2019-2020学年江苏省连云港市开发区八年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年江苏省连云港市开发区八年级（上）期中数学试
卷
一、选择题（在各小题所给出的四个选项中只有一项符合题意，请把正确选项前的字母代号填在下表相应的空格内，每题3分，共24分）
1．（3分）在下列手机缓存的小图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（）
A．1，2，3B．2，3，4
C．0.3，0.4，0.5D．5，12，13
4．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要根据“AAS”说明△ABC≌△DEF，还需要添加下列选项中的（）
A．AB＝DE B．∠C＝∠F C．∠B＝∠E D．AB＝EF
5．（3分）等腰三角形中一个角是84°，则底角为多少度（）
A．48°B．48°或12°
C．48°或84°D．12°或48°或84°
6．（3分）如图，OA＝OB，∠A＝∠B，有下列3个结论：
①△AOD≌△BOC，
②△ACE≌△BDE，
③点E在∠O的平分线上，
其中正确的结论是（）
A．只有①B．只有②C．只有①②D．有①②③7．（3分）一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（）A．36海里B．48海里C．60海里D．84海里
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、E在AB上，将△ACD、△BCE分别沿CD、CE翻折，点A、B分别落在点A′、B′的位置，再将△A′CD、△B′CE分别沿A′C、B′C翻折，点D与点E恰好重合于点O，则∠A′OB′的度数是（）
A．90°B．120°C．135°D．150°
二、填空题（把正确答案直接填在题中的横线上，每小题3分，共30分）
9．（3分）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有条．
10．（3分）已知△ABC≌△DEF，且∠A＝80°，∠F＝60°，则∠B＝°．11．（3分）如图所示，∠1＝∠2要使△ABD≌△ACD，用“SAS”说明理由还需添加的一个条件是．
12．（3分）等腰三角形的周长是24，其中一边长是10，则腰长是．
13．（3分）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，BD＝3cm，则CF＝cm．
14．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，CD＝8，则DE 的长等于．
15．（3分）如图，已知等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE交于点P，则∠APE＝°．
16．（3分）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为．
18．（3分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，
分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝s时，△PBQ为直角三角形．
三、解答题（本题共9题，满分96分）
19．（12分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）在直线l上找一点Q，使Q点到B，C路程最短；（要求在直线l上标出点Q的位置）（4）连接P A，PC，计算四边形P ABC的面积．
20．（10分）已知：如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：△ABC≌△ADE．
21．（12分）已知：如图，点C、D、B、F在一条直线上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AB＝CD，CE＝AF．
求证：（1）△ABF≌△CDE；（2）CE⊥AF．
22．（10分）如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠A、∠B使点A、B落在斜边AB点D处，折痕分别为ME，NF，连接MD，DN．
（1）求证：∠MDN＝90°．
（2）若AC＝6，BC＝8，AM＝2，求线段DN的长．
24．（12分）（1）如图1，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB＝BC＝CD ＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数；
（2）①如图2，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1，再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，的第二条线段A1A2，…这样画下去，直到得到第n条线段，之后就不能在画出符合要求的线段，则n为多少？
②按照①思路现在一共可以画6条线段，请你求出∠BOC的度数范围．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；
（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；
（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．
26．（14分）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．
（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：△CEF是三角形；
（2）若∠BAC＜60°．
①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；
②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的
图形并直接写出结论（不必证明）．
2019-2020学年江苏省连云港市开发区八年级（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在各小题所给出的四个选项中只有一项符合题意，请把正确选项前的字母代号填在下表相应的空格内，每题3分，共24分）
1．（3分）在下列手机缓存的小图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（）
A．B．
C．D．
【考点】N3：作图—复杂作图．
【分析】利用P A+PC＝AC，PB+PC＝AC得到P A＝PB，则根据线段垂直平分线的逆定理得到点P在线段AB的垂直平分线上，于是可判断C正确．
【解答】解：∵点P在AC上，
∴P A+PC＝AC，
而PB+PC＝AC，
∴P A＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：结合了几何图形的性质和基本作图方法解决问题．3．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（）
A．1，2，3B．2，3，4
C．0.3，0.4，0.5D．5，12，13
【考点】KT：勾股数．
【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项不符合题意；
B、22+32≠42，∴不是勾股数，此选项不符合题意；
C、∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴不是勾股数，此选项不符合题意；
D、∵52+122＝132，∴是勾股数，此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
4．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要根据“AAS”说明△ABC≌△DEF，还需要添加下列选项中的（）
A．AB＝DE B．∠C＝∠F C．∠B＝∠E D．AB＝EF
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】根据题目中的条件和AAS可知再增加一对角相等，即可解答本题．
【解答】解：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，若∠B＝∠E，根据AAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C正确，
