第十七章勾股定理小结练习

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新人教版八年级数学下册《十七章勾股定理小结习题训练》课件_21

A
14 - x
E 10
x
14
D
14 - x
52
C 72 B
活动三巩固学习
3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使点C与点A重合，求折叠后的痕迹EF的长．
A
ED
5
2
3 4-x O
B x F 4-x C
4
活动三巩固学习
4．已知：如图，△ABC的三边长分别为AB=13， AC=15，BC=14，求△ABC的面积．
勾股定理（复习）
活动一自主学习
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
1．下列每一组数据中的三个数据分别为三角形的三
边长，不能构成直角三角形的是（ D ）
A.3,4,5 B.5,12,13 C. 3 ,2，1 D.13，14，15
转化
活动二提升学习
例3．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸
片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为
AE，且EF=3，则AB的长为( D )
A．3
B．4
C．5
D．6 A
8
D
方程
x
x
F
4
3
B3 E 5
C
活动二提升学习
例4．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．
一般三角形
转化
A
13
15
直角三角形方程
B x H 14 x C
14

第17章勾股定理小结课(课时1)-2024-2025学年初中数学八年级下册(人教版)上课课件

∴∠1=∠3， △ACE≌△BCD.
∴AE=BD， ∠4=∠E=∠5= 45〫.
E
A
5
12
C
D
4
3
B
∴∠4+∠5= 90〫，∴∠ADB=90〫
在Rt△ADB中，由勾股定理得： E
2 = 2 + 2 = 2 + 2 .
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
2 = 2 + 2 = 2 2 .
A
2
2
2
2
∴ − = − . ①
又∵AB+CD=AC+BD. ∴ AB-BD=AC-CD,
由①②得：AB+BD=AC+CD,
由②③得：AB=AC.
②
③
B
┌
D
C
3.如图，在Rt△ABC中， ∠C=90 〫，AM 是中线，
MN⊥AB，垂足为 N，求证： 2 − 2 = 2 .
1
1 (h)，
3
乘城际列车方案需时间t2 ≈
92
180
∵ t 1 > t 2,
∴小明应该选择城际列车方案.
+
20
40
=
1
1 (h).
90
DE 上. 求证： 2 + 2 = 2 2 .
分析：连接BD，利用等腰直角
E
A
D
三角形的性质和全等三角形的性
质可以得到AE=BD.再利用角的
关系和勾股定理即可得到结论.
C
B
证明：连接BD，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CE=CD，
CA=CB.
∴∠ECD=∠ACB=90〫，

人教版八年级数学第17章勾股定理综合训练(含答案)

人教版八年级数学第17章勾股定理综合训练一、选择题1. 三角形的三边长为22()2a b c ab +=+,则这个三角形是()A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.2. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定4. 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<5. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ， CD ， EF ， GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A ．CD ，EF ，GH B ．AB ，EF ，GH C ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EF6. 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（）c baC BA FHGEDBCAC ．x y <D ．不确定7. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍8. 22(13)10250y z z -+-+=，以x 、y 、z 为三边长的三角形是（）． A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题9. 若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为________ cm .10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8.分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，相交于点E ，F.过点E ，F 作直线EF ，交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长是________．11. 如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为12. 已知直角三角形两边x ，y 的长满足240x -，则第三边长为______________．13. 已知ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是．14. 如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是 .CAGFED CB A三、解答题 15. 已知，如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点．(1)求证：△ACE△△BCD ； (2)求证：2CD 2＝AD 2＋DB 2.16. 如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234.....n a a a a ，，，，请求出234a a a ，，的值；（2）根据以上规律写出n a 的表达式．17. 设,,,a b c d 都是正数。

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理练习(含答案)

第十七章勾股定理一、单选题1．在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（）A．34B．35C．45D．1252．下列各组数中，不是勾股数的为（）A．3，4，5B．6，8，10C．5，12，13D．5，7，103．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（）（1）3，4，5；（2；（3）23，24，25；（4）0.03，0.04，0.05．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，点A表示的实数是（）A B C．1D．15．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD△AC于点D．则BD的长为（）A B C D6．如图，三角形纸片ABC ，AB=AC ，△BAC=90°，点E 为AB 中点，沿过点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合，折痕现交于点F ，已知EF=32，则BC 的长是（）A ．2B ．C ．3D ．7．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）cm ．A ．14B ．15C ．16D ．178．如图，一根长5米的竹竿斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为4米．如果竹竿的顶端A 沿墙下滑1米，竹竿底端B 外移的距离BD （）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上都不对 9．如图，在四边形ABCD 中，12AB =，17BC =，8CD =，9AD =，15BD =，则四边形ABCD 的面积为（）A ．122B ．114C ．110D ．10010．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A ．0.8米B ．2米C ．2.2米D ．2.7米二、填空题 11．直角三角形的两条直角边分别为6cm 和8cm ，则这个直角三角形的周长为________cm ． 12．在直角坐标系中，已知点A （0，2），B （1，3），则线段AB 的长度是_____． 13．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于____．14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．（1）线段AB 的长为__，BC 的长为__，CD 的长为__，AD 的长为__；（2）连接AC ，通过计算△ACD 的形状是__；△ABC 的形状是__．三、解答题15．已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，垂足为D ，交AB 于点E ，且222BE AE AC -=．（1）求A ∠的度数；（2）若3DE =,4BD =，求AE 的长．16．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A ′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？17．如图，一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10km 至C 港．（1）求A ，C 两港之间的距离（结果保留到0.1km ≈1.414）；（2）确定C 港在A 港的什么方向．18．如图，把一块三角形()ABC △土地挖去一个直角三角形()90ADC ∠=︒后，测得6CD =米，8AD =米，24BC =米，26AB =米．求剩余土地(图中阴影部分)的面积．答案1．D2．D3．B4．B5．A6．B7．B8．A9．B10．D11．24．1213．2π14．（15，，（2）等腰三角形，直角三角形15．（1）90°（2）1.416．(1) 这个梯子的顶端距地面有24米；(2) 梯子的底端在水平方向滑动了8米17．（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．96m 18．剩余土地(图中阴影部分)的面积为2。

人教版数学八年级下册第十七章勾股定理习题练习(附答案)

