高中人教B版数学必修第三册第七章 7.1 7.1.1 课后课时精练

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人教版高中数学精讲精练选择性必修三7.1 条件概率及全概率(解析版)

7.1条件概率及全概率公式考法一条件概率【例1-1】（2023·云南）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件A 为“选取的两名学生性别相同”，事件B 为“选取的两名学生为男生”，则()|P B A =（）A ．14B ．34C ．13D ．23【答案】D【解析】由题意得，事件A 包含的样本点数()2234C C 9n A =+=，事件A 和B 包含的样本点数()24C 6n AB ==，所以()()()62|93n AB P B A n A ===.故选：D【例1-2】（2024·陕西汉中）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（）A ．0.25B ．0.4C ．0.5D ．0.6【答案】B【解析】设第一次取得白球为事件A ，第二次取得红球为事件B ，所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为：42()265(|)0.445()565P AB P B A P A ⨯⨯====⨯⨯.故选：B.【一隅三反】1．（2024·辽宁）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A ：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B ：“两家选择景点不同”.则概率()P B A =（）A ．23B ．59C ．45D ．89【答案】D【解析】由题意可知:A 两家都没选择丹东凤凰山，即()44165525P A =⨯=，所以()()9125P A P A =-=，而:AB 有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则()4255P AB ⨯=⨯，所以()()()88259925P AB P B A P A ===.故选：D2．（2024·全国·高二假期作业）现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件A =“第一次摸球摸出黑球”，事件B =“第二次摸球摸出白球”，则()P B A =（）A ．625B ．825C ．35D ．45【答案】D【解析】根据题意可知，2()5P A =第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率()2485525P A B ⋂=⨯=，则()8()4252()55P A B P B A P A ⋂===,故选：D.3．（2024·北京）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为1331，下雨的概率为1131，既刮风又下雨的概率为731.记事件A 为“8月份某天刮风”，事件B 为“8月份某天下雨”，则()P B A =（）A ．711B ．713C ．731D ．1131【答案】B【解析】根据题意可得()()()1311,,1317331P A P B P AB ===利用条件概率公式可得()()()7731131331P AB P B A P A ===.故选：B4．（2024·江西）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点相同”，则()P B A 等于（）A ．111B ．211C ．19D ．29【答案】A【解析】由题意，知()()66551111,66366636P A P AB ⨯-⨯====⨯⨯，所以()()()111P AB P B A P A ==．故选：A ．考法二条件概率性质【例2-1】（2024·湖北）已知A ，B 是一个随机试验中的两个事件，若()12P A B =，()13P B A =，则()()()P AB P AB P AB +等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】因为()12P A B =，所以()1()2P AB P B =，即()2()P B P AB =，同理，由()13P B A =得()3()P A P AB =，因为()()()2()P B P AB P AB P AB =+=，所以()()P AB P AB =，()()()3()P A P AB P AB P AB =+=，所以()2()P AB P AB =，所以()()3()3()()P AB P AB P AB P AB P AB +==．故选：A.【例2-2】（2023上·高二课时练习）下列式子成立的是（）A ．()()P AB P B A =∣∣B ．()01P BA <<∣C ．()()()P AB P A P BA =⋅∣D ．()()()P AB P B P BA =⋅∣【答案】C【解析】由条件概率公式知()()()()(),()P AB P AB P AB P B A P B P A ==∣∣，但是()P A 不一定等于()P B ，所以选项A 错误；根据条件概率的性质可知()01P B A ≤≤∣，所以选项B 错误；由条件概率公式()()()P AB P BA P A =∣可得出()()()P AB P A P BA =⋅∣，所以选项C 正确；由条件概率公式()()()P AB P AB P B =∣可得出()()()P AB P B P AB =⋅∣，所以选项D 错误.故选：C【例2-3】（2023·云南保山）（多选）,A B 为随机事件，已知()0.5P A =，()0.3P B =，下列结论中正确的是（）A ．若,AB 为互斥事件，则()0.8P A B +=B ．若,A B 为互斥事件，则()0.8P A B +=C ．若,A B 相互独立，则()0.65P A B +=D ．若()|0.3P B A =，则,A B 相互独立【答案】ACD【解析】A 选项，根据互斥事件的加法公式可得，()()()0.50.30.8P A B P A P B +=+=+=，A 选项正确；B 选项，若,A B 为互斥事件,故()0P AB =，类似集合的运算：A B A B = ，由()()()()1()101P A B P A B P A B P AB P AB +====-=-= ，故B 选项不正确；C 选项，由于,A B 是相互独立事件，故()()()P AB P A P B =，于是()()()()0.50.30.50.30.65P A B P A P B P AB +=+-=+-⨯=，C 选项正确；D 选项：)()(|)0.3()(P AB P B A P B A P ===，即()()()P AB P A P B =，于是,A B 相互独立，D 选项正确.故选：ACD.【一隅三反】1．（2024·广西）（多选）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且1()2P A =，11()24P B =，7(24P AB AB +=，则下列结论中正确的是（）A ．1()8P AB =B ．5()6P A B +=C ．9()11|P A B =D ．()||)(P A B P B A =【答案】AB【解析】因为1()2P A =，11()24P B =，所以1()2P A =，13(24P B =.因为AB 与AB 为互斥事件，所以()0P AB AB ⋅=，所以(()()()()(P AB AB P AB P AB P AB AB P AB P AB +=+-⋅=+()()()()P B P AB P A P AB =-+-1112()224P AB =+-724=，所以1()3P AB =，故111()1()8()243P B P A P B AB =-=-=，故A 正确；115()(()()()()[()()](()236P A B P A P B P AB P A P B P B P AB P A P AB +=+-=+--=+=+=，故B 正确；1()83()11()1124|P AB P A B P B ===，故C 错误；1()38()11()1124|P AB P A B P B ===，11()()()123()1()()3|2P AB P A P AB P B A P A P A --===，所以()||)(P A B P B A ≠，故D 错误.故选:AB.2．（2024·福建）（多选）已知随机事件,,A B C 满足()01P A <<，()01P B <<，()01P C <<，则下列说法正确的是（）A ．不可能事件∅与事件A 互斥B ．必然事件Ω与事件A 相互独立C ．()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣D ．若()()||P A B P A B =，则()()12P A P A ==【答案】ABC【解析】因为不可能事件∅与事件 A 不会同时发生，所以互斥，故选项A 正确；因为)1,()(),())()((P A P A P P A P P AΩ=Ω=Ω=,所以()()()P A P A P Ω=Ω，所以必然事件Ω与事件 A 相互独立，故选项B 正确；因为AB AB A = ，且,AB AB 互斥，所以()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣，故选项C 正确；对于选项D ，假如做抛掷一枚骰子1次的试验，设事件B 为出现点数小于等于4，事件A 为出现点数小于等于2，则()()||P A B P A B =，但12(),(),()(),33P A P A P A P A ==≠故选项D 错误.故选:ABC.3．（2024下·全国·高二随堂练习）（多选）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为1A ，“第一次取得白球”为2A ，“第二次取得黑球”为1B ，“第二次取得白球”为2B ，则（）A ．()()1122P AB P A B =B ．()()1221P A B P A B =C ．()()11211P B A P B A +<∣∣D ．()()21121P B A P B A +>∣∣【答案】BD【解析】由题意，第一次取得黑球的概率()12116C 1C 3P A ==，第一次取得白球的概率()14216C 2C 3P A ==，第一次取黑球、第二次取黑球的概率()1121111165C C 1C C 15P A B ==，第一次取白球、第二次取白球的概率()1143221165C C 2C C 5P A B ==，()()1122P A B P A B ≠，所以A 错误；第一次取黑球、第二次取白球的概率()1124121165C C 4C C 15P A B ==，第一次取白球、第二次取黑球的概率()1142211165C C 4C C 15P A B ==，()()1221P A B P A B =，所以B 正确；由()()()111111115153P A B P B A P A ===，()()()122114415153P A B P B A P A ===，得()()11211P B A P B A +=，所以C 错误；由()()()211224215253P A B P B A P A ===，得()()2112615P B A P B A +=>，所以D 正确．故选：BD4．（2023·河南平顶山）（多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机取出一个球，若取到红球，则往口袋里再放入一个白球，若取到白球，则往口袋里再放入一个红球，取出的球不放回.像这样取两次球，设事件()1,2i A i =为“第i 次取到红球”，事件()1,2j B j =为“第j 次取到白球”，事件C 为“两次取到的球颜色相同”，则（）A ．1A 与2A 相互独立B ．()2135P B A =∣C ．()12825P B A =D ．()825P C =【答案】BCD【解析】对于A ，()()()112262414,,5552555552533232P A P A A P A ==⨯==⨯+⨯=，则()()()2112P P A A A P A ≠，所以1A 与2A 不相互独立，故A 错误；对于B ，()21P B A ∣是指在第一次取出红球的条件下，第二次取出白球的概率，第一次取出红球后，再放入一个白球，袋中变为2个红球和3个白球，此时取出白球的概率为35，故B 正确；对于C ，()12P B A 是第一次取到白球且第二次取到红球的概率，()122485525P B A =⨯=，故C 正确；对于D ，事件C 包含“两次都取到红球”和“两次都取到白球”两种情况，()()12123()5P C P A A P B B =+=⨯221855525+⨯=，故D 正确．故选：BCD.考法三全概率公式【例3-1】（2024·黑龙江）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为P ，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数P 的值为（）A ．0.9B ．0.85C ．0.8D ．0.75【答案】A【解析】记A 为事件“盆栽没有枯萎”，W 为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得(),()1P W P P W P ==-，()0.8,()0.1P A W P A W ==∣∣，由对立事件的概率公式可得()1()10.830.17P A P A =-=-=.由全概率公式可得(()()()()0.1(1)0.80.17P A P W P A W P W P A W P P =+=⨯+-⨯=∣∣，解得0.9P =.故选：A【例3-2】（2024·河南南阳）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A ．521B ．940C ．745D ．720【答案】C【解析】令1A =“玩手机时间超过1小时的学生”，2A =“玩手机时间不超过1小时的学生”，B =“任意调查一人，此人近视”，12A A Ω= ，且12,A A 互斥，()()()()1210.10.9|0.6,0,.2 ,P A P A P B A P B ====，依题意有()()()()()()11222||0.10.60.9|0.2P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=，解得()20.1470.945|P B A ==从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为745.故选：C 【一隅三反】1．（2024·黑龙江）小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A ，B ，C 三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A ，B ，C 三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A ，B ，C 三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A ．0.24B ．0.14C ．0.077D ．0.067【答案】C【解析】由题意，小明闯关失败的概率()()()0.210.910.310.920.510.930.077P =⨯-+⨯-+⨯-=.故选：C.2．（2024·全国·高二假期作业）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（）A ．