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，若∠C＝∠F，根据ASA可以证明△ABC ≌△DEF，故选项B不符题意，
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，若AB＝DE，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项A不符题意，
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，若AB＝EF，无法证明△ABC≌△DEF，故选项D不符题意；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的判定解答．
5．（3分）等腰三角形中一个角是84°，则底角为多少度（）
A．48°B．48°或12°
C．48°或84°D．12°或48°或84°
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】已知给出的84°角无法确定是顶角和底角，要分两种情况进行讨论作答．【解答】解：（1）当84°是顶角时，底角＝（180°﹣84°）÷2＝48°；
（2）84°是底角时．
故底角为48°或84°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6．（3分）如图，OA＝OB，∠A＝∠B，有下列3个结论：
①△AOD≌△BOC，
②△ACE≌△BDE，
③点E在∠O的平分线上，
其中正确的结论是（）
A．只有①B．只有②C．只有①②D．有①②③
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据全等三角形的判定得出△AOD≌△BOC（ASA），则OD＝CO，从而证出△ACE≌△BDE，连接OE，可证明△AOE≌△BOE，则得出点E在∠O的平分线上．【解答】解：∵OA＝OB，∠A＝∠B，∠O＝∠O，
∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；
∴OD＝CO，
∴BD＝AC，
∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；
∴AE＝BE，
连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AOE＝∠BOE，
∴点E在∠O的平分线上，故③正确，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
7．（3分）一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（）A．36海里B．48海里C．60海里D．84海里
【考点】KU：勾股定理的应用．
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了48，36海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
3小时后，两艘船分别行驶了16×3＝48，12×3＝36海里，
根据勾股定理得：＝60（海里）．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、E在AB上，将△ACD、△BCE分别沿CD、CE翻折，点A、B分别落在点A′、B′的位置，再将△A′CD、△B′CE分别沿A′C、B′C翻折，点D与点E恰好重合于点O，则∠A′OB′的度数是（）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图所示，延长CO到F，由翻折的性质可知：∠A′CF＝，
，∠CA′O＝∠DA′O＝∠A＝45°，∠OB′C＝∠CB′E＝∠ECB ＝45°，最后利用三角形外角的性质可求得∠A′OB′的度数．
【解答】解：如图所示：延长CO到F．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
由翻折的性质可知：∠A′CF＝，，∠CA′O＝∠DA′O＝
∠A＝45°，∠OB′C＝∠CB′E＝∠ECB＝45°．
∴∠A′CB′＝∠A′CF+∠B′CF＝＝30°．
∴∠A′OB′＝∠A′CB′+∠CA′O+∠OB′C＝30°+45°+45°＝120°．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，利用翻折的性质求得∠A′CB′＝30°，∠CA′O＝45°，∠OB′C＝45°是解题的关键．
二、填空题（把正确答案直接填在题中的横线上，每小题3分，共30分）
9．（3分）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有3条．
【考点】KK：等边三角形的性质；P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的对称轴的概念作答．
【解答】解：等边三角形的对称轴是三条高所在的直线．
故它的对称轴共有3条．
故填3．
【点评】考查了轴对称图形的对称轴的概念及等边三角形的性质；本题比较简单，属于基础题．
10．（3分）已知△ABC≌△DEF，且∠A＝80°，∠F＝60°，则∠B＝40°．【考点】KA：全等三角形的性质．
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且∠A＝80°，∠F＝60°，
∴∠C＝∠F＝60°，
则∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角相等是解题关键．11．（3分）如图所示，∠1＝∠2要使△ABD≌△ACD，用“SAS”说明理由还需添加的一个条件是BD＝CD．
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】添加BD＝CD，由条件∠1＝∠2可得∠ADC＝∠ADB，然后再利用SAS判定△
ABD≌△ACD即可．
【解答】解：添加BD＝CD，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADC＝∠ADB，
在△ADC和△ADB中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
故答案为：BD＝CD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．（3分）等腰三角形的周长是24，其中一边长是10，则腰长是10或7．【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】由于已知的长为10的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理．
【解答】解：当腰长为10时，底长为：24﹣10×2＝4；10﹣4＜10＜10+4，能构成三角形；
当底长为10时，腰长为：（24﹣10）÷2＝7；10﹣7＜7＜10+7，能构成三角形；
故此等腰三角形的腰长为10或7．
故填10或7．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
13．（3分）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，BD＝3cm，则CF＝4 cm．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行线的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，BD的长，那么CF 的长就不难求出．
【解答】解：∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝EF，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF，
∵AB＝7cm，BD＝3cm，
∴AD＝AB﹣BD＝7﹣3＝4cm，
∴CF＝AD＝4cm，
故答案为4．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键在于求证△ADE≌△CFE．14．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，CD＝8，则DE 的长等于5．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理．