人教版数学八年级下册第十七章勾股定理习题练习（附答案）一、选择题1.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()A． 13 cm B． 2√61cm C．√61cm D． 2√34cm2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为()A． 13 B． 17 C． 18 D． 253.如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝√7AB，E是AB边上一点，连接CE，当CE＝AB时，AE∶EB的4值是()A． 1 B． 2 C． 3 D． 44.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为()A． 10 m B． 15 m C． 18 m D． 20 m5.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为()A． 13 B． 13或√119 C． 13或15 D． 156.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()A． 60海里B． 45海里C． 20√3海里D． 30√3海里7.以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是()A． 1 3 4 B． 1.5 2 2.5 C． 4 5 6 D． 7 8 98.直角三角形三边的长分别为3,4，x，则x可能取的值为()A． 5 B．√7 C． 5或√7D．不能确定9.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是()A． 13,12,12 B． 12,12,8 C． 13,10,12 D． 5,8,410.在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，则△ABC的面积为()A． 60 B． 80 C． 100 D． 12011.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋√b−8＋|c－10|＝0，则三角形的形状是()A．底与腰不相等的等腰三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形12.直角三角形的三边为a－b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为() A． 61 B． 71 C． 81 D． 91二、填空题13.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是________．14.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是________米．15.如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是(1,1)，则点B的坐标是________．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边的正方形面积为12，中线CD的长度为2，则BC 的长度为________．17.勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的面积＝________.18.如图，在等腰△ABC中，AD是角平分线，E是AB的中点，已知AB＝AC＝15 cm.BC＝18 cm，则△ADE的周长是________ cm.19.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为________；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为________(用含n的式子表示，n为正整数)．20.一直角三角形两直角边长的比是3∶4，斜边长是20，那么这个直角三角形的面积是________．三、解答题21.在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a2＋b2＝c2.即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC 和A′B′C′，并把它们拼成如图形状 (点C和A′重合，且两直角三角形的斜边互相垂直)．请利用拼得的图形证明勾股定理．22.在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型(如图乙四边形ABCD)，AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3√2千米，AD＝12√3千米．(1)求小溪流AC的长．(2)求四边形ABCD的面积．(结果保留根号)23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB＝45°，CD＝10.(1)求AB的长；(2)求EC的长．24.如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝3 cm，CD＝1 m，求滑道AC的长．答案解析1.【答案】A【解析】如图：∵高为12 cm ，底面周长为10 cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3 cm 与饭粒相对的点A 处，∴A ′D ＝5 cm ，BD ＝12－3＋AE ＝12 cm ，∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 即为最短距离，A ′B ＝√(A′D 2+BD 2＝√52+122＝13(cm)．故选A.2.【答案】C【解析】∵∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝5，∴AB ＝√122+52＝13，根据题意可得EF 是AB 的垂直平分线，∴D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝6.5，CD ＝12AB ＝6.5， ∴△ACD 的周长为13＋5＝18，故选C.3.【答案】C【解析】设AB ＝x ，则AC ＝√74x ， ∵AB ＝EC ＝x ，∴AE ＝√x 2(√74)2＝34x ， ∴EB ＝x －34x ＝14x ，∴AE ∶EB ＝3∶1＝3.故选C.4.【答案】C【解析】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝5 m，AB＝12 m，∴AC＝√AB2+BC2＝√125+52＝13 m，∴这棵树原来的高度＝BC＋AC＝5＋13＝18 m.即这棵大树在折断前的高度为18 m.故选C.5.【答案】B【解析】当12是斜边时，第三边是√122−52＝√119；当12是直角边时，第三边是√122−52＝13.故选B.6.【答案】D【解析】由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60(海里)，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为BP＝√AB2−AP2＝30√3(海里)故选D.7.【答案】B【解析】A.12＋32≠42，不能构成直角三角形，故错误；B．1.52＋22＝2.52，能构成直角三角形，故正确；C．42＋52≠62，不能构成直角三角形，故错误；D．72＋82≠92，不能构成直角三角形，故错误．故选B.8.【答案】C【解析】当x为斜边时，x＝2+42＝5；当4为斜边时，x＝√42−32＝√7.∴x的值为5或√7；故选C.9.【答案】C【解析】A.132≠122＋62，错误；B．122≠82＋62，错误；C．132＝122＋52，正确；D．82≠52＋22，错误．故选C.10.【答案】B【解析】如图，作AD⊥BC于点D，∵△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，∴BD＝1BC＝8，2∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝√172−82＝15，∴S△ABC＝1×15×16＝120，2故选：D.11.【答案】D【解析】∵(a－6)2≥0，√b−8≥0，|c－10|≥0，又∵(a－b)2＋√b−8＋|c－10|＝0，∴a－6＝0，b－8＝0，c－10＝0，解得a＝6，b＝8，c＝10，∵62＋82＝36＋64＝100＝102，∴是直角三角形．故选D.12.【答案】C【解析】由题可知：(a－b)2＋a2＝(a＋b)2，解之得a＝4b所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b.当b＝27时，3b＝81.故选C.13.【答案】480【解析】设三边的长是5x,12x,13x，则5x＋12x＋13x＝120，解得x＝4，则三边长是20,48,52.∵202＋482＝522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是12×20×48＝480.14.【答案】2.6【解析】由题意可知，将木块展开，相当于是AB＋2个正方形的宽，∴长为2＋0.2×2＝2.4米；宽为1米．于是最短路径为√2.42+12＝2.6米．15.【答案】(√2，0)【解析】根据勾股定理，得OA＝√12+12＝√2，∴OB＝OA＝√2，∴点B的坐标是(√2，0)．16.【答案】2【解析】∵以AC为边的正方形面积为12，∴AC＝√12＝2√3，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝4，∴BC＝2−AC2＝2.17.【答案】10【解析】∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∠AEF＋∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，{∠A＝∠D，∠AFE＝∠DEH，EF＝HE，∴△AEF≌△DHE，∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝BC＝CD＝DE＝4，∴AF＝DE＝AD－AE＝4－1＝3，在Rt△AEF中，EF＝2+AF2＝√10，故正方形EFGH的面积＝√10×√10＝10.18.【答案】27【解析】∵AB＝AC＝15 cm，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD＝1BC＝9 cm，2∴∠ADB＝90°，∴AD＝√AB2−BD2＝√152−92＝12(cm)，∵E是AB的中点，∴DE＝1AB＝AE＝7.5 cm，2∴△ADE的周长＝AE＋DE＋AD＝7.5＋7.5＋12＝27(cm)．19.【答案】55n【解析】已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5＝25＝52，…正方形AnBnCnDn的面积为5n.20.【答案】96【解析】根据题意设两直角边分别为3k,4k(k＞0)，由斜边为20，利用勾股定理，得9k2＋16k2＝400，即k2＝16，解得k＝4，则两直角边分别为12和16，×12×16＝96，所以这个直角三角形的面积＝1221.【答案】证明在直角三角形ABC中，∵∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∴∠2＋∠3＝90°，又∵∠ACC′＝90°，∴∠2＋∠3＋∠ACC′＝180°，∴B、C(A′)、B′在同一条直线上，又∠B＝90°，∠B′＝90°，∴∠B＋∠B′＝180°，∴AB∥C′B′，连接AC′，过点C′作C′D⊥AB交AB于点D，则四边形ABB ′C ′面积等于三个直角三角形面积，∴12(a －b )(a ＋b )＋(a ＋b )b ＝12ab ＋12ab ＋12c 2，即12a 2－12b 2＋ab ＋b 2＝12ab ＋12ab ＋12c 2，a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.【解析】连接AC ′，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．22.【答案】解 (1)∵∠B ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，∴AC ＝√AB 2+BC 2＝√152+152＝15√2千米；(2)∵AC 2＝(15√2)2＝450，CD 2＋AD 2＝(3√2)2＋(12√3)2＝450，∴AC 2＝CD 2＋AD 2，则∠D ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12×15×15＋12×3√2×12√3 ＝225+36√62. 【解析】(1)根据勾股定理即可得；(2)由勾股定理逆定理得∠D ＝90°，从而由S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD 可得答案．23.【答案】解 (1)在Rt △ACD 中，∵∠D ＝60°，CD ＝10，∴AC ＝10√3，∠DAC ＝30°，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠DAC ＝30°，∴在Rt △ACB 中，AB ＝12AC ＝102√6＝5√3.(2)在Rt △ABE 中，∠AEB ＝45°，∴BE ＝AB ＝5√3，由(1)可知，BC ＝√3AB ＝√3×5√3＝15， ∴EC ＝BC －BE ＝15－5√3.【解析】(1)在Rt△ACD中，根据三角函数可求AC＝10√3，∠DAC＝30°，根据平行线的性质得到∠ACB＝30°，在Rt△ACB中，根据三角函数可求AB的长；(2)在Rt△ABE中，根据三角函数可求BE，BC，再根据EC＝BC－BE即可求解．24.【答案】解设AC的长为x米，∵AC＝AB，∴AB＝AC＝x米，∵EB＝CD＝1米，∴AE＝(x－1)米，在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5，∴滑道AC的长为5米．【解析】设AC的长为x米，表示出AE＝(x－1)米，利用在Rt△ACE中AC2＝CE2＋AE2，列出方程求解即可．。

