第13讲 二次函数
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第13讲 二次函数
数学
1．(2017·上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶 点坐标为(0，－1 )，那么这个二次函数的解析式可以是
y＝2x2－1 ．
2． (2017·枣庄)已 知函数y＝ ax2－ 2ax－ 1(a是 常数， a≠0)， 下列结论 正确的 D
是( )
A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时 ，函数图象与x轴没有交点 C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
11． 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴 于A(1， 0)， B(3，0)两点， 点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点 C. (1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式； (2)当点P是线段BC的中点时， ①求点P的坐标； ②求sin∠OCB的值．
【解析】(1)将点A，B代入抛物线，解得a，b或用交点式；(2)求出P点的横坐 标后代入抛物线解析式，就可以得到P点坐标；(3)求出OC的长后再在 Rt△OCB中求sin∠OC来自百度文库的值．
12． 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1. (1)求证：2a＋b＝0； (2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4， 求方程的另一个根． 【解析】(1)由抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1， 根据对称轴公式列 式化简即可得出结果；(2)根据二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方 程的两个根是二次函数ax2＋bx－8＝0的图象与x轴交点的横坐标， 即两根关 于对称轴对称，据此列式求解即可．
【解析】第2题由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故 此QP＝3，然后由点OQ＝OP，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点 Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可 得到点Q的坐标．
9． 如图， 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2， 0)， B(0， －1)和C(4， 5)三点， 求二次函数的解析式． 【解析】待定系数法求二次函数解析式，得出关于a，b，c的三元一次方程 组，求得解析式．
14．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)， 中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m， 则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为多少？
解：如图， 设总占地面积为S(m2)， CD的长度为x(m)， 由题意知：AB＝CD＝EF＝GH＝x，∴BH＝48－4x，∵0＜BH≤50，CD＞0， ∴0＜x＜12， ∴S＝AB·BH＝x(48－4x)＝－4(x－6)2＋144， ∴x＝6时， S有 最大值， 最大值为144， 则总占地面积的最大值为144 m2
13． 二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方， 在 6<x<7这一段位于x轴的上方，试求a的值． 解：∵抛物线y＝a(x－4)2－4(a≠0)的对称轴为直线x＝4， 而抛物线在6<x<7这 一段位于x轴上方，∴抛物线在1<x<2这一段位于x轴上方， 又∵抛物线在 2<x<3这一段位于x轴的下方，∴抛物线过点(2，0)，把(2，0)代入抛物线得a ＝1
【解析】如图，A(2，1)，则可得C(－2，－1)．由A(2，1)到C(－2，－1)， 需要向左平移4个单位， 向下平移2个单位， 则抛物线的函数表达式为y＝x2， 经过平移与y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.
1． (2018·预测)二 次函D数y＝ 2x2－ 3的 图 象是一条抛物线 ， 下列关于该抛物 线的说法，正确的是( ) A．抛物线开口向下 B．抛物线经过 点(2，3) C．抛物线的对称轴是直线x＝1 D．抛物线与x轴 有两个交点 【解析】根据二次函数的性质对A，C进行判断；根据二次函数图象上点的坐 标特征对B进行判断；利用方程2x2－3＝0解的情况对D进行判断．
C
C
7． 将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度， 再向上平移2个单位长
度，平移后所得抛物线的解析式为(
A )
A． y＝2x2＋1 B．y＝2x2－3
C． y＝2(x－8)2＋1 D．y＝2(x－8)2－3
8． 如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经 过 点A(2， 2)， 对称轴是直线x＝1，顶点为B. (1)求这条抛物线的解析式； (2)将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线 上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．
B
3． 如图， 抛物线y＝ax2＋bx＋c经 过 点(－1， 0)， 对 称轴l如图所示， 则 下 列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中所有正 确的结论是(D ) A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
4． 二B次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如右图所示， 下列说法正确的个数是( ) ①a＞0；②b＞0；③c＜0； ④b2－4ac＞0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(2017·绍兴)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)． 一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合， 此时抛物线的函数表达式为y＝x2， 再次平移透明纸， 使这个点与点C重合， 则该抛物线的函数表达式变为( A) A． y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14 C． y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋3
15. (2018·预测)某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30 元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单 位：元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润 为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是 多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种 双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
