2017届高考数学二轮复习第1部分小题速解方略—争取高分的先机专题三三角函数与解三角形综合提升训练理

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新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略专题三三角函数、解三角形与平面向量第

第1讲三角函数的图象与性质1．(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析由题意可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，故选D. 2．(2016·课标全国甲)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 答案 B解析由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 3．(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 4．(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．答案 7解析在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．答案 (1)A (2)－1解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )，则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝－－1－2＋1＝－1. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.答案 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αα＋cosαsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.热点二三角函数的图象及应用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x―――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)10sin()y x ωωωϕ>−−−−−−−−→横坐标变为原来的()倍纵坐标不变＝＋ ―――――――――――→纵坐标变为原来的A A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．例2 (1)(2015·山东)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f (π3)的值为________．答案 (1)B (2)1解析 (1)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． (2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点(π6，2)，所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)，因此f (π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(2)(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知，函数f (x )的周期T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x .把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin[2(x ＋π12)＋π3]，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象．故选A.(2)由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.热点三三角函数的性质1．三角函数的单调区间：y ＝sin x 的单调递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 (2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．思维升华函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )单调递增．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin(2x ＋π4)＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错．答案 A解析先求出周期确定ω，求出两个函数解析式，然后结合平移法则求解．由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin[2(x ＋3π20)＋π5]，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度．故选A.2．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.833 B.1633 C ．8 D ．16押题依据由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查了数形结合思想．答案 B解析由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝－a22＋a22＝25，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得，T2＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.3．已知函数f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx － 3 (a >0，ω>0)的最大值为2，x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R |f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为6.(1)求函数f (x )的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．押题依据三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．解 (1)f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx . 由题意知f (x )的最小正周期为12，则2π2ω＝12，得ω＝π12. 由f (x )的最大值为2，得a 2＋3＝2，又a >0，所以a ＝1. 于是所求函数的解析式为f (x )＝sin π6x ＋3cos π6x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3，令π6x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝1＋6k (k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1＋6k (k ∈Z )． (2)由题意可得g (x )＝2sin[π6(x －2)＋π3]＝2sin π6x ，所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.当x ∈(－1,2]时，π3x －π6∈(－π2，π2]，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1]，即1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3]，于是函数h (x )的值域为(－1,3]．A 组专题通关1．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )答案 A解析根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π.故选A.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3 答案 C解析函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为y ＝cos[3(x ＋π3)－π3]＝cos(3x ＋2π3)，故选C.3．已知tan α＝3，则π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( ) A ．－13B ．－3C.13 D ．3答案 A 解析π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13. 4．已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析由条件，得抛物线的准线方程为y ＝1，因为点A (－3，a )在抛物线y ＝－14x 2的准线上，所以a ＝1，所以点A (－3，1)，所以sin α＝13＋1＝12. 5.函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值为( )A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 2答案 A解析由图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 015＝8×251＋7，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝0.6．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________．答案 2＋ 3 解析因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，因此当πx 6－π3＝π2时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最大值，即y max ＝2×1＝2.当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最小值，即y min ＝2sin(－π3)＝－3，因此y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3.7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－32，3]解析由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]．8．已知α是三角形的内角，若sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.答案－43解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＋cos α＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43.方法二由已知得(sin α＋cos α)2＝125，化简得2sin αcos α＝－2425，则可知角α是第二象限角，且(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，由于sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝75，将该式与sin α＋cos α＝15联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43.9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若f (α)＝35，其中π4<α<3π4，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值．解 (1)因为f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且0<α－π4<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x .x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.则当x ＝0时，g (x )的最大值为12；当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14.10．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . B 组能力提高11．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]答案 D解析因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin[2(x ＋π6)＋π6]＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .画出g (x )的部分图象，如图所示．由图可知，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，A 错误；其图象的一个对称中心为(－π4，0)，B 错误；函数g (x )为偶函数，C 错误；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝1，g ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＝－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＝－2，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]，D 正确．故选D.12．(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.13．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f (12)＝________.答案22解析由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°，所以12|AB |＝f (x )max －f (x )min ＝1－(－1)＝2，即|AB |＝4，而T ＝|AB |＝2πω＝4，解得ω＝π2.所以f (x )＝sin πx 2，所以f (12)＝sin π4＝22.14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1.又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin(x ＋π4)．令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )．(2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3，即sin(2x ＋π6)＝－12.因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)，π6＝－π6，即a＝－π6.所以2a＋。

2017届高三数学二轮复习课件第1部分小题速解方略—争取高分的先机专题六解析几何1-6-1

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第十四页，编辑于星期六：一点十三分。
数学（理）
(2)设 m∈R，过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
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第十五页，编辑于星期六：一点十三分。
数学（理）
数学（理）
解析：基本法：①当直线 y＝ax＋b 与 AB，BC 相交时如图(1)，由
y＝ax＋b， x＋y＝1
得 yE＝aa＋＋b1.又易知 xD＝－ba，
∴|BD|＝1＋ba，由 S△DBE＝12×a＋a b×aa＋＋b1＝12得
b＝
1＋1 1a＋1∈0，12.
(1)
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第九页，编辑于星期六：一点十三分。
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数学（理）
第三十一页，编辑于星期六：一点十三分。
数学（理）
方略点评：1基本法是利用三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点求的.速解法是利用外接圆的几何意义，用待定系数法求的. 2确定圆心位置的方法 ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.
方略点评：基本法是求出了圆的方程与 y 轴的交点，求 MN 长.速解法是利用了几何法，解三角形求弦长，较简单.
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第二十七页，编辑于星期六：一点十三分。
数学（理）
(2)一个圆经过随圆1x62 ＋y42＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
数学（理）
解析：基本法：由 l1∥l2，得－a2＝－a＋1 1，解得 a＝1 或 a＝－2，代入检验符合，即“a＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选 A.

