北京高考数学模拟试题及答案

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北京市高考模拟考试数学试卷(带答案解析)

北京市高考模拟考试数学试卷（带答案解析）班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，则满足{}1,0,1,2,3A B ⋃=-的集合B 可能是（） A ．{}1,2-B ．{}1,0,1,3-C ．{}1,0,1-D ．{}0,2,32．522x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中4x 的系数为（）A ．20B ．-40C ．40D ．-103．已知数列{}n a ，{}n b 其中11a =，且n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根，则10b 等于（）A ．24B ．32C ．48D ．644．在人类中，双眼皮由显性基因A 控制，单眼皮由隐性基因a 控制．当一个人的基因型为AA 或Aa 时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为aa 时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个A 或者a 基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且2MF =，则OM =（）A ．1BC D ．36．点2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（）． A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定7．下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（） A ．1y x= B ．y x x =- C ．e e x x y -=-D ．ln y x =-8．在ABC 中，点D 在边AB 上，且2BD DA =.记CD m =，CB n =则2CA =（） A ．3m n -B ．3m n -+C ．3m n +D ．3m n +9．已知函数()y f x =的图像与lg y x =的图像关于直线y x =对称，则()()lg3lg4f f ⋅=（） A ．lg7B ．10C ．12D ．71010．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上一动点，在点P 从顶点A 移动到顶点1C 的过程中，下列结论中错误的有（）．A ．二面角11P A DB --的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．直线1AC 与平面1A DP 所成的角逐渐增大 C ．存在一个位置，使得1AC ⊥平面1A DPD ．存在一个位置，使得平面1//A DP 平面11B CD 二、填空题11．设i 为虚数单位，则复数2i1i+对应的复平面内的点Z 的坐标为___________. 12．已知0x <，10y -<<用不等号将x 、xy 、2xy 从小到大排列得____________ 13．设1F ，2F 为双曲线C ：222116x y a -=（0a >）的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点124PF PF -= 那么双曲线C 的离心率为______.14．函数f (x )的定义域为R ，f (-1)＝2，()f x '为f (x )的导函数，已知y =()f x '的图象如图所示，则f (x )>2x +4的解集为____．三、双空题 15．函数cos ()cos 2xf x x=的定义域为___________，极大值点的集合为___________.四、解答题16．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式，并写出单调区间；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.17．如图所示，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与正方形ABCD 所在平面互相垂直AF DE ∥ DE AD ⊥ 122AF AD DE ===.(1)求证：BF ∥平面CDE ； (2)求证：EF ⊥平面CDF ；(3)若点H 在线段DE 上，且1EH =，求异面直线AH 与BE 所成角的余弦值.18．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均时间，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%(0100)x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），()30,0<30=18002+90,30<<100x f x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩.而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x =30时，求该地上班族S 的人均通勤时间；(2)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(3)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为()1,1A ．(1)求C 的方程和离心率；(2)过点11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭与作直线l 交椭圆C 于点D 、E （不与点A 重合）．DAE ∠是否为定值?若是，求出该定值，若不是，求其取值范围．20．已知函数()2f x x =，()e e x xg x -=+(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求函数()g x 的单调区间； (3)证明：任意0x ≥，()()32f xg x <21．已知数列{}n a ()1,2,,2022n =⋅⋅⋅，122022,,,a a a ⋅⋅⋅为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合1,0,1,2,,2022i n i j A x x a n j =+⎧⎫==∑=⋅⋅⋅-⎨⎬⎩⎭，A 中元素的最大值记为M ，最小值记为N .(1)若{}n a 为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且3j =，写出M ，N 的值； (2)若3j =，求M 的最大值及N 最小值； (3)若6j =，求M 的最小值.参考答案与解析1．D2．C【分析】根据题意，得到1n n n a a b ++=，12nn n a a +=求得22a =，推出112n n a a +-=，进而可求出10a ，11a 从而可求出结果.【详解】因为n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根所以1n n n a a b ++= 12nn n a a += 又11a =，所以22a =；当2n ≥时112n n n a a --=，所以11112n n n n n na a a a a a ++--== 因此4102232a a =⋅=，5111232a a =⋅=所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D.【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型. 4．A【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】若父母均为单眼皮，则父母的基因一定为aa 和aa ，孩子就一定是单眼皮．若孩子为单眼皮，则父母的基因可能是Aa 和Aa ，即父母均为双眼皮故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件．故选：A 5．C【分析】根据焦半径公式可求点M 的横坐标，然后把横坐标代入抛物线方程即可求出点M 的纵坐标，从而可求出OM 的值.【详解】设()11,M x y ，因为2MF =，所以112x +=，即11x =又()11,M x y 在抛物线上，所以21144y x ==所以OM ==故选：C. 6．A【详解】将点2(,5)m 代入圆方程，得42524m +>．故点在圆外7．B【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，函数1y x=为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；对于B 选项，函数y x x =-为奇函数，当0x >时，2y x x x =-=-为减函数，故函数y x x =-在定义域内为减函数，故B 正确；对于C ，由于函数e ,e x x y y -==-均为增函数，故e e x x y -=-在定义域内为单调递增函数，故C 错误；对于D 选项，函数ln y x =-为非奇非偶函数，故错误. 故选：B 8．A【分析】根据平面向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意知1131()2222CA CD DA CD BD CD CD CB CD CB =+=+=+-=-所以23CA CD CB =-，即23CA m n =- 故选：A. 9．C【分析】由题意知两个函数互为反函数，求出()y f x =的解析式，代值化简即可. 【详解】因为函数()y f x =的图像与lg y x =的图像关于直线y x =对称所以函数()y f x =与函数lg y x =互为反函数所以()10x f x =，所以()()lg3lg4lg3lg410103412f f ⋅=⨯=⨯=故选：C. 10．B【分析】点P 由A 点移动到1AC 中点的过程中，二面角11P A D B --逐渐由π2减小至0，再由对称性即可判断A 选项；找特殊点，令点P 分别与点A 和点1C 重合，找出相应位置的线面角，并比较二者大小即可判断B 选项；当点P 为平面1A BD 与直线1AC 的交点时，根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理可判断C 、D 选项．【详解】解：对于A ，当P 与A 重合时，二面角11A A D B --为π2，点P 由A 点移动到1AC 中点的过程中，二面角11P A D B --逐渐减小至0由对称性可知，当P 由1AC 中点移动到点1C 的过程中，二面角11P A D B --由0逐渐增大至π2，即A 正确；对于B ，当点P 与A 重合时，11C AD ∠即为所求，此时有11111tan C D C AD AD ∠=当P 与1C 重合时，连接1AD ，1A D 相交于点M ，则1AC M ∠即为所求，此时有11tan AM AC M C M ∠==所以111AC M C AD ∠<∠，即直线1AC 与平面1A DP 所成的角并不是逐渐增大，所以B 错误；11．()1,1【分析】将复数运用除法运算法则进行化简，进而得出结果. 【详解】解：复数()()()i 1i ii i i i 221111z -===+++-则在复平面内的对应点Z 的坐标为()1,1. 故答案为()1,1. 12．x ＜xy 2＜xy【分析】根据不等式的基本性质，分析三个式子的大小，可得答案．【详解】解：∵x ＜0，﹣1＜y ＜0 ∴0＜y 2＜1，xy ＞0x ＜xy 2＜0即x ＜xy 2＜xy 故答案为：x ＜xy 2＜xy【点睛】本题考查实数大小的比较，考查不等式的性质，属于基础题.13【分析】根据双曲线定义知2a =，再由双曲线参数关系求得c =. 【详解】由题意1224PF PF a -==，则2a =又222+=a b c ，则c =所以双曲线C 的离心率为ce a==14．(-1，+∞)【分析】令g (x )=f (x )-2x -4，利用导数探讨g (x )在R 上的单调性，再将f (x )>2x +4转化为()(1)g x g >-并借助单调性即可得解.【详解】观察图象知，(),2x f x '∀∈>R令g (x )=f (x )-2x -4，则()()20g x f x ''=->，即g (x )在R 上单调递增而g (-1)=f (-1)-2⨯(-1)-4=0，即()24()(1)f x x g x g >+⇔>-，于是得1x >- 所以不等式f (x )>2x +4的解集为(-1，+∞). 故答案为：(-1，+∞) 15． {|,}24k x R x k Z ππ∈≠+∈ {|(21),}x x k k Z π=-∈ 【详解】依题意得cos20x ≠，即2,2x k k Z ππ≠+∈，解得,24k x k Z ππ≠+∈16．(1)()sin 2f x x =，单调增区间为,,44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调减区间为3,,44k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； (2)32【分析】（1）若选①②，先由周期求得2ω=，再利用奇函数求出0ϕ=即可；若选①③，先由周期求得2ω= 再利用对称轴为4x π=求出0ϕ=即可；若选②③，举例说明解析式不唯一，不合题意；（2）先由()f x 求出()g x 并化简，求出2,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再利用单调性求得最大值即可. (1)若选①②，则2T ππω==，解得2ω=，又()()f x f x -=-，即sin(2)sin(2)x φx φ-+=-+，解得,k k ϕπ=∈Z又2πϕ<，故0ϕ=，则()sin 2f x x =，令222,22k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，解得,44k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ；令3222,22k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，解得3,44k x k k ππππ+≤≤+∈Z 故单调增区间为,,44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调减区间为3,,44k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；若选①③，则2T ππω==，解得2ω=，又一条对称轴为4x π=，可得2,42k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，解得,k k ϕπ=∈Z又2πϕ<，故0ϕ=，则()sin 2f x x =，令222,22k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，解得,44k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ；令3222,22k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，解得3,44k x k k ππππ+≤≤+∈Z 故单调增区间为,,44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调减区间为3,,44k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；若选②③，()sin 2f x x =和()sin6f x x =均是奇函数，且sin(2)1,sin(6)144ππ⨯=⨯=-，可得均满足一条对称轴为4x π=，故()f x 解析式不唯一，不合题意；(2)由（1）知()sin 2f x x =，则()()sin 2sin(2)63g x f x f x x x ππ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭1sin 2sin 22)26x x x x π=+=-由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得2,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当263x ππ-=时，()f x 3sin 32π=.17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）首先根据面面平行的判定证明平面ABF ∥平面CDE ，再根据面面平行的性质即可得到答案. （2）首先取ED 的中点G ，连接FG ，易证EF FD ⊥，CD EF ⊥再利用线面垂直的判定即可证明EF ⊥平面CDF .（3）首先以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.（3）以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系()2,0,0A ()0,0,3H ()2,2,0B ()0,0,4E()2,0,3AH =- ()2,2,4BE =--设异面直线AH 与BE 所成角为θ，则cos 4AH BEAH BE θ⋅===⋅.所以异面直线AH 与BE . 18．(1)37（分钟） (2)45100x ＜＜(3)()2400.1,030=0.020.13+58,30100x x g x x x x -≤-⎧⎨⎩＜＜＜，单调性见解析.【分析】（1）根据条件求S 的人均通勤时间即可；（2）根据题意，解不等式()40f x ＞即可；（3）对x 分类讨论，按照加权的方式算出()g x ，再根据()g x 解析式分析其单调性.【详解】（1）当x =30 时，有()30f x = ，公交人群占S 的比例为130%70%0.7-==所以S 的人均通勤时间为300.3400.737⨯+⨯= （分钟）；（2）解不等式()40f x ＞，即180029040x x+-＞ ()30100x ＜＜化简得()()20450,20x x x --∴＞＜（舍）或者45x ＞所以当45100x ＜＜时，公交群体的通勤时间小于自驾群体的通勤时间；（3）公交群体占S 的比例为1%x - ，当030x ≤＜时，其平均通勤时间为()30%401%400.1x x x ⨯+⨯-=- ；当30x ＞时，其平均通勤时间为()21800290%401%0.020.1358x x x x x x ⎛⎫+-+-=-+ ⎪⎝⎭； ()2400.1,030=0.020.13+58,30100x x g x x x x -≤∴-⎧⎨⎩＜＜＜当030x ≤＜时， ()g x 单调递减，当30100x ＜＜时，()g x 为开口向上的二次函数，对称轴013304x =＜，故单调递增；综上，（1）人均通勤时间为37（分钟）；（2）当45100x ＜＜时，公交群体的通勤时间小于自驾群体的通勤时间；（3）()2400.1,030=0.020.13+58,30100x x g x x x x -≤-⎧⎨⎩＜＜＜，在(]0,30x ∈ 单调递减，在()30,100x ∈ 单调递增.19．(1)222133x y += (2)DAE ∠是为定值，该定值为π2【分析】（1）根据题目条件，结合公式222,e=c a b c a=+，即可求得本题答案；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时，求出点,D E 的坐标，计算1AD AE k k ⋅=-；斜率存在时，设直线l 的方程为11:()33l y k x =--，将直线方程与椭圆方程联立消y ，列出韦达定理，计算出1AD AE k k ⋅=-，由此即可得到本题答案.【详解】（1）因为椭圆的长轴长为2a =，得a =22213x y b+=代入点()1,1A ，得21113b +=，所以232b =，所以c == 所以椭圆的方程为222133x y +=，离心率e=c a =；（2）当直线l 垂直于x 轴时1:3l x =，代入椭圆方程222133x y +=解得11((33D E所以11331111133AD AE k k -⋅=⨯=---，即π2DAE ∠=；若DAE ∠为定值，则必为π2当直线l 的斜率存在时，设直线11:()33l y k x =--，1122(,),(,)D x y E x y 联立2211()332133y k x x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2222442425(12)()033999k x k k x k k +-+++-= 所以2212122244242533999,1212k k k k x x x x k k++-+=⋅=++ 所以121212(1)(1)()1x x x x x x --=⋅-++222222222425448(2)1299933912121212k k k k k k k k k k k+-+--+=++=++++ 12121414(1)(1)()()3333y y k x k x ⎡⎤⎡⎤--=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222121211(4)()(4)39k x x k k x x k =⋅-++++ 222222222141(2425)(4)()(816)(12)999121212k k k k k k k k k k k k k+-+++++=-++++ 228(2)912k k k---=+ 所以221221228(2)9(1)(1)1218(1)(1)(2)912AD AEk k y y k k k x x k k k -----+⋅===-----+，即π2DAE ∠=综上所述，DAE ∠的大小为定值π2. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20．(1)3y =(2)单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+(3)证明见解析【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率()1f '，结合()13f =可得切线方程；（2）求导后，根据()g x '的正负即可得到()g x 的单调区间；（3）利用导数可求得()(),f x g x 的单调性，从而求得()()max min ,f x g x ，根据最值不同时取得可得到结论.【详解】（1）()2f x x'= ()10f '∴= 又()13f = f x 在点()()1,1f 处的切线方程为3y =.（2）()2e 1e e e x x x xg x --'=-= ∴当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+.（3）由（2）得：当0x ≥时 ()()02g x g ≥= ()332g x ∴≥； ()3221f x x x⎫'=-⎪⎭∴当()0,1x ∈时0f x ；当()1,x ∈+∞时()0f x '<；f x 在[)0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()13f x f ∴≤=；又()min g x 与()max f x 不同时取得，∴当0x ≥时()()32f x g x <. 21．(1)6063M =，9N =(2)N 最小值为6，M 的最大值为6063(3)6069【分析】（1）根据,M N 的定义即可求解（2）根据31max n i i M a +=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，31min ,0,1,2,,2019n i i N a n +=⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∑即可求解（3）根据任意相邻的6项的和，求解21221222324n n n n n n T a a a a a a -++++=+++++，即可.【详解】（1）当3j =时，A 中的元素为{}n a 中的三项相加，故最大元素2021202220206063M =++=，最小元素1359N =++=.（2）N 最小值为6，M 的最大值6063.证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列{}n a若3j =，则A 中的每一个元素为31231n i n n n i x a a a a ++++===++∑ ，0,1,2,,2019n =⋅⋅⋅由题意31max n i i M a +=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ，0,1,2,,2019n =⋅⋅⋅ 那么，对于任意的{}n a ，总有2020202120226063M =++=.同理，由题意31min ,0,1,2,,2019n i i N a n +=⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∑ 那么，对于任意的{}n a ，总有1236N =++=当n a n =()1,2,,2022n =⋅⋅⋅时，满足：N=6，6063M =.（3）M 的最小值为6069.由于6j =，对于1，2，…，2021，2022的一个排列{}n aA 中的每一个元素为61n i i x a+==∑ ，0,1,2,,2016n =⋅⋅⋅由题意61max n i i M a +=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ，0,1,2,,2016n =⋅⋅⋅()()()()()()()1220232023120232T n n n n n n =+++++-+--+--202336069=⨯=，1,2,,1009n =⋅⋅⋅若22122232425n n n n n n T a a a a a a +++++=+++++，则()()()()()()()12202312023220233T n n n n n n =+++++--+--+--202236066=⨯=，()1,2,,1008n =⋅⋅⋅所以6069T =，即对这样的数列{}n a ，6069M =又6069M ≥，所以M 的最小值为6069.【点睛】本题主要考查等差数列求和以及集合的表示，元素与集合的关系以及数学的化归思想。

2024年高考数学仿真模拟(一)含解析(题型同九省联考,共 19 个题)

2024年高考仿真模拟数试题（一）试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（） A ．150B ．120C ．75D ．68A ．672B ．864C ．936D ．1056说法正确的是（）（）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．10．已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）11．已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2024年高考仿真模拟数试题（一）带答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （） A ．4 B ．5C ．6D ．7A ．150B ．120C ．75D ．68此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ，又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选D.5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式． A ．672 B ．864 C ．936 D ．1056A ．P 的轨迹为圆B ．P 到原点最短距离为1C ．P 点轨迹是一个菱形D ．点P 的轨迹所围成的图形面积为4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=答案 ABC解析对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+ ，解得()01f =或()02f =，若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．O O 当外接球的球心O在线段12 =OO h四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）。