0.48B ．0.52C ．0.56D ．0.65【答案】B【解析】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为12,A A ，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B ，依题意，()10.8P A =，()20.2P A =，()1|0.6P B A =，()2|0.2P B A =，由全概率公式得，()()()12P B P BA P BA =+()()()()1122||P A P B A P A P B A =+0.80.60.20.20.52=⨯+⨯=.故选：B3．（2023·湖北）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、5箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（）A ．29B ．38C ．112D ．58【答案】B【解析】用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用1B 表示丢失的一箱为英语书，2B 表示丢失的一箱为数学书，则()()1212P B P B ==，()24129C 61C 366P A B ===，()25229C 105C 3618P A B ===，由全概率公式可得()()()()()112211152262189P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=，所以，()()()1111326289P AB P B A P A ⨯===.故选：B.4．（2023·湖北）（多选）某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则王同学（）A ．第二天去甲游乐场的概率为0.63B ．第二天去乙游乐场的概率为0.42C ．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为23D ．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为13【答案】AC【解析】设1A ：第一天去甲游乐场，2A ：第二天去甲游乐场，1B ：第一天去乙游乐场，2B ：第二天去乙游乐场，依题意可得()10.3P A =，()10.7P B =，()210.7P A A =，()210.6P A B =，对A ，()()()()()21211210.30.70.70.60.63P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=，A 正确；对B ，()()2210.37P B P A =-=，B 错误；对C ，()()()()1211220.70.620.633P B P A B P B A P A ⨯===，C 正确；对D ，()()()()()()()()121121122210.310.790.3737P A P A A P A P B A P A B P B P B ⎡⎤-⨯-⎣⎦====，D 错误，故选：AC.5．（2024·陕西汉中）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为．【答案】0.012【解析】设事件:A “取得一件次品”事件1B ：“取得次品是甲厂生产”，2B ：“取得次品是乙厂生产”，由题意可知()()()()12120.9,0.1,0.01,0.03P B P B P A B P A B ====,所以由全概率公式知取得次品的概率为()()()()()11220.010.900.030.100.012P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=.故答案为：0.012考法四贝叶斯公式【例4】（2024·福建）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为13和23，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为34，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为12，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（）．A ．37B ．47C ．15D ．45【答案】A【解析】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A ，周二去食堂一楼为事件B ，则本题所求()()()()()()()13334132173432P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⨯⋅===⋅+⋅⨯+⨯．故选：A ．【一隅三反】1．（2024湖南）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占13，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占14，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】设事件i A 表示“取到第i 号袋子”(i =1，2，3，4，5)，事件B 表示“取到白球”，则由贝叶斯公式得1115111()()153()11111114()()5354444j j j P A P B A P A B P A P B A =⨯===⎛⎫⨯+⨯+++ ⎪⎝⎭∑，故选：A2．（2023·全国·高二课堂例题）张宇去某地参加会议，他乘汽车或飞机去的概率分别为0.6、0.4．如果他乘汽车或飞机前去，迟到的概率如图所示．结果他迟到了，求张宇乘的是汽车的概率．【答案】917【解析】记事件A 为“张宇乘汽车”，则事件A 为“张宇乘飞机”，事件B 为“张宇迟到”，则()0.6P A =，()0.4P A =，()14P B A =，()13P B A =．根据贝叶斯公式可得()()()()()()()10.69411170.60.443P A P B A P A B P A P B A P A P B A⨯===+⨯+⨯．因此，张宇迟到了，他乘的是汽车的概率为917．3．（2023·湖南）某一地区患有某疾病的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是患者的概率有多大？（保留小数点后四位）【答案】0.1066【解析】设“抽查的人是患者”为事件A ，“试验反应是阳性”为事件B ，则“抽查的人不是患者”为事件A ，由题意可知()0.005P A =，()()10.995P A P A =-=，()0.95P B A =，()0.04P B A =，则由贝叶斯公式可得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.0050.950.10660.0050.950.9950.04⨯==⨯+⨯，即抽查一个人，试验反应是阳性，此人是患者的概率为0.1066.考法五综合运用【例5-1】（2024·吉林）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.【答案】(1)310(2)29(3)310【解析】（1）设事件A =“取出饺子是肉馅”，()310P A =，（2）设事件B =“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，事件C =“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，()()()3221093910P BC P C B P B ⨯===（3）设事件D =“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.设事件1A ，2A ，3A 分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，()()()()()()()112233P D P A P D A P A P D A P A P D A =++342353310111011101110=⨯+⨯+⨯=【例5-2】（2023·河北保定）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.【答案】(1)0.485(2)3097、3597、3297.【解析】（1）记事件B ：“小明获胜”，记事件i A ：“小明与第()1,2,3i i =类棋手相遇”，由题可得，()150.2520P A ==，()270.3520P A ==，()380.420P A ==，()10.6P B A =，()20.5P B A =，()30.4P B A =（1）由全概率公式可知()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.60.350.50.40.40.485=⨯+⨯+⨯=.（2）由条件概率公式可得()()()()()()11110.250.6300.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，()()()()()()22220.350.5350.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，()()()()()()33330.40.4320.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.即小明获胜，对手分别为一、二、三类棋手的概率为3097、3597、3297.【一隅三反】1．（2023下·安徽芜湖·高二统考期末）（多选）一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和2个白球，每次从中不放回地取出一球，现取出2个球，则下列说法正确的是（）A ．两个都是红球的概率为625B ．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为12C ．第二次取到红球的概率为35D ．第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为12【答案】BCD【解析】对于A 选项，抽取的两个都是红球的概率为2325C 3C 10=，A 错；对于B 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:N 第二次取白球，则()35P M =，()3235410P MN ⨯==⨯，所以，()()()3511032P MN P N M P M ==⨯=，B 对；对于C 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:Q 第二次取红球，则()35P M =，()25P M =，()12P Q M =，()34P Q M =，由全概率公式可得()()()()()3123352545P Q P M P Q M P M P Q M =+=⨯+⨯=，C 对；对于D 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:Q 第二次取红球，则()()()2335410P MQ P M P Q M ==⨯=，所以，()()()3511032P MQ P M Q P Q ==⨯=，D 对.故选：BCD.2．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）（多选）已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有一个1号球，一个2号球和两个3号球；2号盒子内装有一个1号球，两个3号球；3号盒子内装有两个1号球，三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A ．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为12B ．第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为14C ．第二次抽到2号球的概率为316D ．如果第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大【答案】AB【解析】记第一次取得()1,2,3i i =号球为事件i A ，则()()()123111,442P A P A P A ===，在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为31512P ==+，即A 正确；第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为111224P =⨯=，即B 正确；记第二次在第i 号盒子内抽到2号球的事件分别为()1,2,3i B i =，而123,,A A A 两两互斥，和为Ω，且()()()112233111,,442P B A P B A P B A ===∣∣∣，记第二次抽到2号球的事件为B ，则()()()33111111113()4444228i i i i ii i P B P A B P A P B A =====⨯+⨯+⨯=∑∑∣，即C 错误；由于原先2号盒子没有2号球，如果第二次取到的是2号球，则它来自1号盒子的概率为()()()112211111616338P A B P A B P P B ++===，它来自3号盒子的概率()()333124338P A B P P B ===，即如果第二次抽到的是2号球，则它来自3号盒子的概率最大，故D 错误.故选：AB3．（2023下·湖北武汉·高二校联考期末）某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.(1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；(2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；(3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？【答案】(1)0.4(2)0.25(3)应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次【解析】（1）设1A 表示“甲球员出任前锋”，2A 表示“甲球员出任中锋”，3A 表示“甲球员出任后卫”，则123A A A Ω= ，设B 表示“球队输掉某场比赛”，则()10.1P A =，()20.5P A =，()30.4P A =，()()120.2P B A P B A ==||，()30.7P B A =|，所以()()()123()P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅|||0.10.20.50.20.40.7=⨯+⨯+⨯0.4=.所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4.（2）由（1）知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率()()()()22220.50.20.25()()0.4P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====||.