奥数-等腰三角形和等边△-师
小学奥数《三角形的认识》教学课件
本讲主要内容： 三角形的定义； 三角形的分类； 三角形的三边关系； 三角形的内角和； 三角形的外角和。
新知探究
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知识梳理
数学知识点
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总一关：认识三角形 按边分类； 按角分类
新知探究
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第三关：多边形内（外）角和 每增加一条边，内角增加180度； 任意多边形外角和都是360度
1
2
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3
2
其它多边形的内角和都 是通过三角形得到的
数学例题
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例题1： （1）三角形是由___________条边，___________个角，___________个顶点构成的； 下图 是一个三角形，如果用字母 A、B、C 分别表示三角形的三个顶点，那么这个三角形可以表 示为___________。 （2）三角形可以按照角来分： 三个角都是锐角的三角形叫做____________________； 有一个角是直角的三角形叫做____________________； 有一个角是钝角的三角形叫做____________________。 （3）三角形也可以按照边来分： 有两条边相等的三角形叫做____________________； 三条边都相等的三角形叫做____________________。
多边形内角和： 设边数为n，内角和为180°×（n-2）。 多边形外角和： 任意多边形外角和是360°。
2 1
1
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4
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数学例题
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例题3： （1）三角形三个内角的角度之和是多少度？你是怎么得到的呢？ （2）如图 1，∠1+∠2+∠3+∠4=___________． （3）如图 2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=____________． （4）如图 3，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______________． （5）通过以上题目，总结： n边形的内角和=______________．
专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)
专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ． （1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由； （2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】 一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（ ）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（ ） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝ ．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是 ．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒， 又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠； 故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且 ，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者 在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。
6年级奥数几何综合问题(中)例题解析
【内容概述】本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换，下面我们就这些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．反之，如果知道上面某种情况的成立，则那两条直线平行．3．两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．【例题】题1．如下图，六边形ABCDEF中，AB＝ED，AF＝CD，BC＝EF，且有AB平行ED，AF平行CD，BC平行EF，对角线FD垂直与BD．已知FD＝24厘米，BD＝18厘米，试求六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？「分析与解」如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，DEF平移使得ED与AB 重合．这样就组成一个长方形，显然有面积为24×18＝432平方厘米，即ABCDEF 的面积为432平方厘米．题2．四边形ABCD中，AB＝30，AD＝48，BC＝14，CD＝40．又已知∠ABD+∠BDC ＝90°，求四边形ABCD的面积．「分析与解」如下图，以BD的垂直平分线为对称轴，做△ABD关于l的对称图形△A′BD．连接A′C．因为∠ABD+∠BDC＝90°，而∠ABD＝∠A′DB＝90°，所以有∠A′DB+∠BDC＝90°．那么△A′CD为直角三角形，由勾股定理知A′C2＝AB2+CD2＝2500，所以A′C＝50．而在△A′BC中，有A′B＝AD＝48，有482+142＝2500，即A′B2+BC2＝A′C2，即△A′BC为直角三角形．有S △A ′CD +S △A ′BC ＝30×40×+14×48×＝936．而S 四边形ABCD ＝S △A ′CD +S △A ′BC ＝936．评注：Ⅰ．本题以∠ABD+∠BDC ＝90°为突破口，通过对称变换构造出与原图形相关的直角三角形．这样面积就很好解决．Ⅱ．对于这道题我们还可以将△BCD 作l 的对称图形，如下：题3．如下图所示，梯形ABCD 中，AB 平行与CD ，又BD ＝3，AC ＝4，AB+CD ＝5，试求梯形ABCD 的面积．「分析与解」如下图，将AB 沿AC 平移至CE ，连接BE ．在三角形BDE 中，有BD ＝3，BE ＝4，DE ＝5，有BD 2+BE 2＝DE 2，所以三角形BDE 为直角三角形．有S梯形ABCD ＝S△BDE＝×3×4＝6．题4．如图，在三角形ABD中，当AB和CD的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程．「分析与解」因为AB＝CD，于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐，如右图．在右图中有∠BCA＝110°，所以∠ACD＝70°于是∠ACC′＝∠ACD＋∠DCC′＝∠ACD＋∠ACB＝70°＋40°＝110°；于是∠ACC′＝110°＝∠CC′D；又因为C′A′只是CA移动的变化，所以C′A′＝CA；则AB′C′A′是一等腰梯形．于是，∠ADC′＝180°－110°＝70°；又∠CDC′＝30°，所以∠ADC＝70°－30°＝40°．题5．如下图所示，有六边ABCDEF，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，AB＝BC＝CD；AF＝DE；∠ECF＝60°；已知FEC的面积为6，求六边形ABCDEF的面积为多少？「分析与解」如下图，因为BC＝CE，所以我们可以将△CDE绕C点转到E′点，使E′B平行CD．连接E′、F；E′、B，设E′F、AB交于Q点．有△E′BC≌△EDC．而在△E′BQ、△FAQ中，∠E′BQ＝∠FAQ＝120°，∠E′QB＝∠AQF(对顶角相等)，E′B＝AF＝ED，所以有△E′BQ≌△FAQ．所以△E′FC即为六边形ABCDEF除△CEF所剩下的部分的等积图形；而在△E′FC、△EFC中，E′C＝EC，FC＝FC，∠E′CF＝∠ECF，所以△E′FC≌△EFC．所以S六边形ABCDEF ＝2×S△CEF；于是，S六边形ABCDEF＝6×2＝12．题6．