计算方法(孙志忠)习题 第二章方程求根
东南大学出版社孙志忠版《数值分析》习题答案
e( A1 ) 10 −2 =1 er ( A1 ) = ≤ 0.01 A1
不能肯定所得结果具有一位有效数字。
2 ) A* = 0.01 ( 2.01 + 2.00 ) ，
A2 = 0.01 (1.42 + 1.41) = 0.01 2.83 = 0.00353356 Λ
e( A2 ) = e(0.01
因而 x2 具有 5 位有效数字。 x2 ≈ 0.025016 也可根据 x1 x2 = 1 得到
x2 =
1 1 = = 0.0250156347Λ x1 39.975
e( x 2 ) ≈ −
e( x1 )
2 x1
e( x 2 ) ≈
e( x1 )
2 x1
1 × 10 − 6 ≤2 39.9752
4. 若 x1 ≈ 0.937 具 有 3 位 有 效 数 字 ， 问 x1 的 相 对 误 差 限 是 多 ？ 设
e( x1 ) = e( x2 ) ≤
∴
x1 具有 5 位有效数字。 x2 =
1 1 1 = = = 0.0250156347Λ 20 + x 20 + 19.975 39.975
e( x )
(20 + x) 2
e( x 2 ) ≈ −
，
1 × 10 − 3 e( x ) 1 = 0.313 × 10 − 6 < × 10 − 6 e( x 2 ) ≈ ≤2 2 2 2 39.975 (20 + x)
( x1 + x2 ) 1
) = −0.01 ×
1 ( x1 + x2 ) 2
e( x1 + x2 )
e( A2 ) ≤ 0.01 ×
计算方法与实习 第四版 (孙志忠 著) 东南大学出版社 课后答案
2
ww
w.
kh
da
w.
co
∗ − y | → ∞, 计算过程不稳定。 注 ：此题中，|yn n
m
× 10−3 .
w.
n = 1, 2, · · ·
co m
e2 e2 r r = . 1 + er 1 − er
w.
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aw . kh d
∗ − y | = 510 e ≤ n = 10时，|yn n 0
√ 计算到y100 , 若取 783 ≈ 27.982 (5位有效数字)，试问计算到y100 将有多大误差？ √ 答 ：设x∗ = 783, x = 27.982, x∗ = x + e.
−2 ∗ = y∗ yn n−1 − 10 (x + e), yn = yn−1 − 10−2 x,
1 √ 783, 100
概率与数理统计 第二, C语言程序设计教程 第 西方经济学(微观部分) C语言程序设计教程 第 复变函数全解及导学[西 三版 (浙江大学 三版 (谭浩强 张 (高鸿业 著) 中 二版 (谭浩强 张 安交大 第四版]
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2009-10-15
ww
er − er = er −
e2 e e 1 r = . = e − = e − r r x∗ e+x 1 + er 1 + e1 r ·········
7. 设y0 = 28, 按递推公式
案 答
yn = yn−1 −
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1 2
6. 机器数–略。
w. kh da
∗ −y |=e≤ n = 100时，|yn n
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不定方程及含参数的元次方程的整数根问题的解法
不定方程及含参数的元次方程的整数根问题的解法不定方程及含参数的一元二次方程的整数根问题的解法丹阳六中王献忠一、利用“质数”及“互质”的性质1．求方程y3＝x2＋x的整数解；2．已知p、q都是自然数，关于x的方程2px2－qx＋1990＝0的两个根都是质数，求1998p1998＋q的值；3．(2002年“宇振杯”上海市初中数学竞赛试题) 已知p为质数，使方程x2－2px＋p2－5p－1＝0的两个根都是整数。
求出p的所有可能的值；4．(1991年“希望杯”初中数学竞赛试题) 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的整数根，则这个方程的根是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；5．(1999年全国初中数学竞赛试题)a 是大于零的实数，已知在惟一实数k，使关于x的方程x2＋(k2＋ak)x＋1999＋k2＋ak＝0的两根均为质数，求a的值；二、因式分解法1．求方程6ab=9a－10b＋303的整数解；2．(十三届“五羊杯”初二数学竞赛试题) 方程x/3＋14/y＝3有＿＿＿＿＿组正整数解；3．求2xy－5＝4y－x的整数解；4．a为何整数时，关于x的方程x2＋ax－8＝0有整数解？5．xy＋yz＝63，xz＋yz＝23的正整数解的组数是( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 三、判别式法(一)不等式(组) 法1．求方程x2－3xy＋2y3＝0的正整数解；2．解方程组x＋y＝2，xy－z2＝13．方程组x3－y3－z3＝3xyzx2＝2(y＋z) ；的正整数解；(二)夹逼法(非负数)1．(2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题)求方程1／x＋1／y－1／xy2＝3／4 的正整数解；2．求方程x＋y＝x2－xy＋y2的整数解；3．(2003年全国初中数学联赛试题) 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方恰好等于这个四位数。
(三)完全平方数法方程a2x2－(3a2－8a)x＋2a2－13a＋15＝0 (其中a是非负整数) 至少有一个整数根，那么a＝＿＿＿＿；四、求根法(用一个未知数的代数式表示另一个未知数)(一)直接求根1．(2000年全国初中数学竞赛试题)己知关于x的方程(a－1)x2＋2x－a－1＝0的根都是整数。
第二章 方程求根
《 计 算 方 法 与 实 习 》
第2章 方程求根
•
《 计 算 方 法 与 实 习 》
对于一般形式的方程(2―1),首先我们 设法将其化为下列等价形式 • x=g(x) (2―7) • 然后按(2―7)构造迭代公式
•
xk 1 g ( xk ), k 0,1,2,
第2章 方程求根
•
《 计 算 方 法 与 实 习 》
设f(x)为定义在某区间上的连续函 数,方程(2―1)存在实根。虽然方程(2―1) 的根的分布范围一般比较复杂,但我们不 难将函数f(x)的定义域分成若干个只含一 个实根的区间。 • 例如考虑方程 • x2-2x-1=0 • 由图2.1所示,该方程的一个负实 根在-1和0之间,另一个正实根在2和3之间。