人教版数学八年级下册第十七章《勾股定理》习题课件第十七章《勾股定理》章末小结

△ACD是直角三角形
×5×12－ ×3×4
＝24(m2)
专题解读
9.如下图，AD⊥BC，垂足为 D.CD＝1，AD＝2，BD＝4. 求证：∠BAC＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°；由勾股定理可得 AC2＝AD2＋CD2＝5， AB2＝AD2＋BD2＝22＋42＝20； ∴AC2＋AB2＝25； ∵BC2＝(BD＋CD)2＝52＝25；
利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
专题解读
专题训练三
8.如下图所示的一块地，AB
＝3，CB＝4，∠ABC＝90°，
CD＝13，AD＝12.求这块地的面积．
连接AC，由勾股定理可知AC＝又∵AC2＋AD2＝169，CD2＝169， ∴AC2＋AD2＝CD2，∴ 故所求面积＝S△ACD－S△ABC＝＝5，
否构成直角三角形．
专题解读
【答案】解：(1)由条件得： a－2 ＝0，b－3＝0，c－＝0.
∴a＝2
(2)∵b2＋c2＝32＋(
，b＝3，c＝
；
) 2＝20，a2＝20，
∴b2＋c2＝a2，
∴以a，b，c为边能构成直角三角形．【点拔】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，正确求出a，
章末小结
1
知识网络 ……………..…
2
专题解读 ……………..…
知识网络
专题解读
专题一：勾股定理【例1】长方形纸片ABCD中， AD＝4 cm，AB＝10
cm，按如右图方式折
叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
专题解读
【解析】在折叠的过程中，BE＝DE ．从而设BE＝ DE＝x，则AE＝10－x ．在Rt 定理列方程即可求解．－x ．在Rt

(完整版)最新人教版第十七章勾股定理整理练习题及详细解析答案

题型一：直接考查勾股定理例 1 •在 ABC 中， C 90 •(1) 知 AC 6 , BC 8 •求 AB 的长。

(2) 已知 AB 17，AC 15,求 BC 的长。

题型二：应用勾股定理建立方程例 2 •⑴在 ABC 中， ACB 90 , AB 5 cm , BC 3 cm , CD AB 于 D , CD = ___________________ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为 3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ___________________ ⑶已知直角三角形的周长为 30 cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角形的面积为 _____________________ C 90 , 1 2 , CD 1.5, BD 2.5，求 AC 的长题型三：实际问题中应用勾股定理例5•如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高2 cm ，两树相距8 cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 ____________ m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6•已知三角形的三边长为 a , b , c ，判定 ABC 是否为直角三角形。

52①a 「5, b 2，c 2・5②a ；，b 1, c §例7•三边长为a , b , c 满足a b 10 , ab 18 ,题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 8•已知 ABC 中，AB 13 cm , BC 10 cm , BC 边上的中线 AD 12 cm ，求证： AB AC例3 •如图 ABC 中,例4•如图Rt ABC , C 90 AC 3,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积c 8的三角形是什么形状?D CQ AD 为中线，BD DC 5 cm在ABD 中， Q AD 2 BD 22 2 2169 , AB 169 AD BDAB 2 ,ADB 902, AC AD2 2DC 169, AC 13 cm ,AB AC【例1】、分析：直接应用勾股定理解：⑴AB⑵ BCA B 2~A C 2 8S 54【例3】分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB 于E , Q 12 , DE CD BDE 中Q BED 90 ,BE ,BD 2 DE 2 2Q Rt ACD Rt AED AC AE在 Rt ABC 中， C 902 2 2 2 2 2AB AC BC , (AE EB) AC 4 AC 3 【例4】答案：6【例5】分析：根据题意建立数学模型，如图AB 8 m , CD 2 m , BC 8 m ,过点D 作DE AB ,垂足为E , 则 AE 6 m ,DE 8 m在Rt ADE 中，由勾股定理得 ADAE 2 DE 210【例6】答案： 10 m【例7】解：① 2 2 2Q a b 1.5222 6.25 , c 22.56.25ABC 是直角三角形且C 90② Qb 2c 213 2 259，a 162,b 2 2c aABC 不是直角三角形【例8】解：此三角形是直角三角形理由：Q a 2 b 2 (a b)2 2ab 64，且 c 2 64a 2b 2c 2 所以此三角形是直角三角形【例2】分析：在解直角三角形时, 根据勾股定理列方程求解解：要想到勾股定理, 及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积•有时可 ACAB 2 BC 2CD注2.4AB两直角边的3k , 4k(3k)2 (4 k)2 152 , k 3,两直角边分别为a ,b ，则ab 17 , a 2 b 2289，可得 ab 60tab 30 cm 2 2C 90 1.5【例9】证明：DC :钝角三角形D :直角三角形11. _________________________________________________________________ 斜边的边长为17cm ，一条直角边长为8cm 的直角三角形的面积是 _____________________________________________ . 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10,则顶角的平分线为— . 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 __________14. _________________________________________________ 一个三角形三边之比是 10: 8 : 6，则按角分类它是 __________________________________________________________ 三角形. 15. 一个三角形的三边之比为 5 : 12 : 13,它的周长为60,则它的面积是 _________ . 16. 在 Rt △ ABC 中，斜边 AB=4,贝U A B"+ BC + AC= __ . 17.若三角形的三个内角的比是1: 2:3，最短边长为1cm ，最长边长为2cm ，则这个1. F 列说法正确的是(A.若B.若C.若D.若2. 勾股定理练习题(家教课后练习)b 、c 是厶ABC 的三边，则 b 、c 是Rt △ ABC 的三边, b 、c 是Rt △ ABC 的三边, b 、c 是Rt △ ABC 的三边,Rt △ ABC 的三条边长分别是a 、A. a b cB. a b c如果Rt △的两直角边长分别为 A 2k B k+1a 2+b 2=c 2; i 2 + b 2= c 2;C.2 2 290，贝U a + b = c ;… 2 . 2 290，贝U a + b = c . 则下列各式成立的是( D. a 2b 22k — 1, 2k (k >1 ),那么它的斜边长是(C 、k 2— 1D 、k 2+14.已知a , b , cABC 三边，且满足 (a 2— b 2)(a 2+b 2-c 2) = 0，则它的形状为A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形直角三角形中一直角边的长为另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为 A. 121B . 120C . 90D.不能确定△ ABC 中，AB= 15, AC = 13, 高AD= 12,则厶ABC 的周长为( .42 B . 32 .42 或 32 D . 37 或 337.※直角三角形的面积为(A ) 一 d 2 S 2d (C ) 2,d 2 S 2d8、在平面直角坐标系中，已知点斜边上的中线长为 d ，则这个三角形周长为((B ) . d 2 S d (D ) 2.d 2 S d- P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为( A:若厶ABC 中, AB=25cm AC=26cm 高 AD=24,则 BC 的长为( A . 17B.3C.17或3 D.以上都不对10 .已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足(ac 10 0则三角形的形状是(A :底与边不相等的等腰三角形:等边三角形三角形三个角度数分别是______ ，另外一边的平方是________ .18 •如图，已知 ABC 中，C 90 , BA 15 , AC 12,以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ________ •19 • 一长方形的一边长为 3cm ，面积为12cm ，那么它的一条对角线长是.20.如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长.AC=6cm,BC=8cm 现将直角边AC 沿/ CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在22. 一个三角形三条边的长分别为15cm , 20cm , 25cm ，这个三角形最长边上的高是多少?h=3m 棚宽a=4m 棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要24.如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 12m 高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢, 伙伴在一起？25. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了 2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 50m,这辆小汽车超速了吗？答案：1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角.答案:D.21、有一个直角三角形纸片，两直角边斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出 CD 的长吗?23 .如图，要修建一个育苗棚，棚高E多少平方米塑料薄膜?70 km/h.如图，，一辆小2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3. 解析：设另一条直角边为x，则斜边为（x+1 ）利用勾股定理可得方程，可以求出x.然后再求它的周长•答案：C.4 •解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解•答案：C.2 2 25. 解析：勾股定理得到：17 8 15，另一条直角边是15，1 2 -15 8 60cm22所求直角三角形面积为2.答案：60cm.6. 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边，反过来也是成立. 答案：a2 b22，c，直角，斜，直角.c7. 解析：本题由边长之比是10：8：6可知满足勾股定理，即是直角三角形.答案：直角.8. 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数，断定是直角三角形.答案：30、60、90，3.2 2 2 2 2 29. 解析：由勾股定理知道：BC AB AC 15 12 9，所以以直角边BC 9为直径的半圆面积为10.125 n.答案：10.125 n.10. 解析:长方形面积长X宽，即12长X3,长4，所以一条对角线长为5. 答案：5cm.11. 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方.答案：5m .2 2 212解析：因为15 20 25，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm，1 1由直角三角形面积关系，可得—15 20 - 25 x，二x 12 .答案：12cm2 213. 解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5X20=100（卅）.14. 解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s .15. 解析：本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米, 时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h> 70 km/h.答案：这辆小汽车超速了.。

