石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学(文)含答案

石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）考生须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟． 2. 本试卷共6页．各题答案均答在答题卡上．题号 一 二 三总分 15 16 17 18 19 20 分数第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}21M x x =∈≤Z ，{}12N x x =∈-<<R ，则M N = （ ）A ． {}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}12．已知复数1iz i=＋，则复数z 的模为（ ） A ．22B ．2C ．12D ．12+12i 3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（ ） A ．1123cm B ．32243cm C ．963cmD ．2243cm4.在一盒子里装有i 号球i 个（1i =，2，3），现从盒子 中每次取一球，记完号码后放回，则两次取出的球的号码 之积为6的概率是（ ） A ．12B ．15C ．13D ．165．下列说法中，正确的是（ ） A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件6．已知函数32()f x x bx cx =++的图象如图所示，则2221x x +等于（ ） A ．32B ．34 C ．38D ．3167．已知O 为坐标原点，点A ),(y x 与点B 关于x 轴对称，(0,1)j =，则满足不等式20OA j AB +⋅≤的点A 的集合用阴影表示为（ ）8．已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+．给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f ． 其中正确的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．已知(,0)2πα∈-，3sin 5α=-，则cos()πα-＝ ． 10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果 输入100，则输出的结果为 ， 如果输入2-，则输出的结果为 ．O40 45 50 55 60 体重(kg)频率 组距m 0.060.02 11．已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ，离心率为_______．12．已知△ABC 的三边长分别为7AB =，5BC =， 6CA =，则A B B C ⋅的值为________．13．从某校随机抽取了100名学生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知m = ，所抽取的学生中体重在50~45kg 的人数是 ．14．已知数列{}n a 满足122a =，12n a a n +-=，则数列{}a 的通项公式为 ， na n的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． （Ⅰ）求)4(πf 的值；（Ⅱ）若2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求ABBC 的值．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足)(2*2N n a a S n n n ∈+=． （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）若1()2na nb n =，求数列}b {n 的前n 项和n T ．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF CD ⊥；（Ⅲ）若G 是线段AD 上一动点，试确定G 点位置，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为23 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ． 求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．19．（本小题满分14分）已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈． （Ⅰ）若4=a ，求曲线)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的极值；（Ⅲ）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围．yxOA 0 P 1 P 2P 3A 1A 2A 320．（本小题满分13分）如图111(,)P x y ，222(,)P x y ， ，(,)n n n P x y ，12(0,)n y y y n N *<<<<∈是曲线2:3(0)C y x y =≥上的n 个点，点(,0)(1,2,3,,)i i A a i n = 在x 轴的正半轴上，1i i i A A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点) .（Ⅰ）求123,,a a a ；（Ⅱ）求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式.石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）参考答案题号 12345678答案B A BC B C C A二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）234cos4sin4sin 3)4(2-+=ππππf 21=． ……………4分 （Ⅱ）2)2cos 1(3)(x x f -=+232sin 21-x x x 2cos 232sin 21-=)32sin(π-=x ． ……………6分20π<<x ， 32323πππ<-<-∴x ． ∴当232x ππ-=时，即125π=x 时，)(x f 的最大值为1． …………8分 （Ⅲ） )32sin()(π-=x x f ， 若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解得4π=x 或127π=x ． ……………10分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ， ∴4π=A ，127π=B ， ∴6π=--π=B A C ． ……………11分又由正弦定理，得22226sin 4sinsin sin ==π==C A AB BC ． ……………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3,2,1321===a a a ． ……………3分 （Ⅱ） n n n a a S +=22， ①12112---+=n n n a a S ， （n ≥2 ） ② ……………5分①—②即得 0))(1(11=+----n n n n a a a a ， ……………6分 因为01≠+-n n a a ， 所以n a a a n n n ==--所以,11（n ∈*N ）…………8分 （Ⅲ）nn n b )21(=n n T )21(n )21(2212⨯+⋯+⨯+=， 132)21(n )21(2)21(21+⨯+⋯+⨯+=n n T ． 