二次函数与根与系数关系综合运用(可编辑修改word版)
二次函数与根与系数的关系
二次函数与根与系数的关系二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中常见的一类函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的根和系数之间的关系。
一、二次函数概述二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，且a≠0。
二次函数的图像一般为抛物线，开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的根与系数的关系1. 零点或根的概念二次函数的零点，也叫作根、解或x的值，表示函数在x轴上的交点。
即，当f(x)=0时，x的值就是二次函数的根。
2. 判别式的概念与性质对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们定义判别式Δ为：Δ = b^2 - 4ac判别式Δ可以用来判断二次函数的根的情况，根据Δ的取值可以分为以下三种情况：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根，即无解。
3. 系数与二次函数根的关系（1）二次函数的顶点横坐标二次函数的顶点横坐标可以通过以下公式计算得出：x_v = -b / (2a)（2）二次函数的顶点纵坐标二次函数的顶点纵坐标可以通过将横坐标带入函数表达式中计算得出：y_v = f(x_v) = f(-b / (2a))（3）二次函数的根和系数的关系根据二次函数的判别式Δ的性质，我们可以得到以下结论：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个根x_1和x_2的和等于- b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个根x_1和x_2的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个相等的根x_1和x_2都等于 - b / (2a)（x_1 = x_2 = - b / (2a)）；- 两个相等的根的和等于 - b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个相等的根的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
二次函数根与系数的关系公式
二次函数根与系数的关系公式二次函数是指具有形如 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a,b,c 是常数。
其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
在二次函数中，最重要的就是函数的根。
根是指满足方程 y=ax^2+bx+c=0 的 x 的值。
它可以是一个实数或者是一个复数。
在二次函数中，根的个数和系数 a,b,c 之间是有一定的关系的。
首先，我们来看一个二次函数的图像。
当二次函数的系数a>0时，它的图像开口向上；当系数a<0时，它的图像开口向下。
当系数a的绝对值越大时，图像的开口越窄。
当 a=0 时，二次函数就变成了一次函数，即 y=bx+c，没有二次项。
此时的图像是一条直线。
对于二次函数 y=ax^2+bx+c，我们可以用求根公式来求解它的根。
求根公式是一个很重要的公式，它的形式是：x= (-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中的± 表示可以取正号或者负号。
也就是说，对于一个二次函数而言，一般情况下有两个根。
但是，当 b^2-4ac<0 时，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。
我们可以通过这个求根公式来推导二次函数的根与系数之间的关系。
首先考虑一个情况，就是当方程有两个实根的时候。
由求根公式可知，当 b^2-4ac>0，即判别式大于零时，方程有两个不相等的实根。
可以得到：x1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)我们可以对方程进行因式分解，得到：y=a(x-x1)(x-x2)也就是说，对于一个二次函数而言，可以通过它的两个根来唯一确定一个二次函数。
反过来，如果知道一个二次函数的系数a,b,c以及根x1,x2，就可以唯一确定一个二次函数。
从上面的分解式可以看出，当x=x1或者x=x2时，y=0。
也就是说，x1和x2就是二次函数的根。
接下来，我们来推导方程没有实根的情况。
当 b^2-4ac<0，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。
二次函数与二次方程的根与系数的关系
二次函数与二次方程的根与系数的关系二次函数和二次方程是高中数学中重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。
本文将探讨二次函数与二次方程的根与系数的相互关系。
1. 二次函数的定义及一般形式二次函数是指形如 f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
在二次函数中，x 是自变量，f(x) 是因变量。
二次函数的图像通常是一个抛物线。
2. 二次方程的定义及一般形式二次方程是指形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
在二次方程中，x 是未知数。
求解二次方程的根可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法得到。
3. 二次函数的根与系数的关系对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，可以推导出以下关系：3.1 零点等于根二次函数的零点即为函数的根，也就是函数图像与 x 轴相交的点。
根据二次函数的定义，当 f(x) = 0 时，求解该方程可以得到二次函数的根。
如果二次函数有两个不同的实根，那么方程必有两个不同的解。
如果二次函数有一个重根（两个根相等），那么方程也有一个重解。
3.2 判别式与根的关系对于二次方程 ax² + bx + c = 0，判别式 D = b² - 4ac 可以用来判断方程的根的性质。
当判别式 D > 0 时，方程有两个不同实根；当 D = 0 时，方程有一个重实根；当 D < 0 时，方程没有实根，有两个虚根。
3.3 根与系数的关系根与系数之间存在着一一对应的关系。
对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，根据求根公式可得：根 x₁ = (-b + √D) / (2a)根 x₂ = (-b - √D) / (2a)可以发现，根与系数 a、b、c 之间存在着明确的线性关系。
根的值受到系数的影响，不同的系数会导致不同的根的取值。
