高一第二学期期中 试卷及答案
南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期中考试化学试卷(含答案)
金陵中学2023-2024学年度第二学期期中考试高一化学试卷注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共100分，考试时间75分钟。
2．将选择题的答案填涂在答题卡的对应位置上，非选择题的答案写在答题卡的指定栏目内。
可能用到的相对原子质量H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5 K 39 Ca 40 Fe 56 Cu 64 Zn 65 Ag 108一、单项选择题：共16题，每题3分，共48分。
每小题只有一个选项最符合题意。
1．2023年2月24日，“逐梦寰宇问苍穹”中国载人航天工程30年成就展在国家博物馆开展，展厅里的一件件展品，都是中国载人航天追求卓越、不断创新的印迹。
下列有关说法错误的是（ ） A ．神舟十五号飞船使用的铝合金和钛合金均属于金属材料 B ．航天器使用的太阳能电池帆板的主要成分是硅单质 C ．飞船返回舱表层的结构材料成分与普通玻璃相同D ．“天宫课堂”的泡腾片（某种酸和3NaHCO 固体的混合物）实验中生成的是2CO2．氯化硅陶瓷是一种新型无机非金属材料。
其硬度仅次于金刚石、重量钢材的三分之一，用其制成的陶瓷轴承转速可以高达10000转/秒，可以耐1200℃高温并且有自润滑作用。
以下是部分结构材料的结构细节，其中可能是氮化硅的是（ ）3．在2SO 参与的下列反应中，体现出2SO 的氧化性的是（ ） A ．2232SO 2OHSO H O --++B ．222SO 2H S 3S 2H O +↓+C ．22224SO Cl 2H O2Cl SO 4H --+++++ D ．22224SO H O 2H SO +-++ 4．金属的冶炼体现了人类文明的发展历程，下列关于金属冶炼的说法不正确的是（ ） A ．炼铁：用焦炭和空气反应产生的CO 在高温下还原铁矿石中铁的氧化物 B ．制镁：用2H 还原氧化镁制得金属Mg C ．制钠：电解熔融的NaCl 获得金属NaD ．制铝：用36Na AlF 作培剂，电解熔融23Al O 制得金属铝 5．物质的性质决定用途，下列两者对应关系不正确的是（ ） A ．晶体硅是一种半导体材料，常用于制造光导纤维B ．二氧化硫具有还原性，可添加在葡萄酒中防止葡萄酒中的些成分被氧化C ．二氧化氯在水中的杀菌、消毒能力强，可以对使用水进行消毒D ．液氨汽化时吸收大量的热，可用作制冷剂 阅读以下资料，并回答6~8题氨的常见氧化物有氨（3NH ）和肼（24N H ）。
北京市2023-2024学年高一下学期期中地理(选考)试题含答案
北京市2023～2024学年第二学期期中测试高一地理（选考）（答案在最后）（考试时间90分钟满分100分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。
一、单选题每小题1.5分共40小题读“哥伦比亚简图”，完成下面小题。
1.该国人口主要分布在（）A.中纬度地区B.地势低平地区C.山区和沿海D.河流下游沿岸2.该国人口分布特点的形成原因是（）A.热量足,利于农业发展B.地形平坦便于城市建设C.海拔高或近海气温适宜D.近水源,保证城市供水【答案】1.C 2.C【解析】【1题详解】根据图中信息可知，哥伦比亚的主要城市及人口分布分布于海拔较高的山区和沿海地区，C正确；哥伦比亚整体位于低纬度地区，由于纬度较低，地势低平，地区气候湿热，不适合人口分布，排除AB；该地河流下游沿岸地区人口分布稀少，排除D。
故选C。
【2题详解】结合图中信息可知，该地地处低纬地区，属于热带雨林气候区，全年高温多雨，而在海拔较高的山区和沿海地区，气温适宜人口分布，C正确；该地热量充足但气候湿热，有利于农业发展，但不适合人口分布，排除A；该地区后湿热，地形平坦处湿热状况明显，不适合城市建设，排除B；水源并不是影响该地人口分布的主要原因，排除D。
故选C。
【点睛】影响人口分布的因素有：自然因素：地形、气候、水资源和土壤、矿产资源；社会经济因素：生产力发展水平、生产活动方式、交通运输以及政治、文化等。
读“中国三大区域人口密度影响因素排序（1978—2018年）”，完成下面小题。
3.我国人口分布的基本格局是（）A.东南多西北少B.南部多北部少C.西部多东部少D.东北多西南少4.对我国三大区域人口密度影响均位列前三的因素是（）①城镇化水平②工业化水平③交通便利度④对外开放程度A.①②B.②③C.①④D.③④5.“交通便利度”是影响西部地区人口密度最重要因素,原因是（）A.道路沿线自然条件更优越B.可以便利获取外部水资源C.修建道路会带来就业机会D.交通带动周边产业的发展【答案】3.A 4.B 5.D【解析】【3题详解】结合所学知识可知，我国人口分布格局为东南多，西北少，故A正确，BCD错误。
高一下学期期中考试语文试卷含答案(共3套)
高一下学期期中考试语文试卷含答案(共3套)高一第二学期期中考试语文试题（满分：150分；考试时间：150分钟）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）文化软实力，是指一个国家或地区基于文化而具有的凝聚力、生命力、创新力、传播力和影响力。
“文化软实力”的说法源自XXX的软实力理论。
一般来说，软实力是一种隐形的力量，蕴含在文化、政治价值观、外交政策和国际形象四个载体中。
在这四个载体中，文化是核心，其他三个组成部分也都深深地烙上了文化的影子。
甚至有人直接把软实力解释成文化力。
基于此，文化软实力就有了广义和狭义之分，广义的文化软实力就是指“软实力”；狭义的文化软实力，则是构成软实力的文化要素。
文化软实力的形成必须依赖先进的文化，而这种文化只有与时俱进才能更好地服务于相应的时代和社会，才能更好地促进个人全面自由的发展，才能体现出强大的吸引力和感染力。
文化软实力的作用，主要体现在国内和国际两个方面。
在国内，它通过文化建设不断增强本国文化的认同感，抵御国外一些敌对文化理念的侵袭，增强国内民众的凝聚力。
通过吸收国外先进文化元素和不断改造本国文化中落后的成分，使本国文化更加适应当前形势，更好地指导经济建设，更好地彰显本国文化的强劲生命力。
在国际政治舞台上，兼容并蓄、富有活力的本国文化必将为国外受众所认可，使本国所奉行的理念得到传播，从而提升国家形象和影响力。
文化软气力产生于一定的文化资本。
这些资本包括国家价值寻求、社会理念、宗教崇奉、品德规范，还包括风俗惯、民族精神、国民素质、文学艺术等，还与教育、科技、文化财产的开展水平密切相干。
文化软气力产生的根本是人们对本国中心价值体系的认同和接受。
与传统手段相比，非强制手段是文化软气力完成的手段，而国家的综合国力是文化软气力的力量施展阐发形式。
在现实社会中，往往存在重器不重道的现象。
它表现在国家综合实力的建设上，就是重视提升硬实力而不重视提升文化软实力。
重视提升硬实力是对的，文化软实力也一定要以硬实力为基础。
北京市2023—2024学年高一下学期期中考试语文试卷含答案
北京市2023～2024学年第二学期期中考试高一语文（答案在最后）2024年4月班级姓名考号（考试时间150分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面材料，完成下面小题。
材料一阅读是伟大的文化发明，但文字出现的历史非常短暂，人类尚不足以进化出一个先天的“阅读脑”。
这意味着，我们无法仅依靠遗传获得阅读技能。
我们之所以能够完成从“非阅读脑”到“阅读脑”的转变，既有赖于先天的大脑特性，又有赖于后天的阅读训练。
虽然人类没有进化出“阅读脑”，但先天拥有“口语脑”。
口语是人类自然习得的本能。
通过遗传，每一个准备接受阅读训练的个体已经具备了从语音通达语义的口语加工脑区和环路。
这些加工口语的脑区与环路即是“阅读脑”形成的开端。
从出生到死亡，人类的大脑并非一成不变，你可以把大脑想象成一台持续更新的机器，始终处于调整变化中。
这种能够不停“重组”的特性被称为“脑的神经可塑性”。
后天的阅读训练，有针对性地促成了先天脑的重组，其中最重要的改变当属视觉词形区的出现。
法国认知神经科学家斯坦尼斯拉斯•德阿纳比较了无阅读能力（文盲）和有阅读能力的两组成年人，发现在阅读任务中，有阅读能力组的左脑梭状回（即视觉词形区）在观看文字时的活跃强度要高于观看人脸、房屋等其他视觉刺激时的活跃强度；而文盲组，相应的脑区未发现异常活跃现象。
这一发现首次直接证明了阅读训练对脑区功能的塑造作用。
除此之外，阅读还会“改写”大脑的灰质和白质结构。
一项追踪研究发现，与刚入学时相比，儿童在二年级时，左半球的顶下小叶、中央前回和中央后回的灰质体积有所减小，推测是阅读训练引发了相关脑区神经突触的修剪过程，使这些脑区变得更加精简高效。
另一项研究发现，8-10岁儿童在接受100小时的阅读训练后，白质纤维束的走向一致性显著增强，意味着不同脑区之间的信息传输能力有所提高。
北京市西城区2023-2024学年高一下学期期中考试语文试卷含答案
北京2023～2024学年第二学期期中练习高一语文（答案在最后）2024.04注意事项：1.本试卷共5页，共八道大题，24小题，满分150分。
考试时间150分钟。
2.在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名、学号。
3.试卷答案填写在答题纸的相应位置上，在试卷上作答无效。
4.在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
第I卷一、（共15分）阅读下面的文字，完成下列小题。
江南暮春清明风俗随着寒食、清明、上巳的来临，江南已是红梅零落，樱花渐离枝头，桃花也随雨打风吹去了。
江南的暮春习俗像是在彷徨中寻找着什么寄托。
以水驱邪与魏晋修禊《孝经纬》记载：“春分后十五日……为清明三月节。
万物至此皆洁齐而清明矣。
”古人对于“洁”的渴求出于对死亡的恐惧。
暮春时节，寒热不定，疾病时来侵袭。
古人认为这是被压抑的阴气或浊气在作怪，用洁净的流水来清除浊邪成了必要举动。
明代以来，江南地区产生了许多以水清除浊邪的“方法”，如三月初二以桃叶浸井水服食，传说可治心病；三月初三取枸杞煎汤沐浴，能使皮肤光泽不衰。
人们对这些方法的信任，大抵都源于临水修禊的风俗。
修禊，是古人祈福消灾的仪式，通常在三月上旬巳日临水举行，自魏晋以后，上巳节的日期固定为三月初三。
《晋书·王羲之传》记载“暮春之初，会于会稽山阴之兰亭，修禊事也”，说的就是著名的兰亭雅集。
当日，王羲之与众名士相聚曲水之畔，三杯两盏之后，他联想到战争的频繁与生命之脆弱，感慨：“固．知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。
后之视今，亦犹今之视昔，悲夫！故列叙时人，录其所述。
”庄周在《齐物论》中告诉世人：生为梦幻，死是苏醒，早逝（殇）反而能使人走向长生（彭）。
王羲之并不相信修禊的功效，认为死亡总是突然来袭，同时也不接受庄周为消解死亡恐惧所提出的解释。
王羲之与名士们聚饮赋诗，且将雅集诗作逐一记录，企图通过这种方式创造一条与后人沟通的途径——这是对死亡的新知。
寒食禁火与唐人祭墓寒食，在清明前一两日。
2022—2023学年度广东省茂名市第一中学高一第二学期期中考试数学试题及答案
茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设z ＝1+2i ，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．＝（）A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,3,3===b a A π，则c 等于（）A ．2B ．C ．D ．4．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图OA ′B ′C ′的面积为2，则原梯形的面积为（）A ．2B ．22C ．24D ．45.为了得到函数ππsin 3cos cos3sin 33y x x =+的图象，可以将函数sin 3y x =图象()A.向左平移π个单位B.向左平移π9个单位C.向右平移π个单位D.向右平移π9个单位6.在空间中，下列命题正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行7.在ABC 中，已知2cos c a B =⋅，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形8.已知中，，，点D 是AC 的中点，M 是边BC 上一点，的最小值是()A. B. C. D.二､多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
）9.复数i z 2321+=，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的实部是21 B.z 的共轭复数为3122i +C.z 的实部与虚部之和为2 D.z 在复平面内的对应点位于第一象限10.已知平面向量()1,0a =，(1,b = ，则下列说法正确的是（）A.||16a b +=B.()2a b a +⋅= C.33,cos >=<→→b a D.向量+a b在a 上的投影向量为2a11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有（）A ．若sin A ＞sinB ，则A ＞BB ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形C ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，则△ABC 为直角三角形D ．若△ABC 为锐角三角形，则sin A ＜cos B 12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点O ，点E 是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（）A.直三棱柱的体积是1B.直三棱柱的外接球表面积是C.三棱锥的体积与点E 的位置有关D.的最小值为三、填空题(每小题5分，共20分)13．设复数z 满足其中i 是虚数单位，则__________.14．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为．15．非零向量→a ＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），若→a 与共线，则tan （θ﹣4π）＝．16南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即])2([41222222b a c a c S -+-=（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在斜△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若)cos 3(cos C B c a +=，且B C a sin 3sin =．则此△ABC 面积的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分)17．（10分）已知向量→a ＝（1，1），→b ＝（2，﹣3）．（1）若→c ＝2→a +3→b ，求→c 的坐标；（2）若→a λ﹣2→b 与→a 垂直，求λ的值．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bc a c b -=-22）（．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，sinC ＝2sinB ，求△ABC 的面积．19．（12分）（1）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的体积；（2）如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积．20（12分）已知函数x x x x f 4cos 212sin )1cos 2()(2+-=．（1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈（0，π），且22)84(=-παf ，求α的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，E 是线段PD 上的点，且，PA ＝PD ＝AD ＝3，32CE =，BC ∥AD ，∠ADC ＝45°．（1）求证：CE ∥平面PAB ；（2）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN ∥平面PAB ？若存在，求出MN 的最小值；若不存在，说明理由．22.（12分）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C.现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC =且2COA AOM ∠=∠的三角形观赏台AOC ，记)46(ππ<≤=∠x x AOM .（1）当π6AOM ∠=时,过点M 作OA 的垂线，交OA 于点E ，过点N 作OA 的垂线，交OA 于点F,求ME ,OF 及矩形观赏台MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案1【答案】D ．解：∵z ＝1+2i ，∴z 的共轭复数＝1﹣2i ，对应的点为（1，﹣2），故在第四象限，2【答案】D解：根据向量的线性运算法则，可得．3【答案】A解：，则由余弦定理可得，3＝1+c 2﹣2c ×1×cos＝1+c 2﹣c ，∴c 2﹣c ﹣2＝0，解得c ＝2或﹣1（舍）．4【答案】C解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，则直观图中等腰梯形的高为h ′＝h sin45°；∵等腰梯形的体积为（a +b ）h ′＝（a +b ）•h sin45°＝2，∴（a +b ）•h ＝＝4∴该梯形的面积为4．5【答案】B【详解】依题意，ππππsin 3coscos3sin sin(3)sin 3(3339y x x x x =+=+=+，所以函数sin 3y x =图象向左平移π9个单位可得πsin 3()9y x =+的图象.6【答案】C解：对于A ，不共线的三点确定一个平面，故A 错误；对于B ，l ∥α，则l 与平面α内的直线平行或异面，故B 错误；对于C ，由平面基本性质及其推论得：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故C 正确；对于D ，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故D 错误．7【答案】B解：已知2c a cosB ＝，则：2sinC sinAcosB ＝，整理得：()2sin A B sinAcosB +＝，则：()0sin A B -＝，所以：A B ＝.8.【答案】B解：根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，，是边BC上一点，设，则，，，当时，取得最小值，9【答案】ACD解:由题得A 正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.10【答案】BD解：((11,02,2a b +=++= ，所以4a b +==，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；1313,cos =⋅>=<→→→→→→ba b a b a ，向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．11【答案】AC【解答】解：对于A ，若sin A ＞sin B 成立，由正弦定理可得a ＞b ，所以A ＞B ，故正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，得到2A ＝2B 或2A +2B ＝π，可得A ＝B 或A +B ＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；对C ，若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，可得若（1﹣sin 2A ）+（1﹣sin 2B ）﹣（1﹣sin 2C ）＝1，整理得：sin 2A +sin 2B ＝sin 2C ，可得a 2+b 2＝c 2．可得△ABC 为直角三角形，故正确；对于D ，若△ABC 是锐角三角形，则A +B +C ＝π，A +B ＞，A ＞﹣B ，A 、B 、C 均是锐角，由正弦函数在（0，）递增，所以：sin A ＞sin （﹣B ）＝cos B ，故错误．12【答案】AD解：在直三棱柱中，，，所以其体积V=Sh=121121=⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得，其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，所以其外接球半径为，所以其外接球的表面积为，故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点，，三棱锥的高h 为定值，，，故三棱锥的体积为定值，故C 错误；将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，此时，连接与相交于点E ，此时最小，即，故D 正确．13【答案】解：，故14【答案】解：如图，圆锥的母线，圆锥的侧面展开图为扇形，故侧面积为，．15【答案】【解答】解：∵向量＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），且与共线，∴＝2，即tan θ＝2，则tan（θ﹣）＝＝＝．16【答案】解：∵，∴sin A＝sin C（cos B+cos C），即sin C cos B+sin C cos C＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，即sin C cos C＝sin B cos C，又C∈（0，π）且C≠，∴sin B＝sin C，∴b＝c，又．∴ac＝b，解得a＝3，＝＝＝，当c＝3时，S max＝．17解：（1）∵＝（1，1），＝（2，﹣3），∴＝2+3＝2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）； 4分（2）λ﹣2＝λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6）， 6分∵λ﹣2与垂直，∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0， 9分即λ＝﹣1． 