数学
1．(2017·上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶 点坐标为(0，－1 )，那么这个二次函数的解析式可以是
y＝2x2－1 ．
2． (2017·枣庄)已 知函数y＝ ax2－ 2ax－ 1(a是 常数， a≠0)， 下列结论 正确的 D
是( )
A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时 ，函数图象与x轴没有交点 C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
11． 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴 于A(1， 0)， B(3，0)两点， 点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点 C. (1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式； (2)当点P是线段BC的中点时， ①求点P的坐标； ②求sin∠OCB的值．
【解析】(1)将点A，B代入抛物线，解得a，b或用交点式；(2)求出P点的横坐 标后代入抛物线解析式，就可以得到P点坐标；(3)求出OC的长后再在 Rt△OCB中求sin∠OC来自百度文库的值．
12． 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1. (1)求证：2a＋b＝0； (2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4， 求方程的另一个根． 【解析】(1)由抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1， 根据对称轴公式列 式化简即可得出结果；(2)根据二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方 程的两个根是二次函数ax2＋bx－8＝0的图象与x轴交点的横坐标， 即两根关 于对称轴对称，据此列式求解即可．
【解析】第2题由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故 此QP＝3，然后由点OQ＝OP，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点 Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可 得到点Q的坐标．
9． 如图， 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2， 0)， B(0， －1)和C(4， 5)三点， 求二次函数的解析式． 【解析】待定系数法求二次函数解析式，得出关于a，b，c的三元一次方程 组，求得解析式．
14．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)， 中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m， 则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为多少？
解：如图， 设总占地面积为S(m2)， CD的长度为x(m)， 由题意知：AB＝CD＝EF＝GH＝x，∴BH＝48－4x，∵0＜BH≤50，CD＞0， ∴0＜x＜12， ∴S＝AB·BH＝x(48－4x)＝－4(x－6)2＋144， ∴x＝6时， S有 最大值， 最大值为144， 则总占地面积的最大值为144 m2
13． 二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方， 在 6<x<7这一段位于x轴的上方，试求a的值． 解：∵抛物线y＝a(x－4)2－4(a≠0)的对称轴为直线x＝4， 而抛物线在6<x<7这 一段位于x轴上方，∴抛物线在1<x<2这一段位于x轴上方， 又∵抛物线在 2<x<3这一段位于x轴的下方，∴抛物线过点(2，0)，把(2，0)代入抛物线得a ＝1
【解析】如图，A(2，1)，则可得C(－2，－1)．由A(2，1)到C(－2，－1)， 需要向左平移4个单位， 向下平移2个单位， 则抛物线的函数表达式为y＝x2， 经过平移与y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.
1． (2018·预测)二 次函D数y＝ 2x2－ 3的 图 象是一条抛物线 ， 下列关于该抛物 线的说法，正确的是( ) A．抛物线开口向下 B．抛物线经过 点(2，3) C．抛物线的对称轴是直线x＝1 D．抛物线与x轴 有两个交点 【解析】根据二次函数的性质对A，C进行判断；根据二次函数图象上点的坐 标特征对B进行判断；利用方程2x2－3＝0解的情况对D进行判断．
C
C
7． 将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度， 再向上平移2个单位长
度，平移后所得抛物线的解析式为(
A )
A． y＝2x2＋1 B．y＝2x2－3
C． y＝2(x－8)2＋1 D．y＝2(x－8)2－3
8． 如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经 过 点A(2， 2)， 对称轴是直线x＝1，顶点为B. (1)求这条抛物线的解析式； (2)将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线 上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．
B
3． 如图， 抛物线y＝ax2＋bx＋c经 过 点(－1， 0)， 对 称轴l如图所示， 则 下 列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中所有正 确的结论是(D ) A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
4． 二B次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如右图所示， 下列说法正确的个数是( ) ①a＞0；②b＞0；③c＜0； ④b2－4ac＞0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(2017·绍兴)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)． 一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合， 此时抛物线的函数表达式为y＝x2， 再次平移透明纸， 使这个点与点C重合， 则该抛物线的函数表达式变为( A) A． y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14 C． y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋3
15. (2018·预测)某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30 元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单 位：元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润 为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是 多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种 双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？