1 bk ak k (b a ) (2―2) 2 当k→∞时,区间(ak,bk)最终必收敛于一点,该点就
是所求方程(2―1)的根x。
第2章 方程求根
•
•
《 计 算 方 法 与 实 习 》
我们把每次二分后的有根区间(ak,bk) 1 的中点 x (a b )
k
2
k
k
作为所求根x的近似值,这样获得一个近似根的序列
中点 x n
x 2 1.25 x 3 1.375 x 4 1.313 x 5 1.344 x 6 1.360 x 7 1.368 x 8 1.364
x1 1.5
满足精度的根为x≈1.364
第2章 方程求根
如何确定 根的所在 区间？
《 计 算 方 法画图确定根的所在 与 实 习 》[0,1], [1.5, 2.5] and
九年级数学中考典型及竞赛训练专题02从求根公式谈起(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题02从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是：1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：①若d+b+c = O,则方程ax2 +bx+c = O（a^Q）必有一根为1.②若a-b+c = O,则方程0^ +加+（? = 0（。
工0）必有一根为一1.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髄一元二次方程的求根公式为和土这个公式形式优美，内涵丰富：①公式展示了数学的抽彖性，一般性与简洁美；②公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1阅读下列的例题解方程：x2-\x\-2 = 0解：①当xMO时，原方程化为x2-x-2 = 0 ,解得=2,X2 =-1（舍）①当xvO时，原方程化为x2 + x-2 = 0,解得兀=1（舍），X2=-2请参照例题解方程：x2-\x-3\-3 = 0,则方程的根是 ____________（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2方程|F—l|=（4 — 2jI）（x + 2）的解的个数为（）A、1个E、2个C、3个D、4个（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3己知加，〃是二次方程%2 + 1999X4-7 = 0的两个根，求（”十1998加+ 6）（沪+ 2000〃+ 8）的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出加，"值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于加，〃的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：①把ax2 +bx+c = O（a^ 0）变形为ax2 = -bx-c②把ax2 +bx+c = 0（n 工0）变形为ax2 +bx = -c③把ax2 +bx+c = 0（d H 0）变形为ox+ - = -bx其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换.例4解关于X的方程：（加-l）x2 + （2m-l）x+m-3 = 0解题思路：因未指明关于尤的方程的类型，故首先分772-1 = 0及加一1H0两种情况，当加一1H0时，还考虑就快-4ac的值的三种情况加以讨论.例5己知三个不同的实数a, b , c满足。
方程求根的数值计算方法
代替牛顿法中的导数有
以下快速弦截法迭代公式：
xk +1 = xk − f ( xk ) − f ( xk −1 ) f ( xk )
( xk − xk −1 )
三、方程求根的弦截法
•弦 截 法 求 根 的 基 本 步 骤 ： 1 设 定 初 值 x 0 , x1 ; 2 求 出 f ( x 0 ), f ( x1 ); 3 利 用 弦 截 法 求 根 公 式 求 近 似 根 x; x = x1 − f ( x1 ) × ( x1 − x 0 ) /( f ( x1 ) − f ( x 0 )) 4 将 x1作 为 新 的 初 值 x 0, 新 的 近 似 根 x 作 为 新 的 初 值 x1 , 再 回 到 2;...如 此 循 环 往 复 直 到 x − x1 < ε & & f ( x ) < ε 为 止 。 •注 意 ： 对 于 弦 截 法 也 有 可 能 陷 入 死 循 环 。 解 决 的办法与牛顿法一样。
*
*
0
*
k +1
k
*
二、方程求根的牛顿法 对于方程 f ( x) = 0 ，设已知它的近似根 为 xk ，则函数 f ( x) 在点 xk 附近可用一阶 泰勒多项式 p( x) = f ( xk ) + f ′( xk )( x − xk ) 来近似， 若取 p( x) =0 的根作为 f ( x ) = 0 新的近似根， 记为 ，则有如下著名的牛顿公式 牛顿公式： x k +1 牛顿公式 相应的迭代函数是：
迭代法的设计思想
– 迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个 迭代法是一种逐次逼近法， 固定公式－即迭代公式反复校正根的近似值， 固定公式－即迭代公式反复校正根的近似值， 使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。 使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。 – 迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根 迭代法的求根过程分成两步， 的某个猜测值，即所谓迭代初值， 的某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代 初值逐步加工成满足精度要求的根。 初值逐步加工成满足精度要求的根。
方程求根
迭代法—算例分析2
例如：求方程 f ( x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根 x*
22
§2.2
迭代法—算例分析2
例如：求方程 f ( x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根 x*
3 解：将方程改写为 xk 1 x ， k 1
由此建立迭代公式： xk 1 3 xk 1 (k 0,1, 2, ) 计算结果如下表
f (1)<0, f (2)>0 记 I0=[1,2] , x0 =(1+2)/2=1.5
因为 f (x0) f (1)>0 得 I1=[1.5, 2] , x1 =(1.5+2)/2=1.75
f (x1) f (1.5)<0 得 …….
