河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试(3月)数学(文)试题(扫描版,含答案)
2017届河南省洛阳市高三第二次统一考试(3月)数学(理)试卷(带解析)
文档编号：YLWK874552绝密★启用前2017届河南省洛阳市高三第二次统一考试（3月）数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．M={x|y=√x−1}，N={x|y=log2(2−x)}，则C R(M∩N)=（）A. [1,2) B. (−∞,1)∪[2,+∞) C. [0,1] D. (−∞,0)∪[2,+∞)2．设复数z满足(1+i)z=|1−i|（i为虚数单位），则z̅=（）A. 1+iB. 1−iC. √22−√22i D. √22+√22i3．已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则a1+a5+a9a2+a3等于（）A. 2B. 3C. 4D. 54．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A. 1B. √22C. √52D. √625．甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（）A. 144种B. 180种C. 288种D. 360种6．已知圆C的方程为x2+y2=1，直线l的方程为x+y=2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于A，则|PA|的最小值为（）A. 12B. 1C. √2−1D. 2−√27．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（）A.M 2017B.2017MC.4M 2017D.20174M8．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）A. πB. 3πC. 8πD. 9π9．如图，12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A B 、．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B 7C 23D 310．设函数f(x)=ln(√x 2+1−x)，若a ，b 满足不等式f(a 2−2a)+f(2b −b 2)≤0，则当1≤a ≤4时，2a −b 的最大值为（ ）A. 1B. 10C. 5D. 811．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB b=−3cosC c，则角A 的最大值为（ ）A. π6 B. π4 C. π3 D. π212．已知函数f(x)={x 2−1,(x <1)lnx x,(x ≥1)，关于x 的方程2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m =0，有5个不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A. {−1,1e } B. (0,+∞) C. (0,1e ) D. (0,1e ]文档编号：YLWK874552第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知角α的始边与x 轴非负半轴重台，终边在射线4x −3y =0(x ≤0)上，则cosα−sinα=______． 14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3−a 22)+(a 2a 4−a 32)+(a 3a 5−a 42)+⋅⋅⋅+ (a 2015a 2017−a 20162)=______． 15．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在线段OA ，OB 上，且OC =BD ，若OA =1，∠AOB =120°，则MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．16．已知椭圆C:x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点．圆x 2+y 2=4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则kPB k QF的取值范围是______．三、解答题17．{a n a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足2S n =(n +1)a n ，(n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =3n −λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．18．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？(2)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值． 19．已知三棱锥A −BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD =BD =2，CD =2√3，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．(1)P 为线段BC 上一点．且CP =2PB ，求证：AP ⊥DE . (2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．20．已知动圆M 过定点E(2,0)，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4． (1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是轨迹C 上的两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，F(1,0)，记S =S ΔOFA +S ΔOAB ，求S 的最小值．21．已知函数f(x)=lnx −1x ，g(x)=ax +b ．(1)若a =2，F(x)−g(x)，求F(x)的单凋区间；(2)若函数g(x)=ax +b 是函数f(x)=lnx −1x 的图像的切线，求a +b 的最小值； (3)求证：2e x−52−lnx +1x >0．22．选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =√3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=3√2．(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式|x +3|+|x +m|≥2m 的解集为R ． (1)求m 的最大值；(2)已知a >0，b >0，c >0，且a +b +c =1，求2a 2+3b 2+4c 2的最小值及此时a ，b ，c 的值．文档编号：YLWK874552参考答案1．B 【解析】∵M =[1,+∞),N =(−∞,2)∴M ∩N =[1,2),C U (M ∩N)=(−∞,1)∪[2,+∞).选B. 2．D【解析】由题意得z =√21+i=√2(1−i)2,∴z̅=√2(1+i)2,选D.3．B【解析】由题意得a 42=a 2a 8⇒(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)⇒d =a 1(∵d ≠0)，因此a 1+a 5+a 9a 2+a 3=d+5d+9d 2d+3d=3,选B.4．C【解析】几何体为一个四棱锥P −ABCD ，其中PA =√3,PB =√6,PC =√5,PD =√2,AB =BC =CD =DA =1, 所以S ΔPAB =S ΔPAD =√22,S ΔPDC =12,S ΔPBC =√52，因此面积最大的侧面面积为√52，选C.5．C【解析】排法为C 61C 21A 44=288,选C.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 6．D【解析】PA =√2d P−l ≥√2(d O−l −r)=√2(21)=2−√2,选D.7．C【解析】由题意得π×12412=M 2017⇒p =π=4M 2017,选C.8．B【解析】由题意得圆锥的轴截面为正三角形,其外接圆半径为2,所以圆锥底面半径为√3 ,高为3,体积为13π×(√3)2×3=3π,选B.9．B 【解析】试题分析：由双曲线的定义，知12||||2AF AF a -=，21||||2BF BF a -=．又21||||BF BF -＝21||(||||)BF AF AB --＝21||||||BF AF AB -+．又2ABF ∆为等边三角形，所以21||||||BF AF AB -+＝212||||AF AF -，即21||||BF BF -＝212||||AF AF -，所以12||||AF AF -=212||||AF AF -，所以123||||2AF AF =，所以12||6,||4AF a AF a ==．在12AF F ∆中，由余弦定理，得221212||||||F F AF AF =+－122||||cos 60AF AF ︒＝2221(6)(4)264282a a a a a +-⨯⨯⨯=，即22428c a =，所以2227c e a ==，所以e =故选B ．考点：1、双曲线的定义及几何性质；2、余弦定理．【方法点睛】离心率e 的求解中可以不求出a c ，的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e ，一般步骤如下： ①根据已知条件得到齐次方程220Aa Bac Cc ＋＋＝；②化简得到关于e 的一元二次方程20A Be Ce ＋＋＝；③求解e 的值；④根据双曲线离心率的取值范围1()e ∈+∞，进行取舍．10．B【解析】因为f(x)+f(−x)=ln(√x 2+1−x)+ln(√x 2+1+x)=0,所以函数f(x)为奇函数,又因为x >0时f(x)=ln(√x 2+1−x)=-ln(√x 2+1+x)为单调减函数,且f(0)=0所以f(x)为R 上减函数,因此f(a 2−2a)+f(2b −b 2)≤0⇔f(a 2−2a)≤−f(2b −b 2)⇔f(a 2−2a)≤f(−2b +b 2)⇔a 2−2a ≥−2b +b 2⇔(a −1)2≥(b −1)2⇔{a ≥b a +b −2≥0或{a ≤ba +b −2≤0,因为1≤a ≤4,所以可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中A(1,1),B(4,4),C(4,−2),因此直线z =2a −b 过点C 时取最大值10,选B.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 11．A【解析】由正弦定理得cosB sinB=−3cosC sinC,所以tanC =−3tanB ,因此B ，C 中有一钝角, 角A 必为锐角,因为tanA =−tan(B +C)=−tanB+tanC1−tanBtanC =2tanB1+3tan 2B >0 , 所以tanB >0,tanA ≤2√3tanB=√33⇒0<A ≤π6,即角A 的最大值为π6,选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 12．C【解析】2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m =0⇒f(x)=−12或f(x)=m ,因为(lnx x)′=1−lnx x =0⇒x =e ,所以1≤x <e 时f ′(x)>0,f(x)∈[0,1e );x ≥e 时f ′(x)<0,f(x)∈(0,1e ];而x ≤0 时f(x)单调递减,f(x)∈[−1,+∞); 0<x <1 时f(x)单调递增,f(x)∈[−1,0);因此f(x)=−12有两个根,则f(x)=m 需有3个根, 即m ∈(0,1e ),选C.文档编号：YLWK874552点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 13．15【解析】P(−3,−4)为射线4x −3y =0(x ≤0)上一点,由三角函数定义得 cosα=−35,sinα=−45,cosα−sinα=1514．1【解析】a n a n+2−a n+12+a n+1a n+3−a n+22=a n a n+2+a n+1(−a n+1+a n+3)−a n+22=a n a n+2+a n+1a n+2−a n+22=a n+2(a n +a n+1)−a n+22=a n+22−a n+22=0,所以所求式等于a 1a 3−a 22=2−1=1. 15．[38,12]【解析】以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则M(12,√32)，设OD =x ∈[0.1]，则D(−x 2,√32x),C(1−x,0)，因此MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−x)(−x 2−12)+(−√32)(√32x −√32)=12(x 2−x +1)∈[38,12] 点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.16．(−∞,0)∪(0,1)【解析】设PA 斜率为k,(k ≠0)，则PB 斜率为1k ,由y =k(x +2)与3x 2+4y 2=12联列方程组解得Q(6−8k 23+4k 2,12k3+4k 2)， 所以k QF =12k3−12k 2(k 2≠14),∴k PBkQF=12k 2−312k 2=1−14k 2∈(−∞,0)∪(0,1)17．(1) a n =n(n ∈N ∗);（2）(−∞,2)．【解析】试题分析: (1)由和项求通项,一般利用S n −S n−1=a n (n ≥2)进行转化，得到项之间递推关系式，再利用叠乘法求通项，（2）研究数列单调性，只需研究相邻两项之间关系即可，本题数列{b n }为递增数列，等价于b n+1>b n 恒成立，再利用变量分离转化为对应数列最值问题：λ<2⋅3n 2n+1的最小值，最后根据数列{2⋅3n2n+1}单调性求最小值，即得λ的取值范围．试题解析:(1)∵2S n =(n +1)a n ，∴2S n+1=(n +2)a n+1，∴2a n+1=(n +2)a n+1+(n +1)a n ，即na n+1=(n +1)a n ，∴an+1n+1=a n n，∴an n =a n−1n−1=⋅⋅⋅=a 11=1 ∴a n =n(n ∈N ∗).（2）b n =3n −λn 2.b n+1−b n =3n+1−λ(n +1)2 −(3n −λn 2)=2⋅3n −λ(2n +1).∵数列{b n }为递增数列，∴2⋅3n −λ(2n +1)>0，即λ<2⋅3n2n+1. 令c n =2⋅3n2n+1，则c n+1c n=2⋅3n+12n+3⋅2n+12⋅3n=6n+32n+1>1.∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1=2，即λ的取值范围为(−∞,2)．点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n +1−a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据an +1a n与1的大小关系及a n 符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件 18．(1) 3;(2)140881．