如下图，△ABC为边长为1的等边三角形，△BCD是等腰三角形，BD＝CD，顶角∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，求△AMN的周长．「分析与解」如下图，延长AC至P，使CP＝MB，连接DP．则有∠MBD＝60°＋＝∠PCD；CP＝BM；BD＝CD，所以有△MBD≌△PCD．于是∠MDB＝∠PDC；又因为∠MDB＋∠NDC＝60°，所以∠PDC＋∠NDC＝∠NDP＝60°；MD＝PD．在△MND、△PND中，∠NDM＝∠NDP，ND＝ND，MD＝PD，于是△MND≌△PND．有MN＝PN．因为MN＝NP＝NC+CP，而AM＝AB－MB＝AB－CP，所以AM＋AN＋MN＝(AB－CP)+AN+(NC+CP)＝AB+AN+NC＝2．即△AMN的周长为2．题7．如下图，三角形ADC，是AC边与AD边长度相等的等腰三角形．求出下图中？的角度．「分析与解」作△ADB关于AB的对称图形，为△AD′B，在BC上选择E点使EA=CA;△BD′A≌△BCA，∠BD′A＝∠BDA，注意到∠BED′似直角，D′EA似为等边三角形．如果解决，则，显然就有∠BDA＝∠BD′A＝？，答案显然为105°．注意到∠AEC＝30°，则∠EAC＝120°，于是∠D′AE＝60°，又因为D′A＝DA＝AC＝AE，所以三角形D′AE为等边三角形．∠D′EC＝∠D′EA＋∠AEC＝60°＋30°＝90°；于是∠D′EB＝180°－90°＝90°．又知道∠BEA＝90°＋60°＝150°；所以∠BAE＝180°－150°－15°＝15°；所以BEA为等腰三角形；于是BE＝EA＝ED′；BED′为等腰直角三角形．综合以上分析知∠BDA＝105°．题8．下图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图．点C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的B、K弧线分为8等份的点．求阴影部分面积之和．「分析与解」如下图，做出辅助线△KMA与△ANG形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△KMA≌△ANG，S△KMA ＝S△ANG，而△KMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，GNMK与扇形KGA的面积相等，那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．扇形KGA的圆心角为×3＝54°，所以扇形面积为×202×π＝60π平方厘米．那么KGEB的面积为60π×2＝120π平方厘米．如右图，做出另一组辅助线．△JQA与△ARH形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△JQA≌△ARH，S△JQA ＝S△ARH，而△PQA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，JHPQ与扇形JHA的面积相等，那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．扇形JHA的圆心角为＝18°，所以扇形面积为×202×π＝20π平方厘米．那么JHDC的面积为10π×2＝40π平方厘米．所以，原题图中阴影部分面积为SKGEB －SJHDC＝120π－40π＝80π≈80×3.14＝251.2平方厘米．题9．如下图，三角形ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，三角形ADE为正三角形，点D在BC边上．并且有BD：DC＝2：3．三角形ABC的面积为50平方厘米，试求三角形ADE的面积？「分析与解」以点A为中心，使三角形ABC旋转120°，240°使其与原图形形成一个正三角形，并使QC：PQ＝RP：BR＝2：3．在正三角形PBC的内部连接成一个正六边形图，再连接正六角形的顶点得到正三角形DQR．有S△PBC ＝S△ABC×3＝150，S△DCQ＝S△PBC××＝36，S△DQR＝S△PBC－3S△DCQ＝42，S△ADE ＝S正六边形DQR＝S△DQR＝14平方厘米．。
小学奥数模块教程三角形
一、 三角形的定义：（一）、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。
（二）、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
三角形只有3条高。
重点：三角形高的画法。
底二、 三角形的特性：（一）、物理特性：稳定性。
如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
（二）、边的特性：任意两边之和大于第三边。
为了表达方便，用字母A 、B 、C 分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC 。
A+B ﹥C三、 三角形的分类：（一）、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
（二）、按照边长短来分：等边三角形（正三角形）、等腰三角形、三条边都不相等的三角形 ※三角形的内角和等于180°；四边形的内角和是360°；五边形的内角和是540°四、 图形的拼组：（一）、用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。
（二）、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。
（三）、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。
五、 密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。
顶点 边高知识框架三角形A BC哪种方法更牢固，为什么？【例 1】 是三角形的打“√”，不是三角形的画“○”。
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）【巩固】 一个三角形有（ ）个顶点，（ ）个角和（ ）条边。
【例 2】 一个三角形有（ ）条高。
A 、1B 、3C 、无数【巩固】 直角三角形、钝角三角形只有一条高。
（ ）【巩固】 锐角三角形都有三条高。
（ ）【例 3】 根据下面每个图形标出的底，画出图形的高。
【例 4】底底底例题精讲【巩固】自行车的三角架运用了三角形的（）的特征。
A、稳定性B、有三条边的特征C、易变形【例 5】在能拼成三角形的小棒下面画“☆”。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
(完整版)小学奥数教程之角度计算教师版全国通用
4-1-3.角度计算知识点拨一、角1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角2、表示角的符号：∠3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2）直角：等于90°的角叫做直角。
（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4）平角：等于180°的角叫做平角。
（5）优角：大于180°小于360°叫优角。
（6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7）周角：等于360°的角叫做周角。
（8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9）正角：逆时针旋转的角为正角。
（10）0角：等于零度的角。
4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
二、三角形1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形2、内角和：三角形的内角和为180度；外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、三角形的分类（1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形（2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
模块一、角度计算【例 1】有下列说法：(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．(5)三角形的三个内角可以都是锐角．(6)直角三角形中可胄邕有钝角．(7)25︒的角用10倍的放大镜看就变成了250︒其中，正确说法的个数是【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法【例 2】 下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
