3种车桥耦合振动分析模型的比较研究

型下系统的运动微分方程进行数值求解 , 并以直观的图形结果形式输出. 采用文献[ 5] 的桥梁数据以及文献 [ 7] 的车辆数据 . 简支梁: 跨长为 l = 16 m ; 单位长度质量为 m = 9. 36 103 kg/ m ; 抗弯刚度为 EI = 2. 05 1010 N m 2. 质量块模型 : m 1 = 47 160 kg . 四分之一车模型中 : m t = 8 106 N/ m; c a = 1. 96 105 kg/ s ; cb = 3. 82
175
图 6 二分一车模型下的跨中位移响应 Fig. 6 Mid - span displacement of 1/ 2 vehiclewk.baidu.commodel
+ c b2 ( y b - y t2 +
a a ) + k b2 y b - y t2 + 2 2 +
= 0
a + k b1 y b - y t1 - 2 a 2 = 0.
+ k b2 y b - y t2 +
2
算例分析
用 MATLAB 编制了基于 Ruge - Kutta 法 ode45( ) 内部函数的二次开发函数. 运用所编制的程序对不同模
第 39 卷 第 2 期 2004 年 4 月
西 南 交 通 大 学 学 报 JOURNAL OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
Vol. 39 No. 2 Apr. 2004
文章编号 : 0258 - 2724( 2004) 02 - 0172 - 04
3 种车桥耦合振动分析模型的比较研究
2 m1g n vt sin ml l sin k vt T k( t) , l
图 1 移动质量模型作用下的简支梁 Fig. 1 Moving mass model
2 m1g n vt sin ml l 其中 n = n EI / ( l m ) . 1. 2 四分之一车模型
2 4 4 4
k= 1
如图 2 所示, 车辆简化为两系的弹簧 - 阻尼 - 质量系统 图中: m b 为车体质量; m t 为构架质量与轮对质量之和; k a 为一 系垂向刚度; c a 为一系垂向阻尼; k b 为二系垂向刚度; c b 为二 系垂向阻尼 ; v 为车辆通过桥梁时的速度 ( 为恒量 ) . 运用达朗贝 尔原理, 分别得到整车和车体质量块振动方程式如下: mt d yt d yb dy t d y w + + k a( y t + w ) = 0, 2 + mb 2 + ca dt dt dt dt d2 y b dy b dy t mb 2 + c b + k b( y b - y t ) = 0. dt dt dt 采用分离变量法 , 令 w ( x , t ) = n x n ( x ) T n ( t ) . 根据简支梁
图 4 移动质量模型下的跨中位移响应 Fig. 4 Mid - span displacement in moving mass model
图 5 四分一车模型下的跨中位移响应 Fig. 5 Mid - span displacement in 1/ 4 vehicle model
第 2期
肖新标等 : 3 种车桥耦合振动分析模型的比较研究
[ 15]
. 但是, 由于同时考虑移动车辆
和桥梁荷载两者质量的振动微分方程带有变系数 , 给方程的求解带来了很大的困难 , 以往的研究中采用过 许多不同的车辆模型来对问题进行求解 . 为了揭示不同车辆模型对研究车桥耦合问题的影响, 本文中对采用 3 种不同车辆模型 移动质量、 四分之一车模型和二分之一车模型的车桥耦合问题进行对比分析 , 编制了基于 Ruge - Kutta 法的 MATLAB 二次开发函数, 对不同车模型下系统的运动微分方程进行了数值求解 . 先从反映整体规律方面考察各个模 型的适用性, 再比较各种模型的区别.
Comparison of Three Models for Vehicle - Bridge Coupled Vibration Analysis
XIAO Xin -biao , SHEN Huo -ming
( Dept. of Appl. Mechanics and Eng. , Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)
[ 6]
dT n ( t ) + dt 2
2 nT n (
t) =
2p 1( t ) sin n ( vt - a) ml l
1(
t) +
图3 二分之一车模型作用下的简支梁 Fig. 3 1/ 2 vehicle model
2p 2 ( t ) n vt sin ( t) , ml l 2 其中 :
106 kg m2 ; a = 8. 4 m , k a1 = k a2 =
10 N/ m , k b1 = k b2 = 2. 535 10 N/ m; ca1 = c a2 = 9. 8 10 kg/ s; c b1 = c b2 = 1. 96 10 kg/ s. 图 4~ 图 6 给出了不同车辆模型对应不同移动速度时桥梁跨中的动态响应 . 图 7 给出了不同车辆模型
.
174
西
南
交
通
大
学
学
报
第 39 卷
a a m t1 y t1 + c a1 ( y t1 + w 1 ) + k a1 ( y t1 + w 1 ) + c b1 ( y t1 - y b + 2 ) + k b1 ( y t1 - y b + 2 ) = 0, m t2 y t2 + c a2 ( y t2 + w 2) + k a2 ( y t2 + w 2 ) + c b2 ( y t2 - y b 其中 : w1 =
1
1. 1
模型建立
移动质量模型 如图 1 所示简支梁, 长度为 l , 单位长度质量为 m, 抗弯刚度为 EI , 由均质各向同性材料做成, 采用贝
努利- 欧拉梁模型 , 不考虑剪切变形和转动惯量的影响. 简支梁受到一个质量为 m 1 且以一恒定速度 v 移
收稿日期 : 2002 - 06 -20 作者简介 : 肖新标 ( 1978- ) , 男 , 硕 士研究生 .
