2013年 北约自主招生数学试题
2013年北约数学试题
2013年北约自主招生数学试题解析1、以2和321-为两根的有理系数多项式的次数最小是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．62、在66⨯的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A ．720B ．20C ．518400D ．144003、已知522+=y x ，522+=x y ，求32232y y x x +-的值．4、如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，DN DM ,分别为ADC ADB ∠∠,的角平分线，试比较CN BM +与MN 的大小关系，并说明理由．5、设数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S ，求2013a ．6、模长为1的复数z y x ,,满足0≠++z y x ，求zy x zxyz xy ++++．ＡＣＮ27、最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．8、已知i a ，2013,,3,2,1 =i 为2013个实数，满足02013321=++++a a a a ，且212a a -322a a -==…120132a a -=，求证02013321=====a a a a ．9、对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值．10、已知有mn 个实数，排列成n m ⨯阶数阵，记作{}n m ij a ⨯使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的m i ,,3,2,1 =，当21j j <时，有21ij ij a a <；现将{}nm ij a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的n m ⨯阶数阵，记作{}nm ija ⨯'，即对任意的n j ,,3,2,1 =，当21i i <时，有j i j i a a 21''<，试判断{}n m ij a ⨯'中每一行的各数的大小关系，并加以证明．【参考答案】1、解析：显然)2)1)((2(32+--x x 为满足要求的多项式，其次数为5．若存在n 次有理系数多项式)(x f 以2和321-为两根，则)(x f 必含有因式)2)1)((2(32+--x x ，∴5≥n ，即最小次数为5．故选C ．2、解析：先排3个红色車，从6行中任取3行，有2036=C 种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法． 故停放方法共14400645620=⨯⨯⨯⨯种．故选D ．3、解析：∵32232y y x x +-)52()52)(52(2)52(++++-+=x y x y y x50)(154-+--=y x xy ，又由522+=y x ，522+=x y ，有)(222y x y x --=- ∴y x =或2-=+y x ．当y x =时，有522+=x x ，61±=x ，50)(154-+--y x xy 503042---=x x 7038--=x 7038--=x 638108±-=；当2-=+y x 时，5)2(22++-=x x ，1)2(=+x x50)(154-+--y x xy 20)2(4----=x x 80)2(4-+=x x 16-=．4、解析：延长ND 至E ，使ED ND =，连结ME BE ,，则BED ∆≌CND ∆，MED ∆≌MND ，MN ME =，由EM BE BM >+，得MN CN BM >+．5、解析：∵11=a ，24121+=+a a a ，∴52=a ；由 241+=+n n a S ，有2≥n 时，241+=-n n a S ，于是1144-+-=n n n a a a ，特征方程442-=x x 有重根2，可设n n c c a 2)(21⨯+=，将11=a ，52=a 代入上式，得411-=c ，432=c ，于是22)13(2)4143(-⨯-=⨯-=n n n n n a ，∴2011201326038⨯=a ． 6、解析：取1===z y x ，便能得到zy x zxyz xy ++++＝1．ＡＣＮ4下面给出证明，1===z z y y x x ，于是2z y x zx yz xy ++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=z y x zx yz xy z y x zx yz xy zy x zxyz xy z y x zx yz xy ++++⨯++++= 1111111=++++++++++++++++=xy x z x z x y z y z x x y x z x z x y z y z x ． ∴z y x zxyz xy ++++＝1． 7、解析：设满足条件的正整数为n 个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2．则这n 个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故4≤n ．当4=n 时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个．8、解析：设212a a -322a a -==…120132a a -=k =，若0=k ，则212a a =，322a a =，…，201320122a a =，120132a a =， 于是0222212011121112013321=+++++=++++a a a a a a a a a ， ∴01=a ，进而02013321=====a a a a ．若0>k ，则212a a -，322a a -，…，120132a a - 这2013个数去掉绝对值号后只能取k 和k -两值，又212a a -+-+322a a …201320122a a -+0212013=-+a a ， 即这2013个数去掉绝对值号后取k 和k -两值的个数相同，这不可能． 9、解析：42cos 122cos 122cos 4)22cos 1(32cos 322336+++=+=θθθθθ， θθθ2cos 32cos 46cos 3+-=-，62cos 124cos 62+-=-θθ， θθ2cos 152cos 15-=-，各式相加，得102cos 154cos 66cos cos 326=---θθθθ．10、解析：数阵{}nm ija ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．若在第p 行存在)1(''+>q p pqa a，令)1()1('++=q i q k k a a ，其中m k ,,3,2,1 =，{}{}m i i i i m ,,3,2,1,,,,321 =，则当p t ≤时，)1(+≤q i qi t ta a )1('+=q t a <≤+)1('q p a pq a '即在第q 列中至少有p 个数小于pq a '，也就是pq a '在数阵{}n m ij a ⨯'中的第q 列中至少排在第1+p 行，这与pq a'排在第p 行矛盾．所以数阵{}n m ij a ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．。
2013年北约自主招生数学试题与答案(完整版)
2.