（3）由（1）知，已知球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这场出任前锋的概率()()110.10.20.05()0.4P A B P A B P B ⨯===∣；甲球员在这场出任后卫的概率()()()330.40.70.70.4P A B P A B P B ⨯===∣；由（2）知，甲球员在这一场出任中锋的概率()20.25P A B =|.所以有，()()()123P A B P A B P A B <<∣∣∣，所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次.一．单选题1．（2024·北京昌平）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）A ．22.5%B ．30%C ．40%D ．75%【答案】C【解析】设事件A 为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件B 为“抽到喜欢科普阅读的学生”，则()0.75P A =，()0.3P AB =，则()()()0.320.755P AB P B A P A ===，即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为40%.故选：C.2．（2023·广东肇庆）已知()0.5P A =，()0.3P B =，()0.1P B A ⋂=，求()|P B A =（）A ．110B ．13C ．15D ．1【答案】C【解析】由题可得()()()0.110.55|P AB P B A P A ===.故选：C.3．（2023·山东德州）掷一个均匀的骰子．记A 为“掷得点数大于2”，B 为“掷得点数为奇数”，则()P B A 为（）A ．56B ．34C ．23D ．12【答案】D【解析】掷一个均匀的骰子，有1，2，3，4，5，6共6种结果，事件A 包含点数为3,4,5,6，共4种结果，所以()4263P A ==；事件AB 包含点数为3,5共2种结果，所以()2163P AB ==，所以()()()12P AB P B A P A ==．故选：D4．（2023下·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）某货车为某书店运送书籍，共10箱，其中5箱语文书、3箱数学书、2箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．38【答案】B【解析】记事件:A 从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，记事件2:B 丢失的一箱是语文书，事件2:B 丢失的一箱是数学书，事件3:B 丢失的一箱是英语书，则()()()3222199914335215312C 10C 5C 3i i i P A P B P A B =⨯⨯⨯==⨯+⨯+⨯=∑，()()()3332915315C 12P AB P B P A B ⨯==⨯=，由贝叶斯公式可得()()()33113124P AB P B A P A ==⨯=.故选：B.5．（2024下·全国·高二随堂练习）袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（）A ．14B ．16C ．110D ．25【答案】A【解析】记i A 为第i 次摸到的是红球，则()()()12122P A A P A A P A =，又()()()121212115410P A A P A P A A ==⨯=，()()()()()()()212121211212132254545P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⨯+⨯=，所以()1214P A A =，故选：A.6．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）下列各式中不能判断事件A 与事件B 独立的是（）A ．()()()P A B P A P B ⋂=B ．()()()()()P A B P A P B P A P B =+- C ．()()1P A B P A +=D ．()()1P A B P A B +=【答案】D【解析】选项A ：因为()()P A B P AB = ,所以()()()P AB P A P B =，由事件相互独立意义可知，事件A 与事件B 独立；故A 正确；选项B ：因为()()()()P A B P A P B P A B =+- ,又()()()()()P A B P A P B P A P B =+- ，所以()()()P A B P A P B ⋂=，由选项A 可知，事件A 与事件B 独立；故B 正确；选项C ：因为()()()()()1P AB P A B P A P A P B +=+=,即()()()()1P ABP A PA PB =-=所以()()()P AB P A P B =,即事件A 与事件B 独立，所以事件A 与事件B 独立，故C 正确；故选：D.7．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）下列有关事件的说法正确的是（）A ．事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大B ．若()()()1P A B P A P B =+= ，则事件A ，B 为对立事件C ．若A ，B 为互斥事件，则()()1P A P B +≤D ．若事件A ，B ，C 满足条件()0P B >，A 和C 为互斥事件，则()()()()P A C B P A B P C B <+∣∣∣ 【答案】C【解析】对于A 中，若事件A 和B 都为不可能事件，此时两个概率相等，所以A 错误；对于B 中，若在不同试验下，虽然有()()()1P A B P A P B =+= ，但事件A 和B 不对立；若在同一试验下，说明事件A 和B 对立，则B 错误；对于C 中，若A ，B 互斥，且A ，B 对立，则()()1P A P B +=，若A ，B 不对立，则()()1P A P B +<，所以C 正确；对于D 中，若事件A ，B ，C 满足条件()0P B >，A 和C 为互斥事件，则()()()()|||P A C B P A B P C B =+ ，所以D 错误，故选：C.8．（2023下·浙江台州·高二统考期末）已知()P A ，()P B ，()P C ，()P AC ，()P AB ，()P BC 均大于0，则下列说法不正确的是（）A ．()()()P AB P A P B =B ．若()()P B A P B =，则()()P A B P A =C ．若()()P B A P A B =，则()()P A P B =D ．()()()()P ABC P A P C A P B AC =【答案】A【解析】对于A ，若,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，故A 错误；对于B ，若()()P B A P B =，则()()()P AB P B P A =,即()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===,故B 正确；对于C ，若()()P B A P A B =，则()()()()P AB P AB P A P B =，则()()P A P B =，故C 正确；对于D ，()()()()()()()()()P AC P ABC P A P C A P B AC P A P ABC P A P AC =⋅⋅=，故D 正确.故选:A.二．多选题9．（2023·吉林长春·）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件=i A “第i 次取球，取到白球”，事件i B =“第i 次取球，取到正品”，1,2i =．则下列结论正确的是（）A ．()1123P A B =B ．()212P B =C ．()2113P A B =D ．()2134P B A =【答案】AD【解析】对A ，()193==124P B ，()1161==122P A B ，所以()()()111112==3P A B P A B P B ,故A 正确；对B ，事件2B =“第2次取球，取到正品”，()2119392212A A A 3A 4P B +==，故B 错误；对C ，事件21A B =“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有65+62+36+32=66⨯⨯⨯⨯种情况，()21212661=A 2P A B =，故C 错误；对D ，事件12A B =“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有65+63+26+23=66⨯⨯⨯⨯种情况，()12212661=A 2P A B =，又因为()182==123P A ，()()()122113==4P A B P B A P A ,故D 正确；故选：AD.10．（2024·全国·高二假期作业）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出的两球不同色”，则（）A ．A 与B 互斥B ．C 与D 互为对立事件C ．A 与C 相互独立D ．()13P D B =【答案】BC【解析】基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12种，事件A =“12，13，14，21，23，24”；事件B =“12，21，31，41，32，42”；事件C =“12，21，34，43”；事件D =“13，14，23，24，31，41，32，42”．∵A B ⋂≠∅，∴A 与B 不是互斥事件，故A 错误；C D =Ω ，C D ⋂=∅，∴C 与D 互为对立事件，故B 正确；事件AC =“12，21”，∴()61122P A ==，()41123P C ==，()21126P AC ==，()()()P AC P A P C =，∴A 与C 相互独立，故C 正确；事件BD =“31，41，32，42”，()12P B =，()41123P BD ==，∴()()()23P BD P D B P B ==，故D 错误．故选：BC.11．（2023下·山东聊城·高二统考期末）若A 、B 分别为随机事件A 、B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列结论正确的是（）A ．()()1P B A P B A +=B ．()()()()P A B P B P B A P A=C ．()()()P A B P A B P B +=D ．若()()P A B P A =，则()()P B A P B =【答案】BD【解析】对于A 选项，因为()()()()()()()()()()()1P AB P AB P AB P AB P A P B A P B A P A P A P A P A ++=+===，但()P B A 与()P B A 不一定相等，故()()P B A P B A +不一定等于1，A 错；对于B 选项，因为()()()P A B P B P AB =，()()()P B A P A P AB =，所以，()()()()P A B P B P B A P A =，B 对；对于C 选项，()()()()()()()()1P AB P AB P B P A B P A B P B P B P B +=+==，C 错；对于D 选项，因为()()()()P AB P A B P A P B ==，所以，()()()P AB P A P B =，所以，事件A 、B 独立，故()()()()P AB P B A P B P A ==，D 对.故选：BD.12．（2024·河南）深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人选择社团一样的概率为19B ．三人选择社团各不相同的概率为227C ．至少有两人选择篮球社的概率为727D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57【答案】ACD【解析】对于A ，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3113(39⨯=，A 正确；对于B ，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为3126()39⨯=，B 错误；对于C ，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为213332117C C ()()3327⨯+=，C 正确；对于D ，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A ，由选项C 知，7()27P A =，小王选择羽毛球社的事件为B ，则事件AB 是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率113322115()C C ((3327P AB =⨯+=，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为()5(|)()7P AB P B A P A ==，D 正确.故选：ACD三．填空题13．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率是0.6，超过20岁的概率是0.2.那么该地区内，一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是.【答案】13【解析】设A ：狗的寿命超过15岁，B ：狗的寿命超过20岁，则所要求的就是(|)P B A .依题意有2,()0.6()0.P A P B ==.又因为B A ⊆，所以B A B =I ，从而()()0.2P B A P B == ，因此()()()0.21|0.63P B A P B A P A ⋂===.所以一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是13，故答案为：13.14．（2023上·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出的两球不同色”，则以下命题所有正确的序号是.①A 与B 互斥②C 与D 互为对立事件③A 与C 相互独立④1(|)3P D B =【答案】②③【解析】依题意，按取球先后次序排列取球编号，得试验的样本空间{12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}Ω=，事件{12,13,14,21,23,24}A =，事件{12,21,31,32,41,42}B =，事件{12,21,34,43}C =，事件{13,14,23,24,31,41,32,42}D =，显然事件,A B 有公共的基本事件12,21，即,A B 不互斥，①错误；事件,C D 不能同时发生，但必有一个发生，则C 与D 互为对立事件，②正确；6141(),()122123P A P C ====，事件{12,21}AC =，21()()()126P AC P A P C ===，A 与C 相互独立，③正确；61()122P B ==，事件{31,41,32,42}BD =，41()123P BD ==，()2(|)()3P BD P D B P B ==，④错误，所以命题中所有正确的序号是②③.故答案为：②③15．（2024下·全国·高二随堂练习）甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件:A 甲和乙选择的景点不同，事件:B 甲和乙恰好有一人。