I2=[1.5, 1.75] , x2 =(1.5+1.75)/2=1.625
if B A 0 where else x1 2 x2 2 x3 2 where
( B 2 A3 | B |)1 / 3 ;
A cos( a , 3 3 2 a A cos( ) , 3 3 4 a A cos( ) , 3 3 arccos( B / A3 / 2 ) ; )
二分法
求 f (x) = 0 的根
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。
y
f (x)
a
x*
b
x
称[a, b]为方程的有根区间。
7
§2.1
二分法—算法构造
a x a1
b2 x* x
b
给定有根区间 [a, b] ( f(a) ·f(b) < 0) 和 精度 或 1. 令 x = (a+b)/2 2. 如果 b – a < 或 f (x) < , 停机，输出 x 3. 如果 f (a) f (x) < 0 , 则令 b = x，否则令 a = x, 返回第1步 用二分法求根，通常先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。
专题02 《二次根式》计算、解答题重点题型分类(解析版)
专题02 《二次根式》计算、解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《二次根式》中“二次根式的性质与化简”、“二次根式的乘除法”、“二次根式的加减法”、“二次根式的混合运算”、“二次根式的化简求值”计算、解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：二次根式的性质与化简方法点拨：（1）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．（2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．1．化简：（1（2（3（4（50,0)>>a b【答案】（1）（2）（3）（4）13；（5）2【分析】先将被开方数进行因数分解或因式分解，再应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来即可．【详解】解：（1===（2===；（3===；（413===；（52=【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关求解方法．2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：【答案】0【分析】由三个数在数轴上的位置即可确定它们的符号及大小关系，从而可确定a －b 及c －a 的符号，最后可化简绝对值与二次根式，从而可求得结果．【详解】由数轴知：0c b a<<<∴0a b ->，0c a -<＝－b －（a －b ）－（c －a ）－（－c ）＝－b －a ＋b ＋a －c ＋c＝0【点睛】本题考查了算术平方根的性质、绝对值的化简、数轴上数的大小关系等知识，注意：当a 为负数a ．3．已知实数a ，b【答案】1a b +-【分析】根据题意得：2,b 2a >-< ，可得20,30a b +>-< ，然后根据二次根式的性质化简原式，即可求解．【详解】解：根据题意得： 2,b 2a >-< ，∴20,30a b +>-< ，23a b =+--()23a b =++-1a b =+- ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，有理数的大小比较，根据题意得到2,b 2a >-< 是解题的关键．4．已知130a -£-£+．【答案】5【分析】先解不等式组可得23,a ££则有10,40,a a +>-<再化简二次根式即可得到答案.【详解】解：130a -£-£Q ，23,a \££10,40,a a \+>-<4-14 5.a a =++-=【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，二次根式的化简，解本题的关键是得到“10,40a a +>-< ”.5．阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一====1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1 （2【答案】（2【分析】（1（2）根据分母有理化的步骤进行化简，即可求解．（2【点睛】本题主要考查了分母有理化，明确题意，理解分母有理化的步骤是解题的关键．6a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==>>.，这里7m =，12n =，由于437+=，4312´=，所以22+==，2===（1（2（3【答案】（11+；（2（3【详解】解：（1）∴4m =，3n =，∵314+=，313´=，∴224+==，1===；（2），∴13m =，42n =，∵7613+=，7642´=，∴2213+===∴8m =，15n =，∵358+=，3515´=，∴228+=====【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键．7这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平1====；再如：==请用上述方法探索并解决下列问题：（1=，=；（2）若2()a m+=+，且a，m，n为正整数，求a的值．【答案】（13；（2）a的值为46或14【分析】（1）根据题意利用完全平方公式和二次根式的性质进行求解即可；（2）由222()5a m m n+==++，可得225a m n=+，62mn=，则3mn=，再根据a，m，n为正整数，可得1m=，3n=或3m=，1n=，由此求解即可．【详解】解：（1===3===-．3-；（2）∵222()5a m m n+==++，225a m n\=+，62mn=，∴3mn=又∵a，m，n为正整数，1m\=，3n=或3m=，1n=，∴当1m=，3n=时，2215346a=+´=；当3m=，1n=时，2235114a=+´=．综上所述，a的值为46或14．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和二次根式的性质化简，解题的关键在于能熟练掌握完全平方公式．8．（阅读材料）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（12．善于思考的小明进行了以下探索：若设a +=（m +）2＝m 2+2n 2+2a 、b 、m 、n 均为整数），则有a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把类似a +法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（问题解决）（1）若a +=（m +2，当a 、b 、m 、n 均为整数时，则a ＝ ，b ＝ ．（均用含m 、n 的式子表示）（2）若x =（m +2，且x 、m 、n 均为正整数，分别求出x 、m 、n 的值．（拓展延伸）（3= ．【答案】（1）m 2+5n 2，2mn ；（2）当m =1，n =2时，x=13；当m =2，n =1时，x =7；（3．