二次函数根和系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】题1(1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m<n，那么，二次方程的根的情况是( )(A)有两个负根(B)有两个正根(C)两根异号(D)无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵ m，n异号且m<n，∴m<0，n>0，从而，．方程的判别式：，故方程必有两实根．设这两个实根为，，则由根与系数关系得，，可知，均为负数，故选(A)．题2(1997·上海) 若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则的值为_____________．分析由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则题3(1996·祖冲之杯) 已知α，β是方程的两根，α>β，不解方程，求的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，∴，．因α>β，故，．记，令，从而，∴．题4(2000·江苏) 已知，，其中m，n为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：①当时，；②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系得，．∴．综合①，②得或.题5(1996·江苏) 设的两个实根为α，β，(1)求以，为根的一元二次方程；(2)若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．分析根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解(1)由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，∴，．所求方程是；(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．其中仅无实数根，舍去.故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：，，，，，．题6(2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，∴，，消去k，得，∴．由于，都是整数，故对应的k的值分别为6，3，．【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值范围是________________．2．设，是方程的两实根，且，则k 的值是( )(A)-3或1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则p=_____________．4．若ab≠1，且有，及，则的值是( ) (A)(B)(C)(D)5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。
二次函数根与系数关系专题
二次函数根与系数关系【知识归纳】1.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根与系数之间的关系为：x1+x2=-ba，x1x2=ca.2.利用跟与系数的关系与方程的两根相关的问题转化为与系数相关的方程或不等式.3.求出参数的值后，一定要检查其合理性，即是否满足a¹0且∆³0.4.构建二次项系数为1的一元二次方程的基本方法为：①以x1，x2为根的一元二次方程为：x2-(x1+x2)x+x1x2=0；②如果a+b=m，ab=n，那么以a, b为根的方程为x2-mx+n=0.类型一、求对称式的值例1、已知x1,x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）(x1-x2)2（2）x1-x2（3）x12-x22（4）(x1-2)(x2-2)类型二、已知根求方程中的参数例1、若方程x2-4x+c=0的一个根为2c的值.练1、已知关于x的方程x2-13x+k=0的两根a ,b满足条件a-3b=1，求k的值．类型三、根系关系+根的定义例1、已知a, b是方程x2+2x-5=0的两个实数根，a2+ab+2a的值为例2、已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两根，求x13+8x2+20的值.练1、已知a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实根，求x13+2x22+x2-3的值.练2、已知x1，x2是方程x2+x-3=0的两根，求x13-4x22+19的值.类型四、根系关系中的隐含条件例1、已知a, b是方程x2+3x+1=0的两根，则练1、 已知a, b 是方程x 2+5x +2=0.类型五、根系关系求参数例1、已知关于x 的方程x 2+(2k -3)x +k 2-3=0有两个实数根x 1,x 2，且x 1+x 2=1x 1+1x 2，求k 值.练1、 设x 1,x 2是方程x 2-2(k +1)+k 2+2=0的两个不同的实根，(x 1+1)(x 2+1)=8，求k 值. 练2、 已知关于x 的方程x 2+2(m +2)x +m 2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值.类型六、根系关系解决根的分布例1、已知x 1,x 2是方程ax 2+(a +2)x +9a =0的两根，且x 1<1<x 2,求a 的取值范围. 练1、若关于x 的一元二次方程x 2-(2k -3)x +(2k -4)=0的一个根大于3，一个根小于3，求k 的取值范围.类型七、条件中含绝对值的处理例1、已知x 1,x 2是一元二次方程4x 2-(3m -5)x -6m 2=0的两个实数根，且x 1x 2=32，则m =__________练1、已知关于x 的方程x 2-(k +2)x +14k 2+1=0的两个实根x 1,x 2(x 1<x 2)满足x 1+x 2=3，求k 的值.类型八、利用根系关系构造新方程例1、若ab ¹1，且有5a 2+2001a +9=0及9b 2+2011b +5=0，则a b = ，a +1b= 练1、已知2m 2-5m -1=0，1n 2+5n -2=0且m ¹n ，求1m +1n的值.类型九、根系关系与判别式的结合求最值例1、设x 1，x 2是方程2x 2-4mx +2m 2+3m -2=0的两个实根，当m 为何值时，x 12+x 22有最小值，并求出这个最小值.练1、若关于x的二次方程(m2-4)x2+(2m-1)x+1=0（m为实数）的两实根的倒数和为S，求S的取值范围.【知识总结】思想：转化思想，分了思想，方程思想，整体思想.方法：1.利用跟与系数的关系将于一元二次方程的根有关的问题转化为与系数相关的式子，结合二次项系数a¹0和判别式∆³0求值或求取值范围2.由方程的两根x1，x2构建二次项系数为1的一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0.3.与根的符号相关的问题，一般先转化为x1+x2和x1x2的符号问题，列不等式求解. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
