4.1 定积分的概念 课件(北师大选修2-2)(2)

b (1)当f(x)≥0时，∫af(x)dx表示的是 x＝a与 x＝b ， y＝0 和 y＝f(x) 所围成曲边梯形的面积．
(2)当f(x)(f(x)≥0)表示速度关于时间x的函数时，
b a
f(x)dx表示的是运动物体从 x＝a 到 x＝b 时所经过的路程．
3．定积分的性质 (1) 1dx＝ b－a ；
求得过剩估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就 越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩 估计值和不足估计值都趋于要求的值．
1．把区间[0,1]n等分，所得n个小区间，每个小区间的长度 为 1 A.n 3 C.n 2 B.n 1 D. 2n ( )
解析：区间[0,1]的长度为1，被n等分，所以每个小区 1 间的长度为n.
理解教材新知
第 四 章
§1
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
如图，阴影部分是由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1
以及x轴所围成的平面图形．
问题1：通常称这样的平面图形 为什么？ 提示：曲边梯形． 问题2：如何求出所给平面图形的面积近似值？
提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这
些小曲边梯形的面积和．
(1)定积分 ∫b f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积 a 分区间，所得值也不同． (2)利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f(x) 所 a
[例1]
一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在
时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)．试估计这辆汽 车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程． [思路点拨] 将变速直线运动的路程问题化归为匀速
直线运动的路程问题，通过求矩形面积问题即可解决．
问题3：你能求出近似值吗？
提示：能．不妨将区间[0,1]五等分，如图所示．
求出图甲或图乙所有阴影小矩形的面积和S1或S2，即为
曲边梯形面积S的近似值． 问题4：如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确．
1．定积分的概念 给定一个在区间[a，b]上的函数 y＝f(x)，将[a，b]区间分 成 n 份，分点为：a＝x0<x1<x2<„<xn－1<xn＝b，记 Δxi 为第 i 个小区间[xi－1，xi]的 长度 ，ξi 为这个小区间上一点，使 f(ξi) 在区间[xi－1， i]上的值最大， S＝f(ξ1)Δx1＋„＋f(ξi)Δxi＋„ x 设 ＋ f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点 ζi，使 f(ζi)在区间[xi－1， xi]上的值最小，设 s＝f(ζ1)Δx1 ＋„＋f(ζi)Δxi＋„＋f(ζn)Δxn. 如果每次分割后， 最大的 小区间的长度趋于 0，S 与 s 的差
a
b b a b b
(2) kf(x)dx＝ k f(x)dx (3) a[f(x)± g(x)]dx＝ (4)af(x)dx＝

b a
；
b a
f(x)dx± g(x)dx
b a
；
c a
f(x)dx＋ f(x)dx

(1＋sin x)dx.
[思路点拨]
定积分 ∫ b f(x)dx的几何意义是：介于x a
＝a，x＝b之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代 数和，其中x轴上方部分的面积为正，x轴下方部分的面 积为负．
[精解详析]
(1)由y＝
4－x2 可知x2＋y2＝
4(y≥0)，其图像如图． π 1 ∫－1 4－x2dx等于圆心角为 的弓形CED的 3 面积与矩形ABCD的面积之和． 1 π 1 π 2π 2 S弓形＝ × ×2 － ×2×2sin ＝ － 3， 2 3 2 3 3 S矩形＝AB· BC＝2 3， ∴∫－1
[精解详析]
将区间[0,2]10等分，如图：
S＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72， s＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2 ＝6.92，
∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与
7.72 km之间．
[一点通]
解决这类问题，是通过分割自变量的区间
2
1 1 1 ×1.22＋ ×1.42＋ × S＝ 2 2 2 1 1 2 2 1.6 ＋ ×1.8 ＋ ×2 ×0.2＝1.32， 2 2
2
估计误差不会超过S－s＝1.32－1.02＝0.3.
[例2]
5 2 2
用定积分的几何意义求下列各式的值：
(1)∫1 1 4－x2dx； － (2)
答案：A
1 2 2．求由直线 x＝1，x＝2 和 y＝0 及曲线 y＝ x 所围成的曲 2 边梯形的面积的估计值，并写出估计误差．
解：将区间[1,2]5等分，分别以每个小区间的左、右端 点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足 估计值s和过剩估计值S.
1 1 1 ×12＋ ×1.22＋ × s＝ 2 2 2 1 1 2 2 1.4 ＋ ×1.6 ＋ ×1.8 ×0.2＝1.02， 2 2
1
2π 2π 4－x dx＝2 3＋ － 3＝ ＋ 3. 3 3
2
(2)函数y＝1＋sin x的图像如图所示，