普通高等学校招生全国统一考试模拟(北京卷)数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，则有（） {1,2,3,4},{0,1,2,3}M N ==A ． B ．C ．D ．M N ⊆N M ⊆{1,2,3}M N = {1,2,3}M N = 【答案】C【解析】根据集合的基本运算性质可得答案.【详解】集合，则， {1,2,3,4},{0,1,2,3}M N =={1,2,3}M N = 故选：C .【点睛】本题考查了集合的基本运算、集合间的基本关系，属于基础题. 2．复数（其中为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于z =i z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】利用复数的除法法则将复数化为一般形式，进而可求得复数的共轭复数，由此可得出z z 复数的共轭复数在复平面对应的点所在的象限.z 【详解】，则，12z ====- 12z =-因此，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. z 故选：C.【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，考查了复数的除法法则和共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.3．设等比数列的前6项和为6，且，，则（） {}n a 1a a =22a a ==a A ．B ．C ．D ．22117421521【答案】A【分析】先求得等比数列的公比，然后根据等比数列前项和公式列方程，解方程求得的值.{}n a n a 【详解】由题意可得公比，则，即. 212a q a ==()661263612a S a -===-221a =故选：A【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.n 4．已知，向量与的夹角为，则（） ||||1a b ==a b 60︒|34|a b -= A ．B ．C ．D 513【答案】D【分析】利用向量的数量积去求的值.|34|a b -【详解】|34|a b -===故选：D5．设是定义在上的增函数，，那么必为（）()f x R ()()()F x f x f x =--()F x A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数【答案】A【分析】可求得，根据奇偶性的定义可知为奇函数；设，则()()F x F x -=-()F x 21x x >21x x -<-，根据单调性可证得，根据单调性定义可知为增函数，从而得到结果. ()f x ()()210F x F x ->()F x 【详解】 ()()()()F x f x f x F x -=--=- 为定义在上的奇函数()F x ∴R 设，则21x x >()()()()()()212211F x F x f x f x f x f x -=---+-21x x > 21x x ∴-<-为定义在的增函数，()f x R ()()21f x f x ∴>()()12f x f x ->- ()()()()()()2121120F x F x f x f x f x f x ∴-=-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦为定义在上的增函数()F x ∴R 综上所述：必为增函数且为奇函数 ()F x 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用定义判断函数的奇偶性和单调性，考查学生对于函数性质定义的掌握，属于基础题.6．已知焦点为F 的抛物线的准线是直线l ，点P 为抛物线C 上一点，且垂足为2:4C x y =PQ l ⊥Q ，点则的最小值为（） ()2,0G PQ PG +A B ．2C D ．【答案】A【分析】连接PF ，由抛物线的定义可知PF =PQ ，然后结合图形可得答案【详解】连接PF ，由抛物线的定义可知PF =PQ ，故选A.7．函数的图象大致是（） ()()2sin 1x xf x x xππ=-≤≤+A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数奇偶性排除，由排除，由此得到结果.,A D 02f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭C 【详解】， ()()()()22sin sin 11x x x xf x f x x x ---===+-+ 为偶函数，图象关于轴对称，可排除；()f x \y ,A D ，可排除.22sin22202414f ππππππ⎛⎫==≠ ⎪+⎝⎭+C 故选：.B 【点睛】本题考查函数图象的识别问题，解决此类问题通常采用排除法，排除依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等，属于常考题型.8．已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>75C （） A ．B ．C ．D ．5775【答案】D【分析】由双曲线的性质求解【详解】双曲线的渐近线为，2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>a y x b =±而双曲线的离心率为，所以，即，得， C7575c a =2224925a b a +=a b =故选：D9．已知函数则“”是“在上单调递减”的（） 2232,1()22,1x ax x f x ax x x ⎧+-≤⎪=⎨⎪+>⎩0a ≤()f x R A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求得在上单调递减时的取值范围，从而判断出充分、必要条件. ()f x R a 【详解】若在上单调递减， 2232,1()22,1x ax x f x ax x x ⎧+-≤⎪=⎨⎪+>⎩R 则，解得.14011432212aa a a a ⎧-≥⎪⎪<⎪⎪⎨-≤⎪⎪⎪+-≥+⎪⎩4a ≤-所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件. 0a ≤()f x R 故选：B10．设集合，则（） (){,|0,2,2}A x y x y ax y x ay =-≥+≥-≤A ．当时， B ．对任意实数， 1a =()1,1A ∉a ()1,1A ∈C ．当时， D ．对任意实数，a<0()1,1A ∉a ()1,1A ∉【答案】C【分析】依据选项将点代入验证即可.()1,1【详解】当时，，1a =(){,|0,2,2}A x y x y x y x y =-≥+≥-≤将代入A 得：成立，故，即A 错误；()1,1110112112-≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩()1,1A ∈若时，此时将代入不成立，即B 错误； 0a =()1,112ax y +=≥当时，此时将代入不成立，即C 正确；a<0()1,112ax y a +=+≥若时，此时将代入A 得成立，即D 错误；2a =()1,1110212122-≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩故选：C.二、填空题11．若，则 ________52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++12345a a a a a ++++=【答案】1-【分析】，求得，令，求得，即可得解. 0x =0a 1x =012345a a a a a a +++++【详解】解：令，则， 0x =01a =令，则， 1x =0123450a a a a a a +++++=所以 123451a a a a a ++++=-故答案为：. 1-12．下列命题中：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定过原点； ③若奇函数，则实数； 2()21x f x a =-+1a =④图象过原点的奇函数必是单调函数； ⑤函数的零点个数为2； 22x y x =-⑥互为反函数的图象关于直线对称. y x =上述命题中所有正确的命题序号是________. 【答案】③⑥【详解】试题分析：可举反例来说明其错误；当奇函数在处无定义的时候，图象21y x =+0x =就不通过原点，比如；奇函数在处有意义，所以1y x=2()21x f x a =-+0x =(0)10,1f a a =-=∴=；若图象过原点的奇函数在单调时，其在定义域内必是单调函数，而当过原点的奇函数在()0,+∞不单调时，它在定义域内就不是单调函数，比如；函数的零点即函()0,+∞3()f x x x =-22x y x =-数与的交点，作出图象可以发现它们在轴左侧有一个交点，右侧有两个2x y =2y x =y ()2,4,(4,16)交点，所以函数的零点个数为；结合反函数的定义可知原函数的反函数互为逆运算，22x y x =-3所以原函数图象若过点，则点必定在反函数的图象上，即它们的图象关于直线()00,x y ()00,y x y x =对称.【解析】函数奇偶性的图象与性质，函数与方程及互为反函数的函数图象之间的关系.【方法点晴】多选题往往在一套试卷中对要考查的知识点起着补充作用，内容比较零碎，需要对每个命题都要做出准确的判断方能得分，正是这一要求导致其得分率比较低.在判断的过程中思维一定要考虑全面，从正、反两个方面进行考虑，特别是从正面不好直接判断时，可以从命题的反面看能否找出反例进行排除，比如在本题中是用反例来进行否定，则是从正面直接判断.13．若函数的图象关于点对称，且关于直线对称，则______（写出满足()f x 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭1x =()f x =条件的一个函数即可）.【答案】，()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】由于三角函数既有中心对称又有轴对称，故选三角函数即可得解. 【详解】易知三角函数的图像既有中心对称点，又有对称轴，由满足此条件，()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：.()sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14．三棱锥中，是边长为的正三角形，，若该三棱A BCD -ABC 24,BD CD BD AB ==⊥锥的每个顶点均在球的表面上，则球的体积是________ O O【分析】根据球的截面圆外心与球心连线垂直于截面所在的平面，分别寻找、的外接ABC ABD 圆圆心，进一步找到分别垂直于这两个截面的垂线，其交点即为外接球球心. 【详解】如图所示，在中，，所以，所以,又，得BCD4,2BD CD BC ===222BD BC CD +=BD BC ⊥BD BA ⊥平面，BD ⊥ABC 设的中点分别为，连接，因为，所以平面，,AB AD ,E F ,CE EF FE BD ∥EF ⊥ABC 由平面，得，由是边长为的正三角形，所以，所以BD ⊥ABC BD CE ⊥ABC 2CE AB ⊥CE ⊥平面，过作平面，则，ABD F OF ⊥ABD OF CE ∥设的中心为，过作，交于点，则平面， ABC G G GO EF ∥OF O OG ⊥ABC 所以点即为三棱锥外接球的球心，O A BCD -在中，，所以Rt ABD 4,2BD AB ==AD==在中，Rt ODFR =====所以三棱锥的体积为.A BCD -334433V R ππ===.三、双空题15．已知是角的终边上一点，则______，角的最小正值是______. 55sin ,cos 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭αcos α=α【答案】125π3【解析】根据三角函数的定义，求得的值，进而确定角的最小正值.cos αα【详解】由于是角的终边上一点，所以.55sin ,cos 66Pππ⎛⎫⎪⎝⎭αcos α=5π1sin62==由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以5π15πsin0,cos 0626=>=<P απ2π3k α=-，当时，取得最小正值为. 1k =α5π3故答案为：（1）；（2）125π3【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.四、解答题16．已知函数.()2sin 22cos 16f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调增区间；()f x (2)在中，分别是角的对边，且，求的面积. ABC ,,a b c ,,A B C ()11,2,2a b c f A =+==ABC 【答案】(1)(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【分析】（1）利用倍角公式及两角和与差正弦化简化为，利用整体法可()f x ()sin y A x B ωϕ=++求函数的单调增区间. （2）先根据，求出角A ,再根据一角三边关系，利用余弦定理求，最后代入面积公()12f A =1bc =式计算即可.【详解】（1） ()21sin 22cos 12cos 2cos 6π22f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭， 1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，其中，解得，.πππ2π22π262k x k -≤+≤+k ∈Z ππππ36k x k -≤≤+k ∈Z ∴函数的单调递增区间是，其中.()f x πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2）.()11,sin 2262πf A A ⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭ 又. ππ13π0π,2666A A <<∴<+<，故.π5π266A ∴+=π3A =在中，， ABC π1,2,3a b c A =+==，即，,()22212cos 3b c bc A b c bc =+-=+-∴143bc =-1bc =∴. 1sin 2ABC S bc A ==△∴17．如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为AB ，PD P ABCD -PD ⊥的中点．(1)求证：EF //平面PBC ；(2)若的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为AD =E FC D --45︒已知．求PD 的长．条件①：；条件②：． DE PC ⊥PB PC =【答案】(1)证明见解析 (2)12.【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，进而由线线平行得出线面平行； MBEF （2）分别选择条件，设PD 边长，建系应用二面角余弦值求参数即得.【详解】（1）取的中点M ，连接， PC ,MF MB ∵M ，F 分别为的中点， ,PC PD ∴是的中位线，MF PCD ∴且，//MF CD 12MF CD =又E 为的中点，AB ∴且，//BE CD 12BE CD =∴且， //MF BE MF BE =∴四边形是平行四边形，MBEF ∴平面平面， ,EF MB EF ⊄//,PBC MB ⊂PBC ∴平面.//EF PBC （2）选择条件①：,DE PC ⊥平面ABCD ，,平面PCD ，平面PCD, 平面PCD,PD ⊥DE PD ⊥PC ⊂PD ⊂DE ⊥ ,,底面ABCD 为菱形，E 为AB 的中点．,是等边三角形， DE CD ∴⊥DE AB ⊥∴DA DB ∴=ABD △以为z 轴，为y 轴,为x 轴，建立空间直角坐标系， DP DC DE设,则,2PD t =()()()()0,0,0,0,,0,0,,3,0,0D C F t E 设平面法向量为,FCD ()1,0,0n =r设平面法向量为, FEC (),,m x y z = ,,()3,0,EF t =-()3,EC =-, 3030x tz x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令则,y =6m t ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二面角的大小为E FC D --45︒∴,cos45°=23678,6,212t t t+=∴==12PD ∴=选择条件②：．PB PC =平面ABCD ，,,取的中点O ，,PD ⊥BC PD ⊥PB PC = BC PO BC ∴⊥平面PDO ，平面PDO, 平面PDO, ,, PD ⊂PO ⊂BC ⊥,//BC DO AD BC ∴⊥ DA DO ∴⊥底面ABCD 为菱形，O 为BC 的中点．,是等边三角形，DC DB ∴=CBD△以为z 轴，以为x 轴，以为y 轴DP DA DO 设,则,2PD t =()()()30,0,0,,0,0,,,02D C F t E ⎫⎪⎪⎭设平面法向量为,FCD ()1111,,n x y z = ,, ()0,0,DF t =()DC =, 111030tz y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令则, 1111,0,y x z ===)1n = 设平面的法向量为,FEC ()1222,,m x y z = ,, 3,2EF t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭3,02EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 22222302302x y tz y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令则, 2223,y x z ===m ⎛= ⎝ 二面角的大小为E FC D --45︒∴，, cos45°=24328496,6,212t t t+=∴==12PD ∴=18．2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：班号 1 2 3 4人数 30 40 20 10该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立. (1)求各班参加竞赛的人数；(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望；X X (3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同13学获得奖品的概率.【答案】(1)3,4,2,1(2)分布列见解析，2.8(3)217729【分析】（1）根据分层抽样计算可得；（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；（3）计算1班每位同学获奖的概率，然后根据二项分布求解即可.【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为， 110故班分别抽取（人），（人），（人），（人）. 14-130310⨯=140410⨯=120210⨯=110110⨯=（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4，X , 1373410C C 71(1)C 21030P X ====, 2273410C C 2133(2)C 21010P X ⨯====, 3173410C C 3531(3)C 2102P X ⨯====, 4073410C C 351(4)C 2106P X ====所以的分布列为：X X 12 3 4 P 130 310 12 16（3）由题意，1班每位同学获奖的概率为131114()1234 2.83010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯==, 343444121811C C 33381819P ⎛⎫⎛⎫=⋅+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设1班获奖人数为，则， Y 1(3,9Y B 所以至少1人获奖的概率为. 0033182171(0)1C ()(99729P Y -==-=19．已知函数.()x f x e x =-（1）求曲线在点处的切线方程；()y f x =(1,(1))f （2）设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围.()()g x f x m =-[]1,1x ∀∈-()0g x ≤m 【答案】（1）；（2）.(1)0e x y --=[)1,e -+∞【分析】（1）求出函数的导函数，再分别求出，根据倒数的几何意义，即()f x ¢()()11,f f '()1f '为曲线在点处的切线的斜率，从而可得答案；()y f x =(1,(1))f （2）由对，恒成立，即恒成立，求出函数的单调[]1,1x ∀∈-()0g x ≤[]max (),1,1m f x x ≥∈-()y f x =区间，从而求得函数在上的最大值，即可得出答案.()y f x =[]1,1x ∈-【详解】解：（1）因为，所以.()x f x e x =-()1x f x e '=-所以又() 1.1f e '=-(),11f e =-所以曲线在点处的切线方程为()y f x =(1,(1))f (1)(1)(1),y e e x --=--即.(1)0e x y --=（2）由题意知：[]max (),1,1m f x x ≥∈-，.由，解得，()e x f x x =- ()e 1x f x ∴=-'()e 10x f x '=-=0x =故当时，，在上单调递减；10x -≤<()0f x ¢<()f x [)1,0-当时，，在上单调递增.01x <≤()0f x ¢>()f x (]0,1所以.又 ()()min 01f x f ==1(1)1,(1)1,f f e e -=+=-1(1)(1)20f f e e--=-->max ()1,1f x e m e ∴=-∴≥-所以实数的取值范围为.m [)1,e -+∞20．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶2222:10)x y C a b a b+=>>（点，且的面积为1．OAB ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点C ，直线与轴交于点MB x AM y D ，求证：四边形的面积为定值．ABCD 【答案】（1）．（2）见解析 2214x y +=【分析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，的面积，构建方程组，求得ab ，代入椭圆方程得OAB ∆答案；（2）设有，分别表示直线和的方程，从而表示与0(()0)M m n m n >>，，2244m n +=BM AM c x D y ，可得与长度关系式，进而可以表示，化简即证..||AC ||BD ABCD S 【详解】（1）∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>2a b =∵的面积为1，∴，， OAB ∆112ab =2ab =解得，．2a =1b =∴椭圆C 的方程为． 2214x y +=（2）由（1）可知，， (20)A -，1(0)B -，设，则，即． 0(()0)M m n m n >>，，2214m n +=2244m n +=则直线的方程为． BM 11n y x m+=-令，得，即． 0y =1c m x n =+||21m AC n =++同理，直线的方程为， AM (2)2n y x m =++令，得，即． 0x =22D n y m =+2||12n BD m =++∴11212222||||212212212ABCD m n m n m n S AC BD n m n m ++++=⨯⨯=⨯+⨯+=⋅⋅++++ ()222221144448222222m n m n mn m n mn m n mn m n +++++++=⋅=⋅++++++因为且，2244m n +=00m n >>，则原式． ()4221448812222222mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++=⋅=⋅=++++++∴四边形的面积为定值2．ABCD 【点睛】本题考查椭圆问题的综合问题，涉及求由abc 表示椭圆的标准方程已经平面图形的面积为定值问题，属于难题.21．已知数列的前n 项和满足，且，数列满足{}n a n A ()*1112n n A A n n N n +-=+∈11a ={}n b ，，其前9项和为36.()*2120n n n b b b n N ++-+=∈32b =（1）当n 为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将放在前面一项的位n a n b n b n a 置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求该数列的前1a 1b 2b 2a 3a 3b 4b 4a 5a 5b n 项和； n S （2）设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数l 、，使得1n n nc a b =+()2k k ≥()m k l m <<k c 、、成等差数列？若存在，求出l 、m （用k 表示），若不存在，请说明理由.l c m c 【答案】（1），；（2）存在；，. 222,243,4141,414n n n kn S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩*k ∈N 21l k =-2452m k k =-+【分析】（1）根据通项公式与求和公式的关系求出，利用等差数列基本量运算求得n a n =，利用分类讨论思想求出结果．1n b n =-（2）由（1）可知：，若对于任意给定的正整数存在正整数，， 121n c n =-(2)k k …l ()m k l m <<使得，，成等差数列，利用分类讨论思想和整除问题，结合反证法可得结果．k c l c m c 【详解】（1）因为， 1112n n A A n n +-=+于是数列是首项为1，公差为的等差数列， {}n A n 所以， 1122n A n n =+则：， (1)2n n n A +=当时，，2n …1n n n a A A n -=-=又因为，11a =所以，n a n =又因为，2120n n n b b b ++-+=于是数列是等差数列，{}n b 设的前项和为，{}n b n n B 由于，95936B b ==则：，54b =由于：，32b =则：，5322d b b =-=解得：．1d =所以：；2(3)1n b n n =+-=-当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；n n a n b 当为偶数时，将放在前面一项的位置上，n n b n a 可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，1a 1b 2b 2a 3a 3b 4b 4a 5a 5b ⋯则：数列的前项和． {}n a n (1)2n n n B -=当时，． 2n k =22(1)(1)22n k k k k k k k S S A B k +-==+=+=当时，43n k =-．2432122(21)(23)(1)463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+当时，；41n k =-241212(21)(21)42n k k k S S A B k k k k k k --==+=-+-=-进一步整理得：． 222(2)463(23)42(41)n k n k k k n k S k k n k ⎧=⎪-+=-⎪=⎨-=-⎪⎪⎩（2）由（1）可知：， 121n c n =-若对于任意给定的正整数存在正整数，，(2)k k …l ()m k l m <<使得，，成等差数列．k c l c m c 则：，2l m k c c c =+即：， 211212121l k m =+---解得：， 222(21)1421421kl k l k m k k l k l +--==-+----即：． 2(21)1421k m k k l -=+---则对于任意的正整数能整除，且．(2)421k k k l --…2(21)k -4210k l -->由于当时，中存在多个质数．2k …21k -所以：只能取1和或．421k l --21k -2(21)k -若时，则，．4211k l --=21l k =-2452m k k =-+于是，，2473(43)(1)0m l k k k k -=-+=-->符合．k l m <<若时，出现矛盾，42121k l k --=-k l =则舍去．若，2421(21)k l k --=-则：，2m k +=于是，0m …出现矛盾，故舍去．综上所述：当时，存在正整数，，2k …21l k =-2452m k k =-+满足，使得，，成等差数列．k l m <<k c l c m c 【点睛】本题考查的知识要点：通项公式与求和公式的关系，等差数列基本量运算，整除问题，以及分类讨论思想和反证法的应用，同时考查了运算求解能力与转化思想，属于综合题．。

