列向量的线性组合二
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3-2_向量与向量组的线性组合
单位向量组 ε 1 = (1,0 , L ,0 ), ε 2 = ( 0 ,1, L ,0 ), L
ε n = ( 0 ,0 , L ,1)的线性组合 .
a 1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n = α
例4 判断 β 1 = ( 4,3,−1,11), β 2 = ( 4,3,0,11)是否各为向量 判断
若(A)、(B)为列 向量组, 记A = ( α1 , α 2 ,L , α s )和 向量组, 因 因 对每个向量 α j ( j = 1,2, L , s ), B = ( β1 , β2 ,L , βt ).
k1 j k2 j α j = k1 j β 1 + k 2 j β 2 + L + k st β t = ( β 1 , β 2 , L , β t ) , M k11 k12 L k1s k tj 于是
2 4 4 − 5 − 5 − 5 3 3 4 − 9 − 9 − 9 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 r2×(− 1 5) 1 2 4 4 r3 −3r2 0 1 1 1 r1 −2r2 0 r4 +9r2 0 0 0 1 → 0 →
T 1 T 2 T 2 T 1 T 2
定义3 定义 设有两个向量组 ( A) α 1 , α 2 ,L , α s 及( B ) β 1 , β 2 ,L , β t . 组中的每一个向量都能由向量组B线性表示 若A组中的每一个向量都能由向量组 线性表示 组中的每一个向量都能由向量组 线性表示, 则称向量组A可由 线性表示. 可由B线性表示 则称向量组 可由 线性表示
ε n = ( 0 ,0 , L ,1)的线性组合 .
a 1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n = α
例4 判断 β 1 = ( 4,3,−1,11), β 2 = ( 4,3,0,11)是否各为向量 判断
若(A)、(B)为列 向量组, 记A = ( α1 , α 2 ,L , α s )和 向量组, 因 因 对每个向量 α j ( j = 1,2, L , s ), B = ( β1 , β2 ,L , βt ).
k1 j k2 j α j = k1 j β 1 + k 2 j β 2 + L + k st β t = ( β 1 , β 2 , L , β t ) , M k11 k12 L k1s k tj 于是
2 4 4 − 5 − 5 − 5 3 3 4 − 9 − 9 − 9 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 r2×(− 1 5) 1 2 4 4 r3 −3r2 0 1 1 1 r1 −2r2 0 r4 +9r2 0 0 0 1 → 0 →
T 1 T 2 T 2 T 1 T 2
定义3 定义 设有两个向量组 ( A) α 1 , α 2 ,L , α s 及( B ) β 1 , β 2 ,L , β t . 组中的每一个向量都能由向量组B线性表示 若A组中的每一个向量都能由向量组 线性表示 组中的每一个向量都能由向量组 线性表示, 则称向量组A可由 线性表示. 可由B线性表示 则称向量组 可由 线性表示
线性代数向量组
（相关组增加向量仍相关；无关组减少向量仍无关.）
【结论 4】若向量组1 , 2 , 线性相关， 则 能由1 , 2 ,
, m 线性无关，而1 , 2 ,
,m ,
, m 线性表示，且表示式唯一。
【结论 5】线性无关的向量组中每个向量分别添加分量后的 新向量组一定线性无关。 （无关组增加分量仍无关）
【注 3】矩阵 A经初等行变换变成矩阵 B ，则 A的行向量组与 B 的 行向量组等价。但是列向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 P ，使得 PA B, A P 1 B 。
【注 4】矩阵 A经初等列变换变成矩阵 B ，则 A的列向量组与 B 的 列向量组等价。但是行向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 Q ，使得 AQ B, A BQ 1 。
k 0, 0 一定是 k 0
3、 向量组：若干个同维数的行（列）向量所组成 的集合称为向量组。
1 2 3 2 3 4 1 , 2 , 3 是3个四维的列向量组. 3 4 5 4 5 6
k12 k22 ks 2 k1 s k2 s k ss 0
k1 s k2 s ， k ss
【例3】讨论向量组的线性相关性。
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a x am 2 x2 等价于线性方程组 m1 1
有解
三. 向量组的等价
设Hale Waihona Puke 两个向量组 A : 1 , 2 ,
m 和 B : 1 , 2 , l ，
若 B 组中的每个向量都能由 A组中的向量线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A线性表示。
【结论 4】若向量组1 , 2 , 线性相关， 则 能由1 , 2 ,
, m 线性无关，而1 , 2 ,
,m ,
, m 线性表示，且表示式唯一。
【结论 5】线性无关的向量组中每个向量分别添加分量后的 新向量组一定线性无关。 （无关组增加分量仍无关）
【注 3】矩阵 A经初等行变换变成矩阵 B ，则 A的行向量组与 B 的 行向量组等价。但是列向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 P ，使得 PA B, A P 1 B 。
【注 4】矩阵 A经初等列变换变成矩阵 B ，则 A的列向量组与 B 的 列向量组等价。但是行向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 Q ，使得 AQ B, A BQ 1 。
k 0, 0 一定是 k 0
3、 向量组：若干个同维数的行（列）向量所组成 的集合称为向量组。
1 2 3 2 3 4 1 , 2 , 3 是3个四维的列向量组. 3 4 5 4 5 6
k12 k22 ks 2 k1 s k2 s k ss 0
k1 s k2 s ， k ss
【例3】讨论向量组的线性相关性。
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a x am 2 x2 等价于线性方程组 m1 1
有解
三. 向量组的等价
设Hale Waihona Puke 两个向量组 A : 1 , 2 ,
m 和 B : 1 , 2 , l ，
若 B 组中的每个向量都能由 A组中的向量线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A线性表示。
向量组的线性相关性
1. 课代表来拿作业
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第三节 向量组的线性相关性
一、 向量组的线性组合 二、 向量组的线性相关性
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一、向量组的线性组合
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 若干个同维数的列向量（ 同维数的行向量） 同维数的列向量 的行向量 组成的集合叫做向量组． 集合叫做向量组 组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (a ij )m×n 有n个m 维列向量 aj a1 a2 an a11 a12 L a1 j L a1n a 21 a 22 L a 2 j L a 2 n A= M M M M M M a a m 2 L a mj L a mn m1
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例9 设有向量组
2 1 −4 −1 0 ,γ = 2 α= ,β = 1 4 −2 3 2 k
讨 论 k为 何 值 时 α， β ， γ 线 性 相 关 ？ k为 何 值 时 α， β ， γ 线 性 无 关 ?
