高考数学中的内切球和外接球问题

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高考数学中的内切球和

外接球问题

Document number:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高考数学中的内切球和外接球问题

一、有关外接球的问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ .

例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体积为______________.

2、求长方体的外接球的有关问题

例3一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为 .

例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,

体积为16,则这个球的表面积为().

A. 16π

B. 20π

C. 24π

D. 32π

3.求多面体的外接球的有关问题

例5一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为8

9,底面周长为3,则这个球的体积为 .

解 设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有

∴正六棱柱的底面圆的半径2

1=r ,球心到底面的距离2

3

=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积:3

3

4R V π=

. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.

二、构造法(补形法) 1、构造正方体

例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_______________.

例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 .

故其外接球的表面积ππ942==r S .

小结:一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为c b a ,,,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有

2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,则体对角线长为222c b a l ++=,几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即

2

2

22c b a R ++=

练习:在四面体ABCD 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为

3,6,1,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。球的

表面积为ππ1642==R S

例 6一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )

A. π3

B. π4

C. π33

D. π6 例7 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ,

ABC DA 平面⊥,BC AB ⊥,3===BC AB DA ,则球O 的体积等于 .

解析:本题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于ABC DA 平面⊥,BC AB ⊥,联想长方体中的相应线段关系,构造如图4所示的长方体,又因为

3===BC AB DA ,则此长方体为正方体,所以CD 长即为外接球的直径,

利用直角三角形解出3=CD .故球O 的体积等于π2

9.(如图4)

2、例8(2008年安徽高考题)已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上,

BCD AB 平面⊥,BC DC ⊥,若8,132,6===AD AC AB ,则球的体积是

解析:首先可联想到例7,构造下面的长方体,于是AD 为球的直径,O

为球心,4==OC OB 为半径,要求B 、C 两点间的球面距离,只要求出

A O C

B

O

BOC ∠即可,在ABC Rt ∆中,求出4=BC ,所以 60=∠BOC ,故B 、C 两点

间的球面距离是π3

4.(如图5)

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 三.多面体几何性质法

例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是

A.π16

B.π20

C.π24

D.π32.

小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

四.寻求轴截面圆半径法

例正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2,点D C B A S ,,,,都在同一球面上,则此球的体积为

解:设正四棱锥的底面中心为1O ,外接球的球心为

O ,如图1所示.∴由球的截面的性质,可得

ABCD OO 平面⊥1.

又ABCD SO 平面⊥1,∴球心O 必在1SO 所在的直线上.

∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就是外接球的半径.

在ASC ∆中,由222,2,2AC SC SA AC SC SA =+===得, ∴为斜边的直角三角形是以AC ASC ∆. ∴

12=AC 是外接圆的半径,也是外接球的半径.故π3

4

=球V . C

D A

B

S

O 1图3

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