2 为两根的有理系数多项式的次数最小为 5.
2． 在 6 × 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色车和 3 辆完全有几种停放方法？ A. 720 B. 20
3
C. 518400
D. 14400
解析:先从 6 行中选取 3 行停放红色车,有 C6 种选择.最上面一行的红色车位置有 6 种选择；最上面一行的
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所以
AB + BC + CA 的模长为 1. A+ B +C
7．最多能取多少个两两不等的正整数, 使得其中任意三个数之和都为素数 . 解析:所有正整数按取模 3 可分为三类: 3k 型、 3k + 1 型、 3k + 2 型. 首先, 我们 可以证明, 所取 的数最多 只能取到 两类 .否则 ,若三 类数都有 取到 ,设所 取 3 k 型数 为
3 a , 3 k + 1 型数为 3b + 1 , 3 k + 2 型数为 3c + 2 ,则 3a + (3b +1) + (3c + 2) = 3( a + b + c +1) ,不可能为素数.
所以三类数中,最多能取到两类. 其次,我们容易知道,每类数最多只能取两个.否则,若某一类 3k + r(r
8 ．设实数 a1 , a2 ,⋯ , a2013 的和为零,且 a1 − 2a2 = a2 − 2 a3 = a3 − 2 a4 = ⋯ = a2012 − 2 a2013 = a a , 2013 − 2 1 求证: a1 = a2 = a3 = ⋯ = a 2013 = 0 .
解析:据条件知 ( a1 − 2a2 ) + ( a2 − 2 a3 ) + ( a3 − 2 a4 ) + ⋯ + ( a2013 − 2 a ,（1） 1 ) = −( a 1 + a 2 + a 3 + ⋯+ a 2013 ) = 0 另一方面,令 a1 − 2a2 = a2 − 2 a3 = a3 − 2 a4 = ⋯ = a2013 − 2 a1 = m , 则
2013年三大联盟自主招生数学试题及答案
ak al am an
a1 k 1 d a1 l 1 d a1 m 1 d a1 n 1 d k l mn k l mn ≥ mn 2 2 因此命题得证，
b2013 0 ，进而易得 a1 a2
b2013 mx m 2013 x m 2x 2013 ．
a2013 0 ．
（理科第 9 题，文科第 9 题） 对任意 ，求 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2 的值． 【解析】 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2
1 2 【解析】 B．
AB BC CA 的模等于（ A BC
）
A．
B． 1
C． 3
D．不能确定
A B C A B C
A B C A B C
3 AB AC BA BC C A CB
AB BC CA AB BC CA
（理科第 7 题，文科第 8 题） 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论． 【解析】 至多可以找到 4 个，如 1, 3 , 7 , 9 ． 下面证明不能找到 5 个符合题意的正整数． 考虑它们模 3 的余数，设余数为 0 、 1 、 2 的分别有 a 、 b 、 c 个，则 1° 若 a 、 b 、 c 均不为零，则存在三个数，它们的和为 3 的倍数，一定不是质数； 2° 若 a 、 b 、 c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同． 此时它们的和为 3 的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到 5 个符合题意的正整数． （理科第 8 题，文科第 10 题） 实数 a1 , a2 ,
2013年北约自主招生数学试题及答案解析版
证明: a1 a2 a3 a2013 0 .