10分18解：（1）因为（b﹣c）2＝a2﹣bc，可得b2+c2﹣a2＝bc， 2分所以cos A＝＝， 3分又A∈（0，π），所以A＝． 5分（2）因为sin C＝2sin B，由正弦定理可得c＝2b， 6分又a＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得4＝b2+c2﹣bc， 8分解得b＝，c＝， 10分所以S△ABC＝bc sin A＝××＝ 12分19【解答】解：（1）正四棱锥的底面边长是a＝6，侧棱长为l＝5，所以正四棱锥的高为h＝＝， 2分所以正四棱锥的体积为V＝Sh＝×62×＝12； 5分（2）图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体，是圆台挖去一个半球，圆台的体积为V圆台＝π（r2+rr′+r′2）h＝×（22+2×5+52）×4＝52π， 8分半球的体积为V半球＝πr3＝×23＝， 10分所以该几何体的体积为V＝V圆台﹣V半球＝52π﹣＝3140（cm3）． 12分20【答案】（1）；；（2）．【解答】解：（1）∵f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+cos4x＝cos2x sin2x+cos4x 1分＝（sin4x+cos4x）＝sin（4x+）， 3分∴f（x）的最小正周期T＝， 4分令，可得，∴f（x）的单调递减区间为； 6分（2）∵f（）＝，∴， 8分∵α∈（0，π），，∴， 10分∴ 12分21【解答】（1）证明：如图1，在PA上取点F使，连接EF，BF，如图示：∵，∴EF∥AD且， 1分又BC∥AD，且， 2分∴EF∥AD，EF＝AD，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF， 3分而CE⊄平面PAB， 4分BF⊂平面PAB，则CE∥平面PAB． 5分（2）解：线段AD上存在点N且，使得MN∥平面PAB；理由如下：如图2，在AD上取点N使，连接CN，EN，如图示：∵，，∴EN∥PA， 6分∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN∥平面PAB； 7分由（1）知CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E，∴平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，∴MN∥平面PAB， 8分∴线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB．∵BC∥AN，BC＝AN，∴ND＝2， 9分在△CND中，∠ADC＝45°，，由余弦定理知CN＝2． 10分在△CEN中，CN＝NE＝2，，∴由余弦定理知∠CNE＝120°，∴MN 的最小值为， 11分∴线段AD 上存在点N ，使MN ∥平面PAB ，且MN 的最小值为1． 12分22.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=. 2分πcos 2062OE OM =⋅=⨯=. 3分过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10MN OE OF =-=-. 4分因为5NP =.矩形MNPQ 的面积())510501S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)501平方米. 5分（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OM MON MNO =∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-. 6分矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.7分观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x=+=-+. 8分设πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，46(ππ<≤x ，∴.2130-≤<t 9分()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-. 10分∴()100cos sin 200sin 2S x x x =-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当]213,0(41-∈=t 时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方 11分∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米. 12分。
2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷（考试时间120分钟，满分150分）考试时间：2024年4月28日考试时长120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数2i i z =-，则z 对应的点Z 在复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,1),(1,4)a b ==- ，则23a b -=（）A ．(7,10)-B ．(1,14)C ．(7,10)-D ．(7,6)3．下列命题中正确的是（）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C ．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形4．在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，所得四边形EFGH 的形状是（）A ．梯形B ．矩形C ．正方形D ．菱形5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（）A ．10mB ．30mC ．D ．6．在ABC 中，若sin 2sin cos C B B =，且64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则c b 的范围为（）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)27．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．8．已知AB AC ⊥ ，||AB t = ，1||AC t= ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值为（）A ．13B ．5-C ．5-D ．10+二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设复数12i1i z +=+，则（）A ．z 的实部为32B ．31i 22z =-C ．z 的虚部为1i2D ．1z =10．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A ．若sin :sin :sin 2:3:4ABC =，则ABC 是钝角三角形B ．若sin sin A B >，则a b>C ．若0AC AB ⋅>，则ABC 是锐角三角形D ．若45A =o ，2a =，b =，则ABC 只有一解11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，BMC △，AMC ，AMB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB ∠=三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为.13．将边长为2的正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为．14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a c =，sin 3,26sin 2A aB =≤≤，则ABC S - 的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin a B ．(1)若2b =，3c =，求a 的值：(2)若2a bc =，判断ABC 的形状．16．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，E ，F 分别为AB ，BC 上的点，且2AE EB =，2=CF FB ．(1)若DE x AB y AD =+，求x ，y 的值；(2)求AB DE ⋅的值；(3)求cos BEF ∠．17．如右图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．(1)求证：BD 1∥平面C 1DE ；(2)求三棱锥D －D 1BC 的体积18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且()3sin sin 32sin A B c bC a b--=+．(1)求sin A ；(2)若ABC①已知E 为BC 的中点，求ABC 底边BC 上中线AE 长的最小值；②求内角A 的角平分线AD 长的最大值．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=(1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅；(3)设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．1．C【分析】根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限.【详解】因为2i i=1i z =---，所以z 对应的点Z 在复平面的第三象限，故选：C 2．A【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算可得；【详解】解：因为(2,1),(1,4)a b ==-，所以()()()2322,131,47,10a b -=--=- ；故选：A 3．D【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A 不正确；对于B 中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B 不正确；对于C 中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C 不正确；对于D 中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D 正确.故选：D.4．D【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH 是平行四边形，再由AC=BD 即可判断四边形EFGH 的形状.【详解】如图所示，空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH ，由中位线的性质及基本性质4知，EH ∥FG ，EF ∥HG ；∴四边形EFGH 是平行四边形，又AC=BD ，∴HG=12AC=12BD=EH ，∴四边形EFGH 是菱形.故选：D 5．B【分析】先根据正弦定理求出BC ，再根据直角三角形三角函数关系即可求解.【详解】如图，由题可知：在ABC 中，45A =︒，105ABC ∠=︒，所以30ACB ∠=︒．sin 45BC=︒，所以22BC ==，在Rt CBD △中，3sin 6030(m)2CD BC ︒==⨯=．故选：B 6．A【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到2cos c B b =，结合64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和余弦函数的性质，即可求解.【详解】因为sin 2sin cos C B B =，由正弦定理得2cos c b B =，则2cos cB b=，又因为64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos B <<2cos B <所以cb的范围为.故选：A.7．D【分析】对于A ，根据//MN AC 结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据//MN BE 结合线面平行的判断定理即可判断；对于C ，根据//MN BD ，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D ，根据四边形AMNB 是等腰梯形，AB 与MN 所在的直线相交，即可判断.【详解】对于A,如下图所示，易得//,//AC EF MN EF ,则//MN AC ，又MN ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故A 满足；对于B ，如下图所示，E 为所在棱的中点，连接,,EA EC EB ,易得,//AE BC AE BC =,则四边形ABCE 为平行四边形，,,,A B C E 四点共面，又易知//MN BE ，又MN ⊄平面ABC ,BE ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故B 满足；对于C,如下图所示，点D 为所在棱的中点，连接,,DA DC DB ,易得四边形ABCD 为平行四边形，,,,A B C D 四点共面，且//MN BD ,又MN ⊄平面ABC ,BD ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故C 满足；对于D ，连接,AM BN ,由条件及正方体的性质可知四边形AMNB 是等腰梯形，所以AB 与MN 所在的直线相交，故不能推出MN 与平面ABC 不平行，故D 不满足，故选：D.8．B【分析】以A 为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P （x ，y ）则1(,0),(0,0)B t C t t >，可得(1,0)AB AB = ，2(0,2)||AC AC = ，所以(1,2)AP = ，即(1,2)P ，故(1,2)PB t =-- ，11,2PC t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以221455PB PC t t t t ⎛⎫⋅=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 2t t =即t 时等号成立．故选：B．9．AB【分析】根据复数除法求出z ，由复数的概念判断AC ，根据共轭复数判断B ，根据模的定义判断D.【详解】因为()()()()12i 1i 12i 122i i 31i 1i 1i 1i 222z +-+++-====+++-，所以z 的实部为32，虚部为12，31i 22z =-，102z =，故选：AB 10．ABD【分析】对于A ，利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解；对于B ，利用正弦定理的角化边即可求解；对于C ，利用向量的数量积的定义即可求解；对于D ，利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解.【详解】对于A ，因为ABC 的三个角满足sin :sin :sin 2:3:4A B C =，所以由正弦定理化简得::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，c 为最大边，由余弦定理得222222249163cos 02124a b c k k k C ab k +-+-===-<，所以C 为钝角，所以ABC 是钝角三角形，故A 正确；对于B ，由sin sin A B >及正弦定理，得22a b R R>,解得a b >，故B 正确；对于C ，因为0AC AB ⋅>，所以cos cos 0AC AB AC AB A bc A ⋅⋅==> ，所以cos 0A >，所以A 为锐角，但无法确定B 和C 是否为锐角，故C 错误；对于D ，由正弦定理得222sin 45sin B=，解得sin 1B =，因为0180B << ,所以90B = ，所以ABC 只有一解，故D 正确.故选：ABD.11．ABD【分析】A 选项，0MA MB MC ++=，作出辅助线，得到A ，M ，D 三点共线，同理可得M 为ABC 的重心；B 选项，设内切圆半径为r ，将面积公式代入得到0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=；C 选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D 选项，得到::3:4:5A B C S S S =，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设MD m =，MF n =，5ME t =，表示出AM ，BM ，MC ，结合三角函数得到m ，m =，进而求出余弦值；【详解】对A 选项，因为::1:1:1A B C S S S =，所以0MA MB MC ++=，取BC 的中点D ，则2MB MC MD += ，所以2MD MA =-，故A ，M ，D 三点共线，且2MA MD =，同理，取AB 中点E ，AC 中点F ，可得B ，M ，F 三点共线，C ，M ，E 三点共线，所以M 为ABC 的重心，A 正确；对B 选项，若M 为ABC 的内心，可设内切圆半径为r ，则12A S BC r =⋅，12B S AC r =⋅，12C S AB r =⋅，所以1110222BC r MA AC r MB AB r MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=，B 正确；对C 选项，若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则75ACB ∠=︒，设ABC 的外接圆半径为R ，故290BMC BAC ∠=∠=︒，2120AMC ABC ∠=∠=︒，2150AMB ACB ∠=∠=︒，故2211sin 9022A S R R =︒=，221sin1202B S R R =︒，2211sin15024C S R R =︒=，所以::2A B C S S S =，C错误；对D 选项，若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，如图，AD BC ⊥，CE AB ⊥，BF AC ⊥，相交于点M ，又ABC A B C S S S S =++ ，31124AABC S S == ，即:3:1AM MD =，41123BABC S S == ，即:1:2MF BM =，512CABC S S =，即:5:7ME MC =，设MD m =，MF n =，5ME t =，则3AM m =，2BM n =，7MC t =，因为CAD CBF ∠=∠，sin ,sin 32n mCAD CBF m n∠=∠=，所以32n m m n =，即3m =，3cos 22m BMD n n ∠===，则()cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.12．【详解】解：利用正弦定理可知，B 角对的边最大，因为05sin 230,51sin sin sin 2a b aBA b AB A =∴=∴===故答案为：13．2π【分析】先计算底面积，再计算体积.【详解】122R R ππ=∴=22122V R h ππππ=⨯=⨯⨯=故答案为2π【点睛】本题考查了圆柱的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.14【分析】由正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式化简计算可得.【详解】222sin 37,23,,cos sin 229A a c b a b a c B B ac +-=∴==∴==，则sin B =2221922ABC S a a ⎫∴-=-⋅=+=-+⎪⎝⎭ []2,6,ABC a S ∈∴-V Q故答案为：922.15．(1)a =(2)等边三角形．【分析】（1）由正弦定理边化角，求出π3A =，再利用余弦定理可得答案；(2)由余弦定理得结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而b c =，从而可得答案.【详解】（1）由正弦定理，33sin sin sin sin ,sin 022a B b A B B B =⇒≠ ，故ππsin 0,223A A A ⎛⎫=∈⇒= ⎪⎝⎭，再由余弦定理得，2222212cos 2322372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,从而a =（2）因为π3A =，所以由余弦定理得222a b c bc=+-结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而22,b c a b a b c =⇒===，所以ABC 是等边三角形．16．(1)2,13x y ==-(2)203【分析】（1）由向量的运算法则求解（2）分解后由数量积的运算求解（3）由数量积的定义求夹角【详解】（1）23DE DA AE AB AD =+=- ，故2,13x y ==-（2）2220()1642cos 60333AB DE AB AB AD ⋅=⋅-=⨯-⨯⨯︒=（3）111,,333EB AB EF AB AD ==+4||3EB =，27||3EF =16499cos 14||||EB EFBEF EB EF +⋅∠==17．(1)见解析；(2)23.【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）利用等体积11D D BC D DBC V V --=，即可求得三棱锥D ﹣D 1BC 的体积．【详解】（1）证明：连接D 1C 交DC 1于F ，连接EF ，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面四边形DCC 1D 1为矩形，∴F 为D 1C 的中点．又E 为BC 的中点，∴EF ∥D 1B ．∴BD 1∥平面C 1DE ．（2）解：连接BD ，11D D BC D DBCV V --=又△BCD 的面积为12222S =⨯⨯=．故三棱锥D ﹣D 1BC 的体积1111221333D DBC BCD V S D D -∆==⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．(1)sin A =(2)AE，AD【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 3A =，进而求出sin A ；（2）由面积公式求出16bc =，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE 的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD 的最值.【详解】（1）由正弦定理，得3()32a b c b a b c --=+，即22223c b a bc +-=，故2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===，因为cos 0A >，所以π(0,)2A ∈，所以22sin 3A ==；（2）①由（1）知sin 3A =，因为ABC1n si 2bc A =，解得16bc =，由于()12AE AB AC =+ ，所以()()2222222111212183222cos 2444343433AE AB AC AB AC c b bc A c b bc bc bc bc ⎛⎫⎛⎫=++⋅=++=++≥+=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当b c =时，等号取得到，所以2323AE AE ≥⇒ ②因为AD 为角A 的角平分线，所以1sin sin 2BAD CAD A ∠=∠=，由于ADB ADC ABC S S S += ，所以111sin sin sin sin cos 2222222A A A A AD c AD b bc A bc +==，由于sin02A ≠,所以()2cos 2A AD c b bc +=，由于2212cos 2cos 1cos cos 23232A A A A =-=⇒=⇒，又16bc =，所以()63262cos216233A AD c b bc +==⨯⨯由于8b c +≥，当且仅当b c =时，等号取得到，故()83AD c b AD =+≥=，故3AD ≤，19．(1)π2A =(2)(3)2+【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.（2）由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222xy yz xz +=⨯，整理得xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅111142222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（3）点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。
