2013年北约自主招生数学试题

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---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题

即在 aiq (i
1、2、3、、 m)中，至少有 p 个数小于 a pq ，也即 a pq 在数阵
aij
的第 q 列中，
mxn
至少排在第 p 1 行，与 a pq 排在第 p 行矛盾 .
所以对于任意 i 1、2、3、、 m ，都有 aij
右都是递增的 .
又 an 2 4an 1 4 an an 2 2an 1 2(an 1 2 an ) .令 bn an 1 2an ，
则 bn 1 2bn ,b1 a2 2a1 3 ，所以 bn 3 2n 1 .即 an 1 2 an 3 2 n 1 .
对 an 1 2an
3
2n
1
，两边同除以
2n
1 ，有
an 2n
进而知 xy (x y)2 ( x2 y2 )
1.
2
于是知： x3 2x2 y2 y3 4xy 15( x y) 50 16 .
综上所述知， x3 2x2 y2 y3 的值为 108 38 6 或 16.
4 ．如图， ABC 中， AD 为 BC 边上中线， DM , DN 分别
ADB , ADC 的角平分线，试比较 BM CN 与 MN 的大小
（ 7）
由（ 6） +（4）得： 13a 4b 3c 0 （ 8）
由（ 7）（ 5）得： a 0 ，代入（ 7）、（ 8）得： b c 0 ，代入（ 1）、（2）知： d e 0.

2013年北约自主招生数学试题与答案(完整版)

由（1）+（3）得: 11a + b + c − d = 0 由（6）+（2）得: 11a + 3b + c = 0 由（6）+（4）得: 13a + 4b + 3c = 0
(
)
(1) (2) (3) ,有非 0 有理数解. (4) (5)
（6）（7）（8）
由（7） − （5）得: a = 0 ,代入（7）、（8）得: b = c = 0 ,代入（1）、（2）知: d = e = 0 . 于是知 a = b = c = d = e = 0 ,与 a , b , c , d ,e 不全为 0 矛盾.所以不存在一个次数不超过4 的有理系数多项式 g ( x ) ,其两根分别为 2 和 1 − 综上所述知,以 2 和 1 −
2 2
y 则 x 2 = 2 x + 5 ,解得 x = 1 ± 6 .于是知 x = y = 1+ 6 或 x = y = 1 − 6 .
当 x = y = 1 + 6 时,
x 3 − 2 x 2 y 2 + y 3 = −4 xy + 15( x + y ) − 50 = −4 x2 − 30 x − 50 = −4( x2 − 2x − 5) − 38x − 70
第 2 页共 5 页
所以数列 { an } : a1 = 1, a2 = 5, a n +2 = 4 a n +1 − 4 a n . 又 an +2 = 4an +1 − 4an ⇔ an +2 − 2 an +1 = 2( an +1 − 2 an ) .令 bn = an +1 − 2 an , 则 bn +1 = 2bn , b1 = a2 − 2 a1 = 3 ,所以 bn = 3 ⋅ 2 对 an +1 − 2an = 3 ⋅ 2 n −1 ,两边同除以 2 n +1 ,有

2013年三大联盟自主招生数学试题及答案

因此次数不小于 4． 2. 在 6 6 棋盘上放 3 个完全相同的红色的车和 3 个完全相同的黑色的车，若这 6 个车不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有（）种． A． 720 B． 518400 C． 20 D． 14400 【解析】 D．视 6 枚棋子均相同，记落在第 i 行的的棋子在 ai 列，则排列 a1 , a2 ,
≤ amj ．
讨论， i 个数 a1k ， a2 k ，…， aik 都在原阵列的第 k 列上，
而剩余的 m i 1 个数 aij ， a i 1 j ，…， amj 都在原阵列的第 j 列上，由于这些数共有 m 1 个而总共有 m 行，所以一定有 a1k ， …， …， a2 k ， a i 1 j ， aik 中的某个数与 aij ，
amj 中的某个数在原阵列的同一行．
故在原阵列的此行上，第 j 列上的数大于第 k 列上的数，与原阵列的排法矛盾．
2013 年华约自主选拔考试数学试题及参考答案
1.（本小题满分 10 分）设集合 A x Z | x ≥10 ，B 是 A 的子集，且 B 中的元素满足： ①各个数字互不相同； ②任意两个数字之和不等于 9．（Ⅰ）集合 B 中的两位数与三位数各有多少个？（Ⅱ）集合 B 中是否有五位数？是否有六位数？（Ⅲ）将集合 B 中的数从小到大排列，第 1081 个数是什么？【解析】 ⑴（本小问 4 分）集合 B 中的两位数，十位数字为 1 的数，个位数字不能为 1 和 8，所以有 8 个．同理，十位数字为 2 的数，个位数字不能为 2 和 7，所以有 8 个．依次类推，集合 B 中的两位数共有 9 8=72 个．集合 B 中的三位数，百位数字共有 9 种选择．选定了百位数字后，十位数字有 8 种选择，个位数字有 6 种选择，所以 B 中的三位数共有 9 8 6 432 个． ⑵（本小问 3 分） B 中有五位数，没有六位数． ⑶（本小问 3 分）在集合 B 中，两位数与三位数共有 504 个；四位数中千位数字相同的数各有 8 6 4=192 个．因此第 1081 个数是千位数字为 4 的第一个数，它是 4012．

