2021年高中数学第一章1周期变化课后习题含解析北师大版必修二.docx
2021年高中数学第1章 学案北师大版必修2(付,143页)
第一章立体几何初步§1简单几何体1．1简单旋转体知识点一旋转体[填一填](1)概念：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．知识点二球[填一填](1)概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．如图所示．(2)表示：球常用表示球心的字母表示．如上图中的球记作球O.[答一答]1．在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？提示：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．知识点三圆柱、圆锥、圆台[填一填](1)概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．如图所示．(2)表示：圆柱、圆锥、圆台都是用表示轴的字母表示．如上图中的圆柱、圆锥、圆台分别记为圆柱OO′、圆锥SO、圆台OO′.[答一答]2．对圆柱、圆锥、圆台：(1)平行于底面的截面是什么样的图形？(2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．提示：(1)平行于底面的截面，图形都是圆．(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．(3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“补台成锥”是解决圆台问题的一种重要方法．3．为什么以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体不一定是圆锥？提示：如图①所示，Rt△ABC中，AB⊥AC，以直角边AC所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆锥，如图②；以直角边AB所在的直线为轴旋转所得旋转体也是圆锥，如图③；以斜边BC所在的直线为轴旋转所得旋转体不是圆锥，是两个同底面的圆锥拼接成的几何体，如图④.由此可见，平面图形绕同一平面内的一条直线旋转所得几何体是什么样的旋转体，跟所选旋转轴所在的直线的位置关系有关．在理解圆柱、圆锥和圆台的概念时要注意以下几点(1)我们以轴上的两个字母表示几何体，可以记作圆柱OO′，圆锥SO，圆台OO′.(2)圆台可看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．(3)这三种几何体的母线不是唯一的．圆柱的母线互相平行，圆锥的母线交于一点，圆台的母线延长后交于一点．连接圆柱上、下底面圆周上两点，不一定是圆柱的母线，圆柱的母线与轴平行．但连接圆锥顶点和底面圆周上任一点得到的线段都是母线．(4)用一个与底面平行的平面去截这三种几何体，得到的截面都是圆面.类型一旋转体的有关概念【例1】以下对于几何体的描述，错误的是()A．NBA决赛中使用的篮球不是球体B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫作圆锥C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台D．以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体为圆柱【思路探究】根据柱、锥、台的结构特征进行判断．【解析】根据球的定义可知A正确．由圆锥的定义知B正确．当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台，故C错误．由圆柱的定义知D正确．【答案】 C规律方法1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错误．应为球面．类型二有关几何体的计算问题【例2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【思路探究】本题主要考查圆台中的有关计算，关键是画出轴截面，依据相似三角形求解．【解】(1)如右图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，O1，O分别是上、下底面的中心，作AM⊥BC于M，延长BA，CD交于S，连接SO，则SO经过O1.由已知得上底面半径O1A＝2 cm ，下底面半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm ，∴圆台的高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ，则由△SAO 1∽△SBO ，得l －12l ＝25，解得l ＝20. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.规律方法 解决这类问题一般是画出轴截面解三角形．一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的母线长为433. 解析：先明确圆锥的相关概念，画出示意图，再利用直角三角形的知识求解，如图所示，设圆锥底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，由题意可知∠ASO ＝30°，所以在Rt △AOS 中，SA ＝SO cos ∠ASO ＝2cos30°＝433. 类型三 有关球的截面问题【例3】 在球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的半径．【思路探究】 作轴截面(过与截面圆垂直的半径作截面)，将空间图形化为平面图形．利用截面的性质解直角三角形．【解】 两截面与球心的位置关系有两种：(1)两截面位于球心的同侧；(2)球心在两截面之间．若两截面位于球心的同侧，如图①，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R ，截面圆的半径分别为r ，r 1，由πr 21＝49π，得r 1＝7(cm)，由πr 2＝400π，得r ＝20(cm)，在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400，由题意知OC1－OC＝9 cm，即R2－49－R2－400＝9，解得R＝25(cm)，若球心在两截面之间，如图②，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意知OC1＋OC＝9 cm，即R2－49＋R2－400＝9，R2－49＝9－R2－400，平方得R2－400＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．综上所述，所求球的半径为25 cm.规律方法在解决球的截面问题时，可作轴截面，将空间图形化为平面图形．由于球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，因此经过球心与截面圆心的连线作轴截面如图．则球的半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d有如下关系：d2＋r2＝R2.在半径等于13 cm的球内有一个截面，它的面积是25π cm2，求球心到这个截面的距离．解：设截面圆的半径为r cm.因为πr2＝25π，所以r＝5.设球心到截面的距离为d cm，则d＝132－52＝12.所以球心到截面的距离为12 cm.类型四圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图问题【例4】如图所示，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长．【思路探究】(1)绳子是在圆柱的侧面上，与侧面有关的问题用侧面展开图来解决．(2)沿母线BC剪开，将圆柱侧面的一半展开，得展开图矩形，其中AD是母线的长，AB′是底面周长的一半．【解】沿BC剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形B′ADC′，如图所示，连接AC′，则AC′的长即为所求最短绳长，由题意可知，B′C′＝5，AB′＝2π，即最短绳长为25＋4π2.规律方法1.圆柱问题中的基本量为底面半径r、h、母线长l，且h＝l.2．解决与圆柱有关的问题可作轴截面或侧面展开图，将空间问题转化为平面问题．3．轴截面是矩形，长和宽分别为2r和l.4．侧面展开图是矩形，长和宽分别为2πr和l.圆锥底面半径r＝1 cm，母线l＝6 cm，现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上点A沿侧面爬一周后又回到A点，求它至少要爬的路程．解：如图所示，将圆锥侧面沿母线P A 展开，所得扇形的圆心角θ＝r l ·360°＝16×360°＝60°，∴△P AA ′为等边三角形，∴AA ′＝6，即它至少要爬的路程为6 cm.——转化与化归思想——立体几何问题平面化1．利用轴截面将空间问题转化为平面问题圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面中含有丰富的元素和良好的图形性质，因此在解决几何体的有关长度计算问题时常常利用轴截面来解决，将空间问题转化为平面问题．2．用侧面展开的方法求圆柱、圆锥和圆台侧面上两点间距离(最值)求几何体侧面上两点间最短距离的问题，常把侧面展开，转化为平面几何问题后解决．【例5】 如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f (x )的最大值．