第 2期
肖新标等 : 3 种车桥耦合振动分析模型的比较研究
173
动的荷载的作用. 根据贝努利- 欧拉梁假设, 利用分离变 量法 , 假设桥梁挠度为 w ( x, t ) = 统的振动微分方程为 [ 1] T n( t ) +
2 nTn (
n
x n ( x ) T n ( t ) , 得到系
t) =
肖新标, 沈火明
( 西南交通大学应用力学与工程系 , 四川 成都 610031) 摘 要 : 应用达朗贝尔原理和欧拉 - 贝努利梁假设 , 推导 了简支 梁在移 动质量、 四分 之一车 模型和 二分之 一车模 型 3 种不同车辆 模型下的车桥耦合振 动方程 , 比较了在不同速度 下的桥梁动态响应 . 结果表明 , 3 种车辆模型都 可以 反映出在移动荷载作用下车桥耦合振动的总体规律 , 但考虑车体弹簧和阻尼的影响能更充分体现 车桥耦合 效应 . 关键词 : 振动 ; 车桥耦合振动 ; Ruge - Kutta 法 中图分类号 : O327. 文献标识码 : A
2 2
的边界条件 , 取 X n ( x ) = sin( n x / l ) , 并根据主振型的正交性,
得到桥梁系统的振动方程式 图 2 四分之一车模型作用下的 简支梁 2 Fig. 2 1/ 4 vehicle model 2( m t + m b ) g 2 vt 2 m t dy t n vt 2 m b d y b n vt + nT n = sin + + , 2 sin 2 sin ml l ml d t l ml d t l 1. 3 二分之一车模型 如图 3 所示, 车辆简化为两系的弹簧- 阻尼 - 质量系统. 图中 : m b 为车体质量; I b 为车体的点 头刚度; m t 为构架质 量与轮对质量之和; k a 为一系 垂向刚度; c a 为一系垂向阻 尼; k b 为二系垂向刚度 ; c b 为二系垂向阻尼 ; v 为车辆通过 桥梁时 的速度 ( 为一恒 量 ) . 则 桥梁系 统的 振动 微分方 程 为
Abstract: Three models for vehicle - bridge coupled vibrations, namely moving mass model, two - degree - of freedom vehicle model and four - degree -of freedom vehicle model, were derived using the D Alembert s principle and the hypothesis of Euler -Bernulli beam. The dynamic responses of bridges to the vehicle moving at different speeds were analyzed with the models. The results show that all the three models can reasonably determine the bridge vibrations under moving loads. However, more accurate results can be obtained with the last two models taking the springs and damping properties of vehicles into accunt. Key words: vibration; coupling vibrat ion of vehicle - bridge; Ruge -Kutta method 早在 100 多年前 , 英国铁路桥梁在列车通过时发生强烈振动而破坏, 提出了移动荷载作用下的车桥耦 合振动问题 . 自此, 移动荷载问题引起了各国学者的关注与广泛性研究
4 5
660 kg ; m b = 38 500 kg ; k a= 8. 56 106 N/ m ; k b = 5. 07 4. 28
6 6
105 kg/ s. 二
分之 一车模 型中 : m t1 = m t2 = 4 330 kg ; m b = 38 500 kg ; I b = 2. 446
1(
t) =
1, 0,
a v 其它,
t
l + a; v
2(
t) =
1, 0,
0
t
l; v
其它 .
由对车辆系统的受力分析 , 得 mb ms Ib p 1 ( t ) = m a1 g + 2 g + m a1 y t1 + 2 y b - a mb mb Ib p 2 ( t ) = m t2 g + g + m t2 y t2 + y + 2 2 b a 由转向架进行受力分析, 得
下速度对桥梁最大挠度的影响规律 . 从对图形结果的分析可知, 采用不同车辆模型都能够反映处移动荷载 作用下车桥耦合振动的基本规律. 用 3 种不同车辆模型来研究车桥耦合振动都能体现出的总体规律为: ( 1) 都能体现动态位移响应曲线的波动规律 . ( 2) 动态响应的波动随着车辆速度的提高而有所减缓. ( 3) 桥梁最大动挠度发生在车辆位于跨中前后. ( 4) 桥梁跨中的最大挠度并不是随着车辆速度的增大而线性增加. 在细节方面 , 不同车辆模型之间存在如下差别 : ( 1) 考虑了车体弹簧、 阻尼的影响后 , 桥梁跨中位移响应的波动加剧. 这是由于弹簧、 阻尼系统增强了 车桥之间的耦合效应 , 使得桥梁的位移响应变得更加复杂.
n
a a ) + k b21 ( y t2 - y b ) = 0, 2 2 X n ( vt ) T n ( t ) .
n
X n ( vt - a) T n ( t ) ;
w2 =
对车体进行受力分析 , 得 a a m b y b + c b1 y b - y t1 + k b1 y b - y t1 2 2 a a I b - 2 c b1 y b - y t1 - 2 a a c y - y t2 + 2 b2 b 2