高中人教B版数学必修第三册第七章 7.1 7.1.1

核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
题型二象限角的判定例 2 (1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在 x 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①－75°；②855°；③－510°； (2)若 α 是第二象限角，则 2α，α2分别是第几象限的角？
[解] (1)作出各角，其对应的终边如图所示：
的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn的终边所落在的区域．如此，αn所
在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
[跟踪训练2] (1)若 α 为第三象限角，试判断 90°－α 的终边所在的象限； (2)若 α 为第四象限角，试判断α2的终边所在的象限．
解 (1)因为 α 为第三象限角，所以 180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，所以 90°－α 的终边在第三象限．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
(2)由于 α 为第四象限角，即 α∈(－90°＋k·360°，k·360°)(k∈Z)，所以α2∈(－45°＋k·180°，k·180°)(k∈Z)．当 k＝2n，n∈Z 时，α2∈(－45°＋n·360°，n·360°)(n∈Z)，α2是第四象限角；当 k＝2n＋1，n∈Z 时，α2∈(135°＋n·360°，180°＋n·360°)(n∈Z)，α2是第二象限角．
答案 (1)× (2)√ (3)×
核心概念掌握
核心素养形成

人教B版高中数学必修第3册同步备课-第7章 7

7.1 任意角的概念与弧度制7.1.1 角的推广学习目标核心素养1.了解角的概念的推广,能正确区分正角、负角和零角．(一般)2.理解象限角的概念．(重点)3.掌握终边相同的角的表示方法,并能判断角所在的位置．(难点) 1.通过角的概念的学习,体现了数学抽象核心素养．2.借助终边相同角的求解、象限角的判断等,培养学生的直观想象核心素养.1.角的概念(1)角:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角．这两条射线分别称为角的始边和终边．由于是旋转生成的,也称为转角．(2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:类型定义图示正角按逆时针方向旋转而形成的角负角按顺时针方向旋转而形成的角零角一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3.象限角角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．4．终边相同的角β|β＝α＋k·360°，k∈Z,即任所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{}一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和．思考:终边和始边重合的角一定是零角吗？[提示]不一定．零角是终边和始边重合的角,但终边和始边重合的角不一定是零角,如－360°,360°,720°等角的终边和始边也重合．1.钟表的分针在一个半小时内转了( )A．180°B．－180°C．540°D．－540°D[钟表的分针是顺时针转动,每转一周,转过－360°,当分针转过一个半小时时,它转了－540°.]2.下列各角中,与330°角的终边相同的角是( )A．510°B．150°C．－150°D．－390°D[与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°,k∈Z},当k＝－2时,β＝330°－720°＝－390°,故选D．]3.下列说法:①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上)①②③④[由象限角定义可知①②③④都不正确．]任意角的概念A．A＝B＝C B．A⊆CC．(A∩C)＝B D．(B∪C)⊆C(2)设A＝{θ|θ为锐角},B＝{θ|θ为小于90°的角},C＝{θ|θ为第一象限的角},D＝{θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D[思路探究]利用角的概念进行判断．(1)D(2)D[(1)第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°,k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°；小于90°的角可表示为γ<90°；由三者之间的关系可知,选D．(2)直接根据角的分类进行求解,容易得到答案．]1.判断角的概念问题的关键与技巧:(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可．2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法:(1)一般地,可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°,k∈Z),其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给角是负角时,采用连续加360°的方式；当所给角是正角时,采用连续减360°的方式,直到所得结果达到要求为止．1.有下列说法:①相差360°整数倍的两个角,其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x轴对称的两个角α,β之和为k·360°,(k∈Z)．其中正确说法的序号是________．③[①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍,反之也成立；②不正确．由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°,(k∈Z)；③正确．因为终边关于x轴对称的两个角,当α∈(－180°,180°),且β∈(－180°,180°)时α＋β＝0°,当α,β为任意角时,α＋β＝k·360°(k∈Z)．]象限角与区域角的表示【例2】(1)如图,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )A．{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋45°,k∈Z}B．{α|k·180°＋150°<α<k·180°＋225°,k∈Z}C．{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°,k∈Z}D．{α|k·360°＋30°<α<k·180°＋45°,k∈Z}(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内,试指出角β的取值范围．[思路探究]找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k·360°(k∈Z)适合题意的角的集合(1)C[在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°,所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°,k∈Z}．](2)[解] 阴影在x 轴上方部分的角的集合为:A ＝{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°,k∈Z}．阴影在x 轴下方部分的角的集合为:B ＝{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°,k∈Z}．所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B ,即{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°,k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°,k∈Z}．其中B 可以化为:{β|k·360°＋180°＋60°≤β<k·360°＋180°＋105°,k∈Z}．即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°,k∈Z}．集合A 可以化为:{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°,k∈Z}．故A∪B 可化为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°,n∈Z}．表示区间角的三个步骤:第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步:按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β},其中β－α<360°；第三步:扇形区域起始、终止边界对应角α,β再加上k·360°,即得区间角集合．对顶区域,始边、终边再加上k·180°即得区间角集合．(k∈Z)．2.写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．[解] 在－180°～180°内落在阴影部分角的集合为大于－45°小于45°,所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°,k∈Z}.αk所在象限的判定方法及角的终边对称问题 [探究问题]1.由α所在象限如何求αk(k∈N*)所在象限？[提示](1)代数推导法:先表示为角α所在的象限范围,再求出αk 所在的范围,进一步由k 值确定．如:当角α在第二象限时,90°＋k·360°<α<180°＋k·360°,k∈Z ,则30°＋k·120°<α3<60°＋k·120°,k∈Z ,所以α3在第一、二、四象限．(2)等分象限法:将各象限k 等分,从x 轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4,循环下去,直到填满为止,则当α在第n 象限时,αk 就在n 号区域．例如:当角α在第二象限时,α2在图k ＝2时的2号区域,α3在图k ＝3时的2号区域．但此规律有局限性,如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了,所以还应该掌握求范围的一般方法．2.若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称,则角α与β分别具有怎样的关系？ [提示](1)关于y 轴对称:若角α与β的终边关于y 轴对称,则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°,k∈Z.(2)关于x 轴对称:若角α与β的终边关于x 轴对称,则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°,k∈Z.(3)关于原点对称:若角α与β的终边关于原点对称,则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°,k∈Z.(4)关于直线y ＝x 对称:若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称,则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°,k∈Z.【例3】(1)若α是第四象限角,则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角(2)已知α为第二象限角,则2α,α2分别是第几象限角？[思路探究](1)可通过写出α的取值范围,逐步求得180°－α范围来求解；(2)由α的范围写出2α,α2的范围后,直接求得2α的范围,然后分k 为奇数或偶数两种情况确定α2的位置．(1)C [因为α是第四象限角,则角α应满足: k·360°－90°<α<k·360°,k∈Z , 所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°,则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°,k∈Z , 当k ＝0时,180°<180°－α<270°, 故180°－α为第三象限角．](2)[解] ∵α是第二象限角,∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°,k∈Z , ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°,k∈Z ,∴2α是第三或第四象限角,或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2·360°<α2<90°＋k2·360°.当k 为偶数时,不妨令k ＝2n,n∈Z ,则45°＋n·360°<α2<90°＋n·360°,此时,α2为第一象限角；当k 为奇数时,令k ＝2n ＋1,n∈Z ,则225°＋n·360°<α2<270°＋n·360°,此时,α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．(变结论)本例(2)中条件不变,试判断α3是第几象限角？[解] ∵α是第二象限角,∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°,k∈Z , ∴30°＋k·120°<α3<60°＋k·120°,k∈Z.当k ＝3n,n∈Z 时,30°＋n·360°<α3<60°＋n·360°,n∈Z ,此时α3为第一象限角；当k ＝3n ＋1,n∈Z 时,150°＋n·360°<α3<180°＋n·360°,n∈Z ,此时α3为第二象限角；当k ＝3n ＋2,n∈Z 时,270°＋n·360°<α3<300°＋n·360°,n∈Z ,此时α3为第四象限角．∴α3为第一、第二或第四象限角．解决此类问题,要先确定α的范围,进一步确定出nα或\f(α,n)的范围,再根据k 与n 的关系进行讨论.1.终边在坐标轴上的角的集合表示角α的终边位置角α的集合表示在x 轴上 {α|α＝k·180°,k∈Z} 在y 轴上{α|α＝k·180°＋90°,k∈Z}在坐标轴上{α|α＝k·90°,k∈Z}2.象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°,k∈Z}3.对终边相同的角的说明所有与角α终边相同的角,连同角α在内(而且只有这样的角),可以用式子α＋k·360°,k∈Z表示．在运用时,需注意以下三点:①k是整数,这个条件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°与α之间用“＋”号连接,如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z).1.以下说法正确的是( )A．若α是第一象限角,则2α是第二象限角B．A＝{α|α＝k·180°,k∈Z},B＝{β|β＝k·90°,k∈Z},则A⊆BC．若k·360°<α<k·360°＋180°(k∈Z),则α为第一或第二象限角D．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)B[对于选项B:集合A＝{α|α＝k·180°,k∈Z}＝{α|α＝2k·90°,k∈Z},B＝{β|β＝k·90°,k∈Z},∴A⊆B,故选B．]2.已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°,k∈Z},集合N＝{x|x＝k·45°＋90°,k∈Z},则有( )A．M＝N B．N MC．M N D．M∩N＝C[由于k·90°(k∈Z)表示终边在x轴或y轴上的角,所以k·90°＋45°(k∈Z)表示终边落在y＝x 或y＝－x上的角．(如图(1))又由于k·45°＋90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x 8个位置上的角(如图(2)),因而M N,故正确答案为C．]3.若角α与角β终边相同,则α－β＝________.k·360°(k∈Z)[根据终边相同角的定义可知:α－β＝k·360°(k∈Z)．]4．在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)640°.[解](1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°,k∈Z}．当k＝1时,β＝－120°＋1×360°＝240°,∴在0°到360°范围内,与－120°终边相同的角是240°,它是第三象限的角．(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°,k∈Z}．当k＝－1时,β＝640°－360°＝280°,∴在0°到360°范围内,与640°终边相同的角为280°,它是第四象限的角．。

人教B版高中数学必修第3册同步备课-第7章 7

7.2.3 同角三角函数的基本关系式学习目标核心素养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过同角三角函数基本关系式推理,培养学生的逻辑推理素养．2.借助同角三角函数基本关系式的应用,提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin 2α＋cos 2α＝1.商数关系:sin αcos α＝tan_α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠kπ＋π2，k∈Z . (2)语言叙述:同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切．思考:“同角”一词的含义是什么？[提示] 一是“角相同”,如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下),关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如sin 215°＋cos 215°＝1,sin2π19＋cos 2π19＝1等．1.已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π,sin α＝55,则tan α＝( ) A ．－12B ．2C ．12D ．－2A [∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π,sin α＝55,∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255, 则tan α＝sin αcos α＝－12,故选A ．]2.已知sin α＝55,则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C ．15D ．35B [∵cos 2α＝1－sin 2α＝1－15＝45,∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝15－45＝－35.]3.若sin α＋3cos α＝0,则cos α＋2sin α2cos α－3sin α的值为________．－511[因为sin α＋3cos α＝0,所以tan α＝－3,因此原式＝1＋2tan α2－3tan α＝1＋2×(－3)2－3×(－3)＝－511.]已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】(1)若sin α＝－5,且α是第三象限角,求cos α,tan α的值；(2)若cos α＝817,求tan α的值；(3)若tan α＝－158,求sin α的值．[思路探究] 对(1)中明确α是第三象限角,所以只有一种结果．对(2),(3)中未指出角α所在象限的情况,需按α所在象限讨论,分类求解,一般有两种结果．[解](1)∵sin α＝－45,α是第三象限角,∴cos α＝－1－sin 2α＝－35,tan α＝sin αcos α＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(2)∵cos α＝817>0,∴α是第一、四象限角．当α是第一象限角时, sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517,∴tan α＝sin αcos α＝158；当α是第四象限角时,sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝－1517,∴tan α＝－158.(3)∵tan α＝－158<0,∴α是第二、四象限角．由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝－158，sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15172.当α是第二象限角时,sin α＝1517；当α是第四象限角时,sin α＝－1517.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法:(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系；(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果；若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果．1.已知sin αcos α＝－1225,且0<α<π,求tan α的值．[解] 法一:∵sin αcos α＝－1225,sin 2α＋cos 2α＝1,∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝125,∴(sin α＋cos α)2＝125,∴sin α＋cos α＝±15.同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0,0<α<π,∴π2<α<π, ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝±15sin α－cos α＝75,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝－45,∴tan α＝－43或tan α＝－34.法二:∵sin αcos α＝－1225,∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－1225, ∴tan αtan 2α＋1＝－1225, ∴12tan 2α＋25tan α＋12＝0, ∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0, ∴tan α＝－43或tan α＝－34.化切求值【例2】已知tan α＝3,求下列各式的值． (1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α； (2)sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (3)34sin 2α＋12cos 2α. [解](1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114.(2)原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223. (3)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.化切求值的方法技巧(1)已知tan α＝m,可以求asin α＋bcos αcs in α＋dcos α或asin 2α＋bsin αcos α＋ccos 2αdsin 2α＋esin αcos α＋fcos 2α 的值,将分子分母同除以cos α或cos 2α,化成关于tan α的式子,从而达到求值的目的.(2)对于asin 2α＋bsin αcos α＋ccos 2α的求值,可看成分母是1,利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α,得到关于tan α的式子,从而可以求值.2.已知tan α＝2,求下列各式的值: (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.[解](1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α. 这时分子和分母均为关于sin α,cos α的二次齐次式．因为cos 2α≠0,所以分子和分母同除以cos 2α,则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝ 4×4－3×2－54＋1＝1.应用同角三角函数关系化简【例3】若sin α·tan α<0,化简1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α.[解] ∵sin α·tan α<0,∴cos α<0. 原式＝(1－sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)2＋(1＋sin α)(1－sin α)(1－sin α)2＝|cos α||1＋sin α|＋|c os α||1－sin α|＝－cos α1＋sin α＋－cos α1－sin α＝－2cos α1－sin 2α＝－2cos α.解答此类题目常用的方法有:(1)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin 2α＋cos 2α＝1,以降低函数次数,达到化简的目的.3.化简:(1－tan θ)·cos 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ·sin 2θ. [解] 原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θ·cos θ＋sin 2θ＋sin θ·cos θ ＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1.1.同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系:1－sin 2α＝cos 2α,1－cos 2α＝sin 2α. (2)商数关系:sin α＝tan α·cos α,cos α＝sin αtan α.2.已知sin α±cos α,整体代入求值已知sin α±cos α求值的问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式:(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α cos α； (sin α－cos α)2＝1－2sin α cos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin α cos α.所以知道sin α＋cos α,sin α－cos α,sin α·cos α这三者中任何一个,另两个式子的值均可求出．3.应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时,注意α的范围,如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论,以便确定其符号.1.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是( ) A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2αC ．sin α＝－1－cos 2αD ．tan α＝cos αsin αB [由商数关系可知A,D 项均不正确,当α为第二象限角时,cos α＜0,sin α＞0,故B 项正确．] 2.已知α是第四象限角,cos α＝1213,则sin α等于( )A ．513B ．－513C ．512D ．－512B [由条件知sin α＝－1－cos 2α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.]3.已知sin α＋cos α＝12,则sin αcos α＝________.－38 [∵sin α＋cos α＝12, ∴(sin α＋cos α)2＝14.∴sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝14.∴1＋2sin αcos α＝14.∴sin αcos α＝－38.]4．已知tan α＝43,且α是第三象限的角,求sin α,cos α的值．[解] 由tan α＝sin αcos α＝43得sin α＝43cos α.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1,②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1.∴cos 2α＝925.又∵α是第三象限的角, ∴cos α＝－35.∴sin α＝43cos α＝－45.。

人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件第七章三角函数正弦型函数的性质与图象分层作业册

3
6
2
π
f(0)=2sin6=1,
1
2π
1 π
π
f(-2)=2sin[ 3 ×(-2)+6]=-2sin6=-1,
1
∴f(0)+f(-2)=1-1=0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.[探究点四·2023 贵州安顺期末]函数
π
f(x)=5sin(2x+ ).
π
邻两条对称轴间的距离为2 ,则(
π
f(x)=2sin(ωx+6 )(ω>0)的图象的相
D )
π
A.f(x)的周期为2
5π π
B.f(x)在[-12 , 12 ]上单调递增
2π
C.f(x)的图象关于点( ,0)对称
3
D.f(x)的图象关于直线
π
x= 对称
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
因为
π
f( )=2,所以
6
f(x)的图象关于直线
π
x= 对称.故
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
D 正确.故选 D.
错误;
5.[探究点四]若函数y=5sin
为
19