【思路分析】 求几何体侧面上两点之间的距离的最小值时，往往利用其侧面展开图求解．【精解详析】 将圆锥的侧面沿SA 剪开，并展开，如图所示，该图形为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，所以L ＝2πr ＝2π.所以∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知，绳子长度的最小值为展开图中的AM ，且AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)，所以f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，因为12SA ·SM ＝12AM ·SR ，所以SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)． (3)因为f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝32.【解后反思】 求解旋转体侧面上两点间的最小距离时，一般将几何体侧面展开，从而将空间问题转化为平面问题，将曲线问题转化为直线问题来解决，使复杂问题简单化．如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到A 点．求：在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．提示：类似几何体表面最短路径问题一般是把侧面展开，转化为平面几何知识求解． 解：如图，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中A 1M 的长度，所以∠AOA 1＝10－520×360°＝90°， 设OB ＝l ′，则5l ′·360°＝90°， 所以l ′＝20 cm ，所以OA ＝OA 1＝40 cm ，OM ＝30 cm.在Rt△A1OM中，A1M＝OA21＋OM2＝402＋302＝50(cm)．过点O作OQ⊥A1M于Q，交弧BB1于P，则PQ为所求最短距离．因为OA1·OM＝A1M·OQ，则40×30＝50·OQ，所以OQ＝24 cm，所以PQ＝OQ－OP＝OQ－OB＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.一、选择题1．下列不是旋转体的是(D)A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球面解析：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫作空间几何体．旋转体是特珠的空间几何体．因此球面不是旋转体．2．下列说法中正确的是(D)A．圆台是直角梯形绕其一边所在的直线旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边所在的直线旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的底面与截面之间的部分解析：圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而得到的，故A不正确；圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而得到的，故B不正确；而圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体，故C不正确．3．有下列表述：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是(D)A．①②B．②③C．①③D．②④解析：对于①③，两点的连线不一定在圆柱、圆台的侧面上，当然有可能不是母线了，对于②④，由母线的定义知正确．二、填空题4．有下列说法：①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．其中正确的有①.解析：①球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．5．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是矩形、等腰三角形和等腰梯形．三、解答题6．在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是49π cm2，求球心到这个截面的距离．解：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，如图所示．因为S＝πr2＝49π cm2，所以r＝7 cm，所以d＝R2－r2＝252－72＝24(cm)，即球心到这个截面的距离为24 cm.1．2 简单多面体知识点一多面体与棱柱[填一填]1．多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．2．棱柱(1)棱柱的有关概念两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面，棱柱的侧面是平行四边形．两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的高．(2)棱柱的分类①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…….②按侧棱与底面是否垂直：[答一答]1．有人说：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．你认为这种说法对吗？提示：这种说法不对．棱柱有两个本质特征：(1)有两个面互相平行；(2)其余各面每相邻两个面的公共边相互平行．正是由于这两个特征，使棱柱的各侧面都是平行四边形，但是有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体未必是棱柱．反例如图．知识点二棱锥[填一填](1)定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．这个多边形叫作棱锥的底面，其余各面叫作棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱，各侧面的公共点叫作棱锥的顶点，过顶点作底面的垂线，顶点与垂足间的线段长叫作棱锥的高．(2)正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥…….[答一答]2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？为什么？提示：不一定，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的三个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是三角形；(3)这些三角形有一个公共顶点．这三个特征缺一不可，显然，这种说法不满足(3). 反例如图．知识点三棱台[填一填](1)定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面，其他各面叫作棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱台的高．(2)正棱台用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…….[答一答]3．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．4．观察下面的几何体，思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示：图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台．1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．(2)多面体是一个“封闭”的几何体．2．对于棱柱的定义注意以下三个方面(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．(3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几何体．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.类型一概念的理解与应用【例1】下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．【解析】①中两个四棱柱放在一起，如图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错．②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确．根据棱锥的概念知③正确．根据棱台的概念知④正确．棱柱的底面可以是三角形，故⑤不正确．正确的个数为3.【答案】 3规律方法有关棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断方法(1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点下面属于多面体的是①②.(将正确答案的序号填在横线上)①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．解析：①②属于多面体；③④属于旋转体．类型二棱柱的结构特征【例2】如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．