二次函数根与系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】题1 (1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m<n，那么，二次方程的根的情况是 ( )(A)有两个负根 (B)有两个正根(C)两根异号 (D)无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵m，n异号且m<n，∴ m<0，n>0，从而，．方程的判别式：，故方程必有两实根．设这两个实根为，，则由根与系数关系得，，可知，均为负数，故选(A)．题2 (1997·上海) 若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则的值为_____________．分析由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则题3 (1996·祖冲之杯) 已知α，β是方程的两根，α>β，不解方程，求的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，∴，．因α>β，故，．记，令，从而，∴．题4 (2000·江苏) 已知，，其中m，n为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：①当时，；②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系得，．∴．综合①，②得或.题5 (1996·江苏) 设的两个实根为α，β，(1)求以，为根的一元二次方程；(2)若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．分析根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解 (1)由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，∴，．所求方程是；(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．其中仅无实数根，舍去.故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：，，，，，．题6 (2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，∴，，消去k，得，∴．由于，都是整数，故对应的k的值分别为6，3，．【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值范围是________________．2．设，是方程的两实根，且，则k 的值是 ( )(A)-3或1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则 p=_____________．4．若ab≠1，且有，及，则的值是( )(A) (B) (C) (D)5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A 和∠B的度数及k的值．6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。
二次函数的根与系数的关系
二次函数的根与系数的关系二次函数是高中数学中的重要内容，它的根与系数之间有着密切的关系。
在数学中，二次函数以 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的形式表示，其中 $a$、$b$、$c$ 为实数且$a\neq0$。
在本文中，我们将探讨二次函数的根与系数之间的关系，并希望能对读者的数学学习有所帮助。
首先，让我们来了解什么是二次函数的根。
根是指函数在横轴上与其交点的横坐标值，也就是函数的零点。
对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，它的根可以通过解二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 来求得。
根据求解二次方程的一般方法，我们知道二次方程的判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 是用来确定二次方程的根的个数和性质的。
当判别式为正时，即 $\Delta>0$，二次方程有两个不相等的实根；当判别式为零时，即 $\Delta=0$，二次方程有两个相等的实根；当判别式为负时，即 $\Delta<0$，二次方程没有实根，而是有两个共轭的复数根。
接下来，我们将探讨二次函数的根与系数之间的关系。
首先考虑二次函数中的系数 $a$。
当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口朝上，具有最小值点，根的个数与判别式的关系如下：- 当 $\Delta>0$ 时，函数有两个不相等的实根。
- 当 $\Delta=0$ 时，函数有两个相等的实根。
- 当 $\Delta<0$ 时，函数没有实根。
当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口朝下，具有最大值点，根的个数与判别式的关系相同。
接下来考虑二次函数中的系数 $b$。
系数 $b$ 决定了二次函数图像的对称轴位置。
对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，它的对称轴的横坐标为 $x=-\frac{b}{2a}$。
当对称轴与横轴相交时，二次函数有一个实根，即判别式 $\Delta=0$。
最后考虑二次函数中的常数项 $c$。
常数项 $c$ 决定了二次函数图像与纵轴的交点位置。
二次函数与一元二次方程的根与系数关系
二次函数与一元二次方程的根与系数关系二次函数和一元二次方程在数学中都是重要的概念，并且它们之间存在着密切的联系。
在本文中，我们将探讨二次函数与一元二次方程的根与系数之间的关系，并研究它们之间的一些特性。
一、二次函数的定义与一元二次方程的定义首先，我们先来了解二次函数和一元二次方程的定义。
二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且 a≠ 0。
二、二次函数的图像与一元二次方程的根的关系二次函数的图像是抛物线，它的开口方向取决于二次项的系数 a 的正负。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
一元二次方程的根就是方程的解，也就是使得方程等式成立的x 值。
根据二次函数的图像性质，我们可以得出以下结论：1. 当二次函数的抛物线与 x 轴相交时，方程有两个实根；2. 当二次函数的抛物线与 x 轴相切时，方程有一个实根；3. 当二次函数的抛物线与 x 轴无交点时，方程没有实根。