2013年北约自主招生试题及答案解析版

22013“北约”自主招生试题

2013-03-16

(时间90分钟,满分120分)

一、选择题(每题8分,共48分)

1.以1-( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

【解】由1x =

可知2

2x =,同理由1x -

=可知3

(1)2x -=;

所以方程23(2)[(1)2]0x x ---=的次数最小,其次数为5,故选C.

2.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有种停放方法.

A. 720

B. 20

C. 518400

D. 14400

【解】红色车选3列有3620C =种方法,再从这三列中选三行有3620C =种方法,另外将红色车放在已选好的三列三行中有326⨯=种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有326⨯=种方法,因此方法数有(20206)614400⨯⨯⨯=种.故选D. 3.已知225x y =+,225y x =+(x y ≠),则32232x x y y -+值为( ) A. 10- B. 12- C. 14- D. 16-

【解】由225x y =+与225y x =+两式作差得2()x y x y +=-≠,代入两式中分别化出 2210x x +-=、2210y y +-=,所以,x y 是方程2210t t +-=的两个不等实根,于是 2,1x y x y +=-=-,也所以 32232

2()[()3]2()(2)7

216

x x y y x y x y x y x y -+=++

--=

-⨯-=-.故选D. 4.在数列{}n a 中,11a =,142n n S a +=+(1n ≥),则2013a 值为( )

2013年北约自主招生数学试题评析

龙源期刊网

2013年北约自主招生数学试题评析

作者：査正开

来源：《中学数学杂志(高中版)》2013年第03期

2013年3月16日，由国内名牌高校组成的三大联盟（北约、华约、卓越）同时举行了自主招生选拔考试这三套自主招生数学试题风格迥异、特色鲜明，是自主招生舞台上三道亮丽的风景线本文给出北约（北京大学等十三所高校统一自主招生联盟）数学试题与解答并作简要评析一孔之见，不当之处，敬请斧正.

点评这个压轴题是全套试卷的最大亮点它以数阵为载体，链接线性代数的矩阵变换知识全面考查学生分析推理论证能力与抽象思维能力以及知识的迁移能力，有效考查学生后继学习的数学潜能，起到了压轴的功效.

综观本套自主招生数学试题，在题型、内容和考查角度与要求上均与全国各地的高考试题有很大的差异，同时也有别于各类数学竞赛题选题内容是以全国各地考生均学过的主干知识为载体，背景公平试题中基础与能力，难度适中，重点检测学生后继学习的数学潜能试题形式虽朴实平淡，但内涵丰富多彩，难度介于高考与竞赛之间，因此具有较高的信度、效度和区分度，有效地实现了各高校对优秀学生的自主选拔，同时也为自主招生选拔考试引领了全新的方向.

作者简介査正开，男，中学高级教师江苏省苏州市数学学会理事，常熟市高中数学学科带头人、学科中心组成员，近几年在数学专业期刊发表文章三十多篇

自主招生北约数学试题及解答(2010-2014)

2010年“北约”自主招生数学试题及解答

1．（仅文科做）02

απ<<，求证：sin tan ααα<<．【解析】不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<

时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02

x π<=．即有sin x x >．同理可证()tan 0g x x x =->．

(0)0g =，当02x π<

'=->．于是()g x 在02x π<

x π<<

上有()(0)0g x g >=。即tan x x >。注记：也可用三角函数线的方法求解．

2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB

．（25分）【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面

直角坐标系．

⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；

⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．

不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是

合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．

且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；

对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．

【百强校】2013年北约自主招生数学试题(精校word版,带解析)

2013年北约自主招生数学试题

2013-03-16

（时间90分钟，满分120分）

1．以2和312-为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？ A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

解析：显然，多项式f （x ）=（x 2-2）［（1-x ）3-2］的系数均为有理数，且有两根分别为2和312-，于是知，以2和312-为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.