2020年北京高考数学模拟试题及答案

2020年北京高考数学模拟试题一一、选择题（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅= （）（A ）3（B ）5（C ）3（D ）5（2）已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = （）（A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞）（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）（A ）12y x = （B ）y =2x -（C ）12log y x =（D ）1y x=（4）y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2](5) 在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16(6) 若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．23(7) 已知四棱锥P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．25C ．6D ．8(8) 已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )单调递增，f (1)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0＜x ＜1或x ＞2}B ．{x |x ＜0或x ＞2}C ．{x |x ＜0或x ＞3}D ．{x |x ＜－1或x ＞1}(9) “k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（10）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升二、填空题(11) 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．（12）已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 共线，则m 的值为________．（13）O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为__________．（14）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =__________．(15) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（16）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(Ⅰ)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (Ⅱ)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．（17）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？（18）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300√ × √ × 85√ × × × 98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？商品顾客人数（19）设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (Ⅰ)求椭圆的方程．(Ⅱ)设直线l ：y ＝kx (k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ，若|A Q ||P Q |＝524sin ∠AO Q (O 为原点)，求k 的值．（20）已知函数f (x )＝e x －ax 2.(Ⅰ)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (Ⅱ)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .（21）设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (Ⅰ)求f 3(2)，f 4(2)的值；(Ⅱ)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 答案 D C A C B 题号 6 7 8 9 10 答案 CCAAB二、填空题11、y ＝±22x 12、－12 13、23 14、23π 15、(－1,1) 三、解答题16、解：(1)证明：由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，又PF ∩EF ＝F ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)如图，作PH ⊥EF ，垂足为H . 由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF ―→，HP 的方向分别为y 轴，z 轴正方向，|BF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz . 由(1)可得，DE ⊥PE . 又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF . 所以PH ＝32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32，D ⎝⎛⎭⎫－1，－32，0， DP ―→＝⎝⎛⎭⎫1，32，32，HP ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32.又HP ―→为平面ABFD 的法向量，设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝|HP ―→·DP ―→||HP ―→||DP ―→|＝343＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.17、（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.18、（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.19、解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .①由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ，又|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6.② 联立①②解得a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1＞y 2＞0，故|P Q |sin ∠AO Q ＝y 1－y 2. 又因为|A Q |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，所以|A Q |＝2y 2.由|A Q ||P Q |＝524sin ∠AO Q ，可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4 . 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0消去x ，可得y 2＝2k k ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128.所以k 的值为12或1128.20、解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x －1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x －1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x ＝－(x －1)2e －x . 当x ≠1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x .f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点． (ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点；(ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x .当x ∈(0,2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0. 所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)＞0，即a ＜e 24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e 24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)＜0，即a ＞e 24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有一个零点．由(1)知，当x ＞0时，ex＞x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3(e 2a )2＞1－16a 3(2a )4＝1－1a ＞0，故h (x )在(2,4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e 24.21、解：(1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22，因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22.。

北京市2023届高三数学模拟试题

一、单选题二、多选题1.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．2.的内角，所对的边分别为，且，则的值为（）A．B．C．D．3. 在函数中，最小正周期为的函数是（）A．B．C．D．4. 如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（）A．B．C．D．5. 已知函数，若，且，则（）A．B．C．D．6.若向量，且，则的值为（）A．B ．2C．D．7. 定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为A．B．C．D．8.设为两个不同的平面，n 、m 为两条不同的直线，且n ，m ，有如下的两个命题：①若∥，则n ∥m ；②若n ⊥m ，则⊥．那么A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题9.已知，，则（）A．B．C．D．10.已知双曲线的一条渐近线为，C 的左右焦点分别为，，直线，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C的方程为B ．若直线l与双曲线无交点，则北京市2023届高三数学模拟试题北京市2023届高三数学模拟试题三、填空题四、解答题C ．设，直线l 与双曲线C 交于P ，Q 两点（异于点A ），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，则为定值D ．若动直线n 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ，N ，则（O 为坐标原点）的面积为定值11. 已知直线l：与圆C：相交于A ，B 两点，则（）A ．直线l恒过点B ．当时，圆C 关于直线l 对称C．的取值范围为D ．若，则12. 下列选项中，与的值相等的是（）A．B．C．D．13. 已知，则_______．14.圆的半径为__________.15. 已知某生产线生产的某种零件的合格率是95%，该零件是合格品，则每件可获利10元，该零件不是合格品，则每件亏损15元．若某销售商销㫿该零件10000件，则该销售商获利的期望为______万元．16.已知圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2），是曲线上的两个动点，且，记中点为，，证明：为定值.17. 已知中，角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)若，的面积为，求.18.已知.（1）判断在上的单调性；（2）判断函数在上零点的个数.19. 当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图（1）所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让所有的人都能快速离开，该兴趣小组称这种方法为“长队法”.为了检验他们的想法，该兴趣小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验.“传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图（2）为“长队法”顾客等待时间柱状图.(1)根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；(2)为进一步分析“长队法”的可行性，对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查，发现等待时间为[8，10）的顾客中有5人满意，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满意，在这6人中随机选2人发放安慰奖，求获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）顾客的概率.20. 由整数构成的等差数列满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的通项公式为，将数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时、放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列，，，，，，，，，……，求数列的前项和.21. 为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，(1)现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：健走先锋健走之星男员工2416女员工1614能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？(2)根据（1）中的表格，将样本的频率视为概率，现从该单位职工中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中是获得“女员工健走之星”的人数，求X的分布列与数学期望.（其中）0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635。

北京市第二中学高三高考模拟数学试题(解析版)

一、单项选择题1．设集合{}{12},2,[0,2],xA x xB y y x =-<==∈那么A B =〔〕A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,4【答案】C【分析】先求出集合A ，B ，再求其交集【详解】解：因为|1|213x x -<⇒-<<，所以(1,3)A =-，因为{}2,[0,2]xB y y x ==∈ 所以[1,4]B =.所以[1,3)A B =.应选：C.2．以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是〔〕 A ．()x f x x e =+ B ．1()f x x x=+C ．1()22xxh x =+D ．()w x =【答案】A【分析】利用函数奇偶性的定义，结合函数定义域，即可容易判断.【详解】A 定义域为R ，关于原点对称，但是()()x f x x e f x --=-+≠±，∴为非奇非偶函数，B 定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，又1()()f x x f x x-=--=-，∴为奇函数， C 定义域为x ∈R ，关于y 轴对称，又1()2()2xx f x f x ---=+=，∴为偶函数，D 定义域为x ∈R ，关于原点对称，又()()f x f x -==，∴为偶函数，应选：A.【点睛】此题考查函数奇偶性的判断，注意函数定义域即可，属综合根底题.3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分〞题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，那么这批米内夹谷约为〔〕 A ．134石B ．169石C ．138石D ．1665石【答案】A【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果【详解】解，由抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒估计夹谷频率为2812529=，所以这批米内夹谷约为112061349⨯=石，应选:A.4．设1z ，2C z ∈，那么“1z 、2z 中至少有一个数是虚数〞是“12z z -是虚数〞的〔〕 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【详解】假设1z 、2z 皆是实数，那么12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，那么“1z 、2z 中至少有一个数是虚数〞成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12i z z ==，即充分性不成立，应选B.【解析】复数概念，充要关系5．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，那么tan()πθ-的值为〔〕A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【分析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的根本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案. 【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，那么sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-，应选:C.6．在2()nx x-的展开式中，假设二项式系数的和为32，那么x 的系数为〔〕A ．﹣40B ．﹣10C ．10D ．40【答案】D【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得x 的系数．【详解】根据2()nx x-的展开式中，二项式系数的和为2325n n =∴=，．而522()()n x x x x-=- 的展开式中，通项公式为52152r rr r T C x -+=⋅-⋅（），令521r -=，求得2r ，可得展开式中x 的系数为325240C ⋅-=（），应选D ．【点睛】此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于根底题．7．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，E 为CD 的中点，那么AE BD ⋅的值为〔〕A ．1B ．1-C ．5D ．7【答案】A【分析】以AB 所在直线为x 轴，以O 为原点，建立坐标系，结合条件求出()2,3AE =，()1,3BD =-，从而可求出数量积.【详解】解：以AB 所在直线为x 轴，以O 为原点，如图建立坐标系，那么()()()2,0,1,3,3,3B D C ，那么()2,3E ，所以()2,3AE =，()1,3BD =-，那么231AE BD ⋅=-+=.应选:A【点睛】关键点睛:此题的关键是建立坐标系，写出两向量的坐标.8．某三棱锥的三视图如下列图，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是〔〕A ．32B ．23C ．47D ．221【答案】C【分析】由三视图复原几何体，求出各面的面积即可选出正确答案. 【详解】由题意可知,几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥, 两个垂直底面的侧面面积相等为8,底面面积为234434⨯=,另一个侧面的面积为()2214423472⨯⨯+=,四个面中面积的最大值为47, 应选:C.【点睛】关键点睛:此题的关键是由三视图复原几何体.9．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，以下选项中，能推出方程③无实根的是A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根【答案】B【详解】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【解析】不等式性质10．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有 A ．(sin 2)sin f x x = B ．2(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+【答案】D 【详解】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，应选D.【解析】函数的概念二、填空题11．42a =，lg x a =，那么x =__________． 10【详解】试题分析：由42a =得12a =，所以1lg 2x =，解得10x =，10. 【解析】指数方程；对数方程.12．α是任意角，且满足cos sin 6k παα⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，那么常数k 的一个取值为__________．【答案】3-〔答案不唯一〕【分析】利用诱导公式，求得k 的取值集合. 【详解】,α∀满足cos sin 6k παα⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，2,62k m m Z πππ∴⋅=-+∈，得312k m =-+，m Z ∈，当0m =时，3k =-.故答案为：3-〔答案不唯一〕13．在“学雷锋，我是志愿者〞活动中，有6名志愿者要分配到3个不同的社区参加效劳，每个社区分配2名志愿者，其中甲､乙两人分到同一社区，那么不同的分配方案共有___________种. 【答案】18.【分析】分成两步，先分甲乙，再将剩下的取2人分到社区，从而可计算出正确答案. 【详解】解：第一步先分甲乙，那么有133C =，第二步从剩下的4人任取2人到另外两个社区，有246C =，所以不同的分配方案共有431218C C ⋅=，故答案为:18.14．点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．假设1C的渐近线方程为y =，那么2C 的渐近线方程为________．【答案】y x = 【详解】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，那么(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C的渐近线方程为y x = 【解析】双曲线渐近线15．函数f 〔x 〕＝2x ，g 〔x 〕＝x 2＋ax 〔其中a ∈R 〕.对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x -- ①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n.【答案】①④【详解】对于①，因为f '〔x〕＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'〔x〕＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '〔x〕＝g'〔x〕，即2x ln2＝2x＋a记h〔x〕＝2x ln2－2x，那么h'〔x〕＝2x〔ln2〕2－2存在x0∈〔0，1〕，使得h〔x0〕＝0，可知函数h〔x〕先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f '〔x〕＝－g'〔x〕，即2x ln2＝－2x－a令h〔x〕＝2x ln2＋2x，那么h'〔x〕＝2x〔ln2〕2＋2＞0恒成立，即h〔x〕是单调递增函数，当x→＋∞时，h〔x〕→＋∞当x→－∞时，h〔x〕→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h〔x〕有交点.④正确【解析】此题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等根底知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.三、解答题16．如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=2，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E为对角线BD的中点.现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2.〔1〕求证：直线PE⊥平面BCD；〔2〕求异面直线BD和PC所成角的余弦值；〔3〕空间存在一点Q到点P，B，C，D的距离相等，写出这个距离的值(不用说明理由).【答案】〔1〕证明见解析；〔26〔32【分析】〔1〕利用面面垂直的性质定理进行证明；〔2〕建立适宜空间直角坐标系，根据直线的方向向量夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值；〔3〕取BC 的中点进行分析，然后可求解出点Q 到点P ，B ，C ，D 的距离相等时的距离.【详解】〔1〕因为平面PBD ⊥平面BCD ，且平面PBD平面BCD BD =，又由图1可知PB PD =且E 为BD 中点，所以PE BD ⊥，又PE ⊂平面PBD ，所以PE ⊥平面BCD ；〔2〕建立空间直角坐标系，以EB 方向为x 轴，以垂直BD 方向为y 轴，以EP 方向为z 轴，如以下列图所示：由图1可知ABD △为等腰直角三角形，所以45ADB DBC DCB ∠=∠=∠=︒，所以DBC △为等腰直角三角形，因为2AD AB ==2PD PB ==222DB DC PB PD ==+=，所以()()()()1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,2,0B D P C --，所以()()2,0,0,1,2,1BD PC =-=--，所以26cos ,26BD PC BD PC BD PC⋅<>===⋅，所以异面直线,BD PC 6 〔32取BC 的中点F ，因为DBC △为等腰直角三角形，所以122BF DF CF BC ==== 又因为E 为BD 中点，所以1EB EF ==，所以222PF PE EF =+=所以2FP FB FC FD ====，所以Q 点即为点F ，所以Q 到,,,P B C D 的距离相等时，此时距离为2.【点睛】思路点睛：异面直线所成角的余弦值的向量求法：〔1〕先分别求解出两条异面直线的一个方向向量；〔2〕计算出两个方向向量夹角的余弦值；〔3〕根据方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果.17．()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭同时满足以下四个条件中的三个：①16f π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()sin()||2f x A x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象可以由sin cos y x x =-的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为2π；④最大值为2. 〔1〕请指出这三个条件，并说明理由；〔2〕假设曲线()y f x =的对称轴只有一条落在区间[0,]m 上，求m 的取值范围.【答案】〔1〕①③④，理由见解析；〔2〕5,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】〔1〕先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；〔2〕先根据〔1〕求解出()f x 的解析式，然后采用整体替换的方法求解出()f x 的对称轴方程，然后对k 进行赋值，确定出在区间[]0,m 上仅有一条对称轴时m 的取值范围. 【详解】〔1〕三个条件是：①③④，理由如下：假设满足②：因为sin cos 24y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2,1A ω==；假设满足③：因为22T π=，所以2T ππω==，所以2ω=，假设满足④：2A =，由此可知：假设满足②，那么③④均不满足，所以满足的三个条件是：①③④；〔2〕由③④知：()()2sin 2f x x ϕ=+，由①知：16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为||2ϕπ<，2,36k k Z ππϕπ+=+∈或52,36k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=-∈或2,2k k ϕπ=π+∈Z ，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，不妨令2,62x k k Z πππ-=+∈，所以,23k x k Z ππ=+∈，当1k =-时，6x π=-；当0k =时，3x π=；当1k =时，56x π=，所以假设要()y f x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，只需5,36m ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭, 所以m 的取值范围是5,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>，假设求函数()g x 图象的对称轴，那么令2x k πωϕπ+=+，Z k ∈；假设求函数()g x 图象的对称中心或零点，那么令x k ωϕπ+=，Z k ∈． 18．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.〔1〕假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;〔2〕商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个适宜的设计，并说明理由. 【答案】(1)12,参考解析;(2)参考解析【详解】试题分析：(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额..由获得60元的事件数1113C C 除以总的事件数24C 即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论. (2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.试题解析：(1)设顾客所获的奖励为X. ①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12. ②依题意,得X 的所有可能取值为20,60. 232411(60),(20)22C P X P X C =====.即X 的分布列为所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=〔元〕.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,那么1X 的分布列为1X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=,1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,那么2X 的分布列为2X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=, 2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2. 【解析】1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.19．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 的下顶点和上项点分别为12,B B，且122B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕当k =2时，求△OMN 的面积；〔3〕求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 恒在一条定直线上.【答案】(1) 2212x y +=;(2)9;(3)证明见解析. 【分析】(1)由122B B =可得1b =，结合离心率和222c a b =-可求出1,c a ==进而可得椭圆的方程.(2)写出l 的方程为22y x -=与椭圆进行联立，设()()1122,,,M x y N x y ，结合韦达定理可得1212162,93x x x x +=-=，即可求出MN ，由点到直线的距离公式可求出原点到l 的距离d ，从而可求出三角形的面积.(3) 设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆的方程整理后结合韦达定理可得12122286,2121k x x x x k k +=-=++，设(),T m n ，由1,,B T M 在同一条直线上，得113n k m x +=+，同理211n k m x -=+，从而可得()1212311340x x n n k m m x x ++-+⋅=+=，即可证明交点在定直线上.【详解】解：(1)因为122B B =，所以22b =，即1b =，因为离心率为2，那么c a =，设c =，那么2,0a k k =>，又222c a b =-，即22241k k =-，解得k =或，所以1,c a ==2212x y +=.(2) 设()()1122,,,M x y N x y ，由直线的点斜式方程可知，直线l 的方程为22y x -=，即22y x =+，与椭圆方程联立，222212y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得291660x x ++=，那么1212162,93x x x x +=-=，所以MN ==9，原点到l的距离d == 那么OMN的面积11229S d MN ===(3)由题意知，直线l 的方程为2y kx -=，即2y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，那么22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221860k x kx +++=，那么12122286,2121k x x x x k k +=-=++，因为直线和椭圆有两个交点，所以()()22824210k k ∆=-+>，那么232k >，设(),T m n ，因为1,,B T M 在同一条直线上，那么111111313y kx n k m x x x +++===+，因为2,,B T N 在同一条直线上，那么222221111y kx n k m x x x -+-===+，所以()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+，所以12n =，那么交点T 恒在一条直线12y =上.【点睛】关键点睛:此题第三问的关键是设交点(),T m n ，由三点共线结合斜率公式得111111313y kx n k m x x x +++===+和222221111y kx n k m x x x -+-===+，两式进行整理后可求出12n =，即可证明交点在定直线上. 20．函数21()ln (0)2f x x x a x a =-+>.〔1〕假设1a =，求()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线方程；〔2〕讨论()f x 的单调性；〔3〕假设()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()1232ln 24f x f x --+>. 【答案】〔1〕32y x =-；〔2〕答案见解析；〔3〕证明见解析. 【分析】〔1〕分别计算出1x =时的导数值和函数值，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程；〔2〕先求解出()f x '，然后根据∆与0的大小关系对a 进行分类讨论，由此分别确定出()f x 的单调性；〔3〕根据条件结合韦达定理先分析得到1212,x x x x +的结果，然后将()()12f x f x +表示为关于a 的函数，构造新函数()1ln 2g a a a a =--并借助导数分析其单调性和最值，由此完成证明.【详解】〔1〕因为()211,ln 2a f x x x x ==-+，所以()()110f x x x x'=-+>，所以()111111f '=-+=，()1111ln122f =-+=-，所以切线方程为：()1112y x ⎛⎫--=⋅- ⎪⎝⎭，即32y x =-；〔2〕()()210a x x ax x x xf x -+-+='>=，记14a ∆=-，当14a ≥时，140a ∆=-≤，()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当104a <<时，140a ∆=->，令()0f x '=，所以x =且0>，x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，x ∈⎝⎭时()0f x '<，()f x 单调递减，⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，综上可知：14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；104a <<时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；〔3〕因为()()()221ln ,10,2a x x af x x x a x f x x x x x -+'=-+=-+=>由题意可知：20x x a -+=的两个根为12,x x 且140a ->，所以1212110,4x x x x a a ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以()()()()22121212121ln 2f x f x x x x x a x x +=+-++，所以()()()()()21212121212112ln 121ln 22f x f x x x x x x x a x x a a a ⎡⎤+=+--++=--+⎣⎦，所以()()121ln 2f x f x a a a +=--+，令()11ln 0,24g a a a a a ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()ln g a a '=，10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g a '<，所以()g a 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()()121ln11132ln 2444424f x f x g --⎛⎫+>=--=⎪⎝⎭，所以()()1232ln 24f x f x --+>成立. 【点睛】思路点睛：导数中双极值点问题的一般求解思路：〔1〕先求出导函数()f x '；〔2〕根据()0f x '=求解出极值点12,x x 满足的关系式〔假设导函数为二次函数类型，可根据韦达定理进行计算〕；〔3〕利用12,x x 的关系通过化简、计算将问题转化为单变量问题，通过构造新函数完成问题的求解. 21．集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥，其中(1,2,,)i a i k ∈=Z ，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈．其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．假设对于任意的a A ∈，总有a A -∉，那么称集合A 具有性质P ．〔Ⅰ〕检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ．〔Ⅱ〕对任何具有性质P 的集合A ，证明(1)2k k n -≤．〔Ⅲ〕判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．【答案】〔Ⅰ〕集合{}0,1,2,3不具有性质P ，集合{}1,2,3-具有性质P ，相应集合(1,3)S =-，(3,1)-，集合(2,1)T =-，(2,3)〔Ⅱ〕见解析〔Ⅲ〕m n =【详解】解：集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)(23)T =-，，，．〔II 〕证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤．〔III 〕解：m n =，证明如下：〔1〕对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，〔2〕对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，由〔1〕〔2〕可知，m n =．。

北京市高三下学期高考模拟理科数学试题(解析版)