因此，通过观察二次函数的图像，我们可以确定一元二次方程的根的情况。
三、二次函数的系数与一元二次方程的根的关系接下来，我们来研究二次函数的系数与一元二次方程的根之间的关系。
1. 根据一元二次方程的求根公式可知，方程的根的判别式 D = b^2 - 4ac。
判别式 D 的值能够决定方程的根的性质。
具体来说：a) 当 D > 0 时，方程有两个不相等的实根；b) 当 D = 0 时，方程有两个相等的实根；c) 当 D < 0 时，方程没有实根，而是存在两个共轭复根。
2. 通过对比二次函数和一元二次方程的一般形式可知，二次函数的系数与一元二次方程的根之间存在着如下关系：a) 二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))；b) 一元二次方程的根与顶点坐标的关系为 x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。
(完整word版)二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例题：例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
c的性)2h的性4.()2y a x h k=-+的性质：二次函数的对称轴、顶点、最值如果解顶点式－则最值果解析般式y=ax2+bx+c则最值为4ac-b24a）1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ 。
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质例题：1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。
中考专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【重点、难点、考点】重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。
②掌握根与系数的关系及应用难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。
考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。
【经典范例引路】例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.m<43B.m ≤43C.m>43且m ≠2D.m ≥43且m ≠2（20XX 年山西省中考试题）【解题技巧点拨】 解 C①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ⇔≥⎭⎬⎫⇔=⇔>000Δ<0⇔方程没有实根注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。
例2 先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。
求α2＋3β2＋4β的值。
解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22)＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ②①＋②得：2A＝64 ∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。
二次函数根与系数的关系
二次函数根与系数的关系
韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2。
则根与系数的关系为x1+x2=-b/a, x1x2=c/a。
根的判别式：Δ= b2－4ac，当Δ＞0时，x1和x2结果为-b+√Δ/2a和-b-√Δ/2a。
Δ=0 时，x1=x2=-b/2a。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
一元二次方程的根的判别式为Δ= b2－4ac（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
二次函数和根与系数的关系
例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．解：（1）当k=1，m=0时，如图．由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，∴x1+x2=2m+1，x1?x2=m2+m﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==，∴AB2=10，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．由，得x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1?x2=﹣1，∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2=（1+k2）（x1﹣x2）2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1?x2]=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2=（1+k2）（k2+2）+2k?k+2=k4+5k2+4，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB为直角三角形．5)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，且点M、N与X 如图，已知抛物线y=x2-4x+3，过点D(0，-2轴交于E点，且M、N关于点E对称，求直线MN的解析式。
二次函数根与系数关系(供参考)
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】题1 (1997·陕西) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m<n，那么，二次方程的根的情况是 ( )(A)有两个负根 (B)有两个正根(C)两根异号 (D)无实数根分析首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵m，n异号且m<n，∴ m<0，n>0，从而，．方程的判别式：，故方程必有两实根．设这两个实根为，，则由根与系数关系得，，可知，均为负数，故选(A)．题2 (1997·上海) 若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则的值为_____________．分析由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则题3 (1996·祖冲之杯) 已知α，β是方程的两根，α>β，不解方程，求的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，∴，．