T T
T
可以验证
α 3 = 2α 1 + α 2
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例如 任意一个 都是向量组
n
n
α = ( a1 , a2 ,L , an )T 维向量
n维单位 维单位 坐标向量
1 0 0 0 1 , ε = ,L, ε = 0 ε1 = n M 2 M M 0 0 1
则表示系数 k1 , k2 ,L , km 是线性方程组的解。
x 如果线性方程组有解， 1 = k1 , x 2 = k 2 ,L, x m = k m
则
即向量
k1α 1 + k 2α 2 + L k mα m = β
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第三节 向量组的线性相关性
一、 向量组的线性组合 二、 向量组的线性相关性
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一、向量组的线性组合
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 若干个同维数的列向量（ 同维数的行向量） 同维数的列向量 的行向量 组成的集合叫做向量组． 集合叫做向量组 组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (a ij )m×n 有n个m 维列向量 aj a1 a2 an a11 a12 L a1 j L a1n a 21 a 22 L a 2 j L a 2 n A= M M M M M M a a m 2 L a mj L a mn m1
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例9 设有向量组
2 1 −4 −1 0 ,γ = 2 α= ,β = 1 4 −2 3 2 k
讨 论 k为 何 值 时 α， β ， γ 线 性 相 关 ？ k为 何 值 时 α， β ， γ 线 性 无 关 ?
T T
T
可以验证
α 3 = 2α 1 + α 2
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例如 任意一个 都是向量组
n
n
α = ( a1 , a2 ,L , an )T 维向量
n维单位 维单位 坐标向量
1 0 0 0 1 , ε = ,L, ε = 0 ε1 = n M 2 M M 0 0 1
则表示系数 k1 , k2 ,L , km 是线性方程组的解。
x 如果线性方程组有解， 1 = k1 , x 2 = k 2 ,L, x m = k m
则
即向量
k1α 1 + k 2α 2 + L k mα m = β
1 向量组及其线性组合
有限向量组
a11 a12 L a21 a22 L A= M M am 1 am 2 L
a1n 1T T 2 a2 n , ,L , 1 2 n M M T n amn
5
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
证明向量组 a1 ,a2 与向量组 b1 ,b2 ,b3 等价。
证: 记A = (a1 , a2 ),B = (b1 ,b2 ,b3 ).由上推论，只需证 R( A) = R( B) = R( A,B).为此把( A,B)化成行阶梯形：
1 -1 ( A, B) 1 -1 3 1 1 3 2 0 1 1 1 3 1 3 2 1 3 1 1 - 1 r 0 4 2 2 2 r 0 ~ ~ 0 2 0 - 2 -1 -1 -1 0 2 0 0 6 3 3 3 0 3 2 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 3 1 0 0
相互线性表示，就称这两个方程组等价，等价的方程组一定
同解。
13
向量组及其线性组合 例1 设
1 3 2 1 3 -1 1 0 1 -1 a1 = , a2 = , b1 = , b2 = , b3 = 1 1 1 0 2 -1 3 1 2 0
( x1 , x2 ,L , xn )T = x1e1 + x2e2 + L + xnen
实质上就是线性方程组 x1α1 + x2α2 + L + xm αm = b有解 (2) 判定定理 定理1 向量b能由向量组 A : a1 ,a2 ,L ,am 线性表示的充分 必要条件是矩阵 A = (α1 , α2 ,L , αm ) 的秩等于矩阵 B = (a1 , a2 ,L ,am ,b)的秩。 2. 向量组B能由向量组A线性表示 (1) 概念 定义 设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示．
a11 a12 L a21 a22 L A= M M am 1 am 2 L
a1n 1T T 2 a2 n , ,L , 1 2 n M M T n amn
5
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
证明向量组 a1 ,a2 与向量组 b1 ,b2 ,b3 等价。
证: 记A = (a1 , a2 ),B = (b1 ,b2 ,b3 ).由上推论，只需证 R( A) = R( B) = R( A,B).为此把( A,B)化成行阶梯形：
1 -1 ( A, B) 1 -1 3 1 1 3 2 0 1 1 1 3 1 3 2 1 3 1 1 - 1 r 0 4 2 2 2 r 0 ~ ~ 0 2 0 - 2 -1 -1 -1 0 2 0 0 6 3 3 3 0 3 2 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 3 1 0 0
相互线性表示，就称这两个方程组等价，等价的方程组一定
同解。
13
向量组及其线性组合 例1 设
1 3 2 1 3 -1 1 0 1 -1 a1 = , a2 = , b1 = , b2 = , b3 = 1 1 1 0 2 -1 3 1 2 0
( x1 , x2 ,L , xn )T = x1e1 + x2e2 + L + xnen
实质上就是线性方程组 x1α1 + x2α2 + L + xm αm = b有解 (2) 判定定理 定理1 向量b能由向量组 A : a1 ,a2 ,L ,am 线性表示的充分 必要条件是矩阵 A = (α1 , α2 ,L , αm ) 的秩等于矩阵 B = (a1 , a2 ,L ,am ,b)的秩。 2. 向量组B能由向量组A线性表示 (1) 概念 定义 设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示．
4.1 向量组及其线性组合
的秩，即 R(A) = R(A , B) .