2023年高三数学考试题（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号规范填涂在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 若为虚数单位，则复数的虚部为（） i 2i1i z +=+A. B. C.D.12-1i 2-1i 212【答案】A 【解析】【分析】先利用复数除法求出的代数形式，进而可得虚部. z 【详解】， ()()()()2i 1i 2i 3i 31i 1i 1i 1i 222z +-+-====-++-其虚部为. 12-故选：A.2. 已知全集，集合，，则{}1,2,3,4,5U =2{|320}M x x x =-+=2{Z |650}N x x x =∈-+<（）()U M N ⋃=ðA. {1} B. {5}C. {1，2，3，4}D.∅【答案】B 【解析】【分析】解方程和不等式，得到，求出并集和补集. ,M N 【详解】解可得，故，2650x x -+<15x <<{}2,3,4N =的解为或2，故，则．2320x x -+=1x ={}1,2M ={}()5U M N ⋃=ð故选：B3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的，分别为8，3，则输出的的a b n 值是（）A. 3．B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】按流程图顺序运算可得结果. 【详解】 a =8，b =3，n =1n =2 n =3 n =4a =8+4=12 a =12+6=18 a =18+9=27 27812722a =+=b =2×3=6 b =2×6=12 b =2×12=24 b =2×24=4812≤6？否18≤12？否27≤24？否？是 81482≤所以输出n 为4. 故选：B.4. 已知数列1，3，……，则7是这个数列的（） A. 第21项 B. 第23项C. 第25项D. 第27项【答案】C 【解析】【分析】根据题设给定的数列通项公式即可判断7的位置.【详解】因为数列的第，n 7==所以7是题中数列的第25项．故选：C5. 作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题．为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录，作出频率分布直方图如下：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%．则下列说法中，正确的是（） A.0.0018a =B. 若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C. 根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为 320D. 这100份花费费用的中位数是4205元【答案】C 【解析】【分析】根据直方图的面积等于1求出a ，再根据给定的条件逐项分析. 【详解】直方图的面积等于1，所以，(0.000050.000100.000120.000250.000150.000100.00005)10001a +++++++⨯=，A 错误；0.00018a =根据报销的规则，花费了4300元，报销的费用为，实际花费()430040065%2535-⨯=，B 错误；430025351765-=根据报销的规则，当花费在6000以上时报销80%，所以概率()30.00010.0000510000.1520=+⨯== ， C 正确；设中位数为，其面积为，4000x +12()10.000050.00010.000120.0001810000.000252x ∴+++⨯+=，，200x =即中位数为4200，D 错误；故选：C.6. 在正项等比数列中，公比为，且，，14成等差数列，则（）{}n a q 6-2q 34212log a a a a +=+A. 2 B.C. 4D.2-4-【答案】A 【解析】【分析】根据等差中项求出，再由等比数列通项公式化简即可得解. q 【详解】，，14成等差数列，6- 2q ，解得或（舍去）， 22614q ∴=-+2q =2q =-，22341222221212()log log log 2log 22a a a a q q a a a a ++⋅∴====++故选：A7. 若非负数x ，y 满足，则事件“”发生的概率为（）13x y x y ⎧-≤⎨+≤⎩24x y +≥A.B.C.D.21525【答案】A 【解析】【分析】先画出可行域，再根据几何概型的概率公式可求.【详解】由题意，知x ，y 满足约束条件作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所0,01,13x y x y x y x y ≥≥⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩示（五边形OEBCD （包含边界）），作出直线，易得，，，，，连接DE ， 24x y +=52,33A ⎛⎫⎪⎝⎭()2,1B ()1,2C ()0,1D ()1,0E 则非负数x ，y 对应的可行域的面积为，151122ODE BCDE S S +=⨯⨯+=△正方形事件“”对应的可行域的面积为， 24x y +≥111223ABC S AB BC =⋅==△所以所求概率为.1235152P ==故选：A.8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A ，B 两点，若，则24y x =F (2,0)||AF +||10BF =（）||||AF BF ⋅=A. 12 B. 13C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，易知不成立，故直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为，将其与抛物线方程联立，根据抛物线的定义以及韦达定理，可求出，即可求出(2)(0)y k x k =-≠2k 结果.【详解】抛物线的焦点为，设，.24y x =()1,0F ()11,A x y ()22,B x y 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，AB AB 2x =24y x =28y=y =±，，，，与矛盾.(2,A (2,B -3AF BF ===6AF BF +=10AF BF +=当直线的斜率存在时，设直线的方程为，AB AB ()2y k x =-代入，得，则，， 24y x =()22224440k x k x k -++=12244x x k +=+124x x ⋅=由抛物线的定义知，，， 11AF x =+21BF x =+于是， 1224114210AF BF x x k+=+++=++=所以，21k =. ()()1212122411144113AF BF x x x x x x k ⋅=++=+++=+++=故选:.B 9. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A.B.C.D. 552【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体，将几何体放入长方体中，进而得出该几何体的外接球与长方体的外接球相同，再利用长方体的体对角线等于外接球的直径即可求解.【详解】根据三视图知，该几何体是四棱锥，放入长、宽、高分别为4长方体中，如图P ABCD -432、、所示,所以该几何体的外接球与长方体的外接球相同，即长方体的体对角线等于外接球的直径，设该几何体的外接球半径为，则R，解得. ()22222432R =++R =. 故选：A.10. 在中，有，则的最大值是（）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB ⋅-=⋅-tan C A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c cos C 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求C tan C cos C sin C 出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB ⋅-=⋅-所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，， AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅== 所以， 2222222223()()22b c aa b c a c b +-+-++-=即，22223a b c += 22222221(2)3cos 2236a ba b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥=当且仅当即时取等号，36a b b a=b =显然为锐角，要使取最大值，则，此时，C tan C cosCsin C ==所以，即． sin tan cos C C C ===tan C故选：D ．11. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：的左、右焦点，点P 在双曲线上，22221(00)y x a b a b-=>>，，圆O ：，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于12PF PF ⊥22229()4x y a b +=+M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为，则C 的离心率为（） 29b A.B.C.D.5485【答案】D 【解析】【分析】设，，有，，，由弦长公式可得1PF n =2PF m =2n m a -=2224n m c +=22mn b =，，四边形AMBN的面积为，解得MN=AB =12AB MN ⋅，可求双曲线的离心率.2283c b =【详解】根据对称性不妨设点P 在第一象限，如图所示，圆O ：，圆心为，半径为，22229()4x y a b +=+()0,0O 32c 设，，点P 在双曲线上，，则有，，可得1PF n =2PFm =12PF PF ⊥2n m a -=2224n m c +=，22mn b =过O 作MN 的垂线，垂足为D ，O 为的中点，则， 12F F 11=22n OD PF =MN =同理，，AB =AB MN ⊥四边形AMBN 的面积为， 211229AB MN b ⋅=⨯=，化简得，则有422222444481981944811644161644c m n c m n c c b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=-+=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2283c b =，则C 的离心率 222253a c b b =-=c e a ===故选：D12. 已知，，，其中为自然对数的底数，则，，0.03e 1a =-ln1.03b =tan 0.03c =e 2.71828= a b c 的大小关系是（） A. B. c a b >>a c b >>C. D.b c a >>a b c >>【答案】B 【解析】【分析】构造的结构特征，构造，，求导后得到其单调性，得到,a c ()e 1tan xf x x =--π04x <<，再构造，和，，求导得到其单调性，a c >()()ln 1h x x x =+-π02x <<()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到，即，从而得到. ln1.030.03tan 0.03<<b c <a c b >>【详解】，0.03e 1tan 0.03a c --=-令，，()e cos cos sin e 1tan cos x xx x xf x x x--=--=π04x <<令，则，()e cos cos sin xg x x x x =--()()()e 1cos sin xg x x x '=--当时，，所以在上单调递增， π04x <<()0g x '>()g x π0,4⎛⎫⎪⎝⎭又，所以， ()00e cos 0cos 0sin 0110g =--=-=()0g x >又，所以在上恒成立， cos 0x >()0f x >π0,4⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，即，()0.03e1tan 0.0300.03f -=->0.03e 1tan 0.03->a c >令，， ()()ln 1h x x x =+-π02x <<所以， ()1111x h x x x-'=-=++因为，所以，所以在上单调递减， π02x <<()01x h x x -'=<+()h x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，即在恒成立，()()00h x h <=()ln 1x x +<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以， ()ln 10.03ln1.030.03+=<令，， ()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，()211cos m x x=-'因为，所以， π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2110cos m x x'=-<故在上单调递减， ()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，即在恒成立， ()()00m x m <=tan x x <π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时，， 0.03x =0.03tan 0.03<故，即， ln1.030.03tan 0.03<<b c <综上， a c b >>故选：B【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 展开式中的常数项为______．62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】160 【解析】【分析】由题意利用二项式定理可得解.【详解】二项式的展开式的通项公式， 62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6662162C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令，可得，620r -=3r =所以展开式中的常数项为. 336C 2160⨯=故答案为：160.14. 已知向量，，与共线，则___________.(1,)a x =- (,3)b x =- a b + a b -||a = 【答案】2 【解析】【分析】由向量共线的坐标表示可得答案.【详解】由，，得，， ()1,a x =- (),3b x =- ()1,3a b x x +=+-- ()1,3a b x x -=--+因为与共线，所以.a b + a b - ()()()()213313x x x x x +-+=---⇒=则.2a === 故答案为：215. 已知数列的前n 项和，设为数列的前n 项和，若对任意的{}n a 23122n S n n =-11,nn n n b T a a +={}n b ，不等式恒成立，则实数的取值范围为________．N n *∈93n T n λ<+λ【答案】 (),48-∞【解析】【分析】利用的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立,n n a S {}n a n T 问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. λ【详解】当时，， 2n ≥()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦当时，满足上式，1n =111a S ==所以.32,N n a n n *=-∈所以， 111111((32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+所以， 1111111111(1)(((1343473323133131n T n n n n n =-+-++-=-=-+++ 由，可得，即， 93n T n λ<+9331n n n λ<++23(31)13(96)n n n nλ+<=++因为函数在单调递增， 19y x x =+1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭所以当时，有最小值为10， 1n =19n n+所以，所以， 13(96)48n n++≥48λ<所以实数的取值范围为. λ(),48∞-故答案为：.(),48-∞16. 已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R (220)f x + (221)f x +10x -≤<．若有5个零点，则实数的取值范围为________.()f x =()(6)(0)y f x a x a =-+>a【答案】【解析】【分析】由为奇函数可得的图像关于点对称，由为偶函数可得的(220)f x +()f x (20,0)(221)f x +()f x 图像关于直线对称，从而可得4为的周期.再结合图象即可求解. 21x =()f x 【详解】由为奇函数，得， (220)f x +(220)(220)f x f x -+=-+则，所以的图像关于点对称， (202)(202)0f x f x -++=()f x (20,0)则.(40)()f x f x -=-由为偶函数，得， (221)f x +(221)(221)f x f x -+=+则的图像关于直线对称，则.()f x 21x =(42)f x -=()f x 因为，所以， ()(40)(42(2))(2)f x f x f x f x -=-=-+=+(2)()f x f x +=-所以，则4为的周期.(4)(2)()f x f x f x +=-+=()f x 由函数的周期性可知，的图像关于点对称，关于直线对称. ()f x (0,0)1x =因为当时，，所以当时，10x -≤<()f x =01x <≤()f x =对两边平方，整理可得，故该函数的图象为圆心，半径为1y =()2211,0x y y -+=≥()1,0的圆，若有5个零点，只需曲线与直线有5个交点， ()(6)(0)y f x a x a =-+>()y f x =(6)(0)y a x a =+>在同一坐标系中作出函数的图像与直线，如图. ()y f x =(6)y a x =+当直线与圆，解得 (6)y a x =+22(3)1(0)x y y ++=≥1=a =当直线与圆，解得.(6)y a x =+22(1)1(0)x y y -+=≥1=a =. a <<故答案为：【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围; （2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：第17至21题，每小题12分，共60分.17. 在△ABC 中，D 是边BC 上的点，，，AD 平分∠BAC ，△ABD 的面积是120BAC ∠= 1AD =△ACD 的面积的两倍．（1）求△ACD 的面积；（2）求△ABC 的边BC 上的中线AE 的长．【答案】（1（2 【解析】【分析】（1）运用正弦定理的面积公式及面积关系计算即可；（2）运用向量的数量积与模长关系计算即可．【小问1详解】由已知及正弦定理可得：， ΔΔ11sin 6022sin 6022ABD ACD S AD AB S AD AC =⋅⋅︒==⨯⋅⋅︒化简得：． 2AB AC =又因为：，所以2ΔΔ1133sin 60sin120||22ABC ACD S S AD AC AB AC AC ==⋅⋅⋅︒=⋅⋅︒=，所以， 32AC =Δ13sin 6022ACD S AC AD =⋅⋅︒==所以△ACD 【小问2详解】由（1）可知，因为AE 是△ABC 的边BC 上的中线，23AB AC ==所以， ()12AE AB AC =+所以， AE ====所以△ABC 的边BC 上的中线AE 18. 在直角梯形中，，，，直角梯形绕直11AA B B 11∥A B AB 1AA AB ⊥11126AB AA A B ===11AA B B 角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的1AA 1A A ,P Q 1,CC BC 111B AA C --大小为．θ（1）若，，，证明：平面；120θ=123CP CC =⊥AQ AB PQ ∥11AA B B （2）若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切90θ= P 1CC Q BC PQ 11AAC C值，并求此时二面角的余弦值． Q AP C --【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）构造面面平行来推线面平行，作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE 即证面PEQ ∥面AB 1即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出与平面所成最大角时的P 点位置，求PQ 11AAC C 其正切，再求二面角即可. 【小问1详解】如图所示，过Q 作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE ，过C 1作C 1F ∥A 1A ，交AC 于F ， ∵，结合圆台的特征知， 120θ= 30BAC ∠= 又∵，解三角形得，⊥AQ AB 12AQ QC BQ ====故，即， 12CQ CE BQ AE ==2CE =∵，由题意易知四边形为直角梯形，123CP CC =11AC CA ∴，，故， 113AF AC FC ===123EC PC FC CC ==11PE C F A A ∥∥ ∵面，面，∴QE ∥面， QE ⊄11A B BA AB ⊂11A B BA 11A B BA 同理PE ∥面，11A B BA又面PQE ，∴面∥面，QE PE E QE PE =⊂ ，、PEQ 11A B BA 面，∴平面，得证；PQ ⊂PEQ PQ ∥11AA B B 【小问2详解】如图，结合圆台的特征，当时，此时两两垂直，90θ= 1A A AB AC 、、故以A 为中心，以AB 、AC 、AA 1所在的直线分别为轴、轴、轴， x y z 则，()()()()16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0B C C Q 设，则，[]1,0,1CP CC λλ=∈ ()()00,36,600,3,6CP λλλ=---=-，()()()3,3,00,3,63,33,6PQ CQ CP λλλλ=-=---=--易知轴⊥面，不妨取作为面的一个法向量，x 11A ACC ()1,0,0m =11A ACC 设与平面所成角为，PQ 11AAC C π,0,2αα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，sin cos ,PQ α=≤即当时，取得最大值，此时为最大角，15λ=sin ααtan α==设此时面APQ 的一个法向量为，(),,n x y z =易得，则， ()2763,3,0,0,,55AQ AP ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 330276055n AP x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，则，即，9z =2,2y x =-=()2,2,9n =-由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为，故，φcos cos ,m φ= 故与平面，此时二面角PQ 11AAC C Q AP C --19. 甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求：（1）在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列；（2）在两轮比赛中，甲的得分的期望和方差. η【答案】（1）分布列见解析（2），. ()0.2E η=()0.9D η=【解析】【分析】（1）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概ξ1,0,1-率，即可求得分布列.（2）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概η2,1,0,1,2--率，即可求得分布列及数学期望和方差. 【小问1详解】由题意可知，的可能取值为，ξ1,0,1-，()10.30.60.18P ξ=-=⨯=， ()00.70.60.30.40.54P ξ==⨯+⨯=，()10.70.40.28P ξ==⨯=所以分的分布列为：ξξ-1 0 1P 0.18 0.54 0.28【小问2详解】由题意可知，的可能取值为，η2,1,0,1,2--， ()20.180.180.0324P η=-=⨯=，()120.180.540.1944P η=-=⨯⨯=， ()020.180.280.540.540.3924P η==⨯⨯+⨯=， ()120.540.280.3024P η==⨯⨯=，()20.280.280.0784P η==⨯=所以的分布列为ηη-2 -1 0 1 2P 0.03240.19440.39240.30240.0784所以，()()()20.032410.194410.302420.07840.2E η=-⨯+-⨯+⨯+⨯=222()(20.2)0.0324(10.2)0.1944(00.2)0.3924D η=--⨯+--⨯+-⨯.22(10.2)0.3024(20.2)0.07840.9+-⨯+-⨯=20. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外xOy P ()22149:14C x y ++=()2221:14C x y -+=切，记动圆圆心的轨迹为曲线. P C （1）求曲线的方程；C （2）设曲线的左、右两个顶点分别为、，为直线上的动点，且不在轴上，直线C 1A 2A T :4l x =T x 与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为曲线的左焦点，求证：1TA C M 2TA C N F C FMN的周长为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨P R 121242PC PC C C +=>=迹的方程；E（2）设点，设，，写出直线、的方程，将这两条直线分别()()4,0T t t ≠()11,M x y ()22,N x y 1TA 2TA 与曲线的方程联立，求出点、的坐标，可得出直线的方程，化简直线的方程，可知直E M N MN MN 线过椭圆的右焦点，再利用椭圆的定义可证得结论成立. MN E 【小问1详解】解：设动圆的半径为，P R 由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 1C ()11,0C -722C ()21,0C 12因为，则，所以，圆内含于圆， 122C C =127122C C <-2C 1C 因为动圆与圆内切，且与圆外切，P 1C 2C 则， 112122724212PC R PC PC C C PC R⎧=-⎪⎪⇒+=>=⎨⎪=+⎪⎩所以，动圆的圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆，P E 1C 2C 设其方程为，其中，，()222210x y a b a b +=>>24a =22c =所以，，，从而轨迹的方程为.2a =2223b a c =-=E 22143x y +=【小问2详解】证明：由题意可知、、， ()12,0A -()22,0A ()()4,0T t t≠设，，如下图所示：()11,M x y ()22,N x y直线的方程为，直线的方程为， 1AT ()26t y x =+2A T ()22ty x =-联立方程可得 ()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去得， ()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y ()222227441080t x t x t +++-=由韦达定理可得，即， 2124108227t x t--⋅=+21254227t x t -=+则，故点， ()211225421822662727t t t ty x t t ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭22254218,2727t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭联立方程可得， ()222143t y x t x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2222344120t x t x t +-+-=由韦达定理可得，即， 22214322t x t -=+222623t x t -=+则，故点， ()22222266222233tt t t y x t t ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭222266,33t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭所以，，22222221866273542269273MNt t t t t k t t t t t +++==-----++所以，直线的方程为， MN 22226626393t t t y x t t t ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭即，且， ()2226661999t t ty x x t t t =-+=-----3t ≠±故直线过定点，所以的周长为定值，MN ()1,0FMN 8当时，、或、，3t =±31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，过椭圆的焦点，此时的周长为定值， MN E ()1,0FMN 48a =综上所述，的周长为定值.FMN 8【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 已知函数，.()sin f x x ax =-()e cos 2x g x x π=+（1）若，恒成立，求实数a 的取值范围；[)0,x ∈+∞()0f x ≤（2）判断方程在上实根个数，并说明理由.()12e sin x g x x π-=+()0,x ∈+∞【答案】（1）．[1,)+∞（2）1.【解析】【分析】（1）求出导函数，分类讨论说明的正负，得的单调性，确定题设不等式是否恒()f x '()f x '()f x 成立，得参数范围；（2）在时，由（1）得，利用导数证明，然后求得导函数，由不等式0x >sin x x <e e (0)xx x ≥>()g x '性质得时，，得单调递增，方程变形为，0x >()0g x '>()g x ()(12)g x g x =-然后由的范围分类讨论可得．,12x x -【小问1详解】，()cos f x x a '=-时，，在上递减，恒成立；1a ≥()0f x '≤()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=时，恒成立，在上递增，不合题意；1a ≤-()0f x '≥()f x [0,)+∞()(0)0f x f ≥=时，存在使得，时，，在上递增，11a -<<1(0,)2x π∈1cos x a =1(0,)x x ∈()0f x '>()f x 1(0,)x 不合题意，()(0)0f x f >=综上，的取值范围是．a [1,)+∞【小问2详解】由（1）得时，，0x >sin x x <设（），则， ()e e x h x x =-0x >()e e xh x '=-时，单调递减，时，，单调递增，01x <<()0h x '<()h x 1x >()0h x '>()h x ，所以，()(1)0h x h ≥=e e x x ≥， ()2e sin e e 022224x g x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=->-⋅=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'所以在上是增函数，()g x (0,)+∞方程， ()12e sin xg x x π-=+1212e cos()e cos[(12)]22x x x x πππ--=+-=+-(12)g x =-由得，此时，因此是方程在上的一12x x =-13x =()(12)g x g x =-13()(12)g x g x =-()0,x ∈+∞根，时，，，方程在上无解， 103x <<11213x <-<(12)()g x g x ->()(12)g x g x =-1(0,)3时，，，方程在上无解， 1132x <<10123x <-<(12)()g x g x -<()(12)g x g x =-11(,)32时，，，方程12x ≥120x -≤121()(2e sin (12)2x g x g x g x π-≥=>≥+=-在上也无解， ()(12)g x g x =-1[,)2+∞综上，方程在上只有一个解，根的个数为1.()12e sin x g x x π-=+()0,x ∈+∞【点睛】关键点点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，研究方程根的个数问题，解题关键是方程进行同构变形为，因此我们只要确定的单调性，然后分数讨论()(12)g x g x =-()g x 得出结论．（二）选做题：请考生在22，23题中任选一题作答，如果多答，则按所答的第一题计分．22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半xOy l 4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t O x 轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． C 22312sinρθ=+（1）求的直角坐标方程；C （2）若点的极坐标为，是上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离M 3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭N C P MN P l 的最大值．【答案】（1） 2213x y +=（2【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标互化原则可直接化简整理得到直角坐标方程；（2）将点极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程；利用相关点法可求得点轨迹方程，则可M l P 设，利用点到直线距离公式，结合三角恒等变换知识可得到sin 22P θ⎫+⎪⎪⎭. d 【小问1详解】由得：，，即， 22312sin ρθ=+2222sin 3ρρθ+=2233x y ∴+=2213x y +=的直角坐标方程为：. C ∴2213x y +=【小问2详解】由可得点的直角坐标为即； 3π4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭M 3π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,2-由消去参数可得直线的普通方程为：；:4x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩t l 40x y --=设，，()00,N x y (),P x y 为中点，，则，， P MN 002222x x y y -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩002222x x y y =+⎧⎨=-⎩()()22222213x y +∴+-=即点轨迹为，则可设； P ()()22222213x y ++-=sin 22P θ⎫+⎪⎪⎭点到直线的距离∴Pl d则当时，. πsin 13θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭max d ==23. 已知函数．()f x x a x b x c =-+-+-（1）若，且，求m 的值； a b c ==(){}{}66x f x x m x <=<<（2）若，，证明：．12b a b -≤≤+32d c d -≤≤+()522f x x d x b ≤+-+-【答案】（1）2m =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意直接法解不等式，与已知解集相等，可求m 的值；2x a -<（2）已知可得，，利用绝对值三角不等式证明结论.2a b -≤3c d -≤【小问1详解】因为，所以，由，得，则，解得a b c ==()3f x x a =-()6f x <2x a -<22x a -<-<，因为，所以，即，故．22a x a -<<+(){}{}66x f x x m x <=<<26a +=4a =22m a =-=【小问2详解】证明：由，，得，，则，12b a b -≤≤+32d c d -≤≤+12a b -≤-≤32c d -≤-≤2a b -≤，3c d -≤所以()2f x x d x b x a x b x c x d ----=---+---≤，()()235x a x b x c x d a b c d ---+---=-+-≤+=故．()522f x x d x b ≤+-+-。