【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到4＝2mn ，利用x 、m 、n 均为正整数得到12m n =ìí=î或21m n =ìí=î，然后利用x ＝m 2+3n 2计算对应x 的值；（3）=m +，两边平方(25m +=+，可得22651m n mn ì+=í=î消去n 得42560m m -+=，可求m【详解】解：（1）设a +m +2＝m 2+5n 2+2a 、b 、m 、n 均为整数），则有a ＝m 2+5n 2，b ＝2mn ；故答案为m 2+5n 2，2mn ；（2）∵(22232x m m n +=+=++∴4＝2mn ，∴mn ＝2，∵x 、m 、n 均为正整数，∴12m n =ìí=î或21m n =ìí=î，当m ＝1，n ＝2时，x ＝m 2+3n 2＝1+3×4＝13；当m ＝2，n ＝1时，x ＝m 2+3n 2＝4+3×1＝7；即x 的值为为13或7；（3=m +，∴(25m +=+，∴226522m n mn ì+=í=î，∴1n m=，22165m m æö+=ç÷èø，∴42560m m -+=，∴（m 2-2）（m 2-3）=0，∴m,m∴n =n =．∴m n ìïíïîm nìïí=ïî====．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一元高次方程，二元方程组，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．1．计算（1）（2；（3；（4【答案】（1）12；（2（3）34；（4）【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（2）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（3）先化简二次根式，根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（4）根据二次根式除运算法则转化为乘法计算，再化简即可．【详解】解：（1）原式==12；（2）原式=64（3）原式=´´=34；（4）原式=【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．2．若y =+【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式组，根据解不等式组，可得x ，根据x 的值可得y的值，再根据二次根式的除法，可得答案．2x -3≥0,3-2x ≥0，即x =32，y=【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．3==的值．【答案】4【分析】根据二次根式分母有理化计算即可；2=+2==原式===+224==；【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化和乘除运算，准确化简是解题的关键．4．若99a和b ，求4312ab a b ---的值【答案】37-【分析】先求出99a ，b 的值，再代入求值即可．【详解】∵34∴12，95，∴99，995=4，∴a =3，b=4∴原式=3）（443）-3（4-12-13﹣12-=37-．【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数都可以写成整数部分+小数部分的形式，从而得到小数部分＝这个无理数﹣整数部分，这是解题的关键．5．（13=，求a的值；（2能够合并，求a的值，并求出这两个二次根式的积．【答案】（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5．【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可；（2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案．【详解】解：（1）3=∴a+2=32解得a=7（2=能够合并=解得a=8∴5=.【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．6．如图，从一个大正方形中裁去面积为215cm和224cm的两个小正方形，求留下部分的面积．【答案】2【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，进而可得大正方形的边长，再利用大正方形的面积减去两个小正方形的面积列式计算即可求得答案．【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为215cm和224cm，∴=，∴∴留下部分（即阴影部分）的面积是21524--152241524=++--=2)cm =，答：留下部分的面积为2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段ST ，我们定义点P 关于线段ST 线段比()()PS PS PT ST k PTPS PT ST ì<ïï=íïïî…．已知点(0,1)A ，(1,0)B ．（1）点(2,0)Q 关于线段AB 的线段比k = ；（2）点(0,)C c 关于线段AB的线段比k =c 的值．【答案】（1（2）3c =或c =．【分析】（1）求出QA 、QB 、AB ，根据线段比定义即可得到答案；（2）方法同（1），分0c >和0c …讨论．【详解】解：（1）∵(0,1)A ，(1,0)B ，(2,0)Q ，∴AB =QA ，1QB =，根据线段比定义点(2,0)Q 关于线段AB的线段比QB k AB ==；；（2）∵(0,1)A ，(1,0)B ，(0,)C c ，∴AB =|1|AC c =-，BC =2212AC c c =+-，221BC c =+，当0c >时，22AC BC <，即AC BC <，由(0,)C c 关于线段AB的线段比k =，解得3c =或1c =-（舍去），∴3c =，当0c …时，22AC BC …，即AC BC …，由(0,)C c 关于线段AB 的线段比k ==，解得c =c =，∴c =综上所述，点(0,)C c 关于线段AB 的线段比k 3c =或c =【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．8．先阅读下面的解题过程，然后再解答：a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +=，=)a b ==>7m =，12n =因为437+=，4312´=即227+=所以2===根据上述方法化简：（1（2【答案】（1（2【分析】根据a b m +=，ab n =，即22m +==代入计算即可；【详解】（1）根据题意，可知13m =，42n =，因为6713+=，6742´=，即2213+=====（2）根据题意，可知8m =，15n =，因为538+=，5315´=即228+===【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，准确计算是解题的关键．9．材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的．材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如23<<<<．根据上述材料，回答下列问题：（1的整数部分是，小数部分是．+的值．（2）5+5<<，求a ba b（3）已知3x y=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．【答案】（1）44-；（2）13；（3【分析】（1的整数部分和小数部分；（2（3的整数部分，得到x的值，从而表示出y，求出x+4y的结果，再求x+4y的倒数即可．【详解】解：（1）<∴45<，的整数部分是4，故答案为：44；（2）<<，∴12<，∴67<<，∵5<<，a b∴a=6，b=7，∴a+b=13；（3）∵12，∴1+3＜2+3，∴4＜5，∴x=4，y1，x+4y）∴x+4ya≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根．