高一语文下册期中考试复习试卷(有答案)
高一语文下册期中考试复习试卷（有答案）一、选择题(每题3分，共18分)1.下列加点词语注音没有错误的一项是( )A. 风靡(m) 愆(qiān)期贿赂(l) 载(zi)歌载舞B. 狭隘(i) 遗(wi)施拙(zhu)劣溘(k)然长逝C. 慷慨(ki) 哺(bǔ)乳纤(qiān)细樊(fn)笼D. 踯躅 (zhzh) 譬(p)如芰(j)荷葳蕤(ru)2.下列词语中，字形无误的一项是( )A. 婀娜磬石欲盖弥彰招骋B. 伶俜摄足否极泰来功名利禄C. 萦绕箜篌众目睽睽悲摧D. 拾辍垝垣方钠圆凿奄奄一息3.下列各句中，加点的成语运用恰当的一句是( )A. 主席在会上发表的不经之谈，实在让我受益匪浅。
B. 运动会上，他借的一身衣服很不合身，真是捉襟见肘。
C. 我们隔壁的一家人与人交往非常慷慨，从不吝啬，被人们称为大方之家。
D. 大清朝一灭亡，那些成天只知道提着鸟笼，游手好闲的纨袴子弟也随着完蛋了。
4.下列句子，没有语病的一句是( )A. 三年来的旅游兴市竟成为今日发展核电的障碍，这可能是地方政府当时始料未及的。
B. 一名韩国官员透露，有关成员国已达成一样看法，同意建立该项基金，以防止2019年那样的金融危机再次发生。
C. 童话《皇帝的新装》的作者是著名世界的丹麦作家安徒生的作品。
D. 考古学家对两千多年前在长沙马王堆一号墓新出土的文物进行了多方面的探讨，对墓主所处的时代有了进一步的了解。
5.为画横线处选择恰当的句子，使上下文语意连接自然( )在叙事作品中，____________。
但因为自己心中积郁着浓郁、深厚的感情，这种感情也就自然地流向笔端。
这种渗透感情的叙述，往往比直抒胸臆更为感人、更觉真诚。
A. 或喜悦，或悲伤，或思念，或向往，或赞扬，或指责之情从作者心中冲出，一泻千里。
B. 作者往往将萦绕心头的喜怒哀乐之情，在特定的环境中酣畅淋漓地倾诉而出。
C. 或喜悦，或悲伤，或思念，或向往，或赞扬，或指责之情渗透在作者所描摹的大自然风光中。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
2024.4人大附中高一下期中英语试题及答案
人大附中2023-2024学年度第二学期高一年级英语期中练习2024年4月24日制卷人：潘今心谭松柏审卷人：刘景军说明：本试卷共3部分52道小题，共8页，满分100分，考试时间90分钟第一部分：知识运用(共三节，42分)第一节完形填空(共10小题；每小题1.5分，共15分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑。
See MeThe sun prepared to rest for the evening. Saying goodbye to the clan (家族), I headed back to camp. I looked forward to setting my 1 aside for an evening to reflect on my time in Ethiopia.“Photo,photo”, a voice behind me called. A young Surma boy followed closely at my heels as I breathed a tired sigh. Over the past four days, many in the camp had wanted their photograph 2 .I had no energy left after this long day, but the boy kept appealing, "Photo, photo." He managed to catch my gaze. With eyes full of 3 ,he asked me once more: “photo?”As I looked at him, an idea flashed before me.I knelt in the cornfield and instructed the boy how to 4 . Suddenly, he became shy, losing his 5 . No matter how I instructed him, I couldn't capture the shot. Frustrated, I 16 . I looked at the boy, who seemed 7 .In an effort to cheer him, I said,“You were great.” Others from his clan gathered around, cheering and clapping. The boy's face broke into a smile. I intuitively took shots of the moment. That photograph turned out to be better than the arrangement I'd imagined because it was 8 .Reflecting on my experience, I realized I had been caught up in my own ideas and wants. When I agreed to take the shot, I was looking for a particular end 9 for myself. But all the boy had really wanted was to be 10 . That was the moment that needed to be captured.1.A.camera B.wallet C.luggage D.plan2.A.printed B.taken C.framed D.developed3.A.doubt B.joy C.hope D.despair4.A.pose B.move C.operate D.stand5.A.patience B.enthusiasm C.temper D.controls6.A.gave up B.looked up C.spoke up D.cheered up7.A.angry B.amused C.shocked D.upset8.A.personal B.natural C.graceful D.skillful9.A.request B.reminder C.result D.review10.A.admired B.heard C.understood D.seen第二节语法填空(共10小题；每小题1.5分，共15分)阅读下列短文，根据短文内容填空。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
高一期中考试试卷及答案
高一期中考试试卷及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 请根据题目所给的数学公式，选择正确的答案。
- A. x + y = z- B. x * y = z- C. x / y = z- D. x - y = z2. 以下哪个选项是英语中“图书馆”的正确翻译？- A. School- B. Library- C. Hospital- D. Museum3. 根据题目所给的历史事件，选择正确的时间顺序。
- A. 工业革命 - 第一次世界大战 - 第二次世界大战 - B. 第一次世界大战 - 工业革命 - 第二次世界大战 - C. 第二次世界大战 - 工业革命 - 第一次世界大战 - D. 工业革命 - 第二次世界大战 - 第一次世界大战4. 题目中提到的化学反应方程式，正确的平衡方程式是： - A. 2H2 + O2 → 2H2O- B. 2H2 + O2 → H2O- C. H2 + O2 → 2H2O- D. H2 + O2 → H2O5. 题目中描述的物理现象，正确的解释是：- A. 物体在不受外力作用时，将保持静止或匀速直线运动- B. 物体在受力作用时，将立即改变运动状态- C. 物体在受力作用时，将保持静止或匀速直线运动- D. 物体在不受外力作用时，将立即改变运动状态二、填空题（每空1分，共10分）1. 请写出牛顿第二定律的表达式：_______________________。
2. 根据题目所给的化学式，写出该化合物的名称：NaCl。
3. 英语中“独立日”的表达是：_______________________。
4. 题目中提到的历史人物，他的主要贡献是：_______________________。
5. 根据题目所给的生物分类，写出该生物的分类等级：_______________________。
三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述细胞的结构和功能。
2. 请解释什么是光合作用，并简述其过程。
高一语文期中考试试卷及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，字形、字音都完全正确的一项是：A. 潜移默化恣意妄为B. 鸿篇巨制畏首畏尾C. 风和日丽沦为笑柄D. 面面俱到亘古不变2. 下列各句中，没有语病的一句是：A. 在这次比赛中，他的表现赢得了大家的一致好评。
B. 由于连续降雨，这场运动会不得不推迟。
C. 他的作品深受广大读者喜爱，尤其是青少年。
D. 为了提高学生的学习成绩，学校决定增加课时。
3. 下列各句中，标点符号使用正确的一项是：A. 他喜欢读书，尤其是《红楼梦》。
B. 我喜欢游泳，也喜欢打篮球。
C. 他昨天去了北京，今天下午回来。
D. 他平时很忙，很少有时间陪伴家人。
4. 下列各句中，修辞手法使用正确的一项是：A. 这本书就像一盏明灯，照亮了我前行的道路。
B. 他跑得快，像离弦的箭一样。
C. 她的笑容如阳光般温暖。
D. 这朵花真美，就像一位美丽的少女。
5. 下列各句中，括号内的词语使用正确的一项是：A. 这篇文章（非常）有趣，读起来让人捧腹大笑。
B. （非常）喜欢音乐，他每天都会弹奏吉他。
C. （非常）努力学习，他终于取得了优异的成绩。
D. （非常）辛苦了一整天，他终于可以休息一下了。
二、填空题（每题2分，共20分）6. 下列诗句中，出自唐代诗人杜甫的是：（）A. 会当凌绝顶，一览众山小。
B. 独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲。
C. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟。
D. 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。
7. 下列词语中，与“浩如烟海”意思相近的是：（）A. 博大精深B. 无边无际C. 高深莫测D. 漫无边际8. 下列成语中，形容事物非常多的成语是：（）A. 漫天要价B. 人山人海C. 美轮美奂D. 鱼龙混杂9. 下列句子中，运用了比喻修辞手法的是：（）A. 这本书就像一位良师益友。
B. 他工作认真，像蜜蜂一样勤劳。
C. 她的歌声像天籁之音。
D. 这条河弯弯曲曲，像一条银色的丝带。
10. 下列句子中，使用了排比修辞手法的是：（）A. 他学习刻苦，工作认真，生活简朴。
2023-2024学年度第二学期期中质量检测高一化学试卷及答案
2023-2024学年度第二学期期中质量检测高一化学本试卷分Ⅰ卷（选择题，请将选项用2B铅笔涂在答题卡相应位置）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间75分钟可能用到的原子量:H 1 N 14 Cl 35.5 O 16 Cu 64 Mg 24 C 12 Al 27Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题（本题包括16小题，每小题3分，共48分，每小题只有一个正确答案）1.下列设备工作时，把化学能转化为电能的是A.硅太阳能电池B.燃气灶C.太阳能集热器D.锂离子电池A. AB. BC. CD. D2. 下列反应中，既属于氧化还原反应，反应前后物质的总能量变化又能用如图表示的是A. Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl反应B. 铝与稀盐酸C. 灼热的炭与CO2反应D. 甲烷与O2的燃烧反应3．反应C(s)+H2O(g) CO(g)+H2(g)在一容积可变的密闭容器中进行，下列条件的改变对反应速率几乎没有影响的是A．保持体积不变，充入氮气使体系的压强增大B．升温C．将容器的体积缩小为一半H O(g)的量D．保持体积不变，增加24. 在一定温度下的恒容密闭容器中，当下列条件不再改变时，表明反应A(s)+2B(g)C(g)+D(g)已达到平衡状态的有①单位时间内生成amolA和2amolB ②混合气体的平均摩尔质量不再变化③A的浓度不再变化④混合气体的密度不再变化⑤容器内气体的压强不变⑥混合气体质量A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 自然界的氮循环包括以下过程，下列说法中不正确的是A．硝化过程中，含氮物质被氧化B．氨氧化过程中，亚硝态氮元素与铵态氮元素理论物质的量之比为3：4NH属于氮的固定，N2发生还原反应C．N2→+4D．土壤中Fe2+和Fe3+的存在有利于从与其接触的水体中除去氮元素6. 反应：3A(g)+B(g)=2C(g)+2D(g)，在不同条件下，用不同物质表示其反应速率，分别为①v(A)=1.35 mol·L-1·min-1 ②v(B)=0.35 mol·L-1·min-1 ③v(C)=0.05 mol·L-1·s-1④v(D)=0.45 mol·L-1·min-1，则此反应在不同条件下进行最快的是A. ②B. ①C.④D.③7．化学反应H2(g)+Cl2(g)=2HCl(g)的能量变化如图所示，则下列说法正确的是A. 该反应是吸热反应B. 断裂2molH—Cl键时需要吸收ykJ的能量C. 断裂1molH—H键和1molCl—Cl键时能放出xkJ的能量D. 2molHCl(g)的总能量高于1molH2(g)和1molCl2(g)的总能量8．已知X、Y、Z、W(含同一元素)有如下所示转化关系,且X能与W发生反应生成一种易溶于水的盐，则X可能是X Y Z WA.N2B.NO2C.NH3D.NO9. 氢氧燃料电池是一种常见化学电源，其工作示意图如图。
浙江省余姚2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
余姚2023学年第二学期期中检测高一数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1i22i z -=+，则z z -=（）A .i- B.iC.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ''''，且//O A B C ''''，242O A B C A B '''''='==，，则该平面图形的高为（）A. B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意计算可得O C ''，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.【详解】在直角梯形O A B C ''''中，//O A B C ''''，24,2O A B C A B ''''='=='，则O C ==''直角梯形O A B C ''''对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC ，则有//,,24,242BC OA OC OA OA BC OC O C ''⊥====，所以该平面图形的高为42.故选：C.3.在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，点E 在线段BD 上，且3BE ED = ，则AE =（）A.1142AD AC + B.1124AD AC +C.3144AD AC +D.1344AD AC +【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案.【详解】因为O 是AC 的中点，12AO AC ∴= ，又由3BE ED =可得E 是DO 的中点，11112224AE AD AO AD AC ∴=+=+ .故选：B.4.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生D.至少有1名女生和至多有1名男生【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断即可.【详解】依题意可能出现2名男生、1名男生1名女生、2名女生；对于A ：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A 正确；对于B ：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B 错误；对于C ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C 错误；对于D ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D 错误.故选：A5.已知点()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．则AB 在BC上的投影向量为（）A.10310,55⎛ ⎝⎭B.10310,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.13,55⎛⎫⎪⎝⎭ D.13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】因为()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．所以()1,1AB =-uu u r，()1,3BC =--，5cos ,5AB BC AB BC AB BC⋅〈〉==-⋅，所以向量AB 与BC的夹角为钝角，因此量AB 在BC上的投影向量与BC 方向相反，而cos ,55AB AB BC ⋅〈〉==，155BC == ，所以AB 在BC 上的投影向量为()11131,3,5555BC ⎛⎫-⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭，故选：C6.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对应的边，其公式为：ABCS ==若22sin sin C c A =，3cos 5B =，a b c >>，则利用“三斜求积术”求ABC 的面积为（）A.54B.34 C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理可得2ac =，由余弦定理可得222625a cb +-=，在结合已知“三斜求积术”即可求ABC 的面积.【详解】解：因为22sin sin C c A =，由正弦定理sin sin a c A C=得：22c c a =，则2ac =又由余弦定理2223cos 25a cb B ac +-==得：22236255a c b ac +-==则由“三斜求积术”得45ABC S == .故选：D.7.已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A.236,48s x =<B.236,48s x =>C.236,48s x ><D.236,48s x <>【答案】B 【解析】【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，根据方差的定义得()()()2221248148363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，而()()()4221222813628843668035s x x x +⎡-⎤=-+>⎣⎦-+ .