【解析】试题分析: (1)本题先识别事件为独立重复试验，其随机变量服从二项分布，一名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多一台机器出现故障的概率，小于0.9；两名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多两台机器出现故障的概率，小于0.9；三名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多三台机器出现故障的概率，大于0.9；因此至少有三名工人，（2）关键确定随机变量的取法：若至多两台机器出现故障，则获利4×5−2=18；若三台机器出现故障，则获利3×5−2=13；若四台机器出现故障，则获利2×5−2=8；根据对应概率列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析: (1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13．该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ∼B(4,13)，P(X =0)=C 40(23)4=1681，P(X =1)=C 41⋅13⋅(23)3=3281， P(X =2)=C 42⋅(13)2(23)2=2481，P(X =3)=C 43⋅(13)3⋅23=881，X设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为文档编号：YLWK874552∵7281≤90%≤8081，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%．(2)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有右能取值为：18,13,8，P(Y =18)=P(X =0) +P(X =1)+P(X =2)=7281， P(Y =13)=P(X =3)=881， P(Y =8)=P(X =4)=181．则E(Y)=18×7281+13×881+8×181=140881．故该厂获利的均值为140881．19．(1)见解析；(2)√217． 【解析】试题分析: (1)证明线线垂直，一般需多次利用线面垂直判定与性质定理进行转化，其中线线垂直的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题需利用勾股定理计算得到线线垂直.（2）求线面角，一般利用空间向量数量积求解，即先根据条件建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，解方程组得平面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与线面角之间互余关系求解. 试题解析: (1)PG ∥BD 交CD 于G ，∴CGGD =CPPB =2，∴GD =13CD =23√3， 在ΔADG 中，tan∠GAD =√33，∴∠DAG =30°.AC 2=AD 2+CD 2=4+12=16，∴AC =4，E 为中点，DE =AE =2，∴∠ADE =60°，∴AG ⊥DE ． ∵AD ⊥面BCD ，∴AD ⊥BD ，又∵BD ⊥CD ，AD ∩CD =D ，∴BD ⊥面ADC ， ∴PG ⊥面ADC ，∴PG ⊥DE ．∵AG ∩PG =G ，∴DE ⊥面AGP ，AP ⊂面AGP ， ∴DE ⊥AP .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系,则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2√3,0)，E(0,√3,1)，F(1,√3,0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,−2)． 设平面EDF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,即{x +√3y =0,√3y +z =0,取n =(3,−√3,3)． 设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为θ，cosθ=AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=4√21√217. 所以直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值为√217．20．(1) y 2=4x ；(2) S min=4√3.【解析】试题分析: (1) 根据垂径定理得等量关系d M−y 2+(|PQ|2)2=|EM|2，再将等量关系用坐标表示，可得动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）先用A(y 124,y 1)（y 1>0），B(y 224,y 2)坐标化简条件OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，得y 1y 2=−8，而S △OFA =12⋅|OF|⋅y 1=12y 1，根据弦长公式及点到直线距离公式可得S △OAB =y 1−y 2.最后利用基本不等式求最值.试题解析: (1)设M(x,y)，PQ 的中点N ，连MN ，则：|PN|=2，MN ⊥PQ ， ∴|MN|2+|PN|2=|PM|2. 又|PM|=|EM|,∴|MN|2+|PN|2=|EM|2∴x 2+4=(x −2)2+y ，整理得y 2=4x . (2)设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，不失一般性，令y 1>0，则S △OFA =12⋅|OF|⋅y 1=12y 1， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4, ∴y 12y 2216+y 1y 2=−4,解得y 1y 2=−8③直线AB 的方程为：y−y 1y 2−y 1x−y 124y 224−y 124，(y 1≠−y 2),即y −y 1=4(x−y 124)y 1+y 2，令y =0得x =2，即直线AB 恒过定点E(2,0)，当y 1=−y 2时，AB ⊥x 轴，A(2,2√2)，B(2,−2√2)． 直线AB 也经过点E(2,0).∴S △OAB =12|OE|⋅|y 1−y 2|=y 1−y 2.文档编号：YLWK874552由③可得S△OAB=y1+8y1,∴S=S△OAB=12y1+(y1+8y1)=32y1+8y1≥2√12=4√3.当且仅当32y1=8y1，即y1=4√33时，S min=4√3.21．(1)F(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为区间为(1,+∞)；(2)−1；(3) 见解析.【解析】试题分析: (1)先求函数导数，再在定义域内求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间，（2）先设切点(x0,lnx0−1x0)，根据导数几何意义将a+b表示成x0的函数：lnx0+1x02−1x0−1，再利用导数求函数最小值，(3)利用结论e x≥x+1，进行放缩2e x−52≥2[(x−52)+1]=2x−3，转化证明2x−3≥lnx−1x，这可以构造差函数G(x)=lnx−1x−2x+3，利用导数可得其最大值为G(1)=0.试题解析: (1)a=2时，F(x)=f(x)−g(x)=lnx−1x−2x−b，F′(x)=1x +1x2−2(x>0)，F′(x)=x+1−2x2x2=(1−x)(1+2x)x2，解F′(x)>0得0<x<1，解F′(x)<0得x>1，∴F(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为区间为(1,+∞)．(2)设切点坐标为设切点坐标为(x0,lnx0−1x0)，f′(x)=1x +1x2，切线斜率a=f′(x0)=1x0+1x02，又lnx0−1x0=ax0+b，∴b=lnx0−2x0−1，∴a+b=lnx0+1x02−1x0−1令ℎ(x)=lnx+1x2−1x−1(x>0)，ℎ′(x)=1x −2x3+1x2=x2+x−2x3=(x+2)(x−1)x3，解ℎ′(x)<0得o<x<1，解ℎ′(x)>0得x>1，∴ℎ(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增．∴ℎ(x)≥ℎ(1)=−1，∴a+b的最小值为−1．(3)法一：令G(x)=lnx−1x−2x+3，由(1)知(G(x))max=G(1)=0，∴lnx−1x≤2x−3.又e x≥x+1，∴2e x−52≥2[(x−52)+1]=2x−3(x>0)∴2e x−52≥2x −3≥lnx −1x ，（两个等号不会同时成立） ∴2ex−52−lnx +1x >0．法二：令P(x)=2e x−52−lnx +1x，P ′(x)=2ex−52−1x−1x 2显然P ′(x)在(0,+∞)上递增，P ′(1)<0，P ′(2)>0 ∴P ′(x)=0在(0,+∞)上有唯一实根x ∗，且x ∗∈(1,2)，2e x∗−52=1x ∗+ 1(x ∗)2，∴P(x)在(0,x ∗)上递减，在(x ∗,+∞)上递增， ∴P(x)≥P(x ∗) =2e x∗−52−lnx =2e x∗−52−lnx ∗+1x ∗ =2x ∗+1(x ∗)2−lnx ∗>2+1−ln2>0 ∴2e x−52−lnx +1x >0，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数ℎ(x)=f(x)−g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 22．(1) x 2+y 23=1， x +y −6=0；(2)2√2， P (12,32)．【解析】试题分析: (1)利用 cos 2α+sin 2α=1将曲线C 1的参数方程化为普通方程为x 2+y 23=1，利用ρcosθ=x,ρsinθ=y 将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为x +y −6=0．（2）根据直线与圆位置关系可得|PQ|取得最小值为圆心到直线距离减去半径，此时P 为过圆心且垂直于直线C 2的直线与圆的交点（靠近直线C 2）.试题解析: (1)C 1的普通方程为x 2+y 23=1，C 2的直角坐标方程为x +y −6=0．(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(cosα,√3sinα)，因为C 2是直线，所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)=√3sinα−6|√2=√2|sin(α+π6)−3|.当且仅当α=2kπ+π3(k ∈Z)时，|PQ|取得最小值，最小值为2√2，此时P 的直角坐标为(12,32)．23．(1)1；(2)a =613，b =413，c =313时，最小值为1213． 【解析】试题分析: (1)由绝对值三角不等式可得 |x +3|+|x +m|最小值为|m −3|.再解不等式|m −3|≥2m 即得m 的最大值；（2）由柯西不等式得(12+13+14)(2a 2+3b 2+4c 2) ≥(a +b +c)2=1，即得2a 2+3b 2+4c 2的最小值，再根据等于号成立条件解得a ，b ，c 的值．试题解析: (1)因为|x +3|+|x +m|≥ |(x +3)−(x +m)| =|m −3|.文档编号：YLWK874552当−3≤x ≤−m 或−m ≤x ≤−3时取等号，令|m −3|≥2m 所以m −3≥2m 或m −3≤−2m ． 解得m ≤−3或m ≤1 ∴m 的最大值为1． (2)∵a +b +c =1．由柯西不等式，(12+13+14)(2a 2+3b 2+4c 2) ≥(a +b +c)2=1,∴2a 2+3b 2+4c 2≥1213，等号当且仅当2a =3b =4c ，且a +b +c =1时成立． 即当且仅当a =613，b =413，c =313时，2a 2+3b 2+4c 2的最小值为1213．。
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷(文科)
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A ＝{x |1＜x ＜10，x ∈N }．B ＝{x |x =√n ，n ∈A }．则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{2，3}D ．{x |1＜x ＜√10}【解答】解：∵A ＝{x |1＜x ＜10，x ∈N }＝{2，3，4，5，6，7，8，9}，B ＝{x |x =√n ，n ∈A }＝{√2，√3，2，√5，√6，√7，2√2，3}， ∴A ∩B ＝{2，3}， 故选：C ．2．（5分）欧拉公式e ix ＝cos x +i sin x （i 是虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名的数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里有及其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，若z =e π3i，则复数z 2在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：z =e π3i =cos π3+i sin π3=12+√32i ， ∴z 2＝（12+√32i ）2=−12+√32i ， 此复数在复平面中对应的点（−12，√32）位于位于第二象限， 故选：B ．3．（5分）已知命题p ，∀x ∈R 都有2x ＜3x ，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 03=1−x 02，则下列复合命题正确的是（ ） A ．p ∧qB ．￢p ∧qC ．p ∧￢qD ．（￢p ）∧（￢q ）【解答】解：命题p ，∀x ∈R 都有2x ＜3x ，是假命题，例如取x ＝﹣1，则2﹣1＞3﹣1． 命题q ：∃x 0∈R ，使得x 03=1−x 02，是真命题，令f （x ）＝x 3+x 2﹣1，则f （0）＝﹣1＜0，f （1）＝1＞0，即f （0）f （1）＜0，因此存在实数x 0，使得f （x 0）＝0，即：∃x 0∈R ，使得x 03=1−x 02，是真命题． 则下列复合命题正确的是￢p ∧q ． 故选：B ．4．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√2xB ．y ＝±√3xC ．y ＝±√22x D ．y ＝±√32x 【解答】解：双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，可得e =ca=2，即有c ＝2a ， 由c 2＝a 2+b 2，可得b 2＝3a 2， 即b =√3a ，则渐近线方程为y ＝±ba x ，即为y ＝±√3x ． 故选：B ．5．（5分）已知等比数列{a n }满足a 1=12，a 2a 8=2a 5+3，则a 9＝（ ） A ．−12B ．98C ．648D ．18【解答】解：等比数列{a n }满足a 1=12，a 2a 8=2a 5+3， ∴a 52＝2a 5+3，解得a 5＝3或a 5＝﹣1（舍去） ∵a 1=12， ∴a 9a 1＝a 52＝9， ∴a 9＝18， 故选：D ．6．（5分）如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC →=λAM →+μBN →，则λ+μ＝（ ）A ．2B ．83C ．65D ．85【解答】解：以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则AM →=（1，12），BN →=（−12，1），AC →=（1，1）．