高考数学二轮复习第1部分小题速解方略—争取高分的先机专题三三角函数与解三角形2三角函数图象与性质限时

限时速解训练九三角函数图象与性质(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x2cos x 2的最小正周期是( )A.π4 B.π2 C ．πD ．2π解析：选C.函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x2cos x 2＝12|sin x |的最小正周期T ＝π，故选C.2．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4(x ∈R )的图象为C ，则下列表述正确的是( ) A ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是C 的一个对称中心B ．直线x ＝π2是C 的一条对称轴C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是C 的一个对称中心 D ．直线x ＝π8是C 的一条对称轴解析：选D.令2x ＋π4＝k π，k ∈Z 得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k π2，0，k ∈Z ，排除A 、C.令2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称轴为x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，排除B ，故选D.3．(2016·江西八所重点学校联考)函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为( )A. 2 B ．3 2 C ．6 2D ．－ 2解析：选A.由图象可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 017＝8×252＋1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝ 2.4．函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或0解析：选B.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 得x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±2，故选B.5．若函数y ＝f (x )的最小正周期为π，且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则f (x )的解析式可以是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin 2x －1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选D.依次判断各选项，A 项周期不符；B 项函数图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称；C错，因为y ＝2sin 2x －1＝－cos 2x ，同样点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0不是图象的对称中心，故选D.6．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 解析：选D.函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，其中k ∈Z .依题意，则有－π＋2k π≤ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4≤2k π(ω＞0)得4k －52≤ω≤2k －14，由⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0且4k －52＞0得k ＝1，因此ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74，故选D.7．为了得到函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的图象( )A ．向左平移π3B ．向右平移π3C ．向左平移π6D ．向右平移π6解析：选D.依题意得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，因此为了得到函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度，故选D.8．将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称解析：选B.依题意，得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，故函数g (x )图象的对称轴为x ＝π4＋k π2(k ∈Z )，故A 错误；因为g (－x )＝－sin 2x ＝－g (x )，故函数g (x )为奇函数，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，－14π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14π，14π上单调递增，故B 正确，C 错误；因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫38π＝sin 34π＝22≠0，故D 错误．综上所述，故选B. 9．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( ) A ．－ 3 B.33C. 3D ．1解析：选C.因为f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，πω＝π2，ω＝2，则f (x )＝tan 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝3，故选C.10．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为( )A.π6 B.π3 C.5π12D.7π12解析：选A.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，因为图象关于原点对称，所以－2φ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以φ＝π6－k π，k ∈Z ，则当k ＝0时，φ取得最小正值π6，故选A.11．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( ) A ．－32 B ．－16 C ．16D ．32解析：选D.因为当－2＜x ＜10时，0＜π6x ＋π3＜2π，故令f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3＝0，则π6x ＋π3＝π，解得x ＝4，由正弦函数的对称性可知点B ，C 关于点A (4,0)成中心对称，故有(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝32，故选D.12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时有极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( ) A.π6，－π12 B.π6，π12 C.π3，－π6D.π3，π6解析：选D.依题意得2×π12＋α＝2k 1π＋π2，即α＝2k 1π＋π3，k 1∈Z ，A ，B 均不正确．由f (x －β)是奇函数得f (－x －β)＝－f (x －β)，即f (－x －β)＋f (x －β)＝0，函数f (x )的图象关于点(－β，0)对称，f (－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k 2π，k 2∈Z ，结合选项C ，D 取α＝π3得β＝k 2π2＋π6，k 2∈Z ，故选D.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间即为0≤x ＋π3≤π2与x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π614．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________.解析：利用偶函数定义求解．y ＝f (x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6是偶函数，所以－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6－k π2，k ∈Z .又0＜φ＜π2，所以k ＝－1，φ＝π3.答案：π315．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋ω－1π4，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx －ω＋1π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－1π4＝ωx －ω＋1π4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为2.答案：216．已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号)． ①y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π对称； ③f (x )的最大值为32； ④f (x )既是奇函数，又是周期函数．解析：依题意，对于①，f (4π－x )＝cos(4π－x )·sin[2(4π－x )]＝－cos x ·sin 2x ＝－f (x )，因此函数y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称，①正确；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π4＝－22，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，函数y ＝f (x )的图象不关于直线x ＝π对称，②不正确；对于③，f (x )＝2sin x cos 2x ＝2(sin x －sin 3x )；令t ＝sin x ，则y ＝2(t －t 3)，t ∈[－1,1]，y ′＝2(1－3t 2)，当－33＜t ＜33时，y ′＞0；当－1≤t ＜－33或33＜t ≤1时，y ′＜0，因此函数y ＝2(t －t 3)在[－1,1]上的最大值是 y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤33－⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝439，即函数f (x )的最大值是439，③不正确；对于④，f (－x )＝－f (x )，且f (2π＋x )＝2sin(2π＋x )cos 2(2π＋x )＝2sin x cos 2x ＝f (x )，因此函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，④正确．综上所述，其中正确的结论是①④. 答案：①④。

2017届高考数学二轮复习第1部分小题速解方略—争取高分的先机专题二函数与导数 3 导数

限时速解训练七导数及其应用(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有fx 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝a x＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17D ．18解析：选D.x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18，故选D. 6．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－2) C ．(－2，－1)D ．(－2,0)解析：选D.设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数单调减区间为(－2,0)故选D.7．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：选C.f ′(x )＝4x －1x＝x －x ＋x，∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝12.∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.故C 正确．8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③解析：选D.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.9．函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1,2) C ．(－1,3]D ．(－1,2]解析：选D.由题知f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1；令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞1，由此得函数在(－∞，－1)上是减函数，在(－1,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，故函数在x ＝－1处取到极小值－2，判断知此极小值必是区间(a 2－12，a )上的最小值，∴a 2－12＜－1＜a ，解得－1＜a ＜11，又当x ＝2时，f (2)＝－2，故有a ≤2.综上知a ∈(－1,2]，故选D.10．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x＋1的解集为( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1，或x <－1}解析：选A.设h (x )＝e x f (x )－e x －1，则不等式e x f (x )＞e x＋1的解集就是h (x )＞0的解集．h (0)＝1×2－1－1＝0，h ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x.∵f (x )＋f ′(x )＞1，∴对于任意x ∈R ，e x [f (x )＋f ′(x )]＞e x ，∴h ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x＞0，即h (x )在R 上单调递增． ∵h (0)＝0，∴当x ＜0时，h (x )＜0；当x ＞0时，h (x )＞0.∴不等式e x f (x )＞e x＋1的解集为{x |x ＞0}．11．已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝20.2·f (20.2)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 39·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＞a ＞c B ．c ＞a ＞b C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A.因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0，所以函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π3＜20.2＜log 39，所以b ＞a ＞c ，选A.12．设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析：选D.设g (x )＝f (x )＋x ，依题意，存在x ∈[1,4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0. 当x ＝1时，g (1)＝12≠0；当x ≠1时，由ax 2－2x －a ＋52＝0，得a ＝4x －5x 2－.设h (x )＝4x －5x 2－(1＜x ≤4)，则由h ′(x )＝－2x 2＋5x －2x 2－2＝0得x ＝2或x ＝12(舍去)．当x ∈(1,2)时，h ′(x )＞0；当x ∈(2,4)时，h ′(x )＜0，即函数h (x )在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝12，故满足题意的实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，故选D. 二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝x 2＋3x －2ln x ，则函数f (x )的单调递减区间为________．解析：函数f (x )＝x 2＋3x －2ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ＋3－2x ，令2x ＋3－2x＜0，即2x 2＋3x －2＜0，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.又x ∈(0，＋∞)，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.14．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的最大值是________．解析：函数的定义域是x ＋2＞0，即x ＞－2，而f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＝－x 2－2x ＋bx ＋2.因为x＋2＞0，函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，即－x 2－2x ＋b ≤0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，得b ≤x 2＋2x 在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈(－1，＋∞)，g (x )＞g (－1)＝－1，所以b ≤－1.所以b 的最大值为－1. 15．若方程kx －ln x ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是________．解析：令y ＝kx ，y ＝ln x .若方程kx －ln x ＝0有两个实数根，则直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有两个不同交点．故直线y ＝kx 应介于x 轴和曲线y ＝ln x 过原点的切线之间．设曲线y ＝ln x 过原点的切线的切点为(x 0，ln x 0)，又y ′|x ＝x 0＝1x 0，故切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将原点代入得，x 0＝e ，此时y ′|x＝x 0＝1x 0＝1e ，故所求k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 16．已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若f (x )＝x ＋m －ln x 的保值区间是[e ，＋∞)，则m 的值为________．解析：由函数f (x )＝x ＋m －ln x 知，x ＞0，所以由f ′(x )＝1－1x＞0，得x ＞1，即函数f (x )＝x ＋m －ln x 的递增区间为(1，＋∞)，因为f (x )＝x ＋m －ln x 的保值区间是[e ，＋∞)，且函数在[e ，＋∞)上单调递增，所以f (e)＝e ，即f (e)＝e ＋m －ln e ＝e ，即m ＝ln e ＝1. 答案：1。