【详解】设收集的48个准确数据为1248,,x x x ，所以124834383650x x x +++++= ，所以12481728x x x +++= ，所以124824483650x x x x +++++== ，又()()()222221248148363636(3436)(3836)50x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()22212481363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，()()()42222222183636(2436)(48136536)0s x x x ⎡⎤=-+⎣⎦-++-+-+- ()()()222281413628848365360x x x ⎡⎤=+-+-+->⎣⎦ ，故选：B.8.在ABC 中，π6A =，π2B =，1BC =，D 为AC 中点，若将BCD △沿着直线BD 翻折至BC D '△，使得四面体C ABD '-的外接球半径为1，则直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值是（）A.3B.23C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定BC D '△为等边三角形，利用正弦定理可确定ABD △外接圆半径，由此可知ABD △外接圆圆心O 即为四面体C ABD '-外接球球心，由球的性质可知OG ⊥平面BC D '，利用C OBD O C BD V V ''--=可求得点C '到平面ABD 的距离，由此可求得线面角的正弦值.【详解】π6A =，π2B =，1BC =，2AC ∴=，又D 为AC 中点，1AD CD BD ∴===，则1BC C D BD ''===，即BC D '△为等边三角形，设BC D '△的外接圆圆心为G ，ABD △的外接圆圆心为O ，取BD 中点H ，连接,,,,,C H OH OG OB OC OD ''，π6A =，1BD =，112sin BDOB A∴=⋅=，即ABD △外接圆半径为1，又四面体C ABD '-的外接球半径为1，O ∴为四面体C ABD '-外接球的球心，由球的性质可知：OG ⊥平面BC D '，又C H '⊂平面BC D '，OG C H '∴⊥，22333C G CH '===，1OC '=，3OG ∴=；设点C '到平面ABD 的距离为d ，由C OBD O C BD V V ''--=得：1133OBD C BD S d S OG '⋅=⋅ ，又OBD 与C BD ' 均为边长为1的等边三角形，3d OG ∴==，直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值为3d BC ='.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C.有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组【答案】AB 【解析】【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，众数、中位数的定义，以及分层抽样的定义，即可求解.【详解】对于A ，平均数为12334536+++++=，将数据从小到大排列为1,2,3,3,4,5，所以中位数为3332+=，A 正确；对于B ，数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3，B 正确；对于C ，根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为3918312÷=++，C 错误；对于D ，乙数据的平均数为56910575++++=，乙数据的方差为()()()()()22222157679710757 4.445⎡⎤-+-+-+-+-=>⎣⎦，所以这两组数据中较稳定的是甲组，D 错误.故选：AB.10.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，22sin a bc A =，下列说法正确的是（）A.若1a =，则14ABC S =△B.ABC 外接圆的半径为bc aC.c b b c+取得最小值时，π3A =D.π4A =时，c b b c+值为【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由正弦定理化简2sin a b C =可得1sin 2C b=，再根据三角形面积公式判断即可；对B ，根据2sin a b C =结合正弦定理判断即可；对C ，根据正弦定理与余弦定理化简sin 2sin sin A B C =可得π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D ，根据三角函数值域求解即可.【详解】对A ，因为22sin a bc A =，由正弦定理可得sin 2sin sin a A b A C =，因为()0,πA ∈，则sin 0A >，则2sin a b C =，又因为1a =，故1sin 2C b =，故三角形面积为1111sin 12224ABC S ab C b b ==⨯⨯⨯=△，故A 正确；对B ，2sin a b C =，则sin 2aC b=，设ABC 外接圆的半径为R ，则2sin cR C=，故22c bc R a a b==⨯，故B 正确；对C ，因为22sin a bc A =，由余弦定理222sin 2cos b c c A b bc A =+-，即()222sin cos bc A A b c +=+，化简可得π4b c A c b⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得2b c c b +≥=，当且仅当b c =时取等号，此时πsin 42A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故当π2A =，π4B C ==时，b c c b +取得最小值2，故C 错误；对D ，由C，π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当π4A =时，b c c b+的值为，故D 正确；故选：ABD.11.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱,,AD AB BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点（包含端点），则（）A.存在点P ，使得1//C G 平面BEPB.对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPC.两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒D.点1B 到直线1D F 的距离为4【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项当P 与1D 重合时，用线面平行可得出11//C G D E ，进而可得；B 选项证明BE ⊥平面1FCC 即可得出；选项C 由正方体的性质和画图直接得出；选项D 由余弦定理确定1145B D F ∠=︒，之后求距离即可.【详解】A ：当P 与1D 重合时，由题可知，11111111//,,//,,//,EG DC EG DC D C DC D C DC EG D C EG D C ==∴=，四边形11EGC D 为平行四边形，故11//C G D E ，又1C G ⊄平面BEP ，1D E ⊂平面BEP ，则1//C G 平面BEP ，故A 正确；B ：连接CF ，1CC ⊥ 平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，1CC BE ∴⊥，又,,,AE BF AB BC A CBF BAF CBF ==∠=∠∴ ≌，故90,AEB BFC EBA BFC CF BE ∠=∠⇒∠+∠=︒∴⊥，又11,,CF CC C CF CC =⊂ 平面1FCC ，BE ∴⊥平面1FCC ，又BE ⊂平面BEP ，故对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP ，故B 正确；C：由正方体的结构特征可知11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1AD 和1D C 所成的角，由图可知为60︒，故C 错误；D ：由正方体的特征可得1111B D FD B F =====，222222111111111116cos ,4522B D FD B FB D F B D F B D FD +-+-∴∠===∴∠=︒⋅，所以点1B 到直线1D F 的距离1111sin 42d B D B D F =∠==，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为______.【答案】19【解析】【分析】根据题意，得到基本事件的总数为27n =，以及所求事件中包含的基本事件个数为3m =，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件的总数为3327n ==，三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为3m =，则三人恰好参加同一个社团的概率为31279m P n ===.故答案为：19.13.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()12AP mAC AB m =+∈R ，若2AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为______.【答案】3【解析】【分析】利用//CP CD ，结合已知条件可把m 求出，由平面向量基本定理把AP 、CD 用已知向量AB 、AC表示，再利用数量积的运算法则可求数量积．【详解】 2AD DB =，∴23AD AB = ，//CP CD，∴存在实数k ，使得CP kCD = ，即()AP AC k AD AC -=- ，又 12AP mAC AB =+ ，则()12123m AC AB k AB AC ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，∴11223m kk -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，34k ∴=，14m =，则()112423AP CD AP AD AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221111611π242cos 33433433AB AC AB AC =--⋅=--⨯⨯ ，故答案为：3．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则点P 的轨迹长度为______.【解析】【分析】确定正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 与1AB C V 的交点E ，求出EP 确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥，而BD AC ⊥，1DD BD D =I ，1DD ，BD ⊂平面1BDD ，于是AC ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，而1AC AB A ⋂=，AC ，1AB ⊂平面1AB C ，因此1BD ⊥平面1AB C ，令1BD 交平面1AB C 于点E ，由11B AB C B ABC V V --=，得111133AB C ABC S BE S BB ⋅=⋅ ，即)23142BE AB ⋅⋅=，解得BE AB ==而1BD ==1D E =，因为点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则EP ==因此点P 的轨迹是以点E 为半径的圆在1AB C V 内的圆弧，而1AB C V 为正三角形，则三棱锥1B AB C -必为正三棱锥，E 为正1AB C V 的中心，于是正1AB C V 的内切圆半径111323232EH AB =⨯⨯=⨯=，则cos 2HEF ∠=，即π6HEF ∠=，π3FEG ∠=，所以圆在1AB C V 内的圆弧为圆周长的12，即点P 的轨迹长度为12π2⋅=【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知z 为复数，2i z +为实数，且(12i)z -为纯虚数，其中i 是虚数单位.（1）求||z ；（2）若复数2(i)z m +在复平面上对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（2）()2,2-【解析】【分析】（1）设=+i ,R z a b a b ∈，，根据复数代数形式的乘法法则化简2i z +与(12i)z -，根据复数为实数和纯虚数的条件，即可求出a b ，，利用复数模长公式，即可求得到复数的模长；（2）由（1）知，求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】设=+i ,R z a b a b ∈，，()2i=2i z a b +++，因为2i z +为实数，所以20b +=，即2b =-所以(12i)(2i)(12i)42(1)i z a a a -=--=--+，又因为(12i)z -为纯虚数，所以40a -=即4a =，所以42z i =-，所以z ==.【小问2详解】由（1）知，42iz =+所以222(i)(42i i)16(2)8(2)i m m z m m +=++=-+++，又因为2(i)z m +在复平面上所对应的点在第一象限，所以216(2)08(2)0m m ⎧-+>⎨+>⎩，解得：22m -<<所以，实数m 的取值范围为()2,2-.16.某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，第四组[]90,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m 的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）【答案】（1）0.01m =，中位数为82.5．（2）82x =，有520名学生获奖．【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等即可求解；（2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和及不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知：()0.030.040.02101m ++++⨯=，解得0.01m =，设此次竞赛活动学生得分的中位数为0x ，因数据落在[)60,80内的频率为0.4，落在[)60,90内的频率为0.8，从而可得08090x <<，由()0800.040.1x -⨯=，得082.5x =，所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．【小问2详解】由频率分布直方图及（1）知：数据落在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，650.1750.3850.4950.282x =⨯+⨯+⨯+⨯=，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为90820.20.40.5210-+⨯=，则10000.52520⨯=，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖17.在①()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-；②2cos 0cos b a A c C--=；③向量()m c = 与(cos ,sin )n C B = 平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足______.（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形,且2c =,求ABC 周长的取值范围；（3）在（2）条件下,若AB 边中点为D ,求中线CD 的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）【答案】（1）条件选择见解析,3π（2）2,6]+（3）3CD <≤【解析】【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度；选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.（2）根据（1）中结果和2c =，把ABC 周长转化成π4sin 26A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后再求解范围.（3）根据中线公式和正弦定理，把CD 转化成三角函数求解即可.【小问1详解】选①：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，()()()a c a c b a b ∴+-=-,即222c a b ab =+-，1cos 2C ∴=，()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选②：2cos 0cos b a A c C--=，2sin sin cos sin cos B A A C C-∴=,2sin cos sin cos sin cos B C A C C A ∴-=，1cos 2C ∴=,()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选③：向量()m c = 与(cos ,sin )n C B =平行，sin cos c B C ∴=,sin sin cos C B B C ∴=,tan C ∴=()0,πC ∈ ,π3C ∴=.【小问2详解】π,23C c == ,sin sin sin a b c A B C==,23sin )2sin())2sin )232a b c A B A A A A π∴++=++=+-+=+4sin(26A π=++. ABC 为锐角三角形,π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<，πsin ,162A ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.ABC ∴周长的取值范围为2,6]+.【小问3详解】224a b ab =+- ，又由中线公式可得222(2)42()2(4)CD a b ab +=+=+，21624442·sin sin 33CD B A A π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭2161161142·sin cos sin 42·sin 23223426A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.即254πsin 2336CD A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<,ππ5π2666A ∴<-<.3CD <≤.18.三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面ABC ，ABAC ⊥，12AB AC AA ===，111A C =，M ，N 分别是BC ，BA 中点.（1）求1A N 与1CC 所成角的余弦值；（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成成角的余弦值；（3）求1CC 与平面1C MA 所成角的正弦值.【答案】（1）45（2）23（3）15【解析】【分析】（1）根据题意，证得11//MN A C 和11//A N MC ，得到1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，利用余弦定理，即可求解；（2）过M 作ME AC ⊥，过E 作1EF AC ⊥，连接1,MF C E ，证得ME ⊥平面11ACC A ，进而证得1AC ⊥平面MEF ，得到平面1C MA 与11ACC A 所成角即MFE ∠，在直角MEF 中，即可求解；（3）过1C 作1C P AC ⊥，作1C Q AM ⊥，连接,PQ PM ，由1C P ⊥平面AMC ，得到1C P AM ⊥和1C Q AM ⊥，得到AM ⊥平面1C PQ 和PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，求得23PR =，求得C 到平面1C MA 的距离是43，进而求得1CC 与平面1C MA 所成角.【小问1详解】解：连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，得//MN AC ，且12AC MN ==，在三棱台111ABC A B C -中，可得11//A C AC ，所以11//MN A C ，由111MN A C ==，可得四边形11MNAC 是平行四边形，则11//A N MC ，所以1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，由111CC A N C M CM ====，可得14cos5CC M ∠=.【小问2详解】解：过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ，连接1,MF C E .由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又因为ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，因为1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，且,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，可得1AC MF ⊥，所以平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠，又因为12AB ME ==，1cos CAC ∠=，则1sin CAC ∠=所以11sin EF CAC =⨯∠=，在直角MEF 中，90MEF ∠=，则MF ==2cos 3EF MFE MF ∠==.