推论 向量组 A：a1 , a2 , · , am 与向量组 · ·
B：b1 , b2 , · , bl 等价的充要条件是 · · R(A) = R(B) = R(A , B) , 其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵.
例1
1 1 1 1 1 2 1 0 设1 , 2 , 3 , b , 2 1 4 3 2 3 0 1
第四章
第一节
向量组的线性相关性
向量组及其线性组合主要内容Leabharlann 向量及向量组的定义 向量组等价
向量组等价的条件
定理的比较
一、向量及向量组的定义
1. 向量的定义
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , · , an 所组 · ·
成的数组称为 n 维向量, 这 n 个数称为该向量的
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数
的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
n 维向量可写成一行, 也可写成一列, 分别称 为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵, n 维列向量 与 n 维行向量 T 是两个不同的向量
a1 a2 , a n n 维列
从而得表示式 b = (1 , 2 , 3) x
= (-3c+2)1 + (2c-1)2 + c3 .
例2 设
1 3 2 1 3 1 1 0 1 1 a1 , a2 , b1 , b2 , b3 , 1 1 1 0 2 1 3 1 2 0
3.2向量及其线性组合1-PPT课件
o ( 0 , 0 ,..., 0 ) 即
注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量：n 维向量 的各分量的相反数所构成的 n 维 向量，称为 的负向量，记作 ，即
( a , a ,..., a ) 1 2 n
设 (a1 , a2 ,..., a n ) ， (b1 , b2 ,..., bn ) 都 向量相等： 是 n 维向量， 若它们的各个对应的分量都 相等，则称向量 与 相等， 记 作
T ( 2 , 3 ) 由 1
T ( 4 , 2 ) 2
构成的向量组1T, 2T为行向量组. 说明： （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 , 2 , , 1 n 构成一个 mn 矩阵 a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n A ( , , , ) 1 2 n a a a a mj mn m1 m2
（2）向量的数乘
（k∈R） ， 所 定义3.3 n维向量 对应的各分量的 k 倍 构成的 n维向量，称为数 k 与向量 的乘积， 记作 k ，
减法
( )
与 的 和 称 为 与 的 差 ， 记 作 ， 即
( a ,a ,..., a ) ( b ,b ,..., b ) 1 2 n 1 2 n ( a b ,a b ,..., a b ) 1 1 2 2 n n
T T T, T 都是行向量. (4 ,2 ), (2 ,3 ), 则 若 2 1 1 2
注： 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量：n 维向量 的各分量的相反数所构成的 n 维 向量，称为 的负向量，记作 ，即
( a , a ,..., a ) 1 2 n
设 (a1 , a2 ,..., a n ) ， (b1 , b2 ,..., bn ) 都 向量相等： 是 n 维向量， 若它们的各个对应的分量都 相等，则称向量 与 相等， 记 作
T ( 2 , 3 ) 由 1
T ( 4 , 2 ) 2
构成的向量组1T, 2T为行向量组. 说明： （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 , 2 , , 1 n 构成一个 mn 矩阵 a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n A ( , , , ) 1 2 n a a a a mj mn m1 m2
（2）向量的数乘
（k∈R） ， 所 定义3.3 n维向量 对应的各分量的 k 倍 构成的 n维向量，称为数 k 与向量 的乘积， 记作 k ，
减法
( )
与 的 和 称 为 与 的 差 ， 记 作 ， 即
( a ,a ,..., a ) ( b ,b ,..., b ) 1 2 n 1 2 n ( a b ,a b ,..., a b ) 1 1 2 2 n n
T T T, T 都是行向量. (4 ,2 ), (2 ,3 ), 则 若 2 1 1 2
注： 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
向量组及其线性组合(2)
2 0
行变换
1 0
0 0
3 2 0 0
21 11 00 00
13 00
得R(A) =R(A,B)=2. 又容易看出B中有2阶非零子式,
则 2R(B) R(A,B)=2. 故 R(B)=2. 因此 R(A)=R(B)=R(A,B).
定理3: 若向量组B: 1, 2, ···, s能由向量组A: 1, 2, ···, m线性表示, 则R(1, 2, ···, s)R(1, 2, ···, m),即R(B)R(A).
则称这两个向量组等价.
若记A=(1, 2, ···, m)和B=(1, 2, ···, s), 向量组B能由向量组A线性表示, 即对每一个向量j ( j = 1, 2,···, s ), 存在数k1j, k2j, ···, kmj , 使
j = k1j 1+ k2j 2 + ··· + kmj m
何空间的名词. 但其意义更为广泛.
Rn = { x = ( x1, x2 ,, xn )T | x1, x2 ,, xn R }
叫做n 维向量空间.
= { x = ( x1, x2 ,, xn )T | a1 x1 a2 x2 an xn = b }
叫做n维向量空间Rn中的n–1维超平面.
=
a1 a2 an
.
写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵, 通常用aT, bT, T, T 等表示, 如:
T = (a1,a2,,an ).