1+（2）()14---．【答案】（1）；（2【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算；（2）根据绝对值、化简二次根式、立方根可直接进行求解．【详解】解：（1）原式=+（2）原式134+【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．2．计算或化简下列各题：（1）2021(1)(+--；（2）【答案】（1）1-；（2．【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；（2）去掉绝对值符号，根据二次根式的加减运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式＝(1)-+＝1；（2）解：原式==【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．3．先化简再求值：当a =时，求a【答案】21,1a -【分析】本题应先根据二次根式的性质把原式进行化简，再将a 的值代入即可求解．【详解】解：当a a -1＞0，∴原式=a =a +(a -1)=2a ﹣1∴原式1．故答案为：2a ﹣1；1【点睛】本题考查了二次根式的性质化简求值，熟知二次根式的性质是解题的关键．4．已知【答案】2y-【分析】先根据已知条件判断出0y < ，30x -£ ，再根据0y < ，3x £ 化简即可．【详解】解：0=<Q ，0y \< ，30x -£ ，3x \£ ，=413x y x =-+---413x y x =-+--+2y =- ．5．嘉琪准备完成题目“计算：（）﹣”时，发现“■”处的数字印刷不清楚，（1）他把“■”处的数字猜成6，请你计算（）﹣（2）他妈妈说：“”通过计算说明原题中“■”是几？【答案】（1）0；（2）原题中“■”是152【分析】（1）先去括号，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；（2）将原式进行整理，设“■”为m【详解】解：（1）（﹣）﹣＝＝0；（2）设“■”为m ，-=，解得：152m =，∴原题中“■”是152．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．阅读下列内容：因为139<<，所以13<<11．试解决下列问题：（1的整数部分和小数部分；（2）若已知8+a ，8的整数部分是b ，求34ab a b -+的值．【答案】（1的整数部分是33-；（2）34ab a b -+13．【分析】（1的大小即可；（2，a 、b 的值，代入计算即可．【详解】解：（1）∴3＜4，的整数部分是3-3；（2）∵34，∴11＜12，∴a ，∵34，∴-4＜-3，∴4＜5，∴b =4，∴ab -3a +4b=）×4-3×）+4×4，答：ab -3a +4b ．【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出a 、b 的值是正确解答的关键．7111111112=+-=+；111112216=+-=+；1111133112=+-=+．（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想．（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式（n 为正整数）．【答案】（1）111441+-+，1120，1119+2）11(1)n n ++【分析】（11120的结果为11380；（2）第n 1与1n(n 1)+的和．【详解】解：（11111144120=+-=+；1111119191380=+-=+；故答案是：111441+-+，1120，11119191+-+，11380；（2）通过观察等式右边为1与1n(n 1)+的和，故第n 11(1)n n =++．【点睛】本题考查了二次根式的加减法：解题的关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．8．观察下列一组等式，解答后面的问题：=﹣1，==应用计算：（1（2＝ ；（3+LL＝ ．【答案】（1（2（310【分析】（1），然后利用平方差公式计算；（2）利用题中的计算结果和（1）小题的计算结果找出规律求解；（3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】解：（1=（2、（3...+10．10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法是解决问题的关键．考点4：二次根式的混合运算方法点拨：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.1．计算：（1）3）（−5）（2））（3）（）×（4）（）2018×（3）2018【答案】（1）2）2（3）-30（4）12．已知1x=+，求代数式229-+的值．x x【答案】11．【分析】先将代数式配方，然后再把1x =+代入要求的代数式中进行求解即可．【详解】解： ()222918x x x -+=-+当1x =时，原式)21183811=-+=+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和二次根式的混合计算法则．3．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B ，点A 所表示的数为，设点B 所表示的数为m ．（1）求m 的值；（2）求|m ﹣1|＋（2）（4﹣m ）的值．【答案】（1）2m =（21【分析】（1）根据一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B ，可得2AB =，再由点A 表示的数为B 表示的数为m ，即可得到(2m -=，由此求解即可；（2）根据（1）求出的结果，代入m 的值，根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：（1）由题意得：2AB =，∵点A 表示的数为，点B 表示的数为m ，∴(2m -=，∴2m =-；（2）∵2m =-∴(()124m m -+--(21242=--+-(122=-+-142=-+-1．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够根据题意求出2m =4．某居民小区有块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC AB长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分）1）米．（1）长方形ABCD 的周长是 米；（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m 2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）【答案】（1）（2）600元【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可；（2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案.（1）解：Q 长方形绿地的长BC AB\ 长方形ABCD 的周长为：(2=2答：长方形ABCD 的周长为：米.故答案为：（2)11-131=-+ =11212100,-=Q 通道要铺上造价为6元/m 2的地砖，则购买地砖需要花费：1006600´=，答：购买地砖需要花费600元.