π
+
3
3
的周期不大于1,则自然数k的最小值
.
2π
解析 ∵T= =
3
6π
6π
,且|T|≤1,即
2
3
2
11
12
π
2
3
0
-2

高中数学人教B版必修第三册第七章再练一课(7.1~7.2)

再练一课(范围：7.1～7.2)1．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( )A ．1B ．－1 C.22 D ．－22答案 C解析 ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋(－1)2＝2， ∴cos α＝x r ＝12＝22. 2．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( )A ．x 轴的正半轴上B ．y 轴的正半轴上C ．x 轴的负半轴上D ．y 轴的负半轴上答案 A解析由于角α，β的终边相同，所以α＝k ·360°＋β，k ∈Z ，所以α－β＝k ·360°，k ∈Z ，则α－β的终边在x 轴的正半轴上，故选A.3．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4B ．－2πC ．πD ．－π 答案 A解析 ∵－11π4＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－3π4 ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－3π4， ∴θ＝－3π4. 4．sin 256π等于( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32答案 A 解析 sin 25π6＝sin ⎝⎛⎭⎫4π＋π6＝sin π6＝12. 5．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈ZB.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z答案 B解析由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或终边在y 轴正半轴上的角或终边在x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 6．若α是第三象限角且cos α＝－33，则sin α＝________，tan α＝________. 答案－63 2解析 ∵α是第三象限角且cos α＝－33， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－63； ∴tan α＝sin αcos α＝ 2. 7．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．答案－4 3解析由三角函数定义知，tan 420°＝－a 4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3，∴－a 4＝3，∴a ＝－4 3. 8．化简：cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 答案 1解析原式＝sin 2⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1. 9．已知f (x )＝sin (3π－x )cos ⎝⎛⎭⎫x －3π2tan (x －2π)sin ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫－x －π2tan (x －5π).(1)化简f (x )；(2)当x＝π3时，求f (x )的值； (3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎫－x －7π2的值．解 (1)f (x )＝sin x (－sin x )tan xcos x (－sin x )tan x＝tan x . (2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3. (3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1. 10．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)»AB 的长； (2)弓形(阴影部分)的面积．解 (1)∵120°＝120π180＝2π3，∴»AB l ＝6×2π3＝4π， ∴»AB 的长为4π. (2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则D 为AB 的中点，AB ＝2BD ＝2·OB ·cos 30°＝2×6×32＝6 3.OD ＝OB ·sin 30°＝6×12＝3. ∵S 扇形AOB ＝12»AB l ·OB ＝12×4π×6＝12π， S △OAB ＝12·AB ·OD ＝12×63×3＝9 3. ∴S 弓形＝S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形的面积为12π－9 3.11．下列说法中错误的是( ) A ．若0<α<π2，则sin α<tan α B ．若α为第二象限角，则α2为第一象限角或第三象限角 C ．若角α的终边过点P (3k ,4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度答案 C 解析若0<α<π2，则sin α<tan α＝sin αcos α，故A 中说法正确；若α为第二象限角，则2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z .所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z ，故α2为第一象限角或第三象限角，故B 中说法正确；若角α的终边过点P (3k ,4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k 5|k |，不一定等于45，故C 中说法错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，故其圆心角的大小为22＝1(弧度)，故D 中说法正确，故选C.12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(3≈1.73)( )A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米答案 B解析由题意可得，∠AOB ＝2π3，OA ＝4米，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2(米)，可得，矢＝4－2＝2(米)，由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23(米)，可得，弦＝2AD ＝2×23＝43(米)，所以，弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米)．13．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．－32 B.32 C ．－52 D.52答案 D解析由题意知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2 ＝1－2sin θcos θ＝52，故选D. 14．计算：cos π7＋cos 2π7＋cos 3π7＋cos 4π7＋cos 5π7＋cos 6π7＝________. 答案 0解析原式＝cos π7＋cos 2π7＋cos 3π7＋cos ⎝⎛⎭⎫π－3π7＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π7＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π7 ＝cos π7＋cos 2π7＋cos 3π7－cos 3π7－cos 2π7－cos π7＝0.15．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈N ＋)的值为________．答案 1解析 ∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.16．证明：sin α(1＋tan α)＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α.证明左边＝sin α⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．。

人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件第七章三角函数 7.1.1 角的推广分层作业册

<270°+k·360°,k∈Z,90°+k·180°<

<135°+k·
180°,当k为偶数时,
2

是第二象限角,当k为奇数时, 是第四象限角,故正确.故选BD.
2
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.(多选题)[2023黑龙江建华校级期末]已知α是锐角,则( ABC)
钝角是第二象限的角,故B正确;
第二象限的角不一定大于第一象限的角,例如:150°是第二象限的角,390°是
第一象限的角,故C不正确;
若角α与角β的终边相同,那么α=β+2kπ,k∈Z,故D不正确.故选ACD.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
k=- 36 ∉Z,错误;
对于 B,若 1 850°+360°·k=50°,解得 k=-5,正确;
对于
对于
17
C,若 1 850°+360°·k=320°,解得 k=- 4 ∉Z,错误;
25
D,若 1 850°+360°·k=-400°,解得 k=- 4 ∉Z,错误.故选
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
3

可以是第一、第三、第四象限角.
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
5.[探究点二·2023上海宝山校级期末]终边在直线y=-x上的角α构成的集合
可以表示为 {α|α=k·360°+135°,k∈Z} .

人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件第七章三角函数数学建模活动周期现象的描述分层作业册

0≤x≤24,得 1≤x≤5 或 13≤x≤17,故 C,D 正确.故选 BCD.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4.[探究点一]有一小球从某点开始来回摆动,与平衡位置的距离s(单位:cm)
关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ),A>0,ω>0,0<φ<
图象如图所示,则φ=
6
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D.
3.(多选题)[探究点二·2023广东河源期末]在通常情况下,船在涨潮时驶进
航道,靠近船坞卸货后落潮时返回海洋,现有一条货船的吃水深度(船底与
水面的距离)为4 m,根据安全条例规定至少要有2 m的安全间隙(船底与海
底的距离),已知某港口在某季节的某一天的时刻x(单位:h)与水深f(x)(单
1
sin6t≥2.
π
∵0≤t≤24,∴0≤6t≤4π.
π
由①②得6
≤
π
5π
13π
t≤ 6 或 6
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
①
②
≤
π
17π
t≤ 6 .
6
化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港,5时出港,再13时进港,17时出港,在港内最多
可航行8小时.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B级关键能力提升练
6.[2023江西万安校级一模]某市一年12个月的月平均气温y与月份x的关系
可近似地用函数y=a+Acos[
π
6
(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知该市6月份
的平均气温最高,为28 ℃;12月份的平均气温最低,为18 ℃.则该市8月份的

人教B版高中数学必修第3册同步备课-第7章 7

7.3.2 正弦型函数的性质与图像学习目标核心素养1.了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响,会求其周期、最值、单调区间等．(重点)2.会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx ＋φ)的图像．(难点) 通过正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图像和性质的学习,培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养.1.正弦型函数(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,w≠0)的函数,通常叫做正弦型函数．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0,ω≠0,x∈R)的周期T＝2π|ω|,频率f＝|ω|2π,初相为φ,值域为[－|A|,|A|],|A|也称为振幅,|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小．2.A,ω,φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响:(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响:(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响:(4)用“变换法”作图:y＝sin x的图像―――――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)的图像――――――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)的图像――――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx＋φ)的图像．思考:由y ＝sin x 的图像,通过怎样的变换可以得到y ＝Asin(ωx＋φ)的图像？ [提示] 变化途径有两条:(1)y ＝sin x ―――→相位变换y ＝sin(x ＋φ) ―――→周期变换y ＝sin(ωx＋φ) ―――→振幅变换y ＝Asin(ωx＋φ)． (2)y ＝sin x ―――→周期变换y ＝sin ωx ―――→相位变换y ＝sin(ωx＋φ) ―――→振幅变换y ＝Asin(ωx＋φ)．1.函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的最小正周期为( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4πB [T ＝2π2＝π.]2.要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像,只要将y ＝sin x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向上平移π4个单位D ．向下平移π4个单位B [将y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像．]3.已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π7,则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______,______,______.10π 3 π7 [由函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π7的解析式知,振幅为3,最小正周期为T ＝2π|ω|＝10π,初相为π7.]正弦型函数的性质与图像【例1】用“五点法”作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －3＋3的图像,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．[思路探究] 先确定一个周期内的五个关键点,画出一个周期的图像,左、右扩展可得图像,然后根据图像求性质．[解] ①列表:xπ356 π 43π 116 π 73π x －π30 π2 π 32 π 2πy3 53 13②描点连线作出一周期的函数图像．③把此图像左、右扩展即得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的图像．由图像可知函数的定义域为R,值域为[1,5],周期为T ＝2πω＝2π,频率为f ＝1T ＝12π ,初相为φ＝－π3,最大值为5,最小值为1.令2kπ－π2≤x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)得原函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)．令2kπ＋π2≤x－π3≤2kπ＋3π2,(k∈Z)得原函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋5π6，2kπ＋11π6(k∈Z)．令x －π3＝kπ＋π2(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x ＝kπ＋56π(k∈Z)．1.用“五点法”作y ＝Asin(ωx＋φ)的图像,应先令ωx＋φ分别为0,π2 ,π,3π2,2π,然后解出自变量x 的对应值,作出一周期内的图像．2.求y ＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时,首先把x 的系数化为正值,然后利用整体代换,把ωx＋φ代入相应不等式中,求出相应的变量x 的范围．1.作出函数y ＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的图像．[解] 令X ＝2x －π4,列表如下:X 0 π2 π 3π2 2π x π8 3π8 5π8 7π8 9π8 y2－ 2描点连线得图像如图所示．正弦型函数的图像变换【例2】函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2的图像是由函数y ＝sin x 的图像通过怎样的变换得到的？ [思路探究] 由周期知“ 横向缩短” ,由振幅知“ 纵向伸长” ,并且需要向左、向下移动．[解] 法一:y ＝sin x三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略(1)确定函数y＝sin x的图像经过平移变换后图像对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言.(2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和单位.2.为了得到函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x3＋π6,x∈R的图像,只需把函数y＝sin x,x∈R的图像上所有的点:①向左平移π6个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)；②向右平移π6个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)；③向左平移π6个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；④向右平移π6个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．其中正确的是________．③[y＝sin x――――→向左平移π6个单位y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π6――――――――→横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x3＋π6.]求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例3】如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<2的图像,确定其一个函数解析式．[思路探究]解答本题可由最高点、最低点确定A,再由周期确定ω,然后由图像所过的点确定φ.[解]由图像,知A＝3,T＝π,又图像过点A⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0,∴所求图像由y ＝3sin 2x 的图像向左平移π6 个单位得到,∴y＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6,即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.确定函数y ＝Asin (ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定,常用方法有:(1)代入法:把图像上的一个已知点代入(此时A,ω已知或代入图像与x 轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下:“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.3.已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的部分函数图像如图所示,求此函数的解析式．[解] 由图像可知 A ＝2,T 2＝43－13＝1,∴T＝2,∴T＝2πω＝2,∴ω＝π,∴y＝2sin(πx＋φ)．代入⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2, ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1,∵|φ|＜π2 ,∴φ＝π6 ,∴y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx＋π6.正弦型函数y ＝Asin(ωx＋φ)的对称性1.如何求函数y ＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？[提示] 与正弦曲线一样,函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x 轴．函数y ＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法:令sin(ωx＋φ)＝±1,得ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z),则x＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k∈Z),所以函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k∈Z)．2.如何求函数y ＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？[提示] 与正弦曲线一样,函数y ＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心即函数图像与x 轴的交点．函数y ＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法:令sin(ωx＋φ)＝0,得ωx＋φ＝kπ(k∈Z),则x ＝kπ－φω(k∈Z),所以函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎪⎫kπ－φω，0(k∈Z)成中心对称．【例4】已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)． (1)若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为偶函数,求φ的值；(2)若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)关于x ＝π8 对称,求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．[思路探究] 利用正弦函数的性质解题． [解](1)∵f(x)为偶函数,∴φ＝kπ＋π2 ,又φ∈(0,π),∴φ＝π2.(2)∵f(x)＝sin(2x ＋φ)关于x ＝π8对称,∴f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,即sin φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ, ∴tan φ＝1,φ＝kπ＋π4(k∈Z)．又φ∈(0,π),∴φ＝π4 ,∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由2x ＋π4＝kπ＋π2(k∈Z),得x ＝kπ2＋π8(k∈Z),由2x ＋π4＝kπ,得x ＝kπ2－π8(k∈Z),∴f(x)的对称轴方程为x ＝kπ2＋π8(k∈Z), 对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ2－π8，0(k∈Z)．1.函数y ＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合,主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查．2.有关函数y ＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题,要特别注意整体代换思想的运用．4．函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像为C,则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图像C 关于直线x ＝π12 对称；②图像C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3 个单位长度可以得到图像C ．②③ [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32. f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝0,故①错,②正确．令－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ,k∈Z ,解得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ,k∈Z ,故③正确．函数y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3 个单位,得到函数y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图像,故④错．1.φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图像的影响函数y ＝sin(x ＋φ),x∈R(其中φ≠0)的图像,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．2.ω(ω>0)对函数y ＝sin(ωx＋φ)的图像的影响函数y ＝sin(ωx＋φ),x∈R(其中ω>0,且ω≠1)的图像,可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω(纵坐标不变)而得到的．3.A(A>0)对函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图像,可以看作是把y ＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的,函数y ＝Asin(ωx＋φ)的值域为[－A,A]．最大值为A,最小值为－A ．4．由y ＝sin x 变换得到y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的方法 (1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移1.(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4 ,x 2＝3π4是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点,则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．12A [由题意及函数y ＝sin ωx 的图像与性质可知, 12T ＝3π4－π4 ,∴T＝π,∴2πω＝π,∴ω＝2.故选A ．] 2.要得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像,只需将y ＝3sin 2x 的图像( )A ．向左平移π4 个单位B ．向右平移π4 个单位C ．向左平移π8 个单位D ．向右平移π8个单位C [y ＝3sin 2x 的图像y ＝3sin2x ＋π8的图像,即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像．]3.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图像的一条对称轴是________．(填序号)①x＝－π2；②x＝0；③x＝π6；④x＝－π6.③ [由正弦函数对称轴可知． x ＋π3＝kπ＋π2 ,k∈Z ,x ＝kπ＋π6 ,k∈Z ,k ＝0时,x ＝π6.]4．如图是函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图像的一部分,试求该函数的解析式．[解] 由图像可知A ＝2,T ＝4×(6－2)＝16,ω＝2πT ＝π8.又x ＝6时,π8×6＋φ＝0,∴φ＝－3π4 ,且|φ|<π.∴所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4。