2017届高三数学二轮复习第一部分重点保分题题型专题(十二)三角恒等变换与解三角形教师用书理

题型专题(十二) 三角恒等变换与解三角形[师说考点]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [典例] (1)(2016²全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________．[解析] 由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45³53＝－43.[答案] －43(2)(2016²河南六市联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．[解析] 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sinα＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. [答案] －45[类题通法]三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．[演练冲关]1．(2016²贵阳模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－717 B.177 C.717 D ．－177解析：选C 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－512＋11＋512＝717.2．(2016²东北四市联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－(12－32)cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.[师说考点]1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[典例] (1)(2016²全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[解析] 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35³513＋45³1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365³53＝2113. [答案]2113(2)(2016²全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .①求C ；②若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解] ①由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.②由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7. [类题通法]正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．[注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．[演练冲关]1．(2016²郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b3cos B ＝asin A，则cos B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析：选B 由正弦定理知sin B3cos B ＝sin A sin A＝1，即tan B ＝3，所以B ＝π3，所以cos B＝cos π3＝12，故选B.2．(2016²福建质检)在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝2，D 为AB 中点，△BCD 的面积为334，则AC 等于( )A ．2 B.7 C.10 D.19解析：选B 因为S △BCD ＝12BD ²BC sin B ＝12³1³BC sin π3＝334，所以BC ＝3.由余弦定理得AC 2＝4＋9－2³2³3cos π3＝7，所以AC ＝7，故选B.3．(2016²河北三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值．解：(1)∵a sin B ＝－b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，∴由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33，∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.(2)∵A ＝5π6，∴sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ，由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714.[师说考点]解三角形实际问题的常考类型及解题思路(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[典例] (2016²河南六市联考)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．[解] (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5³8＝x －12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ²AB ＝x 2＋202－（x －12）22x ²20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ²AC ＝x 2＋502－x 22x ²50＝25x.∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31³42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． [类题通法]解三角形中实际问题的4个步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[演练冲关]1．(2016²武昌区调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为( )A ．9 hB ．10 hC ．11 hD ．12 h解析：选B 记码头为点O ，热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝400，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得4002＋400t 2－2³20t ³400³22≤3002，即t 2－202t ＋175≤0，解得102－5≤t ≤102＋5，所以所求时间为102＋5－102＋5＝10(h)，故选B.2.(2016²湖北七市联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.解析：分析题意可知，设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ²AD ²cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2²3h ²h3²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m. 答案：1039解三角形与其他知识的交汇解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式求最值、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．[典例] (2016²山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． [解] (1)证明：由题意知 2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38²⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.[类题通法](1)本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的交汇问题．(2)解答此类问题的一般思路是利用三角恒等变换对所给条件进行转化，再结合正余弦定理，转化到边的关系，利用基本不等式求解．[演练冲关]1．在△ABC 中，，若sin C ²＋sin A ²＋sin B ²＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选A 设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由，可知P 为BC的中点．结合题意及正弦定理可得c＋a＋b＝0，故c (－)＋a －b ＝(a －c )＋(c －b ) ＝0，而与为不共线向量，所以a －c ＝c －b ＝0，故a ＝b ＝c .故选A.2．(2016²河北五校联考)已知锐角△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝6ab cos C ，且sin 2C ＝2sin A sin B .(1)求角C 的值； (2)设函数f (x )＝－cos ωx (ω>0)，且f (x )图象上相邻两最高点间的距离为π，求f (A )的取值范围．解：(1)因为a 2＋b 2＝6ab cos C ，由余弦定理知a 2＋b 2＝c 2＋2 ab cos C ，所以cos C ＝c 24ab ，又sin 2C ＝2sin A sin B ，则由正弦定理得c 2＝2ab ，所以cos C ＝c 24ab ＝2ab 4ab ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)f (x )＝－cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝，由已知可得2πω＝π，所以ω＝2，则f (A )＝，因为C ＝π3，所以B ＝2π3－A ，因为0<A <π2，0<B <π2，所以π6<A <π2，所以0<2A －π3<2π3，所以f (A )的取值范围是(0， 3 ]．一、选择题1．(2016²武昌区调研)已知cos(π－α)＝45，且α为第三象限角，则tan 2α的值等于( )A.34 B ．－34 C.247 D ．－247解析：选C 因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝321－916＝247，故选C. 2．(2016²全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2³925－1＝－725.3．(2016²河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32解析：选D 由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.4．(2016²重庆模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34 B.34 C.32 D.32解析：选B 依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C＝12³3³32＝34，选B. 5．(2016²山西太原模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若 sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )A. 3B.322C ．2 2D ．2 3解析：选A 在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ²223＝2，∴bc ＝3，①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝12，∴b ＋c ＝23.②由①②得b ＝c ＝3，故选A.6．(2016²海口调研)如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64 D.63解析：选C 依题意得，BD ＝AD ＝DEsin A ＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ³23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cosA ＝64，选C. 二、填空题7．(2016²北京高考)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________．解析：在△ABC 中，∠A ＝2π3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴b c＝1. 答案：18．(2016²石家庄模拟)已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于D ，则BD CD的值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ²AB cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6，则cos ∠ABC ＝28＋36－162³27³6＝27，BD ＝AB ²cos ∠ABC ＝6³27＝127，CD ＝BC －BD ＝27－127＝27，所以BD CD ＝6. 答案：69．(2016²郑州模拟)△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，则tan A ＝________. 解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－A －π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝3π12＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：1三、解答题10．(2016²合肥质检)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )为偶函数，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12. (1)求b ；(2)若a ＝3，求△ABC 的面积S .解：(1)f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )＝2sin，由f (x )为偶函数可知B ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，所以B ＝π6＋k π，k ∈Z . 又0<B <π，故B ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝ 3. (2)因为B ＝π6，b ＝3，a ＝3，由正弦定理可知sin A ＝a sin B b ＝32，所以A ＝π3或2π3. 当A ＝π3时，C ＝π2，△ABC 的面积S ＝332；当A ＝2π3时，C ＝π6，△ABC 的面积S ＝334. 11．(2016²山西四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，且cos A ＝13. (1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)cos2B ＋C 2＋cos 2A ＝1＋cos （B ＋C ）2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A －1＝12－12³13＋2³⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－49. (2)由余弦定理可得，(3)2＝b 2＋c 2－2bc ²cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ， ∴bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94，又cos A ＝13，A ∈(0，π)， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， ∴(S △ABC )max ＝12bc sin A ＝12³94³223＝324. 12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b .(1)若cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 的值； (2)若b ＝5，＝－5，求△ABC 的面积；(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ²＋cos C sin B ²＝m ，求m 的值．解：(1)由2a cos B ＝2c －b ，得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ，化简得cos A ＝12，则A ＝60°.由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314，知cos B ＝5314，所以sin B ＝1114. 所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314.＝12bc －b 2＝－5，又b ＝5，解得c ＝8，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝10 3.(3)由cos Bsin C ²＋cos Csin B ²＝m ，可得cos Bsin C ²²＋cos Csin B ²²＝m 2，(*)因为O 是△ABC 外接圆的圆心，又||＝a2sin A ，所以(*)可化为cos B sin C ²c 2＋cos C sin B ²b 2＝12m ²a2sin 2A ，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C )＝2sin A ＝ 3.。