【点睛】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的的化简与运算是解本题的关键.5．阅读下列材料，然后回答问题这样的式子，我们可以将其分母有理化：1====；1====-．（1（2【答案】（12）1【分析】（1）法一：原式==（2）：原式=（1=；===；（2）解：原式=+=+=．1【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的将分式中的分母有理化．6．在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化．比如：（1==．（21试试看，将下列各式进行化简：（1（2（3【答案】（11；（3）2【分析】（1）根据第一个例子可以解答本题；（2）根据第二个例子和平方差公式可以解答本题；（3）根据第二个例子和平方差公式把原式化简，找出式子的规律得出结果即可．【详解】解：==；（211++¼+，1，＝3－1＝2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化和平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法．7．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下方法将其进一步1===，化简：（1）（2）【答案】（1（2【分析】（1）利用分母有理化的形式进行化简；（2，然后分母有理化，最后进行二次根式的乘法运算．【详解】解：（1===；L（2+=L2=L==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．81====．==2根据以上解法，试求：（1n为正整数）的值；（2×××【答案】（1（2）9【分析】（1）由题意根据材料所给出的解法进行分析计算求解即可；（2）根据题意直接依据材料所给出的解法得出规律进行计算即可.【详解】解：（1==；（2×××1=×××110=-+9=.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键.考点5：二次根式的化简求值方法点拨：（1）数形结合法：用坐标轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标。
计算方法-2方程求根
对新的有根区间[a 施行同样的手续， 对新的有根区间 1,b1]施行同样的手续，于是得 施行同样的手续 到一系列有根区间[a 到一系列有根区间 0,b0] ⊃ [a1,b1] ⊃ [a2,b2] …… ⊃ [ak,bk] 其中每一个区间的长度都是前一个区间长度的一 半，最后一个区间的长度为 bk-ak=（b-a）/2k （ ） 如果取最后一个区间[a 的中点x 如果取最后一个区间 k,bk]的中点 k=(ak+bk)/2作 的中点 作 为f(x)=0根的近似值，则有误差估计式 根的近似值， 根的近似值 |xk-x*|≤ (bk-ak)/2=（b-a）/2k+1 （ ）
o
x*
xk+1 xk
x
27
的一个近似根， 设 xk是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在xk处作一阶 的一个近似根 在 处作一阶Taylor展 展 开
f ( x ) ≈ f ( xk ) + f '( xk )( x − xk )
于是： 于是：
f ( xk ) + f '( xk )( x − xk ) = 0
f ( xk ) % x = xk − f '( xk )
迭代函 数
19
取x0∈[a,b]，用递推公式 ， xk+1=φ(xk) k=0,1,2,……
迭代格 式
序列{x 有极 可得到序列 x0, x1, x2 ……。如果 。如果k→∞, 序列 k}有极 附近连续， 限x*,且 φ(x）在x*附近连续，则对上式两边取8
2.3 简单迭代法
迭代法是数值计算中的一种典型方法， 迭代法是数值计算中的一种典型方法，不仅用于方 是数值计算中的一种典型方法 程求根，而且用于方程组求解、 程求根，而且用于方程组求解、矩阵求特征值等方 面 迭代格式的构造及其敛散性条件： 一 迭代格式的构造及其敛散性条件： 已知方程 f (x) = 0 在区间[a,b]内有 个根 。在区间 内有1个根 在区间 内有 个根x*。在区间[a,b]将其改写成 将其改写成 同解方程 x=φ(x)
计算方法1-2
e ( x*)
( er ( x ) r )
为
x的相对误差限。
3．有效数字 m 设 x 10 (0.a1 a 2 a n a p ) (a1 0, p ) 1 mn 若 (1.1) x * x 10 2
则说
x 具有n位有效数字，分别是
若
n p ，则称
10 0.04 10 0.1 10 0.00000000004 10
8 9 9
8
3.尽量避免相近数相减 例如，当x很大时，应
，
x1
x
1 x x1
1 1 1 x x 1 x ( x 1) 当x接近于0时，应
1 cos x sin x x 或tg sin x 1 cos x 2
f(x)=0根或f(x)零点，当f(x)复杂时，很难求 （找近似有效简单方法）。
§2.1 区间二分法
理 论 : f(x) ∈ C[a,b],单调， f(a)f(b)<0
f(x)=0在(a,b)有惟一根。
方程求根的步骤:(1)求根的隔离区间;(2)将根精确化 根的隔离区间求法：画草图；多项式函数交点横坐标； 试算。
程序运行 结果:
基本要求：
1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位，熟 悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数值方 法； 2.熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有效数 字概念； 3.熟悉公式（1.2）--（1.9）； 4.熟悉选用算法应遵循的原则；
作业：
第一章 8, 10
第二章 方程求根
§1.2 误差基础知识
一 .误差来源（分类）
1. 模型误差。 2. 观测误差。 3. 截断误差，如
x x sin x x ...... , 3! 5!
计算方法第2章习题 - 参考答案
2.1 证明方程043=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。
如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根) 14,10log 4,10210211021212||2451*11=≥>⨯=⨯=<=---++K k a b k n m k k ε 2.2 用二分法求方程0134=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021-⨯=ε。