∵AC →=λAM →+μBN →，∴{λ−12μ=112λ+μ=1，解得{λ=65μ=25． ∴λ+μ=85． 故选：D ．7．（5分）若实数x ，y 满足条件{y ≥2|x|−1y ≤x +1，则z ＝x +y 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．5D ．﹣5【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域， 如图所示的阴影部分， 由z ＝x +y 可得y ＝﹣x +z ，则z 为直线y ＝﹣x +z 在y 轴上的截距．做直线l ：x +y ＝0，然后把直线l 向上平移z 变大，当直线经过点A 时，z 最大， 此时{y =2x −1y =x +1可得A （2，3）此时，z max ＝2+3＝5 故选：C ．8．（5分）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2＝25内的个数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由程序框图知，i＝6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2＝25外，i＝5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2＝25外，i＝4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2＝25内，i ＝3时，打印第四个点（0，3），在圆x 2+y 2＝25内， i ＝2时，打印第五个点（1，2），在圆x 2+y 2＝25内， i ＝1时，打印第六个点（2，1），在圆x 2+y 2＝25内， ∴打印的点在圆x 2+y 2＝25内有4个． 故选：C ．9．（5分）已知函数f （x ）=2x 2x +1+ax （a ∈R ），若f （ln 3）＝3，则f （ln 13）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．0D ．1【解答】解：∵函数f （x ）=2x2x +1+ax （a ∈R ），f （ln 3）＝3，∴f （ln 3）=2ln32ln3+1+aln 3＝3，aln 3＝3−2ln32ln3+1，f （ln 13）=2ln 132ln 13+1+aln 13=11+2ln3−aln 3=11+2ln3+2ln32ln3+1−3＝1﹣3＝﹣2．故选：A ．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．5π6B ．5π3C ．π+13D ．2π+13【解答】解：根据题意，几何体的直观图是一个球的14与三棱锥的组成的几何体，则其体积V =14•4π3+13×（12×2×1）×1=π+13； 故选：C ．11．（5分）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g （x ）＝sin2x 的图象，当x 1，x 2满足时，|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2，|x 1−x 2|min =π3，则φ的值为（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6【解答】解：将函数y ＝f （x ）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g （x ）＝sin2x 的图象，故f （x ）＝sin （2x ﹣2φ），当x 1，x 2满足时|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2 时，|x 1−x 2|min =π3， 由题意可得：有|x 1﹣x 2|min =π2−φ=π3， 结合范围0＜φ＜π2，解得：φ=π6， 故选：D ．12．（5分）若对于任意实数m ∈[0，1]，总存在唯一实数x ∈[﹣1，1]，使得m +x 2e x ﹣a ＝0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，e ]B ．(1+1e ，e]C ．（0，e ]D ．[1+1e ，e]【解答】解：由m +x 2e x ﹣a ＝0成立，得x 2e x ＝a ﹣m ，∴对任意的m ∈[0，1]，总存在唯一的x ∈[﹣1，1]，使得m +x 2e x ﹣a ＝0成立， ∴a ﹣1≥（﹣1）2e ﹣1，且a ﹣0≤12×e 1，解得1+1e ≤a ≤e ，其中a ＝1+1e 时，x 存在两个不同的实数，因此舍去， a 的取值范围是（1+1e ，e ]． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）“a =15”是“直线2ax +（a ﹣1）y +2＝0与直线（a +1）x +3ay +3＝0垂直”的 充分不必要 ．条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选取一个填入）【解答】解：经过验证：a ＝1时，两条直线不垂直．a ＝0时，两条直线垂直． a ≠1，0时，由−2a a−1×(−a+13a )=−1，解得a =15．可得：“a =15”是“直线2ax +（a ﹣1）y +2＝0与直线（a +1）x +3ay +3＝0垂直”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．14．（5分）已知函数f （x ）＝aln 2x +bx 在x ＝1处取得最大值ln 2﹣1，则a ＝ 1 ，b ＝ ﹣1 ．【解答】解：由f （x ）＝aln 2x +bx ，得f ′（x ）=ax +b （x ＞0）， ∵函数f （x ）＝aln 2x +bx 在x ＝1处取得最大值ln 2﹣1，则f （x ）只能在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴f ′（1）＝0且f （1）＝ln 2﹣1， ∴{a +b =0aln2+b =ln2−1，解得{a =1b =−1．故答案为：1，﹣1．15．（5分）已知P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，Q 在圆C ：（x +3）2+（y ﹣3）2＝1上，R 是P 在y 轴上的射影，则|PQ |+|PR |的最小值是 3 ．【解答】解：圆C ：（x +3）2+（y ﹣3）2＝1的圆心为（﹣3，3），半径为1， ∵抛物线方程为y 2＝4x ，∴焦点为F （1，0），准线方程l ：x ＝﹣1， 设M 为P 在抛物线准线上的射影， ∴P 、R 、M 三点共线，且|PM |＝|PR |+1 根据抛物线的定义，可得 |PM |+|PC |＝|PF |+|PC |设CF 与抛物线交点为P 0，则P 与P 0重合时， |PF |+|PC |＝|CF |＝5达到最小值， 因此，|PM |+|PC |的最小值等于5可得|PQ |+|PR |＝|PC |﹣1+|PM |﹣1的最小值为3，故答案为3．16．（5分）如图，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝90°，CB∥DA，AB＝20√2，DA＝10，CB＝20，若AB边上有一点P，使得∠CPD最大，则AP＝10√2．【解答】解：设AP＝x，则BP＝20√2−x，（0≤x≤10√2）．∴PD=√x2+100，PC=√(20√2−x)2+400=√x2−40√2x+1200，CD=√(20√2)2+(20−10)2=30，在△PCD中，由余弦定理得cos∠CPD=PC2+PD2−CD22PC⋅PD=2√2x+4002√x+100√x−40√2x+1200=√2)2√x+100√x−40√2x+1200≥0．∴当x＝10√2时，cos∠CPD取得最小值0，此时∠CPD＝90°．当x≠10√2时，cos∠CPD＞0，此时∠CPD＜90°，故当x＝10√2时，∠CPD取得最大值90°．故答案为10√2．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝3，a n+1=3a n−1 a n+1．（1）证明：数列{1a n−1}是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）令b n＝a1a2•…•a n，求数列{1b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a n+1=3a n−1 a n+1，∴a n+1﹣1=3a n−1a n+1−1=2(a n−1)a n+1，∴1a n+1−1=a n+12(a n−1)=1a n−1+12，∴1a n+1−1−1a n−1=12，∵a1＝3，∴1a1−1=1 2，∴数列{1a n−1}是以12为首项，以12为公差的等差数列，∴1a n−1=12+12（n﹣1）=12n，∴a n=n+2 n（2）∵b n＝a1a2•…•a n，∴b n=31×42×53×⋯×n n−2×n+1n−1×n+2n=(n+1)(n+2)2，∴1b n =2(n+1)(n+2)=2（1n+1−1n+2），∴数列{1b n }的前n项和S n＝2（12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2）＝2（12−1n+2）=nn+218．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，AB＝2，BC＝1．AA1=√6，E为A1B1的中点．（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AD；（2）求多面体A1E﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）∵AB＝2，AD＝BC＝1，∠BAD＝60°，∴BD=√AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60°=√3，∴BD2+AD2＝AB2，∴AB⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AA1，又AA1∩AD＝A，AA1⊂平面A1AD，AD⊂平面A1AD，∴BD⊥平面A1AD，又BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1AD．解：（2）连接A1C，S四边形ABCD＝2S△ABD＝2×12×AD×BD=√3，∴V A1−ABCD =13S四边形ABCD⋅AA1=13×√3×√6=√2，设C到AB的距离为h，则h=S四边形ABCDAB=√32，则C到平面ABB1A1的距离为h=√32，∴V C−A1BE =13S△A1BE⋅ℎ=13×12×1×√6×√32=√24．∴多面体A1E﹣ABCD的体积V=V A1−ABCD +V C−A1BE=5√24．19．（12分）某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4500元的员工是具备营销成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分为两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赢得3万元，否则公司将损失1万元，试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该公司员工的月平均工资为：0.01×10×20+0.01×10×30+0.02×10×40+0.03×10×50+0.02×10×60+0.01×10×70＝4700（元）． （2）抽取比为：50100=120，从工资在[1500，4500）区间内抽100×（0.1+0.1+0.2）×120=2人，设这两位员工分别为1，2，从工资在[4500，7500]区间内抽100×（0.3+0.2+0.1）×120=3人，设这3人员工分别为A ，B ，C ，从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：（1，2），（1，A ），（1，B ），（1，C ），（2，A ），（2，B ），（2，C ），（A ，B ），（A ，C ），（B ，C ），两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：（A ，B ），（A ，C ），（B ，C ），概率为310，两人中有一人营销都成功，公司改入2万元，有6种结果： （1，A ），（1，B ），（1，C ），（2，A ），（2，B ），（2，C ），概率为35，两人营销都失败，公司损失2万元，有1种结果：（1，2），概率为110，∵110＜310＜35，∴收入2万元的可能性最大．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√22，右焦点为F ，上顶点为A ，且△AOF 的面积为12（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上的一点，过P 的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M ，证明：|PF |+|PM |为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e =ca =√22，则a =√2c ， 由△AOF 的面积为S =12×b ×c =12，则bc ＝1， 由a 2＝b 2+c 2，解得：a =√2，b ＝c ＝1， ∴椭圆的标准方程为：x 22+y 2=1；（2）证明：由（1）可知：F （1，0），以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x 2+y 2＝1， 设P （√2cos θ，sin θ），且cos θ＞0，则|PF |=√(√2cosθ−1)2+sin 2θ=√(cosθ−√2)2=√2−cos θ，由M 是圆x 2+y 2＝1的切点，则OM ⊥PM ，且丨OM 丨＝1，则丨PM 丨=√丨OP 丨2−丨OM 丨2=√2cos 2θ+sin 2θ−1=√cos 2θ=cos θ， ∴|PF |+|PM |=√2−cos θ+cos θ=√2， ∴|PF |+|PM |为定值．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣a sin x ﹣1，a ∈R ． （1）若a ＝1，求f （x ）在x ＝0处的切线方程；（2）若f （x ）≥0在区间[0，1）恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）a ＝1时，f （x ）＝e x ﹣sin x ﹣1，f ′（x ）＝e x ﹣cos x ， ∴f ′（0）＝e 0﹣cos0＝0，且f （0）＝e 0﹣sin0﹣1＝0， ∴f （x ）在x ＝0处的切线方程为：y ＝0（2）f （x ）≥0在区间[0，1）恒成立⇔a sin x ≤e x ﹣1在区间[0，1）恒成立． ①当x ＝0时，a ∈R ，②当x ∈（0，1）时，原不等式等价于a ≤e x −1sinx ，令h （x ）=e x −1sinx ，x ∈（0，1）h ′（x ）=e x sinx−e x cosx+cosx2，令G （x ）＝e x sin x ﹣e x cos x +cos x ，（x ∈（0，1）） G ′（x ）＝（2e x ﹣1）sin x ≥0，在x ∈（0，1）恒成立．∴G （x ）＝e x sin x ﹣e x cos x +cos x ，（x ∈（0，1））单调递增，而G （0）＝0． 故G （x ）≥0在（0，1）上恒成立，∴h ′（x ）≥在（0，1）上恒成立． h （x ）在（0，1）上递增， x →0时，sin x →0，e x ﹣1→0，由洛必达法则得lim n→0e x −1sinx =lim n→0e x cosx=11=1，即a ≤1，综上，a 的取值范围为（﹣∞，1]请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝m cos θ（m ＞0），过点P （﹣2，﹣4）且倾斜角为π4的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若|AP |•|BP |＝|BA |2，求m 的值．【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝m cos θ（m ＞0），即ρ2sin 2θ＝m ρcos θ（m ＞0），可得直角坐标方程： y 2＝mx （m ＞0）．过点P （﹣2，﹣4）且倾斜角为π4的直线l 参数方程为：{x =−2+√22t y =−4+√22t （t 为参数）．消去参数化为普通方程：y ＝x ﹣2．（2）把直线l 的方程代入曲线C 的方程为：t 2−√2（m +8）t +4（m +8）＝0． 则t 1+t 2=√2（m +8），t 1•t 2＝4（m +8）．∵|AP |•|BP |＝|BA |2，∴|t 1•t 2|=(t 1−t 2)2，化为：5t 1•t 2=(t 1+t 2)2， ∴20（m +8）＝2（m +8）2，m ＞0，解得m ＝2． [选修4-5：不等式选讲]23．设不等式0＜|x +2|﹣|1﹣x |＜2的解集为M ，a ，b ∈M （1）证明：|a +12b |＜34；（2）比较|4ab ﹣1|与2|b ﹣a |的大小，并说明理由．【解答】（1）证明：记f （x ）＝|x +2|﹣|1﹣x |={−3，x ≤−22x +1，−2＜x ＜13，x ≥1，∴由0＜2x +1＜2，解得−12＜x ＜12，∴M ＝（−12，12）∴|a +12b |≤|a |+12|b |＜12+12×12=34； （2）解：由（1）可得a 2＜14，b 2＜14，∴（4ab ﹣1）2﹣4（b ﹣a ）2＝（4a 2﹣1）（4b 2﹣1）＞0， ∴|4ab ﹣1|＞2|b ﹣a |．。