八年级数学下册《第十七章勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)

八年级数学下册《第十七章勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)一、选择题1.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )A.4米B.5米C.6米D.7米2.某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC 的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为( )A.90米B.120米C.140米D.150米3.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.间木杆长是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)( )A.5尺5寸B.1丈1尺C.5丈5寸D.5丈5尺4.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 55.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米6.如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m7.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深是( )尺A.3.5B.4C.4.5D.58.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )A.12 mB.13 mC.16 mD.17 m9.如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )A. 3B. 5C. 6D.710.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( )A.32B.43C.53D.8511.如图，已知线段BC，分别以B、C为圆心，大于12BC为半径作弧，两弧相交于E、F两点，连接CE，过点E作射线BA，若∠CEA＝60°，CE＝4，则△BCE的面积为( )A.4B.4 3C.8D.8 312.如图，圆柱形纸杯高8 cm，底面周长为12 cm，在纸杯内壁离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )3 B.6 2 C.10 D.以上答案都不对二、填空题13.上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC＝60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里.14.在平面直角坐标系中，点P(﹣5，2)到原点的距离是．15.如图，要做一个两条直角边的长分别是7 cm和4 cm的三角尺，斜边长应为 cm.16.如图，A，B，C，D为四个养有珍稀动物的小岛，连线代表连接各个小岛的晃桥(各岛之间也可以通过乘船到达)，四边形ABCD为长方形，如果黄芳同学想从A岛到C岛，则至少要经过________米.17.某快递公司要在街道旁设立一个派送还点，向A、B两居民区投送快递，派送点应该设在什么地方，才能使它到A、B的距离之和最短？快递员根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得坐标A(﹣2，2)、B(6，4)，则派送点的坐标是.18.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角形时，点A的坐标为．三、解答题19.如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB.20.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？21.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003m 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.(1)求A、C两点之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向？22.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？23.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若AD＝6，BD＝8，求ED的长．24.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝11，求BC的长．25.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？参考答案1.D2.C3.C4.D5.B.6.A.7.C8.D.9.B.10.A11.B.12.C.13.答案为：30 3.14.答案为：3.15.答案为：65.16.答案为：370.17.答案为：(23，0).18.答案为：A(4，0)，(5，0)，(﹣5，0)．19.解：设AB＝x米，则AC＝(36﹣x)米∵AB⊥BC∴AB2＋BC2＝AC2∴x2＋242＝(36﹣x)2.∴x＝10∴折断处的高度AB是10米.20.解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知BC＝3000(米).3000÷20＝150米/秒＝540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.21.解：(1)过B点作BE∥AD如图，∴∠DAB＝∠ABE＝60°.∵30°＋∠CBA＋∠ABE＝180°∴∠CBA＝90°.即△ABC为直角三角形.由已知可得：BC＝500 m，AB＝500 3 m由勾股定理可得：AC2＝BC2＋AB2所以AC＝1 000(m)；(2)在Rt△ABC中，∵BC＝500 m，AC＝1 000 m∴∠CAB＝30°∵∠DAB＝60°∴∠DAC＝30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.22.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等即BC＝CA设AC为x，则OC＝45﹣x由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2又∵OA＝45，OB＝15把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2解方程得出x＝25(cm)．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．23.(1)证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°∴AC＝BC，EC＝DC，∠B＝∠CAB＝45°，∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD在△ACE和△BCD中∴△ACE ≌△BCD(SAS)；(2)解：∵△ACE ≌△BCD∴∠CAE ＝∠B ，AE ＝BD ＝8∵∠CAB ＝∠B ＝45°∴∠EAD ＝45°＋45°＝90°在Rt △EAD 中，由勾股定理得：ED ＝10．24.解：延长AD 至点E ，使AD ＝ED ，连结CE.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△ECD 中∵⎩⎨⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD(SAS)∴EC ＝AB ＝ 2∴∠CED ＝∠BAD ＝90°.在Rt △AEC 中，∵AE 2＝AC 2﹣EC 2∴AE ＝（11）2－（2）2＝3∴AD ＝12AE ＝32. 在Rt △ABD 中，∵BD 2＝AB 2＋AD 2∴BD ＝172∴BC ＝2BD ＝17.25.解：作AB⊥MN，垂足为B在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160∴ AB＝12AP＝80∵点 A到直线MN的距离小于100m∴这所中学会受到噪声的影响.如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响那么AC＝100(m)由勾股定理得： BC2＝1002﹣802＝3600∴ BC＝60.同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响那么AD＝100(m)，BD＝60(m)∴CD＝120(m).拖拉机行驶的速度为：18km/h＝5m/s，t＝120m÷5m/s＝24s.答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.。

