现代控制理论 复习要点

第二章 控制系统的状态空间描述

小结

一、建模：状态空间描述（现代控制：内部描述）

1、对象：① 线性时不变系统；② 离散时间系统；③ 时变系统；④ 非线性系统。

2、模型形式（状态空间表达式）：

① 一阶微分方程组（一阶差分方程组）；② 向量-矩阵形式；

③ 系统方框图；④ 状态变量图。

3.方法（途径）：

①（已知）系统机理→（求）状态空间表达式；

②（已知）输入输出描述（经典控制：外部描述）−−−−

−→实现问题（求）状态空间表达式（现代控制：内部描述）

a 、（已知）方块图→（求）状态空间表达式；

方块图−−−−−→无零点惯性环节

有零点惯性环节

二阶振荡环节

状态变量图−−−−−−−−−→将积分器的输出作为状态变量状态空间描述 b 、（已知）传递函数阵/高阶微分方程（脉冲传递函数阵/高阶差分方程）→（求）状态空间表达式

))a b ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩

无零点实现：能控标准型、能观标准型

直接分解法：能控标准型、能观标准型最小实现有零点实现串联分解法(串联实现)

并联分解法（并联实现或约旦标准型实现）：无重极点;有重极点 二、状态变量的线性变换

1、系统状态空间表达式的非唯一性

2、系统的不变性

① 特征值不变性/特征多项式系数（特征方程）不变性；

② 传递函数矩阵不变性；

③ 系统的能控性与能观性不变性。

3、状态空间表达式→约旦标准型

三、状态空间表达式（现代控制：内部描述）→传递函数阵（经典控制：外部描述）

1. 已知()()()()()()()()()()x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t ⎧⎨⎩=+=＋，求传递函数1()()()adj s s G s s s --+-=-+=-C I A B D I A C I A B D I A

四、组合系统

1．（已知）若干子系统的并联、串联、输出反馈联结→（求）状态空间描述或传递函数阵

第三章 状态方程的解

小结

一、求状态方程的解

1、对象：线性系统

① 连续时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次） ② 离散时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）

2、解的形式

如线性时变连续时间系统非齐次（对象）状态方程的解为：

000()(,)()(,)()()t

t x t t t x t t B u d ττττ=Φ+Φ⎰ 3、求解的关键

求解状态方程的关键是求出状态转移矩阵0(,)t t Φ（重点和难点）； ① 掌握状态转移矩阵的1）定义；2)基本性质；3)如何求； ② 注意状态转移矩阵与矩阵指数的区别与相同点；

③ 线性定常（时不变）连续时间系统状态转移矩阵（矩阵指数）的求法。

一般求法A ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩直接计算法：根据定义

线性变换法：变换系统矩阵为约旦标准型拉氏反变换法：根据性质6

待定系数法：根据凯莱-哈密尔顿定理

特例求法 A A A A σωωσ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩

为对角线标准型矩阵

为能通过线性变换得以对角线标准化的矩阵为约旦标准型矩阵=

二、线性连续系统状态空间表达式的离散化

1、对象：线性时不变系统、线性时变系统；

2、方法：一般离散化法、近似离散化法。

第四章线性系统的能控性与能观性

小结

一、能控性与能观性定义

1、对象：线性系统

①连续时间系统：定常、时变

②离散时间系统：定常、时变

2、能控性与能观性的对偶关系

3、能控性、能观性与传递函数矩阵的关系

4、状态空间表达式变换为能控/观标准型

二、能控性与能观性的判断方法

1、能控性与能观性判据

①线性定常连续/离散系统（重点）

第一种形式、第二种形式

②线性时变连续系统

一般法、实用法

三、状态空间表达式按能控性与能观性分解（重点）

①分解的思路

②分解中非奇异矩阵的构造（难点）

四、系统的实现问题

1、实现

①实现问题；

②如何构造实现（详见第二章小结）。

2、最小实现

①最小实现问题；

②判断最小实现的准则；

③如何构造最小实现（详见第二章小结）。

第五章李亚普诺夫稳定性分析

小结

一、李雅普诺夫意义下的稳定性定义

1、稳定性

2、一致稳定性

3、渐进稳定性

4、一致渐进稳定性

5、大范围（全局）渐进稳定性

6、不稳定性

二、李雅普诺夫意义下的稳定性判断方法

1、李雅普诺夫第一方法

2、李雅普诺夫第二方法（重点）

第六章状态反馈和状态观测器

小结

一、状态反馈

1、状态反馈任意配置极点的充要条件

2、状态反馈阵的计算（重点）

①算法1：利用规范化方法配置极点；

②算法2：直接法。

二、状态观测器

1、状态观测器可构造的充要条件

2、状态观测器的构造

①同维观测器（重点）

②降维观测器

3、带观测器的状态反馈闭环系统的分离性