高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题1三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质课件

2. (2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是( C )
A．16
B．14
C．13
D．12
【解析】由题意知：曲线 C 为 y＝sinωx＋π2＋π3＝sinωx＋ω2π＋π3，又 C 关于 y 轴对称，则ω2π＋π3＝π2＋kπ，k∈Z，解得 ω＝13＋2k，k∈Z，又 ω>0，故当 k＝0 时，ω 的最小值为13.故选 C．
则
2ssininπ2π－－αα＋－cocsos32ππ＋＋αα＝
2sin cos
α＋cos α α＋sin α
＝21t＋antαan＋α1＝
2×1＋－－22＋ 1＝3.故
选 C．
2. (2022·襄城区校级模拟)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，
且f(3)＝3，则f(2 020)的值为( D )
3. (2023·大兴区模拟)若 α 为任意角，则满足 cosα＋k·π4＝cos α 的一
个 k 值为( D )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 ∵cosα＋k·π4＝cos α，∴k·π4＝2nπ，n∈Z，∴k＝8n；n
∈Z；故选 D．
角度2：同角三角函数基本关系
4. (2023·南宁模拟)已知 sin2α＝cos α－1，则 sinα＋32π＝( B )
A．－1
B．1
C．3
D．－3
【解析】 ∵函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，∴f(3)＝asin(3π
＋α)＋bcos(3π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝3，∴asin α＋bcos β＝－3.∴f(2

高考数学二轮复习第1部分小题速解方略—争取高分的先机专题三三角函数与解三角形综合提升训练理

专题三综合提升训练(三)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·北大附中模拟)函数f (x )＝2sin 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：选D.f (x )＝2sin 2x －1＝－cos 2x ，所以最小正周期为T ＝2π2＝π.f (－x )＝－cos[2(－x )]＝－cos 2x ＝f (x )为偶函数．2．(2016·河北唐山高三模拟)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：选B.∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝0， ∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＋π3＝0，∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0， ∴ω＝2.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形解析：选C.因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，所以b ＝c .所以此三角形一定是等腰三角形．4．为了使变换后的函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称，只需将原函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选 C.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z )，其中距离点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，故只需将原函数的图象向右平移π12个单位长度即可．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A.根据正弦定理，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cosA ＝sin(A ＋C )＝12，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴B ＝π6，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.725 B ．－725C ．±725D.2425解析：选A.∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C . 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B .∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.7．设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( ) A.12 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为函数f (x )＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，T 2上递减，所以要使函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，则有2π3≤T 2，即T ≥4π3，所以T ＝2πω≥4π3，解得ω≤32.所以ω的值可以是12，故选A.8．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边．若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( ) A ．b ＋c ＝2a B ．b ＋c ＜2a C ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C.由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12.又∵A 为锐角，∴0＜2A ＜π，∴2A ＝2π3，即A ＝π3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，即a 2≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝b ＋c24，解得2a ≥b ＋c ，故选C.9．(2016·山西太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称解析：选B.∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2，∴k＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( ) A.32B.22C.12 D ．－12解析：选C.由cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，利用二倍角公式，得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2(1－2sin 2C )，即sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C .由正弦定理，得a 2＋b 2＝2c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ≥c 2a 2＋b 2＝12，当且仅当a ＝b 时取等号，故cos C 的最小值为12，故选C. 11．(2016·云南昆明统考)已知函数：①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22·sin x cos x ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0中心对称B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4轴对称C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同解析：选C.设f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g (x )＝22sin x cos x ＝2sin 2x ，对于A ，B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2≠0，易知A ，B 都不正确，对于C ，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，易知C 正确．对于D ，f (x )的最小正周期为2π，g (x )的最小正周期为π，D 不正确．故选C.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( ) A.32 B ．3 C ．2 3D ．9解析：选C.∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )， ∴2sin B cos B ＝sin B ，∴cos B ＝12.∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3，ac ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，当且仅当a ＝c 时取等号，∴a ＋c2－33≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，即(a ＋c )2≤12，∴a ＋c ≤2 3. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，A ＝60°，b ＝4，a ＝23，则c ＝________.解析：由已知及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(23)2＝42＋c 2－2×4c cos 60°，即c 2－4c ＋4＝0，解得c ＝2. 答案：214．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2215．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知点D 是BC 边的中点，且AD →·BC →＝12(a 2－3ac )，则角B ＝________. 解析：∵AD →·BC →＝(BD →－BA →)·BC →＝BD →·BC →－BA →·BC →＝a 2·a －a ·c ·cos B ＝12a 2－ac ·cos B ，AD →·BC →＝12(a 2－3ac )，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.答案：30°16．(2016·河北石家庄二中一模)已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2知，T2＝2，得T ＝4＝2π2ω，ω＝π4，由f (x )的最大值为3，得A ＝2.又f (x )的图象过点(0,2)， ∴cos 2φ＝0，∴2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0＜φ＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin πx 2＋2. ∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，f (4)＝2.又f (x )的周期为4,2 019＝4×504＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝504×(1＋2＋3＋2)＋1＋2＋3＝4 038. 答案：4 038。

热点06三角求值2017年高考数学二轮核心考点总动员(无答案) (1)