【思路探究】判断一个几何体是否是棱柱，关键是验证几何体是否满足棱柱的定义．如果是棱柱，一是要找到两个面平行，二是要判定其余各个面的公共边平行；如果不是棱柱，则需指出不满足定义或举出反例．【解】(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．规律方法棱柱的两个主要结构特征：(1)有两个面互相平行；(2)各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形．通俗地讲，就是棱柱“两头一样平，上下一样粗”．下列说法中，正确的是(C)A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱柱的各个面中，至少有两个面互相平行D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析：正棱柱是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱，故A错误；棱柱中可以有两个侧面互相平行，不一定是底面，同时底面可以是平行四边形，故B，D错；由棱柱的概念知C正确．故正确答案为C.类型三棱锥的几何特征【例3】已知正三棱锥V－ABC的底面边长为6，高VO＝4，D为AB的中点，过点V，C，D作截面，试求该截面的周长和面积．【思路探究】依据题意画出图形，利用高与侧棱、底面等边三角形相应的外接圆半径，高与斜高、底面等边三角形相应边心距构成的直角三角形进行计算．【解】 由题意画出图形，如图所示，其中VO ＝4，AB ＝BC ＝CA ＝6，∵△ABC 是等边三角形，O 是中心，∴OC ＝23，OD ＝3，在Rt △VOC 和Rt △VOD 中，由勾股定理，得VC ＝42＋(23)2＝27，VD ＝42＋(3)2＝19，∴截面△VCD 的周长为VC ＋CD ＋VD ＝27＋33＋19，面积为12CD ·VO ＝12×33×4＝6 3.规律方法 1.如图，在正三棱锥的计算中，常要研究基本量：底面边长AB 、侧棱长PC 、高PO 、斜高PD 、边心距OD 、底面外接圆半径OC 等．2．含有这些基本量的直角三角形有Rt △POD 、Rt △POC 、Rt △PDB 、Rt △AOD 等． 3．通过解这些直角三角形可求出基本量，进而完成解题． 4．记住一些结论可提高解题速度．如若AB ＝a ，则OC ＝33a ，OD ＝36a ，CD ＝32a 等．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中取四棱锥A 1－ABCD ，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形．故正确答案为D.类型四 棱台的几何特征【例4】 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均为17，求四棱台的高．【思路探究】 思路一：用“补形法”，将棱台还原为棱锥，结合平面几何知识求解；思路二：依题意，作出棱台的对角面，化为平面几何的计算问题．【解】解法一：如图所示，设O 1，O 分别为正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ABCD 的中心，则P ，O 1，O 三点共线．A 1O 1＝12A 1C 1＝12×42＝22，AO ＝12AC ＝12×82＝4 2.∵△P A 1O 1∽△P AO ，∴A 1O 1AO ＝P A 1P A ，即P A 1P A ＝12.又∵P A ＝P A 1＋A 1A ＝2P A 1，∴P A 1＝A 1A ＝17， 在Rt △PO 1A 1中，PO 1＝P A 21－A 1O 21＝(17)2－(22)2＝3.又∵PO 1PO ＝A 1O 1AO ，∴PO ＝6，∴OO 1＝3.∴四棱台的高为3.解法二：如图所示，在截面ACC 1A 1中，A 1A ＝CC 1＝17，A 1C 1＝42，AC ＝82，过A 1作A 1E ⊥AC 交AC 于点E ，则A 1E 就是四棱台的高．在Rt △A 1EA 中，AE ＝12×(82－42)＝22，A 1A ＝17，∴A1E＝A1A2－AE2＝(17)2－(22)2＝3，即四棱台的高为3.规律方法正棱台的计算1．将正棱台补成棱锥(1)大、小棱锥中用解直角三角形方法求解；(2)两棱锥之间运用“对应高之比等于相似比”及相似形知识求解．2．在正棱台中作直角梯形，进而化为矩形和直角三角形求解．下列几何体是棱台的是④(填序号)．解析：①③都不是由棱锥截得的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意，②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意，④符合棱台的定义，故填④.——多维探究系列——几何体的侧面或表面展开图问题展开图问题是转化思想的体现，是把立体几何问题转化为平面几何问题的重要手段之一，所以要重视这种问题的应用．【例5】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【思路分析】图①中，有5个平行四边形，而且还有2个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且有共同的顶点，还有1个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，还有2个相似的三角形，符合棱台的特点．【精解详析】由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把。
1.1周期变化(教学课件)-高中数学北师大版(2019)必修第二册
周期函数的周期不止一个，周期有很多个，nT都是它的周期，我们一般研究函数的最小正周是( )
A
A.若 是函数 的周期，则 也是函数 的周期B.若 是函数 的周期，则 也是函数 的周期C.若存在实数 ，对函数 定义域内的任意一个 ，都有 ，则 为周期函数D.已知 为函数 定义域内的某一个值， 是非零常数，若 ,则 是 的周期
【解析】 因为 ，所以函数 的周期为6，所以 ，又当 时， ，所以 ，所以 ，故选C.
6.已知偶函数 满足 ，且 ，则 ( )
A
A. B. C.0 D.2
【解析】 因为 ，所以 ，即函数 的周期为6，所以 .因为 是偶函数，所以 ，所以
2.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上（如图），第1次前后排动物互换座位，第2次左右列互换座位……这样交替进行下去,那么第2 014次互换座位后，兔的位置对应的是( )
开始
第1次
第2次
第3次
C
A.编号① B.编号② C.编号③ D.编号④
2.科学家发现,人的体力从弱到强又从强到弱存在着23天的变化周期,
3.人的智力则存在着33天的变化周期。
如图是水车的示意图，水车上A点到水面的距离为y.假设水车5min转一圈，那么y的值每经5min就会重复出现，因此，该距离y随时间的变化也具有周期性.
水车上A点到水面的距离记为y，假设水车5分钟转一圈，那么y的值每经过5分钟就会重复出现，因此，距离y随时间的变化规律也具有周期性。
第一章 三角函数第1节 周期变化
1.周期变化
生活中的周期问题
在日常生活中，有一些现象是按照一定的规律周而复始，不断重复出现。比如：一年有12个月，从一月开始到十二月；我们把这种特殊的规律问题称为周期问题。
(2021年整理)新课程标准数学必修2第一章课后习题解答[唐金制]
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新课程标准数学必修2第一章课后习题解答第一章空间几何体1．1空间几何体的结构练习（P7）1、（1）圆锥；（2）长方体; （3）圆柱与圆锥组合而成的组合体;（4）由一个六棱柱挖去一个圆柱体得到的组合体2、（1）五棱柱（2）圆锥3、略习题1.1 A组（P8)1、(1)C; （2）C；（3)D；（4）C；2、（1）不是台体，因为几何体的“侧棱”不相交于一点.(2）（3）也不是台体，因为不是由平行于棱锥和圆锥的底面的平面截得的几何体。
3、（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体。
（2）由四棱柱和四棱锥组合而成的简单组合体.4、两个同心的球面围成的几何体（或在一个球体内部挖去一个同心球体得到的简单组合体）。
5、制作过程略。
制作过程说明平面图形可以折叠成立体图形，立体图形可以展开为平面图形.B组 1、剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；他们分别是五棱柱和三棱柱。
2、左侧几何体的主要结构特征：圆柱和棱柱组成的简单组合体；中间几何体的主要结构特征:下部是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组合体，上部也是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组合体；右侧几何体的主要结构特征:下部是一个圆柱体，上部是一个圆柱截去一个圆柱和一个棱柱的简单组合体.1．2空间几何体的三视图和直观图练习（P15)1、（1）俯视图侧视图正视图（2）侧视图正视图2、（1)四棱柱，示意图为：（2）圆锥于半球组成的简单组合体,示意图为:（3）四棱柱与球组成的简单组合体,示意图为：(4）两个圆台组合而成的简单组合体，示意图为：3、（1)五棱柱，三视图为:俯视图侧视图正视图（2）四个圆柱组成的简单几何体，三视图为：正视图4、三棱柱练习（P19）1、略2、（1）√；（2)×；（3)×；（4）√；3、A4、先画出正五边形ABCDE 的直观图，再确定P 的位置。
高一下学期数学北师大版必修第二册1.1周期变化课件
种变化是否会
重复出现
_________,若重复出现,则为周期
现象;否则不是周期现象.