5 2 2
(1＋sin x)dx表示阴影部分的面
积，由图像的对称性可知：

5 2 2
(1＋sin x)dx＝S矩形ABCD＝2π.
[一点通]
利用几何意义求定积分，关键是准确确定
1 1
0
π 1－x dx＝ . 4
2
解：(1)如图1，
1 0
2xdx表示由曲线y＝2x，直线x＝0，x＝
1 1，y＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，由S△＝ 2 ×2×1＝1，故 2xdx＝1.
0
1
(2)如图2， 的面积．
1 0
1－x2 dx表示圆x2＋y2＝1在第一象限部分
1 解析：(1)如图： ∫ 0 xdx表示△OAP的面
积， ∫ 1 x2dx表示阴影部分的面积，显然 0
1 ∫0xdx>∫1x2dx. 0
(2)如图：∫1xdx表示△OAB的面积，∫2 0 1 xdx表示梯形ABDC的面积，故∫1xdx< 0
2 ∫1xdx
答案：(1)> (2)<
4．利用定积分的几何意义，说明下列等式． (1) 02xdx＝1；(2)
＋2＝5.
答案：5
－2x＋4，x>1， 6．设f(x)＝ x＋1，0≤x≤1，
求∫2f(x)dx. 0
－2x＋4，x>1， 解：∵f(x)＝ x＋1，0≤x≤1，
1 ∴ ∫ 2 f(x)dx＝ ∫ 0 (x＋1)dx＋ ∫ 2 (－2x＋ 0 1
4)dx.又由定积分的几何意义得 1 3 1 ∫0(x＋1)dx＝ (1＋2)×1＝ ， 2 2 1 3 5 2 2 ∫1(－2x＋4)dx＝ ×1×2＝1，∴∫0f(x)dx＝ ＋1＝ . 2 2 2
[一点通]
利用定积分的性质可将被积函数较复杂
的定积分化为简单函数的定积分，将未知的定积分转 化为已知的定积分；对于分段函数类型的定积分，可 以利用定积分的性质分解求值．
b 5．若∫b f(x)dx＝3，∫a g(x)dx＝2，则ba[f(x)＋ a
g(x)]dx＝________.
b 解析： ∫ b [f(x)＋g(x)]dx＝ ∫ a f(x)dx＋ ∫ b g(x)dx＝3 a a
由S圆＝π，得
1
0
π 1－x dx＝ . 4
2
[例3]
求解以下各题：
1 (1)若 ∫ 0 [f(x)＋g(x)]dx＝3， ∫ 1 [f(x)－g(x)]dx＝－5， 0
则∫1f(x)dx＝________. 0 1 b ∫a2f(x)dx＝5，则 ∫b[2－f(x)]dx＝ (2)若 3 a ____________. [思路点拨] 涉及定积分的线性运算时，可考虑用定
b c
.
1．由定义可得定积分
b
a
f(x)dx是一个常数，它的值仅
取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关 系，即 f(x)dx＝ f(t)dt＝ f(u)du. 2．性质3对于有限个函数(两个以上)也成立．性质4对 于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立． 3．利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为 零、积零为整”的过程．
积分的性质进行求解．
[精解详析]
(1)依题意知
1 ∫0f(x)dx＋∫1g(x)dx＝3， 0 1 ∫0f(x)dx－∫1g(x)dx＝－5， 0
两式相加，得2∫1f(x)dx＝－2， 0 故∫1f(x)dx＝－1. 0 5 b ∫a2f(x)dx＝2∫bf(x)dx＝5，∴∫bf(x)dx＝ . (2)∵ a a 2 1 b 1 b 于是 ∫a[2－f(x)]dx＝ [∫a2dx－∫bf(x)dx] a 3 3 1 5 2 2 5 ＝ (2b－2a－ )＝ b－ a－ . 3 2 3 3 6 2 2 5 [答案] (1)－1 (2) b－ a－ 3 3 6
被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知
识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点 的准确确定．
3．据定积分的几何意义比较大小，并用“>”“<”或 “＝”号连接下列各式： (1)∫1 xdx________∫1 x2dx； 0 0 (2)∫1 xdx________∫2 xdx. 0 1
也趋于 0，此时，S 与 s 同时趋于 某一个固定的 常数 A， 就称 A 是函数 y＝f(x)在区间 [a，b]上的定积分，记作 f(x)dx，即 ∫ b f(x)dx＝A，其中 ∫ 叫作 积分号 a