河南省洛阳2017-2018学年高二上学期第二次联考数学(文)试卷 扫描版 含答案
洛阳名校2017—2018学年上期第二次联考高二数学（文）答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1-5 CABDA 6-10 BADDC 11-12 DA二、填空题13．7+ 14．1522=+y x 15．[0,8] 16．),9[+∞-三、解答题17．【参考答案】（1）()()0,:230m p x x >+-≤，:11q m x m -≤≤+，∴:23p x -≤≤， :11q m x m -≤≤+，∵q ⌝是p ⌝的必要条件， 13,{ 12m q p m +≤⇒∴-≥-， 解得2m ≤，当2m =时， :13q x -≤≤，满足题意；综上：02m <≤；…………5分（2）若7m =，可得:68q x -≤≤，∵“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，∴p 与q 有一个为真，一个为假， ∵:23p x -≤≤，若p 真q 假可得，x 为空集；若p 假q 真可得，62x -≤<-或38x <≤.………………………10分18．【参考答案】（1）由已知得： 2234133,3,33,312a q a q b d b d ===+=+,即23333312q d q d =+⎧⎨=+⎩， 解得 2031d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 （舍） ，所以2d =，所以3,21n n n a b n ==+.………6分 ()()122213,3353...213=+=++++ （）n n n n c n S n ()()()231123133353...213233233...3213++=++++-=++++-+ 两式相减得n n n n n S n S n .………9分112233++-=-∴= n n n n S n S n.………12分.19．【参考答案】（1）方法一：由题意得2222311a 4b a b 3⎧+=⎪⎨⎪-=⎩22a 4b 1∴== 方法二：由椭圆的定义得：1222a a =⇒= 又c =2221b ac =-=，∴椭圆E 的方程为： 2214x y +=.………………………4分 （2）过()F的直线方程为(12y x =，2AF =联立(2212{ 14y x x y =+=2810y ⇒--=， 设()()1122,,,M x y N x y，则121212{ 18y y y y y y +=⇒-==- ∴AMN ∆的面积(1211222AF y y =⋅-==……………12分 20．【参考答案】（1）∵()()cos 2cos b A c a B π=+-，∴()()cos 2cos b A c a B =+-，由正弦定理可得： ()sin cos 2sin sin cos B A C A B =--，∴()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=.又角C 为ΔABC 内角， sin 0C >，∴1cos 2B =- 又()0,πB ∈，∴2π3B =………………6分 方法二：cos cos cos cos cos b A a B 2c Bc 2c B1B 22B 3π+=-∴=-∴=-∴= （2）有Δ1sin 2ABC S ac B ==4ac = 又()222216b a c ac a c ac =++=+-=，∴a c +=所以ΔABC的周长为4+ ………………12分21．参考答案】（1）由题意可得221112,2n n n n n n S a a S a a ---=+=+，两式相减得，,22n n n 1n n 12a a a a a --=-+-所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列，所以11n n a a --=.即数列{}n a 为等差数列，又1n =时，21112a a a =+， 所以111,1n a a a n n ==+-=.………………………6分（2）由（1）知1221n n n b n n ++=+++， 又因为121111112212112n n n b n n n n n n ++=+=-++=+-++++++，.………9分 所以()12111111...22...2...233412n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以12111...22222n n T b b b n n n =+++=+-<++.………………………12分 22．【参考答案】（1）在12F MF ∆中，由0121||||sin 602MF MF =，得1216||||3MF MF =．由余弦定理，得2220121212||||||2||||cos60F F MF MF MF MF =+-201212(||||)2||||(1cos60)MF MF MF MF =+-+，从而122||||a MF MF =+=a =2b =， 故椭圆C 的方程为22184x y +=． ………………………… 6分 （2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为2(1)y k x +=+，由221842(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，得222(12)4(2)280k x k k x k k ++-+-=．………… 8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1224(2)12k k x x k -+=-+，21222812k k x x k -=+． 从而1212121221212222(4)()4(2)2(4)428y y kx x k x x k k k k k k x x x x k k--+-+-+=+==--=-． ………10分当直线l的斜率不存在时，得((1,A B --，得124k k +=． 综上，恒有124k k +=． …………………………12分。
河南省洛阳市2017年高考第二次统一考试数学试卷(文)及答案
洛阳市2016—2017学年高中三年级第二次统一考试数学试卷(文)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 设复数z 满足1z i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 为（ ）Ai Bi C ．1 D ．12i --2.已知集合{}{}21,1,3,1,2A B a a =-=-，且B A ⊆，则实数a 的不同取值个数为A. 2B. 3C. 4D. 53.已知,a b 均为非零向量，()()2,2a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为 A.3π B. 2π C. 23π D.56π4. 已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则15923a a a a a +++等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35.设()2221tan 39cos50cos127cos 40cos37,sin 56cos56,21tan 39a b c -=+=-=+，则,,a b c 的大小关系是A. a b c >>B. b a c>> C. c a b >>D. a c b >>6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．1BC 7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()2132a aa -+()2243a a a -+()2354a a a -+⋅⋅⋅+()2201520172016a a a -=A. 1B. -1C. 2017D.-20178. 如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P 表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P =（ ） A ．2017M B ．2017MC ．42017M D ．20174M9.已知直线()00x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点A,B,O 为坐标原点，且有3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是A.)+∞ B. )+∞ C. D.10.一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形.其中正确的结论是A. （1）（3）B.（2）（4）C.（2）（3）（4）D. （1）（2）（3）（4）11.已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A,B 两点，F 为C 的焦点,且2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为 A. 6 B. 5 C. 4 D.312.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+给出下列命题：①当0x >时，()()1x f x e x -=-；②函数()f x 有两个零点；③()0f x <的解集为()(),10,1-∞-；④12,x x R ∀∈,都有()()122f x f x -<。
【真卷】2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷(文科)
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜10，x∈N}．B={x|x=，n∈A}．则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{x|1＜x＜3}C．{2，3}D．{x|1＜x＜}2．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i是虚数单位，x∈R）是由瑞士著名的数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里有及其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，若，则复数z2在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知命题p，∀x∈R都有2x＜3x，命题q：∃x0∈R，使得，则下列复合命题正确的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．（￢p）∧（￢q）4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=+3，则a9=（）A．B．C．648 D．186．（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．7．（5分）若实数x，y满足条件，则z=x+y的最大值为（）A．﹣1 B．C．5 D．﹣58．（5分）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）已知函数f（x）=+ax（a∈R），若f（ln3）=3，则f（ln）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．0 D．110．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．11．（5分）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g （x）=sin2x的图象，当x1，x2满足时，|f（x1）﹣g（x2）|=2，，则φ的值为（）A． B．C．D．12．（5分）若对于任意实数m∈[0，1]，总存在唯一实数x∈[﹣1，1]，使得m+x2e x﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（0，e]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）“a=”是“直线2ax+（a﹣1）y+2=0与直线（a+1）x+3ay+3=0垂直”的．条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选取一个填入）14．（5分）已知函数f（x）=aln2x+bx在x=1处取得最大值ln2﹣1，则a=，b=．15．（5分）已知P是抛物线y2=4x上的动点，Q在圆C：（x+3）2+（y﹣3）2=1上，R是P在y轴上的射影，则|PQ|+|PR|的最小值是．16．（5分）如图，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，CB∥DA，AB=20，DA=10，CB=20，若AB边上有一点P，使得∠CPD最大，则AP=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=．（1）证明：数列是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）令b n=a1a2•…•a n，求数列的前n项和S n．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，AB=2，BC=1．AA1=，E为A1B1的中点．（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AD；（2）求多面体A1E﹣ABCD的体积．19．