思考
下列变化中，不是周期现
象的是(
)
A．“春去春又回”
B．钟表的分针的运行
C．天干地支表示年、月、
日的时间顺序
D．某同学每天上学的时
间
什么是周期现象
周期现象
间隔
(1)以相同_____重复出现的变化
环节五
学习与反思
检测
1.下列是周期现象的为 (
)
①某交通路口的红绿灯每30秒转换一
次;
②某超市每天的营业额;
③某地每年6月份的平均降雨量.
A.①③
B.②③
C.① D.
①②
【解析】选C.①是周期现象;②中每
天的营业额是随机的,不是周期现象;
③中每年6月份的降雨量也是随机的,
不是周期现象.
检测
2.把
函数值y=[x]是不超过x的最大整
数，它不是偶数就是奇数.根据
初中学习的幂运算，可以推出：
当[x]为偶数f = −1 [] = 1;
当[x] 为奇数时，函数 =
−1 [] = −1
1
能从图得到函数f(x)=(-1)[x]的哪些性质?显然，对任意一个实数x、
每增加2的整数倍，其函数值保持不变，这种变化是重复进行的，
③f(x+a)=±
,则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函
()
数;
④f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数.
环节四
周期性的应用
周期性应用
例4.如图是一个单摆振动的函数图象,根据
北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 三角函数 1 周期变化
A. 3
B.1
C.3
D.9
解析 由f(x-1)=f(x+2),可得f(x)=f(x+3),函数是以3为周期的函数,即
f(2 023)=f(1)=31-1=1.故选B.
1 2 3 4 5
3.已知函数f(x)满足对∀x∈R,f(x+2)=f(x),且当x∈[1,3)时,f(x)=log2x+1,
则f(2 023)=( C )
(2)若函数f(x)的周期T=5,则f(-5)=f(0)=f(5).( √ )
(3)若函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(2 022)=0.( √ )
1
2.对于定义在R上的函数f(x),若f(x+a)=
,能说f(x)为周期函数吗?
()
提示 不能,需要限制a≠0.
3.如果今天是星期五,则59天后是星期几?
绿灯.
1 2 3 4 5
f(-1)=f(1),
因为
2-3
f(1)<1,f(5)= +1 ,
2-3
-4
所以
<1,即 <0,解得-1<a<4.所以
+1
+1
a 的取值范围为(-1,4).
探究点四
周期性在实际中的应用
【例4】 已知做周期性运动的钟摆的高度h(单位:mm)与时间t(单位:s)之间
的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期;
函数周期性的应用
根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,在解决具
体问题时,要注意最小正周期与周期的区别.
2-3
变式训练3已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=
2024-2025年北师大版数学必修第二册1.1.1周期变化(带答案)
第一章三角函数§1周期变化必备知识基础练知识点一周期变化1．下列变化是周期变化的有()①地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；②海水在月球和太阳引力作用下发生的涨落现象；③做简谐运动的物体的位移变化情形；④连续掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为1，2，3，4，5，6的情况．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列函数图象中，不具有周期变化的是()知识点二周期函数的概念3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝() A．－1B．1 C．－2D．24．如果今天是星期三，那么7k－6(k∈N＋)天后的那一天是()A．星期三B．星期四C．星期五D．星期六知识点三周期函数的应用5．我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时，血压在增加或减少．下表是某人在1 min内血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律．(1)请根据上表提供的数据，在坐标系中作出血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系的散点图．(2)血压的变化是周期性的吗？关键能力综合练一、选择题1．下列现象是周期现象的是()①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震．A．①②B．①②③C．①②④D．③④2．0.428 571 428 571…的小数点后第545个数字是()A．5B．4 C．8D．73．若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系的图象如图所示，则函数值重复出现一次所需的时间T及在t＝25 s时钟摆所在的高度为()A．2 s, 10 mm B．1 s, 20 mmC．1 s, 10 mm D．2 s, 20 mm4．某广场从左向右依次挂着一排小彩灯，每两盏蓝灯之间按顺序有红灯、黄灯、绿灯各一盏．若左边第一盏灯是蓝灯，那么第90盏灯是()A．红灯B．蓝灯C．黄灯D．绿灯5．(易错题)已知函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－3对称，且对∀x∈R都有f(x)＋f(－x)＝2，当x∈(0，2]时，f(x)＝x＋2.则f(2 022)＝()A．－1 B．1C．2 D．－2二、填空题6．把扑克牌按照红桃2张，梅花3张，方块1张，黑桃2张的顺序连续排列，则第76张牌的花色是________．7．已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，f(1)＝－2，则f(10)＝________．8．(探究题)已知函数f(x)(x∈N)满足f(1)＝1，f(2)＝5，且f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)，则f(100)＝________．三、解答题9．一根长为l的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，如图．已知小球从M点放下，经过0.5秒第一次到达平衡位置O，M、N关于直线OA对称．(1)求小球第三次经过平衡位置O的时间；(2)求小球运动的周期；(3)经过7.2秒，小球是在平衡位置的右边还是左边？学科素养升级练1.(多选题)奇函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (1－x )，则下列选项正确的是( )A ．f (x )的一个周期为2B ．f (100.4)<f (2.6)C ．f (2x －12 )为偶函数D ．f (2x －4)为奇函数2．(学科素养——逻辑推理)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12 时，f (x ＋12 )＝f (x －12)，求f (6)的值．§1 周期变化必备知识基础练1．答案：C解析：只有④不是周期变化．故选C.2．答案：C解析：C 中，x ∈[－2，2]内的图象没有重复出现，不具有周期变化．故选C.3．答案：A解析：∵f (x )的周期为5，∴f (x ＋5)＝f (x )，∴f (3)＝f (－2＋5)＝f (－2).又∵f (x )为奇函数，∴f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，同理f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－2－(－1)＝－1.故选A.4．答案：B解析：由于7k －6＝7(k －1)＋1(k ∈N ＋)，所以7k －6(k ∈N ＋)天后的那一天是星期四．故选B.5．