注意:
1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
a21 x1 a22 x2
向量
设有两个向量组： 定义 3.6 设有两个向量组：
α 1 , α 2 ,⋯ , α s β 1 , β 2 ,⋯ , β t
A = (α1 ,α2 ,⋯,αm )
m 个n维行向量所组成 的向量组 β 1 , β 2 ,⋯ β m ,
T T T
构成一个 m × n矩阵
β1T T β2 B= ⋮ T β m
线性方程组的向量表示
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a m 1 x1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a mn x n = bm .
例5
判断向量 3 0 11 β 1 = ( 4 , 3 , − 1 ,11 ) 与 β 2 =（ 4，，， ）
是否各为向量组 2 − 5 − 1 1 α 1 = ( 1，， 1， )， α 2 =（ 2， 1，，）的线性组合
T T 解 设 k 1α 1 + k 2α 2 = β 1 , 对矩阵 ( α 1 , α 2 , β 1T )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (a ij )m n 有n个m 维列向量 × aj a1 a2 an a11 a12 ⋯ a1 j ⋯ a1n a 21 a 22 ⋯ a 2 j ⋯ a 2 n A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a m 2 ⋯ a mj ⋯ a mn m1
向量组及其线性组合
1
,
m
)
2
m
在n 维向量的全体
x1
Rn
x
x2
xn
x1, x2 ,
, xn
R
中，向量组
1 0
1
0
,
2
1
,
0
0
0
,n
0
1
称为n 维基本单位向量组。
a1
任一n 维向量
a2
Rn
都可以由
1, 2 ,
an
, n 表示成
B
1T
T 2
T m
1.2 向量组的线性组合
设向量组
1 2 4
1
2 1
,
2
3 1
,
3
11
由向量的线性运算知道， 3 22 1
这时称α3 是α1，α2 的线性组合。
定义2 设有向量组
:1,2 , ,m
，对于任意一组数
k1, k1, , km ，向量：
k11 k22 kmm
n 维向量也可以写成一行，记作
T (1,2 , ,n )
称为行向量，也就是1×n 行矩阵。
规定:n 维向量的运算按矩阵运算规则进行，即设λ 是数，n 维向量
a1 b1
=
a2
,
=
b2
an
bn
a1 b1
a1
则
=
a2
b2
,
=
a2
an
bn
an
x
y z
同维数向量的集合称为向量组。例如，n 维向量的全体所组成 的集合为
x1
Rn
x
x2 xn
x1, x2 ,
chapter4向量组及其线性组合
运算；
向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）组成的集合
如 a11
A
a21
a12 a22
a1n a2Βιβλιοθήκη nam1am2
amn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个n m矩阵,记为
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式
解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：
注意
1. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量； 3. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
提示 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）组成的集合
如 a11
A
a21
a12 a22
a1n a2Βιβλιοθήκη nam1am2
amn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个n m矩阵,记为
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式
解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：
注意
1. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量； 3. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
提示 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
一、向量的线性组合
2.3 向量间的线性关系
一、向量的线性组合
一组数k1 , k2 ,, k s R, 使得
定义2.8 设1 , 2 ,, s , R n ( s为正整数），如果存在
k11 k2 2 ks s
则称向量 可以表为向量组1 , 2 , , s的线性组合， ， s 线性表出. 或称 可由向量组1， 2，
例 6 设向量组1， 2， ..., s ( s 2)线性无关，又向量 1 1 2 , 2 2 3 ,..., s 1 s 1 s , s s 1.
试确定向量组 1， 2， ...., s的线性相关性。
定理2.6 R n中的向量组1， 2， ..., s ( s 2)线性相关 的充分必要条件是1 , 2 , 3 , ..., s中至少有一个向量 可以表示为其余向量的线性组合.
例9 设向量组1 , 2 , 3 ,..., s 线性无关, 而向量组
1， 2， ..., s , 线性相关，
则可以表为1, 2 ,3 ,..., s的线性组合 .
例10 设向量组1 , 2 , 3 ,..., s 线性无关, 其中
例8 判定下列向量组是否线性相关,如果线性相关,试 将其中一个向量表为其余向量的线性组合.
(1)1 (2,1,3,1)T , 2 (4,2,5,4)T ,
3 (2,1,2,3)T , 4 (3,2,1,2)T
(2)1 (1, 2,0,3)T , 2 (2,5, 1,10)T , 3 (3, 4,1, 2)T .
进一步,如果（2.10)有唯一解,说明 可由向量组 1， 2， ，
如果（2.10)有无穷多解,说明 线性表出，并且表示法惟一；
一、向量的线性组合
一组数k1 , k2 ,, k s R, 使得
定义2.8 设1 , 2 ,, s , R n ( s为正整数），如果存在
k11 k2 2 ks s
则称向量 可以表为向量组1 , 2 , , s的线性组合， ， s 线性表出. 或称 可由向量组1， 2，
例 6 设向量组1， 2， ..., s ( s 2)线性无关，又向量 1 1 2 , 2 2 3 ,..., s 1 s 1 s , s s 1.
试确定向量组 1， 2， ...., s的线性相关性。
定理2.6 R n中的向量组1， 2， ..., s ( s 2)线性相关 的充分必要条件是1 , 2 , 3 , ..., s中至少有一个向量 可以表示为其余向量的线性组合.
例9 设向量组1 , 2 , 3 ,..., s 线性无关, 而向量组
1， 2， ..., s , 线性相关，
则可以表为1, 2 ,3 ,..., s的线性组合 .
例10 设向量组1 , 2 , 3 ,..., s 线性无关, 其中
例8 判定下列向量组是否线性相关,如果线性相关,试 将其中一个向量表为其余向量的线性组合.
(1)1 (2,1,3,1)T , 2 (4,2,5,4)T ,
3 (2,1,2,3)T , 4 (3,2,1,2)T
(2)1 (1, 2,0,3)T , 2 (2,5, 1,10)T , 3 (3, 4,1, 2)T .