因α>β，故，．记，令，从而，∴．题4 (2000·江苏) 已知，，其中m，n为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：①当时，；②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系得，．∴．综合①，②得或.题5 (1996·江苏) 设的两个实根为α，β，(1)求以，为根的一元二次方程；(2)若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．分析根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解 (1)由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，∴，．所求方程是；(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．其中仅无实数根，舍去.故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：，，，，，．题6 (2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，∴，，消去k，得，∴．由于，都是整数，故对应的k的值分别为6，3，．【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值范围是________________．2．设，是方程的两实根，且，则k 的值是 ( )(A)-3或1 (B)-3(C)1 (D)不小于的一切实数3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则 p=_____________．4．若ab≠1，且有，及，则的值是( )(A) (B) (C) (D)5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A 和∠B的度数及k的值．6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。
二次函数与根与系数关系综合运用
二次函数与根与系数关系综合运用二次函数是数学中一种重要的函数类型，其表达式可以写成：$y=ax^2+bx+c$，其中$a, b, c$为常数，且$a\neq0$。
二次函数的图像是一个抛物线，其根的数量取决于判别式$S=b^2-4ac$的正负性。
一、根与系数的关系根据二次函数的定义，我们可以推导出根与系数之间的关系。
1.虚根的情况若判别式$S=b^2-4ac$小于零，则二次函数的图像与$x$轴没有交点，即方程$ax^2+bx+c=0$无实根。
此时，方程的根为复数。
2.重根的情况若判别式$S=b^2-4ac$等于零，则二次函数的图像与$x$轴有一个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$有一个实根。
此时，方程的根为重根。
3.两个不同实根的情况若判别式$S=b^2-4ac$大于零，则二次函数的图像与$x$轴有两个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$有两个不同实根。
此时，方程的根为实数。
二、根与系数的综合应用根与系数的关系在实际问题中有着广泛的应用，下面我们来看几个例子：例1：已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像上有两个交点$(1,3)$和$(-2,7)$，求该二次函数的表达式及其判别式。
解：由已知条件可得两个方程：\[a+b+c=3 \quad...(1)\]\[4a-2b+c=7 \quad...(2)\]将(1)式左右两边乘以2，再与(2)式相减可以解得：\[-4b+3a=1 \quad...(3)\]解得$a=\frac{5}{3}, b=-\frac{7}{6}$。
将$a, b$的值代入(1)式或(2)式中，可以解得$c=\frac{7}{3}$。
所以该二次函数的表达式为：\[y=\frac{5}{3}x^2-\frac{7}{6}x+\frac{7}{3}\]判别式$S=(-\frac{7}{6})^2-4(\frac{5}{3})(\frac{7}{3})=\frac{49}{36}-\frac{140}{27}=-\frac{23}{108}<0$。
二次函数与二次方程的根与系数关系
二次函数与二次方程的根与系数关系二次函数和二次方程是数学中的重要概念，它们之间存在着密切的根与系数关系。
本文将详细介绍二次函数与二次方程的定义、性质以及它们之间的根与系数的关联。
一、二次函数的定义和性质二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是实数且a不等于零。
二次函数的图像是一个拱形的曲线，称为抛物线。
其中，a决定了抛物线的开口方向和拱的程度，b决定了抛物线在x轴上的平移方向和程度，c决定了抛物线在y轴上的平移方向和程度。
二、二次方程的定义和性质二次方程是一个等于零的二次多项式，它的标准形式为ax^2 + bx +c = 0。
其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次方程的解称为方程的根，可以分为实数根和复数根。
二次方程的根与系数之间存在着紧密的关系。
三、二次函数与二次方程的根与系数关系1. 根与系数的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的根可以通过求解对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。
即二次函数的x轴交点就是二次方程的根，它们具有一一对应的关系。
2. 倒数与系数的关系二次函数的导数是一个一次函数，表示为f'(x) = 2ax + b。
二次函数的导数可以用来研究二次函数的增减性和极值点。
从导数的表达式可以看出，导数的斜率2a与二次函数的系数a相关，具有一定的倍数关系。
3. 零点与系数的关系二次函数的零点是函数等于零的x值，即f(x) = 0。
对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的根也就是二次函数的零点。
根据二次函数的定义可知，零点即为二次函数和x轴的交点。
因此，零点与二次函数的系数a、b、c之间存在着密切的关系，可以通过求解二次方程得到二次函数的零点。
四、根与系数的具体计算方法通过求解二次方程可以得到二次函数的根，进而分析二次函数的性质。
求解二次方程可以使用公式法和配方法。
1. 公式法当二次方程ax^2 + bx + c = 0的系数a、b、c已知时，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解二次方程的根。
二次函数综合题压轴题之根与系数的关系(可编辑修改word版)
二次函数根与系数的关系（多直线问题）
1.己知抛物线尸狀2,直线必经过点M0, £）与抛物线交于点J、万两点，连接Jft过点万作优///轴交直线刈于点C 则点C的纵坐标K= - t.