等腰三角形与等边三角形的性质与计算方法
等腰三角形与等边三角形的性质与计算方法等腰三角形是指有两条边长度相等的三角形，而等边三角形则是指三条边长度都相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形和等边三角形具有一些特殊的性质和计算方法。
本文将介绍这些性质和计算方法，并探讨它们在解题中的应用。
一、等腰三角形的性质1. 定义：等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
2. 性质一：等腰三角形的顶角（非底边对应的角）相等。
证明：假设等腰三角形的两条边等长的边为AB，底边为CD。
以A、B为圆心，AB为半径画两个弧交于E。
由于AE=BE，CD=ED（共边），所以三角形AEC与BEC是两个等边三角形，所以∠AEC=∠BEC，即x=y。
3. 性质二：等腰三角形的底角（底边对应的角）相等。
证明：同性质一的证明思路，以C、D为圆心，CD为半径画两个弧交于F。
由于CF=DF，AB=FB（共边），所以三角形ACF与BDF是两个等边三角形，所以∠ACF=∠BDF，即θ=θ。
4. 性质三：等腰三角形的高线（从顶点到底边中点的垂直线）是等腰三角形的角平分线。
证明：在等腰三角形ABC中，连接顶点A和底边中点D，并作AD的垂直平分线DE。
由于AD=BD（等腰），∠EAD=∠EBD（定理），所以三角形ADE与BDE是两个全等三角形，所以∠DAE=∠DBE，即∠A/2=∠B/2。
二、等边三角形的性质1. 定义：等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
2. 性质一：等边三角形的三个内角都是60°。
证明：假设等边三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。
可以将等边三角形分为3个等腰三角形，以及3个等腰三角形的高线。
由等腰三角形的性质可知，等边三角形的3个内角分别为2∠A、2∠B和2∠C。
又由于三个内角之和为180°，所以2∠A+2∠B+2∠C=180°。
化简得∠A+∠B+∠C=60°。
3. 性质二：等边三角形的高线、中线和角平分线重合，且交于三角形的重心。
小学奥数系列训练题-几何计数｜通用版
2015年小学奥数计数专题——几何计数1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?8．图中共有多少个三角形?9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?11．在图中，共有多少个不同的三角形?12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?16．数一数下列图形中各有多少条线段.17．数出下图中总共有多少个角.18．数一数下图中总共有多少个角？19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？20．如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？21．如右图中，共有多少个角？22．在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少? 37421812523．由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。
初中奥数讲义_等腰三角形的判定附答案
等腰三角形的判定由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等，实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形；2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；4．用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．例题求解【例1】如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是 cm．(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为60°，利用60°构造等边三角形是解本例的关键．注证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：(1)若两线段属于两个三角形，则考虑证对应的三角形全等；(2)若两线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；(3)寻找中间线段，通过等量代换证明．类似的，我们可以对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结．不同形状的几何图形之间可互相转化，向外补形与对内分割是基本的两种转化方式．【例2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P点有( )A．2个 B．4个 C．6个 D．8个(江苏省竞赛题)思路点拨 AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作为等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条件的P点的个数．【例3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB十BD＝CD．(天津市竞赛题)思路点拨如何利用条件∠B=2∠C?又怎样得到AB+BD?不同的思考方向，会找到解题的不同方法．【例4】如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF是等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)．(荆门市中考题)思路点拨图甲中有多对全等三角形，这是解(1)、(2)问的基础．注若仅将题中的条件∠A＝30°改为∠A=45°，则符合条件的点有几个?若将题中的条件∠A=30°，改为∠A ≠30°，∠A ≠45°，则符合条件的P 点有几个?请读者思考． 分折法(执果溯因)，综合法(由因导果)是两种最基本的分析方法． 处理题设条件中的“两倍角”的基本途径是：(1) 向外构造等腰三角形； (2)对内作角平分线．【例5】 如图，在五边形ABCDE 中，∠B ＝∠E ，∠C=∠D ，BC=DE ，M 为CD 中点，求证：AM ⊥CD ． (武汉市选拔赛试题)思路点拨 证明∠AMC=90°或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键．学历训练1．如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于O 点．作MN ∥BC ，EF ∥AB ，GH ∥AC ，BC ＝a ，AC=b ，AB ＝c ，则△GMO 周长+△ENO 的周长－△FHO 的周长 ．2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠B=36°，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD ，则图中等腰三角形共有 个．3．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD=AC ，则∠D ：∠C 的值= ． （“五羊杯”竞赛题）4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=21∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上) (2002午天津市中考题)5．如图，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于( ) A．58° B．32° C．36° D．34°6．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，则AC与2AB之间的关系是( )A．AC>2AB B．AC＝2AB C．AC≤2AB D．AC<2AB(山东省竞赛题)7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( )A．30° B．30°或150°C． 120°或150° D．30°或120°或150°(“希望杯”邀请赛试题)8．在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( )A．只有一个且为等腰三角形B．至少有两个且都为等腰三角形C．只有一个但不是等腰三角形D．至少有两个，其中有非等腰三角形9．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系．