2023-2024学年北京市房山区高考数学质量检测模拟试题(二模)含答案

2023-2024学年北京市房山区高考数学模拟试题（二模）一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,1A B xx =-=≥∣，则()R A B ⋃=ð（）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1xx ≤∣D ．{}11xx -≤≤∣【正确答案】D【分析】解一元二次不等式得集合B ，再结合集合的补集、并集运算即可.【详解】因为{}{}21|11B xx x x x =≥=≤-≥∣或，所以{}R |11B x x =-<<ð，又{}1,0,1A =-，所以()R A B ⋃=ð{}11xx -≤≤∣.故选：D.2．已知复数()i 2i z =⋅+，则复数z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】先求得复数z 的代数形式，进而求得其在复平面内对应的点所在象限.【详解】()i 2i 12i z =⋅+=-+，则12z i =--，则复数z 在复平面内对应的点坐标为()1,2--，该点位于第三象限.故选：C3．已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面,αβ，下列四个命题中正确的为（）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,l m m α⊂∥，则l α∥C ．若,∥∥l l αβ，则αβ∥D ．若,l l αβ⊥∥，则αβ⊥【正确答案】D【分析】求得,m n 位置关系判断选项A ；求得,l α位置关系判断选项B ；求得,αβ位置关系判断选项C ，D.【详解】选项A ：若,m n αα∥∥，则m n ∥或,m n 异面或,m n 相交.判断错误；选项B ：若,l m m α⊂∥，则l α∥或l ⊂α.判断错误；选项C ：若,∥∥l l αβ，则αβ∥或,αβ相交.判断错误；选项D ：若l α∥，则必有,l l l α''⊂∥，又l β⊥，则l β'⊥，则αβ⊥.判断正确.故选：D4．设5250125(21)x a a x a x a x -=++++ ，则125a a a +++= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】D【分析】先令0x =计算出0a 的值，再令1x =计算出0125a a a a ++++ 的值，由此可计算出125a a a +++ 的值.【详解】令0x =，所以()5011a -==-，令1x =，所以2515011a a a a +++=+= ，所以125112a a a +++=+= ，故选：D.5．设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c<<【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】00.32,si 2n n212i 81s 30a b >=<===2e <<，则1ln 212<<，即112c <<，所以b<c<a .故选：B6．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若2,60AF DAF ∠== ，则抛物线C 的方程为（）A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x=D ．2y x=【正确答案】C【分析】根据抛物线的定义求得2DF =，然后在直角三角形中利用60DAF ∠=︒可求得2p =，从而可得答案．【详解】如图，连接DF ，设准线与x 轴交点为M抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线l ：2p x =-又抛物线的定义可得AF AD =，又60DAF ∠= ，所以DAF △为等边三角形，所以2DF AF ==，60DFM ∠=所以在Rt DFM 中，222DF MF p ===，则1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =.故选：C.7．已知点P 是双曲线C ：x 224y -=1的一条渐近线y ＝kx （k ＞0）上一点，F 是双曲线C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横坐标为（）A ．5±B 5C ．5±D ．25【正确答案】A根据条件得到渐近线方程为：y ＝2x ，再由面积为5得到yP ＝5横坐标.【详解】由双曲线方程可得a ＝1，b ＝2，则c 415+则渐近线方程为：y ＝2x ，F 50），又S 12=c •|yP |＝5，则yP ＝5当y ＝5x 52y==当y ＝﹣5x 52y==-，故点P 的横坐标为故选：A ．本题主要考查了双曲线渐近线方程的应用，求出P 的纵坐标是解题的关键，属于基础题.8．在ABC 中，3,2AC BC AB ===，则AB 边上的高等于（）A ．BC D ．32【正确答案】B【分析】根据余弦定理求cos C ，再得sin C ，利用ABC 的面积公式即可求AB 边上的高.【详解】在ABC 中，因为3,2AC BC AB ===，由余弦定理得222cos2AC BC AB C AC BC +-=⋅因为()0,πC ∈，所以sin 7C ==设AB 边上的高为h ，则11sin 22ABC S AC BC C AB h =⋅⋅=⋅ ，所以3sin 722AC BC Ch AB⋅⋅===，即AB 故选：B.9．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人.因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层.假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ，则S 的最小值是（）A ．42B ．41C ．40D ．39【正确答案】C【分析】先求得“不满意度”之和S 的解析式，再利用二次函数的性质求得S 的最小值.【详解】设在第n (212)n ≤≤层下，则[][](2)(3)1112(11)(12)2S n n n n =-+-++⨯++++-+-⨯2(2)(21)(12)(121)35321572222n n n n n n --+--+=+⨯=-+223533532809157157222624n n n ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭又212,N n n ≤≤∈，则9n =时S 取得最小值40.故选：C10．有三支股票,,,28A B C 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票.则只持有B 股票的股民人数是（）A ．7B ．6C ．5D ．4【正确答案】A【分析】通过设出只持有A 股票的人数和只同时持有了B 和C 股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有B 股票的股民人数.【详解】由题意，设只持有A 股票的人数为X ，则持有A 股票还持有其它殸票的人数为1X -(图中d e f ++的和)，∵只持有一支股票的人中,有一半没持有B 或C 股票,∴只持有了B 和C 股票的人数和为X (图中b c +部分).假设只同时持有了B 和C 股票的人数为a ,∴128X X X a +-++=,即329X a +=，则X 的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1,与之对应的a 值为2,5,8,11,14,17,20,23,26,∵没持有A 股票的股民中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍∴()2a b a c +=+，即3X a c -=，∴8,5X a ==时满足题意，此时1,7c b ==,∴只持有B 股票的股民人数是7,故选：A.本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有A 股票的人数，利用韦恩图结合条件即得.二、填空题11．已知向量()(),4,1,a t b t == ，若a b∥，则实数t =______.【正确答案】2±【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式即可求出结果.【详解】因为向量()(),4,1,a t b t == 且a b∥，所以410t t ⨯-⨯=,解得2t =±，故2±三、双空题12．设数列{}n a 的前n 项和141n n S -=-，则n a =__________；使得命题“*0,n N n ∀>∈N ，都有1100n n a a +->”为真命题的一个0N 的值为__________.【正确答案】20,1,N 34,2n n n n *-=⎧∈⎨⨯≥⎩3（答案不唯一，03N ≥）【分析】根据给定的前n 项和求出通项n a 即可，由1100n n a a +->求出n 的取值范围作答.【详解】数列{}n a 的前n 项和141n n S -=-，当1n =时，011410a S ==-=，当2n ≥时，1221(41)(41)34n n n n n n a S S -----==---=⨯，显然10a =不满足上式，所以20,1,N 34,2n n n a n n *-=⎧=∈⎨⨯≥⎩；当1n =时，211003a a -<=，不等式1100n n a a +->不成立，当2n ≥时，1221343494n n n n n a a -+--=⨯--⨯=⨯，不等式1291001004n n n a a -+⇔>->，而N n *∈，解得4n ≥，因此对*,3n n ∀>∈N ，不等式1100n n a a +->恒成立，所以“*0,n N n ∀>∈N ，都有1100n n a a +->”为真命题的03N ≥，取0N 的一个值为3.故20,1,N 34,2n n n n *-=⎧∈⎨⨯≥⎩；3四、填空题13．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为__________.【正确答案】3【分析】设()00,P x y ，根据点P 到直线y x =的距离为2，求得22000021x y x y +-=，再由()00,x y 在圆C 上，得到()0010y x -=，取得00y =或01x =，进而求得满足条件的点的个数，得到答案.【详解】设()00,P x y ，由点P 到直线y x =2=两边平方整理得到22000021x y x y +-=①因为()00,x y 在圆C 上，所以()22012x y +-=，即2200021x y y +-=②联立①②得()0010y x -=，解得00y =或01x =，当00y =时，由①②可得201x =，解得01x =或01x =-，即(1,0)P 或(1,0)P -当01x =时，由①②可得20020y y -=，解得00y =或02y =，即(1,0)P 或()1,2P 综上，满足条件的点P 的个数为3.故3.五、双空题14．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=-+>< ⎪⎝⎭满足：()πR,2x f x f x ⎛⎫∀∈+=- ⎪⎝⎭，ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且在ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则ω=__________；ϕ=__________.【正确答案】23π-/13π-【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的周期及对称中心，结合单调递减区间求解作答.【详解】由()πR,2x f x f x ⎛⎫∀∈+=- ⎪⎝⎭，得π(π)()()2f x f x f x +=-+=，因此π是函数()f x 的一个周期，又函数()f x 在ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则函数()f x 的周期ππ5π(31262[T --=≥，因此函数()f x 的最小正周期为π，则2π2πω==，由ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，函数()f x 图象的一个对称中心为π(,0)6，即有π2π,Z 6k k ϕ⨯+=∈，而π||2ϕ<，于是π0,3k ϕ==-，此时π()sin(2)3f x x =--，当ππ(,)123x ∈-时，πππ2(,)323x -∈-，正弦函数sin y x =在ππ(,)23-上单调递增，于是函数()f x 在ππ(,)123-上单调递减，所以2ω=，π3ϕ=-.故2；π3-六、填空题15．已知集合(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1②在阴影部分任取一点M ，则M 到坐标轴的距离小于等于3；③阴影部分的面积为8π；④阴影部分的内外边界曲线长为8π.其中正确的有__________.【正确答案】①②④【分析】对于①，令0x =,求出[1]y ∈- ，求出点,A B 坐标即得解；对于②，利用圆的参数方程设点，再利用绝对值三角不等式得解；对于③，利用割补法求解；对于④，求出阴影部分的内外边界曲线的各个部分即得解.【详解】对于①，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，令0x =时，整理得[]32sin 0,2y y =-∈θ，解得[1]y ∈- ，“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点(0,1)B -，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为||1AB =,故①正确；对于②，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，整理得：2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩，所以2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++，所以M 到坐标轴的距离为||2cos cos αθ+或|2sin sin |αθ+，因为cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈，所以2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=，|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=，所以M 到坐标轴的距离小于等于3，故②正确；对于③，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，令0y =时，整理得[]32cos 2,2y y=-∈-θ，解得[3,1][1,3]x ∈-- ，因为22(cos )(sin )4x y -+-=θθ表示以()cos ,sin Q θθ为圆心，半径为2r =的圆，则13r OQ OP OQ r =-≤≤+=，且0πθ≤≤，则()cos ,sin Q θθ在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以O 为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以O 为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以()1,0M -为圆心，半径为2的圆弧，设()1,0N ，则2AN AM MN ===，即 AN 所对的圆心角为π3，同理¼AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为π3，阴影部分在第四象限的外边界为以()1,0N 为圆心，半径为2的圆弧，设()()3,0,3,0G H -，可得π1,3ON OD OND ==∠=， DG 所对的圆心角为2π3，同理 DH所在圆的半径为2，所对的圆心角为2π3，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，所以它的面积是212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯= ⎝弓形半圆V .x 轴上方的阴影半圆的面积为219π3π22⨯=,第四象限的阴影部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和减去14个半圆的面积，且等于2211π5π211π32412⨯⨯+-⨯=+所以阴影部分的面积为95117π2(πππ212262++-++，故③错误；对于④，x 轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=，x 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=，所以阴影部分的内外边界曲线长为13π11π8π33+=，故④正确.故①②④.关键点睛：解答本题有三个关键，其一是写出圆的参数方程，设出点的坐标，其二是利用割补法求不规则图形的面积，其三是利用三角函数的值域求出图形与坐标轴的交点的坐标.七、解答题16．已知函数()2122cos sin f x x x ωω=-.(1)求()0f 的值；(2)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期.【正确答案】(1)2(2)详见解析【分析】（1）代入公式即可求得()0f 的值；（2）选①时，先化简题给解析式再利用三角函数的性质即可求得函数()f x 的周期和在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值；选②时，利用二次函数性质即可求得函数()f x 在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并直接得到函数()f x 的一个周期.【详解】（1）()2122cos sin f x x x ωω=-，则()202cos 0sin0=2f =-（2）选①121,2ωω==时，()2n 2π2cos sin 1cos 2si42s 21f x x x x x x ⎛⎫=-=+-=++ ⎪⎝⎭由ππ,26x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得2,2π3π7441πx ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πcos 2124x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02114x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，则当244π3πx +=-，即π2x =-时函数()f x 取得最小值0，函数()f x 的周期为2ππ2=选②121,1ωω==时，()2221172cos sin 2sin sin 22sin 48f x x x x x x ⎛⎫=-=--+=-++⎪⎝⎭由ππ,26x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()1f x ≥则当π2x =-或π6x =时函数()f x 取得最小值1，函数()f x 的周期为π.17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929187909290第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为211,x s ，考核成绩的平均数和方差分别为222,x s ，试比较1x 与221,x s 与22s 的大小.（只需写出结论）【正确答案】(1)0.5；(2)X 的分布列见解析，数学期望为1；(3)12x x =；2212s s >.【分析】（1）由题可得10名学生的考核成绩，然后根据古典概型概率公式即得；（2）根据条件可得X 可取0,1,2，然后分别求概率可得分布列进而可得期望；（3）利用平均数和方差公式即得.【详解】（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人,所以样本中学生考核成绩大于90分的频率是50.510=.从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5；（2）由题知，考核成绩小于90分的学生共4人，其中两轮测试至少有一次大于90分学生有2人.所以X 可取0,1,2，则()022224C C 10C 6P X ===，()112224C C 21C 3P X ===，()202224C C 12C 6P X ===，所以X 的分布列为X012P162316所以()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=；（3）由题可得()119689888892918790929090.310x =⨯+++++++++=，()219389.589.588908991.59190.59190.310x =⨯+++++++++=，()()()2222119690.38990.39090.3 6.2110s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦ ()()()2222219390.389.590.39190.3 1.8110s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦ ，所以12x x =；2212s s >.18．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是棱11,AA BB 上的点，1113A E BF AA ==.(1)证明：平面CEF ⊥平面11ACC A ；(2)若2AC AE ==，求二面角1E CF C --的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；（2）求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取BC 的中点O ,连接OA ，在正三棱柱111ABC A B C -中，不妨设12,3AB a AA ==;以O 为原点，,OB OA分别为x 轴和y 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则(),0,0C a -,()()(),0,,0,1,0,,2A F a E ，()()()()12,0,1,,2,,0,0,0,3CF a CE CA a CC ====；设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CF n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,2020ax z ax z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取=1x -，则2y z a ==，即()1,2n a =-；设平面11ACC A 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则100m CA m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即11130ax z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取11y =-得)1,0m =- .因为0m n ⋅=+=，所以平面CEF ⊥平面11ACC A；（2）因为2AC AE ==，由（1）可得1a =，即()1,n =-，易知平面1CFC的一个法向量为()OA =,cos ,n OA n OA n OA⋅==-二面角1E CF C --的余弦值为4.19．已知函数()()21ln 12f x x x =--+，其中0a >.(1)若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；(2)求()f x 的单调区间；(3)若()f x 在[)0,∞+上的最大值是0，求a 的取值范围.【正确答案】(1)13a =(2)见解析.(3)[1,)+∞【分析】（1）对函数求导，通过2x =是()f x 的极值点，即求出a 的值；（2）对函数求导，分别讨论a 取不同值时函数的单调性，即可求出()f x 的单调区间；（3）由函数在区间上的最大值，分类讨论在不同a 取值时函数的单调性和值域，即可得出a 的取值范围.【详解】（1）由题意，1x >-，在()()21ln 12f x x ax x =--+中，0a >，()(1)1x ax a f x x--+'=+.∵2x =是()f x 的极值点∴()20f '=，解得.13a =经检验，13a =时符合题意，∴13a =.（2）由题意，1x >-，在()()21ln 12f x x ax x =--+中，0a >，()(1)1x ax a f x x--+'=+.当()0f x '=时，解得1210,1x x a==-.①当01a <<时，,()x f x 与()f x '的情况如下:x()11,x -1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '-+-()f x 极小值极大值()f x 的单调递增区间是10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是(1,0)-和11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；②当1a =时，()()21ln 12f x x x x =--+，()201x f x x'-=≤+，∴()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞，无增区间；③当1a >时，()()21ln 12f x x ax x =--+，()(1)1x ax a f x x--+'=+，210,,()x x f x -<<与()f x '的情况如下：x()21,x -2x ()21,x x 1x ()1,x +∞()f x '-+-()f x 极小值极大值∴当1a >时，()f x 的单调递增区间是11,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和(0,)+∞.综上，当01a <<时，()f x 的单调递增区间是10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是(1,0)-和11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭;当1a =时，()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞，无减区间；当1a >时，()f x 的单调递增区间是11,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和(0,)+∞.（3）由题意，在()()21ln 12f x x ax x =--+中，0a >，()f x 在[)0,∞+上的最大值是0，当01a <<时，()f x 在(0,)+∞的最大值是11f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,∵11(0)0f f a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，不合题意，舍去;当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递减，可得()f x 在[0,)+∞上的最大值是(0)0f =，符合题意.∴a 的取值范围[1,)+∞.本题考查了函数的求导，导数法求函数单调性，考查分类讨论法求函数的单调性和求参数的取值范围，具有极强的综合性.20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为()2,,0,A a F -为椭圆右焦点，3AF =.(1)求椭圆C 的方程与离心率；(2)设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M .直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E .求证.ODF OEF∠=∠【正确答案】(1)22143x y +=，12e =.(2)证明见解析.【分析】（1）由题知1c =,3AF a c =+=,求得a ,再由222b a c =-,即可求椭圆C 的方程与离心率.（2）设AP 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标，求得M 坐标，求得直线OM 的方程，分别取得D ，E 点坐标，则EF OM ⊥，DF OE ⊥，在Rt EHO 和Rt DGO 中ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以ODF OEF ∠=∠.【详解】（1）椭圆的焦距为2，所以22c =，1c =，又3AF a c =+=，所以2,a =2223b a c =-=，椭圆C 的方程是22143x y+=，离心率为12c e a ==.（2）由（1）得(2,0)A -.设AP 的中点为00(,)M x y ，11(,)P x y .设直线AP 的方程为:(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=，所以21216243k x k --+=+，所以202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即22286(,)4343k kM k k -++，所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+，所以直线OM 的方程是34y x k=-，令4x =得4(4,)D k -，直线OE 的方程是y kx =，令4x =得(4,4)E k =，由()1,0F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ;因为直线DF 的斜率是3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G .在Rt EHO 和Rt DGO 中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以ODF OEF ∠=∠.21．有限数列n A ：1a ，2a ，…，n a ．（3n ≥）同时满足下列两个条件：①对于任意的i ，j （1i j n ≤<≤），<i j a a ；②对于任意的i ，j ，k （1≤<<≤i j k n ），i j a a ，j k a a ，i k a a ，三个数中至少有一个数是数列n A 中的项．(1)若4n =，且11a =，22a =，3a a =，46a =，求a 的值；(2)证明：2，3，5不可能是数列n A 中的项；(3)求n 的最大值．【正确答案】(1)3a =(2)证明见解析(3)9【分析】（1）利用①推出a 的范围．利用②求解a 的值即可；（2）利用反证法：假设2，3，5是数列n A 中的项，利用已知条件②①，推出23n n a a --=得到矛盾结果．（3）n 的最大值为9，一、令9A ：1114,2,1,,,0,,1,2242-----，则9A 符合①②，二、设n A ：1a ，2a ，…，n a （3n ≥）符合①②，（i ）n A 中至多有三项，其绝对值大于1．利用反证法证明假设n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不正确；（ii ）n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1．利用反证法推出矛盾结论、（iii ）n A 中至多有两项绝对值等于1．（iv ）n A 中至多有一项等于0．推出n 的最大值为9．【详解】（1）由①得：26a <<，由②得：当2i =，3j =，4k =时，2a ，6a ，12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但66a >，126>，故26a =，解得：3a =，经检验，当3a =时，符合题意，（2）假设2，3，5是数列n A 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列n A 中的项，则有限数列n A 的最后一项5n a >，且4n ≥，由①，1231n n n n a a a a --->>>>，对于数2n a -，1n a -，n a 由②可知：21n n n a a a --=，对于数3n a -，1n a -，n a ，由②可知：31n n n a a a --=，所以23n n a a --=，这与①矛盾．所以2，3，5不可能是数列n A 中的项．（3）n 的最大值为9，证明如下：一、令9A ：1114,2,1,,,0,,1,2242-----，则9A 符合①②，二、设n A ：1a ，2a ，…，n a （3n ≥）符合①②，则：（i ）n A 中至多有三项，其绝对值大于1．假设n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设i a ，j a ，k a ，l a 是n A 中绝对值最大的四项，其中1i j k l a a a a <≤≤≤，则对i a ，k a ，l a 有i l l a a a >，k l l a a a >，故i l a a ，k l a a 均不是数列n A 中的项，即i k a a 是数列n A 中的项，同理：j k a a 也是数列n A 中的项．但i k k a a a >，j k k a a a >，所以i k j k l a a a a a ==，所以i j a a =，这与①矛盾．（ii ）n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1，假设n A 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（i ）得出矛盾，（iii ）n A 中至多有两项绝对值等于1．（iv ）n A 中至多有一项等于0．综合（i），（ii），（iii），（iv）可知n A中至多有9项，由一、二可得，n的最大值为9．。