解析：(1)作出血压P (mmHg)与时间t (s)关系的散点图．如图所示．(2)由散点图可以看出，每经过15 s ，血压就重复出现相同的数值，因此血压的变化是周期性的．关键能力综合练1．答案：A解析：①每天日出日落，周期为一天；②潮汐是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动；而③海啸和④地震是随机现象．故选A.2．答案：D解析：由题意知小数点后数字重复出现，且周期为6，而545＝6×90＋5，故小数点后第545个数字是7.故选D.3．答案：D解析：由图象可知，函数值重复出现一次所需的时间T＝2 s，当t＝25 s时，因为25＝2×12＋1，所以25 s时钟摆所在的高度与1 s时钟摆所在的高度相同，即20 mm.故选D.4．答案：A解析：按蓝灯、红灯、黄灯、绿灯的顺序，每4盏灯颜色重复出现，具有周期性．因为90＝4×22＋2，所以第90盏灯是红灯．故选A.5．答案：D解析：∵函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－3对称，∴函数y＝f(x)的图象关于直线x ＝－2对称，∴f(－2＋x)＝f(－2－x)，取x＝x＋2可得f(－2＋x＋2)＝f[－2－(x＋2)]，∴f(x)＝f(－4－x).又对∀x∈R有f(x)＋f(－x)＝2，取x＝－4－x可得f(－4－x)＋f(x＋4)＝2，所以f(x)＝f(－4－x)＝2－f(－x)，f(－4－x)＝2－f(x＋4)，∴f(x＋4)＝f(－x)，∴f[(x＋4)＋4]＝f(－x －4)＝f(x)，即f(x＋8)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝8，∴f(2 022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝f(2＋4)＝f(－2)＝2－f(2)＝2－(2＋2)＝－2.故选D.6．答案：梅花解析：2张红桃，3张梅花，1张方块，2张黑桃按顺序排列，每8张花色重复出现，又76＝8×9＋4，所以第76张是梅花．7．答案：－2解析：由f(x＋3)＝f(x)可知f(x)的周期为3，所以f(10)＝f(3×3＋1)＝f(1)＝－2.8．答案：－1解析：因为f(1)＝1，f(2)＝5，且f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)，所以f(3)＝f(2)－f(1)＝4，f(4)＝－1，f(5)＝－5，f(6)＝－4，f(7)＝1，f(8)＝5，…，可知该函数具有周期性，周期为6，所以f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝－1.9．解析：(1)已知小球从点M处放下，由于第一次到达平衡位置的时间为0.5秒，因此由M点第一次到达N点的时间为1秒，由N处摆动到平衡位置是第二次到达平衡位置，用时0.5秒，从平衡位置到达M处用时0.5秒，从点M处再次达到平衡位置O，即第三次到达平衡位置又用时0.5秒．故第三次经过平衡位置的时间为1＋0.5＋0.5＋0.5＝2.5秒．(2)小球从点M处放下到达点N处，再回到点M处恰好是一个周期，故周期为4×0.5＝2秒．(3)由于7.2＝3×2＋1.2，故7.2秒时小球的位置与1.2秒时小球的位置相同，因为由M 到N用时1秒，由N到O用时0.5秒，1.2<1.5，故经过7.2秒，小球在平衡位置的左边．学科素养升级练1．答案：ACD解析：f (x )＝f (1－x )，f (x )的对称轴为x ＝12，f (x ＋2)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)＝－f (－x )＝f (x )，∴T ＝2，故A 正确；T ＝2，故f (100.4)＝f (0.4)，f (2.6)＝f (0.6)，f (x )关于x ＝12对称，故f (0.4)＝f (0.6)，故B 错误；f (2x －12 )＝－f (12 －2x )＝－f (12 ＋2x )＝f (－2x －12 )，f (2x －12)为偶函数，故C 正确；f (2x －4)＝f (2x ＋4)＝－f (－2x －4)，f (2x －4)为奇函数，故D 正确．故选ACD.2．解析：由题意可知，当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1).因为当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，所以f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.。
数学北师大版必修第二册1.1.周期变化课件
探究一
探究二
探究三
当堂检测
周期函数的判定 例2设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为偶函数并且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,求证:函数y=f(x)为周期函数. 证明由图象关于x=a对称得f(2a-x)=f(x),即f(2a+x)=f(-x). 因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),从而f(2a+x)=f(x),所以f(x)是以2a 为周期的函数. 反思感悟 紧扣定义——判断一个函数为周期函数 应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期 的定义出发,充分发掘隐含条件,合理赋值,奇妙转化.
激趣诱思
知识点拨
微判断 判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)若函数f(x)满足f(0)=f(5)=f(10),则它的周期T=5.( ) (2)若函数f(x)的周期T=5,则f(-5)=f(0)=f(5).( ) (3)若函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(2 020)=0.( ) 答案(1)× (2)√ (3)√
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求函数的周期
例1若对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+2 019)=-f(x+2 020),则函数f(x)
的周期为
.
解析由f(x+2 019)=-f(x+2 020),得f(x+2 019)=-f(x+2 019+1),令x+2
019=t,即f(t+1)=-f(t),所以f(t+2)=f(t),即函数f(x)的周期是2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.(202X河南开封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2), 当x∈(0,2]时,f(x)=2x+log2x,则f(2 019)=( ) A.5 B. C.2 D.-2 解析由f(x)=-f(x+2),得f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函 数,所以f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-(2+0)=-2. 答案D
1-1周期变化 (教学课件)——高中数学北师大版(2019)必修第二册
第一章 三角函数
主要内容
三角函数是体现周期变化最基本的数学模型，也是研究周 期变化最主要的工具。
在本章学习中，首先拓展角的范围，建立角的新的度量单 位——弧度，借助单位圆推广初中三角函数的概念，然后讨论 三角函数的性质，给出分析函数y=Asin(ωx+φ)变化的思想方 法，讨论A，ω，φ的几何意义和物理意义，并学习运用三角函 数解决一些简单的实际问题。
又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,
所以f(0)=0,f(1)=1,
所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2 018)=0,
f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 017)=1.
