奥数-等腰三角形和等边△-师

第十讲 等腰三角形和等边三角形

一、 基础知识

1．等腰三角形的性质及推论：

（1） 等腰三角形的两底角相等

（2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）

（3） 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于︒60

2．等腰三角形的判定及推论：

（1）从定义入手，证明一个三角形的两条边相等

（2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等

（3）有一个角为︒60的等腰三角形是等边三角形

尤其要注意全等在等腰、等边三角形中的应用.

二、名校真题回放

1．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)如图，在△ABC 中，AC AB =，

它的周长为24，又BC AD ⊥于D ，△ABD 的周长为20，则AD 的长为多少？

解答：8

2．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)在等边三角形ABC 中，E D ,分

别在边AC BC ,上，AE DC =,F BE AD 交于点,.请你判断ABE DAC ∠∠和的大小关系，并证明你的结论.

解答：ABE DAC ∠=∠

3．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)已知：如图，△ABC 中，

AC AB =，D 为AC 上一点，A DBC ∠=∠2

1.求证：BD AC ⊥ 解答：利用三角形内角和.

4．(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)已知△ABC 的三边c b a ,,满足

等式：02222=-+-bc ab c a ，试说明△ABC 是等腰三角形.

解答：0)2)((=++-b c a c a

5. （2006年海淀区八年级第一学期期末测评）如图为一张梯形纸片

ABCD ,AD ∥BC ,︒=∠90BDC .将其沿对角线BD 翻折后压

平，AD 和'BC 相交于点E ，则图中的等腰三角形有

__________________,_________________（只写出两个正确结论）

解答：△BED ，△'BCC 等等.

三、活题巧解

（一）等腰三角形的性质

例1．（2001年湖州市中考题）如图，在△ABC 中，BC AC C =︒=∠,90，AD

平分CAB ∠交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，若AB ＝6cm ，则△DEB 的周长是多

少？

解答：6cm

例2．（2002年上海市竞赛题）如图，BD AC ,相交于E ，AC 平分DAB ∠，

且AC AD AE AB ==,，有以下四个结论：（1）BD AC ⊥；（2）DE BC =；

（3）DAB DBC ∠=∠21；（4）△ABE 是等边三角形.其中正确的结论是什么？ 解答：（2）（3）

例3．(1996年连云港市中考题)在△ABC 中，AC AB =，P 为三角形内一点，

APC APB ∠<∠，则PBC ∠与PCB ∠的大小关系如何？

解答：作BAP CAQ ∠=∠，并使得AP AQ =，连接CQ ，得到PBC ∠

例4．（第11届“希望杯”试题）如图，在△ABC 中，

︒=∠==60,4,2ACB BC AC ，将△ABC 折叠，使得点B 和点C 重

合，折痕为DE ，则△AEC 的面积是多少？

解答： 33

2 例5．（2004年洛阳市中考题）用一根长为a 米的线围成一个等边三角形，其面积为b 平方米，现在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三边的距离之和是多少米？

解答：

a

b 6米

例6．(1997年天津市竞赛题)如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，CD BD BDC =︒=∠,120，点N M ,分别在AC AB ,上，且

︒=∠60MDN ，连结MN ，求证：△AMN 的周长等于2.

解答：延长AC 至E ，使BM CE =，连结DE .先证△BMD ≌△CED ，

再证△MDN ≌△EDN .

例7．(2000年无锡市竞赛题)在△ABC 中，AC AB =，过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数.

解答：共有4种情况，其内角相应度数为

)7

540,7540,7180(

),72,72,36(),108,36,36(),90,45,45(︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒

（二）等腰三角形的判定

例8．(2002年泰州市中考题)如图，在△ABC 中，AC AB =，︒=∠36A ，CE

BD ,分别为ACB ABC ∠∠,的角平分线，且相交于F ，则图中的等腰三角形有几个？

解答：8个

例9．（2003年长春市中考题）在△ABC 中，C B ∠=∠2，则AC 与AB 2之间的大小关系是什么？ 解答：作D BC C CAD 于交∠=∠，得到AB AC 2<

例10．（1999年江苏省竞赛题）已知△ABC 是等边三角形，E

是AC 延长线上的任意一点，△CDE 也是等边三角形，若N

M ,分别是线段BE AD ,的中点，求证：△CMN 是等边三角形.

解答：先证△ACD ≌△BCE ，再证△DCM ≌△ECN ，得

到︒=∠=60,NCM CN CM

例11．（1996年北京市竞赛题）三角形三边长c b a ,,满足c b a c b a +-=+-1111，则三角形一定是（ ） A.等边三角形 B.以a 为底边的等腰三角形

C.以c 为底边的等腰三角形

D.等腰三角形

解答：把原式恒等变形，得到0))()((=+--c a b a c b ，故选D.

例12．（第3届“希望杯”试题）等腰三角形的周长为a ，一腰的中线将周长分成3:5的两部分，则此三角形的底边长是多少？

解答：分情况讨论，两种情况里舍去一种，解得底边长为a 6

1 例13．（2001年唐山市中考题）如图，在△ABC 中，AC AB =，D 为△ABC

外一点，,60︒=∠ABD BDC ADB ∠-

︒=∠2

190，则AB 与CD BD +的大小关系如何？

解答：延长CD 至E ，使BD DE =，连结AE .得到CD BD AB +=

例14．(1999年天津市竞赛题)如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中

线，E 是AD 上的一点，且AC BE =，延长BE 交AC 于F ，求证：

EF AF =

解答：延长ED 至H ，使DE DH =，连结CH .