第十七章勾股定理知识点总结及练习

1 第十七章勾股定理知识点总结及练习【目标知识点】1. 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ，那么222a b c +=，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

几何语言：2. 赵爽弦图证明勾股定理：例1：判断下列说法是否正确,并说明理由：(1)在△ABC 中,若a=3,b=4,则c=5(2)在Rt △ABC 中，如果a=3，b=4,则c=5.(3)在Rt △ABC 中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.3. 勾股“树”与勾股“数”勾股“树”：例2：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。

勾股“数”：①3,4,5 ②6,8,10 ③5,12,13 ④9,40,41 ⑤12，16，2024. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形三边长分别为a 、b , c ，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

几何语言：例3：下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A ．4，5，6B ．5，7，12C ．1，1，D ．1，，3例4：已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【例题精讲】题型一：勾股定理的计算（在直角三角形中，已知两边求第三边）①有图（或明确哪个角是直角），唯一结果例5：求下列直角三角形中未知边的长②无图且未知哪个角是直角，分类讨论例6：在直角三角形中，有两边分别为3和4，则第三边是（）A ．1B ．5C ．D ．5或题型二：两次应用勾股定理例7：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（）A ．11B ．10C ．9D ．8题型三：勾股定理的实际应用（梯子问题）例8：如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m．（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？题型四：立体图形中的最短路径问题例9：如图，圆柱形容器的底面周长是24cm，高为17cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（）A．20cm B．8cm C ．cm D．24cm例10：如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．例11：如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是．34题型五：利用勾股定理在数轴上表示无理数例12：如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（）A ．+1B ．﹣+1C ．﹣1D ．题型六：翻折问题例13：已知，在△ABC 中，∠C=900，AC=5cm,BC=10cm,将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE.求CD 的长度.【目标检测题】1．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为（）A ．20B ．22C ．24D ．262．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，若BD=4，CD=2，则AC 的长是（）A ．4B ．3C ．2D ． 3．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为（）A ．4B ．8C ．16D ．644．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE=（）A ．1B ．C ．D ．25．已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8，则第三边长是（）A ．10B ．8C ．2D ．10或26．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则M表示的数为（）A．2.1 B ．﹣1 C ．D ．+18．下列说法正确的是（）A．若 a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2B．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2C．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2D．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c29．如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3=（）A．4 B．8 C．12 D．3210．如图，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，面积记为S1、S2、S3，则（）A．S1＞S2+S3B．S1=S2+S3C．S1＜S2+S3D．无法确定511．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m12．如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=8，AB=7，则BC+CDA ．B．5C．4D．313．直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（）A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm14．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，AD=1，则BD的长为（）A ．B．2 C ．D．315．如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）A．8米B．9米 C．10米D．11米16．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面3米折断，量得倒下部分树尖与树根的距离是4米，这棵树在折断前的高度是（）A．7米B．8米 C．9米D．10米17．若三角形三边长分别是2、3、3，则这个三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形D．等边三角形618．如图，在单位正方形组成的网格中，有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能组成一个直角三角形的是（）C．AB，CD，GH D．AB，CD，EF19．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，则AD= cm．20．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是说：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺，若将芦苇拉到水池一边的中点处，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设水的深度为x尺，则可以得到方程．21．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．7823．如图，在△ABC 中，∠C=45°，∠B=75°，BC=，求AB 的长．24．已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB=13cm ，AC=15cm ，AD=12cm ，求△ABC 的面积．25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=17，BC=15，以AC 为斜边向△ABC 内部作直角三角形ACD ，且CD=．（1）求AD 的长度；（2）求图中阴影部分图形的面积．26．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=90°，AD=9，AB=12，BC=20，CD=25（1）求BD ；（2）求在四边形ABCD 的面积．27. 折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8cm, BC=10cm,求CF 和EC 的长.28．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M 位于C的北偏西75°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求出管道MN的长度（精确到0.1米）．29．如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，求这块地的面积．30．为了推广城市绿色出行，南沙区交委准备在蕉门河沿岸东西走向AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AB=3km，CA=2km，DB=1.6km，试问这个单车停放点E应建在距点A多少km处，才能使它到两广场的距离相等．31．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？9。

第十七章勾股定理知识与题型总结及测试题含答案

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。

（利用勾股定理探究长度为,3何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。

）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。

要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。

若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。

补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。

如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系（1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。

勾股定理复习小结

解:过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD中，∠ADB=90°， ∠B=45°，AB=2，∴AD=BD= .∵在△ABD中，∠ADC=90°，∠C=60°，AD= ， ∴CD= ,∴BC= ，S△ABC =
30°
160
A
M
N
P
Q
80
E
如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
A
M
N
P
Q
B
D
E
如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
思考：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？
01
解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题.
02
已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积.
分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题