【证明】:观察可知 a1 a2 a3 a2013 0 ,
即 (2a2 a1) (2a3 a2 ) (2a2013 a2012 ) (2a1 a2013) 0 ……①
所以方程 (x2 2)[(1 x)3 2] 0 的次数最小,其次数为 5,故选 C.
2.在 6 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色和 3 辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆
车,每辆车只占一格,共有
种停放方法.
A. 720
B.
20
C. 518400 D. 14400
【解】红色车选
3
列有
B
A. BM CN MN
B. MN CN MN C. BM CN MN
M
D
D.无法确定 【解】如图,在 DA 取 DE DB ,连接 ME, NE, MN
则显然可证 ME MB, EN NC ,
A
N
C
B
且有 ME NE MN ,即 BM CN MN , 上述不等式当且仅当 MED DEN 180 , 也即 B C 180 , 这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选 A.
an 2n1
3 ,且 a1 2 20
1;
所以
an1 2n
1
3 n ,故令 n 2
2012 时,得 a2013
22012
3019 ,故选
A.
5.在 ABC 中, D 为 BC 中点, DM 平分 ADB 交 AB 于点 M , DN 平分 ADC 交 AC 于 N ,
2013年北约自主招生数学试题Word版含解析
2013年北约自主招生数学试题与答案2013-03-16（时间90分钟，满分120分）(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c e b d a b c d e a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.1． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。
所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法. 2． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==1x y ==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==-3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .A. 3019⨯2 2012B. 3019⨯22013C. 3018⨯22012D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-， 则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2n nn a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由.A. BM+CN>MNB. MN +CN <MNC. BM+CN =MND.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定解析：根据公式z =1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAA B C ++=++=1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类. 其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈ 、、、、，满足12320130a a a a ++++= ，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=- ，求证：12320130a a a a ===== .解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++= ，（1）另一方面，令12233421312222a a a a a a a a m -=-=-==-= ，则1223342222a a a a a a a a ---- 、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=- （2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a ===== .从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ==== .命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m = 、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija '，即对任意的123j n = 、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m = 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =- 、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m = 、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m = .则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i = 、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnij a '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m = 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.。
“北约”“华约”自主招生数学模拟试题