2.直线y=kx+2k~3 ^y=-^-2交于C、D两点.直线5D和万C分别交_），轴于五、F，求OEOF的值
E
3.（中考2017七一2）动直线/过点＜0，-2）与二次函数y=^x2图像交于人B两点，点C与点沒关于y轴对称，求证：直线＞1C恒过定点.
4.（中考2017武昌）抛物线y=kx2~4kx+3k（k＞0）与x轴交于沭B两点（点＞1在点B左边），与夕轴交于点C，顶点为Z）.点£为x轴下方抛物线上一动点.抛物线对称轴ZW交x轴于点H，直线交y轴于M，
直线BE交对称轴ZV/于M求^^的值；
5.（2017江岸4）抛物线/（一2，1），直线/ :夕=一欠一3,抛物线上异于点J的一点尸，作直线州交直线/ 于点0，过点0作y轴的平行线交抛物线于点B.PB//1 ,求直线P5的解析式
6.己知抛物^y=y^AA^2）点作直线/与抛物线有且只有一个公共点且与y轴交于B，A点关于对称轴
对称点为C.£\ F在抛物线上，EF//AB，CE、CF交x轴于M、N，求OM-CW的值.
7.抛物<v=|.v2+x+|与JT轴交W，过d的直线.v=h+3KK>j）交抛物线于另一点C，交_y轴于似，点尸（一1，-2）与点C的连线交抛物线于£，交y轴于7V，求的值.。
二次函数根和系数关系
一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用．【知识要点】，，的两根为，那么，1．如果方程(a≠O)这就是一元二次方程的根与系数的关系．2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．若，则方时：≠O)有两根(1)5，．当一元二次方程(a，，则方程有两个正根；(3)程有一正一负根；(2)若若，，则方程有两个负根．【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：①求方程中字母系数的值或取值范围；②求代数式的值；③结合根的判别式，判断根的符号特征；④构造一元二次方程解题；⑤证明代数等式，不等式；⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．【范例解读】已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和·陕西题1 (1997) n，且m<n，( )那么，二次方程的根的情况是(A) (B)有两个正根有两个负根无实数根(D)(C)两根异号的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程首先考虑方程分析．有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．解∵m，n异号且m<n，，．，从而∴m<0，n>0方程的判别式：，故方程必有两实根．，则由根与系数关系得，设这两个实根为，均为负数，故选(A)，可知．，的两个实根，c和(1997题2·上海) 若a和b是方程d是方程是方程f的两个实根，e和的两个实根，则的值为_____________．，-2q，将，c+d＝-2p3＝，ef＝3，a+b＝3 分析由已知可得ab＝，cd(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．解由方程根与系数关系得，，则-2qc+d＝-2p33，cd＝，ef＝，a+b＝，ab=3，不解方程，求β>α的两根，是方程β，α已知) ·祖冲之杯(19963题．的值．分析待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．解由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，，∴．，故，．因α>β，令，从而记，．∴，其中m已知，，n·江苏题4 (2000) 为实数，则__________.分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．解由已知等式可变形成与，，的关系没有给定，故应分两种情况：由于m；时，①当．是方程的两个根，则由根与系数关系，②当时，可知m，．得．∴或综合①，②得.的两个实根为α，β，题5(1996·江苏) 设为根的一元二次方程；(1)求以，为根的一元二次方程仍是若以，求所有这样的一元二次方程．(2) ，根据方程根与系数关系求的值，由此即可作出新方程；根据新方和分析程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．解(1)由根与系数β＝q，关系得α+β＝p，α，∴．所求方程是；由题意得(2) 则根据七种情况的值依次得以下七个方程：，，，，，，．.其中仅无实数根，舍去故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：．，，，，，题6(2000·全国) 设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．解原方程可化为．∵(k-4)(k-2)≠0，∴解得方程两根为，，，∴，∴．消去k ，得，由于都是整数，故，．3 对应的k的值分别为6，【方法指引】1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．(2)利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．(3)运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．