【小问3详解】解：过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R ，由11C A C C ==，1C M ==12C Q ==，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，因为1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ ，又因为PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，因为1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，所以PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，1122223322PC PQ PR QC ⋅⋅==，因为2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43，设所求角为θ，则43sin 15θ==.19.如图①，在矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为CD 的中点，如图②，将AED △沿AE 折起，点M 在线段CD 上．（1）若2DM MC =，求证AD ∥平面MEB ；（2）若平面AED ⊥平面BCEA ，是否存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直？若存在，求此时三棱锥B DEM -的体积，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，169【解析】【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，再利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】如图，连AC ，交EB 于G ，在矩形ABCD 中，E 为DC 中点，AB EC ∴∥，且2AB EC =，2AG GC ∴=，又2DM MC =，AD MG ∴∥，又MG ⊂平面MEB ，AD ⊄平面MEB ，AD ∴∥平面MEB ．【小问2详解】存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直.在矩形ABCD 中，12DE DA AB ==，45DEA BEC ∴∠=∠=︒，90AEB ∴∠=︒，即AE EB ⊥，已知平面AED ⊥平面BCEA ，又平面AED 平面BCEA AE =，BE ∴⊥平面AED ，DE ⊂平面AED ，BE DE ∴⊥．①取AE 中点O ，则DO AE ⊥，平面AED ⊥平面BCEA ，平面AED 平面BCEA AE =，DO ∴⊥平面BCEA ，由（1）知当2DM MC =时，AD MG ∥，AD DE ⊥ ，MG DE ∴⊥．②而BE MG G ⋂=，,⊂BE MG 平面MEB ，DE ∴⊥平面MEB ，又DE ⊂平面DEB ，∴平面DEB ⊥平面MEB ．即当2DM MC =时，平面DEB 与平面MEB 垂直．依题意有DE AD ==4AE =，2DO =，(2222121116233333329B DEM B DEC D BEC BEC V V V DO S ---∴===⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△．。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
2023—2024学年度第二学期北京市高一数学期中考试试卷（答案在最后）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.2B.2-C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】11πππsin sin 4πsin 3332⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.tan y x =C.cos 2y x =D.sin 2y x=【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为：2π2π1T ==，故A 不正确；对于B ，tan y x =的最小正周期为：ππ1T ==，tan y x =的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，令()tan f x x =，则()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以tan y x =为奇函数，故B 不正确；对于C ，cos 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，令()cos 2g x x =的定义域为R 关于原点对称，则()()()cos 2cos 2g x x x g x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数，故C 正确；对于D ，sin 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，sin 2y x =的定义域为R ，关于原点对称，令()sin 2h x x =，则()()()sin 2sin 2h x x x h x -=-=-=-，所以sin 2y x =为奇函数，故D 不正确.故选：C .3.设向量()()3,4,1,2a b ==- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.5C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2a b ==-，则cos ,5||||a b a b a b ⋅〈〉==.故选：D4.在△ABC 中，已知1cos 3A =，a =，3b =，则c =（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC 中，1cos 3A =，a =，3b =，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2112963c c =+-⨯，得2230c c --=，解得3c =，或1c =-（舍去），故选：D5.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0ω>，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=，因为0ω>，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<，所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C6.函数ππ()sin(2),[0,]62f x x x =+∈的最大值和最小值分别为（）A.11,2-B.31,2-C.1,12- D.1,1-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,2x ∈，得ππ7π2[,666x +∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，max ()1f x =，当π7π266x +=，即π2x =时，min 1()2f x =-，所以所求最大值、最小值分别为11,2-.故选：A7.已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= （）A.2B.2- C.1 D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π|||2,||2,,,,,44a b c a b b c a c ===〈〉=⊥〈〉= ，因此3π||||cos2(242a c a c ⋅==⨯-=-，0b c ⋅= ，所以()2a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=-.故选：B8.在ABC 中，已知cos cos 2cos a B b A c A +=，则A =（）A.π6B.π4C.π3 D.π2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，则sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，而sin 0C >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故选：C9.已知函数()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω，则“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】以π3x ω+为整体结合正弦函数的性质可得12ω>，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0ω>，则ππππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上既不是增函数也不是减函数，则2πππ33ω+>，解得12ω>，又因为()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[]1,2-B.[]0,2 C.[]0,4 D.[]1,4-【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2A B ，当点P 在CD 上时，设()(),002Px x ≤≤，则()(),2,2,2PA x PB x =-=--，所以()()224133,4PA PB x x x ⎡⎤⋅=-+=-+∈⎣⎦ ；当点P 在BC 上时，设()()2,02P yy ≤≤，则()()2,2,0,2PA y PB y =-=-，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；当点P 在AB 上时，设()(),202Px x ≤≤，则()(),0,2,0PA x PB x ==-，所以()()22111,0PA PB x x x ⎡⎤⋅=-=--∈-⎣⎦ ；当点P 在AD 上时，设()()0,02P y y ≤≤，则()()0,2,2,2PA y PB y=-=--，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；综上：PA PB ⋅的取值范围是[]1,4-.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知圆的半径为2，则60 的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60 的圆心角的弧度数为ππ601803⨯=；所对的弧长为π2π233⨯=.故答案为：π3；2π312.已知向量()2,3a =- ，(),6b x =- .若//a b ，则a =r __________，x =__________.【答案】①.②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为向量()2,3a =- ，所以a == ，又(),6b x =- 且//a b ，所以()326x =-⨯-，解得4x =.；4.13.若函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，则A =__________；将函数()f x 的图象向左至少平移__________个单位，得到函数2sin y x =的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】利用零点的意义求出A ；利用辅助角公式化简函数()f x ，再借助平移变换求解即得.【详解】函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，得ππsin 033A =，解得1A =；则π()sin 2sin()3f x x x x =-=-，显然πππ(2sin[()]2sin 333f x x x +=+-=，所以()f x 的图象向左至少平移π3个单位，得到函数2sin y x =的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,a b c 为非零向量，且(1,0)a = .能够说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题的一组向量,b c的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)-（答案不唯一）【解析】【分析】令向量,b c 与向量a 都垂直，且b c ≠即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)b c ==- ，显然0a b a c ⋅==⋅，而b c ≠ ，因此(0,1),(0,1)b c ==- 能说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题，所以向量,b c的坐标依次为(0,1),(0,1)-.故答案为：(0,1),(0,1)-15.已知函数()2cosπ1xf x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 有无数个零点；③函数()f x 的最大值为1；④函数()f x 没有最小值.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0f x =求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xf x x =+的定义域为R ，又22cos(π)cos π()()()11x x f x f x x x --===-++，所以()2cosπ1xf x x =+为偶函数，故①错误；令2cos ππ1()0cos π0ππ(Z)(Z)122x f x x x k k x k k x ==⇒=⇒=+∈⇒=+∈+，所以函数()f x 有无数个零点，故②正确；因为cos π1x ≤，当ππ(Z)x k k =∈，即(Z)x k k =∈时取等号，又因为211x +≥，当且仅当0x =时取等号，所以有21011x <≤+，当且仅当0x =时取等号，所以有2cos π11x x ≤+，当且仅当0x =时取等号，因此有()2cos π11xf x x =≤+，即()()max 01f x f ==，故③正确；因为()2cosπ1xf x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，只需研究函数在()0,∞+上的情况即可，当x →+∞时2101x →+，又1cosπ1x -≤≤，所以当x →+∞时()0f x →，又()()max 01f x f ==，当102x <<时cos π0x >，210x +>，所以()0f x >，当1322x <<时1cos π0x -≤<，210x +>，所以()0f x <，当1x >时212x +>，0cos π1x ≤≤，所以()12f x <，又()112f =-，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 为连续函数，所以()f x 存在最小值，事实上()f x 的图象如下所示：由图可知()f x 存在最小值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--.（1）求tan θ，tan2θ的值；（2）求πsin ,cos ,cos 4θθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）tan 2θ=，4tan 23θ=-（2）sin 5θ-=，cos 5θ=，π10cos 410θ⎛⎫+=⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出tan θ，再由二倍角正切公式求出tan 2θ；（2）由三角函数的定义求出sin θ，cos θ，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以2tan 21θ-==-，则222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---.【小问2详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以sin 5θ-==，cos 5θ==，所以πππcos cos cos sin sin 444θθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2520555210221⎛⎫- =⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭.17.已知平面向量,,2,3,a b a b a == 与b的夹角为60 ，（1）求22,,a b a b ⋅；（2）求(2)(3)a b a b -⋅+的值：（3）当x 为何值时，xa b -与3a b +rr 垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4-；（3）3013x =.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问1详解】向量,,2,3,a b a b a == 与b 的夹角为60 ，所以2222|4,|9,3||||c |os 0|6a a b b a b a b ===⋅=== .【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⨯-⨯+⨯=- .【小问3详解】由()(3)0xa b a b -⋅+= ，得223(31)4273(31)13300xa b x a b x x x -+-⋅=-+-=-= ，解得3013x =，所以当3013x =时，xa b - 与3a b +r r 垂直.18.已知函数()sin2cos2f x x x =+.（1）求(0)f ；（2）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）π，ππ,Z 82k x k =+∈；（3）()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）利用辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的图象与性质求解即得.【小问1详解】函数()sin2cos2f x x x =+，所以(0)sin0cos01f =+=.【小问2详解】函数π())4f x x =+，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，解得ππ,Z 82k x k =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为ππ,Z 82k x k =+∈.【小问3详解】由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.19.在△ABC 中，7a =，8b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A ∠；（2）求ABC 的面积．条件①：3c =；条件②：1cos 7B =-．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A π∠=；（2）选①②答案相同，ABC 的面积为【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos A ，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c =，再用余弦定理求出cos A ，得到答案；（2）选①，先求出sin 2A =，使用面积公式即可；选②：先用sin sin()C A B =+求出sin C ，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c =．在△ABC 中，因为7a =，8b =，3c =，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；选条件②：1cos 7B =-由余弦定理得：222249641cos 2147a cbc B ac c +-+-===-，解得：3c =或5-（舍去）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；【小问2详解】选条件①：3c =由（1）可得sin 2A =．所以ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=选条件②：1cos 7B =-．由（1）可得1cos 2A =．因为sin sin[()]C A B =π-+sin()A B =+sin cos cos sin A B A B=+11()72=-+⨯3314=，所以ABC 的面积11sin 7822S ab C ==⨯⨯=．．20.已知函数()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的在[]0,π上单调递减区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）32（2）π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x ≤+≤，解得即可；（3）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ππcos2cos2cossin 2sin 33x x x =++3cos2sin 222x x =+1cos2sin 222x x ⎫=+⎪⎪⎭π23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当[]0,πx ∈时ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令ππ3π2232x ≤+≤，解得π7π1212x ≤≤，所以函数()f x 的在[]0,π上的单调递减区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】当[]0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，所以π2π23π3m ≤<+，解得5π4π63m ≤<，即m 的取值范围为3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR ，其中P 在 BC 上，PQ AB ⊥，垂足为Q ，PR AC ⊥，垂足为R ，设π0,3PAB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭；（1）求PQ ，PR （用α表示）；（2）当P 在BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时α的值.【答案】（1）60sin PQ α=，π60sin 3PR α⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）三角形绿地的最大面积是平方米，此时π6α=【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ 、PR ；（2）依题意可得2π3QPR ∠=，则1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠ ，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.【小问1详解】在Rt PAQ 中，π0,3PAB ∠α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，60AP =，∴sin 60sin PQ AP αα==（米），又π3BAC ∠=，所以π3PAR α∠=-，在Rt PAR 中，可得πsin 60sin 3PR PAR AP α⎛⎫==-⎪⎝⎭∠（米）.【小问2详解】由题可知2π3QPR ∠=，∴PQR 的面积1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠1π2π60sin 60sin sin 233αα⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭πsin3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33ααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭112cos 222αα⎫=+-⎪⎪⎭π1sin 262α⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，526πππ,66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ262α+=，即π6α=时，PQR 的面积有最大值即三角形绿地的最大面积是π6α=.。