2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点6 三角求值【热点考法】本热点的主要考试形式为选择填空题或解答题的一个小题，主要考查三角函数定义、诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式及其变形、角的分拆与配凑，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为基础题或中档题.. 【热点考向】考向一给角求值【解决法宝】(1)一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题. (2)利用诱导公式化简求值时的原则①“负化正”，运用α-的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数； ②“大化小”，利用360()k k Z α⋅+∈的诱导公式将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数；③“小化锐”，将大于90的角化为0到90的角的三角函数；④“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．（3）若角终边上一点求角的三角函数问题，利用三角函数的定义求三角函数值. 例1【2017届河南息县第一高级中学高三文上段测五】2014cos 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．12BC ．12- D ．【分析】【解析】例2【黑龙江省哈尔滨三十二中2016届高三上学期期末】设cos （﹣80°）=k ，那么tan100°= ．【分析】【解析】例3【2017届河北武邑中学高三理11月考】已知函数()()log 130,1a y x a a =-+>≠且的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则2sin sin 2αα-的值等于（）A ．313B ．513 C.313- D ．513-【分析】【解析】考向二给值求值【解决法宝】（1）在给值求值中，先对所给式子和所求式子化简，然后观察所给角与已知角的差异，通过角的配凑与分拆寻求未知角与已知角的联系，用已知角表示未知角或用未知角表示已知角，再利用两角和与差的三角公式用已知角的三角函数表示出来，再利用同角三角函数基本关系求出所需的三角函数，若用到平方关系，注意根据角的范围确定根号前的符号，若是用未知角表示已知角，常用解方程的方法求所求角的三角函数. （2）几个常见的变形切入点： ①ααcos sin 可凑倍角公式； ②αcos 1±可用升次公式；③αsin 1±可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭；④()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握；⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； ⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． ⑦常见的配角技巧：22αα=⋅；()ααββ=+-；()αββα=--；1[()()]2ααβαβ=++-；1[()()]2βαβαβ=+--；()424πππαα+=--；()44ππαα=--.（3）三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用及变形应用等. 例 4 【2017届陕西西安铁一中高三理上学期三模】若354sin )32sin(=+-ααπ，则)67sin(πα+的值是（）A.532-B.532 C.54- D.54【分析】【解析】考向三给值求角【解决法宝】实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等例5【2017届广东汕头市高三理上学期期末】设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=-【分析】【解析】例6 【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）】已知直线21y x =+与圆224x y +=相交于A 、B 两点，设α、β分别是以,OA OB 为终边的角，则sin()αβ+= A.35B. 35-C. 45D. 45-【分析】【解析】【热点集训】1.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，5】求0000sin16cos134sin 74sin 46+=（）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-2.【山东肥城市2017届高三上学期升级统测，6】若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且23sin cos 2210παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则tan α=（）A ．17B ．13C ．3D ．73.【2017届四川省泸州市高三上学期第一次诊断性考试】设(0,)2πα∈，(0,)4πβ∈，且1sin 2tan cos 2βαβ+=，则下列结论中正确的是（）A.24παβ-=B.24παβ+=C.4παβ-=D.4παβ+=4.【2017届安徽百校论坛高三理上学期联考二】已知4cos cos sin 236ππθθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫-⎪⎝⎭等于（）A ．16 B ． C.D ．3-5.【湖北2017届百所中点校高三联考，2】已知角θ的终边经过点()(),30P x x <且cos x θ=，则x 等于（） A ．-1 B ．13-C ．-3D ． 6.【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，6】已知()33,,tan 224ππααπ⎛⎫∈-=-⎪⎝⎭，则sin cos αα+的值是（）A ．15±B ．15 C. 15- D ． 75-7.【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检，3】若1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．79 B ．23 C ．23- D ．79- 8.【2017届安徽百校论坛高三理上学期联考二】已知4cos cos sin 236ππθθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫-⎪⎝⎭等于（）A ．16 B ． C.D ．3-9. 【四川自贡普高2017届一诊，5】已知24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，，则sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭等于（）A ．B ． D10.【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中，5】若11sin cos αα+=sin cos αα=（）A ．13-B ．13C ．13-或1 D ．13或1- 11.【2017届福建南平浦城县高三理上学期期中】若A 为△ABC 的内角，且3sin 25A =-，则cos()4A π+等于（）A ．BC ．D 12.【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，3】若tan =34α⎛⎫+- ⎪⎝⎭π，则2cos 2sin 2αα+=（）A ．95 B ．1 C ．35- D ．75- 13.【2017届四川双流中学高三必得分训练7】若4s i n 3c o s 0αα-=，则21c o s 2s i n 2αα+的值为（） A ．2516 B ．1 C. 2548 D ．256414．【2017届黑龙江虎林一中高三理上学期月考三】已知()0s i n ,s i n ,,ααβαβ=-均为锐角，则cos 2β=（） A．2-B ．1-C ．0D ．1 15．【2017届广东七校联合体高三理上学期联考二】若0,,0,22x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()tan 23tan x x y =-，则x y +的可能取值是（）A ．12π B ．4π C ．3π D ．712π16.【广东珠海市2017届上学期调研测试（1），14】已知3(,2)2πθπ∈，且3c o s ()45πθ-=，则tan()4πθ+= .17.【天津六校2017届高三上学期期中联考，12】若sin cos 3sin cos αααα+=-，tan()2αβ-=，则tan(2)βα-= ．18. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考，13】已知4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0 4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos sin 4απα2=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ． 19.【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，11】已知α为锐角，若3sin()65πα+=，则cos(2)6πα-= ．20.【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知()t an 2αβ+=，()tan 3αβ-=，则sin 2cos 2αβ的值为__________．21.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研，14】若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 22.【湖北2017届百所中点校高三联考，15】已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42sin cos 335cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________．23.【2017届安徽百校论坛高三理上学期联考二】已知函数()222cos f x x x a =--在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2. （1）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）设11016,0,,,221213235f f πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.。

2017年全国高考考前解答题点理数命题揭秘之三角函数与

三角函数作为高中数学的主干知识，在相关学科中有着广泛的应用。

虽然教学内容与原来相比做了适当的删减，难度有所降低。

高考中三角试题主要以中档题出现，通过研究近几年全国高考试卷，题目设置上如果没有解答题，会有2--3个选填题；如果有解答题，为一个大题和一个小题。

分值为10—17分。

针对2012年---2016年全国高考试题中三角函数及解三角形的考查内容，笔者从考查知识、思想方法、数学能力等方面进行命题意图分析，从中找出命题的规律和特点，考查的重点和难点，试题与教材的联系，学生存在的问题等。

分类整理出近几年该部分典的高考试题供师生欣赏，供学生模拟练习，意在帮助我们掌握命题规律，提高学生的复习效率。

面对2017年的三角函数和解三角形的高考复习，为大家提出以下建议；三角函数与解三角形部分知识公式多、内容丰富、变化灵活、渗透性强．通过对这几年高考试题的分析可知，选填题是有针对性地考查本专题的重要知识点；解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用。