人教版本八下数学第十七章勾股定理单元总结复习测试卷习题有答案

人教版八下数学第十七章《勾股定理》单元测试卷及答案【1】一、选择题（每题 4 分，共 40 分）BC21、在△ ABC 中，∠ C=90°， BC=2 ，AB = 3，则边 AC 的长是（）A 、 5B 、34D 、13 C、32、如图 1，小正方形边长为1，连结小正方形的三个极点，可得△ABC ，则 AC 边上的高是（）AB CCA图 2B 图 13 2 5 5 3 54 5A 、 2 B、10 C、 5 D 、 53、假如△ ABC 中，∠ A：∠ B：∠ C=1： 2： 3，那么这个三角形是（）A 、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形4、把直角三角形两直角边同时扩大到本来的 3 倍，则斜边扩大到本来的（）A 、 2 倍B 、 3 倍C、 4 倍D、 5 倍5、对于随意两个正整数m、 n（ m＞ n），以下各组三个数为勾股数的一组是（）A 、 m2+mn，m2－ 1， 2mnB 、 m2－ n2， 2mn，m2+n 2C、m+n， m－ n， 2mn D 、 n2－ 1， n2+mn， 2mn6、如图 2，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为 1，则△ ABC 是（）A 、直角三角形B 、锐角三角形C、钝角三角形 D 、以上答案都不对北A 东图 3南12 海7、如图 3，一轮船以 16 海里 /小时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以里 /小时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，则走开港口2h 后，两船相距（）A 、 25 海里B 、 30 海里C 、 35 海里D 、40 海里 8、以下表达中，正确的选项是（）A 、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方B 、假如一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形C 、△ ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为a 、 b 、 c ，若 a 2+b 2=c 2，则∠ A=90°D 、假如△ ABC 是直角三角形，且∠C=90°，那么 c 2=b 2－ a 29、 CD 是 Rt △ ABC 斜边 AB 上的高，若 AB=2 ， AC ：BC=3 ： 1，则 CD 为（）1234A 、 5B 、 5C 、 5D 、 510、如图 4，矩形 ABCG （ AB ＜ BC ）与矩形 CDEF 全等，点 B 、C 、D 在同向来线上， ∠ APE的极点在线段 BD 上挪动，使∠ APE 为直角的点 P 的个数是（） A 、 0B 、 1C 、 2D 、3FEAB ′AGMBPC D 图 4BCA ’二、填空题（每题 3 分，共 30 分）图 511、如图5，将 Rt △ ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转90°到△ A ′ B ′C 的地点，次开发已知斜边 AB=10cm ， BC=6cm ，设 A ′B 的′中点是 M ，连结 AM ，则 AM= cm ．12、如图6，直线 l 过正方形 ABCD 的极点 B ，点 A 、 C 到直线 l 的距离分别是 1 和 2，则正方形的边长是．ADCEM FA2BDC图 71lB图 622互为相反数，则以 x 、y 、z 为三边的三角形为三13、已知 |x － 12|+（ y －13）和 z － 10z+25 角形（填锐角、直角、钝角）14、如图 7，△ ABC 中，CE 均分∠ ACB ，CF 均分∠ ACD ，且 EF∥ BC 交 AC 于 M ，若 EF=5，2 2．则 CE +CF =15、在△ ABC 中，若 AB=5cm ，BC=6cm ，BC 边上的中线 AD=4cm ，则∠ ADC 的度数是．16、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为．17、某人要登上6m 高的建筑物，为保证安全，梯子底端要走开建筑物 2.5m，且顶端不低于建筑物顶部，则梯子长应许多于m．18、若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长20cm，则斜边上的高为．19、如图 8，在△ ABC 中，∠ B=90°， D 是斜边AC 的垂直均分线与BC 的交点，连结AD ，∠ DAC ：∠ DAB=2 ：5，则∠ DAC= ．AAD EBBDC图 9 图 8C20、如图 9，在四边形 ABCD 中， AB ： BC ： CD ：DA=2 ： 2： 3： 1，且∠ ABC=90°，则∠ DAB 的度数是．三、解答题（每题7 分，共 28 分）21、如图 10，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段 AB 和 CD 分别是图中 1×3 的两个矩形的对角线，明显 AB ∥ CD，请你用近似的方法画出过点 E 且垂直于 AB的直线，并证明．FC EADG B图1022、台球是一项文雅的体育运动，此中包括了很多物理、几何学知识，图 11－①是一个台球桌，目标球 F 与本球之间有一个 G 球阻拦．y○（○A ○ （ ○ ABB·E ·E··GG··FFD ○○xD○ ）○）CC图 11-①图 11-②（ 1）击球者想经过击打 E 球，让 E 球先撞球台的 AB 边，经过一次反弹后再撞击F 球，他应将 E 球打到 AB 边上的哪一点？请在图 10－①顶用尺规作出这一点H ，并作出 E 球的运转路线；（不写画法，保存作图印迹）（ 2）如图 11－②，现以 D 为原点，成立直角坐标系，记 A （ 0， 4）， C （ 8， 0）， E （ 4，3）， F （ 7， 1），求 E 球按方才方式运转到球的路线长度（忽视球的大小）23、如图 12，已知在△ ABC 中， AD 、AE 分别是 BC 边上的高和中线，AB=9cm ，AC=7cm ， BC=8m ，求 DE 的长．AB CED 图 1224、如 13 所示的一地ABCD ，已知 AD=4m ，CD=3m ，∠ ADC=90°，AB=13m ，BC=12m ，，求地的面．CDAB13四、合用（每小11 分，共 22 分）25、察以下勾股数：3，4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25； 9， 40， 41；⋯，a， b， c依据你的律，写出（1）当 a=19 ，求 b、 c 的．（2）当 a=2n+1 ，求 b、 c 的．（3）用（ 2）的判断 15，111， 112 能否一勾股数，并明原因．26、如 14，南北向MN 我国海，即 MN 以西我国海，以公海，上午950 分，我国反走私 A 艇正方有一走私艇以13 海里 /的速度向我海开来，便立刻通知正在 MN 上巡的我国反走私艇 B 亲密注意．反走私艇 A 和走私艇 C 的距离是 13 海里， A 、 B 两艇的距离是 5 海里；反走私艇 B 得距离 C 艇 12 海里，若走私艇 C 的速度不，最早会在什么候入我国海？MA E CB14N参照答案一、选择题1～ 10 ACBBB ADBCC提示： 2、如图 1， AC=AB=22 12 = 5 ，BC= 12 12 =2 ，作 AD ⊥ BC 于 D ，则 BD=DC ，2 3A5 2 )AD=( 2= 2设 AC 边上的高为 h ，则 1 1C2 AC ·h= 2 BC ·AD2 3DBC AD2 3 5h= AC =5= 5B 5、可代 m=2，n=1 ，查验图 16、 AC 2=32+22=13 AB 2=62 +42=5 2BC 2=82+1 2=65 ∵ AC 2+AB 2 =BC 2 ∴△ ABC 为直角三角形9、设 AC=3x ， BC=x ，则 22229x +x =4 x = 5由 CD ·AB=AC · BC ，得 CD=ACBC =3xx =3x 2 =3 2 3 AB2 2 2 · =5510、如图 2，作 EH ∥BD ， BH ∥ BD 交于 H ，设 AB=a ，DE=bH F EA G ba BPcCD图 2若 P 在 BC 上，且∠ APE 为直角，有AP 2+PE 2=AE 2=（ a+b ）2 +（ b － a ）2=2 （a 2+b 2）（ 1）又 AP 2+PE 2 =a 2+（b － PC ） 2+b 2+（ a+PC ） 2=2（ a 2+b 2） +2P （ a+PC ）－ 2bpc （2）当 a+PC=b 时，（ 1）、（2）两式相等，此时，∠ APE 为直角当 P 在 C 时也合适，应选 C ．二、填空题11～ 20415 直角25 90° 24 209.6cm 20° 135 °提示： 11、如题图，过 M 作 MN ∥ BA ′，因为 M 为 A ′B 的′中点，因此 N 为 B ′C 的中点在 Rt △ACB 中，由 AB=10 ， BC=6 得 AC=8∴∠ A ′=8B ′ C=6 ∴ B ′ N=NC=3 AB ′ =AC －B ′ C=8－ 6=21∴ AN=2+3=5MN= 2 CA ′ =4在 Rt △ANM 中， AM 2=25+16=41 ∴ AM= 4112、如题图，易证含边长为 1 和 2 的两个直角三角形全等∴正方形边长 = 122=513、由题意知， |x － 12|+（ y － 13） 2=0， z 2－ 10z+25=0∴ x=12， y=13 ，z=5，∵ 122+52=132 ∴为直角△14、证∠ ECF=90°20、连结 AC ，在△ ABC 中，∵∠ ABC=90°， AB=BC=2DA ，∴∠ BAC=45° AC 222 2=AB +BC =8DA 在△ ACD 中，∵ AC 2=8DA 2 ， CD=3DA ∴ AC 2+DA 2=CD 2 ∴∠ CAD=90° ∴∠ DAB= ∠CAD+ ∠BAC=135°三、解答题21、解：直线 AE 为所画的直线如图4F CAED图 4G证明：连B 接 BE ，由网格的特点，得∠ F=∠ G=∠ BCE=90°由勾股定理，得222AE =10， AB =10 ，BE =20∴ AE 2+AB 2=BE 2∴∠ BAE=90°，即 EA ⊥ AB22、解：（ 1）画出正确的图形．如图3（可作点 3 对于直线 AB 的对称点 E 1，连结 E 1F 、E 1F与 AB 交于点 H ，球 E 的运动路线就是EH →HF ）yE 1 HA ○ （ ○B ·E · N G ·FD ○）○ x C 图 3（ 2）过 F 作 AB 的平行线，交 E 1E 的延伸线于点 N ，由题意可知， E 1N=4 ， FN=3 ，在 Rt △FNE 1 中， E 1F= E 1N 2NF 2 =5因为是点 E 1 是点 E 直线 AB 的对称点，因此 EH=E 1 H ，因此 EH+HF=E 1F=5因此 E 球运转到 F 球的路线长度为 523、解：在Rt △ ABC 中， AD 2 =AB 2－BD 2，即 AD 2=92－（ 4+DE ）2在 Rt △ADC 中， AD 2=AC 2－ DC 2即 AD 2=72－（ 4－DE ）2 ∴ 81－（ 4+DE ）2=49－（ 4－DE ）2 ∴（ 4+DE ） 2－（ 4－ DE ） 2=32 8·2DE=32 DE=224、解：连结 AC∵△ ADC 为直角三角形2222∴由勾股定理，得 AC =3 +4 =5 又 AC 2+BC 2=52+122=13 2=AB 2 ∴△ ACB 为直角三角形 ∴ S ABCD =S 112四边形△△25、解：（1） b=180， c=181（ 2）经过察看知 b － a=1，又（ 2n+1） 2+a 2=b 2 ∴ b 2－ a 2=（ 2n+1）2 （ b+a ）（ b － a ） =（ 2n+1）2 ∴ b+a=（ 2n+1） 2∴ b= (2 n 1) 2 1， a=( 2n 1)2 12 2(2 n 1) 2 1 ( 2n 1)2 1（ 3）由（ 2）知， 2n+1， 2 =2n（ n+1 ），2=2n（ n+1 ）+1 为一组勾股数，当n=7 时， 2n+1=15 ， 112－ 111=1，但 2n（ n+1 ）=2×7×8=112≠111，∴ 15， 111， 112 不是一组勾股数26、解：设MN 与 AC 订交于 E，则∠ BEC=90°2 2 2 2 2 2∵ AB +13 =5 +12 =13 =AC∴△ ABC 为直角三角形，∠ ABC=90°因为 MN ⊥ CE，因此走私艇 C 进入我领海的最的距离是 CECE 2 BE 2 144 ①1BC 1BE②2 AB 2 AC SABC144解得 CE= 1314414413÷13= 169≈ 0.85（ h）=51（ min）9 时 50 分 +51 分=10 时 41 分即走私艇C 最早在 10 时 41 分进入我领海．。