【分析】利用勾股定理列式求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，AD＝6，CD＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AC＝×10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
15．（3分）如图，已知等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE交于点P，则∠APE＝60°．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，然后利用“边角边”
证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠APE＝∠ABC，从而得解．
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，
在△ABD和△BCE中，
∵，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
在△ABP中，∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°，
即∠APE＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD和△BCE全等是解本题的难点，也
是关键．
16．（3分）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是123．
【考点】KQ：勾股定理．
【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝52+82＝89，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝32+52＝34，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝89+34＝123，
故答案为：123．
【点评】本题考查的是勾股定理的运用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为5．
【考点】KF：角平分线的性质．
【分析】根据勾股定理求CD，根据角平分线性质得出DE＝CD，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝13，AC＝12，由勾股定理得：CD＝5，
过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝5，
即点D到AB的距离为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等．
18．（3分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝或s时，△PBQ为直角三角形．
【考点】KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．
【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，
∴6﹣2x＝2x，
解得x＝；
当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴x＝2（6﹣2x），
解得x＝．
答：或秒时，△BPQ是直角三角形．
故答案为或．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，利用分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本题共9题，满分96分）
19．（12分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）在直线l上找一点Q，使Q点到B，C路程最短；（要求在直线l上标出点Q的位置）（4）连接P A，PC，计算四边形P ABC的面积．
【考点】K3：三角形的面积；KG：线段垂直平分线的性质；P7：作图﹣轴对称变换．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，使得PB＝PC；
（3）根据轴对称的性质解答即可；
（4）S四边形P ABC＝S△ABC+S△APC，代入数据求解即可
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）如图所示，点Q即为所求；
（4）S四边形P ABC＝S△ABC+S△APC＝．
【点评】本题考查了根据平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C的对应点，然后顺次连接．
20．（10分）已知：如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：△ABC≌△ADE．
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】先证出∠BAC＝∠DAE，再由AAS证明△ABC≌△ADE即可．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21．（12分）已知：如图，点C、D、B、F在一条直线上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AB＝CD，CE＝AF．
求证：（1）△ABF≌△CDE；（2）CE⊥AF．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由条件利用HL即可证得结论；
（2）由全等三角形的性质可求得∠BAF＝∠DCE，再利用直角三角形的性质可求得∠AEG＝90°，即可证得结论．
【解答】证明：
（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
．
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；
（2）∵△ABF≌△CDE（已证），
∴∠BAF＝∠DCE，
∵∠BAF+∠CGB＝90°，
∴∠BAF+∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝90°，
即CE⊥AF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
22．（10分）如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积．
【考点】K3：三角形的面积；KU：勾股定理的应用．
【分析】连接AC，根据直角△ACD可以求得斜边AC的长度，根据AC，BC，AB可以判定△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC与△ACD的面积之差即可．【解答】解：连接AC，
已知，在直角△ACD中，CD＝9m，AD＝12m，
根据AD2+CD2＝AC2，可以求得AC＝15m，
在△ABC中，AB＝39m，BC＝36m，AC＝15m，
∴存在AC2+CB2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，
S＝S△ABC﹣S△ACD＝AC•BC﹣CD•AD，
＝×15×36﹣×9×12，
＝270﹣54，
＝216m2，
答：这块地的面积为216m2．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的判定△ABC是直角三角形是解题的关键．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠A、∠B使点A、B落在斜边AB点D处，折痕分别为ME，NF，连接MD，DN．
（1）求证：∠MDN＝90°．
（2）若AC＝6，BC＝8，AM＝2，求线段DN的长．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠MDA＝∠A，∠NDB＝∠B，由余角的性质可得结论；
（2）构造直角三角形根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）由折叠的性质得∠MDA＝∠A，∠NDB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠MDA+∠NDB＝90°，
∴∠MDN＝90°；
（2）由折叠的性质得AM＝DM，NB＝ND，∠MDA＝∠A，∠NDF＝∠B，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠MDA+∠NDF＝90°，
∴∠MDN＝90°．