北京高三高中数学高考模拟带答案解析

北京高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题某单位附近只有甲、乙两个临时停车场，它们各有个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场，在某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：时间点点点点点点如果表中某一时刻剩余停车位数低于该停车场总车位数的，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.（1）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（2）从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；（3）当乙停车场发出饱和警报时，求甲停车场也发出饱和警报的概率.北京高三高中数学高考模拟答案及解析一、解答题某单位附近只有甲、乙两个临时停车场，它们各有个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场，在某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：点点点点点点如果表中某一时刻剩余停车位数低于该停车场总车位数的，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.（1）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（2）从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；（3）当乙停车场发出饱和警报时，求甲停车场也发出饱和警报的概率.【答案】(1) ;(2) ; （3）.【解析】（1）根据表格可知，甲停车场在记录的六个时刻中剩余车位数低于该停车场总数10%的为10点，因此，车主收到甲停车场饱和警报的概率为；（2）从六个时刻中任选一个时刻，由表格可知，8点，10点，18点时，甲停车场剩余车位少于乙停车场，所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为；（3）本问考查条件概率，乙停车场发出饱和警报的时间为10点、12点、14点，这三个时刻中，甲停车场也发出饱和警报的为10点，所以当乙停车场发出饱和警报时，甲停车场也发出饱和警报的概率试题解析：(1) 事件“该车主收到甲停车场饱和警报”只有点这一种情况，该车主抵达单位共有六种情况，所以该车主收到甲停车场饱和警报的概率为.(2)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位少”有点、点、点三种情况，一共有六个时刻，所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为.（3）事件“乙停车场发出饱和警报” 有点、点、点三种情况，事件“甲停车场也发出饱和警报”只有点一种情况，所以当乙停车场发出饱和警报时，甲停车场也发出饱和警报的概率为.【考点】1.古典概型；2.条件概率.。

北京高三高中数学高考模拟带答案解析

北京高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知i 为虚数单位，复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，则输出的值是 A ．23 B ．31C ．32D ．634.已知函数的最小正周期为，则A ．函数的图象关于原点对称B ．函数的图象关于直线对称C ．函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数在区间上单调递增5.现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为 A ．12 B ．24 C ．36 D ．486.已知函数且．若函数的图象上有且只有两个点关于轴对称，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．二、填空题1.双曲线的渐近线方程是____，离心率是____．2.若平面向量，，且，则的值是____．3.等比数列{a n }的前n 项和为．已知，则{a n }的通项公式____，____．4.在极坐标系中，圆被直线所截得的弦长为____．5.已知满足若有最大值8，则实数的值为____．6.已知两个集合，满足．若对任意的，存在，使得（），则称为的一个基集．若，则其基集元素个数的最小值是____．三、解答题1.在△中, 角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△的面积．2.从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．3.如图1，在△中，，，分别为边的中点，点分别为线段的中点．将△沿折起到△的位置，使．点为线段上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，求直线与平面所成角的大小．4.已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．5.已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．6.各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：①；②；③是的因数（）．（Ⅰ）当时，写出数列的前五项；（Ⅱ）若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．北京高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.已知i为虚数单位，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】因为，所以对应的点的坐标是，所以在第二象限，故选B．【考点】1、复数的乘法运算；2、复平面．2.“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，由均值不等式成立。

2023年北京市高考数学模拟试卷+答案解析(附后)

2023年北京市高考数学模拟试卷1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 设复数z满足，则( )A. B. C. D. 53. 双曲线的两条渐近线所成锐角的大小等于( )A. B. C. D.4. 的展开式的二项式系数之和为8，则二项式展开式中的常数项等于( )A. 4B. 6C. 8D. 105. 在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为( )A. B. C. D.6. 已知函数，则不等式的解集为( )A. B.C. D.7. 宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中，，，那么的值为( )A. B. C. 4 D.8. 设为等比数列，若m，n，p，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知圆C：与直线1：，P为直线1上一动点，若圆上存在点A，使得，则的最大值为( )A. B. 4 C. 2 D.10. 《九章算术商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个堑堵，再沿平面截堑堵可得一个阳马四棱锥，一个鳖臑三棱锥，若P为线段CD上一动点，平面过点P，平面，设正方体棱长为1，，与图中的鳖臑截面面积为S，则点P从点D移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是( )A. B.C. D.11. 的零点为______.12. 正方形ABCD中，，P为BC中点，Q为DC中点，则______；若M为CD上的动点，则的最大值为______.13. 已知函数其中为实数，若对恒成立，则满足条件的值为______写出满足条件的一个值即可14. 已知抛物线C：的焦为，则抛物线C的方程是__________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则__________.15. 小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间月的关系的散点图.有以下叙述：①与函数相比，函数作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好；②按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍的面积就会超过；③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；④按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的蔓延到至少需要经过3个月.其中正确的说法有______填序号16.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，M为棱的中点．求证：；求证：平面；求二面角的余弦值．17. 在中，，，_____.求c的值.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 某学校为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数235154035定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数满意度指数012在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．19. 已知椭圆E：过点，且离心率为求椭圆E的方程；过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，N两点，已知，过M且与y 轴垂直的直线与直线DN交于点P，求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程. 20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若，讨论函数的单调性；当时，恒成立，求a的取值范围.21. 设数列A：，，…，的各项均为正整数，且…若对任意…，，存在正整数i，使得，则称数列A具有性质判断数列：1，2，4，7与数列：1，2，3，6是否具有性质T；只需写出结论若数列A具有性质T，且，，，求n的最小值；若集合…，2019，，且任意i，…，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质T的数列.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，又因为，所以，故选：由集合的补集得：，由集合的交集得：，得解．本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属简单题．2.【答案】C【解析】解：复数z满足，，故选：利用复数模长的定义和性质求解．本题主要考查了复数模长的定义和性质，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为双曲线的方程为：，所以它的渐近线方程为，即渐近线的斜率分别，即渐近线的倾斜角为和，所以一条渐近线与y轴的夹角为，故两条渐近线所成的锐角为故选：先求得渐近线的方程，进而求得渐近线的倾斜角，然后即可求得正确答案．本题考查了双曲线的渐近线的性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：的展开式的二项式系数之和为8，则，解得，故展开式的通项为，令，解得，故二项式展开式中的常数项等于故选：先求出n ，再结合二项式定理，即可求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：角的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点，，，，，，则，，故选：利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：令，得，得或；在同一坐标系内画出与的图象，如图所示，则不等式的解集为故选：令求得x 的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式的解集．本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查黄金矩形的定义，以及向量数量积的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．【解答】解：由黄金矩形的定义，可得，，在矩形ABCD中，，则，故选：8.【答案】A【解析】解：设等比数列的公比为r，则，，若，则成立，即充分性成立，当时，若，则不一定成立，即必要性不成立，故是的充分不必要条件．故选：根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为1，圆心到直线l的距离，可知直线与圆相离，由正弦定理可得三角形PAC的外接圆的直径，P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值为故选：由已知可得直线与圆相离，P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值．本题考查直线与圆位置关系的应用以及正弦定理的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查推理能力与计算能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：如图，设，，，，则为等腰直角三角形，则，，平面，，平面PMN，平面，平面平面，而平面平面，平面平面，，可得，则由，得，，即，则S关于x的函数图象大致是故选：由题意画出截面图，证明平面截三棱锥所得截面为等腰直角三角形，求其面积关于x的关系式，则答案可求．本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】，2【解析】解：当时，，解得；时，，解得，函数的零点为：，故答案为：，利用方程的根求解函数的零点即可．本题考查函数的零点的求法，是基础题．12.【答案】1 3【解析】解：以点D为原点，以直线DC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，P为BC中点，Q为DC中点，则：，，，，，；设，，则，，时，取最大值故答案为：1，可以点D为原点，以直线DC为x轴，建立平面直角坐标系，然后即可得出，，，从而可得出的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；可据题意设，并且，而进行数量积的坐标运算即可求出，从而可得出的最大值．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．13.【答案】【解析】解：由题意，对恒成立，可得时，取得最大值或最小值．若时，取得最大值，可得，若时，取得最小值，可得，故答案为：根据，可得时，取得最大值或最小值．即写出答案；本题考查了三角形函数的性质的应用．属于基础题14.【答案】6【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．利用抛物线的焦点坐标，求解p，然后求解抛物线方程，进而结合抛物线的有关性质即可得解．【解答】解：抛物线C：的焦为，可得，则抛物线C的方程是；M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则，则故答案为：；615.【答案】①②③【解析】解：对于①，当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，对应的y分别为，，，，当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，对应的y分别为，，，，通过比较已知散点图可知，与函数相比，函数作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好，故①正确，对于②，当时，，故第5个月时，浮萍的面积就会超过，故②正确，对于③，由可知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍，故③正确，对于④，由可知，当时，，当时，，即需要经过2个月，故④错误．故答案为：①②③．根据图象，求出函数的表达式，然后依次求解，本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查计算能力，属于中档题．16.【答案】证明：因为平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，即证明：设的中点为N，连接MN，则，连接，因为且，所以是平行四边形，所以，所以平面平面，所以平面解：以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，可得、、、、依题意，是平面ADE的一个法向量，，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，，因为二面角的平面角是钝角，所以，二面角的余弦值为【解析】证明，结合，推出平面，然后证明设的中点为N，连接MN，则，连接，证明，推出平面平面，即可证明平面以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直以及平面与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：选择①：由正弦定理知，，因为，，，所以，因为，所以，由余弦定理知，，所以，解得或5，当时，，所以，又，，所以，，所以，不符合题意，故选择②：因为，由正弦定理得，，又，，所以，由余弦定理知，，所以，解得或选择③：因为，所以，因为，所以，当时，由余弦定理知，，所以；当时，由余弦定理知，，所以，综上，或【解析】选择①：结合正弦定理与二倍角公式，可得，再由余弦定理求出或5，检验知，当时，，进而得解；选择②：结合二倍角公式与正弦定理，可得，再由余弦定理，得解；选择③：由三角形面积公式可得，从而知的值，再由余弦定理，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】本小题满分13分解：由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为，分所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为分设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件所以，，分由用频率估计概率得：，分因为事件与相互独立，其中，2，，所以分所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的分布列为：X012PB餐厅“满意度指数”Y的分布列为：Y012P因为；，所以，会选择B餐厅用餐．分注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．【解析】由对A餐厅评分的频率分布直方图，求解对A餐厅“满意度指数”为0的频率．然后求解对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数．设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件求出概率，利用独立重复概率乘法公式求解即可．从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：得到分布列，求出期望，即可推出结果．本题考查概率的应用，分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．19.【答案】解：由已知可得，解得，，所以椭圆E的方程为，证明：由题意可知点P所在直线必然垂直于x轴，设为，设直线MN的方程为：，，，联立方程，消去y整理可得：，所以，，则直线DN的方程为：，令，则，所以，故点P在定直线上．【解析】由已知建立方程组，联立即可求解；设点P所在的直线为，再设出直线MN 的方程以及点M，N，的坐标，并与椭圆方程联立，再写出直线DN的方程，求出点P的横坐标，利用韦达定理化简即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的分析问题的能力以及运算推理能力，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即：由，可得，由于，的解为，，当，即时，，则在上单调递增，当，即时，在区间，上，；在区间上，，所以在，上单调递增；在上单调递减．当，即时，在区间，上，；在区间上，，则在，上单调递增，在上单调递减．当时，因为，所以，，所以，则在上单调递增，成立，当时，，所以在上单调递增，所以成立，当时，在区间上，；在区间，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上，，不符合题意，综上所述，a的取值范围是【解析】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，函数单调性，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．当时，根据题意可得，计算，对求导得，再由导数的几何意义可得，进而写出切线方程．求导得，令的解为，，分三种情况：当，当，当，讨论正负，进而可得的单调区间．对求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论导数的正负得到的单调性，进而可得a的取值范围．21.【答案】解：，，2，4，7不具有性质P；，，，，2，3，6具有性质P，即数列不具有性质T，数列具有性质由题意可知，，，，…，，若，且，，同理，，，，，，数列各项均为正整数，，数列前三项为1，2，数列A具有性质T，只可能为4，5，6，8之一，而又，，同理，有，，，，此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，但数列中存在，使得，该数列不具有性质T，当时，取A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，构造数列不唯一，A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200，经验证，此数列具有性质T，的最小值为证明：假设结论不成立，即对任意…，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b 是一个具有性质T 的数列；当时，，a，b 是一个具有性质T 的数列；当时，a，a，b 是一个具有性质T的函数．由题意可知，这6 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337 个，不妨设此集合为，从中取出337 个数，记为，，…，且…，令集合…，由假设，对任意，2，…，336，，，在，，，，中至少有一个集合包含中的至少68 个元素，不妨设这个集合为，从中取出68 个数，记为，，…，，且…，令集合…，由假设，对任意，2，…，68，存在…，使得，对任意，由假设，，，在，，，中至少有一个集合包含中的至少17 个元素，不妨设这个集合为，从中取出17 个数，记为，，…，，且…，令集合…，，由假设，对任意，2，…，17，存在…，使得，对任意，同样，由假设可得，，同样，在，中至少有一个集合包含中的至少3 个元素，不妨设这个集合为，从中取出3 个数，记为，，，且，同理可得由假设可得，同上可知，，而又，，矛盾．假设不成立，原命题得证．【解析】根据，可知1，2，4，7不具有性质P，由，，，可知1，2，3，6具有性质P；由数列A具有性质T，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到n的最小值；假设结论不成立，即对任意…，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b 是一个具有性质T 的数列；当时，，a，b 是一个具有性质T 的数列；当时，a，a，b 是一个具有性质T的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。