人教B版高中数学必修第三册精品课件第7章三角函数习题课——三角函数的性质与图象

4.培养直观想象、逻辑推理能力和数学运算素养.
自主预习新知导学
一、函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的性质与图象
1.(1)函数 y=tan x 的定义域为{x ≠ π +
π
,k∈Z};
2
(2)函数 y=sin x,y=cos x 的值域为[-1,1];
(3)y=cos x 的单调递减区间是[2kπ,2kπ+π],k∈Z,y=tan x 的单调递增区间是
6 6
π
2- 6
≤
,
5π
,
6
π
x= 时,f(x)最大=√3;
3
x=0
√3
时,f(x)最小=- .
2
本课结束
π
π
(kπ-2 ,kπ+ 2 )(k∈Z),周期是
π;
(4)函数 y=tan x 的图象无对称轴,其对称中心的坐标为
π
,0
2
(k∈Z).
2.(1)若函数 y=-3cos
π
ax 的周期为2 ,则实数
a 为 ±4 ;
(2)函数 y=M-2sin x 的最小值为 M-2 ;
(3)函数 y=tan x 满足 tan x≤0 的单调递增区间为
6
ωx+φ
0
x
π
12
π
2
π
3
Asin(ωx+φ)
0
5
且函数解析式为 f(x)=5sin
π
2- 6
.
7π
12
3π
2
5π
6
13π
12
0
-5
0
π
2π
π

(人教版B版最新)高中数学必修第三册第七章综合测试01-答案

第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】A【解析】根据任意角的三角函数定义可得tan 3α=，所以πsin(π)sin sin cos 22cos(2π)2cos αααααα⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭=-1131tan 12222α=-=-=.故选A . 8.【答案】A 【解析】由sin 3cos 53cos sin αααα+=-，得12cos 6sin αα=，即tan 2α=，所以222222sin sin cos tan tan 2sin sin acos sin cos tan 15αααααααααα---===++. 9.【答案】A【解析】根据三角函数图像中点的变换关系求解. 因为点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上，所以. πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，所以π1,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将成P 向左平移(0)s s ＞个单位长度得π1,42'P s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为'P 在函数sin 2y x =图像上，所以π1sin 242s ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即1cos 22s =，所以π22π3s k =+或522ππ()3s k k =+∈Z ，即ππ6s k =+或5ππ()6s k k =+∈Z ，所以s 的最小值为π6. 10.【答案】B11.【答案】C【解析】由图易得3A =，函数()f x 的最小正周期2π7ππ4123T ω⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()3sin(2)f x x ϕ=+. 又因为点π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数图像上，所以ππ3sin 2333f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π32π2π32k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，解得5π2π6k ϕ=+，k ∈Z . 又因为0πϕ＜＜，所以5π6ϕ=，所以5π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当π0,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5π5π3π2,662a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 又因为5π()3sin 216f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以5π1sin 2063α⎛⎫+= ⎪⎝⎭＞，所以5π5π2,π66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5πcos 26α⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故选C . 12.【答案】D【解析】先求出()g x ，表示出()()12f x g x -，再结合三角函数的性质求解.因为()sin 2()sin(22)g x x x ϕϕ=-=-，所以()()()1212||sin 2sin 22|2f x g x x x ϕ-=--=.因为11sin 21x - ，()21sin 221x ϕ-- ，所以1sin 2x 和()2sin 22x ϕ-的值中，一个为1，另一个为1-，不妨取1sin 21x =，()2sin 221x ϕ-=-，则11π22π2x k =+，1k ∈Z ， 22π222π2x k ϕ-=-，2k ∈Z ，()12122222ππx x k k ϕ-+=-+，()12k k -=Z ，得()1212ππ2x x k k ϕ-=-+-. 因为π02ϕ＜＜，所以ππ022ϕ-＜＜，故当120k k -=时，12min ππ23x x ϕ-=-=，则π6ϕ=，故选D . 二、 13.【答案】【解析】ππ2tan 33f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭∵，(98)(1002)lg1002f f -=-+==，2(98)23f f π⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭∴. 14.【答案】9【解析】因为函数()*π()sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 在区间ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以有πππ2π,662πππ2π,462k k ωω⎧+-⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ 即412483k k ω-+ ，k ∈Z .由412483k k -+ ，得43k . 当1k =时，288,3ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以正整数ω的最大值为9. 15.【答案】5ππ2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【解析】设函数解析式为()0sin()0,0y A x A ωϕω=+＞＞.由图像知2A =，0.8T =，所以2π2π5π0.82T ω===.又函数图像过点(0.1,2)，所以π22sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以π2π4k ϕ=+，k ∈Z . 不妨取π4ϕ=，则其函数解析式为5ππ2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 16.【答案】③④【解析】画出()f x 在[0,2π]上的图像，如图所示.由图像知，函数()f x 的最小正周期为2π，在当π2π()x k k =+∈Z 和3π2π()2x k k =+∈Z 时，该函数都取得最小值1-；故①②错误.由图像知，函数图像关于直线5π2π()4x k k =+∈Z 对称，在当π2π2π()2k x k k +∈Z ＜＜时，0()f x ＜，故③④正确. 三、17.【答案】解：（1）原式==== （2）原式222222sin 3sin cos sin cos sin cos ααααααα---=+ 2222tan 3tan tan 1189911tan 19110αααα------===-++. 18.【答案】解：（1）0A ∵＞，0ω＞，∴由函数图像可知2A =，002ππ2π2T x x ω⎡⎤⎛⎫==--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2ω=. 又∵函数图像过点13π,212⎛⎫⎪⎝⎭，13π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭∴， 13ππ22π122k ϕ⨯+=+∴，k ∈Z ，即52ππ3k ϕ=-，k ∈Z . 又π||2ϕ＜，π3ϕ=∴，π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴.由函数图像可得0π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴0ππ22π34x k +=+，k ∈Z ，即0ππ24x k =-，k ∈Z . 又013ππ13π12412x -∵＜＜，023π24x =∴. （2）由ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得ππ5π2,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 当ππ236x +=-，即π4x =-时，min π()14f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当ππ232x +=，即π12x =时，max π()212f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.19.【答案】解：（1）因为π1πππ()102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又024t ＜，所以πππ7π31233t +＜，ππ1sin 1123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ . 当2t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当14t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 于是()f t 在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.（2）依题意，当()11f t ＞时实验室需要降温. 由（1）得ππ()102sin 123f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故有ππ102sin 11123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞，即ππ1sin 1232t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜. 又024t ＜，因此7πππ11π61236t +＜，即1018t ＜＜. 故在10时至18时实验室需要降温.20.【答案】解：（1）白星时间最长的一天，即()D t 取得最大值的一天，此时170t =，对应的是6月20日（间年除外）.类似地，353t =时，()D t 取得最小值，即12月20日白昼最短.（2）()10.5D t ＞，即2π3sin (79)1210.5365t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦＞， 2π1sin (79)3652t ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∴＞，[0,365]t ∈， 49292t ∴＜＜，29249243-=.∴该地一年中约有243天的白昼时间超过10.5小时.21.【答案】解（1）因为π()24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. 由ππ2π22π4k x k -+-≤ ，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -++ ，k ∈Z . 故函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π()88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间ππ,82⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数.又π08f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππππ1244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当k ∈时方程()f x k =恰有两个不同的实数根.（3）3π()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵ππ2248x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ()22284g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，由题意得π2π4m k -=，k ∈Z ， kππ28m =-+∴，k ∈Z . 又0m ＞，∴当0k =时，min π8m =，此时()2g x x =的图像关于原点中心对称.22.【答案】解：（1）π()213f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵，又函数()f x 的最小正周期为π2， 2ππ22ω=∴，2ω=∴，π()413f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴. 令π4π3x k +=，k ∈Z ，得ππ412k x =-，其图像对称中心为ππ,1()412k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z . （2）由题意得23sin 3sin 2022x x m m --- . [0,2π]x ∈∵，[0,π]2x ∈∴， sin [0,1]2x ∈∴，23sin 223sin 12x m x -+ .设3sin 12x t =+，[1,4]t =，则1sin 23x t -=.设23sin 223sin 12y x x -=+，则2213(1)225159233t t t t y t t t ⨯----⎛⎫===-- ⎪⎝⎭在[1,4]t ∈上是增函数. ∴当1t =时，min 2y =-，∴2m - .故实数m 的取值范围是(,2]-∞-.。