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题（满分150分）5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA uu u v 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅I ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量3,1)a =-v ,13(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22Λ+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅I 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-U2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。
2013年自招数学模拟
因为边长为 2，对角线为 此行中必存在两个相邻格子一黑一白，分别让两只跳蚤跳 入其中各自颜色的格子即可相邻，需跳两次；
②若两个跳蚤不同行或列，则白跳蚤所在行与黑跳蚤所在列必相交，相交处的格子若为 黑色则由黑跳蚤跳入，为白色则由白跳蚤跳入，经一次即可变为同行或列；
2013 年自主招生模拟（北约二） 胡源命题
2013 年自主招生模拟（北约二）参考答案
一、选择题 AAA DDC
二、解答题 7．解： 调整法，3 点在顶点时周长最大
任取 M、N 两点固定，以这两点为焦点做一个与正五边形有交点最大的椭圆， 则那个交点一定是五边形顶点，将 K 点移动至这个顶点，三角形周长增加； 再分别固定 M、K，N、K 重复上述过程，此时三角形 KMN 顶点都是正五边形的 顶点，再移动任意一个顶点都会导致周长变小，故此时周长最大。
试题卷 第 2 页 共 2 页
由①②可知，至多跳 3 次可以相邻。
2013年北约自主招生数学试题解析
4xy 15(x y) 50 4x(2 x) 20
Ａ
4x(x 2) 80 16．
4．如图，△ ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，DM、
Ｍ
Ｎ
DN 分别为∠ADB、∠ADC 的角平分线，试比较 Ｂ
BM＋CN 与 MN 的大小关系，并说明理由．
解析 延长 ND 至 E，使 ND＝ED，连结 BE、ME，
4xy 15(x y) 50， 又由 x2 2y 5 ， y2 2x 5 ，有 x2 y2 2(x y) ∴ x y 或 x y 2 ． 当 x y 时，有 x2 2x 5， x 1 6 ， 4xy 15(x y) 50 4x2 30x 50 38x 70 38x 70 108 38 6 ； 当 x y 2 时， x2 2(x 2) 5， x(x 2) 1
下面给出证明， xx yy zz 1，
于是
xy yz zx x yz
2
xy yz zx x yz
xy x
yz zx yz
xy yz zx x yz
xy yz zx x yz
111 xz yz yx zx zx yx 1． ∴ xy yz zx ＝1．
则都会出现三数之和为 3 的倍数．故 n 4 ． 当 n 4时，取 1，3，7，9，其任意三数之和为 11，13，17，19 均为素数，满足题意，
所以满足要求的正整数最多有 4 个．
8．已知 ai ， i 1,2,3,,2013为 2013 个实数，满足 a1 a源自 a3 a2013 0 ，且
2013年北约自主招生数学试题
2013年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约）数学试题一.选择题（每题8分，共48分）1.1为根的有理系数方程的最小次数为 ． A ． 2 B ．3 C ．5 D ．62.在66⨯棋盘上放3个完全相同的红色的车和3个完全相同的黑色的车，若这6个车不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 种．A ． 720B ．518400C ．20D ．144003.在ABC △中，D 为BC 的中点，DM 平分ADB ∠交AB 于M ，DN 平分ADC ∠交AC 于N ，则B M C N +与MN 的大小关系是 ．A ．BM CN MN +>B ．BM CN MN +=C ．BM CN MN +<D ．不能确定4.若222525x y y x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，x y ≠，则32232x x y y -+的值为 ．A ．10-B ．12-C ．14-D ．以上答案均不对5.n S 表示数列{}n a （1n ≥）的前n 项和．已知11a =，且1n ∀≥，142n n S a +=+，则2013a 等于 ． 的模等于 ．k a 与l a 的几何平的算术平均．求证：3.实数12201,,,a a a 满足1220130a a a +++=，122320131222a a a a a a -=-==-．求证：1220130a a a ====．4.对任意θ，求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值．5.（理科）设有mn 个实数排成一个m 行n 列的阵列{}ij m na ⨯，使得每一行上的n 个数从左到右都按递增的顺序排列，即对任意1i m ≤≤，当12j j <时有12ij ij a a ≤．下面把每列上的m 个数都从上到下都按递增的顺序重排得到阵列{}ij m na ⨯'，即对任意的1j n ≤≤，当12i i <时有12i j i j a a ''≤，问这个新的阵列{}ij m na ⨯'每一行中的n 个数的大小顺序如何？给出结论并说明理由．2013年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约）数学答案一、选择题（每题8分，共48分） 1.【解析】 C ．可以构造方程()()322120x x ⎡⎤--+=⎣⎦，于是次数不超过5．假设有3次方((()10x x x m ⎡⎤--=⎣⎦满足要求，则1m，(1m ⋅均为有理数．设m p =p 为有理数，(1m -⋅5155111636622222222222p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可能为有理数．