人大附中2023-2024学年第二学期高一数学期中试卷与答案
人大附中2023～2024学年第二学期高一数学期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.在平行四边形ABCD 中，BA DA += （）A.CAB.ACC.BDD.DB2.已知角α终边上一点(1,)P y ，若cos 5α=，则y 的值为（）A.B.2C.D.2±3.下列函数中，既是偶函数又在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（）A.tan y x= B.sin y x= C.cos y x= D.sin y x x=4.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC=-+uu u r uu ur uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r5.把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移后，得到新函数的解析式为（）A.πsin(216y x =++ B.πsin(2)16y x =-+C.πsin(2)13y x =++ D.πsin(213y x =-+6.在人大附中π节活动的入场券中有如下图形，单位圆M 与x 轴相切于原点O ，该圆沿x 轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时，其对应x 轴的位置正好是π，若在整个运动过程中当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为N ），此时小猫头鹰位于A 处，圆N 与x 轴相切于B ，则劣弧AB 所对应的扇形面积是（）A.1B.2C.π3D.π47.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>≠，则“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知O 为坐标原点，P 是α终边上一点，其中4cos ,||45OP α==，非零向量a的方向与x 轴正方向相同，若,[0,5]||OQ a a λλ=∈ ，则OP OQ -取值范围是（）A.16,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.12,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.16,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.函数sin 3sin 5()sin 35x xf x x =++图像可能是（）A.B.C. D.10.已知函数sin ()xf x x=，下列结论错误的是（）A.()f x 的图像有对称轴B.当(π,0)(0,π)x ∈-⋃时，cos ()1x f x <<C.sin ()xf x x=有最小值 D.方程()cos ln f x x x =-在(1,)π上无解二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11.若3sin 4θ=，则cos π2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．12.能使“πsin sin 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭”成立的一个α的值为______.13.四边形ABCD 中，AB t DC =，且AB AC BD λμ=+，若43λμ-=，则t =______．14.已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则ω=______，ϕ=______．15.已知,2n n ∈≥N ．在(){}12Ω,,,,1,2,,n i xx x x x x i n ==∈=R∣中，设()()()()121200,0,,0,1,1,,1,,,,,,,,Ωn n e a a a a b b b b ==∀==∈，定义：()()112211221,,,;,,,;n n n n n i i a b a b a b a b a b a b a b a b a a =+=+++⊗==∑．设(){12,,0niT x x x x == ∣或}1,1,2,,i n = ．给出下列四个结论：①,,,()()();a b c a b c a c b c ∀∈Ω+⊗=⊗+⊗②,,a b a b a b ∀∈Ω⊗≤ ；③若,,x y T x y x ∈⊗= ，则y e =；④,,x y T x y ∀∈≠ ，都有0x y ⊗=，则T 最多有1n +个元素．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16.已知函数cos y x a =+的最大值为2，将其图像向右平移π6得到函数()y f x =的图像；把()y f x =图像上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到()y g x =的图像．（1）求()y g x =的解析式和最小正周期；（2）求()y g x =在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．17.已知函数()()π0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.（1）若(0)2f =-，求ϕ的值；（2）已知()f x 在区间π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值.条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件②：π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件③：(),a f x ∀∈R 在区间[],2πa a +上至少2个零点.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(2,4),(3,1),(1,2),,||5A B C CD OB OD =∥．（1）求OD的坐标；（2）已知(1)OM OA OB λλ=+-，且OM MD OD -= ，求λ的值．第Ⅱ卷（共11道题，满分50分）一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19.如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心O 重合，M ，N 分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则OM ON +的取值范围是（）A.[1,B.[1,1]+C.D.1]20.古希腊数学家帕普斯（Pappus ，约A.D.290－A.D.350）利用如图所示的几何图形，由||||||OC OD CD =+直观简洁地证明了当,αβ为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（）A.cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-B.cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+C.sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- D.sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+21.已知函数()tan (sin cos 1)(sin cos 1)f x x x x x x =+++-，下列说法正确的是（）A.()f x 图像关于原点对称，且最小值为0B.()f x 图像关于原点对称，且最大值为2C.()f x 图像关于y 轴对称，且最小值为0D.()f x 图像关于y 轴对称，且最大值为222.下列函数中，满足“*n ∀∈N ，,()()x f nx nf x ∀∈≤R ”的是（）A.|cos |y x = B.|sin |y x = C.cos ||y x = D.sin ||y x =23.若e sin cos 0x a x x +-≥在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（）A.[0,)+∞ B.π2e ,⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.π2e ,0⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦24.已知221212,,,,(0,2)44x x A x B x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三点共线，其中12x x ≠，点A 关于y 轴的对称点为点D ，给出下面四个结论：①AOB 不可能．．．为等边三角形；②设OC OA OB λμ=+，则当λμ最大时，120x x +=；③128x x =-；④当AB 不与y 轴垂直时，直线BD 过定点．其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题纸上的相应位置．）25.一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t 小时，飞机从北京出发向南的飞行距离．．．．．．．为()f t ，()f t 可以近似地．．．表示为()1935cos (0,0)f t A t A ωω=+>>，则A =______，ω=______．26.若()2sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为3，则ϕ=______．27.已知向量(cos ,1),(1,cos )m a x n a y =+=-+，则集合{},,a x y m n ∈∃∈R R中的所有元素之和为______．28.在现实生活中，一个符合实际的函数模型经常是将不同的函数组合得到的，如听音乐家演奏音乐时，我们听到的声音常常就是多种不同乐器产生的声波叠加的结果．在学习了向量和三角函数后，人大附中某研学小组利用所学知识研究若干振幅相同，同频同向的简谐波叠加后，得到新的简谐波的振幅和初相规律，该小组把[]0cos (1),1,2,,i x a t i i N ωθ=+-= （N 为正整数）叠加，研究1cos()iNi xA t ωϕ==+∑中的A和ϕ，其中0,0,0,02πa A ωϕ>>>≤<．（1）当0π1,,33a N ωθ====时，A =______，ϕ=______．（2）当0π2,,1112a N θ===时，A =______，ϕ=______．三、解答题（本小题10分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）29.已知()*12N ,2,,,,n n n a x x x ∈≥=为n 维向量，若11,1,2,,i x i n -<<= ，则称a为可聚向量．对于可聚向量a实施变换T ：把()12,,,n a x x x = 的某两个坐标,()i j x x i j ≠删除后，添加1i j i jx x x x ++作为最后一个坐标，得到一个n 1-维新向量(1)a ，如果(1)a为可聚向量，可继续实施变换T ，得到新向量(2)a ，……，如此经过k 次变换后得到的向量记为()a k．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量a 经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量a的聚数．（1）设110,,23a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，直接写出(1)a 的所有可能结果；（2）求证：对于任意一个(2)n n ≥维可聚向量a，变换T 总可以进行n 1-次；（3）设5111511111,,,,,,,,,7654623456a ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭，求a的聚数的所有可能结果．人大附中2023～2024学年第二学期高一数学期中试卷与答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.在平行四边形ABCD 中，BA DA += （）A.CAB.ACC.BDD.DB【答案】A【分析】利用向量加法的平行四边形法则求解即得.【详解】在ABCD Y 中，,BA CD DA CB ==，所以BA DA CD CB CA +=+=.2.已知角α终边上一点(1,)P y ，若cos 5α=，则y 的值为（）A.B.2C.D.2±【答案】D【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得.【详解】由角α终边上一点(1,)P y ，得r =，因此5cos 5α==，解得2y =±，所以y 的值为2±.3.下列函数中，既是偶函数又在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（）A.tan y x =B.sin y x= C.cos y x= D.sin y x x=【答案】D【分析】根据奇偶性的定义判断排除AB ，再由单调性排除C 的可得．【详解】由三角函数性质知选项AB 中函数都是奇函数，C 中函数是偶函数，但它在π(0,)2上是减函数，也排除，只有D 可选，实际上，记()sin f x x x =，则()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，它是偶函数，又设12π02x x <<<，则120sin sin x x <<，因此1122sin sin x x x x <，即12()()f x f x <，()f x 在π(0,2上是增函数，满足题意．4.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC=-+uu u r uu ur uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC =-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r 【答案】A【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+-1322AB AC =-+，5.把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移后，得到新函数的解析式为（）A.πsin(216y x =++B.πsin(2)16y x =-+C.πsin(2)13y x =++ D.πsin(213y x =-+【答案】C【分析】把函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，写出解析式即可.【详解】把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移，即把函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，所以得到新函数的解析式为ππsin 2(1sin(2)163y x x =++=++.6.在人大附中π节活动的入场券中有如下图形，单位圆M 与x 轴相切于原点O ，该圆沿x 轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时，其对应x 轴的位置正好是π，若在整个运动过程中当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为N ），此时小猫头鹰位于A 处，圆N 与x 轴相切于B ，则劣弧AB 所对应的扇形面积是（）A.1B.2C.π3D.π4【答案】A【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得.【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M 、圆N 与x 轴分别相切于原点O 和B ，则2OB MN ==，依题意，圆M 沿x 轴向右无滑动地滚动，因此劣弧AB 长等于OB 长2，所以劣弧AB 所对应的扇形面积是11212⨯⨯=.7.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>≠，则“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当π2π,Z 2k k ϕ=+∈时，π()si 2n()os π2c f x A x A x k ωω=+=+，()f x 为偶函数；反之，()f x 为偶函数，则π2π,Z 2k k ϕ=+∈或π2π,Z 2k k ϕ=-∈，所以“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的充分不必要条件.8.已知O 为坐标原点，P 是α终边上一点，其中4cos ,||45OP α==，非零向量a的方向与x 轴正方向相同，若,[0,5]||OQ a a λλ=∈ ，则OP OQ -取值范围是（）A.16,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.12,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.16,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据向量模的坐标表示写出模的表达式，然后由函数性质得结论．【详解】由已知1612(,55P 或1612(,)55-，1612(,)55OP = 或1612(,)55-，(1,0)(,0)OQ a a λλλ=== ，1612(,)55OP OQ λ-=-±，OP OQ -= 05λ≤≤，所以165λ=时，OP OQ - 取最小值125，0λ=时，OP OQ - 取最大值4，9.函数sin 3sin 5()sin 35x xf x x =++图像可能是（）A.B.C. D.【答案】D【分析】根据函数图象的对称性排除AC ，再结合函数值π()2f 大小排除B ，从而得正确结论．【详解】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项，但是sin(3π3)sin()sin 3sin 5sin (35π5)(π)sin(π)355x x f x x xx x x f ---=-++=+=+，因此()f x 的图象关于直线π2x =对称，可排除AC ，又3π5πsinsinππ111322()sin 1122353515f =++=-+=<，排除B ，10.已知函数sin ()xf x x=，下列结论错误的是（）A.()f x 的图像有对称轴 B.当(π,0)(0,π)x ∈-⋃时，cos ()1x f x <<C.sin ()xf x x=有最小值 D.