人教版八年级数学下册第17章勾股定理章节综合练习【含答案】

人教版八年级数学下册第17章勾股定理章节综合练习一．选择题1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，12，132．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（）A．B．C．D．3．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）A．50B．16C．25D．414．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（）A．2πB．3πC．4πD．8π5．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S26．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）A．14B．13C．14D．147．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．25B．19C．13D．1698．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．76B．72C．68D．529．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝18时，b+c的值为（）A．242B．200C．128D．162二．填空题10．下列各组数：①1、2、3；②，，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41，其中是勾股数的是（填序号）．11．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有组这样的“完美勾股数”．12．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是．13．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为．14．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度．三．解答题15．如图，四边形DEFG中，∠DEF＝120°，∠EFG＝135°，DE＝6，EF＝5，FG＝，求DG的长．16．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD∥AC，交∠ACB的平分线CD于点D，CD交AB于点E．（1）求证：BC＝BD；（2）若AC＝3，AB＝6，求CD的长．17．观察探究：小明同学非常细心，火柴盒在桌面上倒下，便启迪他得到很多发现．如图，火柴盒的一个侧面ABCD逆时针方向倒下后到AB′C′D′的位置，连接CC′．设AB＝b，BC＝a，AC＝c．（1）他在学习了因式分解后，意外地发现，代数式a2﹣b2表示了图中一个长方形的面积，请你把这个长方形画完整，并把它指出来；（2）学过勾股定理之后，他又惊奇地发现，利用四边形BCC′D′的面积可以得到证明勾股定理的新方法，请你利用这个四边形的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2．18．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．19．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．参考答案与试题解析一．选择题1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，12，13【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．【解答】解：A、32+42≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+62≠102，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、52+52≠112，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D．2．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（）A．B．C．D．【分析】设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，根据三角形的周长以及勾股定理得出方程组，利用完全平方公式求出2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝m2﹣2mn，两边除以4即可求出这个直角三角形的面积．【解答】解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，由题意可得，，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，∴这个直角三角形的面积＝ab＝．故选：A．3．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）A．50B．16C．25D．41【分析】根据勾股定理求出AB2，再根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，∴CD2+BD2＝BC2＝25，∴阴影部分的面积＝25+25＝50，故选：A．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（）A．2πB．3πC．4πD．8π【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．【解答】解：∵S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，∴S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．故选：A．5．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S2【分析】根据图形和勾股定理可知S1＝c2＝a2+b2，再由完全平方公式即可得到结果．【解答】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴2ab＝S1﹣S2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，故选：C．6．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）A．14B．13C．14D．14【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长．【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF＝＝14．故选：D．7．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．25B．19C．13D．169【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【解答】解：由条件可得：，解之得：．所以（a+b）2＝25，故选：A．8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．76B．72C．68D．52【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：A．9．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝18时，b+c的值为（）A．242B．200C．128D．162【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝18求出b、c的值，进而可得答案．【解答】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，当a＝18时，182+b2＝（b+2）2，解得：b＝80，则c＝80+2＝82，则b+c＝162．故选：D．二．填空题10．下列各组数：①1、2、3；②，，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41，其中是勾股数的是④（填序号）．【分析】勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．【解答】解：①1、2、3，因为1+2＝3，无法组成三角形，所以不是勾股数；②，不是正整数，不属于勾股数；③0.3、0.4、0.5不是正整数，不属于勾股数；④因为92+402＝412，所以9、40、41属于勾股数；故答案为：④．11．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有8组这样的“完美勾股数”．【分析】由于n＜150，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，可得共有8组这样的“完美勾股数”．【解答】解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，又∵149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，∴共有8组这样的“完美勾股数”．故答案为：8．12．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是2+．【分析】先证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，再由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，即可得出答案．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，∴＝＝2+，故答案为：2+．13．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为36．【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接BD，∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，根据勾股定理得，BD＝5，在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BC•BD＝×3×4+×12×5＝36．故答案为：36．14．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度12米．【分析】设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．【解答】解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：（x+1）2＝x2+52，解得：x＝12，答：旗杆的高度为12米．故答案为：12米．三．解答题15．如图，四边形DEFG中，∠DEF＝120°，∠EFG＝135°，DE＝6，EF＝5，FG＝，求DG的长．【分析】延长并反向延长EF，作DA⊥AE于A，GB⊥FB于B，作DC∥AB于C，根据邻补角的定义得到∠DEA＝60°，∠GFB＝45°，∠DGC＝60°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长并反向延长EF，作DA⊥AE于A，GB⊥FB于B，作DC∥AB于C，∵∠DEF＝120°，∠EFG＝135°，∴∠DEA＝60°，∠GFB＝45°，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴AE＝3，AD＝3，FB＝GB＝，∴CG＝BC﹣BG＝AD﹣BG＝2，AB＝CD＝AE+EF+BF＝8+，∴DG＝＝．16．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD∥AC，交∠ACB的平分线CD于点D，CD交AB于点E．（1）求证：BC＝BD；（2）若AC＝3，AB＝6，求CD的长．【分析】（1）证明∠D＝∠BCD得到BC＝BD；（2）先利用勾股定理计算出BC，然后利用勾股定理计算出CD．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，∵BD∥AC，∴∠D＝∠ACD＝45°，∴∠D＝∠BCD，∴BC＝BD；（2）解：在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∴BD＝3，∵∠BCD＝∠D＝45°，∴∠CBD＝90°，∴CD＝＝＝3．17．观察探究：小明同学非常细心，火柴盒在桌面上倒下，便启迪他得到很多发现．如图，火柴盒的一个侧面ABCD逆时针方向倒下后到AB′C′D′的位置，连接CC′．设AB＝b，BC＝a，AC＝c．（1）他在学习了因式分解后，意外地发现，代数式a2﹣b2表示了图中一个长方形的面积，请你把这个长方形画完整，并把它指出来；（2）学过勾股定理之后，他又惊奇地发现，利用四边形BCC′D′的面积可以得到证明勾股定理的新方法，请你利用这个四边形的面积证明勾股定理：a2+b2＝c2．【分析】（1）根据题意作出长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形图形；（2）四边形BCC′D′的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示．【解答】解：（1）延长C′B′交BC于E，再延长D′C′交CD的延长线于点F，则长方形C′ECF即为所求．（2）依题意，图中的四边形BCC′D′为直角梯形，△CC′A为等腰直角三角形，Rt△ABC和Rt△C′D′A的形状和大小完全一样设梯形BCC′D′的面积为S，则S＝（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab又∵S＝S Rt△CC'A+2S Rt△ABC＝c2+2×ab＝c2+ab∴（a2+b2）+ab＝c2+ab．因此，a2+b2＝c218．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．【解答】（1）证明：连接CD，∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，∴AD＝3，BD＝5，∴DC＝5，∴AC＝＝＝4．19．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．【分析】（1）根据全等三角形的性质和线段的和差即得结论；（2）根据大三角形的面积等于三个小三角形的面积和即可求解；（3）综合（1）和（2）的结论进行推导即可得结论．【解答】解：（2）因为S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC＝cx+ax+bx所以x＝．答：x与a、b、c的关系为x＝．（3）根据（1）和（2）得：x＝＝．即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）化简得a2+b2＝c2．。