(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论． (广东省中考题)10．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．11．如图，已知等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使得AD=AE ，作等边三角形PCD ，QAE 和RAB ，求证：P 、Q 、R 是等边三角形的三个顶点． 12．在△ABC 中，AB=AC ，高线AD=21BC ，AE 为∠BAC 的平分线，则∠CAD 的度数为 ． (北京市竞赛题)13．如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，则∠A= ．14．如图，四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC ，CD 的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，则∠ABC= ，∠ADC= ． (天津市竞赛题)15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度． (江苏省竞赛题)16．在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( )A ．1个B ．4个C ．7个D ．10个 17．如图，在五边形ABCDE 中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=21DC=21DE ，则∠D ＝（ ） A ．30° B ．450° C ． 60° D ．67．5°18．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 内一点，则( )A ．PA+PB+PC<AB+ACB ． PA+PB+PC>AB+ACC ．PA+PB+PC=AB+ACD ．PA+PB+PC 与AB+AC 的大小关系不确定，与P 点位置有关19．如图，在△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠AB C 的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP ． (2002年全国初中数学竞赛矗)20，如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC>60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一21∠BDC ，求证：AC=BD+DC ． (天津市竞赛题)21．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB ＝AC ，D 是△ABC 内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD ＝BA ． 22．在平面内确定四点，连接每两点，使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，且每两点之间函线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种?画图说明． (潍坊市中考题)23．（1）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC ．(2) 如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PD+PC ≥BD ． (江苏省竞赛题)24．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．(1)E、F移动时，△BEF的形状如何?(2)求△BEF面积的最小值．。
小学奥数：几何图形的认识.专项练习及答案解析
本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．（1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．（2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．（3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．（4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸（5）两条直线相交： 两条直线相交，只有一个交点．（6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．（7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．（8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角． 锐角比直角小，钝角比直角大．（9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．边边顶点直角锐角钝角知识点拨（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边．（11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．（12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．（13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．（14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角．（15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．（16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．（17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．顶角顶角边边角角角顶角边直角边斜边直角边腰腰底直角边直角边斜边腰腰底边边边角角角（18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．（19）菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等．（20）圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．（21）扇形：（22）长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．（23）正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．（24）圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．（25）圆锥：圆锥的底面是圆．（26）棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱． 腰腰下底上底半径直径半圆直径弧半径半径高宽长底面底面（27）棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．底面（28）三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．（29）球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．例题精讲模块一、几何图形的认识【例 1】请看下图，共有个圆圈。
等边三角形与等腰三角形
等边三角形与等腰三角形等边三角形和等腰三角形是几何学中常见的两种特殊三角形。
它们具有独特的性质和特点，对于几何学的研究和应用都具有重要意义。
本文将从定义、性质、示例等方面探讨等边三角形与等腰三角形的关系和区别。
一、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三个边都相等的三角形。
根据等边三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 三条边相等：在等边三角形中，三条边的长度相等，即AB = BC = CA。
2. 三个内角相等：由于等边三角形的三边相等，按照三角形内角和定理可知，等边三角形的三个内角相等，均为60度。
3. 三个外角相等：等边三角形的三个外角相等，均为120度。
4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为对称轴，可以得到完全相同的图形。