北京高三高中数学高考模拟带答案解析

北京高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知向量（1，），（，1），若与的夹角为，则实数的值为A．B．C．D．2.设集合A=，B=，则等于A B C D3.设p、q是简单命题，则为真是为真的A 充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.在中，sin(A+B)=sin(A-B),则一定是A 等腰三角形 B等边三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形5.甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有A ， B ，C ，D ，6.已知函数f(x)是偶函数，在（0，+¥）上导数>0恒成立，则下列不等式成立的是Ａf(-3)<f(-1)<f(2) B f(-1)<f(2)<f(-3)C f(2)<f(-3)<f(-1)D f(2)<f(-1)<f(-3)7.设a,b,c是空间三条不同的直线，a，b，g是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若是在内的射影，，则.其中正确的个数是A 1B 2C 3D 48.在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中常数称公积。

若数列是等积数列，且，公积为6，则的值是A B C D9.已知向量（1，），（，1），若与的夹角为，则实数的值为A．B．C．D．10.设集合A=，B=，则等于A B C D11.设p、q是简单命题，则为真是为真的A 充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12.在中，sin(A+B)=sin(A-B),则一定是A 等腰三角形 B等边三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形13.甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有A ， B ，C ，D ，14.已知函数f(x)是偶函数，在（0，+¥）上导数>0恒成立，则下列不等式成立的是Ａf(-3)<f(-1)<f(2) B f(-1)<f(2)<f(-3)C f(2)<f(-3)<f(-1)D f(2)<f(-1)<f(-3)15.设a,b,c是空间三条不同的直线，a，b，g是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若是在内的射影，，则.其中正确的个数是A 1B 2C 3D 416.在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中常数称公积。

北京市2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(2)

一、单选题二、多选题1. 已知O 为坐标原点，F 是抛物线的焦点，P 为抛物线上一点，且，则（）A ．11B ．12C ．13D ．142. 已知，则（）A．B．C．D．3. 已知，，，则（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a4. 某地区一个家庭中孩子个数X 的情况如下．X 1230P每个孩子的性别是男是女的概率均为，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为（）A．B．C．D．5. 有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（）A ．65，76，82B ．66，74，82C ．66，76，79D ．66，76，826. “”是“圆上有四个不同的点到直线的距离等于1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的一支交于点，且，若，，则双曲线的离心率为（）.A．B．C．D．8. 圆C：的圆心坐标是（）A ．(0，0)B ．(1，1)C ．(2，2)D ．(3，3)9.如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，为双曲线上的动点，已知，则的值可能为（）A．B．C．D．10.已知正数满足，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．11. 已知抛物线过点，焦点为F ，则（）A ．点M 到焦点的距离为3北京市2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(2)北京市2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(2)三、填空题四、解答题B ．直线MF 与x 轴垂直C ．直线MF 与C 交于点N ，以弦MN 为直径的圆与C 的准线相切D ．过点M 与C相切的直线方程为12.已知函数的部分图像如图所示.对于，且，若，都有成立，则（）A．B．C ．直线是图像的一条对称轴D ．在上单调递增13. 已知为双曲线的一个焦点，为坐标原点，的中点到的一条渐近线的距离为，则的离心率为________.14. 某工厂生产的三种不同型号的产品数量之比依次为，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有16件，则的值为__________．15. 已知向量、的夹角为，，，则________．16.已知数列的前n项和是，且．求：(1)数列的通项公式；(2)数列落入区间内的所有项的和．17. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．(1)求A ；(2)若，且BC边上的高为，求a ．18. 已知，曲线．(1)若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值；(2)若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程；(3)设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：当时，A ，，三点共线．19. 已知.(1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；(2)已知，，求函数，的值域.20. 设函数(为自然对数的底数),.(1)证明:当时,没有零点;(2)若当时,恒成立,求的取值范围.21. 如图，三棱锥中，平面（1）求证：平面平面;（2）若，Q为的中点，求点C到平面的距离．。

北京市高考模拟考试数学试卷及答案解析

北京市高考模拟考试数学试卷及答案解析班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．已知集合{|10}M x x =->，集合{|20}N x x =-≥，则（） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．M N ⋂=∅D ．M N ⋃=R2．若a b >，c d >则下列不等式一定正确的是（） A ．ac bd >B ．a c b d ->-C ．a bd c> D ．ac bd ad bc +>+ 3．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为（）A ．1516B ．316C ．152D ．1544．若圆()()22:122C x y ++-=被直线260ax by ++=平分，由点(),P a b 向圆C 作切线，切点为A ，则PA 的最小值是（）A ．4B ．C ．3D ．65．已知数列{}n a 为等比数列，则“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆221259x y +=与双曲线22217x y a -=焦点重合，该双曲线的离心率为（） A ．43 B ．34C ．49D ．1697．正方体中，点P ，Q ，R ，S 是其所在棱的中点，则PQ 与RS 是异面直线的图形是（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()[]sin 2,,f x x x a b =∈，则“πb a -≥”是“f （x ）的最大值为1”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知a 为单位向量，则“||||1a b b +-=”是“存在0λ>，使得b a λ=”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a m =且对任意的*n ∈N 都有121++=+n n a a n ，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）①存在实数m ，使得{}n a 为等差数列； ②存在实数m ，使得{}n a 为等比数列；③若存在*k ∈N ，使得155k k S S +==，则实数m 唯一. A ．② B ．①C ．①③D ．①②③二、填空题11．设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．12．若分段函数()321,023,0x x x x f x x ⎧++<=⎨-≥⎩，将函数()()[],,y f x f a x m n =-∈的最大值记作[],a Z m n ，那么当22m -≤≤时，[]2,2Z m m +的取值范围是___________.13．已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.14．)221ln13log 4812lg123100-⎛⎫-++= ⎪⎝⎭________．三、双空题四、解答题16．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 为等腰直角三角形，侧面11AA C C ⊥底面,ABC D 为AC 中点1AB BC AA ==(1)求证1BD A D ⊥；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1A CC B --的余弦值. 条件①111AC B C ⊥；条件②：11AA B C = 17．已知函数()()2sin cos sin 1f x x x x =-+ (1)求函数()f x 的单调递减区间； (2)若π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.18．某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：并整理得到频率分布直方图如图所示．(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数； (3)估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．19．已知函数()ln(1)sin cos f x x x x =+++. (1)当[0,π]x ∈时，求证()0f x >； (2)若()1f x ax ≤+恒成立，求a 的值.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过3(2,0),1,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，设过点(2,1)P -的直线椭圆交E 于M ，N 两点，过M 且平行于y 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =． (1)求椭圆E 的方程： (2)证明：直线HN 过定点．21．已知数表11121221222n n n a a a A a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭中的项(1,2;1,2,,)ij a i j n ==互不相同，且满足下列条件：①{}1,2,,2ij a n ∈；②()112(1)0(1,2,,)m m m a a m n +--<=.则称这样的数表2n A 具有性质P .(1)若数表22A 具有性质P ，且124a =，写出所有满足条件的数表22A ，并求出1112a a +的值；(2)对于具有性质P 的数表2n A ，当11121n a a a ++⋅⋅⋅+取最大值时，求证：存在正整数()1k k n ≤≤，使得12k a n =； (3)对于具有性质P 的数表2n A ，当n 为偶数时，求11121n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值.参考答案与解析1．B2．D【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项；利用作差法可判断D 选项.3．A【分析】利用二项式的通项公式即可得出．【详解】解：二项式的展开式的通项公式为123161()2r r r r T C x -+=⋅⋅ 令1230r -=，解得：4r =∴二项式的展开式中的常数项为446115()216C =. 故选：A ．【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题． 4．A【分析】根据圆()()22122x y ++-=被直线260ax by ++=平分，得到直线260ax by ++=过圆的圆心，代入圆心坐标的3a b -=，即可得到点P 的轨迹方程为3x y -=，然后根据相切得到PA AC ⊥，利用勾股定理得到PA =PC 的最小值即可.【详解】因为圆()()22122x y ++-=被直线260ax by ++=平分，所以直线260ax by ++=过圆的圆心由圆的方程得圆心C1,2，代入直线得2260a b -++=，整理得3a b -=因为点(),P a b ，所以P 为直线3x y -=上一动点因为PA 与圆相切，所以PA AC ⊥，PA ==PA 最小时，PC 也最小min PC ===min 4PA ==. 故选：A. 5．C【分析】先考虑充分性，再考虑必要性即得解.【详解】解：如果{}n a 为常数列，则123,,a a a 成等差数列，所以“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的充分条件；123,,a a a 等差数列，所以22131112,2,1a a a a q a a q q =+∴=+∴=，所以数列为111,a a a ,所以数列是常数列，所以“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的必要条件. 所以“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的充要条件. 故选：C 6．A【分析】计算出焦点坐标，再由双曲线,,a b c 关系列式求解a ，从而得离心率. 【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，焦半距为4 在双曲线中，c=4，所以2716a +=，解得3a = 所以双曲线的离心率为43c e a ==. 故选：A 7．C【分析】对于A ，B ，D ，利用两平行线确定一个平面可以证明直线PQ 与RS 共面，对于C ，利用异面直线的定义推理判断作答．【详解】对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，11A C 则11//AC A C ，如图8．A【分析】利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.【详解】因为函数sin 2y x =为周期为π的函数又πb a -≥，所以函数()[]sin 2,,f x x x a b =∈的最大值为1 所以“πb a -≥”是“f （x ）的最大值为1”的充分条件；由π02x ≤≤时，可得02πx ≤≤，则0sin 21x ≤≤ 当且仅当π4x =时等号成立所以()sin 2f x x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，此时π0π2-<所以“πb a -≥”不是“f （x ）的最大值为1”的必要条件所以“πb a -≥”是“f （x ）的最大值为1”的充分而不必要条件故选：A. 9．B【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例0b =即可，对于后者是否推前者，由后者可得,a b 共线且同方向，则||||||1a b b a b b a +-=+-==，即后者能推出前者，最后即可判断. 【详解】若0b =，则||||1a b b a +-==，但此时不存在0λ>，使得b a λ= 故不存在0λ>，使得b a λ=，故前者无法推出后者若存在0λ>，使得b a λ=，则,a b 共线且同方向此时||||||1a b b a b b a +-=+-==，故后者可以推出前者故“||||1a b b +-=”是“存在0λ>,使得b a λ=的必要不充分条件” 故选：B. 10．B所以1212321n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，则22n n a a +-=所以数列{}2n a 、{}21n a -为等差数列，且公差为2 由123a a +=，1a m =得，23a m =-所以1,211,2n m n n k a m n n k+-=-⎧=⎨-++=⎩()*k N ∈11．【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值【详解】1212i,3i z z m =+=+ 23i z m ∴=-12(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅为纯虚数 606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+12z z ∴+故答案为：12．[3,12]【分析】求出(2)f ，作出函数()1y f x =-的图象，然后对m 分类，求[]2,2Z m m +的最大值即可.【详解】由题知，()321,023,0x x x x f x x ⎧++<=⎨-≥⎩，得(2)1f =对于最大值2Z 型，对应函数()()()32,0124,0x x x x y f x f a f x x ⎧+<⎪=-=-=⎨-≥⎪⎩，图象草图如下：当21m -≤<-，021m ≤+<时，3232(),1,1042,02x x x m x y x x x x m ⎧-+≤<-⎪=+-≤<⎨⎪-≤≤+⎩由图象知，0(,1)x ∃∈-∞-使200(1)3y x x =-+=，则0[2,)m x ∈-时函数最大值为2(1)(3,4]y m m =-+∈，而0(,1)m x ∈-时函数最大值为3y =所以，上述情况最大值范围为[3,4]；当10m -≤≤，122m ≤+≤时，32,042,02xx x m x y x m ⎧+≤<=⎨-≤≤+⎩ 由图象知，函数最大值恒为3；当02m <≤，224m <+≤时，42,224,22x x m x y x m ⎧-≤≤=⎨-<≤+⎩由图象知，存在2log 7x =时3y =，则2(0,log 72)m ∈-时函数最大值为3y =，而2(log 72,2]m ∈-时函数最大值为224[3,12]m y +=-∈所以，上述情况最大值范围为[3,12]；综上，[]2,2Z m m +的取值范围是[]3,12 故答案为：[]3,12 13．32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ± 不妨设(,)2pP p因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧又||6FQ = (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-= 0,3p p >∴=所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 14．34-【分析】结合指数幂、对数运算法则化简求值【详解】原式)222232333log 222323223132lg101221232344423-⨯-----⎛⎫=-++=--+=--⨯=- ⎪⎝⎭15．2π()5,10 【分析】①利用正弦定理求得sin B 的值，结合角B 的取值范围可求得结果；②作出图形，结合图形可得出角B 有两个解时，a 满足的不等式，进而可求得a 的取值范围.【详解】①由正弦定理sin sin a b A B =可得110sin 2sin 15b A B a ⨯=== 0B π<< 2B π∴=；②在ABC 中，b=10，6A π=如下图所示：若使得角B 有两个解，则sin b A a b <<，即510a <<. 故答案为2π()5,10. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，同时也考查了利用三角形多解求边长的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 16．(1)证明见解析 (2)23【分析】（1）根据面面垂直的性质可得BD ⊥平面11AAC C ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）选①，取11A C 的中点E ，连接1,B E CE ，证明1AC A D ⊥，再以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.选②，取11A C 的中点E ，连接1,,B E CE DE ，利用勾股定理证明1AD A D ⊥，再以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为AB BC =，D 为AC 中点所以BD AC ⊥又因为面11AA C C ⊥面ABC ，面11AAC C 面ABC AC =，BD ⊂面ABC所以BD ⊥平面11AAC C又1A D ⊂平面11AAC C ，所以1BD A D ⊥；（2）选①，取11A C 的中点E ，连接1,B E CE 则1A E DC ∕∕且1A E DC =所以四边形1A DCE 为平行四边形，所以1A D CE ∕∕ 因为1111A B B C =，E 为11A C 的中点所以111AC B E ⊥又11111111,,,AC B C B C B E B B C B E ⊥⋂=⊂平面1CB E 所以11A C ⊥平面1CB E又11AC A C ∕∕，所以AC ⊥平面1CB E 又CE ⊂平面1CB E ，所以AC CE ⊥ 因为1A D CE ∕∕，所以1AC A D ⊥如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系由1AB BC AA ==12,2AC A D == 则()()()()10,0,0,0,1,0,1,0,0,2,0,2D B C C -- 则()()11,1,0,1,0,2CB CC ==- 因为BD ⊥平面11AAC C所以()0,1,0DB =即为平面11AAC C 的一条法向量设平面1BCC 的法向量为(),,n x y z = 则有1020n CB x y n CC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()2,2,1n =-则22cos ,133n DB n DB n DB⋅-===-⨯ 由图可知，二面角1A CC B --为锐二面角所以二面角1A CC B --的余弦值为23.选②，取11A C 的中点E ，连接1,,B E CE DE 则1A E DC ∕∕且1A E DC =所以四边形1A DCE 为平行四边形，所以1A D CE ∕∕且1A D CE = 因为1C E DC ∕∕且1C E DC =所以四边形1A DCE 为平行四边形，所以1BD B E ∕∕且1BD B E = 又因为1BD A D ⊥，所以1CE B E ⊥又11AA BC =11BD B E == 所以2CE =，则12A D CE ==在1ADA △中，因为22211AD A D A A +=所以1AD A D ⊥如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系下同选①的答案.17．(1)π5π,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)⎣【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式可得()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数单调性，列出不等式求解即可；（2）求出函数()f x 的相位范围，利用正弦函数单调性求出函数的最值即可求解.【详解】（1）()22sin cos 2sin 1f x x x x =-+πsin 2cos 224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由ππ3π2π22π,Z 242k x k k +≤+≤+∈得：π5πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递减区间是π5ππ,π(Z)88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ11π2,4412x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦又函数sin y x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π11π,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减且ππ11πsin 1,sin 4212===πsin 214x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭π24x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的值域为⎣. 18．(1)0.2 (2)25人(3)众数为75；测评成绩的75%分位数为78.75 (4)3:2【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，则可得出总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计值；（2）先由频率分布直方图可得分数不小于50的频率，即可得出分数不小于50的人数，在集合题意即可得出总体中分数在区间[)40,50内的人数；（3）总数为频率分布直方图中频率最高的分数区间的中间值，测评成绩的75%分位数先得出从前到后的频率之和为0.75时在那个区间，在通过频率求出；（4）先由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数，在通过已知得出样本中的男女生比例，即可得出总体中男女生的比例估计.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：()0.020.040.02100.8++⨯= 则分数小于60的频率为：10.80.2-=故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.2；（2）由频率分布直方图可得分数不小于50的频率为：()0.010.020.040.02100.9+++⨯= 则分数在区间[)40,50内的人数为：1001000.955-⨯-=人则总体中分数在区间[)40,50内的人数为550025100⨯=人；（3）由频率分布直方图可得分数在区间[)70,80的频率最高则随机抽取的100名学生分数的众数估计为75由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4，分数小于80的频率为0.8 则测评成绩的75%分位数落在区间[)70,80上则测评成绩的75%分位数为0.35701078.750.4+⨯=；（4）由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=人因为样本中分数不小于70的男女生人数相等所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=人又因为样本中有一半男生的分数不小于70 所以样本中的男生共有30260⨯=人则样本中的女生共有1006040-=人所以总体中男生和女生人数的比例估计为60:403:2=. 19．(1)证明见解析(2)2a =【分析】（1）化简π()ln(1)4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，分类讨论3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和3π,π4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，πln(4x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的正负，即可证明；（2）因为()1f x ax ≤+，令()ln(1)sin cos 1g x x x x ax =+++--，（1x >-），要使()0g x ≤恒成立，只要max [()]0g x ≤，对()g x 求导，讨论()g x 的单调性，即可得出答案.【点睛】关键点点睛：第二问，确定函数在0处取得最值，且把定义域分段研究是关键20．(1)22143x y += (2)直线HN 过定点(2,0)-，证明见解析.【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P 的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线TN 的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【详解】（1）解：因为椭圆E 的方程为2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过3(2,0),1,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点则222411914a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b = 所以椭圆E 的方程为：22143x y +=. （2）因为3(2,0),1,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()3:22AB y x =+①假设过点(2,1)P -的直线过原点，则2x y =-，代入22143x y +=可得(M，N ，代入AB 方程()322y x =+，可得()3(2)2T ，由MT TH =得到(6)H .求得HN 方程：)2y x =+ 过点(2,0)-. ②分析知过点(2,1)P -的直线斜率一定存在，设1122210,(,),(,)kx y k M x y N x y -++=. 联立22210,143kx y k x y -++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)(168)4(443)0k x k k x k k +++++-= 可得21222122168434(442)43k k x x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩ 所以()121221264243k y y k x x k k ++=+++=+()()()()2221212121223122121244143ky y kx k kx k k x x k kx x k kk +=++++=+++++=+且()()()()1221122112122242121221(*)43kx y x y x kx k x kx k kx x k x x k -+=+++++=++=+ 因为点H 满足MT TH =，所以T 为MH 的中点联立()1,322x x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()()111113(,2),(,32).2T x x H x x y ++- 可求得此时112221236:()x y y HN y y x x x x +---=-- 假设直线HN 过定点(2,0)-将(2,0)-，代入整理得12121221126()2()3120x x y y x y x y x x -+++++--= 将(*)代入，得222964824122448482448360,k k k k k k k +++---+--= 显然成立综上，可得直线HN 过定点(2,0)-. 21．(1)答案见解析 (2)证明见解析(3)21128n n +【详解】（1）满足条件的数表22A 为141424233231⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，所以1112a a +的值分别为5，5，6. （2）若当11121n a a a +++取最大值时，存在1j n ≤≤，使得22j a n =.由数表2n A 具有性质P 可得j 为奇数不妨设此时数表为1112122222n n n a aa A n aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ①若存在1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），使得111k a a >，交换1k a 和2n 的位置，所得到的新数表也具有性质P 调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1i n ≤≤，使得12i a n =.②若对任意的1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），都有111k a a <，交换12a 和11a 的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数(1)k k n ≤≤，使得12k a n =.【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说明题目成立.。

2021年北京市普通高中高考数学仿真试卷(一)(附答案详解)