因此次数不小于4． 2.【解析】 D ．视6枚棋子均相同，记落在第i 行的的棋子在i a 列，则排列()126,,,a a a 与放法对应．于是633663A C C 14400⋅⋅=为所求． 3.【解析】 A ．E 点平化为2226x y x y +=-⎧⎨+=⎩，即21x y xy +=-⎧⎨=-⎩．是()214n n n a a a ++=-，即此()311242n n a n =-+，解得AB AC BA BC C A CB+++++二、解答题（每题18分，共72分） 1.【解析】 根据题意有2m na a +，又2k l a a +，于是22k l m na a a a ++>．因此k l m a a a a +>+．设()11n a a n d =+-，则k l m n a a a a +>+⇒()()()()11111111a k d a l d a m d a n d +-++->+-++-⇒k l m n +>+22k l m n++⇒> E N M D C B A2.【解析】 至多可以找到4个，如1,3,7,9．下面证明不能找到5个符合题意的正整数．考虑它们模3的余数，设余数为0、1、2的分别有a 、b 、c 个，则1°若a 、b 、c 均不为零，则存在三个数，它们的和为3的倍数，一定不是质数；2°若a 、b 、c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同．此时它们的和为3的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到5个符合题意的正整数． 3．【解析】 令1122b a a =-，2232b a a =-，…，2013201312b a a =-，则122013b b b ===，1220130b b b +++=．设122013b b b ===m =，则122013,,,b b b 或者为m 或者为m -，设其中有x 个m ，2013x -个m -，则()()()122013201322013b b b mx m x m x +++=+--=-．由于220130x -≠，因此0m =．于是1220130b b b ====，进而易得1220130a a a ====． 4．【解析】 632cos cos66cos415cos2θθθθ---()()3321cos 2324cos 23cos 262cos 2115cos 22θθθθθ+⎛⎫=⋅----- ⎪⎝⎭10=5.．【解析】 新的阵列{}ij m na ⨯'中，每一行上的n 个数从左到右还是按递增的顺序排列．反证如下，若有某一行不是这样，不妨设第i 行上存在j k <且ij ik a a ''>．由新阵列的排法知()121k k ik ij mj i j a a a a a a +''''''≤≤≤≤≤≤≤．返回到原阵列{}ijm na ⨯讨论，i 个数1k a '，2k a '，…，ik a '都在原阵列的第k 列上，而剩余的()1m i -+个数ij a '，()1i j a +'，…，mj a '都在原阵列的第j 列上，由于这些数共有1m +个而总共有m 行，所以一定有1k a '，2k a '，…，ik a '中的某个数与ij a '，()1i j a +'，…，mj a '中的某个数在原阵列的同一行．故在原阵列的此行上，第j 列上的数大于第k 列上的数，与原阵列的排法矛盾．。
2013年北约自招数学模拟试题2
2013年自主招生数学仿真试题--北约（ 考试时间：90分钟，总分100分）一、解答题1.（12分）设()=11=+1-nn k a k n k ∑，求证：当正整数2n ≥时+1<n n a a2.（13分）在平行四边形ABCD 中，AB=x ，BC=1，对角线AC 与BD 的夹角=45BOC ∠ ，记直线AB 与CD 的距离为()h x ，求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围。
3.（15分）已知函数()=sin f x x 的图像与直线()=>0y kx k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1+=sin +sin 34ααααα4．（15分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝CE ·GF .5.（15分）已知点(),E m n 为抛物线()2=2>0y px p 内一定点，过E 作斜率分别为12,k k 的两条直线交抛物线于A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点；（1）当=0n 且12=-1k k ⋅时，求EMN 的面积的最小值（2）若()12+=0,k k λλλ≠为常数证明：直线MN 过定点。
6.（15分）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。
问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。
抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。
）7.（15分）某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n为老师作为指导教师，在该小组的一次活动中，每位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导老师各提一个问题，以上所有问题各不相同，共有51个问题，试求m，n的值。
2013年北约自主招生数学试题(word版含答案)
2013年北约自主招生数学试题2013-03-16（时间90分钟，满分120分）1．以2和312-为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？A ．2B ．3C ．5D ．6解析：显然，多项式f （x ）=（x 2-2）［（1-x ）3-2］的系数均为有理数，且有两根分别为2和312-，于是知，以2和312-为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e ，其两根分别为2和312-，其中a ，b ，c ，d ，e 不全为0，则：()33312(7)(232)2(63)40g a b c d e a b c d a b c -=-+----++++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)ac e bd a b c de a b c d ab c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解。