二、等腰三角形的定义与性质等腰三角形是指两边边长相等的三角形。
我们可以从以下角度了解等腰三角形的定义和性质：1. 两边相等：在等腰三角形中，两个边的长度相等，即AB = AC。
2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边所对的角）相等，可表示为∠B = ∠C。
3. 对称轴：等腰三角形中线对称轴是指通过顶点和底边的中点构成的直线。
等腰三角形具有一条中线对称轴。
4. 高度：等腰三角形的高边是底边的中线，高度刚好将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
三、等边三角形和等腰三角形的关系与区别1. 关系：等边三角形是等腰三角形中的一种特殊情况，即所有等边三角形也是等腰三角形，但不是所有等腰三角形都是等边三角形。
2. 区别：等边三角形的三边边长均相等，而等腰三角形只有两边边长相等；等边三角形的三个内角均相等为60度，而等腰三角形两个底角相等；等边三角形具有三个外角均相等为120度，而等腰三角形没有特定的外角性质。
四、示例1. 等边三角形示例：图1展示了一个等边三角形ABC，其中AB = BC = CA。
[图片]2. 等腰三角形示例：图2展示了一个等腰三角形DEF，其中DE = DF，且∠D = ∠E。
等腰三角形和等边三角形
等腰三角形和等边三角形在我们的数学世界里，三角形可是一群非常有趣的小伙伴！今天咱们就来好好聊聊等腰三角形和等边三角形这两位特别的“朋友”。
先来说说等腰三角形吧。
记得有一次，我在公园里散步，看到一个卖风筝的小摊。
其中有一个风筝的形状特别像等腰三角形。
摊主正在给一个小朋友介绍这个风筝，说它两边的骨架长度相等，所以飞起来特别稳定。
我在旁边听着，心里想，这可不就是我们数学里的等腰三角形嘛！等腰三角形呢，它有两条边长度相等，这两条相等的边叫做腰，另一条边就叫做底边。
而且呀，等腰三角形的两个底角也是相等的哟。
比如说，如果一个等腰三角形的顶角是 80 度，那通过计算（180 80）÷ 2 ＝ 50 度，就能知道两个底角都是 50 度。
咱们再来说说等边三角形。
有一回，我路过一个建筑工地，看到工人们正在搭建脚手架，其中有一部分的结构居然是等边三角形。
我就站在那儿观察了一会儿，发现等边三角形的三条边长度都相等，看起来特别规整。
等边三角形可厉害了，它不仅三条边长度相等，三个角也都是 60 度。
想象一下，一个三角形的三个角都一样大，是不是感觉特别和谐、特别稳定？在实际生活中，等腰三角形和等边三角形的应用可多了去了。
比如，一些屋顶的设计会采用等腰三角形的结构，这样既美观又能保证排水的顺畅；还有一些道路上的交通标志，也是等边三角形的形状，特别醒目，能引起司机们的注意。
在数学的学习中，我们要学会通过观察和测量来判断一个三角形是等腰三角形还是等边三角形。
比如说，给你一个三角形，你可以用尺子量一量它的三条边，如果有两条边长度相等，那它就是等腰三角形；如果三条边都相等，那它就是等边三角形。
而且，我们还可以通过已知的角度来判断。
如果一个三角形有两个角相等，那它肯定是等腰三角形；要是三个角都相等，那毫无疑问就是等边三角形啦。
同学们，等腰三角形和等边三角形虽然看起来简单，但它们在数学中可是有着重要的地位呢！咱们可不能小瞧了它们，要认真学习，掌握好它们的特点和性质，这样在解决数学问题的时候就能游刃有余啦！就像我们在生活中遇到各种各样的问题，只要我们像了解等腰三角形和等边三角形一样，仔细观察、认真分析，就能找到解决问题的办法。
小学奥数教程：三角形(一)全国通用(含答案)
小学奥数教程：三角形(一)全国通用(含答案)一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，每两条线段之间都有一个角。
二、三角形的分类根据边长关系，三角形可以分为以下几类：1. 等边三角形：三条边的长度都相等。
等边三角形：三条边的长度都相等。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等，另一条边的长度不等。
等腰三角形：两条边的长度相等，另一条边的长度不等。
3. 直角三角形：其中一个角为直角，即90度。
直角三角形：其中一个角为直角，即90度。
4. 锐角三角形：三个角都是锐角，即小于90度的角。
锐角三角形：三个角都是锐角，即小于90度的角。
5. 钝角三角形：其中一个角是钝角，即大于90度的角。
钝角三角形：其中一个角是钝角，即大于90度的角。
三、三角形的性质三角形有一些特点和性质：1. 内角和：三角形的内角和等于180度。
内角和：三角形的内角和等于180度。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度。
外角和：三角形的外角和等于360度。
3. 角平分线：三角形的内角的平分线相交于三角形的内心。
角平分线：三角形的内角的平分线相交于三角形的内心。
4. 中线：三角形的三条中线相交于三角形的重心。
中线：三角形的三条中线相交于三角形的重心。
5. 高线：三角形的三条高线相交于三角形的垂心。
高线：三角形的三条高线相交于三角形的垂心。
四、三角形的计算计算三角形的面积和周长时，可以根据不同类型的三角形采用不同的方法：1. 等边三角形：面积和周长可以直接计算。
等边三角形：面积和周长可以直接计算。
2. 等腰三角形：根据底边和腰的长度计算面积和周长。
等腰三角形：根据底边和腰的长度计算面积和周长。
3. 直角三角形：使用勾股定理和正弦、余弦、正切等三角函数计算面积和周长。
直角三角形：使用勾股定理和正弦、余弦、正切等三角函数计算面积和周长。
4. 一般三角形：使用海伦公式计算面积，根据边长计算周长。
一般三角形：使用海伦公式计算面积，根据边长计算周长。
等腰三角形的判定和等边三角形
等腰三角形的判定和等边三角形在数学的奇妙世界中，三角形家族里有两个特别的成员：等腰三角形和等边三角形。
它们有着独特的性质和判定方法，让我们一同来深入探索。
首先，咱们来聊聊等腰三角形的判定。
如果一个三角形中有两条边相等，那么它就是等腰三角形。
这是最直观，也是最基本的判定方法。
比如说，一个三角形的两条边长度分别是 5 厘米和 5 厘米，那毫无疑问，它就是等腰三角形。
还有一种判定方法是通过角来判断。
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形。
比如说，在一个三角形中，有两个角都是 60 度，那么这两个角所对的边必然相等，这个三角形就是等腰三角形。
那等腰三角形都有哪些重要的性质呢？等腰三角形的两腰相等，这是它名字的由来。
而且，等腰三角形的两底角相等。
比如说，一个等腰三角形的顶角是 80 度，那么两个底角的和就是 180 度减去 80 度，等于 100 度，因为两底角相等，所以每个底角就是 50 度。
等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，这被称为“三线合一”。
这可是个非常有用的性质，在解决很多与等腰三角形相关的问题时都能派上大用场。
接下来，咱们再把目光转向等边三角形。
等边三角形其实是一种特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，三个角也都相等，并且每个角都是 60 度。
那怎么判定一个三角形是等边三角形呢？如果一个三角形的三条边都相等，那它肯定就是等边三角形，这是最简单直接的判定方法。
还有，如果一个三角形的三个角都相等，那么它也是等边三角形。
因为三角形的内角和是 180 度，三个角都相等，那每个角必然是 60 度，这样的三角形就是等边三角形。
另外，如果一个三角形是等腰三角形，并且其中一个角是 60 度，那么这个等腰三角形就是等边三角形。
等边三角形也有很多独特的性质。
由于三条边相等，三个角相等且都是 60 度，所以它具有非常好的对称性。
而且，等边三角形的内角平分线、中线和高都是重合的，并且它们的长度也相等。
20六年级奥数题：三角形与组合三角形面积
20六年级奥数题：三角形与组合三角形
面积
题目一
求以下三角形的面积：
1.一个边长为10cm的等边三角形。
2.一个底边长为6cm，高为8cm的直角三角形。
3.一个底边为12cm，高为9cm的等腰三角形。
解答一
1.等边三角形的面积可以用以下公式计算：$S =
\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$，其中$a$为边长。
代入数据得：
S = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} \approx 43.3cm^2$。
2.直角三角形的面积可以用以下公式计算：$S = \frac{1}{2}bh$，其中$b$为底边长，$h$为高。
代入数据得：
S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24cm^2$。