（12分）某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4500元的员工是具备营销成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分为两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赢得3万元，否则公司将损失1万元，试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|+|PM|为定值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣asinx﹣1，a∈R．（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0在区间[0，1）恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AP|•|BP|=|BA|2，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜10，x∈N}．B={x|x=，n∈A}．则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{x|1＜x＜3}C．{2，3}D．{x|1＜x＜}【解答】解：∵A={x|1＜x＜10，x∈N}={2，3，4，5，6，7，8，9}，B={x|x=，n∈A}={，，2，，，，2，3}，∴A∩B={2，3}，故选：C．2．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i是虚数单位，x∈R）是由瑞士著名的数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里有及其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，若，则复数z2在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：=cos+isin=+i，∴z2=（+i）2=﹣+i，此复数在复平面中对应的点（﹣，）位于位于第二象限，故选：B．3．（5分）已知命题p，∀x∈R都有2x＜3x，命题q：∃x0∈R，使得，则下列复合命题正确的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：命题p，∀x∈R都有2x＜3x，是假命题，例如取x=﹣1，则2﹣1＞3﹣1．命题q：∃x0∈R，使得，是真命题，令f（x）=x3+x2﹣1，则f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，即f（0）f（1）＜0，因此存在实数x0，使得f（x0）=0，即：∃x0∈R，使得，是真命题．则下列复合命题正确的是￢p∧q．故选：B．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得e==2，即有c=2a，由c2=a2+b2，可得b2=3a2，即b=a，则渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=+3，则a9=（）A．B．C．648 D．18【解答】解：等比数列{a n}满足a1=+3，∴a52=2a5+3，解得a5=3或a5=﹣1（舍去）∵a1=，∴a9a1=a52=9，∴a9=18，故选：D6．（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．7．（5分）若实数x，y满足条件，则z=x+y的最大值为（）A．﹣1 B．C．5 D．﹣5【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示的阴影部分，由z=x+y可得y=﹣x+z，则z为直线y=﹣x+z在y轴上的截距．做直线l：x+y=0，然后把直线l向上平移z变大，当直线经过点A时，z最大，此时可得A（2，3）此时，z max=2+3=5故选：C8．（5分）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由程序框图知，i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外，i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外，i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内，i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内，i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内，∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=+ax（a∈R），若f（ln3）=3，则f（ln）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．0 D．1【解答】解：∵函数f（x）=+ax（a∈R），f（ln3）=3，∴f（ln3）=+aln3=3，aln3=3﹣，f（ln）=+aln=﹣aln3=﹣3=1﹣3=﹣2．故选：A．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．【解答】解：根据题意，几何体的直观图是一个球的与三棱锥的组成的几何体，则其体积V=•+×（×2×1）×1=；故选：C．11．（5分）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g （x）=sin2x的图象，当x 1，x2满足时，|f（x1）﹣g（x2）|=2，，则φ的值为（）A． B．C．D．【解答】解：将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，故f（x）=sin（2x﹣2φ），当x1，x2满足时|f（x1）﹣g（x2）|=2 时，，由题意可得：有|x1﹣x2|min=﹣φ=，结合范围0＜φ＜，解得：φ=，故选：D．12．（5分）若对于任意实数m∈[0，1]，总存在唯一实数x∈[﹣1，1]，使得m+x2e x﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（0，e]D．【解答】解：由m+x2e x﹣a=0成立，得x2e x=a﹣m，∴对任意的m∈[0，1]，总存在唯一的x∈[﹣1，1]，使得m+x2e x﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得1+≤a≤e，其中a=1+时，x存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是（1+，e]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）“a=”是“直线2ax+（a﹣1）y+2=0与直线（a+1）x+3ay+3=0垂直”的充分不必要．条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选取一个填入）【解答】解：经过验证：a=1时，两条直线不垂直．a=0时，两条直线垂直．a≠1，0时，由=﹣1，解得a=．可得：“a=”是“直线2ax+（a﹣1）y+2=0与直线（a+1）x+3ay+3=0垂直”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．14．（5分）已知函数f（x）=aln2x+bx在x=1处取得最大值ln2﹣1，则a=1，b=﹣1．【解答】解：求导f′（x）=+b，函数f（x）=aln2x+bx在x=1处取得最大值ln2﹣1，则f′（1）=0且f（1）=ln2﹣1，即，解得：，则a=1，b=﹣1，故答案为：1，﹣1．15．（5分）已知P是抛物线y2=4x上的动点，Q在圆C：（x+3）2+（y﹣3）2=1上，R是P在y轴上的射影，则|PQ|+|PR|的最小值是3．【解答】解：圆C：（x+3）2+（y﹣3）2=1的圆心为（﹣3，3），半径为1，∵抛物线方程为y2=4x，∴焦点为F（1，0），准线方程l：x=﹣1，设M为P在抛物线准线上的射影，∴P、R、M三点共线，且|PM|=|PR|+1根据抛物线的定义，可得|PM|+|PC|=|PF|+|PC|设CF与抛物线交点为P0，则P与P0重合时，|PF|+|PC|=|CF|=5达到最小值，因此，|PM|+|PC|的最小值等于5可得|PQ|+|PR|=|PC|﹣1+|PM|﹣1的最小值为3，故答案为3．16．（5分）如图，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，CB∥DA，AB=20，DA=10，CB=20，若AB边上有一点P，使得∠CPD最大，则AP=10．【解答】解：设AP=x，则BP=20﹣x，（0）．∴PD=，PC==，CD==30，在△PCD中，由余弦定理得cos∠CPD===≥0．∴当x=10时，cos∠CPD取得最小值0，此时∠CPD=90°．当x≠10时，cos∠CPD＞0，此时∠CPD＜90°，故当x=10时，∠CPD取得最大值90°．故答案为10．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=．（1）证明：数列是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）令b n=a1a2•…•a n，求数列的前n项和S n．=，【解答】解：（1）∵a n+1﹣1=﹣1=，∴a n+1∴==+，∴﹣=，∵a 1=3，∴=，∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴=+（n﹣1）=n，∴a n=（2）∵b n=a1a2•…•a n，∴b n=×××…×××=，∴==2（﹣），∴数列的前n项和S n=2（﹣+﹣+…+﹣）=2（﹣）=18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，AB=2，BC=1．AA1=，E为A1B1的中点．（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AD；（2）求多面体A1E﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）∵AB=2，AD=BC=1，∠BAD=60°，∴BD==，∴BD2+AD2=AB2，∴AB⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AA1，又AA1∩AD=A，AA1⊂平面A1AD，AD⊂平面A1AD，∴BD⊥平面A1AD，又BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1AD．解：（2）连接A1C，S 四边形ABCD=2S△ABD=2×=，∴V===，设C到AB的距离为h，则h==，则C到平面ABB1A1的距离为h=，∴V===．∴多面体A 1E﹣ABCD的体积V=V+V=．19．（12分）某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4500元的员工是具备营销成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分为两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赢得3万元，否则公司将损失1万元，试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该公司员工的月平均工资为：0.01×10×20+0.01×10×30+0.02×10×40+0.03×10×50+0.02×10×60+0.01×10×70=4700（元）．（2）抽取比为：，从工资在[1500，4500）区间内抽100×（0.1+0.1+0.2）×=2人，设这两位员工分别为1，2，从工资在[4500，7500]区间内抽100×（0.3+0.2+0.1）×=3人，设这3人员工分别为A，B，C，从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：（1，2），（1，A），（1，B），（1，C），（2，A），（2，B），（2，C），（A，B），（A，C），（B，C），两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：（A，B），（A，C），（B，C），概率为，两人中有一人营销都成功，公司改入2万元，有6种结果：（1，A），（1，B），（1，C），（2，A），（2，B），（2，C），概率为，两人营销都失败，公司损失2万元，有1种结果：（1，2），概率为，∵，∴收入2万元的可能性最大．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|+|PM|为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=c，由△AOF的面积为S=×b×c=，则bc=1，由a2=b2+c2，解得：a=，b=c=1，∴椭圆的标准方程为：；（2）证明：由（1）可知：F（1，0），以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x2+y2=1，设P（cosθ，sinθ），且cosθ＞0，则|PF|===﹣cosθ，由M是圆x2+y2=1的切点，则OM⊥PM，且丨OM丨=1，则丨PM丨====cosθ，∴|PF|+|PM|=﹣cosθ+cosθ=，∴|PF|+|PM|为定值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣asinx﹣1，a∈R．（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0在区间[0，1）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e x﹣sinx﹣1，f′（x）=e x﹣cosx，∴f′（0）=e0﹣cos0=0，且f（0）=e0﹣sin0﹣1=0，∴f（x）在x=0处的切线方程为：y=0（2）f（x）≥0在区间[0，1）恒成立⇔asinx≤e x﹣1在区间[0，1）恒成立．①当x=0时，a∈R，②当x∈（0，1）时，原不等式等价于a，令h（x）=，x∈（0，1）h′（x）=，令G（x）=e x sinx﹣e x cosx+cosx，（x∈（0，1））G′（x）=（2e x﹣1）sinx≥0，在x∈（0，1）恒成立．∴G（x）=e x sinx﹣e x cosx+cosx，（x∈（0，1））单调递增，而G（0）=0．故G（x）≥0在（0，1）上恒成立，∴h′（x）≥在（0，1）上恒成立．h（x）在（0，1）上递增，x→0时，sinx→0，e x﹣1→0，由洛必达法则得==，即a≤1，综上，a的取值范围为（﹣∞，1]请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AP|•|BP|=|BA|2，求m的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐标方程：y2=mx（m＞0）．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l参数方程为：（t为参数）．消去参数化为普通方程：y=x﹣2．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．则t1+t2=（m+8），t1•t2=4（m+8）．∵|AP|•|BP|=|BA|2，∴|t1•t2|=，化为：5t1•t2=，∴20（m+8）=2（m+8）2，m＞0，解得m=2．[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．【解答】（1）证明：记f（x）=|x+2|﹣|1﹣x|=，∴由0＜2x+1＜2，解得﹣＜x＜，∴M=（﹣，）∴|a+b|≤|a|+|b|=＜；（2）解：由（1）可得a2＜，b2＜，∴（4ab﹣1）2﹣4（b﹣a）2=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，∴|4ab﹣1|＞2|b﹣a|．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试(3月)数学(理)试题