2020-2021学年高中数学人教B版必修第三册课后习题：7.1.1角的推广

第七章三角函数7.1任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)下列说法正确的是()A.0°~90°的角是第一象限的角B.钝角一定是第二象限角C.平角跟周角不是象限内的角D.钝角是大于第一象限的角2.若α为第一象限的角,则α+k·180°(k∈Z)的终边所在象限为()A.第一象限B.第一或第二象限C.第一或第三象限D.第一或第四象限k为偶数,则α+k·180°的终边在第一象限;若k为奇数,则α+k·180°的终边在第三象限.3.(多选)给出下列四个选项,其中正确的选项是()A.-75°角是第四象限的角B.225°角是第三象限的角C.475°角是第三象限的角D.-315°角是第一象限的角-90°<-75°<0°,是第四象限角,A正确;180°<225°<270°,是第三象限角,B正确;360°+90°<475°<360°+180°,是第二象限角,C错误;-360°<-315°<-270°,是第一象限角,D 正确.4.与-420°角终边相同的角是()A.-120°B.420°C.660°D.280°-420°角终边相同的角为-420°+k·360°,k∈Z.则当k=3时,-420°+3×360°=660°.5.终边与坐标轴重合的角的集合是()A.{α|α=k·360°,k∈Z}B .{α|α=k ·180°,k ∈Z }C .{α|α=k ·90°,k ∈Z }D .{α|α=90°+k ·180°,k ∈Z }6.若角α和β的终边关于直线y=-x 对称,且α=30°,则β= .,OA 为角α的终边,OB 为角β的终边,由α=30°,得∠AOC=75°.根据对称性,知∠BOC=75°,因此∠BOx=120°,所以β=-120°+k ·360°,k ∈Z .120°+k ·360°,k ∈Z 7.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k ·360°(k ∈Z ,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.∵-1910°=250°+(-6)×360°, ∴β=250°,即α=250°-6×360°. 又250°是第三象限角,∴α是第三象限角. (2)θ=250°+k ·360°(k ∈Z ).∵-720°≤θ<0°,∴-720°≤250°+k ·360°<0°, 解得-9736≤k<-2536.又k ∈Z ,∴k=-1或k=-2.∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°.8.现在是8点5分,经过2小时15分钟后,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少?-30°,则每分钟转-0.5°,而分针每分钟转-6°.故2小时15分钟后,时针转过(2×60+15)×(-0.5°)=-67.5°,分针转过(2×60+15)×(-6°)=-810°.能力提升练1.若角α与45°角的终边相同,角β与-135°角的终边相同,则α与β之间的关系是( ) A.α+β=-50° B.α-β=180°C.α+β=180°+k ·360°(k ∈Z )D.α-β=180°+k ·360°(k ∈Z )=45°+k 1·360°(k 1∈Z ),β=-135°+k 2·360°(k 2∈Z ),α-β=180°+k ·360°,k ∈Z .2.如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( ) A .{α|-45°≤α≤120°} B .{α|120°≤α<315°}C .{α|-45°+k ·360°≤α≤120°+k ·360°,k ∈Z }D .{α|120°+k ·360°≤α≤315°+k ·360°,k ∈Z }-360°~360°范围内,终边落在阴影部分的角可表示为-45°~120°,再写出终边相同的角的集合,即{α|-45°+k ·360°≤α≤120°+k ·360°,k ∈Z }.3.已知集合M={x |x=k ·180°2±45°,k ∈Z},P={x |x =k ·180°4±90°,k ∈Z},则M ,P 之间的关系为 ( )A.M=PB.M ⊆PC.M ⊇PD.M ∩P=⌀M ,x=k ·180°2±45°=k ·90°±45°=(2k ±1)·45°,k ∈Z ,对于集合P ,x=k ·180°4±90°=k ·45°±90°=(k ±2)·45°,k ∈Z .∴M ⊆P.4.若α=45°+k ·360°,k ∈Z ,则α是象限角.α=45°+k ·360°,k ∈Z , ∴=22.5°+k ·180°,k ∈Z . 当k 为偶数,即k=2n ,n ∈Z 时,α=22.5°+n ·360°,n ∈Z , 此时α为第一象限角; 当k 为奇数,则k=2n+1,n ∈Z 时,α=202.5°+n ·360°,n ∈Z ,此时α为第三象限角. 综上,α是第一或第三象限角.5.若角α与288°角的终边相同,则在0°~360°内终边与角α终边相同的角是 .,得α=288°+k ·360°(k ∈Z ),α=72°+k ·90°(k ∈Z ).又0°≤α≤360°,所以k=0,1,2,3,相应地有α=72°,162°,252°,342°.°,162°,252°,342°6.若α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β= .β的一个角,β=α+180°=60°,再由终边相同的角的概念知,β=60°+k ·360°,k ∈Z .°+k ·360°,k ∈Z7.若角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,求β.-360°~0°范围内,与-60°角关于直线x+y=0对称的角为-30°角,所以β=-30°+k ·360°(k ∈Z ). 8.若角β的终边落在150°角终边所在的直线上,写出角β的集合;当-360°<β<360°时,求β.β的终边落在150°角终边所在的直线上,所以在0°~360°内的角为150°和330°. 所以β的集合A=A 1∪A 2={β|β=150°+k ·360°,k ∈Z }∪{β|β=330°+k ·360°,k ∈Z }={β|β=-30°+(2k+1)180°,k ∈Z }∪{β|β=-30°+(2k+2)180°,k ∈Z }.因为{n|n=2k+1,k ∈Z }∪{n|n=2k+2,k ∈Z }=Z ,所以A=A 1∪A 2={β|β=-30°+n ·180°,n ∈Z },即满足要求的角β的集合A={β|β=-30°+n ·180°,n ∈Z }.令-360°<-30°+n ·180°<360°,n ∈Z , 得-1-56<n<2+16,n ∈Z ,所以n=-1,0,1,2.所以当-360°<β<360°时,β=-210°,-30°,150°,330°.素养培优练已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.,α+β=-280°+k ·360°,k ∈Z . ∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°. 取k=1,得α+β=80°. ①α-β=670°+k ·360°,k ∈Z . ∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°. 取k=-2,得α-β=-50°. ② 由①②,得α=15°,β=65°.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件第七章三角函数本章总结提升

+φ)(0<φ<π).
2
已知函数f(x)=2sin(
(1)若函数f(x)为偶函数,求φ的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在[-π,π]上的单调递减区间.
解 (1)∵函数
(2)由(1)得
当
π
π
f(x)为偶函数,∴φ=2+kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴φ=2.

f(x)=2cos ,
2

x∈[-π,π]时,
等式求得.
(3)具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式
将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余
弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时
用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.
变式训练3
围,最后得最值.
变式训练4
函数y=sin 2x+cos x的最大值为
答案
.
5
4
1 2 5
+ ,故
2
4
解析 y=sin2x+cos x=-cos2x+cos x+1=- cos x-
1
2
5
4
cos x= 时,ymax= .
本课结束
变式训练1
利用三角函数线,写出满足|cos α|>|sin α|的角α的集合.
解如图,作出单位圆.
所以角 α 满足的集合为 α
π
π
kπ-4<α<kπ+4,k∈Z
.
专题三
【例 3】

新人教B版高中数学第三册课后课时精练课件：7.3.2正弦型函数的性质与图像

答案
解析
二、填空题
7．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是 3，最小正周期是27π，初相是π6，则这个函数的解析式是__________．
答案 y＝3sin7x＋π6 解析由函数的最大值是 3，得 A＝3.由函数的最小正周期是27π，得2ωπ＝ 27π.解得 ω＝7.由初相是π6，得 φ＝π6.
解析

y＝sinωx＋
π3＋2
y1＝sinωx－43π＋3π＋2，
即

y1＝sinωx＋
π3－43πω＋2，
又 y 与 y1 的图像重合．
则－43πω＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝－32k，又 ω>0，k∈Z，
∴k＝－1 时 ω 取最小值为32.故选 C.
解析
6．已知函数 f(x)＝ 2sinx＋π4＋φ是奇函数，当 φ∈－π2，2π时，φ 的值为
()A．Leabharlann 54πB．－π4π
3π
C.4
D. 4
答案 B 解析由已知得π4＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝－π4＋kπ(k∈Z)．又∵φ∈－π2，2π，
∴当 k＝0 时，φ＝－π4符合条件．
－π4＋2kπ，k∈Z，所以 f(x)＝sin34πx－4π＋2kπ，k∈Z.
则
f(2)＝sin32π－π4＝sin54π＝－
2 2.
解析
三、解答题 9．图中所示为函数 y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的图像的一段，试确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．
新人教B版高中数学第三册课后课时精练课件
第七章三角函数
7.3.2 正弦型函数的性质与图像

(人教版B版)高中数学必修第三册第七章综合测试试卷02及答案

第七章综合测试一、选择题1.函数()cos 2f x x =的最小正周期是（）A .4pB .2pC .pD .2p2.13sin6p的值为（）A .12B C D 3.要得到函数2sin 3y x p æö=+ç÷èø的图象，只需将函数2sin y x =的图象（）A .向左平移3p个单位B .向右平移3p个单位C .向左平移6p个单位D .向右平移6p个单位4.函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]p p -的图像大致为（）A .B .C .D .5.下列函数中，以2p为周期且在区间,42p p æöç÷èø单调递增的是（）A .()cos 2f x x =B .()sin 2f x x =C .()cos f x x=D .()sin f x x=6.如图为2019年某市某天中6h 至14h 的温度变化曲线，其近似满足函数sin()0,0,2y A x b A p w j w j p æö=++ç÷èø＞＞＜＜的半个周期的图象，则该天8h 的温度大约为（）A .16 ℃B .15 ℃C .14 ℃D .13 ℃7.已知曲线1:cos C y x =，22:sin 23C y x p æö=+ç÷èø，则下面结论正确的是（）A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6p个单位长度，得到曲线2C B .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12p个单位长度，得到曲线2C C .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6p个单位长度，得到曲线2C D .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12p个单位长度，得到曲线2C8.已知sin 4p a æö-=ç÷èø7cos 225a =，则tan 2a=（）A .3B .3-C .3±D .4±9.已知函数22()cos sin f x x x =-，下列说法错误的是（）A .()cos 2f x x=B .函数()f x 的图象关于直线0x =对称C .()f x 的最小值正周期为p D .()f x 的对称中心为(),0,k k Zp Î10.在平面直角坐标系中，»AB ，»CD，»EF ，¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角a 以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin a a a ＜＜，则P 所在的圆弧是（）A .»AB B .»CDC .»EFD .¼GH11.已知函数()()()sin 0,0,f x A x A w j w j p =+＞＞＜是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x 。