3.等腰三角形的面积可以用以下公式计算：$S = \frac{1}{2}bh$，其中$b$为底边长，$h$为高。
代入数据得：
S = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54cm^2$。
题目二
有一个由5个长度为4cm的小正方形组成的大正方形，求大正
方形的边长和面积。
解答二
每个小正方形的边长为4cm，所以大正方形的边长为$4 \times
\sqrt{5} \approx 8.94cm$。
大正方形的面积可以用以下公式计算：$S = a^2$，其中$a$为
边长。
代入数据得：
S = (4 \times \sqrt{5})^2 \approx 79.8cm^2$。
以上是关于三角形和组合三角形面积的题目和解答。
希望能帮
到你！。
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形与等边三角形等腰三角形和等边三角形是几何学中的两个重要概念。
虽然它们都属于三角形，但它们在形状和性质上有着明显的区别。
本文将就等腰三角形和等边三角形的定义、性质以及应用进行详细讨论。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指有两边长度相等的三角形。
根据定义，等腰三角形的两边也就是两条腰的长度相等，而第三边即底边则可以不相等。
等腰三角形的特点在于它的两个底角（非腰对角）相等。
这是因为等腰三角形的两个腰分别对应两个底边，根据三角形内角和定理可知，两个底角相等。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的两个底角相等。
2. 等腰三角形的两条腰相等。
3. 等腰三角形的底边与两腰之间的夹角是一个固定值。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出一些重要的推论：1. 等腰三角形的底边中线与底边相等，且与腰重合。
2. 等腰三角形的高线也等于底边中线。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学和实际生活中具有广泛的应用。
1. 锐角等腰三角形可以用于建筑和工程中的角度测量。
2. 钝角等腰三角形用于制作标志和告示牌上的角度设计。
3. 等腰三角形在图形设计中常被用于创造具有对称美感的形状。
四、等边三角形的定义等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
根据定义，等边三角形的三个内角也相等，每个角都是60度。
五、等边三角形的性质1. 等边三角形的三个边相等。
2. 等边三角形的三个内角都是60度。
3. 等边三角形的高、中线、角平分线都重合。
六、等边三角形的应用等边三角形有许多有趣的应用，下面介绍几个常见的例子：1. 等边三角形广泛应用于建筑和设计中，它代表了均衡和稳定。
2. 在科学研究中，等边三角形用于地质勘探、测量和计算等方面。
3. 等边三角形被广泛应用于旗帜和标识中，例如国旗和组织标志。
综上所述，等腰三角形和等边三角形作为几何学中的两个重要概念，它们在形状和性质上有明显的差异。
等腰三角形的两边相等，而等边三角形的三边均相等。
等腰三角形的两个底角相等，而等边三角形的每个内角都是60度。
小学四年级的数学三角形与其他奥数题.doc
(一)、填空1. 等腰三角形的两条边 ( )，它是()图形，有()条对称轴；等边三角形的 ( )相等，每个角都是()度，它是()图形，有( )条对称轴。
2.两条边相等的三角形叫 ( ) 三角形，已知它的底角为 75°，那么顶角是 ( ) 度。
3.一个等腰三角形的一个底角是 45°，顶角是 ( ) 度，它又叫 ( )三角形。
4.任何一个三角形三个内角的和是 ( ) 度。
5.三角形的一个内角为45°，另一个内角是它的 2 倍，第三个内角是()度，这个三角形叫 ()三角形。
(二)、判断，对的打“√” ，错的打“×”6. ∠1=75°，∠ 2=20°，∠ 3=85°，能组成三角形。
( )7. ∠1=65°，∠ 2=76°，∠ 3=40°，不能组成三角形。
( )8. 三条边分别为 15 厘米、 7 厘米、 8 厘米。
能组成三角形。
( )9.三条边分别为 2.5 厘米、4.5 厘米、8 厘米。
不能组成三角形。
( )10. 一个三角形三条边的长度分别是 6 厘米、5 厘米、6 厘米，这个三角形是等腰三角形。
( )11.等腰三角形不可能是钝角三角形。
( )12.有两个角是锐角的三角形一定是锐角三角形。
( )13.等边三角形是等腰三角形，等腰三角形也是等边三角形。
()(三)、等腰三角形的一个底角是75°，顶角是多少度 ?( 四) 、画出下面三角形底边上的高。
2.在一个等腰三角形中，底角的度数是顶角的 2 倍，求顶角和底角的度数。
3.计算9999 ×2222＋3333 ×3334 （用简便计算）4、父亲 45 岁，儿子23 岁。
问几年前父亲年龄是儿子的 2 倍5.求 1 至 100 内所有不能被 5 或 9 整除的整数和。
,这样计算了 4 次 ,得到下6.A 、B 、C 、D 四个数 ,每次去掉一个数, 将其余下的三个数求平均数面 4 个数 .23, 26, 30, 33A、 B、 C、 D 4 个数的平均数是多少7.甲、乙两桶油共重 30 千克，如果把甲桶中 6 千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油。
讲义等腰三角形与等边三角形
一.填空
1.角的对称轴有____________条，是它的____________。
2.如图，射线OC平分∠AOB，E为射线OC上一点，ED⊥OA，EF⊥OB，则有____________，因为____________。
3.等腰三角形两边长分别为4cm，6cm，则第三边为____________。
二、知识回顾
（一）上次学案知识点考查：□无，□有，见以下
1.下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角
B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角
D．已知三边
2．如图，在△ABC中，AD=DE，
AB=BE，∠A=80°，则∠CED=_____
3．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC
8.如图，等边△ABD和等边△CBD的边长均为5，现把它们拼接起来，E为AD上不同A、D的一动点，F为CD上一动点，满足AE+CF=5，试判断△BEF的形状．
练习
作业
1、课堂练习：□无，□有（题号是）：
2、课后作业：□无，□有（题号是）：
（要求：此二项总体至少认真完成三分之二或以上）
知识
复习
1、本次学案知识点复习：□无，□有（见学案中）
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三三角形。
6、等腰直角三角形的性质：顶角等于90°，底角等于45°，两直角边相等
7、等腰直角三角形的判定：
（1）顶角为90°的等腰三角形。底角为45°的等腰三角形。
8、含30°角的直角三角形的重要结论：
的周长为23cm，BC=4cm，则△DEF的边中
必有一条边等于______．
八年级奥数：等腰三角形的性质
八年级奥数：等腰三角形的性质等腰三角形的性质解读课标两边（角）相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是一类特殊三角形，具有以下丰富的性质：等腰三角形的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合；特别地，等边三角形的各边相等、各角都为60°．等腰三角形的性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．熟悉以下基本图形、基本结论：问题解决例1 已知等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上一点，连结AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，则∠C 的度数是__________．例2 如图，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB 上，且AB =AC ．BC =BD ，AD =DE =BE ，则∠A 的度数为（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°例3 如图，在△ABC 中，已知∠A =90°，AB =AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ．求证： ∠ADB =∠CDF ．例4 如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE =BD ．求证：BD 是∠ABC 的角平分线． 