绝密★启用前2016-2017学年度???学校3月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．M ={x|y =√x −1}，N ={x|y =log 2(2−x)}，则C R (M ∩N)=（ ） A. [1,2) B. (−∞,1)∪[2,+∞) C. [0,1] D. (−∞,0)∪[2,+∞) 【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】B【解析】∵M =[1,+∞),N =(−∞,2)∴M ∩N =[1,2),C U (M ∩N)=(−∞,1)∪[2,+∞).选B.2．设复数z 满足(1+i)z =|1−i|（i 为虚数单位），则z̅=（ ） A. 1+i B. 1−i C.√22−√22i D. √22+√22i 【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】D【解析】由题意得z =√21+i=√2(1−i)2,∴z̅=√2(1+i)2,选D.3．已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1+a 5+a 9a 2+a 3等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】B【解析】由题意得a 42=a 2a 8⇒(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)⇒d =a 1(∵d ≠0)，因此a 1+a 5+a 9a 2+a 3=d+5d+9d 2d+3d=3,选B.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）试卷第2页，总13页…○…………外…………………○………○…………内…………………○……A. 1B.√22C.√52D.√62【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥P −ABCD ，其中PA =√3,PB =√6,PC =√5,PD =√2,AB =BC =CD =DA =1, 所以S ΔPAB =S ΔPAD =√22,S ΔPDC =12,S ΔPBC =√52，因此面积最大的侧面面积为√52，选C.5．甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ） A. 144种 B. 180种 C. 288种 D. 360种 【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】C【解析】排法为C 61C 21A 44=288,选C.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.6．已知圆C 的方程为x 2+y 2=1，直线l 的方程为x +y =2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于A ，则|PA|的最小值为（ ） A. 12 B. 1 C. √2−1 D. 2−√2【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】D【解析】PA =√2d P−l ≥√2(d O−l −r)=√2(√21)=2−√2,选D.7．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P 表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P =（ ）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A.M 2017B.2017MC.4M 2017D.20174M【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】C 【解析】由题意得π×12412=M 2017⇒p =π=4M 2017,选C.8．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）A. πB. 3πC. 8πD. 9π【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】B【解析】由题意得圆锥的轴截面为正三角形,其外接圆半径为2,所以圆锥底面半径为√3 ,高为3,体积为13π×(√3)2×3=3π,选B.9．如图，12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A B 、．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．7C ．233D ．3 【来源】【百强校】2016届重庆一中高三下学期3月月考理科数学试卷（带解析） 【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线的定义，知12||||2AF AF a -=，21||||2BF BF a -=．又21||||BF BF -＝21||(||||)BF AF AB --＝21||||||BF AF AB -+．又2ABF ∆为等边三角形，所以21||||||BF AF AB -+＝212||||AF AF -，即21||||BF BF -＝212||||AF AF -，所以12||||AF AF -=212||||AF AF -，所以123||||2AF AF =，所以12||6,||4AF a AF a ==．在12AF F ∆中，由余弦定理，得221212||||||F F AF AF =+－122||||cos 60AF AF ︒＝2221(6)(4)264282a a a a a +-⨯⨯⨯=，即22428c a =，所以试卷第4页，总13页B ．考点：1、双曲线的定义及几何性质；2、余弦定理．【方法点睛】离心率e 的求解中可以不求出a c ，的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e ，一般步骤如下： ①根据已知条件得到齐次方程220Aa Bac Cc ＋＋＝；②化简得到关于e 的一元二次方程20A Be Ce ＋＋＝；③求解e 的值；④根据双曲线离心率的取值范围1()e ∈+∞，进行取舍．10．设函数f(x)=ln(√x 2+1−x)，若a ，b 满足不等式f(a 2−2a)+f(2b −b 2)≤0，则当1≤a ≤4时，2a −b 的最大值为（ ）A. 1B. 10C. 5D. 8 【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】B【解析】因为f(x)+f(−x)=ln(√x 2+1−x)+ln(√x 2+1+x)=0,所以函数f(x)为奇函数,又因为x >0时f(x)=ln(√x 2+1−x)=-ln(√x 2+1+x)为单调减函数,且f(0)=0所以f(x)为R 上减函数,因此f(a 2−2a)+f(2b −b 2)≤0⇔f(a 2−2a)≤−f(2b −b 2)⇔f(a 2−2a)≤f(−2b +b 2)⇔a 2−2a ≥−2b +b 2⇔(a −1)2≥(b −1)2⇔{a ≥b a +b −2≥0或{a ≤ba +b −2≤0,因为1≤a ≤4,所以可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中A(1,1),B(4,4),C(4,−2),因此直线z =2a −b 过点C 时取最大值10,选B.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 11．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB b=−3cosC c，则角A 的最大值为（ ）A. π6B. π4C. π3D. π2【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】A【解析】由正弦定理得cosBsinB =−3cosC sinC,所以tanC =−3tanB ,因此B ，C 中有一钝角, 角A 必为锐角,因为tanA =−tan(B +C)=−tanB+tanC1−tanBtanC =2tanB1+3tan 2B >0 , 所以tanB >0,tanA ≤2√3tanB=√33⇒0<A ≤π6,即角A 的最大值为π6,选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．已知函数f(x)={x 2−1,(x <1)lnx x,(x ≥1)，关于x 的方程2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m =0，有5个不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A. {−1,1e} B. (0,+∞) C. (0,1e) D. (0,1e]【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】C【解析】2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m =0⇒f(x)=−12或f(x)=m ,因为(lnx x)′=1−lnx x =0⇒x =e ,所以1≤x <e 时f ′(x)>0,f(x)∈[0,1e );x ≥e 时f ′(x)<0,f(x)∈(0,1e];而x ≤0 时f(x)单调递减,f(x)∈[−1,+∞); 0<x <1 时f(x)单调递增,f(x)∈[−1,0);因此f(x)=−12有两个根,则f(x)=m 需有3个根, 即m ∈(0,1e),选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．试卷第6页，总13页………装…请※※不※※要※※………装…第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知角α的始边与x 轴非负半轴重台，终边在射线4x −3y =0(x ≤0)上，则cosα−sinα=______． 【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题【答案】【答题空13-1】15【解析】P(−3,−4)为射线4x −3y =0(x ≤0)上一点,由三角函数定义得 cosα=−35,sinα=−45,cosα−sinα=1514．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3−a 22)+(a 2a 4−a 32)+(a 3a 5−a 42)+⋅⋅⋅+ (a 2015a 2017−a 20162)=______． 【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题【答案】【答题空14-1】1【解析】a n a n+2−a n+12+a n+1a n+3−a n+22=a n a n+2+a n+1(−a n+1+a n+3)−a n+22=a n a n+2+a n+1a n+2−a n+22=a n+2(a n +a n+1)−a n+22=a n+22−a n+22=0,所以所求式等于a 1a 3−a 22=2−1=1. 15．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在线段OA ，OB 上，且OC =BD ，若OA =1，∠AOB =120°，则MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题【答案】【答题空15-1】[38,12]【解析】以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则M(12,√32)，设OD =x ∈[0.1]，则D(−x 2,√32x),C(1−x,0)，因此MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−x)(−x 2−12)+(−√32)(√32x −√32)=12(x 2−x +1)∈[38,12] 点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.16．已知椭圆C:x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点．圆x 2+y 2=4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则k PB k QF的取值范围是______．【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题【答案】【答题空16-1】(−∞,0)∪(0,1) 【解析】设PA 斜率为k,(k ≠0)，则PB 斜率为1k ,由y =k(x +2)与3x 2+4y 2=12联列方程组解得Q(6−8k 23+4k 2,12k3+4k 2)， 所以k QF =12k3−12k 2(k 2≠14),∴k PBk QF=12k 2−312k 2=1−14k 2∈(−∞,0)∪(0,1)三、解答题17．已知数列{a n a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足2S n =(n +1)a n ，(n ∈N ∗)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =3n −λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． 【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题【答案】(1) a n =n(n ∈N ∗);（2）(−∞,2)．【解析】试题分析: (1)由和项求通项,一般利用S n −S n−1=a n (n ≥2)进行转化，得到项之间递推关系式，再利用叠乘法求通项，（2）研究数列单调性，只需研究相邻两项之间关系即可，本题数列{b n }为递增数列，等价于b n+1>b n 恒成立，再利用变量分离转化为对应数列最值问题：λ<2⋅3n 2n+1的最小值，最后根据数列{2⋅3n2n+1}单调性求最小值，即得λ的取值范围． 试题解析:(1)∵2S n =(n +1)a n ，∴2S n+1=(n +2)a n+1，∴2a n+1=(n +2)a n+1+(n +1)a n ，即na n+1=(n +1)a n ，∴an+1n+1=a n n，∴an n =a n−1n−1=⋅⋅⋅=a 11=1 ∴a n =n(n ∈N ∗).（2）b n =3n −λn 2.b n+1−b n =3n+1−λ(n +1)2 −(3n −λn 2)=2⋅3n −λ(2n +1).∵数列{b n }为递增数列，∴2⋅3n −λ(2n +1)>0，即λ<2⋅3n2n+1. 令c n =2⋅3n2n+1，则c n+1c n=2⋅3n+12n+3⋅2n+12⋅3=6n+32n+1>1.∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1=2，即λ的取值范围为(−∞,2)．点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法，根据a n +1−a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据an +1a n与1的大小关系及a n 符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件试卷第8页，总13页18．