2021年北京市普通高中高考数学仿真试卷（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共27小题，共81.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−3x −4>0},B ={x|xx−5<0}，那么集合(∁U A)∩B =( )A. {x|−1≤x ≤4}B. {x|0<x ≤4}C. {x|0<x <5}D. {x|−1≤x <5}2. 在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知直线l 1：x −y −4=0和直线与l 2：mx −2y +8=0平行，则实数m 的值为( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(13,√33)，则log 3f(81)的值为( )A. 12B. −12C. 2D. −25. 已知幂函数图像经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是( )A. y =3xB. y =(2√2)xC. y =x 3D. y =x 2√26. 若平面α与β的法向量分别是a ⃗ =(2,4,−3),b ⃗ =(−1,2,2)，则平面α与β的位置关系是( )A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 无法确定7. 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A. 118B. 19C. 16D. 1128. 某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取( )A. 65人，150人，65人B. 30人，150人，100人C. 93人，94人，93人D. 80人，120人，80人9. 已知sin(π2−α)=35，则cos(π+α)=( )A. −35B. 35C. 45D. 4510. 点P(x,y)在直线x +y −2=0上，O 是坐标原点，则|OP|的最小值是( )A. 1B. √2C. 2D. 2√211.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，且c⃗=λa⃗+b⃗ ，d⃗=a⃗+(2λ−1)b⃗ ，若c⃗与d⃗共线反向，则实数λ的值为()A. 1B. −12C. 1或−12D. −1或−1212.已知直线l经过A(1,1)，B(2,3)两点，则l的斜率为()A. 2B. 23C. 43D. 1213.已知直线xa +4yb=1(a>0,b>0)过点(1,1)，则a+b的最小值为()A. 2B. 4C. 7D. 914.函数y=2x−lnx的零点所在区间是()A. (3,4)B. (2,3 )C. (1,2 )D. (0,1)15.下列函数中是偶函数，且在(−∞,0)上单调递增的是()A. f(x)=x23B. f(x)=2|x|C. f(x)=log21|x+1|D. f(x)=1|x|−|x|16.广场上有一盏路灯挂在高9米的电线杆顶上，记电线杆的底部为A，把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A点5米的点B处，女孩以5米为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的面积约是(π取3.14)()A. 30.166m2B. 31.4m2C. 34.54m2D. 35.56.m217.若α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，则sinα的值为()A. 12B. −12C. −√32D. −√3318.若将函数f(x)=sin2x+√3cos2x图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值是()A. π6B. π3C. 5π12D. 5π619.俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为()A. 3.9×10−8B. −3.9×10−8C. 0.39×10−7D. 39×10−920.设α，β表示平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=AB；③若l ⊄α，A ∈l ，则A ∉α；④若A ，B ，C ∈α，A ，B ，C ∈β，则α与β重合．其中，正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个21. 已知圆的方程为x 2+y 2+x +2y −10=0，则圆心坐标为( )A. (−12,−1)B. (12,1)C. (−1,−2)D. (1,2)22. 已知函数f(x)={2x −1,x >0a x +1,x ≤0，若f(−1)=3，则不等式f(x)≤5的解集为( )A. [−2,1]B. [−3,3]C. [−2,2]D. [−2,3]23. 已知函数f(x)为奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+2x ，则f(−1)=( )A. −2B. 2C. −3D. 324. 在△ABC 中，A =60°，AC =4，BC =2√3，则△ABC 的面积为( )A. 4√3B. 4C. 2√3D. √325. 在四棱锥P −ABCD 中，PA =2，PB =PC =PD =√7，AB =AD =√7，BC =CD =2，则四棱锥P −ABCD 的体积为( )A. 2√3B. √3C. √5D. 326. 在△ABC 中，∠A =90°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−k,2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，则k 的值是( ) A. 5 B. −5C. 32D. −3227. 如果函数f(x)=x 2+bx +c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2−t)，那么( )A. f(2)<f(1)<f(4)B. f(1)<f(2)<f(4)C. f(2)<f(4)<f(1)D. f(4)<f(2)<f(1)二、解答题（本大题共4小题，共19.0分）28. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式； (2)若f(x)=2√63，且π2<x <3π4，求cos2x ．29.如图，矩形ACMN所在平面与菱形ABCD所在平面互相垂直，交线为AC，AC∩BD=O，E是MN的中点．(1)求证：CE//平面NBD；(2)若点F在线段CM上，且OF⊥NO，求证：NO⊥平面FBD．30.已知圆C经过A(−1,5)，B(5,5)，D(6,−2)三点．(Ⅰ)求圆C的标准方程；(Ⅱ)求经过点E(−3,2)且和圆C相切的直线l的方程．31.已知函数f(x)=log a x(a>0，且a≠1)，且f(3)=1．(1)求a的值，并写出函数f(x)的定义域；(2)若不等式f(t⋅4x)≥f(2x−t)对任意x∈[1,2]恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A ={x|x 2−3x −4>0}={x|x <−1或x >4}，B ={x|0<x <5}，则∁U A ={x|−1≤x ≤4}，那么集合(∁U A)∩B ={x|0<x ≤4}，故选：B ．首先解不等式求出集合A ，B ，由补集的运算求出∁U A ，再由交集的运算求出(∁U A)∩B ．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．又M 为BC 的中点， ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：B ．根据平面向量的线性运算与几何意义，表示出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两式相加求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查了平面向量的线性运算与几何意义的应用问题，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：∵直线l 1：x −y −4=0和直线与l 2：mx −2y +8=0平行， ∴m 1=−2−1≠8−4，求得m =2，故选：D ．由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值．本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设幂函数为y=x a，图象过点(13,√33)，所以√33=(13)a，故a=12，由f(81)=8112=92×12=9，故log3f(81)=log39=2，故选：C．幂函数为y=x a，图象过点(13,√33)，求出a，确定出幂函数的解析式，再求出log3f(81)的值考查幂函数和对数的运算性质，中档题．5.【答案】C【解析】解：设幂函数为f(x)=xα，因为图象经过点(2,8)，∴f(2)=8=23，从而α=3，函数的解析式f(x)=x3，故选：C．设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可．本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，本题是一道基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．先计算向量a⃗与向量b⃗ 的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解：a⃗⋅b⃗ =2×(−1)+4×2+(−3)×2=−2+8−6=0，∴a⃗⊥b⃗ ，∴平面α与平面β垂直，故选：B．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查古典概型的概率，属于基础题．计算基本事件总数，由列举法计算出要求事件所包含的基本事件数，即可求解概率．【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36，事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4种，故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是436=19，故选B．8.【答案】A【解析】解：每个个体被抽到的概率为2805600=120，∴专科生被抽的人数是120×1300=65，本科生要抽取120×3000=150，研究生要抽取120×1300=65，故选A．先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值．本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，本题是一个基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．利用诱导公式先求出cosα=35，cos(π+α)=−cosα，由此能求出结果．【解答】解：∵sin(π2−α)=35，∴cosα=35， ∴cos(π+α)=−cosα=−35．故选：A ．10.【答案】B【解析】解：∵点P(x,y)在直线x +y −2=0上，O 是坐标原点， ∴|OP|的最小值是点O 到直线x +y −2=0的距离， ∴则|OP|的最小值是d =√12+12=√2．故选：B ．|OP|的最小值是点O 到直线x +y −2=0的距离，利用点到直线的距离公式能求出|OP|的最小值．本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：据题意向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，且c ⃗ =λa ⃗ +b ⃗ ，d ⃗ =a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ，若c ⃗ 与d ⃗ 共线反向，则存在m(m <0)使得c ⃗ =m d ⃗ ，即λa ⃗ +b ⃗ =m a ⃗ +(2λ−1)m b ⃗ ， ∵a ⃗ ，b ⃗ 不共线 ∴{λ=m 1=m(2λ−1)， ∴λ=m =−12，故选：B ．本题考查向量反向共线时，根据系数的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组即可求解．12.【答案】A【解析】解：根据题意，直线l经过A(1,1)，B(2,3)两点，则l的斜率k=3−12−1=2；故选：A．根据题意，由直线的斜率计算公式计算可得答案．本题考查直线的斜率计算，注意直线的斜率计算公式即可，属于基础题．13.【答案】D【解析】解：由题意可知，1a +4b=1，∴a+b=(a+b)(1a +4b)=5+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=9，当且仅当ba =4ab且1a+4b=1，即a=3，b=6时取等号，故a+b的最小值为9．故选：D．把已知点代入直线方程，然后利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．14.【答案】B【解析】解：函数的定义域为(0,+∞)，y′=2x2−1x=2−xx，当x∈(0,2)时，y′>0，当x∈(2,+∞)时，y′<0，∴函数y=2x−lnx在(0,2)上为增函数，在(2,+∞)上为减函数，∵f(2)=1−ln2>0，f(3)=23−ln3<0，∴函数y=2x−lnx的零点所在区间是(2,3)．故选：B．求出原函数的导函数，得到函数的单调区间，然后利用函数零点判定定理得答案．本题考查函数的零点判定定理，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．15.【答案】D【解析】解：函数f(x)=x23在(−∞,0)上单调递减，即A错误；函数f(x)=2|x|在(−∞,0)上单调递减，即B错误；函数f(x)=log21|x+1|的定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，是非奇非偶函数，即C错误；对于选项D，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=1|−x|−|−x|=1|x|−|x|=f(x)，是偶函数，当x<0时，f(−x)=−1x+x，任取x1<x2<0，则f(x1)−f(x2)=−1x1+x1+1x2−x2=(x1−x2)(1x1x2+1)，∵x1<x2<0，∴x1−x2<0,1x1x2+1>0，∴f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，即D正确．故选：D．选项A和B对应的函数在(−∞,0)上均单调递减，选项C的函数是非奇非偶，故可以作出判断；也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，对选项D的函数进行证明．本题考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握基本初等函数的图象与性质、及图象的变换法则是解题的关键，本题既可以用排除法，也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，直接进行证明，考查学生的逻辑推理能力和分析能力，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：如图所示，设BP=x，根据题意知，x x+5=1.59=16，解得x=1，所以人影扫过的面积约是S=π(62−52)=3.14×11=34.54m2．故选：C．根据题意画出图形，利用三角形相似列方程求出影子BP的长，再计算人影扫过的面积．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17.【答案】C【解析】解：因为α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，点P即为(1,−√3)，则sinα=−√32=−√32．故选C．通过α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，利用三角函数的定义直接求sinα即可．本题考查三角函数的定义，基本知识的考查．18.【答案】C【解析】解：将函数f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)的图象向右平移φ个单位，得到函数y=2sin(2x−2φ+π3)的图象关于y轴对称，−2φ+π3=kπ+π2，即φ=−kπ2−π12，k∈Z，令k=−1，可得φ的最小值为5π12，故选：C．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．19.【答案】A【解析】解：由科学记数法可得，0.000000039=3.9×10−8．故选：A．直接利用科学记数法表示即可．本题考查了科学记数法的理解和应用，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法，属于基础题．20.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面的基本性质，主要是三个公理的运用，考查符号语言的掌握，考查判断能力和空间想象能力，属于基础题．由平面的基本性质的公理1可判断①；由公理2判断②；由线面的位置关系可判断③；由平面基本性质的公理3可判断④．【解答】解：α，β表示两个平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，①若A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α，则l ⊂α，由平面的基本性质的公理1，可得①正确； ②α，β不重合，若A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β，则α∩β=AB ，由平面的基本性质的公理2，可得②正确；③若l ⊄α，A ∈l ，则A ∈α或A ∉α，可得③不正确；④若A ，B ，C ∈α，A ，B ，C ∈β，如果A ，B ，C 不共线，则α与β重合，如果三点共线，则α与β可以相交．由平面的基本性质的公理3，可得④不正确．其中正确的个数为2，故选：B ．21.【答案】A【解析】解：根据题意，圆的方程为x 2+y 2+x +2y −10=0，其中D =1，F =2，则有−D2=−12，F2=−1，则其圆心为(−12,−1)；故选：A ．根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得答案．本题考查圆的一般方程，注意圆的一般方程的形式，属于基础题．22.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由f(−1)=a−1+1=3，解得a =12，从而f(x)={2x −1,x >0(12)x +1,x ≤0，由此能求出不等式f(x)≤5的解集．【解答】解：∵函数f(x)={2x −1,x >0a x +1,x ≤0，f(−1)=3，∴f(−1)=a−1+1=3，解得a=12，∴f(x)={2x−1,x>0 (12)x+1,x≤0，∵f(x)≤5，∴当x>0时，2x−1≤5，解得0<x≤3，当x≤0时，(12)x+1≤5，−2≤x≤0．综上，不等式f(x)≤5的解集为[−2,3]．故选：D．23.【答案】C【解析】解：∵已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+2x，∴f(−1)=−f(1)=−(1+2)=−3，故选：C．由条件利用函数的奇偶性可得f(−1)=−f(1)，运算求得结果．本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．24.【答案】C【解析】解：∵A=60°，b=AC=4，a=BC=2√3，由余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc，即12=16+c2−128c，解得：c=2．那么△ABC的面积S=12|AB|⋅|AC|⋅sinA=12×2×4×√32=2√3．故选：C．根据余弦定理求解AB，那么△ABC的面积S=12|AB|⋅|AC|⋅sinA可得答案．本题考查△ABC的面积的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用．属于基础题．25.【答案】D【解析】解：在四棱锥P−ABCD中，PA=2，PB=PC=PD=√7，AB=AD=√7，BC =CD =2，连结AC ，BD ，交于点E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，连结BO ，DO ，则BO =DO =2，PO =√7−4=√3，AO =√4−3=1， S △PAC =12×AC ×PO =32×√3=3√32， DE =BE =√22−12=√3， ∴四棱锥P −ABCD 的体积为：V =V D−PAC +V B−PAC =13×DE ×S △PAC +13×BE ×S △PAC =13×√3×3√32+13×√3×3√32=3．故选：D ．连结AC ，BD ，交于点E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，连结BO ，DO ，则BO =DO =2，PO =√7−4=√3，AO =√4−3=1，DE =BE =√3，四棱锥P −ABCD 的体积为：V =V D−PAC +V B−PAC ，由此能求出结果．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．26.【答案】A【解析】解：△ABC 中，∵∠A =90°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−k,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(2−k)+3×2=0，求得k =5，故选：A ．由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出k 的值．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．27.【答案】A【解析】解：∵对任意实数t 都有f (2+t)=f (2−t) ∴f(x)的对称轴为x =2，而f(x)是开口向上的二次函数，故可画图观察，可得f(2)<f(1)<f(4)，故选：A．先从条件“对任意实数t都有f(2+t)=f(2−t)”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，属于基础题．28.【答案】解：(1)由图象可知A=2，周期T=2πω=2×(11π12−5π12)=π，则ω=2，又f(5π12)=2sin(2×5π12+φ)=2，可得2×5π12+φ=2kπ+π2，k∈Z，解得φ=2kπ−π3，k∈Z，由于−π2<φ<π2，可得：φ=−π3，可得函数解析式为：f(x)=2sin(2x−π3).(2)由题意知：π2<x<3π4，∴2π3<2x−π3<7π6，∵f(x)=2sin(2x−π3)=2√63，可得：sin(2x−π3)=√63，cos(2x−π3)=−√33，∴cos2x=cos(2x−π3+π3)=cos(2x−π3)cosπ3−sin(2x−π3)sinπ3=(−√33)×12−√6 3×√32=−√3−3√26．【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，(2)由题意可求范围2π3<2x−π3<7π6，根据已知可求sin(2x−π3)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2x−π3)的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cos2x的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，三角函数的化简求值，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．29.【答案】证明：(1)连结ON，∵矩形ACMN所在平面与菱形ABCD所在平面互相垂直，交线为AC，AC∩BD=O，E是MN的中点．∴O是AC的中点，∴NE−//CO，∴NECO是平行四边形，∴NO//CE，∵CE⊄平面NBD，ON⊂平面NBD，∴CE//平面NBD．(2)∵矩形ACMN所在平面与菱形ABCD所在平面互相垂直，交线为AC，AC∩BD=O，∴AC⊥BD，AN⊥AC，∴AN⊥平面ABCD，∴AN⊥BD，∵AN∩AC=A，∴BD⊥平面ACMN，∵OF⊂平面BDF，∴BD⊥OF，∵点F在线段CM上，且OF⊥NO，BD∩ON=O，∴NO⊥平面FBD．【解析】(1)连结ON，推导出NE−//CO，从面NECO是平行四边形，进而NO//CE，由此能证明CE//平面NBD．(2)推导出AC⊥BD，AN⊥AC，从而AN⊥平面ABCD，AN⊥BD，进而BD⊥平面ACMN，BD⊥OF，再由OF⊥NO，能证明NO⊥平面FBD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．30.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，设过A(−1,5)，B(5,5)，C(6,−2)三点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有{1+25−D+5E+F=025+25+5D+5E+F=0 36+4+6D−2E+F=0，解可得D=−4，E=−2，F=−20，故所求圆的一般方程为x2+y2−4x−2y−20=0，变形可得(x−2)2+(y−1)2=25，故圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=25，(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=25，其圆心C(2,1)，半径r=5，若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为x =−3，圆心(2,1)到直线l 的距离d =5，与圆相切，符合题意，若直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y −2=k(x +3)，即kx −y +3k +2=0，则有d =√1+k 2=5，解可得k =125，故直线l 的方程为12x −5y +46=0；综合可得：直线l 的方程为x =−3或12x −5y +46=0．【解析】(Ⅰ)根据题意，设要求圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，将三点坐标代入计算可得D 、E 、F 的值，即可得圆C 的一般式方程，变形可得答案； (Ⅱ)根据题意，分析圆C 的圆心与半径，进而分别讨论直线l 的斜率存在与不存在时直线l 的方程，综合即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．31.【答案】解：(1)∵f(x)=log a x(a >0，且a ≠1)，且f(3)=1，∴log a 3=1，a =3，函数f(x)的定义域为(0,+∞)；(2)由(1)知，f(x)=log 3x ，为定义域上的增函数，∴f(t ⋅4x )≥f(2x −t)对任意x ∈[1,2]恒成立⇔t ⋅4x ≥2x −t 对任意x ∈[1,2]恒成立，即(4x −1)t ≥2x 对任意x ∈[1,2]恒成立． x >0⇒4x −1>0，∴∀x ∈[1,2]，t ≥2x4x −1=12x −12x恒成立，即t ≥(12x −12x)max ，又y =2x −12x 为增函数，∴x ∈[1,2]时，y ∈[32,154]，1y ∈[415,23]， ∴t ≥23，即实数t 的取值范围为[23,+∞)．【解析】(1)由f(x)=log a x ，且f(3)=1，可得a =3及函数f(x)的定义域； (2)依题意，f(t ⋅4x )≥f(2x −t)对任意x ∈[1,2]恒成立⇔t ⋅4x ≥2x −t 对任意x ∈[1,2]恒成立，可转化为∀x ∈[1,2]，t ≥2x4x −1=12x −12x恒成立，即t ≥(12x −12x)max ，又y =2x −12为增函数，x ∈[1,2]时，1y ∈[415,23]，从而可得实数t 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，考查函数的单调性的判定与应用，突出考查等价转换思想与运算能力，属于中档题．。

北京市第二中学2024届第二次高考模拟高三数学试题试卷

北京市第二中学2024届第二次高考模拟高三数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞ 2．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5θ=，则该双曲线的离心率为（） A ．5 B ．52 C ．2 D ．44．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1035．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（）A ．63πB ．83πC ．3πD ．3π6．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 7．231+=-i i （） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 8．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（） A ．2133a b + B ．1233a b + C ．3455a b + D ．4355a b + 9．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -10．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（）A ．37B ．47C ．57D ．6711．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（）A ．()12,-B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,112．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．32C ．1D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。