12例5 操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连结MN．数学冲浪知识技能广场1．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____________．2．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C= _________．3．如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH ，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管____根．4．如图，在△ABC中，∠BAC=120°,AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，那∠C的度数是______．5．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC的大小等于__________度．6．一如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）．A．①②③ 8．①②④ C．②③④ D．①③④7．如图，△ABC 中，AB =AC ，AE =AD ，∠BAD =，则∠EDC =（ ）．A ．B ．C ．D ． 8．在等腰△ABC 中，AB =AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分成15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）．A ．7 8．11 C ．7或11 D ．7或109．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =AE ，BC =BF ，则∠ECF =（ ）．A ．60．B ．45．C ．30．D ．不确定10．如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ）．A ．AC >2AB B ．AC =2AB C ．AC ≤2ABD ．AC <2AB11．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC 的其他边上．请在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形各不相同，并在图中标明所画等腰三角形的腰长（不要求尺规作图）．12．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转角（0°<<90°），得到△A 1B 1C ，连结BB 1，设B 1C 交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于E 、F ．（1）在图中不再添加任何线段的情况下，请你找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC ≌△A 1B 1C 除外）．（2）当△BB 1D 是等腰三角形时，求．13．已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，D 为AB 边的中点，∠EDF =90°，将∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图①），易证S △DEF +S △CEF =△ABC ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF 、S △CEF 、S △ABC ．又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明． α12α13α14α23αααα12思想方法天地14．如图，在△ABC 中，AB =BC ，在BC 上取点M ，在MC 上取点N ，使MN =NA ，若∠BAM =∠NAC ，则∠MAC =_______________．15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为____________度．16．已知△ABC 的某两个内角的比是4：7，且AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，则∠EBD 的大小是_____________． 117．如图，AA ’、BB ’分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线，若AA ’=BB ’=AB ，则∠BAC 的度数为__________．18．在平面直角坐标系中，已知点A （3， 3），P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有（ ）个． ．A ．2B ．3C ．4D ．519．如图，在△ABC 中，已知AC =BC ，∠ACB =90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别为AC 、BC 上一点，且ED ⊥DF ，EM ⊥AB 于M ，FN ⊥AB 于N ，下列结论：①DE =DF ；②CE +CF =AC ；③S 四边形CEDF =S △ABC ；④EM +FN =AB ．其中正确的有（ ）． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．①②③④20．如图，在等腰Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为（ ）．A ．∠AED >∠AGFB ．∠AED =∠AGFC ．∠AED <∠AGF D ．不能确定21．如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，DC =BC ，求∠ADC +∠ABC 的值．121222．如图，AE 、AD 是直线且AB =BC =CD =DE =EF =FG =GA ，若∠DAE =，求的值．应用探究乐园23．一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36°，求原三角形最大内角的所有可能值．24．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段同侧作△ACD 和△BCE ，且CA =CD ，CB =CE ，∠ACD =∠BCE ，直线AE 与BD 交于点F ．（1）如图①，若∠ACD =60°，则∠AFB =____________；如图②，若∠ACD =90°，则∠AFB =___________；如图③，若∠ACD =120°，则∠AFB =____________；（2）如图④，若∠ACD =，则∠AFB =_______________（用含的式子表示）；（3）将图④中的∠ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度，如图⑤；试探究∠AFB 与的数量关系，并予以证明．ααααα。
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第十讲 等腰三角形和等边三角形
一、 基础知识
1．等腰三角形的性质及推论：
（1） 等腰三角形的两底角相等
（2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
（3） 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于︒60
2．等腰三角形的判定及推论：
（1）从定义入手，证明一个三角形的两条边相等
（2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等
（3）有一个角为︒60的等腰三角形是等边三角形
尤其要注意全等在等腰、等边三角形中的应用.
二、名校真题回放
1．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)如图，在△ABC 中，AC AB =，
它的周长为24，又BC AD ⊥于D ，△ABD 的周长为20，则AD 的长为多少？
解答：8
2．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)在等边三角形ABC 中，E D ,分
别在边AC BC ,上，AE DC =,F BE AD 交于点,.请你判断ABE DAC ∠∠和的大小关系，并证明你的结论.
解答：ABE DAC ∠=∠
3．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)已知：如图，△ABC 中，
AC AB =，D 为AC 上一点，A DBC ∠=∠2
1.求证：BD AC ⊥ 解答：利用三角形内角和.