若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e ，其两根分别为2和312-，其中a ，b ，c ，d ，e 不全为0，则：

()

33312(7)(232)2(63)40g a b c d e a b c d a b c -=-+----++++++=

702320

a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨

+++=⎩[

即方程组：420(1)

20(2)

(3)2320(4)630

(5)

a c e

b d a b

e a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪

+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解。由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6）由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7）由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8）由（7）-（5）得：0a = 代入（7）、（8）得：0b c == 代入（1）、（2）知：0d e ==

于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾。

所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x ，其两根分别为2和312-. 综上所述知，以2和312-为两根的有理系数多项式的次数最小为5．

北约自主招生考数学试卷分析

点评：考查学生解方程和代数式变形的能力，同时检测学生思维的灵敏性。
4.(2013年第9题)
对于任意的 ,求值：
32 cos6 cos6 6 cos 4 15cos 2
点评：三角式的化简求值问题，重点考查学生的三角变换和代数运算能力。
5.(2014年第10题)
xi 0 i 1, 2,...n , xi 1
3.(2013年第8题)
)为2013个实数, 满足已知 a i (i 1,2,3...2013
a1 a2 a3 a2013 0，且a1 2a2 | a2 2a3 | ... | a2013 2a1 | ，
a1 a2 a3 a2013 0. 求证：
7.(2011年第7题，最后一题)
求： f ( x) | x 1 | | 2 x 1 | | 2011 x 1 | 的最小值. 点评：含绝对值的函数或不等式历来是高考、竞赛和自主招生考式的重点内容。
三、考查的能力
四大联盟对学生的考察，基本上都要求学生有扎实的基础知识，良好的创造力，以及较强的社会责任感。和普通高考相比，对综合素质和人文情怀的要求比较高。所选拔的不是考试机器，而是德智体美全面发展的学生。
数学试题中的数学能力和数学思想
一、考点分析二、试卷的特点分析三、考查的能力分析四、教学建议

“北约”自主招生数学试题及答案(2010-2014)

2014年北约自主招生数学试题

1.圆心角为60的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.

1.【解】设扇形的半径为r ,则由2

1623

r ππ=⨯,得6r =. 于是扇形的弧长为623

l π

π=

⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1, 所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.

2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.

2.【解】由题知所有分组方法有334

10742

22100C C C N A =

=种.

3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.

3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.

4.设2()2()

()33

a b f a f b f ++=

,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .

4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)

(2)()333

f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)

(3)()5

f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.

5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1

xy xy

的最值.

5.【解】由0,0x y <

所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1

(0,]4

xy ∈,

令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1

2013北约自主招生数学试题

2013年北约自主招生数学试题

一、选择题（每题8分，共48分）

1. 1_______．

A 、2

B 、3

C 、5

D 、6

2. 在66⨯棋盘上放3个完全相同的红色的车和3个完全相同的黑色的车，若这6个车不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有________种．

A 、720

B 、518400

C 、20

D 、14400

3. 在ABC △中，D 为BC 边的中点，DM 平分ADB ∠交AB 于M ，DN 平分ADC ∠交AC 干N ，则B M C N +与MN 的大小关系是_________．

A 、BM CN MN +>

B 、BM CN MN +=

C 、BM CN MN +<

D 、不能确定

4. 若225x y =+，225y x =+（x y ≠），则32232x x y y -+的值为_________．

A 、10-

B 、12-

C 、14-

D 、上述答案都不对

5. n S 表示数列{}1n n a ≥前n 项的和．已知11a =，142n n S a +=+，1n ∀≥，则2013a 等于______．

A 、201230192⋅

B 、201330192⋅

C 、201230182⋅

D 、上述答案都不对

6. 复数A ，B ，C 的模都等于1且0A B C ++≠，则复数

AB BC CA A B C ++++的模等于_____． A 、12 B 、1 C 、3

D 、不能确定

二、解答题（每题18分，共72分）

7. 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论．

历年北约自主招生真题试题汇总

⾃主招⽣“北约”挑战⼤考对联还要讲笑话

⾼校⾃主招⽣三⼤联盟昨⽇笔试⼴东6000考⽣在华⼯赴考试题鲜活“南⽅供暖”“雾霾”皆⼊题

“北约”、“华约”、“卓越”⾼校⾃主招⽣三⼤联盟昨⽇举⾏笔试，⼴东省内考点设在华南理⼯⼤学，6000考⽣赴考，校园内车满为患。不少试题别出⼼裁，让⼈眼前⼀亮。“北约”题⽬“吐槽”雾霾天⽓要求考⽣给“北京雾锁车迷路”对下联，还拿“⾼考状元”开涮要求写⼀则笑话。