故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018)=1 009.
Байду номын сангаас
答案1 009
作业
1.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(4) 的值为( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2
例1 如果今天是星期三，那么： （1）7天后的那一天是星期几？7天前的那一天是星期几？
（2）100天后的那一天是星期几？
右边
18s
思考1：观察下列两个函数的图像，回答以下问题： （1）从图像上看两个函数有什么共同点？ （2）你能从数学角度得到什么性质？
-1
(1) f (x) 1x
(2)g(x) x x
注：[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.2]=1,[-1.4]= -2.
（1）从图像上看两个函数有什么共同点？
显然，对任意一个实数x，每增加2，其函数值保持 不变.这种变化是重复进行的，函数f(x) =(-1)[x]的变 化是周期性的.
新教材高中数学第1章三角函数1周期变化课件北师大版必修第二册
题型二
周期函数
例 2 (1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是
周期函数的是
(D)
[解析] 对于D,函数图象不是经过相同单位长度后,图象重复出现； 而A、C中经过一个单位长度,图象重复出现；B中图象每经过2个单位长 度,图象重复出现．所以A、B、C中的函数是周期函数,D中函数不是周期 函数．
[思路分析] 要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔一段时 间这种现象是否会重复出现,若出现,则为周期现象；否则,不是周期现 象．
[解析] (1)地球上一年分为春、夏、秋、冬四季,每一年都是如此,具 有重复性,因而是周期现象．
(2)钟表的秒针每一分钟转一圈,并且每分钟总是重复前一分钟的动 作,因而是周期现象．
必备知识•探新知
基础知识 知识点1 周期现象
(1)以相同__间__隔__重复出现的变化叫作周期现象． (2)要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔相同间隔,这种变 化是否会___重__复__出_,若现重复出现,则为周期现象；否则不是周期现象． 思考1：2022年2月21日是星期一,若再过200天是星期几？ 提示：2022年2月21日是星期一,由200＝28×7＋4知自2022年2月21 日再过200天是星期五．
期现象；该同学上学时间不固定,并不是每隔“一段时间”就会重复一
次,因此不是周期现象．
3．某市绿化委员会为了庆祝国庆节,要在道路的两侧摆放花卉,其中
一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花,并且按红、黄、紫、白、红、
黄、紫、白……的顺序摆放,那么第2 020盆花的颜色是
(D )
A．红
B．黄
C．紫
D．白
[解析] 因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放,
2021_2022学年新教材高中数学第一章三角函数1.2任意角课后素养落实含解析北师大版必修第二册
课后素养落实(二) 任意角(建议用时：40分钟)一、选择题1．如下各组角中，终边一样的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°C[∵－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边一样．]2．假如α为锐角，如此如下各角中一定为第四象限角的是( )A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋αC[∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，应当选C.]3．如下命题正确的答案是( )A．终边在x轴非正半轴上的角是零角B．第二象限角一定是钝角C．第四象限角一定是负角D．假如β＝α＋k·360°(k∈Z)，如此α与β终边一样D[终边在x轴非正半轴上的角为k·360°＋180°，k∈Z，零角为0°，所以A错误；480°角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误；285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误，应当选D.]4．2 020°是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角C[2 020°＝5×360°＋220°，故2 020°是第三象限角．]5．(多项选择题)角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角AC [因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°＜2α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ，如此有k ·180°＜α＜k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＜α＜n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°＜α＜n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三象限角．应当选A 、C.]二、填空题6．角α、β的终边一样，那么α－β的终边在________．x 轴的非负半轴上 [∵α、β终边一样，∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z ).∴α－β＝k ·360°，故α－β的终边会落在x 轴非负半轴上．]7．在－180°～360°X 围内，与2000°角终边一样的角是________．－160°，200° [因为2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°X 围内与2000°角终边一样的角有－160°，200°两个．]8．假如α＝k ·360°＋45°，k ∈Z ，如此α2是第________象限角． 一或三 [∵α＝k ·360°＋45°，k ∈Z ，∴α2＝k ·180°°，k ∈Z . 当k 为偶数，即k ＝2n ，n ∈Z 时， α2＝n ·360°°，n ∈Z ，∴α2为第一象限角； 当k 为奇数，即k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α2＝n ·360°°，n ∈Z ，∴α2为第三象限角． 综上，α2是第一或第三象限角．] 三、解答题9．在0°～360°X 围内，找出与如下各角终边一样的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′ ．[解] (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°X 围内，与－150°角终边一样的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°X 围内，与650°角终边一样的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°X 围内，与－950°15′角终边一样的角是129°45′角，它是第二象限角．10．写出与25°角终边一样的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.[解] 与25°角终边一样的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋25°，k ∈Z }．令k ＝－3，如此有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k ＝－2，如此有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，如此有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.11．角α与角β的终边关于y 轴对称，如此α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈ZB [法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，如此α＋β＝180°.法二：(直接法)∵角α与角β的终边关于y 轴对称，∴β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .]12．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ·180°4 ±90°，k ∈Z ，如此M 、N 之间的关系为( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．M ⊇ND ．M ∩N ＝∅B[对集合M来说，x＝(2k±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合N来说，x＝(k±2)·45°，即45°的倍数．]13．角α＝－3000°，如此与角α终边一样的最小正角是________．240°[∵－3000°＝－9×360°＋240°，∴与－3000°角终边一样的最小正角为240°.]α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z中角表示的X围(用阴影表示)是图中的14．集合{}________(填序号).①②③④②[集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边一样的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边一样的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的X围为图②所示．]15.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．点P在1秒内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．[解] 根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.又180°＜2θ＋45°＜270°，°＜θ°，∴°＜k ·180°7°.又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为540°7或720°7. ∵0°＜540°7＜90°，90°＜720°7＜180°， ∴θ在第一象限或第二象限．。
