2019高三数学二轮专题八 第1讲 高考的热门话题——数学核心素养与数学文化

第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化数学素养解读最新《普通高中数学课程标准》(2018年1月第1版)中明确提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.六大数学核心素养可划分成三类，其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰显数学的实际应用性.2017～2018年全国卷高考多渠道渗透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值观.随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创新.因此，我们特别策划了本专题，将数学核心素养视角下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助.热点一数列与算法中的数学文化中华民族优秀传统文化博大精深和源远流长，数学高考命题注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，立德树人，激励学生民族自豪感和创新精神.【例1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏(2)公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，3≈1.732).解析 (1)设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3. (2)n ＝6，S ＝12×6sin 60°＝332≈2.598<3.1，执行循环.n ＝12，S ＝12×12sin 30°＝3<3.1，执行循环.n ＝24，S ＝12×24sin 15°＝3.105 6>3.1，满足条件.∴输出n 的值为24.答案 (1)B (2)24探究提高 1.第(1)题从古代数学名著《算法统宗》引入，通过诗歌提出数学问题，阐明试题的数学史背景，考查等比数列.2.第(2)小题以刘徽的割圆术为背景，创设问题情境，将优秀传统文化嵌入到程序框图.事实上，更相减损术、秦九韶算法和割圆术都出现在《数学·必修3》(A 版)“算法案例”中，源于教材.3.这些试题传播了正能量，有利于提升考生人文素养，传承民族精神，试题的价值远远超出其本身价值.【训练1】 (1)(2018·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.(2)(2018·成都诊断)秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为9，则输出v 的值为( )A.9100B.9100－1C.10100D.10100－1解析 (1)每天织布数依次构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝5，设该等差数列的公差为d .则一月织布S 30＝30×5＋30×292d ＝150＋435d ＝390，解之得d ＝1629，故从第2天起每天比前一天多织1629尺布.(2)由程序框图，输出的v 满足v ＝x 100＋C 1100x 99＋C 2100x 98＋…＋C 99100x ＋C 100100＝(x ＋1)100. 当x ＝9时，v ＝(9＋1)100＝10100.答案 (1)1629 (2)C热点二 立体几何与概率中的数学文化【例2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(2)(2018·湖南六校联考)刍甍(chúhōn ɡ)，中国古代算数中的一种几何形体.《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为( )A.8 6B.16C.8 5D.14解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4.又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π.所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2.由几何概型的概率公式，概率P ＝S 黑S 正方形＝π8. (2)茅草面积即为几何体的侧面积，由题意知，该几何体中有两个全等的等腰梯形，两个全等的等腰三角形.其中等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为22＋12＝5；等腰三角形的底边长为2，高为22＋1＝5，因此几何体的侧面积S ＝2×（2＋4）×52＋2×12×2×5＝8 5. 即需要的茅草面积至少为8 5.答案 (1)B (2)C探究提高 1.本例第(1)题中全国Ⅰ卷(第2题)以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型的概率计算，很好体现数学文化的美学特征.数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美.2.第(2)题以《九章算术》的名题为背景，与几何体的三视图，几何体表面积的计算相渗透，考查学生的空间想象能力、数学运算素养，又展示了中华民族的优秀传统文化，增强数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际.【训练2】 (1)(2018·郑州二模)欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( ) A.2π B.1π C.12π D.14π(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4－π2B.8－4π3C.8－πD.8－2π解析 (1)易知铜钱的面积S ＝π×22＝4π，铜钱小孔的面积S 0＝1.根据几何概型，所求概率P ＝S 0S ＝14π.(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V 正方体＝23＝8，V 半圆柱＝12(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V ＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V ′＝V ＝8－π.答案 (1)D (2)C热点三 数学抽象与逻辑推理核心素养数学抽象是数学的最核心素养，是形成理性思维的重要基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学命题的思维过程.数学研究对象的确立依赖于数学抽象，而数学内部自身的发展依赖于数学推理.【例3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2018·全国大联考)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( )A.(－1，＋∞)B.(3，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－1) 解析 (1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cos x >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上递增. 若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则f (x 2＋x )<－f (x －k⟹f (x 2＋x )<f (k －x ⟹x 2＋x <k －x ，故问题转化为x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ，即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1.故实数k 的取值范围是(－1，＋∞).答案 (1)D (2)A探究提高 1.第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中一人优秀，另一人良好.2.第(2)题求解的关键在于：(1)利用定义判断f(x)的奇偶性及x∈[－2，1]时，函数f(x)单调性，(2)理解存在量词的含义，将命题转化为x∈[－2，1]时，k>x2＋2x，即k>(x2＋2x)min.题目突出数学逻辑推理与转化化归数学思想方法的考查. 