方程()cos ln f x x x =-在(1,)π上无解【答案】D【分析】选项A ，根据条件可得sin ()xf x x=为偶函数，即可判断选项A 的正误，选项B ，利用偶函数的性质，先判断π()0,x ∈时，cos ()1x f x <<成立，分π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭两种情况，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，利用三角函数的符号即可判断成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用三角函数的定义及弧长公式，即可判断成立；选项C ，利用sin y x =的周期性及sin ()x f x x =的奇偶性，当0x >，得到sin ()xf x x=存在最小值，则最小值只会在区间()π,2π内取到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可判断出选项C 的正误；选项D ，利用零点存在性原理，即可判断出选项D 的正误，从而得出结果.【详解】对于选项A ，易知sin ()xf x x=的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又sin()sin ()()x x f x f x x x--===-，所以sin ()xf x x =为偶函数，关于y 轴对称，所以选项A 结论正确，对于选项B ，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≤，又0sin 1x <≤，π12x ≥>，所以sin 0()1x f x x <=<，即当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos ()1x f x <<成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图，在单位圆中，设OP 是角x 的终边，过A 作x 轴的垂线交OP 于T ，过P 作x 轴的垂线交x 轴于H ，易知 AP x =，由三角函数的定义知，sin ,tan PH x AT x ==，由图易知OPA OAT POA S S S << 扇形，即111222PH x AT <<，得到 PH APAT <<，所以sin tan <<x x x ，即有sin cos 1xx x<<，所以π()0,x ∈时，cos ()1x f x <<成立，又由选项A 知，sin ()xf x x=为偶函数，当(π,0)x ∈-时，(π,0)x -∈-，所以cos()()1x f x -<-<，即cos ()1x f x <<，所以选项B 中结论正确，对于选项C ，因为sin y x =周期函数，最小正周期为2π，当0x >时，如果sin ()xf x x=存在最小值，则最小值只会在区间()π,2π内取到，当()π,2πx ∈时，2cos sin ()x x xf x x-'=，令()cos sin h x x x x =-，则()cos sin cos sin 0h x x x x x x x '=--=->在区间()π,2π上恒成立，又(π)π0h =-<，3π(102h =>，所以存在03ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使0()0h x =，当()0π,x x ∈时，()0h x <，当()0,2πx x ∈时，()0h x >，所以sin ()xf x x=在区间()0π,x 上单调递减，在区间()0,2πx 上单调递增，所以sin ()x f x x =在0x x =处取到最小值，即当0x >时，sin ()xf x x=存在最小值，由选项A 知，sin ()xf x x=为偶函数，所以选项C 的结论正确，对于选项D ，由()cos ln f x x x =-，得到sin cos ln 0xx x x+=，令sin ()cos ln xh x x x x=+，所以(1)sin10h =>，(π)ln π0h =-<，由零点存在性原理知，sin ()cos ln xh x x x x=+在区间(1,π)至少有一个零点，所以选项D 的结论错误，【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C ，利用sin y x =的周期性及sin ()xf x x=的奇偶性，得到当0x >时，sin ()xf x x=存在最小值，则最小值只会在区间()π,2π内取到，再利用导数与函数单调性间的关系来解决问题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11.若3sin 4θ=，则cos π2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】34-或－0.75【分析】由诱导公式计算．【详解】由题意π3cos()sin 24θθ+=-=-，12.能使“πsin sin 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭”成立的一个α的值为______.【答案】3π8（答案不唯一）【分析】将等式移项后运用和差化积公式，化简成πcos()08α+=，即可求得一个α的值.【详解】先证明和差化积公式：因()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ-=-两式相减得，()()sin sin 2cos sin ,αβαβαβ+--=取θαβϕαβ=+=-，，则有,22θϕθϕαβ+-==，代入上式，即可得sin sin 2cos sin 22θϕθϕθϕ+--=，证毕.由πsin sin 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得πsin sin 04αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即08ππ2cos()sin 8α+=，则得πcos()08α+=，从而πππ82k α+=+，k ∈Z ，可取2ππ8α+=，解得3π8α=.13.四边形ABCD 中，AB t DC = ，且AB AC BD λμ=+ ，若43λμ-=，则t =______．【答案】2【分析】由题设可得//AB DC 且AB tDC =，利用相似三角形和向量的线性运算将AB 用AC与BD 的另式表达，根据平面向量基本定理列出方程求解即得.【详解】如图，由AB t DC =可得//AB DC 且AB tDC =，易得ABE CDE V :V ,则有,,11t t AE AC BE BD t t ==++于是11t t AB AE EB AC BD t t =+=-++,因AB AC BD λμ=+ ，故得1,1t t tt λμ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩由4311t t t t λμ+==+-+，解得：2t =.14.已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则ω=______，ϕ=______．【答案】①.2②.5π6或5π6【分析】由图象首先得A ，然后由点(0,1)对应的正弦函数上的点求出ϕ，再由图象确定周期，得ω值．【详解】由图形2A =，2sin 1=ϕ，1sin 2ϕ=，由图象知5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，而π<ϕ，所以5π6ϕ=，由图象知最小正周期为π2π2T =⨯=，所以2π2πω==，15.已知,2n n ∈≥N ．在(){}12Ω,,,,1,2,,n i xx x x x x i n ==∈=R∣中，设()()()()121200,0,,0,1,1,,1,,,,,,,,Ωn n e a a a a b b b b ==∀==∈，定义：()()112211221,,,;,,,;n n n n n i i a b a b a b a b a b a b a b a b a a =+=+++⊗==∑．设(){12,,0niT x x x x == ∣或}1,1,2,,i n = ．给出下列四个结论：①,,,()()();a b c a b c a c b c ∀∈Ω+⊗=⊗+⊗②,,a b a b a b ∀∈Ω⊗≤；③若,,x y T x y x ∈⊗= ，则y e =；④,,x y T x y ∀∈≠ ，都有0x y ⊗=，则T 最多有1n +个元素．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②④【分析】利用给定定义判定①，依据定义展开计算判定②，举反例判定③，分析给定定义判定④即可.【详解】对于①，其实就是每个分量的乘法分配律，则()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗，必定成立，故①正确；对于②，则其等价于()()11221212...n n nn x y x y x y x x x yy y +++≤++++++ ，右边展开以后是包含左边的，但还多出了一些非负的项，所以②也正确.对于③，如果0x =时，那么y任意取均可成立，故③错误，对于④，它的含义是，T 中任意两个元素，不能在同一个位置取1，这就意味着第k 位取1的向量至多有一个，这表明T 中的全部向量的全部分量总共至多有n 个1，从而T 的非零元素个数不超过n 个，从而T 的元素不超过1n +个，则1n +显然能取到，120,,,...,n p p p 即满足，即k p 的第k 位为1，别的均为0，故④正确.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题，解题关键是合理分析题意，然后结合反例法，逐个判断即可．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16.已知函数cos y x a =+的最大值为2，将其图像向右平移π6得到函数()y f x =的图像；把()y f x =图像上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到()y g x =的图像．（1）求()y g x =的解析式和最小正周期；（2）求()y g x =在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．【答案】（1）π()cos(216g x x =-+，最小正周期为π；（2）减区间是π5π[,212--和ππ(,]122【分析】（1）根据余弦函数的最大值求得a ，由图象变换写出解析式，由解析式求得周期；（2）已知区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的长度正好是一个周期，因此可求得函数在此区间上的最高点和最低点的横坐标，根据余弦函数的性质写出单调区间，得出结论．【小问1详解】cos y x a =+最大值是1a +，由题意12a +=，解得1a =，即函数式为cos 1y x =+，所以π()cos(216g x x =-+，最小正周期为2ππ2T ==；【小问2详解】ππ[,]22x ∈-时，π7π5π2[,666x -∈-，区间ππ[,22-的长度正好是一个周期，()g x 取最大值时，由π()cos(2)126g x x =-+=得26π0x -=，π12x =，()g x 取最小值时，由π()cos(2)106g x x =-+=得π2π6x -=-，5π12x =-，所以π5π[,212--和ππ(,]122是()g x 的减区间，5ππ(,1212-是()g x 的增区间．所以减区间是π5π[,212--和ππ(,]122．17.已知函数()()π0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.（1）若(0)2f =-，求ϕ的值；（2）已知()f x 在区间π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值.条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件②：π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件③：(),a f x ∀∈R 在区间[],2πa a +上至少2个零点.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π6-（2）选条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1ω=，π6ϕ=-.【分析】（1）根据已知条件()02f =-，代入解析式运算得解；（2）若选条件①，根据正弦函数的性质知不合题意；若选条件②，根据()f x 在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω，再结合2π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭ϕ；若选条件③，由a ∀∈R ，()f x 在区间[],2πa a +上至少2个零点，可得2πT ≤，又()f x 在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得2πT ≥，则2πT =，后面解法与条件②相同.【小问1详解】由()02f =-2ϕ=-，所以1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-.【小问2详解】因为()()f x x ωϕ=+，所以()f x ，最小值为，若选条件①，因为()f x ，最小值为，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②，因为()f x 在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2ππ436T =-，解得2πT =，1ω=，所以()()f x x ϕ=+，又2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以1ω=，π6ϕ=-.若选条件③，因为a ∀∈R ，()f x 在区间[],2πa a +上至少2个零点，所以2πT ≤，又因为()f x 在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以π2T ≥，即2πT ≥，所以2πT =，所以2π1Tω==，所以()()f x x ϕ=+，又2π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以1ω=，π6ϕ=-.18.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(2,4),(3,1),(1,2),,||5A B C CD OB OD =∥．（1）求OD的坐标；（2）已知(1)OM OA OB λλ=+-，且OM MD OD -= ，求λ的值．【答案】（1）(4,3)OD = 或(5,0)OD =-（2）13λ=-【分析】（1）根据两个向量平行，向量的模长公式，列出方程组求解；（2）先判断出,,O M D 三点共线，然后根据（1）中的结果进行分类讨论求解.【小问1详解】设(,)D x y ，由||5OD =可知，(,)5OD x y ===又(1,2)CD x y =-- ，(3,1)OB =，由CD OB∥可得3(2)1y x -=-，即35x y =-，于是5==-⎪⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩或50x y =-⎧⎨=⎩，即(4,3)OD = 或(5,0)OD =-【小问2详解】根据三角形的三边关系可知，若,,O M D 三点不共线，则OM MD OD -<和条件矛盾，故,,O M D 三点共线，且M 在射线OD 或DO 上.(1)(2,4)(1)(3,1)(3,13)OM OA OB λλλλλλ=+-=+-=-+，由（1）知，当(4,3)OD =时，根据,,O M D 三点共线可得，3(3)4(13)λλ-=+，解得13λ=，此时82,233OM OD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，M 在线段OD 上，不符题意；当(5,0)OD =-时，根据,,O M D 三点共线可得，0(3)5(13)λλ-=-+，解得13λ=-，此时102,033OM OD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，M 在射线DO 上，符合题意.综上，13λ=-第Ⅱ卷（共11道题，满分50分）一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19.如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心O 重合，M ，N 分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则OM ON +的取值范围是（）A.[1,B.[1,1]+C.D.1]【答案】B【分析】设OM 的反向延长线与单位圆交于点P ，得出OM ON PN +=，求出N 到圆心的距离的最值后根据圆的性质可得．【详解】如图，OM 的反向延长线与单位圆交于点P ，则OM OP =-，OM ON ON OP PN +=-=，所以OM ON PN += ，又由题意ON的最大值是2，而P 在单位圆上，因此PN的最大值是1，最小值是211-=，即所求值域是[1,1]+．20.古希腊数学家帕普斯（Pappus ，约A.D.290－A.D.350）利用如图所示的几何图形，由||||||OC OD CD =+直观简洁地证明了当,αβ为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（）A.cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-B.cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+C.sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-D.sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+【答案】B【分析】由已知可得，在Rt AOC 中，||cos()OC αβ=-，在Rt AEB 中，||sin sin AE βα=，在Rt OBD 中，||cos cos OD βα=，可得结论.【详解】在Rt AOC 中，||||cos cos()OC OA AOC αβ=∠=- ，在Rt AEB 中，||||sin sin sin AE AB ABD βα=∠= ，在Rt OBD 中，||||cos cos cos OD OB BOD βα=∠= ，由||||||||||OC OD DC OD AE =+=+,所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.21.已知函数()tan (sin cos 1)(sin cos 1)f x x x x x x =+++-，下列说法正确的是（）A.()f x 图像关于原点对称，且最小值为0B.()f x 图像关于原点对称，且最大值为2C.()f x 图像关于y 轴对称，且最小值为0D.()f x 图像关于y 轴对称，且最大值为2【答案】C【分析】利用同角关系化简函数式，然后则奇偶性的定义判断奇偶性，再根据三角函数性质确定最值．【详解】由题意()f x 的定义域是π{|π,Z}2x x k k ≠+∈222()tan [(sin cos )1]tan (sin 2sin cos cos 1)f x x x x x x x x x =+-=++-2sin 2sin cos 2sin cos xx x x x=⋅=，22()2sin ()2sin ()f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，由1sin 1x -≤≤得0()2f x ≤≤，但22sin 2x =时，ππ,Z 2x k k =+Î，不合题意，最大值2取不到，sin 0x =时，()0f x =，此时π,Z x k k =∈，所以()f x 无最大值，有最小值是0，22.下列函数中，满足“*n ∀∈N ，,()()x f nx nf x ∀∈≤R ”的是（）A.|cos |y x =B.|sin |y x = C.cos ||y x = D.sin ||y x =【答案】BACD 选项可以根据举例进行排除，B 选项根据两角和的正弦公式，反复操作，结合放缩法进行说明.【详解】A 选项，若,()()x f nx nf x ∀∈≤R ，取2n =，则cos 22cos x x ≤，再取π2x =，可得πcos π2cos 2≤，即10≤，明显错误，A 选项错误；C 选项，若,()()x f nx nf x ∀∈≤R ，取4n =，则cos 44cos x x ≤，再取π2x =，可得，即10≤，明显错误，C 选项错误；D 选项，若,()()x f nx nf x ∀∈≤R ，取2n =，则sin 22sin x x ≤，再取4π3x =，可得8π4πsin 2sin 33≤，即2≤D 选项错误；B 选项等价于证明*,n x ∀∈∈N R ，sin sin nx n x ≤，根据两角和的正弦公式，绝对值三角不等式，sin sin(1)cos sin cos(1)sin(1)cos sin cos(1)sin(1)cos cos(1)sin sin(1)sin nx n x x x n x n x x x n x n x x n x x n x x=-+-≤-+-≤-+-≤-+当cos(1)cos 1n x x -==取得等号，即sin sin(1)sin nx n x x ≤-+，同样的操作，可以证明sin(1)sin(2)sin n x n x x -≤-+，类似依次进行()1n -次操作，最后一个不等式为，sin 2sin sin x x x ≤+，将上述不等式全相加，即可得到sin sin nx n x ≤，当cos(1)cos(2)cos 1n x n x x -=-=== 取得等号（显然0x =是一个取等号条件），B 选项正确.23.若e sin cos 0x a x x +-≥在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（）A.[0,)+∞B.π2e ,⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.π2e ,0⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】将不等式变形后，分类讨论并参变分离，分析右边函数的单调性,得到其最大值即得参数范围.