新教材高中数学第1章三角函数1周期变化素养作业北师大版必修第二册
第一章1A组·素养自测一、选择题1．如右图,一个质点在平衡位置O点附近摆动,如果不计阻力,可将此摆动看作周期运动,若质点从O点开始向左摆动时开始计时,且周期为1 s,则质点第5次经过O点所需要的时间为( C )A．1．5 s B．2 sC．2.5 s D．3 s[解析]若质点从O点开始向左摆动,则在1个周期内2次经过O点,所以5次经过O点需要2.5个周期,又因为周期为1 s,所以需要2.5 s.2．(多选)下列是周期现象的有( ABC )A．地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化B．海水在月球和太阳引力作用下发生的涨落现象C．做简谐运动的物体的位移变化情形D．连续掷一枚均匀骰子,出现点数为1,2,3,4,5,6的情况[解析]D不是周期现象,A,B,C均为周期现象．3．我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号,2016年是猴年,那么1949年是( A )A．牛年B．虎年C．兔年D．龙年[解析]2016－1949＝67,67÷12＝5……7,从猴年往前数第7个即可,也就是牛年．4．如果今天是星期五,则58天后的那一天是星期( C )A．五B．六C．日D．一[解析]因为每星期含有7天,而58＝7×8＋2,即58天后是再过8个星期后第2天,即星期日,故选C．5．若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内,且均为正圆,又知这两种转动同向,如图所示,月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时,月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为( B )A．24.5天B．29.5天C．28.5天D．24天[解析]由图知,地球从E1到E2用时29.5天,月球从月地日一条线重新回到月地日一条线,完成一个周期．6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,也是周期为4的周期函数,且在区间[0,2]上单调递减,则f(－2 021)与f(2 022)的大小关系为( A )A．f(－2 021)>f(2 022)B．f(－2 021)<f(2 022)C．f(－2 021)＝f(2 022)D．不确定[解析]因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,也是周期为4的周期函数,所以f(－2 021)＝f(2 021)＝f(1),f(2 022)＝f(2＋505×4)＝f(2)又由f(x)在区间[0,2]上单调递减,得f(1)>f(2),得f(－2 021)>f(2 022)．二、填空题7．把扑克牌按照红桃2张,梅花3张,方块1张,黑桃2张的顺序连续排列着,则第76张牌的花色是梅花 .[解析]2张红桃,3张梅花,1张方块,2张黑桃按顺序排列,每隔8张又重复出现,又76＝8×9＋4,所以第76张是梅花．8．定义域为R的偶函数f(x)为周期函数,其周期为8,当x∈[－4,0]时f(x)＝x＋1,则f(25)＝ 0 .[解析]因为定义域为R的偶函数f(x)为周期函数,其周期为8.当x∈[－4,0]时,f(x)＝x＋1,所以f(25)＝f(8×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝－1＋1＝0.9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x),则f(6)的值为 0 .[解析]f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.三、解答题10．一群小朋友在课间活动时进行报数游戏,他们9个人围成一圈,按顺时针方向依次报数：王莹报“1”,马可报“2”,田雨报“3”,李舟报“4”,朱悦报“5”,严明报“6”,王志忠报“7”,林玉报“8”,王威报“9”,这样每个人报的数总比前一个人多1,问“43”是谁报的,“84”是谁报的？[解析]9名同学重复报数,一个周期里有9个数,计算43里面有几个9,而43÷9＝4(组)……7(个),余数7是指43是“王志忠”报的,同理84÷9＝9(组)……3(个),余数3是指84是“田雨”报的．即43是王志忠报的,84是田雨报的．B组·素养提升一、选择题1．若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．则该函数值重复出现一次所需的时间T及在t＝25 s时钟摆的高度为( D )A．2 s,10 mm B．1 s,20 mmC．1 s,10 mm D．2 s,20 mm[解析]图象可知,重复一次所需时间T＝2 s,当t＝25 s时,因为25＝2×12＋1,所以25 s时的高度与1 s时的高度相同,即20 mm.2．某广场从左向右依次挂着一排小彩灯,每两盏蓝灯之间按顺序有红灯、黄灯、绿灯各一盏．若左边第一盏灯是蓝灯,那么第90盏灯是( A )A．红灯B．蓝灯C．黄灯D．绿灯[解析]按顺序每4盏灯又重复前面的顺序,是周期性的．又90＝4×22＋2,所以第90盏灯是红灯．3．已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1),若f(3)＝2,则f(2 019)的值为( A )A．2 B．0C．－2 D．±2[解析]∵f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1),∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1),即f(x＋1)＝－f(x－1)．∴f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数,且周期为4.∴f(2 019)＝f(3)＝2.4．(多选)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x＋8)＝f(x),f(x)的图象关于x＝2对称,且在区间[0,2]上是增函数,若关于x的方程f(x)＝m在区间[－8,8]上有根,则所有根的和为( ABCD )A ．0B ．±4C ．8D ．－8[解析] 由周期性,奇偶性,对称性,作图如下：由图中m 1,m 2,m 3,m 4,m 5五条直线可知,关于x 的方程f (x )－m ＝0在区间[－8,8]上有根,则所有根的和可能为0或±4或±8.二、填空题5．已知地球的自转周期约为24小时,其绕太阳的公转周期约为365天．木星的自转周期约为10小时,公转周期约为12年．(1)如果地球自转5周,那么木星自转 12 周；(2)如果在木星上生活10年,那么等于在地球上生活 120 年． [解析] (1)5×2410＝12；(2)10×121＝120.6．如图所示的弹簧振子在A 、B 之间做简谐运动,振子向右运动时,先后以相同的速度通过M ,N 两点,经历的时间为t 1＝1 s,过N 点后,再经过t 2＝1 s 第一次反向通过N 点,则振子的振动周期T ＝ 4 s.[解析] 设振子的振动周期为T ,则振子由平衡位置O 运动到B 的时间为T4,而振子以相同的速度通过M 、N 的时间为t 1＝1 s,则O 到N 的时间为t 12,又向右经N —B —N 的时间为t 2＝1,则N 到B 的时间为t 22,∴T 4＝t 12＋t 22＝12＋12＝1． ∴T ＝4 s. 三、解答题7．如图为某简谐运动的图象,试根据图象回答下列问题：(1)这个简谐运动需要多长时间往复一次？(2)从O点算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？[解析](1)由图易知这个简谐运动需要0.8 s往复一次．(2)如果从O点算起,则到曲线上的D点完成了一次往复运动；如果从A点算起,则到曲线上的E点完成了一次往复运动．8．毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家．有一次毕达哥拉斯处罚学生,要他来回数在戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标上A,B,C,…,G如下表所示),一直到指出第1 999个数的柱子的标号是那一个才能够停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？A B C D E F G12345671312111098141516171819252423222120[解析]发现数“2,3,4,…,1 997,1 998,1 999”按“B,C,D,E,F,G,F,E,D,C,B,A”12个数字循环出现,而1 999－1＝12×166＋6,也就是说循环出现166次后,再从B数6个,所以数到1999的那根柱子的标号是G.。
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第一章三角函数
§1 周期变化 课后篇巩固提升
基础达标练
1.