进一步,如果（2.10)有唯一解,说明 可由向量组 1， 2， ，
如果（2.10)有无穷多解,说明 线性表出，并且表示法惟一；
3.2.1--向量组及线性组合
向量组.
例如
矩阵A
(a
ij
) mn
有n个m维列向量
a11 a11
a22 a12
a jj a1 j
ann a1n
A
a21
a22
a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组 1,2, ,m称为矩阵A的列向量组．
则向量 b1, b2 , , bn 可 由向量 组1, ,n 线性表出.
定理3.2.2 若向量 可由 m 维向量组1,2 , ,n
线性表出，则矩阵
1
A 的 行经行初等变换可将其化为零行.
n
推论 3.2.1 向量组 1,2 , ,n 构成的矩阵
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
设有 n 维向量组
e1 1, 0, , 0 由于任一个n维向量
e2 0,1, , 0 a1, a2 , , an
1
A
2
n
经行初等变换出现零行的充要条件是至少有一 个向量可由其他向量线性表出.
定理3.2.1 设有n维向量组为
1 a11 , a12 , 2 a21 , a22 ,
, a1n , a2n
1
令A
2
若 A 0,
n an1 , an2 , , ann b1, b2 , , bn
判断向量组线性相关的方法
判断向量组线性相关的方法向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念。
判断向量组是否线性相关的方法有很多。
下面将介绍几种常见的判断方法。
方法一：线性组合法设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，若存在一组不全为0的系数c1,c2,…,cn，使得c1v1+c2v2+…+cnvn=0，则向量组V是线性相关的；否则，向量组是线性无关的。
这个方法主要是利用了线性组合的概念，通过求解线性方程组的方法来判断向量组的线性相关性。
方法二：行列式法将n个向量作为列向量排列成一个n×n的矩阵A，即A=[v1,v2,…,vn]，计算矩阵A的行列式det(A)。
若det(A)=0，则向量组V是线性相关的；若det(A)≠0，则向量组V是线性无关的。
这个方法主要是利用了行列式的性质，当行列式为0时，表示该矩阵的行（或列）向量线性相关。
方法三：秩的概念定义矩阵A=[v1,v2,…,vn]，将矩阵A进行高斯消元或初等变换，得到阶梯形矩阵B。
如果B的主对角线上所有元素都不为0，那么向量组V 是线性无关的；如果B的主对角线上有一个元素为0，那么向量组V是线性相关的。
这个方法主要是利用了矩阵的秩的概念，即矩阵的秩等于阶梯形矩阵的主对角线上非零元素的个数。
方法四：向量的线性组合关系设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果存在一个向量vi （i从2到n），可以由剩余的n-1个向量线性表出，即vi可以表示为其他向量的线性组合，那么向量组V是线性相关的；如果任意一个向量都不能由剩余的其他向量线性表出，那么向量组V是线性无关的。
这个方法是一种直观的判断方法，通过观察向量之间的线性组合关系来判断向量组的线性相关性。
方法五：向量的长度关系设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果向量v1的长度大于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性无关的；如果向量v1的长度小于等于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性相关的。
线性代数4.1 向量组及其线性组合
的集合称为向量组．
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向量组可能含有有限个向量，也可能含有无限多 个向量．
例如， 一个 m n 矩阵的全体列向量 组成一个含
n 个 m 维列向量的向量组， 它的全体行向量 组成一 个含 m 个 n 维行向量的向量组． 矩阵的列向量组和
行向量组都是含有有限个向量的向量组．反之，一个 含有有限个向量的向量组也可以构成一个矩阵．例如，
能由向量组
A
线性表示，并
求出表示式．
解 设矩阵 A (a1 , a2 , a3) , 矩阵 B A, b,
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先将矩阵 B 化成行阶梯形矩阵
1 1 1 1
B (a1, a2
矩阵 A
,
a3
,
b)
1 2 2
2 1 3
1 4 0
0
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
量用转置符号 aT , bT , αT , βT 等表示．
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例如，若列向量
a1
a
a2
an
,
则，行向量 aT (a1, a2 , , an ) .
注：这里所讨论的向量，在没有指明是行向量还
是列向量时，都指列向量． 由若干个同维数的列向量 或同维数的行向量组成
也可以写成一列，即
a2
.