笔者认为，具体解答时，熟练掌握基本解题策略，将有助于提高我们灵活解决考查这部分知识解题的能力。

复习教学中应注意“四化”，知识理解“深化”、考试题型“类化”、通性通法“强化”、解题思维“优化”。

数学教学与高考复习内容四查：查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归基础、查学情对症下药。

数学教学与高考复习要求四通：对学生点，心有灵犀一点通；让学生悟，融会贯通；让学生做，触类旁通；让学生考，无师自通。

【考纲解读】一、考点及要求说明: A.了解 B.理解 C.掌握二、考点说明：1. 三角函数（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念。

②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

能画出y = sin x,y = cos x,y = tan x的图像，了解三角函数的周期性。

(山东专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题1 三角函数与平面向量突破点1

专题限时集训(一) 三角函数问题[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组高考达标]一、选择题1．(2016·泰安模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) 【导学号：67722010】A ．－32B ．－12C.12D.32A [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，π∈Z ，解得φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.] 2．(2016·河南八市联考)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x的值是( )A ．－23B ．－43C.43D.34D [因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D.]3．(2016·全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝cos 2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B.]4．(2016·郑州模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图16所示，则f (0)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )图16A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32D ．1＋32A [由函数f (x )的图象得函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，解得ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为函数图象经过点－π12，－2，所以f －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－2，则2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π3＋2k π，k ∈Z.又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0－π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×17π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 5π2＝－3＋2，故选A.]5．(2016·石家庄二模)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－1,1]B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[1，2]A [由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝π2，β＝α－π2∈[0，π]⇒α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⇒α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22⇒2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－1,1]，故选A.]二、填空题6．(2016·合肥三模)已知tan α＝2，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________.【导学号：67722011】35 [∵tan α＝2， ∴sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝cos 2α＋sin αcos α ＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan αtan 2α＋1 ＝1＋24＋1＝35.] 7．(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图17所示，△EFG (点G 在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.图17－ 3 [由函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数可得φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx (A ＞0，ω＞0)．又由△EFG 是边长为2的等边三角形可得A ＝3，最小正周期T ＝4＝2πω，ω＝π2，则f (x )＝－3sin π2x ，f (1)＝－ 3.]8．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．π2 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.] 三、解答题9．(2016·临沂高三模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2满足下列条件：①周期T ＝π；②图象向左平移π6个单位长度后关于y 轴对称；③f (0)＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，求cos(2α－2β)的值．[解] (1)f (x )的周期T ＝π，∴ω＝2.1分f (x )的图象向左平移π6个单位长度，变为g (x )＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ.2分由题意，g (x )关于y 轴对称， ∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.3分又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.4分∵f (0)＝1，∴A sin π6＝1，∴A ＝2.5分因此，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.6分 (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－2π3＋π6＝－1013，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π3＋π6＝65.7分 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴2α，2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝513，cos 2β＝35，sin 2α＝1213，sin 2β＝45，11分 cos(2α－2β)＝cos 2αcos 2β＋sin 2αsin 2β ＝513×35＋1213×45＝6365.12分 10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图18所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.图18(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．[解] (1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－1322×4×5＝55.2分又cos ∠POQ ＝x P5，∴x P ＝1，∴y P ＝2，∴P (1,2).3分由此可得振幅A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6.4分将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.6分(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －＋π3＝2sin π6x .7分 ∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.9分当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，10分∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1)，即1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3)，于是函数h (x )的值域为(－1,3).12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P ，则sin 2α－sin 2α的值为( )A.513 B ．－513C.313D ．－313D [根据已知可得点P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝313，cos α＝213，所以sin 2α－sin 2α＝sin 2α－2sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3132－2×313×213＝－313.] 2．(2016·东北三省四市第二次联考)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B.12 C ．－12D ．－32D [f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，故选D.]3．(2016·湖北七市四月联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R)在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B [由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a cos π4＋b sin π4＝0，∴a ＋b ＝0，∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2a cos x .易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称，故选B.] 4．(2016·陕西省第二次联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图19所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图19A ．±223B.223C ．－223D.13C [由图易得A ＝3，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3在函数图象上，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝－3，解得2×π3＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π6＋2k π，k ∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2.又因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13＞0，所以2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选C.]二、填空题5．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．【导学号：67722012】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z)．由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z)．由4k ＋12＜2k ＋54，解得k ＜38.由ω＞0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.]6．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． π [∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3，∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.] 三、解答题7．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：4分且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分 (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.7分因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z.8分由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z.10分由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.12分8．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12，x ∈R.(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的最值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，11π6，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6的值．[解] (1)f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x －1－cos 2x 2＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分∵－π4≤x ≤π2，∴－π3≤2x ＋π6≤7π6，3分∴当2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4时，f (x )的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－ 3.4分当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )的最大值为2×1＝2.5分(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.7分由g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－65，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－35.8分 ∵4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45.10分 ∵π2＜α2－π6＜3π4，11分 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π32＝－1－452 ＝－1010.12分。

2017届高三数学二轮复习课件第1部分小题速解方略—争取高分的先机专题六解析几何1-6-2

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第十六页，编辑于星期六：一点十三分。
数学（理）
②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为xm2＋yn2＝1(m＞0，n＞0)．双曲线方程可设为xm2－yn2＝1(mn＞0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于ax22＋by22＝1 和ax22－by22＝1 来说，抓住 a、b、c 间的关系是关键．
数学（理）
方略点评：基本法是根据直线与双曲线联立方程组求 M 点，并根据离心率定义求解.速解法是利用解三角形求 M 点，并根据等轴双曲线定义求 c.
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第三十页，编辑于星期六：一点十三分。
数学（理）
(2)已知 F 是双曲线 C：x2－y82＝1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点， A(0,6 6)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．
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第二十四页，编辑于星期六：一点十三分。
数学（理）
1 又由 OE∥MF，得2|M|OFE||＝||BBOF||，则|MF|＝ma2＋a c.② 由①②得 a－c＝12(a＋c)，即 a＝3c，∴e＝ac＝13.
答案：A
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第二十五页，编辑于星期六：一点十三分。
数学（理）
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第九页，编辑于星期六：一点十三分。
数学（理）
若 kPA2＝－2，直线 PA2 方程为 y＝－2(x－2)，
y＝－2x－2 由x42＋y32＝1
得yx＝＝21216949，.
24 ∴kPA1＝21691＋9 2＝38.
∴kPA1∈38，34，故选 B.
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第十页，编辑于星期六：一点十三分。

16-17版第1部分专题1 突破点1 三角函数问题

选 D.]
2017版高三二轮复习与策略
回访 2 三角函数的性质问题
π 2x＋6cos2－x的最大值为(
3．(2016· 全国甲卷)函数 f(x)＝cos A．4 C.6 B.5 D.7
π 2x＋6cos2－x
)
B
[∵f(x)＝cos
＝cos 2x＋6sin x ＝1－2sin x＋6sin
2017版高三二轮复习与策略
提炼 3
三角变换常用技巧
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等． (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β) ＋β 等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
2
x＝－2sin
32 11 x－2 ＋， 2
又 sin x∈[－1,1]，∴当 sin x＝1 时，f(x)取得最大值 5.故选 B.]
2017版高三二轮复习与策略
4．(2014· 全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos |2x|，②y＝|cos
π ＝tan2x－4中，最小正周期为
合选项可知
π y＝2sin2x－6.故选
2017版高三二轮复习与策略 π 1 2．(2016· 全国乙卷)将函数 y＝2sin 2x＋6 的图象向右平移4个周期后，所得图
象对应的函数为( )
π B.y＝2sin2x＋3 π D.y＝2sin2x－3
π x|，③y＝cos2x＋6，④y
π 的所有函数为( B.①③④ D.①③
)
A．②④ C.①②③

