导体电介质和磁介质之同心导体球和球壳之间的电势差和感应电荷
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q Q R1 /( R1 R 3 R1 R3 R2
kQ R3
B R2 R1 -q' q A R3
Q+q'
) 0
电势 差为
U A B kQ
1 R1 / R 2 R1 R 3 R1 R 3 / R 2
由于UA = 0，所以U'B→kQ/R3， 这就是电荷集中在球心时在球 壳外表面处产生的电势。
E q 4 π 0r
2
E = 0 (R2 < r < R3)
E qQ 4 π 0r
2
R1 -q R2 q A R3
(R1 < r < R2)
B A
(r > R3)
1 R1 1 R2
球和球壳之间的电势差为
R2
U AB U A U B
E ds
R1
q 4 π 0r
2
)0
可见：感应电荷q'与球壳电荷Q异 号，由于R1 < R2，所以|q'| < Q。
R3 R1 R3 R2 )
所以A球的 感应电荷为
1 R1 1 R2
B R2
Q+q'
A接地后球与球壳之间的电势差为
U A B kq ( ) kQ
1 / R1 1 / R 2 1 R 3 / R1 R 3 / R 2 1 1 R 3 / R1 R 3 / R 2
{范例11.1} 同心导体球和球壳之间的 电势差和感应电荷
如图所示，一个带有总电量q的金属内球A，半径为R1，外 面有一同心金属球壳B，其内外半径分别为R2和R3，并带有 总电量Q(Q > 0)。此系统的电荷是如何分布的，球与球壳之 间的电势差是多少？如果使内球接地，内球上带有多少感 应电荷？球与球壳之间的电势差又是多少？ [解析]静电平衡时，A球电荷只能分布在外表面，B球内表面 带等量异号的电荷-q，外表面带电量为Q + q。 Q+q Q B 根据高斯定理，电场分布为 E = 0 (r < R1)
d r kq (
).
{范例11.1} 同心导体球和球壳之间的 电势差和感应电荷
A接地后，B的带电量仍为Q，A感应的电量设为q'，B的内壳 带电为–q'，外壳带电为q' + Q，它们在球心产生的电势为零
1 4 π 0 ( q R1 q R2 q Q R3
q Q /(1
R1 -q'
q A R3
上式可 U 化为
kQ R3
AB
(1
)
k ( Q q ) R3
由于UA = 0，所以
UB
k ( Q q ) R3
这是全部电荷集中到球心时， 在B的外表面产生的电势。
{范例11.1} 同心导体球和球壳之间的 电势差和感应电荷
[讨论]
q Q /(1 R3 R1 R3 R2 ),
UB k ( Q q ) R3
①当R2 = R3时，球壳变 成球面，感应电荷为
q Q
R1 R3
电势 ຫໍສະໝຸດ Baidu为
U AB
kQ R3
(1
R1 R3
)
可知：感应电荷随A的半径呈正比例增加， 但符号相反；电势差随A的半径直线减小。
②当R1→R2时，球与内球壳无限接近， 球体上感应电荷q'→-Q，电势差U'AB→0。 ③当R1→0时，球体上感应电荷为
如果内球接地，当内球半径 为零时，感应电荷也为零。
当内球半径接近 球壳内半径时， 内球上感应电荷 最多，感应电荷 与球壳电荷大小 相等，符号相反。
感应电荷随内球半径 的增加而增加，当球 壳变为球面时，内球 上感应电荷随内球半 径的增加而直线增加。
当内球半径为零时， 球体和球壳之间的 电势差最大。
电势差随内球半径 的增加而减小，当 球壳变为球面时， 电势差随球体半径 的增加而直线减小。
当内球半径接近球壳内半 径时，电势差趋于零。
kQ R3
B R2 R1 -q' q A R3
Q+q'
) 0
电势 差为
U A B kQ
1 R1 / R 2 R1 R 3 R1 R 3 / R 2
由于UA = 0，所以U'B→kQ/R3， 这就是电荷集中在球心时在球 壳外表面处产生的电势。
E q 4 π 0r
2
E = 0 (R2 < r < R3)
E qQ 4 π 0r
2
R1 -q R2 q A R3
(R1 < r < R2)
B A
(r > R3)
1 R1 1 R2
球和球壳之间的电势差为
R2
U AB U A U B
E ds
R1
q 4 π 0r
2
)0
可见：感应电荷q'与球壳电荷Q异 号，由于R1 < R2，所以|q'| < Q。
R3 R1 R3 R2 )
所以A球的 感应电荷为
1 R1 1 R2
B R2
Q+q'
A接地后球与球壳之间的电势差为
U A B kq ( ) kQ
1 / R1 1 / R 2 1 R 3 / R1 R 3 / R 2 1 1 R 3 / R1 R 3 / R 2
{范例11.1} 同心导体球和球壳之间的 电势差和感应电荷
如图所示，一个带有总电量q的金属内球A，半径为R1，外 面有一同心金属球壳B，其内外半径分别为R2和R3，并带有 总电量Q(Q > 0)。此系统的电荷是如何分布的，球与球壳之 间的电势差是多少？如果使内球接地，内球上带有多少感 应电荷？球与球壳之间的电势差又是多少？ [解析]静电平衡时，A球电荷只能分布在外表面，B球内表面 带等量异号的电荷-q，外表面带电量为Q + q。 Q+q Q B 根据高斯定理，电场分布为 E = 0 (r < R1)
d r kq (
).
{范例11.1} 同心导体球和球壳之间的 电势差和感应电荷
A接地后，B的带电量仍为Q，A感应的电量设为q'，B的内壳 带电为–q'，外壳带电为q' + Q，它们在球心产生的电势为零
1 4 π 0 ( q R1 q R2 q Q R3
q Q /(1
R1 -q'
q A R3
上式可 U 化为
kQ R3
AB
(1
)
k ( Q q ) R3
由于UA = 0，所以
UB
k ( Q q ) R3
这是全部电荷集中到球心时， 在B的外表面产生的电势。
{范例11.1} 同心导体球和球壳之间的 电势差和感应电荷
[讨论]
q Q /(1 R3 R1 R3 R2 ),
UB k ( Q q ) R3
①当R2 = R3时，球壳变 成球面，感应电荷为
q Q
R1 R3
电势 ຫໍສະໝຸດ Baidu为
U AB
kQ R3
(1
R1 R3
)
可知：感应电荷随A的半径呈正比例增加， 但符号相反；电势差随A的半径直线减小。
②当R1→R2时，球与内球壳无限接近， 球体上感应电荷q'→-Q，电势差U'AB→0。 ③当R1→0时，球体上感应电荷为
如果内球接地，当内球半径 为零时，感应电荷也为零。
当内球半径接近 球壳内半径时， 内球上感应电荷 最多，感应电荷 与球壳电荷大小 相等，符号相反。
感应电荷随内球半径 的增加而增加，当球 壳变为球面时，内球 上感应电荷随内球半 径的增加而直线增加。
当内球半径为零时， 球体和球壳之间的 电势差最大。
电势差随内球半径 的增加而减小，当 球壳变为球面时， 电势差随球体半径 的增加而直线减小。
当内球半径接近球壳内半 径时，电势差趋于零。