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？(2)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题【答案】(1) 3;(2)140881．【解析】试题分析: (1)本题先识别事件为独立重复试验，其随机变量服从二项分布，一名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多一台机器出现故障的概率，小于0.9；两名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多两台机器出现故障的概率，小于0.9；三名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多三台机器出现故障的概率，大于0.9；因此至少有三名工人，（2）关键确定随机变量的取法：若至多两台机器出现故障，则获利4×5−2=18；若三台机器出现故障，则获利3×5−2=13；若四台机器出现故障，则获利2×5−2=8；根据对应概率列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析: (1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13．该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ∼B(4,13)，P(X =0)=C 40(23)4=1681，P(X =1)=C 41⋅13⋅(23)3=3281， P(X =2)=C 42⋅(13)2(23)2=2481，P(X =3)=C 43⋅(13)3⋅23=881，设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”∵7281≤90%≤8081，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%．……○…………________班级：_________……○…………(2)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有右能取值为：18,13,8，P(Y =18)=P(X =0) +P(X =1)+P(X =2)=7281，P(Y =13)=P(X =3)=881， P(Y =8)=P(X =4)=181．则E(Y)=18×7281+13×881+8×181=140881．故该厂获利的均值为140881．19．已知三棱锥A −BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD =BD =2，CD =2√3，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．(1)P 为线段BC 上一点．且CP =2PB ，求证：AP ⊥DE . (2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题【答案】(1)见解析；(2)√217． 【解析】试题分析: (1)证明线线垂直，一般需多次利用线面垂直判定与性质定理进行转化，其中线线垂直的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题需利用勾股定理计算得到线线垂直.（2）求线面角，一般利用空间向量数量积求解，即先根据条件建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，解方程组得平面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与线面角之间互余关系求解.试题解析: (1)PG ∥BD 交CD 于G ，∴CGGD =CPPB =2，∴GD =13CD =23√3， 在ΔADG 中，tan∠GAD =√33，∴∠DAG =30°.AC 2=AD 2+CD 2=4+12=16，∴AC =4，E 为中点，DE =AE =2，∴∠ADE =60°，∴AG ⊥DE ． ∵AD ⊥面BCD ，∴AD ⊥BD ，又∵BD ⊥CD ，AD ∩CD =D ，∴BD ⊥面ADC ， ∴PG ⊥面ADC ，∴PG ⊥DE ．试卷第10页，总13页……订…………线※※内※※答※※题※※……订…………∵AG ∩PG =G ，∴DE ⊥面AGP ，AP ⊂面AGP ， ∴DE ⊥AP .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系,则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2√3,0)，E(0,√3,1)，F(1,√3,0)，DF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,−2)． 设平面EDF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,即{x +√3y =0,√3y +z =0,取n =(3,−√3,3)． 设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为θ，cosθ=AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=4√21√217. 所以直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值为√217．20．已知动圆M 过定点E(2,0)，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4．(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是轨迹C 上的两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，F(1,0)，记S =S ΔOFA +S ΔOAB ，求S 的最小值． 【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题【答案】(1) y 2=4x ；(2) S min =4√3.【解析】试题分析: (1) 根据垂径定理得等量关系d M−y 2+(|PQ|2)2=|EM|2，再将等量关系用坐标表示，可得动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）先用A(y 124,y 1)（y 1>0），B(y 224,y 2)坐标化简条件OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，得y 1y 2=−8，而S △OFA =12⋅|OF|⋅y 1=12y 1，根据弦长公式及点到直线距离公式可得S △OAB =y 1−y 2.最后利用基本不等式求最值.试题解析: (1)设M(x,y)，PQ 的中点N ，连MN ，则：|PN|=2，MN ⊥PQ ， ∴|MN|2+|PN|2=|PM|2. 又|PM|=|EM|,∴|MN|2+|PN|2=|EM|2∴x 2+4=(x −2)2+y ，整理得y 2=4x . (2)设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，不失一般性，令y 1>0，则S △OFA =12⋅|OF|⋅y 1=12y 1， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4, ∴y 12y 2216+y 1y 2=−4,解得y 1y 2=−8③试卷第11页，总13页直线AB 的方程为：y−y 1y 2−y 1x−y 124y 224−y 124，(y 1≠−y 2),即y −y 1=4(x−y 124)y 1+y 2，令y =0得x =2，即直线AB 恒过定点E(2,0)，当y 1=−y 2时，AB ⊥x 轴，A(2,2√2)，B(2,−2√2)．直线AB 也经过点E(2,0).∴S △OAB =12|OE|⋅|y 1−y 2|=y 1−y 2. 由③可得S △OAB =y 1+8y 1,∴S =S △OAB =12y 1+(y 1+8y 1) =32y 1+8y 1≥2√12=4√3.当且仅当32y 1=8y 1，即y 1=4√33时，S min =4√3.21．已知函数f(x)=lnx −1x，g(x)=ax +b ．(1)若a =2，F(x)−g(x)，求F(x)的单凋区间；(2)若函数g(x)=ax +b 是函数f(x)=lnx −1x 的图像的切线，求a +b 的最小值； (3)求证：2e x−52−lnx +1x >0．【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题【答案】(1) F(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为区间为(1,+∞)；(2) −1；(3) 见解析.【解析】试题分析: (1)先求函数导数，再在定义域内求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间，（2）先设切点(x 0,lnx 0−1x 0)，根据导数几何意义将a +b 表示成x 0 的函数：lnx 0+1x 02−1x 0−1 ，再利用导数求函数最小值，(3)利用结论e x≥x +1，进行放缩2ex−52≥2[(x −52)+1] =2x −3，转化证明2x −3≥lnx −1x，这可以构造差函数G(x)=lnx −1x−2x +3，利用导数可得其最大值为G(1)=0.试题解析: (1)a =2时，F(x)=f(x)−g(x) =lnx −1x −2x −b ，F ′(x)=1x +1x 2−2(x >0)，F ′(x)=x+1−2x 2x 2=(1−x)(1+2x)x 2，解F ′(x)>0得0<x <1，解F ′(x)<0得x >1，∴F(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为区间为(1,+∞)． (2)设切点坐标为设切点坐标为(x 0,lnx 0−1x 0)，f ′(x)=1x +1x ，切线斜率a =f ′(x 0)=1x 0+1x 02，又lnx 0−1x 0=ax 0+b ，试卷第12页，总13页∴b =lnx 0−2x 0−1，∴a +b =lnx 0+1x 02−1x 0−1令ℎ(x)=lnx +1x 2−1x −1(x >0)，ℎ′(x)=1x −2x3+1x2 =x 2+x−2x 3=(x+2)(x−1)x 3，解ℎ′(x)<0得o <x <1，解ℎ′(x)>0得x >1， ∴ℎ(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增． ∴ℎ(x)≥ℎ(1)=−1，∴a +b 的最小值为−1． (3)法一：令G(x)=lnx −1x −2x +3，由(1)知(G(x))max =G(1)=0，∴lnx −1x ≤2x −3. 又e x ≥x +1，∴2e x−52≥2[(x −52)+1] =2x −3(x >0) ∴2ex−52≥2x −3≥lnx −1x，（两个等号不会同时成立）∴2e x−52−lnx +1x >0．法二：令P(x)=2e x−52−lnx +1x ，P ′(x)=2e x−52−1x −1x 2 显然P ′(x)在(0,+∞)上递增，P ′(1)<0，P ′(2)>0∴P ′(x)=0在(0,+∞)上有唯一实根x ∗，且x ∗∈(1,2)，2e x∗−52=1x + 1(x )， ∴P(x)在(0,x ∗)上递减，在(x ∗,+∞)上递增， ∴P(x)≥P(x ∗) =2ex ∗−52−lnx =2ex ∗−52−lnx ∗+1x∗ =2x ∗+1(x ∗)2−lnx ∗>22+14−ln2>0 ∴2ex−52−lnx +1x >0，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数ℎ(x)=f(x)−g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22．(本小题满分10分)选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =√3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=3√2．(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时点P 的直角坐标．【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题 【答案】(1) x 2+y 23=1， x +y −6=0；(2)2√2， P (12,32)．【解析】试题分析: (1)利用 cos 2α+sin 2α=1将曲线C 1的参数方程化为普通方程试卷第13页，总13页为x 2+y 23=1，利用ρcosθ=x,ρsinθ=y 将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为x +y −6=0．（2）根据直线与圆位置关系可得|PQ|取得最小值为圆心到直线距离减去半径，此时P 为过圆心且垂直于直线C 2的直线与圆的交点（靠近直线C 2）. 试题解析: (1)C 1的普通方程为x 2+y 23=1，C 2的直角坐标方程为x +y −6=0．(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(cosα,√3sinα)，因为C 2是直线，所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)=√3sinα−6|2=√2|sin(α+π6)−3|.当且仅当α=2kπ+π3(k ∈Z)时，|PQ|取得最小值，最小值为2√2，此时P 的直角坐标为(12,32)．23．选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式|x +3|+|x +m|≥2m 的解集为R ． (1)求m 的最大值；(2)已知a >0，b >0，c >0，且a +b +c =1，求2a 2+3b 2+4c 2的最小值及此时a ，b ，c 的值． 【来源】【全国市级联考word 】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题【答案】(1)1；(2)a =613，b =413，c =313时，最小值为1213．【解析】试题分析: (1)由绝对值三角不等式可得 |x +3|+|x +m|最小值为|m −3|.再解不等式|m −3|≥2m 即得m 的最大值；（2）由柯西不等式得(12+13+14)(2a 2+3b 2+4c 2) ≥(a +b +c)2=1，即得2a 2+3b 2+4c 2的最小值，再根据等于号成立条件解得a ，b ，c 的值．试题解析: (1)因为|x +3|+|x +m|≥ |(x +3)−(x +m)| =|m −3|. 当−3≤x ≤−m 或−m ≤x ≤−3时取等号，令|m −3|≥2m 所以m −3≥2m 或m −3≤−2m ． 解得m ≤−3或m ≤1 ∴m 的最大值为1． (2)∵a +b +c =1．由柯西不等式，(12+13+14)(2a 2+3b 2+4c 2) ≥(a +b +c)2=1,∴2a 2+3b 2+4c 2≥1213，等号当且仅当2a =3b =4c ，且a +b +c =1时成立． 即当且仅当a =613，b =413，c =313时，2a 2+3b 2+4c 2的最小值为1213．。
【全国市级联考word】河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试(3月)理数(原卷版)
