初中数学几何辅助线常用方法

第一章 中点模型的构造

当已知条件中出现一个中点时，你首先想到的辅助线的解题方法是什么？如果已知两个中点呢？ 介绍以下方法：

1) 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形； 2) 三角形中位线定理；

3) 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线；

4) 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。 例1 在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC 边上的中线AD=2，求BC 的长.

例2 已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF=EF ，求证：AC=BE.

变式：

如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF//AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若AD 为△ABC 的角平分线，求证：BG=CF.

B

C

A

D

D B

C

D

E B

C

例3 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED ⊥FD. 以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三角形？

例4 已知在△ABC 中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥EF 于点M. 求证：FM=EM.

例5 已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°. 如图，连接DE ，设M 为DE 的中点，连接MB 、MC.

求证：MB=MC.

D B

A

D B

A B

D

例6 问题一：如图（1），在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，求证：∠BME=∠CNE.

问题二：如图（2），在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.

问题三：如图（3），在△ABC 中，AC>AB ，D 点在AC 上，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC=60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.

（1） （2） （3）

B

C

D

B

E

B

C

例7 问题一：如图（1），△ABC 中，点D 是AB 的中点，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点 E 、F ，AE 、BF 交于点M ，连接DE 、DF. 若DE=kDF ，则k 的值为_________.

问题二：如图（2），△ABC 中，CB=CA ，点D 是AB 的中点，点M 在△ABC 的内部，且∠MAC=∠MBC. 过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，连接DE 、DF. 求证：DE=DF.

问题三：如图（3），若将上面的问题（二）中的条件“CB=CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.

（1） （2） （3）

E

C

C

E C

例8 （2012•广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）当α=60°时，求CE的长；

（2）当60°＜α＜90°时，是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

第二章 角平分线模型的构造

已知，P 是∠MON 平分线上一点，角平分线的四大基本模型： （1）若PA ⊥OM 于点A ，可过点P 作PB ⊥ON 于B ，则PB=PA; （2）若点A 是射线OM 上任意一点，可在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，则构造了△OPB ≌△OPA ； （3）若AP ⊥OP 于点P ，可延长AP 交ON 于点B ，则构造了△AOB 是等腰三角形,且P 是AB 中点；

（4）若过点P 作PQ//ON 交OM 于点Q ，则构造了△POQ 是等腰三角形。

（1） （2） （3） （4）

例1 （1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ，BC=8，BD=5，那么点D 到AB 的距离是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

（2）已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠BAC

例2 (1)在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，请比较PB+PC 与AB+AC 的大小并说明理由．

M B

O

M

M

B

O

M

O

(2)如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且AB ＞AC ，请比较PB-PC 与 AB-AC 的大小并说明理由．

例3 已知∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 的中点. 求证：

.

例4 如图1，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ．

（1）试说明： （2）如图2，若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，则线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；

（3）如图3，若BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，则线段FG 与△ABC 三边的数量关系是_____________．

1

()2

DH AB AC =-

1

(

)2

FG AB BC AC =

++