由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a = 代入（7）、（8）得：0b c == 代入（1）、（2）知：0d e ==于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾。
所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x ，其两根分别为2和312-.综上所述知，以2和312-为两根的有理系数多项式的次数最小为5．2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？A ．720B ．20C ．518400D ．14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择．最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
2013年自主招生数学试题及答案
2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
2013华约北约自主招生试题(无答案)
华约自主招生试题（数学）1．设},10|{Z x x x A ∈≥=，A B ⊆，且B 中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9．（1）求B 中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）将B 中的元素从小到大排列，求第1081个元素．2．已知31s in s in =+y x ，51cos cos =-y x ，求)c o s (y x +，)sin(y x -． 3．点A 在kx y =上，点B 在kx y -=上，其中0>k ，12+=k OB OA ，且A ，B 在y 轴同侧．（1）求AB 中点M 的轨迹C 的方程；（2）曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方 程．4．7个红球，8个黑球，任取4个．（1）求恰有1个红球的概率；（2）记取黑球个数为x ，求其分布列和期望；（3）取出4球同色，求全为黑球的概率．5．已知21++=n n n ca a a ， ,3,2,1=n ，0>1a ，0>c ．（1）证明对任意的0>M ，存在正整数N ，使得对于N n >，M a n >（2）设1+1=n n ca b ，记n s 为n b 前项和，证明n s 有界，且0>d 时，存在正整数k ，k n >时d ca s n <1<01－． 6．设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(－－－zx y xy 的z y x ,,．7．设1e )1(=)(－－x x x f ． （1）证明当0>x 时，0<)(x f ；（2）令1e =1+－n n x x n e x ，1=1x ，证明n x 递减且n n x 21>． 华约自主招生试题（物理）一、 （15分）（1）质量约1T 的汽车在10s 内由静止加速到60km/h 。
2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题
2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
2010-2013北约自主招生数学笔试试题及答案(精校版+完整版)
2010年“北约”自主招生数学试题1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分）3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2011北约自主招生数学试题∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。
∎2求过抛物线2，交点的直线方程。
∎3、等差数列满足=，，这个数列的前n项和为，数列中哪一项最小，并求出这个最小值。
∎4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤。
∎ 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？∎6、和是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。
∎7、求f(x)=的最小值。
2012年“北约”自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
8
4
(II) 直线 l1 : x 1 , l2 : y
x
m ,D(1,4),
( x 1)2
椭圆 Q:
(y
2)2
1
8
4
①若 l2 过点 F1 或 D,由 F1 ,D 两点既在直线 l1 上 , 又在椭圆 Q上 , 但不在 F2 的轨迹上 ,
知 l2 与 F2 的轨迹只有一个公共点 , 不合题意 .
②若 l2 不过 F1 ,D 两点 ( m 1, m 3 ). 则 l 2 与 l1必有一个公共点 E, 且点 E不在椭圆 Q上 ,
(I) 求点 F2 的轨迹方程 ;
(II)
是否存在直线 y x m 与点 F2 的轨迹有 且只
有两个公共点 ?若存在 , 求实数 m 的值 , 若不存在 , 请说明理由 .
5. 已知 a， b 均为正整数，且 a b, sin 证：对一切 n N * ， An 均为整数
2ab a 2 b 2 (其中 0
当 t ( , 1) , g' (t ) 0 , g(t ) 为增函数 ; 当 t ( 1,1) 时 , g' (t ) 0 , g (t ) 为减函数 ;
当 t (1, ) 时 , g '(t ) 0 , g (t) 为增函数 .