2011年，北⼤等13校联合⾃主招⽣考试，7科⼀天考完，从早8时30分到晚8点20分，持续近12个⼩时，考智⼒更考体⼒。今年，三⼤联盟考试携⼿瘦⾝，三个⼩时就考完了。

“华约”语⽂题的特点是没有作⽂，仅有三篇短⽂阅读，两篇现代⽂，⼀篇古⽂。其中⼀篇给出⼀段涉及喜剧的材料，请考⽣根据滑稽⼈格进⾏性格倾向分析。另外⼀篇与现实紧密相关，要求考⽣针对南⽅冬季是否应该供暖谈谈⾃⼰的看法。

“卓越”要求考⽣写400到500字的⼩作⽂，涉及很多⼈听都没听过的“煎饼⼈”。煎饼⼈是指掌握多个领域的技能和知识的⼈，有⼈说煎饼⼈“⾯⾯会，⾯⾯松”，有⼈说煎饼⼈是复合型⼈才，考⽣要谈谈对此的观点。

记者采访多位学⽣获悉，三⼤联盟的数学题⽬虽不能说简单，但都不是很难。的变化是“华约”从之前的“10+5”(10道选择题+5道答题)变成了仅有7道⼤题。

2013年⾃主招⽣：北约华约惨兮兮卓越考⽣笑嘻嘻

3⽉16⽇上午，“北约”、“华约”和卓越联盟⾃主招⽣“三国杀”正式开幕。不少考⽣⾛出考场后直呼理科难，尤其是“北

约”和“华约”的数学题。

北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)

2014年北京大学自主招生数学试题

1. 圆心角为

的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()

(

),(1)1,(4)733

a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.

2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.

5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1

xy xy

的取值范围. 6. 22()arctan

14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫

- ⎪⎝⎭

上为奇函数，求C 的值. 一、

求证：tan3Q ∉

二、

已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两

重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.

三、

13,a a a 是等差数列，{}

113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,

是否同在M 中，并证明你的结论.

四、

()01,2,,i x i n >=，且1

1n i i x ==∏

，求证1

)1)n

n i i x =≥∏.

答案

1．π7； 2．2100； 3．4027)2024

(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫

⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan

解：若Q a

b Q a ∈-=

︒=⇒∈=︒2

126tan 3tan ，

北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案

综合性大学自主选拔录取联合考试

自然科学基础——理科试卷

数学部分（北约）

一、选择题（每小题8分，合计48分）

1．圆心角为3

的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．

A ．

B ．7π

C ．

D ．

解：由2

166S R ππ==扇形得6R =，由263

r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为

267r πππ+=．

2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．

A ．1070

B ．2014

C ．2100

D ．4200

解：4331063

21002

C C C N =

=． 3．已知2()2()

(

)33

a b f a f b f ++=

，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)(

)333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)

(3)()533

f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，

假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，

(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，

所以*

()21()f n n n N =-∈．

4．若2

()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．

“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析

“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题

5. 设P 是抛物线2

440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,

且分PA

所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .

第二部分：解答题（共5小题每题20分） 1设集合()12

log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩

⎭

，21a B x

x a ⎧

⎫

=>⎨⎬-⎩⎭

．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值

范围

2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于1

2-P 个

3. 设平面向量1)a =- ,1(,)22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22

ππ

θθ∈-,

使向量2

(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .

(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.

4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线2

4y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.

(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.

5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,222

2θπ

θθn b a A b

a a

2010-2013北约自主招生数学笔试试题及答案(精校版+完整版)

2010年“北约”自主招生数学试题

1．（仅文科做）02

απ

，求证：sin tan ααα<<．

2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分）

3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）

4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当01

t <

5．（仅理科做）存不存在02

x π

<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）

2011北约自主招生数学试题

∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。∎2求过抛物线2，交点的直线方程。

∎3、等差数列满足=，，这个数列的前n项和为，数列中哪一项最小，并求出这个最小值。

∎4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤。

∎ 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？

∎6、和是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。

∎7、求f(x)=的最小值。

2012年“北约”自主招生数学试题

1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；

2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；

3、已知0)2)(2(2

=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为4

2013年 北约自主招生数学试题

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