人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件第七章三角函数 7.3.1 正弦函数的性质与图象

第七章
7.3.1 正弦函数的性质与图象
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值,并能利用
正弦函数的性质与图象来解决相关的综合问题.
2.了解正弦函数图象的画法,能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数
(-)
=-1(f(x)≠0)判断.
()
f(-x)+f(x)=0 或
变式训练2
判断函数
1-si n 2
f(x)=
的奇偶性.
2-|2-sin |
解 ∵f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},
∴f(x)的定义域关于原点对称.
又sin x<2,∴f(x)=
1-sin2
.
sin
∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
时,f(x)有最大值为 1,令
π
3π
f(x)的单调递增区间为[ +2kπ, +2kπ],k∈Z.
2
2
2.求函数
1
y=sin 的定义域和值域.
-1
解由题意可知x-1≠0,∴x∈R,且x≠1,
1
∴函数 y=sin-1的定义域为{x|x∈R,且x≠1},值域为[-1,1].
知识点2 正弦函数的图象
x≤1.
当 sin x=1 时 y 取最大值,ymax=5;当 sin
1
x=2时
y
5
取最小值,ymin=2.
1 2 3
t- + ,
2
2

高中数学人教B版必修第三册第七章 7.3.1(一)

7．3三角函数的性质与图像7．3.1正弦函数的性质与图像(一)学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.利用正弦线理解正弦函数的性质.3.掌握正弦函数的性质及其应用．知识点一正弦函数对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数．知识点二周期函数1．一般地，对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f (x＋T)＝f (x)．那么就称函数f (x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．2．如果函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数称为f (x)的最小正周期．知识点三正弦函数y＝sin x的性质名称性质y＝sin x定义域R值域[－1,1]最值当且仅当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，y＝sin x的最大值y max＝1；当且仅当x＝3π2＋2kπ，k∈Z时，y＝sin x的最小值y min＝－1奇偶性奇函数周期性最小正周期：2π单调性⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上递增；⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上递减零点kπ，k∈Z1．函数y ＝sin x ＋1的值域为________．答案 [0,2]2．对任意实数R ，都有f (x ＋2)＝f (x )，则函数f (x )的周期为________．答案 23．函数y ＝－12sin x 为________函数(填奇或偶)．答案奇4．y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上为________函数(填增或减)．答案减一、正弦函数的奇偶性、周期性例1 (1)判断下列函数的奇偶性． ①y ＝|sin x |； ②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋x .解 ①y ＝|sin x |，定义域为R .∴f (－x )＝|sin(－x )|＝|－sin x |＝|sin x |＝f (x )， ∴y ＝|sin x |是偶函数．②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋x ＝sin x ，定义域为R ， ∴y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋x 为奇函数．(2)判断等式sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋5π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3是否成立？如果成立，能否说明5π3是函数y ＝sin x 的周期？解 sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋5π3＝sin 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝－sin π3，而sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－sin π3. ∴上述等式成立．但不能说明5π3是y ＝sin x 的周期．理由如下：若5π3为y ＝sin x 的周期，则对任意实数x 都有sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π3＝sin x ，但当x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π3≠sin x ，所以5π3不是y ＝sin x 的周期．反思感悟 (1)判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称．关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．(2)f (x )为周期函数，即对定义域内任意实数x ，都有f (x ＋T )＝f (x )成立．只要有一个x ，使f (x ＋T )＝f (x )不成立，则f (x )不是周期函数．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性． (1)y ＝sin x ，x ∈(－π，2π)； (2)y ＝sin x ＋1； (3)y ＝sin 3x .解 (1)y ＝sin x ，x ∈(－π，2π)，定义域不关于原点对称，∴y ＝sin x ，x ∈(－π，2π)为非奇非偶函数． (2)y ＝sin x ＋1，x ∈R ， ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，f ⎝⎛⎭⎫－π2＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π2≠f ⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫－π2≠－f ⎝⎛⎭⎫π2. 所以y ＝sin x ＋1为非奇非偶函数． (3)y ＝sin 3x ，x ∈R ，f (－x )＝sin [3(－x )]＝sin(－3x )＝－sin 3x ＝－f (x )， ∴y ＝sin 3x 为奇函数．二、正弦函数的最值例2 (1)y ＝a sin x ＋b (a >0)的最大值为3，最小值为－1，则ab ＝________. 答案 2解析 ∵sin x ∈[－1,1]，且a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝－1，a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.∴ab ＝2. (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ＋2的最大值，最小值及相应x 的取值．解 y ＝cos 2x ＋sin x ＋2＝－sin 2x ＋sin x ＋3，令t ＝sin x ，∴t ∈[－1,1]，∴y ＝－t 2＋t ＋3 ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋134，当t ＝12，即sin x ＝12，即x ＝π6＋2k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝134.当t ＝－1，即sin x ＝－1，即x ＝3π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝1.延伸探究在本例(1)中把a >0去掉，则ab ＝________. 答案 2或－2解析当a >0时，由(1)知，ab ＝2，当a <0时，a sin x ＋b ∈[a ＋b ，－a ＋b ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝－2.所以ab ＝－2，综上有ab ＝2或－2.反思感悟 (1)对于形如y ＝a sin x ＋b 的函数求最值(值域)时，要注意对a 的讨论．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先令sin x ＝t ，将原函数转化成关于t 的二次函数，注意换元时t 的范围．跟踪训练2 (1)函数y ＝3－2sin x －1的最大值为________．答案 3解析令t ＝－2sin x －1，∴y ＝3t ， ∵sin x ∈[－1,1]， ∴当sin x ＝－1时，t max ＝1，又y ＝3t 为增函数，∴y max ＝31＝3 (2)函数y ＝sin 2x －4sin x －1的最小值为________．答案－4解析 y ＝sin 2x －4sin x －1＝(sin x －2)2－5， ∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，y min ＝－4. 三、正弦函数的单调性及应用例3 (1)y ＝－3sin x ＋1的减区间为______________________________________________，若x ∈[0，π]，则y ＝－3sin x ＋1的减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ⎣⎡⎦⎤0，π2 解析当－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z 时，y ＝－3sin x ＋1递减，∴y ＝－3sin x ＋1的减区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )．若x ∈[0，π]． ∵⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )∩[0，π]＝⎣⎡⎦⎤0，π2. ∴当x ∈[0，π]时，y ＝－3sin x ＋1的减区间为⎣⎡⎦⎤0，π2. (2)比较sin 196°与cos 156°的大小．解 sin 196°＝sin (180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 为增函数， ∴sin 16°<sin 66°. 故sin 196°>cos 156°.反思感悟 (1)求形如y ＝a sin x ＋b 的三角函数的单调性，当a <0时，要求y ＝a sin x ＋b 的增区间，即求y ＝sin x 的减区间．(2)用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪训练3 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6与sin 49π3的大小关系为________． (2)y ＝32sin x ＋1的减区间为________．答案 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3 (2)⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z 解析 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin49π3＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3. ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，且－π2<－π6<π3<π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3. (2)y ＝32sin x ＋1的减区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z .1．函数y ＝－2sin 3x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．即奇又偶函数 D ．非奇非偶函数答案 A2．已知2a －1－3sin x ＝0，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．[0,1] C ．(0,1) D ．[－1,2] 答案 D解析 2a －1＝3sin x ，∵sin x ∈[－1,1]，∴－3≤2a －1≤3，即－1≤a ≤2. 3．y ＝sin x －1在下列区间递减的是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 B.⎝⎛⎭⎫2π3，π C.⎝⎛⎭⎫π3，2π3 D.⎝⎛⎭⎫－π，－π3 答案 B4．函数y ＝2sin x －3的零点为________．答案 π3＋2k π或2π3＋2k π，k ∈Z解析令2sin x －3＝0， ∴sin x ＝32. ∴x ＝π3＋2k π或2π3＋2k π，k ∈Z .5．sin ⎝⎛⎭⎫－17π5与sin ⎝⎛⎭⎫－23π4的大小关系为________．(用“>”连接) 答案 sin ⎝⎛⎭⎫－17π5>sin ⎝⎛⎭⎫－23π4 解析 sin ⎝⎛⎭⎫－17π5＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π5＝sin 3π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π－3π5＝sin 2π5， sin ⎝⎛⎭⎫－23π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋π4＝sin π4，因为0<π4<2π5<π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，所以sin 2π5>sin π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫－17π5>sin ⎝⎛⎭⎫－23π4.1．知识清单：(1)正弦函数的奇偶性、单调性、最值、零点． (2)函数的周期性，正弦函数的周期性． 2．方法归纳：分类讨论，数形结合． 3．常见误区：求形如y ＝a sin x ＋b (a <0)的单调性时，忽略a <0的影响．1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数答案 A解析由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．已知sin 2x ＋2a －1＝0，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1] B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(0,1)答案 B解析 1－2a ＝sin 2x ， ∵sin x ∈[－1,1]， ∴sin 2x ∈[0,1]， ∴0≤1－2a ≤1，即0≤a ≤12.3．y ＝2sin x －3，x ∈R 的减区间为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π2＋2k π≤x ≤3π2＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z 答案 D4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3等于( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－π＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π3－π ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 6．已知函数y ＝－3sin x ＋2，当x ＝____________时，y 有最大值等于________．答案－π2＋2k π，k ∈Z 5解析当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，(sin x )min ＝－1，此时y max ＝5.7．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (6)＝________. 答案 3解析 ∵函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3， ∴f (6)＝f (2×2＋2)＝f (2)＝3.8．sin 470°________cos 760°(填“>”“<”或“＝”)．答案 >解析 sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，所以sin 470°>cos 760°.9．求函数f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域．解设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)， g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2. 因为g (t )的图像开口向上，对称轴t ＝2在区间[－1,1]右侧．所以g (t )在[－1,1]上是单调递减的，所以g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g (t )∈[2,10]．所以函数f (x )的值域为[2,10]．10．函数y ＝a sin x ＋1的最大值为1－a ，最小值为－3. (1)求实数a 的值；(2)求该函数的单调递增区间；(3)若x ∈[－π，π]，求该函数的递增区间．解 (1)∵y max ＝1－a ， ∴a <0，故y min ＝1＋a ＝－3，∴a ＝－4， ∴y ＝－4sin x ＋1.(2)当π2＋2k π≤x ≤3π2＋2k π，k ∈Z 时，函数y ＝－4sin x ＋1递增，∴y ＝－4sin x ＋1的递增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )． (3)∵x ∈[－π，π]，⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )∩[－π，π]＝⎣⎡⎦⎤－π，－π2∪⎣⎡⎦⎤π2，π. ∴当x ∈[－π，π]时，y ＝－4sin x ＋1的递增区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π2，⎣⎡⎦⎤π2，π.11．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 答案 A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.12．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4的值等于( )A ．1 B.22 C ．0 D ．－22答案 B 解析 f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎣⎡⎦⎤3π2×(－3)＋3π4 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 13．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.14．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2 020)＝7，则f (－2 020)＝________. 答案－5解析由f (2 020)＝2 020a ＋b sin 2 020＋1＝7，得2 020a ＋b sin 2 020＝6，∴f (－2 020)＝－2 020a －b sin 2 020＋1＝－(2 020a ＋b sin 2 020)＋1＝－6＋1＝－5.15．y ＝2sin x sin x ＋2的最小值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1答案 B解析由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2，当sin x ＝－1时，y ＝2sin x sin x ＋2取得最小值－2.16．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f (x )(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数；(2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期．(2)解 ∵4是f (x )的一个周期．∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－1f (－1＋2)＝－1f (1)＝15.。

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