an
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按第2章矩阵的定义， 它们分别是行矩阵和列矩 阵，也称为行向量和列向量， 且规定行向量和列向量 都可按矩阵的运算法则进行运算． 因此， 用两种不同
形式表示的n 维向量 以后看作是两个不同的向量．
向量组及其线性组合
设m 个n维向量 α 1 , α 2 ,⋯ , α m 组成的矩阵 A
m个n维向量 组成的向量 组，当维数 n小于向量 个数m 个数m时， 一定线性相 关吗？ 关吗？
A是n × m 型的
R( A ) ≤ n < m
向量组一定线性相关
设向量组 :α1 α ⋯ αm线性无关， 而向量组 :α α ⋯ αm b A 线性无关， B 设向量组 A : α 1 ,,α 22⋯ ,,α m线性无关，而向量组 B : α 11,,α 22⋯ ,,α m ,,b 线性无关，
说明
线性组合
1 如果存在一组数 1 , λ2 ,⋯, λm使 、 λ
b = λ1α1 + λ2α2 +⋯+ λmαm
这时称向量b能由向量组A 这时称向量b能由向量组A线性表示
x1α1 + x2α2 +⋯+ xmαm = b 有解
⇔ R(α1 α2 ⋯αm ) = R(α1 α2 ⋯αm b)
等价
定理1 定理
向量b能由向量组 A：α 1 , α 2 , ⋯ , α m线性表示的充分必要条 件是 矩阵A = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m )的秩等于矩阵 B = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m , b )的秩
定义3 定义 设有两个向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 及B : b1 , b2 ,⋯ , bl 线性表示， 若B中的每个向量都能由向 量组A线性表示，则 称向量组 B可由向量组 A线性表示; 若A也能由向量 组B线性表示, 则称两个向量组等价
1 1 [ A b] = 2 2 1 1 1 1 2 − 1 0 行变换 0 → 0 1 4 3 3 0 1 0 0 3 2 1 − 2 − 1 0 0 0 0 0 0
m个n维向量 组成的向量 组，当维数 n小于向量 个数m 个数m时， 一定线性相 关吗？ 关吗？
A是n × m 型的
R( A ) ≤ n < m
向量组一定线性相关
设向量组 :α1 α ⋯ αm线性无关， 而向量组 :α α ⋯ αm b A 线性无关， B 设向量组 A : α 1 ,,α 22⋯ ,,α m线性无关，而向量组 B : α 11,,α 22⋯ ,,α m ,,b 线性无关，
说明
线性组合
1 如果存在一组数 1 , λ2 ,⋯, λm使 、 λ
b = λ1α1 + λ2α2 +⋯+ λmαm
这时称向量b能由向量组A 这时称向量b能由向量组A线性表示
x1α1 + x2α2 +⋯+ xmαm = b 有解
⇔ R(α1 α2 ⋯αm ) = R(α1 α2 ⋯αm b)
等价
定理1 定理
向量b能由向量组 A：α 1 , α 2 , ⋯ , α m线性表示的充分必要条 件是 矩阵A = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m )的秩等于矩阵 B = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m , b )的秩
定义3 定义 设有两个向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 及B : b1 , b2 ,⋯ , bl 线性表示， 若B中的每个向量都能由向 量组A线性表示，则 称向量组 B可由向量组 A线性表示; 若A也能由向量 组B线性表示, 则称两个向量组等价
1 1 [ A b] = 2 2 1 1 1 1 2 − 1 0 行变换 0 → 0 1 4 3 3 0 1 0 0 3 2 1 − 2 − 1 0 0 0 0 0 0
化学向量组及其线性组合
通常用aT, bT, T, T 等表示, 如:
T = (a1,a2, ,an ).
注意:
1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当 作列向量.
二、向量空间
当 n 3 时,
解析几何
既有大小又有方向的量
例如: (1, 2, ···, n)为 n 维实向量. (1+2i, 2+3i, ···, n+(n+1)i )为 n 维复向量.
第1个分量 第2个分量 第n个分量
写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵,
通常用a, b, , 等表示, 如:
=
aaan12 .
写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵,
点(x, y, z)的集合——平面
P( x, y, z) 一一对应
向量(x, y, z)T的集合
r = ( x, y, z)T
当 n > 3 时, 向量不再有“几何”意义, 仍沿用几 何空间的名词. 但其意义更为广泛.
Rn = { x = ( x1, x2 , , xn )T | x1, x2 , , xn R } 叫做n 维向量空间.
类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:
a11 a21
a12 a22
A=
ai1
ai2
am1 am2
a1n a2n
T 1
T 2
ain
T i
amn
T m
向量组1T, 2T,···, mT 称为矩阵A的行向量组.
反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一 个矩阵.
T = (a1,a2, ,an ).
注意:
1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当 作列向量.
二、向量空间
当 n 3 时,
解析几何
既有大小又有方向的量
例如: (1, 2, ···, n)为 n 维实向量. (1+2i, 2+3i, ···, n+(n+1)i )为 n 维复向量.
第1个分量 第2个分量 第n个分量
写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵,
通常用a, b, , 等表示, 如:
=
aaan12 .
写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵,
点(x, y, z)的集合——平面
P( x, y, z) 一一对应
向量(x, y, z)T的集合
r = ( x, y, z)T
当 n > 3 时, 向量不再有“几何”意义, 仍沿用几 何空间的名词. 但其意义更为广泛.
Rn = { x = ( x1, x2 , , xn )T | x1, x2 , , xn R } 叫做n 维向量空间.
类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:
a11 a21
a12 a22
A=
ai1
ai2
am1 am2
a1n a2n
T 1
T 2
ain
T i
amn
T m
向量组1T, 2T,···, mT 称为矩阵A的行向量组.
反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一 个矩阵.
第四章第1节 向量组及其线性组合
(
)
称为列向量。 称为列向量。 列向量 它们的区别 只是写法上 的不同。 的不同。 称为行向量。 称为行向量。 行向量
分量全为零的向量 ( 0,0,⋯ ,0 ) 称为零向量。 称为零向量 零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等： 向量相等：如果 n 维向量 α = a1 , a2 ,⋯ , an 的对应分量都相等， 的对应分量都相等，即 ai = bi
B能由A线性表示，即对每一个向量β j ( j = 1, 2,⋯ , l ) 存在k1 j , k2 j ,⋯ , kmj 使 k1 j k2 j β j = k1 jα1 + k2 jα 2 + ⋯ + kmjα m = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) ⋮ kmj
则方程组的向量表示为 x1α 1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b
6. 向量组等价
定义3： 定义 ：如果向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 中的每一个向量 ) α i ( i = 1, 2,⋯ , m 都可以由向量组 B : β 1 , β 2 ,⋯ , β s 线性表示，那么就称向量组 可以由向量组 线性表示。 可以由向量组B线性表示 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组 线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示 线性表示， 若同时向量组 也可以由向量组 线性表示，就称 向量组A与向量组 等价。 与向量组B等价 向量组 与向量组 等价。 即
5. 线性组合与线性表示
定义1： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 对于任何一组实数 k1 , k2 ,⋯ , km , 向量 k1α 1 + k2α 2 + ⋯ + kmα m 称为向量组 的一个 称为向量组A的一个 线性组合， 称为这个线性组合的系数。 线性组合，k1 , k2 ,⋯ , km 称为这个线性组合的系数。 定义2： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 和向量 β 如果存在一组实数 λ1 , λ2 ,⋯ λm , 使得 β = λ1α 1 + λ2α 2 + ⋯ + λmα m 则称向量
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例4. 求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)， a3 =问(3题, 4：, 5基, 6本)的单秩位.向量组的秩是多少？它们相关/无关？
解：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A,
1 2 3
2
3
4
3 4 5
4 5 6
r2 2r1 1 2 3
推论2 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.