连接MN，在Rt△MDN和Rt△CMN中，设DN＝DM＝x，则CN＝8﹣x，
AM＝MD＝2，则MC＝6﹣2＝4，
根据勾股定理，得CM2+CN2＝MN2，DM2+DN2＝MN2．
即42+（8﹣x）2＝22+x2，解得x＝．
答：线段DN的长为．
【点评】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理解决．24．（12分）（1）如图1，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB＝BC＝CD ＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数；
（2）①如图2，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1，再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，的第二条线段A1A2，…这样画下去，直到得到第n条线段，之后就不能在画出符合要求的线段，则n为多少？
②按照①思路现在一共可以画6条线段，请你求出∠BOC的度数范围．
【考点】KH：等腰三角形的性质；N3：作图—复杂作图．
【分析】（1）根据等边对等角可得∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，然后用∠A为x°，列方程即可求解；
（2）①由特殊到一般，找到各三角形底角的度数的规律，根据规律及三角形的内角和定理列不等式可得结论；
②同理可列不等式组：，解出即可．
【解答】解：（1）∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，
根据三角形的外角性质，可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED ＝∠EDM，
设∠A＝x°，则∠CBD＝∠CDB＝2x°，∠DCE＝∠CED＝3x°，∠EDM＝4x°
又∵∠EDM＝84°，
∴4x＝84，
x＝21
即∠A＝21°；
（2）①由题意可知，△OAA1，△AA1A2，△A1A2A3都是等腰三角形，第一个等腰三角形△OAA1的底角为9°，
由三角形外角的性质可以得到，第二个等腰三角形△AA1A2的底角为18°，第三个等腰三角形△A1A2A3的底角为27°，
于是可得，第n个等腰三角形的底角为（9n）°，而等腰三角形的底角小于90°，所以当n＝9时，底角为81°；当n＝10时，底角为90°，
所以n＝9以后就不能再画出符合要求的线段了，
故n＝9；
②设∠BOC＝n°，
同理可知：第一个等腰三角形的底角为n°，
第二个等腰三角形的底角为2n°，第三个等腰三角形的底角为3n°，
于是可得，第6个等腰三角形的底角为6n°，第7个等腰三角形的底角为7n°，而等腰三角形的底角小于90°，
则，
∴≤n＜15，
即∠MAN的度数范围是：≤n＜15．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质和图形类规律问题，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，CD＝2，AD＝8；
（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；
（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．
【考点】KI：等腰三角形的判定；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理．
【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A 重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD＝BC时，CD＝6；②BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．
【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×1＝2，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8；
故答案是：2；8．
（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC，
即×10•BD＝×8×6，
解得BD＝4.8，
∴CD＝＝＝3.6，
t＝3.6÷1＝3.6秒；
②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，
t＝10÷1＝10秒，
综上所述，t＝3.6或10秒；
故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；
（3）①CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷1＝6；
②BD＝BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，
则CF＝3.6，
CD＝2CF＝3.6×2＝7.2，
∴t＝7.2÷1＝7.2，
综上所述，t＝6秒或7.2秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
26．（14分）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．
（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：△CEF是等边三角形；
（2）若∠BAC＜60°．
①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；
②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的
图形并直接写出结论（不必证明）．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质；KL：等边三角形的判定；KY：三角形综合题．
【分析】（1）根据题意推出∠ACB＝∠ABC＝60°，然后通过求证△EAC≌△DAB，结合平行线的性质，即可推出△EFC为等边三角形；
（2）①根据（1）的推理方法，即可推出△EFC为等腰三角形；②根据题意画出图形，
然后根据平行线的性质，通过求证△EAC≌△DAB，推出等量关系，即可推出△EFC为等腰三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠EAC＝∠DAB，
∴△DAB≌△EAC，
∴∠ECA＝∠B＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∵在△EFC中，∠EFC＝∠ECF＝60°＝∠CEF，
∴△EFC为等边三角形，
故答案为：等边；
（2）①△CEF为等腰三角形，
证明：如图2，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ACB＝∠ABC，∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC≌△DAB，
∴∠ECA＝∠B，
∴∠ACE＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB，
∴∠EFC＝∠ACE，
∴CE＝FE，
∴△EFC为等腰三角形；
②如图③，△EFC为等腰三角形．
当点D在BC延长线上时，以AD为一边在AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线EF，交直线AC的延长线于点F，连接DE．
证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ACB＝∠ABC，∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC≌△DAB，
∴∠ECA＝∠DBA，
∴∠ECF＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ACB，
又∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠AFE＝∠ECF，
∴EC＝EF，
∴△EFC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质的综合应用，解题的关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，根据等量代换推出结论．。