所以当 t
值
1
.
2
1, 即
时 , m g (t) 有极 大值 1 ; 当 t 1, 即
4
2
4．解 :(I) F1 (1,0) , AF1 BF2 2 2 , 设 F2( x, y) 则
时 , m g(t) 有极小 4
AF1 AF2 BF1 BF2 2a 0 , 去掉绝对值号有两种情况 , 分别得 F2 的轨迹
2013北约数学试题
6.复数ABC的模均为1（A+B+C≠0），则复数 的模为
A. B. 1 C. 3 D.ABC均不正确
7.求最多有多少两两不相同的正整数，其中任意三个数的和为质数？证明你的结论。
8.
9.已知ai, i=1,2,3,…,2013为2013个实数，满足a1+a2+a3+…+a2013=0且|a1- 2a2|=|a2–2a3|=…=|a2013-2a1|.求证a1=a2=a3=…=a2013=0
2013北约数学试题（回忆）
共10道题6道选择4道大题（共120分）
1.以√2和1 -3√2为根的方程最小次数为
A2 B 3 C 6 D无法确定
2.在6×6的棋盘中，分别有3个完全相同的红色棋子和黑色棋子。则六个棋子不在同一行或同一列的可能摆放情况有多少种
3.数列{an}中，a1=1, Sn=4(an- 1),则a2013的值为
4.在ABC中，D是BC的中点，DM平分∠ADB交AB于M，DN平分∠ADC交AC于N，则BM，CN和MN的关系怎样？
A. BM+CN＞Mபைடு நூலகம் B.BM+CN＜MN C.BM+CN=MN D.关系不确定
5.已知x2=2y+5,y2=2x+5（x≠y）。求x3-2x2y2+y3的值
2013年“北约”自主招生训练题二
2013年“北约”自主招生训练题二1、函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .2、设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.3、圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．4、在三棱锥A B C D -中，已知A C B C B A ∠=∠，A C D A D C B C D B D C ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱A B的长为，则此棱锥的体积为 ．5、设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ．6、已知平面上两定点A （－3，0），B （0，－4），P 为曲线12(0)y x x=>上任意一点，过点P作PC ⊥x 轴，PD ⊥y 轴，垂足分别为C,D ，则四边形ABCD 面积S 的最小值为 7、函数()2f x x =-__________________________.8、函数22*()sincos()kkf x x x k N =+∈的最小值为9、设O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||A C A BO P O A A C A B λλ-=+，其中[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹为_________________. 10、函数21)(2+-=x x x f 的值域是__________________。
11、若ABC ∆为锐角三角形，满足)cos(sin sin B A BA +=，则A tan 的最大值是___________。
12、将9,,2,1 随机填入右图正方形ABCD 的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左至右顺次成等差数列的概率P=__________。
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2013年北约自主招生数学试题2013年北约自主招生数学试题与答案2013-03-16（时间90分钟，满分120分）(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x11 5.1． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。
所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法.2． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =于是知1x y ==1x y ==当1x y ==3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .A. 3019⨯2 2012B. 3019⨯22013C. 3018⨯22012D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-， 则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2nnn a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由.A. BM+CN>MNB. MN +CN <MNC. BM+CN =MND.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定解析：根据公式z =1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CA A B C++=++=1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、， 则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈ 、、、、，满足12320130a a a a ++++= ，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=- ，求证：12320130a a a a ===== .解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++= ，（1）另一方面，令12233421312222a a a a a a a a m -=-=-==-= ，则1223342222a a a a a a a a ---- 、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=- （2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a ===== .从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ==== .命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m = 、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnij a 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija '，即对任意的123j n = 、、、、，当12i i <时，都有12i ji j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m = 、、、、，都有(1)ij i j a a +''≤，其中1231j n =- 、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m = 、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m = .则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i = 、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnija '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m = 、、、、，都有(1)ij i j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.。