向量组的秩
定义5 向量组a1，a2， ，am的极大线性无关组所含向量的个数 称为向量组的秩. 记作r(a1，a2， ，am).
规定，只含零向量的向量组的秩为0 . 推论3 等价的向量组有相同的秩.
★重要结论 (线性相关性新的判定方法！)
而 a１，a２中的每一个向量可由a１，a２，a3线性表示，即
α1 α1 0α2 0α3, α2 0α1 α2 0α3.
定义4 如果向量组a1，a2 ,… ,am的一个部分组aj1，aj2 ,… ,ajr
(r≤m) 满足：
(1) 部分组aj1，aj2 ,… ,ajr线性无关； (2) 向量组a1，a2 ,… ,am中的任一向量可由该部分组线性表
性相关，则向量组必（
）．
二、多选题：下列命题中正确的有（
）
Ａ．非零向量组成的向量组一定线性无关．
Ｂ．含零向量的向量组一定线性相关．
Ｃ．由一个零向量组成的向量组一定线性无关．
Ｄ．由零向量组成的向量组一定线性相关．
Ｅ．线性相关的向量组一定含有零向量．
三、分析判断题 ：若a1不能被a2 ,a3 ,…, ar 线性表示， 则向量a1 , a2 ,a3 ,…, ar线性无关．（√×）
am1 am2
amn
列向量组b1，b2， ，bm的秩，称为矩阵A的列秩.
定理3 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.
1. 向量组秩的求法
步1.把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；
步2.对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；
步3.阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．
定理5 若向量组 ai=(ai1, ai2, ,ain) (i=1,2,…,m)线性无关，则向 量组 b i=(ai1, ai2, ,ain , ain+1 ) (i=1,2,…,m)也线性无关.
证明：（反证）
若向量组 b1, b2,…, bm线性相关，则存在一组不全为零的数k1, k2,…,
km ,使得 k1 b1 +k2 b2 +…+km bm=o
（1）
a11 a21
am1 0
a12 a22
am2 0
即
k1
k2
km
a1n
a1n1
r3 3r1
a2n
ห้องสมุดไป่ตู้
a2n1
amn 0
amn1
0
（2）
显然，方程(2)的前 n 行就是 k1a1 +k2a2 +…+kmam=o ，
从而得，a1 ，a2 ，…，am线性相关，矛盾.证毕.
练习题
一、填空题：在向量组a1 ,a2 ,…, ar中，如果有部分向量线
向量组(II)等价.
等价向量组的性质
自反性 对称性 传递性
向量组的极大线性无关组
引例. 向量组a１=(1,1,1), a2=(0,2,5), a3=(1,3,6), 等价于其部分向 量组a１ a2 .
事实上，a１，a２，a3中的每一个向量可由a１，a２线性表示,即 α1 α1 0α2 , α2 0α1 α2 , α3 α1 α2.
同样a2，a4也是一个极大线性无关组.
极大线性无关组不一定唯一； 向量组与它的极大线性无关组等价.
向量组的秩
定理6 设向量组 a1,a2 ,,ar 线性无关，并且可由向量组
b1, b2 ,, bs 线性表n示维，空则间r至≤s.多找到n个线性无关的向量！
推论1 任意n+1个n维向量一定线性相关.
示，则称所选部分组为原向量组的一个极大线性无关组.
例12．在向量组a1(0, 1)，a2(1, 0)，a3(1, 1)，a4(0, 2)中， 向量组a1(0, 1)， a2(1, 0)线性无关，且有 a3(1, 1)(0, 1)(1, 0)1a11a2，a4(0, 2)2(0, 1)2a10a2， 所以a1，a2是向量组a1，a2，a3，a4的一个极大线性无关组.
四、证明题：设b可由设a1 ,a2 ,…, ar线性表示，但不能 由a1 ,a2 ,…, ar-1线性表示，证明ar可由a1 ,a2 ,…, ar-1 ,b
线性表示．
5.4 极大线性无关组
例11. (I) a１=(1, 0) , a 2=(0, 1)
(II) b１=(1, １) , b 2=(１, -1), b 3=(１, 5)两组.
因为,
a1
1 2
b1
1 2
b2
0
b3
,
a2
1 2
b1
1 2
b2
0
b3
b１=a１＋a２， b 2a１－a２， b 3a１＋５a２,
等价向量组
向量组(I)与向量组(II)等价.
定义3 设有两个向量组 (I) a1,a2 , ,ar , (II) b1, b2 ,, bs
如果向量(I)与向量组(II)可以相互线性表示，则称向量组(I)与
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n a2n
a1 a2
,
amn
am
行向量组a1，a2， ，am的秩，称为矩阵A的行秩.