k a b x f(x)0 0.300 0.350 0.325 0.0361 0.325 0.350 0.337 0.0002 0.337 0.350 0.344 -0.0173 0.337 0.344 0.341 -0.0084 0.337 0.341 0.339 -0.004x=0.3392.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210-=ε2.3-1 x=0.645 2.3-2x=1.78 2.3-3x=1.13 2.3-4 x=0.9182.4 考虑方程032=-x e x ，将其改写为3xe x ±=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310-=ε) (1) 910840.0,0.13*0===x x e x x， k x g(x)0 0.951890 0.9292651 0.929265 0.9188122 0.918812 0.9140223 0.914022 0.9118364 0.911836 0.9108405 0.910840 0.910386(2) 459075.0,5.03-*0-=-==x x e x x， k x g(x)0 -0.449641 -0.4611061 -0.461106 -0.4584712 -0.458471 -0.4590753 -0.459075 -0.4589362.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：(1) 2121111kk x x x x +=⇒+=+，； )7.1,3.1(,7.1)(3.1∈≤≤x x g)7.1,3.1(,191.0/2)(3∈<≤='x x x g ，收敛，1.489(2) 3212311k k x x x x +=⇒+=+，；)2,1(,2)(1∈≤≤x x g)2,1(,1)1(61)(3/22∈<+='x x x x g ，收敛，1.465 (3) 111112-=⇒-=+k k x x x x ， )6.1,4.1(,107.1)1(21)(2/3∈>≥-='x x x g ，发散 2.6 考虑用迭代法求解下列方程： (1) )2(312x e x x +-=- 0.608 (2) x x -=50.467 (3) 27475.1--+=x x x 6 2.7 用迭代法的思想，给出求22222+++++ 的迭代公式，并证明：222222lim =+++++∞→nn 。
总结第2章方程求根
lnb a ln ε - 1 k
ln 2
第2章 方程求根
3. 优缺点
《 计 算 方 法 》
优点：计算过程简单,程序容易实现。可在大范 围内求根。
缺点：收敛慢，其收敛速度仅与一个以 1/2为 比值的等比级数相同。
不易求偶数重根和复根 一般用于求根的近似值而后在用其它的求根方法
《 计 算 方 法 》
x1和x2都有 g( x1 ) g( x2 ) q x1 x2 2)、若q＜1, 则 方程在(a,b)内有唯一的根;
, q为某个确定的正数。
且迭代公式 xk+1=g(xk) 对任意初始近似值x0均收敛于 方程的根x; 还有误差估计式
q qk x xk xk xk 1 x1 x0 1 q 1 q
(2―11)
第2章 方程求根
注：
要验证g(x)是否满足李氏条件一般比较困难,若g(x)
《 计 算 方 法 》
可微,可用充分条件 g( x) q 1 来代替。这里q＜1
是非常重要的条件,否则不能保证果将原方程化为等价方程：x 2 x3 1
《 计 算 方 法 》
第2章 方程求根
《 计 算 方 法 》
第2章
方程求根
第2章 方程求根
第2章 方程求根
《 计 算 方 法 》
§1 二分法 §2 迭代法
§3 切线法(牛顿法)
§4 弦截法
§5 加速迭代法
第2章 方程求根
§2.3 二分法 (Bisection Method )
《 计 算 方 法 》
一、理论基础
若 f(x)在区间[a, b]单调连续，且 f (a) · (b) < 0，则f(x) f
方程求根(计算方法)
牛顿(3)
亲手制作了第一具反射望远镜。在哲学上深信物质、 运动、空间和时间的客观存在性，坚持用观察和实 验方法发现自然界的规律，力求用数学定量方法表 述的定律说明自然现象，其科学研究方法支配后世 近300年的物理学研究。
牛顿像(1)
牛顿像(2)
牛顿像(3)
牛顿像(4)
牛顿像(5)
牛顿像(6)
*
a0 b0 x 2
stop.
§2.2 二分法
(5) x=(a0+b0)/2, f=f(x) if stop.
f 1 then x* x
(6) If f1f<0, then b0=x, f2=f else a0=x, f1=f, endif
(7) Goto (3)
§2.2 二分法
§2.2 二分法
不断重复这个过程直到 bi ai ， 为给 定精度，于是得到方程根 (ai bi ) / 2 。
[a0 , b0 ] [a2 , b2 ] ... [ak 1 , bk 1 ] [ak , bk ]
• 新区间长度总是旧区间长度的一半，二 分k次后区间假设为[ak,bk]，其长度为，
§2.1 问题的提出
如修正牛顿法，拟牛顿法等。1797年，高斯给出 “代数基本定理”，指出高次代数方程根的存在性。 1819年，霍纳提出求高次代数方程数值解的另一种 方法－－霍纳法，其思想及计算程序与秦九韶的方 法近似，类似的方法鲁非尼在1804年也提出过，霍 纳法也有广泛的应用，它的现代改进形式叫劈因子 法。现在常用的代数方程数值解法还有伯努利法和 劳斯表格法。
牛顿像(7)
牛顿像(8)
高斯(1) 高斯(Gauss, Carl Friedrich 1777.4.30-1855.2.23)：德 国数学家、物理学家、天文学家。生于不伦瑞克， 卒于格丁根。高斯是近代数学奠基者之一，在历史 上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 他幼年时就表现出超人的数学天才。1795年进入格 丁根大学学习。第二年他发现正十七边形的尺规作 图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解 决了欧几里得以来悬而未决的问题。1798年转入黑 尔姆施泰特大学，1799年获博士学位。1807年以后 一直在格丁根大学任教授。 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、 代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都
计算方法第二章求方程根答案
计算方法习题二：1、利用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0在[2,3]内根的近似值，并指出误差。
解：取f(x)=x3-2x-5，因为f(2)= -1<0,f(3)= 16>0,且当x∈[2,3]时，f’(x）= 3x2-2 >0，则f(x)=0在[2,3]内仅有一个根。
n a n b n x n+1 f(x n+1)符号0 2 3 2.5 +1 2 2.5 2.25 +2 2 2.25 2.125 +3 2 2.125 2.0625 -4 2.0625 2.125 2.0938 -5 2.0938 2.125 2.1094 +6 2.0938 2.1094 2.1016 +7 2.0938 2.1016 2.0977 +由表可知，方程f(x)=x3-2x-5=0在[2,3]内根的近似值为（2.1094+2.0977）/2=2.1032、证明方程1-x-si在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于1/2*10-4的根要二分多少次？证：f(x)=1-x-sinx,因为f(0) = 1>0,f(1)≈-0.8415<0 ,f(0)*f(1)<0，则f(x)=0在[0,1]内仅有一个根。
由公式得29.1312ln 21ln10ln 41ln ≈--+≥n取n=14即可达到要求。
3、能不能用迭代法求解下列方程，若不能时，将方程改成能用迭代法求解的形式。
（1）x=(cos x +sin x)/4; (2)x=4-2x. 解：（1）由于x=2sin （x+4π）/4，则44s i n 2x 1k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πk x (k=0,1,2...) （2）2ln )4ln(x 1k k x -=+4、为求方程x 3-x 2-1=0在x 0=1.5附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）x=1+1/x 2,迭代公式x k+1=1+1/x k 2; （2）x 3=1+x 2,迭代公式x k+1=3√(1+x k 2); （3）x 2=1/(x-1),迭代公式x k+1=√(1/(x k -1)).试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。