两式相减得，112221)21(n )21()21(2121+++-=⨯-+⋯++=n n n n n T所以 nn nT 222+-=． ……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明： E,F 分别是,AB PB 的中点，//.EF AP ∴,EF PAD AP PAD ⊄⊂ 又平面平面，//EF PAD ∴平面． ……………………4分 （Ⅱ）证明： 四边形ABCD 为正方形，AD CD ∴⊥．PD ABCD ⊥ 又平面，=PD CD AD PD D ∴⊥ ，且．CD PAD ∴⊥平面， PA PAD ⊂ 又平面， CD PA ∴⊥． //EF PA 又，EF CD ∴⊥． ……………………8分 （Ⅲ）解：G 是AD 的中点时，.GF PCB ⊥平面证明如下： ……………………9分取PC 中点H ，连结DH ，HF ． ,.PD DC DH PC =∴⊥又,,.BC PDC BC DH DH PCB ⊥∴⊥∴⊥ 平面平面1////,2HF BC DG DGFH ==∴ 四边形为平行四边形，//DH GF ∴，.GF PCB ∴⊥平面 ……………………14分18．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则22222,223,,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得 2,3,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分 （Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-=． ………………… 6分由题意△()()()22284344120km km=-+->，整理得：22340k m +-> ① ………………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834km x x k +=-+， 212241234m x x k -=+ ． ………………… 8分由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴()()1212220x x y y --+=．………………… 10分即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，也即 ()()22222412812403434m kmk km m k k--+⋅+-⋅++=++，整理得2271640m mk k ++=． 解得2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7， 故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7． ……………………… 13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） ∵4=a ， ∴x x x f 4ln )(+=且ee f 5)(=． ……………………… 1分 又∵22ln 3)4(ln )4(ln )(xxx x x x x x f --='+-'+='， ∴223ln 4()e f e e e --'==-． ……………………… 3分 ∴)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程为：)(452e x ee y --=-，即0942=-+e y e x ． ……………………… 4分（Ⅱ）)(x f 的定义域为),0(+∞，2)(ln 1)(xa x x f +-='，……………………… 5分 令0)(='x f 得ae x -=1．当),0(1ae x -∈时，0)(>'xf ，)(x f 是增函数；当),(1+∞∈-aex 时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数； …………………… 7分∴)(x f 在ae x -=1处取得极大值，即11)()(--==a ae ef x f 极大值．……… 8分（Ⅲ）（i ）当21e ea<-，即1->a 时，由（Ⅱ）知)(x f 在),0(1a e -上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，∴当aex -=1时，)(x f 取得最大值，即1max )(-=a e x f ．又当aex -=时，0)(=x f ，当],0(ae x -∈时，0)(<xf ， 当],(2e e x a-∈时，],0()(1-∈a ex f ，yxOA 0 P 1 P 2 P 3A 1A 2A 3 所以，)(x f 的图像与1)(=x g 的图像在],0(2e 上有公共点， 等价于11≥-a e ，解得1≥a ，又因为1->a ，所以1≥a ． ……………… 11分（ii ）当21e ea ≥-，即1-≤a 时，)(x f 在],0(2e 上是增函数，∴)(x f 在],0(2e 上的最大值为222)(eae f +=， ∴原问题等价于122≥+ea ，解得22-≥e a ， 又∵1-≤a ∴无解综上，a 的取值范围是1≥a ． ……………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1232,6,12a a a ===. …………………………… 6分 （Ⅱ）依题意11(,0),(,0)n n n n A a A a --，则12n n n a a x -+=，132n nn a a y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在正三角形1n n n P A A -中，有1133||)n n n n n y A A a a --==- . 1133)22n n n n a a a a --+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 112()n n n n a a a a --∴-=+ ………………………… 8分 2211122()(2,*)n n n n n n a a a a a a n n N ---∴-+=+≥∈ ①，同理可得2211122()(*)n n n n n n a a a a a a n N +++-+=+∈ ②.②-①并变形得1111()(22)0(2,*)n n n n n a a a a a n n N +-+--+--=≥∈ 11n n a a +-> ，11220n n n a a a +-∴+--=11()()2(2,*)n n n n a a a a n n N +-∴---=≥∈ .∴数列{}1n n a a +-是以214a a -=为首项，公差为2的等差数列. ………… 10分12(1),(*)n n a a n n N +∴-=+∈ ，n a ∴12132431()()()()n n a a a a a a a a a -=+-+-+-++- ，2(123)n =++++ 2n n =+.(1)(*)n a n n n N ∴=+∈…………… 13分注：若有其它解法，请酌情给分．龙文教研组。