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2n
b1,
b2 ,
, bn ,
若r(a1，a2， ，am)<m，则向量组a1，a2， ，am必线性相关.
2.7 极大线性无关组及线性表示系数的求法
1. 向量组秩的求法 2. 向量组极大线性无关组的求法 3. 用极大线性无关组表示其他的向量
1. 向量组秩的求法
定义4 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩 称为矩阵A的列秩. 即
解：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A,
1 2 3
2
3
4
3 4 5
4 5 6
r2 2r1 1 2 3
推论2 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.
向量组的秩
定义5 向量组a1，a2， ，am的极大线性无关组所含向量的个数 称为向量组的秩. 记作r(a1，a2， ，am).
规定，只含零向量的向量组的秩为0 . 推论3 等价的向量组有相同的秩.
★重要结论 (线性相关性新的判定方法！)
而 a１，a２中的每一个向量可由a１，a２，a3线性表示，即
α1 α1 0α2 0α3, α2 0α1 α2 0α3.
定义4 如果向量组a1，a2 ,… ,am的一个部分组aj1，aj2 ,… ,ajr
(r≤m) 满足：
(1) 部分组aj1，aj2 ,… ,ajr线性无关； (2) 向量组a1，a2 ,… ,am中的任一向量可由该部分组线性表
性相关，则向量组必（
）．
二、多选题：下列命题中正确的有（
）
Ａ．非零向量组成的向量组一定线性无关．
Ｂ．含零向量的向量组一定线性相关．
Ｃ．由一个零向量组成的向量组一定线性无关．
Ｄ．由零向量组成的向量组一定线性相关．
Ｅ．线性相关的向量组一定含有零向量．
三、分析判断题 ：若a1不能被a2 ,a3 ,…, ar 线性表示， 则向量a1 , a2 ,a3 ,…, ar线性无关．（√×）
am1 am2
amn
列向量组b1，b2， ，bm的秩，称为矩阵A的列秩.
定理3 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.
1. 向量组秩的求法
步1.把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；
步2.对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；
步3.阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．
定理5 若向量组 ai=(ai1, ai2, ,ain) (i=1,2,…,m)线性无关，则向 量组 b i=(ai1, ai2, ,ain , ain+1 ) (i=1,2,…,m)也线性无关.
证明：（反证）
若向量组 b1, b2,…, bm线性相关，则存在一组不全为零的数k1, k2,…,
km ,使得 k1 b1 +k2 b2 +…+km bm=o
（1）
a11 a21
am1 0
a12 a22
am2 0
即
k1
k2
km
a1n
a1n1
r3 3r1
a2n
ห้องสมุดไป่ตู้
a2n1
amn 0
amn1
0
（2）
显然，方程(2)的前 n 行就是 k1a1 +k2a2 +…+kmam=o ，
从而得，a1 ，a2 ，…，am线性相关，矛盾.证毕.
练习题
一、填空题：在向量组a1 ,a2 ,…, ar中，如果有部分向量线
向量组(II)等价.
等价向量组的性质
自反性 对称性 传递性
向量组的极大线性无关组
引例. 向量组a１=(1,1,1), a2=(0,2,5), a3=(1,3,6), 等价于其部分向 量组a１ a2 .
事实上，a１，a２，a3中的每一个向量可由a１，a２线性表示,即 α1 α1 0α2 , α2 0α1 α2 , α3 α1 α2.
同样a2，a4也是一个极大线性无关组.
极大线性无关组不一定唯一； 向量组与它的极大线性无关组等价.
向量组的秩
定理6 设向量组 a1,a2 ,,ar 线性无关，并且可由向量组
b1, b2 ,, bs 线性表n示维，空则间r至≤s.多找到n个线性无关的向量！
推论1 任意n+1个n维向量一定线性相关.
示，则称所选部分组为原向量组的一个极大线性无关组.
例12．在向量组a1(0, 1)，a2(1, 0)，a3(1, 1)，a4(0, 2)中， 向量组a1(0, 1)， a2(1, 0)线性无关，且有 a3(1, 1)(0, 1)(1, 0)1a11a2，a4(0, 2)2(0, 1)2a10a2， 所以a1，a2是向量组a1，a2，a3，a4的一个极大线性无关组.
四、证明题：设b可由设a1 ,a2 ,…, ar线性表示，但不能 由a1 ,a2 ,…, ar-1线性表示，证明ar可由a1 ,a2 ,…, ar-1 ,b
线性表示．
5.4 极大线性无关组
例11. (I) a１=(1, 0) , a 2=(0, 1)
(II) b１=(1, １) , b 2=(１, -1), b 3=(１, 5)两组.
因为,
a1
1 2
b1
1 2
b2
0
b3
,
a2
1 2
b1
1 2
b2
0
b3
b１=a１＋a２， b 2a１－a２， b 3a１＋５a２,
等价向量组
向量组(I)与向量组(II)等价.
定义3 设有两个向量组 (I) a1,a2 , ,ar , (II) b1, b2 ,, bs
如果向量(I)与向量组(II)可以相互线性表示，则称向量组(I)与
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n a2n
a1 a2
,
amn
am
行向量组a1，a2， ，am的秩，称为矩阵A的行秩.
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2n
b1,
b2 ,
, bn ,
若r(a1，a2， ，am)<m，则向量组a1，a2， ，am必线性相关.
2.7 极大线性无关组及线性表示系数的求法
1. 向量组秩的求法 2. 向量组极大线性无关组的求法 3. 用极大线性无关组表示其他的向量
1. 向量组秩的求法
定义4 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩 称为矩阵A的列秩. 即