九年级数学下册第二章 第2课时利用二次函数图象求一元二次方程的近似根作业课件新版北师大版
A．3<x<3.23
B．3.23<x<3.24
C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26
3．对于二次函数y＝x2＋2x－5，当x＝1.4时，y＝－0.24<0；当x＝1.45时，y＝0.002 5>0. 所以方程x2＋2x－5＝0的一个正根的近似值是__1_._4．(精确到0.1)
4．(1)请在坐标系中画出二次函数y＝x2－2x的大致图象； (2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2－2x＝1的根在图上近似地表示出来(描点)；
第二章 二次函数
5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤是： (1)画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
(2)确定抛物线与_x___轴交点个数，看交点哪两个数之间； (3)_列__表_，在两个数之间取值估计，用计算器估算近似根，近似根在对应y值为0或正、负交
2
6．利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中
画出y＝x2和直线y＝－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
(1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画 出抛物线y＝____x_2_－__3__和直线y＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解；
换的地方． 练习：如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，
B(2.68，0.54)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解可能是( D ) A．2.18 B．2.68
C．－0.51 D．2.45
知识点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 1．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
2020春北师大版九年级数学下册习题课件：第2章 5.第2课时 利用图象法求一元二次方程的根
(3)在(2)的图象中，求出 y＜0 时 x 的取值范围及 y＞0 时 x 的取值范围． 解：
由(2)得 y＝2x2－2x，其图象如图所示，由图象可知，当 y＜0 时，0＜x＜1； 当 y＞0 时，x＜0 或 x＞1.
11．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过点(－1,4)，且与直线 y＝－12x＋1 相交于 A、B 两点(如图)，A 点在 y 轴上，过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C(－3,0)．
( D) A．－1≤x≤3
பைடு நூலகம்
B．x≤－1
C．x≥1
D．x≤－1 或 x≥3
4．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则( B )
A．b＞0，c＞0
B．b＞0，c＜0
C．b＜0，c＜0
D．b＜0，c＞0
5．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象如图，由图象可知关于 x 的一 元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根分别是 x1＝1.6，x2＝ 4.4 .
【规范解答】画出二次函数 y＝x2＋x－3 的图象，如图所示，方程一根在－ 3 和－2 之间，另一根在 1 和 2 之间．
(1)求－3 和－2 之间的根，利用计算器进行探索： x －2.1 －2.2 －2.3 －2.4 －2.5 y －0.69 －0.36 －0.01 0.36 0.75
∴x＝－2.3 是方程的一个近似根．
数学 九年级 下册•BS
第二章 二次函数
5．二次函数与一元二次方程 第2课时 利用图象法求一元二次方程的根
利用图象法求一元二次方程的近似解． 【例 1】利用二次函数图象求一元二次方程 x2＋x－3＝0 的近似根． 【思路分析】先画出 y＝x2＋x－3 的图象，确定一元二次方程根的取值范围， 再利用计算器进一步精确．
05方程求根的数值解法
迭代法（续2） 迭代法（
k 0 1 2 3 4 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 k 5 6 7 8 xk 1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
17
迭代法（续3） 迭代法（
对于一般形式的方程 先将方程化为 再从某一数 x = g(x) x 0 出发，作序列 lim x n = a 即 f (a ) = 0 f (x) = 0
k > ln (
b−a
ε
) ln 2 − 1
9
二分法程序框图
定义f 定义 (x) 输入
a,b, ε
k=0
f (a)⋅ f (b)>0 ⋅ 否 否 f (a)⋅ f (b)=0 ⋅
是
是
m=(a+b)/2 |a-b|<ε 否 f(a)⋅f(b)>0 ⋅ 否 b=m 打印m, 打印 k 是 a=m 结束 是
18
迭代法的结束条件
x k − x k −1 < ε
(2.2)
内的根， 例4：求方程 x 3 − 3 x + 1 = 0在[0, 0.5]内的根，精确到 -5。 ： 内的根 精确到10
19
迭代法例题
例：求方程 f ( x ) = x 3 − x − 1 = 0 在 x 0 = 1.5附近的根 x * . 解：（1 ） 将方程改写为 x = 由此建立迭代公式 k 0 1 x k +1 = 2
Lk xk − ξ ≤ x1 − x0 1− L
25
例题分析
9 x 2 − sin x − 1 = 0在[0，1] 内的一个根 。 求方程 ，
即
lim xk = x * ，迭代收敛。 迭代收敛。 k →∞
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第二章 方程求根
一、填空题
1、3 ()2510f x x x =−−=用二分法求方程在区间[1，3]内的根，进行
一步后根所在区间为（ ），进行两步后根所在区间为（ ）。
2、解方程()0f x =的简单迭代法的迭代函数()x ϕ满足在有根区间内
( )，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。
3、设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是( )。
二、问答题
1、用牛顿法求方程30()10 1.5f x x x x =−−==在附近的一个根，并精确到6位有效数字。
[]42,
11,2x x =−2.给定方程（）试说明该方程在内有根；
（2）构造一个求此根的收敛的迭代法，并说明理由。
3、给定方程()(1)10x f x x e =−−= 1） 分析该方程存在几个根；
2） 用迭代法求出这些根，精确至5位有效数；
3） 说明所用的迭代格式是收敛的。