【详解】由e sin cos 0x a x x +-≥可得sin cos e x a x x ≥-（*），当πx =时不等式为π01e ≥--显然成立；当π[,π)2x ∈时，（*）式可化为：cos e sin sin xx a x x≥-，因π(,π)2x ∈时，tan y x =单调递增且恒为负，故1cos tan sin x y x x==单调递减；同时又因sin y x =单调递减且恒为正，则1sin y x=单调递增，又e xy =单调递增，故e sin xy x=-在π(,π)2x ∈时单调递减.综上可知，cos e sin sin xx y x x=-在π[,π)2x ∈时为减函数，故当π2x =时，函数有最大值为π2e -，故π2e a ≥-.24.已知221212,,,,(0,2)44x x A x B x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三点共线，其中12x x ≠，点A 关于y 轴的对称点为点D ，给出下面四个结论：①AOB 不可能．．．为等边三角形；②设OC OA OB λμ=+，则当λμ最大时，120x x +=；③128x x =-；④当AB 不与y 轴垂直时，直线BD 过定点．其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】结合抛物线的对称性可判断①；根据三点共线的结论结合基本不等式可判断②；利用三点共线结合直线的斜率公式判断③；利用直线的点斜式方程可判断④.【详解】由题意知221212,,,44x xA xB x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在抛物线24xy=上，由于221212,,,,(0,2)44x xA xB x C⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三点共线，120,0x x≠≠，如图所示：对于①，假设AOB为等边三角形，则,A B关于y轴对称，则(2)2)A,B-，此时|AB||OA|=≠=，与假设矛盾，故AOB不可能为等边三角形，①正确；对于②，,,A B C三点共线，且C在,A B之间，设,(01)OC OA t AB t=+<<，则()()1OC OA t OB OA t OA tOB=+-=-+，结合OC OA OBλμ=+，可得10,0t tλμ=->=>，且1λμ+=，故2124λμλμ+⎛⎫≤=⎪⎝⎭，当且仅当12λμ==时，λμ取最大值，由OC OA OBλμ=+可得1212110,022x x x x+=∴+=，②正确；对于③，由于221212,,,,(0,2)44x xA xB x C⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三点共线，故2212122244x xx x--=，故221221212244x x x xx x-=-，即()()121212204x x x xx x-+-=，由于12x x≠，故128x x=-，③正确；对于④，当AB 不与y 轴垂直时，120x x +≠，则211,4x D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则BD 的方程为()221221112444x x x y x x x x -=++--，即()2121121214444x x x x x x x y x x x --=-++=-+，而128x x =-，故1224x x y x -=--，即直线BD 过定点(02),-，④正确，【点睛】关键点睛：本题综合考查了抛物线的对称性以及向量中的三点共线问题以及直线过定点问题，解答的关键是要结合直线的点斜式以及截距式确定定点.二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题纸上的相应位置．）25.一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t 小时，飞机从北京出发向南的飞行距离．．．．．．．为()f t ，()f t 可以近似地．．．表示为()1935cos (0,0)f t A t A ωω=+>>，则A =______，ω=______．【答案】①.20②.8π【分析】根据给定信息，利用(0)f 的值求出A ，再利用周期求出ω.【详解】依题意，(0)1935f A =+，而(0)193520f =+，因此20A =，又飞机每15分钟飞行一周，则函数()f t 的周期14T =小时，因此2π8πTω==.故答案为：20；8π26.若()2sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为3，则ϕ=______．【答案】π2π,Z 2k k +∈【分析】根据正弦函数与余弦函数的最值分析，结合诱导公式可得．【详解】由题意sin()x ϕ+与cos x 同时取得最大值1，因此sin()cos x x ϕ+=，π2π,Z 2k k ϕ=+∈，27.已知向量(cos ,1),(1,cos )m a x n a y =+=-+，则集合{},,a x y m n ∈∃∈R R中的所有元素之和为______．【答案】0【分析】由题意可得2(cos cos )cos cos 10a a x y x y ++++=，可得2(cos cos )4(cos cos 1)0x y x y ∆=+-+≥，计算可得|cos cos |2x y -≥，分类讨可求a 的值，可得结论.【详解】因为m n ∥，(cos ,1),(1,cos )m a x n a y =+=-+，所以(cos )(cos )1(1)0a x a y ++-⨯-=，整理得2(cos cos )cos cos 10a a x y x y ++++=，因为a ∈R ，所以2(cos cos )4(cos cos 1)0x y x y ∆=+-+≥，所以2(cos cos )40x y --≥，所以|cos cos |2x y -≥，所以cos 1cos 1x y ==-，或cos 1cos 1x y =-=，当cos 1cos 1x y ==-，时，可得20a =，所以0a =，当cos 1cos 1x y =-=，时，可得20a =，所以0a =，综上所述：集合{|,,}a x y m n ∈∃∈R R中的所有元素之和为0.28.在现实生活中，一个符合实际的函数模型经常是将不同的函数组合得到的，如听音乐家演奏音乐时，我们听到的声音常常就是多种不同乐器产生的声波叠加的结果．在学习了向量和三角函数后，人大附中某研学小组利用所学知识研究若干振幅相同，同频同向的简谐波叠加后，得到新的简谐波的振幅和初相规律，该小组把[]0cos (1),1,2,,i x a t i i N ωθ=+-= （N 为正整数）叠加，研究1cos()iNi xA t ωϕ==+∑中的A和ϕ，其中0,0,0,02πa A ωϕ>>>≤<．（1）当0π1,,33a N ωθ====时，A =______，ϕ=______．（2）当0π2,,1112a N θ===时，A =______，ϕ=______．【答案】①.2②.π3③.2(2++④.5π12【分析】依题意，将条件代入[]0cos (1),1,2,,i x a t i i N ωθ=+-= ，再进行求和，利用和角公式化成最简式，最后代入1cos()iNi xA t ωϕ==+∑中，根据,A ϕ的范围即可求得结果.【详解】先证明和差化积公式：因()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ+=-()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ-=+两式相加得，()()cos cos 2cos cos ,αβαβαβ++-=取θαβϕαβ=+=-，，则有22θϕθϕαβ+-==，代入上式，可得，cos cos 2coscos .22θϕθϕθϕ+-+=证毕.（1）当0π1,,33a N ωθ====时，πcos (1),1,2,33i x t i i ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，因31cos()i i x A t ωϕ==+∑，则π2πcos cos()cos()cos()33t t t A t ϕ++++=+，即πππ2cos()cos cos()cos()333t t A t ϕ+++=+，则有π2cos()cos()3t A t ϕ+=+，因0,02πA ϕ>≤<，故得π2,3A ϕ==；（2）当0π2,,1112a N θ===时，π2cos (1),1,2,,1112i x t i i ω⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦ ，则111ππ5π2[cos cos()cos()cos()]1266i i x t t t t ωωωω==+++++++∑ 5π5πππππ2cos()(2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 1)121234612t ω=++++++5π5ππ2cos()(2cos 2cos 2121212t ω=++++5πππ2cos 4cos cos 21246t ω⎛⎫⎛=+++ ⎪⎝⎭⎝5π2(2cos()12t ω=++因1cos()i Ni x A t ωϕ==+∑，则有)5π2(2cos()12s A t t ωϕω+=++，又0,02πA ϕ>≤<，故得(5π22,.12A ϕ=+=【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换的应用，属于难题.解题关键在于理解题意后对求和式1iNi x =∑的化简，要多次运用和差化积公式才能得到最简式，再与条件等式比较即得.三、解答题（本小题10分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）29.已知()*12N ,2,,,,n n n a x x x ∈≥=为n 维向量，若11,1,2,,i x i n -<<= ，则称a为可聚向量．对于可聚向量a 实施变换T ：把()12,,,n a x x x = 的某两个坐标,()ij x x i j ≠删除后，添加1i j i jx x x x ++作为最后一个坐标，得到一个n 1-维新向量(1)a ，如果(1)a为可聚向量，可继续实施变换T ，得到新向量(2)a ，……，如此经过k 次变换后得到的向量记为()a k．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量a 经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量a的聚数．（1）设110,,23a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，直接写出(1)a 的所有可能结果；（2）求证：对于任意一个(2)n n ≥维可聚向量a，变换T 总可以进行n 1-次；（3）设5111511111,,,,,,,,,7654623456a ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭，求a的聚数的所有可能结果．【分析】（1）直接根据定义写出结论；（2）根据定义结合变换中维数的变化规律证明；（3）证明变换过程满足交换律、结合律（与实数加法、乘法的交换律、结合律一样），得出最后的聚数与变换过程中选取的数的顺序无关，从而易得结论．【小问1详解】101212102+=+⨯，101313103+=+⨯，11523117123+=+⨯，所以11(1)(,)23a = 或11(1)(,32a = 或5(1)(0,7a = ；【小问2详解】设11i x -<<，11j x -<<，则011i j x x <+<，10i x +>，10j x +>，10i x ->，10j x ->，1(1)(1)0i j i j i j x x x x x x +++=++>，(1)i i i j x x x x +>-+，所以11i j i jx x x x +>-+，。
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2017年上学期高一期中考试语文试题卷（总分150分，时间120分钟）一、阅读下面的文字，完成下面问题。
“皮影”是对皮影戏和皮影戏人物（包括场面道具景物）制品的通用称谓。
中国皮影艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，是中华民族艺术殿堂里不可或缺的一颗精巧的明珠。
皮影戏是让观众通过白色布幕，观看一种平面偶人表演的灯影来达到艺术效果的戏剧形式；而皮影戏中的平面偶人以及场面道具景物，通常是民间艺人用手工、刀雕彩绘而成的皮制品，故称之为皮影。
皮影戏是我国出现最早的戏曲剧种之一。
它的演出装备轻便，唱腔丰富优美，表演精彩动人。
千百年来，深受广大民众的喜爱，所以流传甚广。
不仅如此，皮影戏还对国内外文化艺术的发展起过一定的作用。
有不少新的地方戏曲剧种，就是从各路皮影戏唱腔中派生出来的。
中国皮影戏所用的幕影演出原理，以及皮影戏的表演艺术手段，对近代电影的发明和现代电影美术片的发展也都起过先导作用。
西方世界从十八世纪的歌德到后来的卓别林等世界文化名人，对中国皮影戏艺术都曾给予过高度的评价。
建国后，毛泽东、周恩来等国家领导人，也曾多次以皮影戏来招待国内外宾客。
然而，皮影戏艺术在遭遇“文革”劫难之后，濒危的处境至今未能扭转。
至于皮影戏中人物、景物的造型与制作，却又是属于我国的民间美术范畴。
它的艺术风格，在民族艺苑里也是独树一臶。
它为了适应皮影戏的幕影表现形式，采取了抽象与写实相结合的手法，对人物及场面景物进行了大胆的平面化、艺术化、卡通化、戏曲化的综合处理。
其脸谱与服饰造型生动而形象，夸张而幽默，或纯朴而粗犷，或细腻而浪漫。
再加上雕功之流畅，着色之艳丽，通体透剔和四肢灵活的工艺制作效果，着实能使人赏心悦目，爱不释手。
皮影人制品（简称影人）不只是用于皮影戏的演出，而且每个人都可以用双手耍玩娱乐，还可以臵于窗前或白墙之上，作为室内艺术装饰。
由于皮影造型古朴典雅，民族气味浓厚，既具有艺术欣赏性又有收藏价值，所以国内外很多博物馆、收藏家、艺术工作者和皮影爱好者都藏有中国皮影。
在国际交往中，也常有国人以中国皮影为上等礼品赠与国际友人。
链接：泰山皮影已经被列为国家非物质文化遗产项目。
2007年6月8日--6月18日，中华世纪坛举办了非物质文化遗产专题展，泰山皮影传人范正安受邀表演了《石敢当铲除恶狼精》。
泰山皮影的独特之处是演出只有一人完成，左脚踩鼓，右脚敲锣，口中演唱，双手指挥皮影。
其曲风是山东大鼓，人物的语言和性格也有着鲜明的山东色彩。
1．下列对“皮影”的定义，正确的一项是（）A．“皮影”是皮影戏和皮影戏人物（包括场面道具景物）制品的通用称谓。
B．“皮影”是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种。
C．“皮影”是用灯影达到艺术效果，让观众通过白色布幕观看平面偶人表演的一种戏剧形式。
D．“皮影”是民间艺人用皮制品手工、刀雕彩绘制作成平面偶人以及场面道具景物，借助白色幕布和灯光进行戏剧表演的艺术。
2．下列对“皮影”艺术特色的表述，不正确的一项是（）A．“皮影”的演出装备轻便，唱腔丰富优美，表演精彩动人。
B．“皮影”为了适应其幕影表现形式，采取抽象与写实相结合的手法，对人物及场面景物进行平面化、艺术化、卡通化、戏曲化的综合处理。
C．“皮影”的人物脸谱与服饰造型生动而形象，夸张而幽默，或淳朴而粗犷，或细腻而浪漫；雕功流畅，着色艳丽，通体透剔，四肢灵活。
D．“皮影”不只可用于演出，还可用于耍玩娱乐，甚至还可置于窗前或白墙之上作为室内艺术装饰品。
3、下列表述，符合原文意思的一项是（）A．皮影戏是我国出现最早的戏曲剧种，有不少新的地方戏曲剧种就是从各路皮影戏唱腔中派生出来的。
B．泰山皮影的曲风是山东大鼓，人物的语言和性格具有鲜明的山东色彩，更为独特的是它是由一人独立完成的，手脚口并用。
C．皮影戏艺术在遭遇“文革”劫难之后，濒危的处境至今未能扭转，泰山皮影被列为国家非物质文化遗产项目就是最好的证明。
D．中国皮影戏的幕影演出原理，以及表演艺术手段，开近代电影发明和现代电影美术片发展的先河。
二、阅读下列文言文，完成题目。
吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也；吾尝跂而望矣，不如登高之博见也。
登高而招，臂非加长也，而见者远；顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。
假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。
君子生非异也，善假于物也。
南方有鸟焉，名曰蒙鸠，以羽为巢，而编之以发，系之苇苕，风至苕折，卵破子死。
巢非不完也，所系者然也。
西方有木焉，名曰射干，茎长四寸，生于高山之上，而临百仞之渊，木茎非能长也，所立者然也。
蓬生麻中，不扶而直；白沙在涅，与之俱黑。
兰槐之根是为芷，其渐之滫（注：臭水），君子不近，庶人不服。
其质非不美也，所渐者然也。
故君子居必择乡游必就士所以防邪辟而近中正也。
4、下列加点字意思相同的一项是（）A、之：不如登高之博见也。
孤之有孔明，如鱼之有水也。
B、而：吾尝终日而思矣而致千里C、者：而闻者彰不复挺者，糅使之然也D、其：其曲中规其如土石何？5、下列句子与选段中斜体字句子：蓬生麻中，不扶而直；白沙在涅，与之俱黑含义相近的一组是（）①出淤泥而不染，濯清涟而不妖②兔丝附蓬麻，引蔓故不长③蝉噪林逾静，鸟鸣山更幽④竹喧归浣女，莲动下渔舟⑤近朱者赤，近墨者黑⑥宁为玉碎，不为瓦全②⑤B、①⑤C、②④D、③⑥6、下列对选段中划线黑体字句子的断句，正确的是（）A、故君子居/必择乡游/必就士/所以防邪辟而近中正也。
B、故君子居必择乡/游必就士/所以防邪辟而近中正也。
C、故君子居/必择乡游/必就士所/以防邪辟而近中正也。
D、故君子居必择乡/游必就士所以防邪/辟而近中正也。
7、翻译划线句子。
（1）君子生非异也，善假于物也。
（2）南方有鸟焉，名曰蒙鸠，以羽为巢，而编之以发，系之苇苕，三、按要求默写句子。
（6分）8、《师说》中解释“老人不如小孩”“专家也有错”原因的句子_________,____________。
9、贾谊在《过秦论》中指出秦战胜七国，却败在陈涉首倡的原因是___________________.10、我们会用《寡人之于国也》中的“_________________”比喻缺点或错误性质相同，只有情节或轻或重的区别。
11、万里悲秋常作客,_____________________，_______________,潦倒新停浊酒杯。
四、诗歌鉴赏念奴娇赤壁怀古大江东去，浪淘尽，千古风流人物。
故垒西边，人道是，三国周郎赤壁。
乱石穿空，惊涛拍岸，卷起千堆雪。
江山如画，一时多少豪杰.遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发。
羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭。
故国神游，多情应笑我，早生华发。
人生如梦，一尊还酹江月。
12、《念奴娇赤壁怀古》是我国__________时期伟大词人_________的作品。
（2分）13、“多情应笑我，早生华发”的正常语序是_____________________,这个错位句子的表达效果是________________________________（3分）14、“江山如画，一时多少豪杰”在词中起什么作用？（4分）五、现代文阅读15、阅读下面文章，回答相应问题邂逅霍金(1)自从《时间筒史》在中国翻译出版后，知道霍金的人越来越多。
青年人争相阅读《时间简史》，一时颇有洛阳纸贵之势。
我没有看过这本书，但我对霍金以高度残疾之身写出如此经典著作的精神和业绩，却充满了深深的敬意。
(2)我知道霍金是剑桥大学的，想不到在来剑桥的第二周就见到了他。
(3)那天下午，当我们经过剑桥河边的时候，忽然我见到前面缓缓驶来一辆轮椅车，上面坐的正是霍金--和以前在照片上见到的完全一样。
(4)车驶近了，我却呆滞了。
是敬仰，是震惊，是凝视，是沉思?都是，或许都不是。
在他经过我身边的那段时间，我什么也没有做，只是目送他静静地过去。
(5)这是一个弱小的身躯，稍向右侧倾斜地靠在—或者说是被安放在轮椅车背上。
除了他的目光，似乎见不到他有其他动作。
他的目光显得异乎寻常，显示着超常的魅力。
我想走上前去.又下意识地摸出照相机。
但我既没有移步, 也没有拍照，连拍一下他的背影的念头也很快被自己否定了。
(6)或许是霍金独特的形象震撼了我。
对于这样一位随时面对逼近的死神却依然像超人那样奋斗的人，对他的任何干扰都是一种罪恶，更不用说任何好奇的举动或过分热情的表现。
(7)或许是周围的人感染了我。
当霍金经过时，一切都是那么平静，认识他的和不认识他的人都毫无异样，就连照料他的老护士也不靠近他的轮椅，只是默默地跟着，人家都尊重他作为一个正常人的生存权利。
(8)霍金的轮椅渐渐消失了，就像路上无数过往的行人一样。
(9)霍金是不幸的，在风华正茂时遭遇了罕见的疾病。
他要用很大的努力才能举起头来;他不能写字;看书必须依赖一种翻书页的机器，读文献时必须让人将每一页摊平在一张大办公桌上，然后他驱动轮椅如蚕吃桑叶般地逐页阅读。
(10)然而，就是这样一位被疾病固定在轮椅上三十多年的人，却坚持说自己是个快乐的人。
他的思维穿越时间和空间，追寻着宇宙的尽头、黑洞的隐秘。
他凭着敏锐的直觉和严密的推理，直接挑战自己被人广泛认同的传统量子力学、大爆炸理论甚至爱因斯坦的相对论。
(11)霍金是幸运的。
他生活在一个人的价值得到充分尊重的时代，他也生活在一个科学技术高度发达的时代。
要不，他如何能完成他的著作，如何能继续他的生命和工作?他的轮椅上装满了大大小小的机械和电脑，他的身前就有显示屏和特殊的键盘，这是IBM公司专为他设计制造的，所以他才能自如地操纵轮椅，才能传达自己的思维，才能延续他的生命。
(12)我更庆幸霍金生活在剑桥，他完全可以像常人一样生活，不必随时面对镜头、鲜花、握手和掌声，不用应付集会、宴请、报告和表彰，因为大家都懂得个人的价值和时间的宝贵。
(13)愿霍金在平静中度过他不平凡的一生。
（1）作者说“霍金是幸运的”，其理由是什么?请分条陈述。
（4分）（2）分析第（5）段划线句子运用的艺术手法和表达效果。
（5分）（3）作者在文尾写了自己的期望，这样写得用意是什么？（4分）（4）霍金在浦东机场出现时受到媒体追捧，人们争着用高价购买霍金报告的门票，而在报告会现场，却有人呼呼大睡，有人交头接耳，请简评。
（5分）六、语言文字运用16、下列词语中加点的字,读音全都相同的一组是()(3分)A.高亢．引吭．高歌伉．俪沆．瀣一气B.稂．莠锒．铛入狱阆．苑书声琅．琅C.孩．提骇．人听闻尸骸．言简意赅．D.馈．赠功亏一篑．匮．乏振聋发聩．17．．、．下列各句中,加点的成语使用恰当的一项是()A.客厅墙上挂着我们全家在桂林的合影,尽管照片有些褪色,但温馨和美的亲情依然历历在．．．目．。
B.为了完成在全国的市场布局,我们三年前就行动了,特别是在营销策略的制订上可谓处心积．．．虑．。