2017年高考数学大二轮专题复习第三编考前冲刺攻略第一步八大提分笔记三三角函数解三角形平面向量课件理

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故 y＝21sin4π－23x＝－sinu 的单调递减区间为 3kπ－38π，3kπ＋98π(k∈Z)，单调递增区间为3kπ＋98π ，
3kπ＋281π(k∈Z)．
第30页，共55页。
[正解] 原函数变形为 y＝－12sin23x－π4，令 u＝23x－π4，则只需求 y＝sinu 的单调区间即可，所以 y＝sinu 在 2kπ－π2 ≤23x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，即 3kπ－38π≤x≤3kπ＋98π(k∈Z)上单调递增；y＝sinu 在 2kπ＋π2≤23x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)，即 3kπ＋98π≤x≤3kπ＋281π(k∈Z)上单调递减．
第三编考前冲刺攻略
第一步考前必看八大提分笔记
三、三角函数、解三角形、平面向量
第1页，共55页。
1α 终边与 θ 终边相同(α 的终边在 θ 终边所在的射线上) ⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．
任意角的三角函数的定义：设 α 是任意一个角，P(x， y)是 α 的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是 r＝ x2＋y2>0，那么 sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关．
第14页，共55页。
12 向量的数量积 |a|2＝a2＝a·a， a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2， cosθ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22， a 在 b 上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝a|b·b| ＝x1xx2＋22＋yy1y222. 注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0 且 a、b 不同向；〈a，b〉为直角⇔a·b＝0 且 a、b≠0；〈a，b〉为钝角⇔a·b<0 且 a、b 不∈Z； (3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°] 应写为0，2π.

2017高考数学二轮复习与策略课件专题2 解三角形

8分
10分 12分 14分
第十六页，编辑于星期六：二十一点九分。
2017版高三二轮复习与策略
5.(2014·浙江高考在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 a≠b，c＝ 3，cos2A－cos2B＝ 3sin Acos A－ 3sin Bcos B.
(1求角C的大小； (2若sin A＝45，求△ABC的面积.
2017版高三二轮复习与策略
(2由tan C＝2，C∈(0，π，得
sin
C＝2 5 5，cos
C＝
5 5.
因为sin B＝sin(A＋C＝sinπ4＋C，
所以sin
B＝3
10 10 .
由正弦定理得c＝2 32b，
又因为A＝π4，12bcsin A＝3，所以bc＝6 2，故b＝3.
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2017版高三二轮复习与策略
6 3
[因为sin∠BAM＝13，
所以cos∠BAM＝
2
3
2
.如图，在△ABM中，利用正弦定理，得
BM sin∠BAM
＝
sAinMB，所以BAMM＝sins∠inBBAM＝3si1n B＝3cos∠1 BAC.
在Rt△ACM中，有
CM AM
＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM.由题意知BM＝
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2017版高三二轮复习与策略提炼3 三角形的常用面积公式
设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，其面积为 S. (1S＝12aha＝12bhb＝12chc(ha，hb，hc 分别表示 a，b，c 边上的高. (2S＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B. (3S＝12r(a＋b＋c(r 为三角形 ABC 内切圆的半径.

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件：3-1 三角函数

二、认识解答题的特点．掌握解题思维中的“三化” 1．抽象问题具体化(包括对抽象函数可用与其具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表)； 2．复杂问题简单化； 3．尽量使陌生问题熟悉化，即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系，变成熟悉的形式．
2
2π ∵f(x)的最大值为 2，∴a＝－1，最小正周期 T＝＝π.(6 2 分)
(2)列表：
π 2x＋ 6 π 6 π 2 π x 0 6 2 π 3π 2 2π 3 －2 2π 13π 6
5π 12 0
11π 12 0 π
f(x)
1
1
(9 分)
画图如下：
(12 分)
【回顾】 (1)列表．(2)描点连线．要注意：列表时对于所给区间与周期的关系要明确；画图时，要用平滑的曲线结合三角函数图像的走势来描点连线．力争使图像给人以美观、舒服的感觉，而不是生硬的味道．
2α＋β
49×5 239 －1＝2× －1＝－ .(6 分) 2 729 729
tan（α－β）＋tanβ (2)tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ 1－tan（α－β）tanβ 1 1 － 2 7 1 ＝＝ .(7 分) 1 1 3 1＋ × 2 7
tanα＋tan（α－β） tan(2α － β) ＝ tan[α ＋ (α － β)] ＝＝ 1－tanαtan（α－β） 1 1 ＋ 3 2 ＝1.(8 分) 1 1 1－ × 3 2 π 1 ∵tanα＝ >0，∴0<α< ，∴0<2α<π. 3 2 2tanα π 3 又∵tan2α＝＝ >0，∴0<2α< . 2 1－tan2α 4 π 1 ∵tanβ＝－ <0，∴ <β<π，∴－π<2α－β<0.(10 分) 7 2 3π ∴2α－β＝－ .(12 分) 4