4．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)已知△ABC 的三边c b a ,,满足
等式：02222=-+-bc ab c a ，试说明△ABC 是等腰三角形.
解答：0)2)((=++-b c a c a
5. （2006年海淀区八年级第一学期期末测评）如图为一张梯形纸片
ABCD ,AD ∥BC ,︒=∠90BDC .将其沿对角线BD 翻折后压
平，AD 和'BC 相交于点E ，则图中的等腰三角形有
__________________,_________________（只写出两个正确结论）
解答：△BED ，△'BCC 等等.
三、活题巧解
（一）等腰三角形的性质
例1．（2001年湖州市中考题）如图，在△ABC 中，BC AC C =︒=∠,90，AD
平分CAB ∠交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，若AB ＝6cm ，则△DEB 的周长是多
少？
解答：6cm
例2．（2002年上海市竞赛题）如图，BD AC ,相交于E ，AC 平分DAB ∠，
且AC AD AE AB ==,，有以下四个结论：（1）BD AC ⊥；（2）DE BC =；
（3）DAB DBC ∠=∠21；（4）△ABE 是等边三角形.其中正确的结论是什么？ 解答：（2）（3）
例3．(1996年连云港市中考题)在△ABC 中，AC AB =，P 为三角形内一点，
APC APB ∠<∠，则PBC ∠与PCB ∠的大小关系如何？
解答：作BAP CAQ ∠=∠，并使得AP AQ =，连接CQ ，得到PBC ∠<PCB ∠
例4．（第11届“希望杯”试题）如图，在△ABC 中，
︒=∠==60,4,2ACB BC AC ，将△ABC 折叠，使得点B 和点C 重
合，折痕为DE ，则△AEC 的面积是多少？
解答： 33
2 例5．（2004年洛阳市中考题）用一根长为a 米的线围成一个等边三角形，其面积为b 平方米，现在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三边的距离之和是多少米？
解答：
a
b 6米
例6．(1997年天津市竞赛题)如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，CD BD BDC =︒=∠,120，点N M ,分别在AC AB ,上，且
︒=∠60MDN ，连结MN ，求证：△AMN 的周长等于2.
解答：延长AC 至E ，使BM CE =，连结DE .先证△BMD ≌△CED ，
再证△MDN ≌△EDN .
例7．(2000年无锡市竞赛题)在△ABC 中，AC AB =，过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数.
解答：共有4种情况，其内角相应度数为
)7
540,7540,7180(
),72,72,36(),108,36,36(),90,45,45(︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒
（二）等腰三角形的判定
例8．(2002年泰州市中考题)如图，在△ABC 中，AC AB =，︒=∠36A ，CE
BD ,分别为ACB ABC ∠∠,的角平分线，且相交于F ，则图中的等腰三角形有几个？
解答：8个
例9．（2003年长春市中考题）在△ABC 中，C B ∠=∠2，则AC 与AB 2之间的大小关系是什么？ 解答：作D BC C CAD 于交∠=∠，得到AB AC 2<
例10．（1999年江苏省竞赛题）已知△ABC 是等边三角形，E
是AC 延长线上的任意一点，△CDE 也是等边三角形，若N
M ,分别是线段BE AD ,的中点，求证：△CMN 是等边三角形.
解答：先证△ACD ≌△BCE ，再证△DCM ≌△ECN ，得
到︒=∠=60,NCM CN CM
例11．（1996年北京市竞赛题）三角形三边长c b a ,,满足c b a c b a +-=+-1111，则三角形一定是（ ） A.等边三角形 B.以a 为底边的等腰三角形
C.以c 为底边的等腰三角形
D.等腰三角形
解答：把原式恒等变形，得到0))()((=+--c a b a c b ，故选D.
例12．（第3届“希望杯”试题）等腰三角形的周长为a ，一腰的中线将周长分成3:5的两部分，则此三角形的底边长是多少？
解答：分情况讨论，两种情况里舍去一种，解得底边长为a 6
1 例13．（2001年唐山市中考题）如图，在△ABC 中，AC AB =，D 为△ABC
外一点，,60︒=∠ABD BDC ADB ∠-
︒=∠2
190，则AB 与CD BD +的大小关系如何？
解答：延长CD 至E ，使BD DE =，连结AE .得到CD BD AB +=
例14．(1999年天津市竞赛题)如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中
线，E 是AD 上的一点，且AC BE =，延长BE 交AC 于F ，求证：
EF AF =
解答：延长ED 至H ，使DE DH =，连结CH .
四、练习
1．(第11届“希望杯”试题)若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，求底边的长. 解答：2或4
2．(2005年银川市中考题)如图，以直角三角形ABC 的两直角边BC
AB ,为一条边，分别作等边△ABE 和等边△BCF ，连接EC EF ,.求证：（1）
EC EF =；
（2）CF EB ⊥. 解答：证明△EBF ≌△EBC
3．（2001年柳州市中考题）如图，在等边△ABC 中，BE AD CD AE ,,=相交于P
点，AD BQ ⊥于Q .求证：PQ BP 2=.
解答：证明△ABE ≌△CAD
4．(第11届“希望杯”试题)一个三角形的三条边的长分别是c b a c b a ,,(,,都是质
数），且16=++c b a ，则这个三角形是（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.直角三角形或等腰三角形
解答：B
5．(2002年江苏省初二第二试)如图，在△ABC 中，︒=∠=90,ACB BC AC ，
D 是AC 上一点，BD A
E ⊥于E ，BE 交AC 于D ，BD AE 21=
，求证：BD 是ABC ∠的平分线.
解答：延长BC AE ,相交于F .。