【训练3】(2018·烟台模拟)对于函数y＝e x f(x)(其中e是自然对数的底数)，若存在实数T使得e x f(x)≥T在(0，＋∞)上恒成立，则称函数f(x)具有性质“”.给出下列函数：①f(x)＝2e－2x＋1；②f(x)＝x2－2x；③f(x)＝sin x；④f(x)＝1 x.其中具有性质“”的所有函数的序号为________.解析对于①f(x)＝2e－2x＋1，e x f(x)＝2e－x＋e x≥22，取T≤22时，f(x)具有性质“”.对于②，令φ(x)＝e x f(x)，则φ′(x)＝e x(x2－2)，x∈(0，＋∞).令φ′(x)＝0，解得x＝2，易知φ(x)在x＝2时有极小值e2(2－22).因此函数f(x)具有性质“”.对于③，易知φ(x)＝e x sin x―→∞，则③不具有性质“”.对于④，φ(x)＝e x f(x)＝e xx，φ′(x)＝e x（x－1）x2，x∈(0，＋∞)，易知φ(x)在x＝1时取到最小值φ(1)＝e，取T≤e，f(x)具有性质“”.综上可知①②④中的函数具有性质“”.答案①②④热点四直观想象与数学运算核心素养【例4】(1)从点P(－1，3)向直线kx－y＋k－1＝0作垂线，垂足为N，则N的轨迹方程为________________.解析易知直线kx－y＋k－1＝0恒过定点Q(－1，－1).如图所示，PN⊥QN.所以点N在以PQ为直径的圆上.因此圆心坐标为(－1，1)，半径r＝2.所以点N的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4(x≠－1).答案(x＋1)2＋(y－1)2＝4(x≠－1)(2)(2018·惠州调研)在△ABC 中，D 是BC 边的中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7. ①求BC 边的长；②求△ABC 的面积.解 ①设BD ＝x ，则BC ＝2x ，如图所示.在△ABD 中，有cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝9＋x 2－72×3x ，在△ABC 中，有cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋4x 2－132×3×2x ，且∠ABD ＝∠ABC ，即9＋x 2－72×3x ＝9＋4x 2－132×3×2x ，得x ＝2，即BC ＝4.②由①可知，cos B ＝12，B ∈(0，π)，得sin B ＝32，∴S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝12×3×4×32＝3 3.探究提高 1.第(1)题中，若设点N (x ，y )，联立直线方程，消去k 求得点N 的轨迹，使得求解复杂化；注意到直线恒过定点Q (－1，－1)，作出图形，利用几何直观，则可直接写出轨迹方程.2.第(2)题主要考查推理与数学运算等核心素养.由余弦定理，转化成同一个角的三角函数，构建方程，利用代数运算求解.【训练4】 (1)(2018·华师附中联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0，且z＝x ＋3y 的最小值为2，则常数k ＝________.(2)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析 (1)作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z 3，结合几何直观知，当直线y ＝－13x ＋z 3过点A 时，z 最小.联立方程，得⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y ＋k ＝0，得A (2，－2－k )， ∴z min ＝2＋3(－2－k )＝2，解之得k ＝－2.(2)依题意得大、小正方形的边长分别是1，5，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15. 从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝sin θ＋cos θcos θ－sin θ＝－7. 答案 (1)－2 (2)－7热点五 数学建模与数据分析核心素养数学建模——对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；数据分析——针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程.数学建模与数据分析体现了数学的应用性.【例5】 (2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A 的概率估计值为0.62. (2)列联表如下：K 2＝200×（62×66－38×34）100×100×104×96≈15.705>6.635， 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50 kg 之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.探究提高 1.本题以现实生活中的水产品养殖方法作为创新背景，试题的第(1)问是根据频率分布直方图估计事件的概率；第(2)问是根据整理的数据进行独立性检验；第(3)问根据箱产量的频率分布直方图，比较两种养殖方法的优劣.有效的考查学生阅读理解能力与运用数学模型解决问题的能力.2.应用性和创新性相结合是历年高考靓丽的风景线，全国卷概率与统计解答题尤为明显，体现数学知识在现实生活中的应用.概率与统计问题需要对大量数据的分析和加工，揭示数据提供的信息及呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，从而考查数据分析数学核心素养.【训练5】(2018·昆明质检)中央政治局会议，通过了《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想.为响应国家号召，某市2017年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225～235 cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值和方差(方差四舍五入保留整数)；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185～205 cm为合格，在205～235 cm为良好，在235～265 cm为优秀.视该样本的频率分布为总体的概率分布，若从这批树苗中随机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数ξ的分布列与数学期望；(3)经验表明树苗树高X～N(μ，σ2)，用样本的平均值作为μ的估计值，用样本的方差作为σ2的估计值，试求该批树苗小于等于255.4 cm的概率.(提供数据：271≈16.45，305≈17.45，340≈18.45)附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0. 954 4，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4.解(1)树高在225～235 cm之间的棵数为：100×[1－(0.005×3＋0.015＋0.020＋0.025＋0.01)×10]＝15.树高的平均值为：0.05×190＋0.15×200＋0.2×210＋0.25×220＋0.15×230＋0.1×240＋0.05×250＋0.05×260＝220.5.方差为：0.05×(190－220.5)2＋0.15×(200－220.5)2＋0.2×(210－220.5)2＋0.25×(220－220.5)2＋0.15×(230－220.5)2＋0.1×(240－220.5)2＋0.05×(250－220.5)2＋0.05×(260－220.5)2＝304.75≈305.(2)由(1)可知，树高为优秀的概率为：0.1＋0.05＋0.05＝0.2，由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C030.83＝0.512，P(ξ＝1)＝C130.82×0.2＝0.384，P(ξ＝2)＝C230.8×0.22＝0.096，P(ξ＝3)＝C330.23＝0.008.故ξ的分布列为：所以E(ξ)＝3×0.2＝0.6.(3)由(1)的结果，结合参考数据，可知μ＝220.5，σ＝17.45，所以P(X≤255.4)＝P(X≤μ＋2σ)＝1－1－0.954 42＝0.977 2.故该批树苗小于等于255.4 cm的概率是0.977 2.。