第17章勾股定理小结和复习

第17章勾股定理小结和复习教学目标1-理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边 2. 勾股定理的应用.3. 会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 教学过程一•复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边尖系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用•其知识结构如下：勾般定理的逆毎用1・勾股定理：(1) ______________________ 直角三角形两直角边的和等于的平方•就是说,对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a b,斜边为c,那么一定有：•这就是勾股定理.面(2)勾股定理揭示了直角三角形一之间的数量矣系，是解决有尖线段计算问题的重要依据.(22|2«2222«2 . --------------------------------------------- -------------------a二c・b\ 二c・a,c = .ab a = v c2 _b2,b = vC2 -a22.勾股定理逆定理若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为_____________ •这一命题是勾股定理的逆定理•它可以帮助我们判断三角形的形状•为根据边的尖系解决角的有尖问题提供了新的方法•定理的证明采用了构造法•利用已知三角形的边a,b,c(a+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSSE明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边，求第三边；(2)在数轴上作出表示川(n为正整数)的点.勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的•勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.2十2 2⑶ 三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边，若玄13“，则三角形是直角三角形；若* b °,则三角形是锐角三角形；若玄b ” ：°「，则三角形是钝角三角形•所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边•考点一、已知两边求第三边1 •在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为__________ .2._____________________________________________________ 已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是________________________________ ・3.在数轴上作出表示的点.4 •已知，如图在△ ABC 中，AB=BC=CA=2cm , AD 是边BC±的高.考点二、利用列方程求线段的长1・如图，铁路上A ，B 两点相距25km, C ，D 为两村庄，DA 丄AB 于A , CB 丄AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站 E,使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？2.如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离.考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1 •分别以下列四组数为一个三角形的边长：（D 3、4、5（2） 5、12、13 （3） 8求©AD 的长；②厶ABC 的面积.15、17 (4) 4、5、6,其中能够成直角三角形的有 ______________2. __________________________________________________________ 若三角形的三别是a+b2,2ab,f ・b%a>b>0),则这个三角形是 ___________________ ・23.如图1，在厶ABC 中，AD 是高，且AD 二BD CD ，求证：△ ABC 为直角三角考点四、灵活变通1-在RtAABC 中，a,b, c 分别是三条边‘ / B=90°,已知a=6, b=10,则边长2.边为边长的两个正方形的面积为边为边长的正方形的面积为 ___________ cm 2.柱'底圆周长6cm,高4cm, 一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到4- ___________________________________ 如图：带阴影部分的半圆的面积是直角三角形中，以直角7cm 2 , 8cm 2‘ 则以斜3.如图一个圆—只蚂蚁B 点，那團IB 点，则最少要爬行 _______ cm(二取3) 5.从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到么它所爬行的最短路线的长是 _________________6若一个三角形的周长12、.3cm—边长为3cm,其他两边之差为3 cm,则这个二角形是_______________________ :.7•如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米考点五、能力提升1.已知：如图，△ ABC中，AB> AC, AD是BC边上的高.2 2求证：AB -AC =BC(BD-DC).2.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE二丄BC •你能说明/ AFE是直角吗?3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？B A三、随堂检测1.已知△ ABC 中，/ A= / B= / C,则它的三条边之比为（）.A. 1 ： 1 ： 1B. 1： 1 : 2C. 1： 2 ： 3D. 1： 4： 1 下列各组线段中，能够组成）・A. 6, 7, 8B. 5, 6, 7C. 4, 5, 6D. 3, 4, 5 3.若等边△ ABC 的边长为2cm,那么△ ABC 的面积为（）.— 2222A . 3 cmB . 2 cmC . 3 cmD . 4cm 4.角形的两直角边分别为5cm, 12cm,其中斜边上的高为（A . 6cmB . 8 . 5cmC . 30/ 13cm5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米•一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ______ 米.6・一座桥横跨一江，桥长12m, 一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶 __________ m .7.个三角形的三边的比为5 ： 12 ： 13,它的周长为60cm,则它的面积是 _________8•已知直角三角形一个锐角60。

第十七章 勾股定理 小结 练习

新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 小结 习题训练》课件_21