[精品]2017年全国高考数学考前复习专题2.1三角函数解三角形和答案

【知识网络】【考点聚焦】对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．1.原题（必修4第十页A组第五题）变式1下列说法中正确的是( )A ．第一象限角一定不是负角B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等【答案】C.变式2 已知θ为第二象限角，那么3θ是（） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角【答案】D.【答案】C. 【解析】22,(),,(),2422k k k Z k k k Z ππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z =∈时，2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2α在第三象限；而coscoscos0222ααα=-⇒≤，2α∴在第三象限；答案：C .2.原题（必修4第十页B 组第二题）变式时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )A.143 π B．－143 πC.718 πD ．－718π【答案】B.【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第十九页例6）变式（1）已知sin α13=，且α为第二象限角，求tan α；（2）已知sin α=m (0,1)m m ≠≠±，求tan α. 【解析】（1）1sin 3α=，且α为第二象限角，cos α∴=sin tan cos ααα∴== （2）sin (0,1)m m m α=≠≠±，α∴为象限角.当α为第一或第四象限角时，cos αtan α=α为第二或第三象限角时，cos α=tan α=，综上，tan α.4.原题（必修4第十九页例7）变式若sin cos 1,sin cos 1,a b ab θθθθ+=-=则的值是（）【答案】B.5.原题（必修4第二十二页习题 1.2B 组第二题）变式化简为（）A. 2tan x C. 2tan x -B. 2tan x ± D. 不能确定【答案】C.【解析】:C .原式=2tan 2,4432tan 2,44xx k k x x k k ππππππππ⎧⎛⎫∈-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-∈++ ⎪⎪⎝⎭⎩6.原题（必修4第二十二页B 组第三题）变式已知tan 2α=，计算：（1）2sin cos sin 2cos αααα-+；（2）22sin sin cos 2cos αααα+-【解析】：（1）原式2tan 13tan 24αα-==+；（2）原式2222sin sin cos 2cos sin cos αααααα+-=+22tan tan 24tan 15ααα+-==+ 7.原题（必修4第二十三页探究）变式1( )A.sin 2cos 2+B.cos 2sin 2-C.sin 2cos 2-D.±cos 2sin 2- 【答案】C.【答案】B. 【解析】(2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()f a b a b παβαβ=++π++=π++π+ sin cos 45a b αβ=--+=,sin cos 1a b αβ∴--=,(2010)sin(2010)cos(2010)4sin cos 4143f a b a b αβαβ=π++π++=++=-+=8.原题（必修4第二十七页例4）变式已知角x 终边上的一点P （-4，3），则()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为. 【解析】()cos sin sin sin 2tan 9sin cos cos sin 22x x x x x x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪-∙⎝⎭==-∙⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数的定义，可知33tan ,=-tan 44y x x x ==-=所以原式 9.原题（必修4第四十一页练习题6）变式函数12log cos 34x y π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为.【解析】1122log cos log cos 3434x x y ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，∴所求的递增区间就是使cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值为正值的递减区间，由22,342x k k k zππππ≤+〈+∈得：3366,.44k x k k z ππππ-+≤〈+∈∴所求的递增区间为()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭答案：()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭10.原题（必修4第五十三页例1）变式设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 【答案】C.11.原题（必修4第五十六页练习题3）变式 sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的振幅为______，频率和初相分别为______，______.【解析】 21π4π-12.原题（必修4第五十八页例4）变式某正弦交流电的电压（单位V ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是),[0,)6v t t ππ=-∈+∞.（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅；（2）当1600t =，160时，求瞬时电压；（3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光.1.4≈）【解析】（1）周期2110050T ππ==，频率150f T==，振幅A =（2）1600t =时，1)06006v ππ=⨯-==（V ）；160t =时，13)6062v πππ=⨯-==-V ）. （3）由)846t ππ-> 1.4，得1sin(100)62t ππ->.结合正弦图象，取半个周期，有5100666t ππππ<-<，解得11300100t <<. 所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为112100300300-=（s ）. 13.原题（必修4第六十页例2）变式在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、2tan(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数为（） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个14.原题（必修4第六十九页复习参考题A 组第八题）变式已知1tan tan αα，是关于的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求2sin cos sin ααα+的值．【解析】21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±，而παπ273<<，则1t a n 2,t a n kαα+==得tan 1α=，则222222sin cos sin tan tan sin cos sin 1cos sin 1tan ααααααααααα+++===++. 15.原题（必修4第七十一页复习参考题B 组第六题）变式已知222121,yx y u x x-==+则的值域为. 【解析】221,x y -=()22221cos tan 12tan cos 2sin sin 2sin 1sec sin 12,1sin 1x sec y u sec θθθθθθθθθθθθ⎧==⎪∴⎨⎪=⎩∴=+=+=-++=--+-〈〈可设其中 sin u θ随的增大而增大.sin 12,sin 12u u θθ→-→-→→又当时，当时，∴所求值域为（-1，2）.16.原题（必修4第一百二十七页例2）变式已知431c o s ,,,t a n ,,,5232πααππββπ⎛⎫⎛⎫=-∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求()cos αβ+.17.原题（必修4第137页A 组第十题）已知：αtan ，βtan 是方程0382=--x x 的两根，试求)tan(βα+的值.变式已知：αt a n ,βtan 是方程0382=--x x 的两根，求2)c o s ()s i n (3)(s i n 2+++-+βαβαβα的值.【解析】由题意有8tan tan =+βα，3tan tan -=βα， ∴2)3(18tan tan 1tan tan )tan(=--=-+=+βαβαβα，∴2)cos()sin(3)(sin 2+++-+βαβαβα)(cos )(sin )](cos )([sin 2)cos()sin(3)(sin 22222βαβαβαβαβαβαβα+++++++++-+=5812223231)(tan 2)tan(3)(tan 32222=++⨯-⨯=++++-+=βαβαβα.18.原题（必修4第一百三十九页例1）变式 +的结果是. 【解析】2sin219.原题（必修4第147页复习参考题B 组第七题）变式如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为AB 、DA 上的点，当∠PCQ=045时，求△APQ 的周长.20.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B 组第六题）变式若函数2()22cos f x x x m ++在区间[0,]2π上的最小值为3，求常数m 的值及此函数当[,]x a a π∈+(其中可取任意实数)时的最大值.21.原题（必修5第3页例1）变式 ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3C π=，326,a c ==则的值为（）B 1C 1D【解析】先求出sin A ，再求出sinB ，最后用一次正弦定理即得.选D. 22.原题（必修5第10页习题1.1A 组第2题）变式1 在三角形ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A ．a=8 b=16 A=30︒ B. a=25 b=30 A=150︒ C. a=30 b=40 A=30︒ D. a=72 b=60 A=135︒ 【解析】C.变式2 在△ABC 中，已知a =b B =45︒ ，求A 、C 及c .23.原题（必修5第10页习题1.1B 组第2题）变式（2010辽宁）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.【解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++ 即222a b c bc =++，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，故1cos 2A =-，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-1sin 2sin(60)B BB =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1.24.原题（必修5第11页例2）变式如图,为了测量河对岸两个建筑物C 、D 之间的距离,在河岸这边取两点A 、B,测得∠BAC=45°,∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°.又AB=千米,A 、B 、C 、D 在同一平面内,试求C 、D 之间的距离.25.原题（必修5第19页习题1.2A 组第1题）变式一只船以均匀的速度由A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A 点观测灯塔C 的方位角为30°，行驶60海里后，船在B 点观测灯塔C 的方位角为45°，求A 到C 的距离．【解析】A 到C 的距离为60+海里．【感受高考】1.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()f x 图像的对称轴,所以()444T kT ππ--=+,即41412244k k T ππω++==⋅,所以41(*)k k N ω=+∈,又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调,所以5236181222T ππππω-=≤=,即12ω≤,由此ω的最大值为9.故选B.2.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D.3.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（）（A ）725（B ）15 （C ）15-（D ）725-【答案】D4.【2016高考新课标1卷】 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC =∆的面积为2,求ABC 的周长．【答案】（I ）C 3π=（II ）5【解析】（II ）由已知,1sin C 22ab =．又C 3π=,所以6ab =．由已知及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5+5.【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f(x)在区间,44ππ-]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间,44ππ-]上单调性试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π=-.所以,()f x 的最小正周期2.2T ππ==。