(4)巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．【综合能力训练】，另两边长恰好是方程的两根，那么mABC．△的一边长为5的取值1 范围是________________．k2的两实根，且．设是方程，，则的值是( )(A)-3或1 (B)-3不小于的一切实数(C)1 (D)，它也是方程的两个根，α，3β．若方程的两根为．则p=_____________，则的值是≠1，及，且有( )．若4ab(D) (C)(A) (B)是方程sinB°，若90sinA和．在5Rt△ABC中，∠C＝的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．的方程x值，使关于的根都是整6．求满足如下条件的所有k 数。
二次函数与一元二次方程的根与系数的关系
二次函数与一元二次方程的根与系数的关系作者：罗蓉来源：《课堂内外·教师版》2016年第07期在二次函数与一元二次方程的根与系数的关系中，主要讲解了两个方面的问题：一是用图像法求方程的近似根；二是用方程的方法研究图像与x轴交点个数以及交点求法. 其实解决这两个问题都需要运用数形结合的思想.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，这条抛物线与x轴有三种位置关系：（1）有两个交点；（2）只有一个交点；（3）没有交点.当抛物线与x轴有两个交点时，这两个交点大致有下列三种位置关系：（1）同在原点的右边；（2）同在原点的左边；（3）在原点的两旁.因为x轴上点的纵坐标都是0，所以研究上述问题，就变为研究一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的根的判别式、根与系数的关系的问题了.对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），若Δ=b2-4ac>0，则该函数的图像与x轴必有两个交点，这两个交点的位置与一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根与系数的关系对应如下：设一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两根为x1、x2则有1. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点左边时：x1+x20.2. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点右边时：x1+x2>0，且x1x2>0.3. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点位于原点两旁时：x1x2解决有关二次函数的图像与x轴的交点的位置问题，一定要同时考虑一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系. 在这类问题中，我们经常会遇到这种类型的题：通过以上三个例题的两种解题方法来看，利用数形结合的思想，不失是一种很好的解题途径，可以使复杂的计算简单化，有利于提高解题效率.。
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中考压轴题之——二次函数与根与系数关系
（黄冈市 2011）24．（14 分）如图所示，过点 F （0，1）的直线 y =kx ＋b 与抛物线 y = 1
x 2
4
交于 M （x 1，y 1）和 N （x 2，y 2）两点（其中 x 1＜0，x 2＜0）．
⑴求 b 的值．
⑵求 x 1•x 2 的值 ⑶分别过 M 、N 作直线 l ：y =－1 的垂线，垂足分别是 M 1、N 1，判断△M 1FN 1 的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点 F 的任意直线 MN ，是否存在一条定直线 m ，使 m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．
第 22 题图
（株洲市 2011 年）24．（本题满分 10 分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学
们一起研究某条抛物线 y = ax 2 (a < 0) 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于 A 、 B 两点，请解答以下问题：
（1） 若测得OA = OB = 2
（如图 1）
，求 a 的值； （2） 对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BF ⊥ x
轴于点 F ，测得OF = 1，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标；
（3） 对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A 、 B 的连
线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
图 1
2 y
F
N
M
x l
M 1
F 1 N 1
O
图 2
1、如图，已知抛物线 y=-x²+3x+6 交 y 轴于 A 点，点 C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移 n 个单位长度后与直线 AC 交于心对称，求 n 的值。