如图所示的是一个单摆,让摆球从A 点开始摆,最后又回到A 点,单摆所经历的时间是一个周期T ,则摆球在O →B →O →A →O 的运动过程中,经历的时间是( )
A.2T
B.T
C.3T
4
D.T
2
,所以运动的时间是T.
2.0.428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是 ( )
A.5
B.4
C.8
D.7
6,而545=6×90+5,故小数点后第545位上的数字是7.
3.设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )={4x 2-2,-2≤x ≤0,
x ,0<x <1,则f
52
=( )
A.0
B.1
C.1
2
D.-1
解析因为f (x )是周期为3的周期函数,所以f 52
=f -12
+3=f -12
=4×-
12
2
-2=-1,故选D .
4.如图,从左向右按照一定规律摆放的黑球和白球.已知第1,2个是黑球,第3个是白球,……,以此类推,第2 019个球是 (填“白球”或“黑球”).
,第3,6,9,…个球都是白球,其余的都是黑球.因为2019=673×3,所以第2019个球是白球.
5.已知函数f (x )的图象是以10为周期重复出现的,若f (1)=2 020,则f (41)= .
,知f (x )的周期为10,所以f (41)=f (4×10+1)=f (1)=2020.
6.如图为某简谐运动的图象,试根据图象回答下列问题:
(1)这个简谐运动需要多长时间往复一次?
(2)从点O 算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如果从点A 算起呢?
由图象易知这个简谐运动需要0.8s 往复一次.
(2)如果从点O 开始算起,那么到曲线上的点D 表示完成了一次往复运动.如果从点A 开始算起,那么到曲线上的点E 表示完成了一次往复运动.
能力提升练
1.(多选)按照规定,奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办,那么下列年份中举办夏季奥运会的应该是( ) A.2019
B.2024
C.2026
D.2032
=2008+4×2+3,2026=2008+4×4+2.显然2019,2026不是4的倍数.2024=2008+4×4,2032=2008+4×6,显然2024与2032是4的倍数,故选BD .
2.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f (x )=x 3-x ,则函数y=f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( ) A.6
B.7
C.8
D.9
f (x )是最小正周期为2的周期函数,且0≤x<2时,f (x )=x 3-x=x (x-1)(x+1),所以当0≤x<2时,f (x )=0有两个根,即x 1=0,x 2=1.由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f (x )=0有两个根,即x 3=2,x 4=3;当4≤x ≤6时,f (x )=0有三个根,即x 5=4,x 6=5,x 7=6,故f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.
3.(2019哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )={4x 2-2,-2≤x ≤0,
x ,0<x <1,则f f
214= . 解析由题意可得f 214
=f 6-
34
=f -34
=4×-342-2=14,f 1
4
=1
4
.
4.已知奇函数y=f (x )(x ∈R ),且f (x )=f (x+4),f (1)=2,则函数f (x )的周期为 ,f (2)+f (3)+f (4)= .
y=f (x )(x ∈R )是奇函数,所以f (0)=0.
又f (x )=f (x+4),
所以f (4)=f (0)=0,f (3)=f (-1+4)=f (-1)=-f (1)=-2, 而f (-2)=f (-2+4)=f (2),f (-2)=-f (2),
所以f (2)=0,故f (2)+f (3)+f (4)=-2.
-2
5.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 有f 3
2
+x =-f 32
-x 成立.
(1)证明:y=f (x )是周期函数,并指出其周期; (2)若f (1)=2,求f (2)+f (3)的值. (1)证明由f
3
2
+x =-f 3
2
-x ,且f (-x )=-f (x ),知f (3+x )=f 3
2
+3
2
+x =-f
32
-
32
+x =-f (-x )=f (x ),
所以y=f (x )是周期函数,且T=3是其一个周期.
f (x )为定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,且f (-1)=-f (1)=-2,
又T=3是y=f (x )的一个周期, 所以f (2)+f (3)=f (-1)+f (0)=-2+0=-2.
素养培优练
已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.
(1)求证:f (x )是周期为4的周期函数;
(2)若f (x )=√x (0<x ≤1),求当x ∈[-5,-4]时,函数f (x )的解析式.
f (x )的图象关于直线x=1对称,
有f (x+1)=f (1-x ),即有f (-x )=f (x+2). 又函数f (x )是定义在R 上的奇函数, 故有f (-x )=-f (x ).故f (x+2)=-f (x ). 从而f (x+4)=-f (x+2)=f (x ), 所以f (x )是周期为4的周期函数.
f (x )是定义在R 上的奇函数,有f (0)=0.
当x ∈[-1,0)时,即-x ∈(0,1],f (x )=-f (-x )=-√-x . 故x ∈[-1,0]时,f (x )=-√-x . 当x ∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f (x )=f (x+4)=-√-x -4.
从而,x ∈[-5,-4]时,函数f (x )=-√-x -4.。