示。
三角形三边，以及am,ak。
我们用了9个，现在找一下多出来的4个。
首先。
x,y,z可以用其它6个字母表示，这样找到多出来的3个。
外围我们用a/b b/c c/a 表示乘积为1的三个正数，其实可以只用两个字母。
a，b ，1/ab 。
为了简洁和对称，多用了一个。
区别：描述的数学事实不同。
三点共线和三线共点。
二广义的梅涅劳斯定理
D,E,F三点共线，三角形DEF面积为零。
下面这个定理说的是三角形DEF面积不为零的情况。
（李建泉）
建议从两个层次理解定理
1 定性。
三角形三边上取分点，则分点确定的三角形面积与原三角形面积比由三个分点比值唯一确定。
2 定量。
也就是定理中的结论部分。
xx-9-29。