河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）理数试题第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1．已知集合{M x y ==，(){}2log 2N x y x ==-，则()R C M N =I （ ） A ．[)1,2 B ．()[),12,-∞+∞U C ．[]0,1 D ．()[),02,-∞+∞U 2．设复数z 满足()11i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i - CD3．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则15923a a a a a +++等于（ ）A ．2B ．3C ． 4D ．54．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．1 BCD5．甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ）A ．144种B ．180种C ．288种D ．360种6．已知圆C 的方程为221x y +=，直线l 的方程为2x y +=，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45︒的直线交l 于A ，则PA 的最小值为（ ） A ．12B ．1 C1 D．2 7．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P 表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P =（ ）A ．2017M B ．2017M C ．42017M D ．20174M8．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（ ） A ．π B ．3π C ．8π D ．9π9如图，1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）AB．4 10设函数())lnf x x =-，若a ，b 满足不等式()()22220f a a f b b -+-≤，则当14a ≤≤时，2a b - 的最大值为（ ）A ．1B ．10C ． 5D ．811．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 3cos B Cb c=-，则角A 的最大值为（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π12．已知函数()()()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥，关于x 的方程()()()22120f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦，有5个不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．11,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．()0,+∞C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13．已知角α的始边与x 轴非负半轴重台，终边在射线()4300x y x -=≤上，则cos sin αα-=______． 14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()2132a a a -+()2243a a a -+()2354a a a -+⋅⋅⋅+()2201520172016aaa -=______．15．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在线段OA ，OB 上，且OC BD =，若1OA =，120AOB ∠=︒，则MC MD ⋅uuu r uuu r的取值范围是______．16．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点．圆224x y +=上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是______． 三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足()21n n S n a =+，()*n N ∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围．18．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？(2)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．19．已知三棱锥A BCD -，AD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2AD BD ==，CD =，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．(1)P 为线段BC 上一点．且2CP PB =，求证：AP DE ⊥. (2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．20．已知动圆M 过定点()2,0E ，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4． (1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是轨迹C 上的两点，且4OA OB ⋅=-uu r uu u r，()1,0F ，记OFA OAB S S S ∆∆=+，求S 的最小值．21．已知函数()1ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若2a =，()()F x g x -，求()F x 的单凋区间； (2)若函数()g x ax b =+是函数()1ln f x x x=-的图像的切线，求a b +的最小值； (3)求证：5212ln 0x ex x--+>． 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题计分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22．(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cosx y αα⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式32x x m m +++≥的解集为R ． (1)求m 的最大值；(2)已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，求222234a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值．。
2020届河南省洛阳市2017级高三第二次统一考试数学(文)试卷及解析
2020届河南省洛阳市2017级高三第二次统一考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分）注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束,将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设集合{|0}A x x =>,{}2|log (31)2B x x =-<,则（ ）． A. 50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B. 10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦C. 1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D. (0,)A B =+∞【答案】D【解析】根据题意,求出集合A,进而求出集合A B 和A B ,分析选项即可得到答案.【详解】根据题意,{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭ 则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D2.已知复数z 满足(1)2z i -=,其中i 为虚数单位,则1z -=（ ）．A. iB. i -C. 1i +D. 1i -【答案】A【解析】先化简求出z ,即可求得答案.【详解】因(1)2z i -=, 所以()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+ 所以111z i i -=+-=故选：A3.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有一点(3,4)P -,则sin 2α=（ ）． A. 1225- B. 2425- C. 165 D. 85【答案】B【解析】根据角终边上的点坐标,求得sin ,cos αα,代入二倍角公式即可求得sin 2α的值.【详解】因为终边上有一点(3,4)P -,所以43sin ,cos 55αα==-, 4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ 故选：B4.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图,根据表和统计图,以下描述正确的是（ ）．。
河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试3月数学文 含答
洛阳市2016—2017学年高中三年级第二次统一考试数学试卷(文)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 设复数z 满足1z i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 为（ ）Ai Bi C ．1 D ．12i --2.已知集合{}{}21,1,3,1,2A B a a =-=-，且B A ⊆，则实数a 的不同取值个数为A. 2B. 3C. 4D. 53.已知,a b 均为非零向量，()()2,2a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为 A.3π B. 2π C. 23π D.56π4. 已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则15923a a a a a +++等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35.设()2221tan 39cos50cos127cos 40cos37,sin 56cos56,21tan 39a b c -=+=-=+，则,,a b c 的大小关系是A. a b c >>B. ba c >>C. c a b >>D. a c b >>6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．1BCD 7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()2132a aa -+()2243a a a -+()2354a a a -+⋅⋅⋅+()2201520172016a a a -=A. 1B. -1C. 2017D.-20178. 如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P 表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P =（ ） A ．2017M B ．2017M C ．42017M D ．20174M9.已知直线()00x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点A,B,O 为坐标原点，且有3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是A.)+∞ B. )+∞ C. D.10.一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形.其中正确的结论是A. （1）（3）B.（2）（4）C.（2）（3）（4）D. （1）（2）（3）（4） 11.已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A,B 两点，F 为C 的焦点,且2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为A. 6B. 5C. 4D.312.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+给出下列命题：①当0x >时，()()1xf x ex -=-；②函数()f x 有两个零点；③()0f x <的解集为()(),10,1-∞-；④12,x x R ∀∈,都有()()122f x f x -<。
河南省洛阳市2017届高三数学第二次统一考试(3月)试题文(含解析)
洛阳市2016—2017学年高中三年级第二次统一考试数学试卷(文)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1. 设复数满足（为虚数单位），则复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，复数，所以，故选A.考点：复数的概念及复数的运算.2. 已知集合，，且，则实数不同取值个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，所以或，解得：或或，所以实数的不同取值个数为，故选B．考点：1、集合间的关系；2、一元二次方程．3. 已知，均为非零向量，，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，因为所以，即，所以向量和的夹角为,又，所以，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.4. 已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，因为构成等比数列，所以，解得，所以，故选D.考点：等差数列的通项公式.5. 设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三角恒等变换的公式，可得，，因为函数为单调递增函数，所以，所以，故选D.考点：三角函数的化简求值；比较大小.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积（）A. B. C. D.【答案】C7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，…．该数列的特点是：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成数列称为“斐波那契数列”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，根据斐波那契数列可知，，所以根据计算的规律可得，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，故选B.考点：归纳推理.8. 如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计的结果，则图中空白框内应填入（）。