3、如图，已知抛物线 y=x²-4x+3，过点 D(0， 的直线与抛物线交于点 M 、N ，
- ) 2
与 x 轴交于点 E ，且点 M 、N 与 X 轴交于 E 点，且 M 、N 关于点 E 对称， 求直线 MN 的解析式。
* 例 7
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =－ 2
x 2 + b x + c 经过 A （0，－4）、
3
B （ x 1 ，0）、
C （ x 2 ，0）三点，且 x 2 - x 1 =5．
（1） 求b 、c 的值；
（2） 在抛物线上求一点 D ，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形；
（3） 在抛物线上是否存在一点 P ，使得四边形 B P O H 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求
2
- c
y
B
A O
P
·
x
出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
x
* 例 8 如图，抛物线 y = x 2 (a + b )x + 4
，其中 a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A、
∠B、∠C 的对边。
（1）求证：该抛物线与 x 轴必有两个交点；
（2）设有直线 y = ax - bc 与抛物线交于点 E 、F ，与 y 轴交于点 M ，抛物线与 y 轴交于点 N ， 若抛物线的对称轴为 x = a ，△MNE 与△MNF 的面积之比为 5∶1，求证：△ABC 是等边三角形；
* 例 9
已知抛物线 y = 1 x 2 - x + 2 ， 2
（1） 确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）
如图，若直线l : y = kx (k > 0) 分别与抛物线交于两个不同的点 A 、B ，与直线 y = -x + 4 相交于点 P ，试证 OP + OP = 2 ；
OA OB
（3） 在（2）中，是否存在 k 值，使 A 、B 两点的纵坐标之和等于 4？如果存在，求出 k 值；
如果不存在，请说明理由.
y
B C
O
A
y
A
O
B x
* 12.已知抛物线 y = ax 2 + bx + c ，其顶点在 x 轴的上方，它与 y 轴交于点 C （0，3），与 x
轴交于点 A 及点 B （6，0）.已知方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 两根的平方和等于 40，（1）求些抛物线的解析式；（ 2） 试问： 在此抛物线上是否存在一点 P ， 在 x 轴上方且使
S ∆PAB = 2S ∆CAB ，如果存在，求点 P 的坐标，如果不存在，说明理由.
* 13.已知二次函数 y = x 2 - mx + 2m - 4 ,
（1） 求证:不论 m 为何实数时,抛线线与 x 轴总有交点；
（2） 如图，当抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点（A 、B 分别在 y 轴左、右侧）且 OA 与 OB 的长
之比为 2：1 时，求 m 的值；
（3） 如果抛物线与 x 轴相交的两个交点，以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求这个
抛物线所表示的函数解析式.
1 1 2
2 【小试锋芒】
一、填空题
1、已知抛物线 y = x 2 - (k - 1)x - 3k - 2 与 x 轴交于两点 A （， 0）， B （ ， 0）， 且
2
+
2
= 17 ，则 k ＝。
2、抛物线 y = x 2
- (2m - 1)x - 2m 与 x 轴的两交点坐标分别是 A （ x ，0），B （ x
，0），且
= 1，则 m 的值为 。
3、若抛物线 y = - 1 x 2 + mx + m - 1交 x 轴于 A 、B 两点，交 y 轴于点 C ，且∠ACB＝900
，
2
则 m ＝。
4、已知二次函数 y = kx 2 + (2k - 1)x - 1与 x 轴交点的横坐标为 x 、 x (x 1 < x 2 ) ，则对于 下列结论：①当 x = -2 时， y = 1；②当 x > x 时， y > 0 ；③方程 kx 2 + (2k - 1)x - 1＝0
有两个不相等的实数根 x 1 、 x 2 ；④ x 1 < -1， x 2 > -1 ；⑤ x 2 - x 1 =
正确的结论是 （只填写顺号）。
二、解答题
，其中所有
k
5、 设 P 是 实 数 ， 二 次 函 数 y = x 2 - 2 px - p 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点
A (x 1,0),
B (x 2 ,0).求证： 2 px 1 + x 2
+ 3
p > 0 ；（2）若A ，B 两点之间的距离不超过 2 p - 3 ，
求 P 的最大值.
19.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - 2mx - 3m 2
+ 8m - 4 = 0 。
（1） 求证：当 m > 2 时，原方程永远有两个实数根；
（2） 若原方程的两个实根一个小于 5，另一个大于 2，求 m 的取值范围。
x 1
x 2
1 + 4k
2 2 2。