1.5 平方差公式(2)
1.5平方差公式(二)
一、填空 (1) (x+y) ( x - y) = x2y2
(2) (3x+ 5y) (3x– 5y) = 9x2–25y2
(3) [a+( b + c)] [a–(b + c)] = a2–(b+c)2
(4) (–0.2x–4y) ( –0.2x+4y) = 0.04x2–16y2
二、下列能运用平方差公式计算的是( )
例2 用平方差公式进行简便计算：
(1)103 97 (2)118122
解：(1)103 97
(2)118 122
100 3 100 3 120 2 120 2
1002 32
1202 22
9991
14396
(1)102×98 (2)59.8×60.2 (3)5678×5680－56792
33
（1）（3 a 2b)(1 a 2 b) 33
(2)(x＋y)2－(x－y)2 (3)252－242
课本第22页，习题1.10第1，2题.
4
a
4
观察与思考
1.计算下列各组算式,并观察它们的共同特点：
7 9 63 8 8 64
1113 143 1212 144
79 81 6399 80 80 6400
2.从以上的计算中，你发现了什么规律？
3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正 确性吗？
1.(x – 2y)(x+2y) 3.(– 3x – y)(3x+y)
2.(2y – x)(x+2y) 4.( x – 2y)(2 y– x)
“平方差公式”的几何解释
a
a
天府七中七年级校本教材
（4）我们知道，同底数幂的乘法法则为：am an amn ，类似的我们规定关于任意正整数
m，n 一种新运算： h(m n) h(m) h(n) ，请根据这种新运算填空： ①若 h(1) 2 ，则 h(2) _______
注意： a 为整数） ap
思考： 3(2x 4)3 (x 5)0 有意义，则 x 的取值范围是什么？
（一）、计算
（1） a5 (a)3 (2a3 )4 a4
（2） 23 81 (1)2 ( 1)2 80 2
（3） (x 2 y)(x 2 y)3 (2 y x)2
（3）已知 3x1 3x (3x )2 324 ,则 x=_________
三、同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减
3
厚德
自强
am an amn
注意：运用同底数幂的除法法则首先要确保“同底”
公式的逆运用： amn am an
法则的推广： am an a p amn p
（4） (5 x)(x 5) (4 x)(x 4)
例 5．计算：
(1) x4 2x2 12x2 1 x 2x 2x2 4
(2) (a b c)2 (a b c)2
变式练习：
（1）若 x2 y2 12 , x y 6 , 则x y =
.
（2）已知 (2a 2b 1)(2a 2b 1) 63 ，则 a b ____________
（3） ab 3x 3x ab （4） m nm n
例 2.判断：
（1） 2a b2b a 4a2 b2 （ ） （2） 1 x 1 1 x 1 1 x2 1 （ ）
1.5平方差公式课件数学北师大版七年级下册
解：(1)(5m－3n)(5m+3n) =(5m)2－(3n)2=25m2－9n2；
(2)(－2a2+5b)(－2a2－5b)=(－2a2)2－(5b)2=4a4－25b2；
(3)
+
2
=y －
－
2=y2－
+－
x2；
(4)(－3y－4x)(3y－4x)=(－4x－3y)(－4x+3y)
感悟新知
知1－讲
变化情势
应用举例
(5)增项变化
(a－b+c)(a－b－c)=(a－b)2－c2
(6)连用公式 (a+b)(a－b)(a2+b2)=(a2－b2)(a2+b2)=a4－b4
(7)增因式
(－a－b)(－a+b)(a－b)(a+b)=[(－a)2－
变化
b2](a2－b2)=(a2－b2)2
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差
公式进行计算.
感悟新知
知1－练
解：(1)10.3×9.7
=(10+0.3)×(10－0.3)
10.3 与9.7 的平均数为10
=102－0.32=100－0.09
=99.91；
(2)2 022×2 024－2 0232=(2 023－1)×(2 023+1)－2 0232
公式的特征：
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项
完全相同，另一项互为相反数.
2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减
去相反项的平方.
3. 理解字母a，b 的意义，平方差公式中的a，b既可代表
1.5平方差公式(2)
6400 144 2.从以上的过程中，你发现了什么规律？
63 64
143
6399
3、请用字母表示这一规律，你能说明 它的正确性吗？
a 1 a 1 a
2
1
用平方差公式进行简便计算： 例题 (1)103 97 解： (1)103 97
(2)118 122
(2)118 122
2
2
分析：应将 2 a
2 2 2
2
当作一个整体，用括号括起来再平方
2
(2a b )(2a b ) (2a ) (b ) 4a b 2 2 2 2 3) (5a 2b)(5a 2b) (5a) (2b) 25a 4b 错
2 2 2 2
4 4
分析：应先观察是哪两个数的和与这两个数的差
120 2
2 2
100 3100 3 120 2120 2
100 3
2
2
9991
14396
试一试
3 2x 5 2x 5 2x 2x 3 2
解：原式 2 x 25 4 x 6 x
b
a
b
a b
a
1.王红同学在计算（2+1)(2 +1)(2 +1) 时，将积式乘以（2-1）得： 2 4 解：原式 = (2-1)(2+1)(2 +1)(2 +1) 2 2 4 = (24-1)(24+1)(2 +1) = (2 -1)(2 +1) = 28-1
2
4
1.
3.
(2 1)( 2 1)( 2 1)( 2 1)( 2
北师大版七年级下(新教材)1.5 平方差公式(二)
练一练
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1
例4
计算： （1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
练一练
计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) （2）x(x-1)- (x 1) (x 1)
33
自我检测
图1-4
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证 平方差公式吗？
活动探究二
1、计算下列各组算式，并观察它们的共同
特点
7×9=
11×13=
79×81=
8×8=
12×12=
80×80=
2、从以上过程中，你发现了什么规律？
3、请用字母表示这一规律，你能说明它的 正确性吗？
例3
用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （2）118×122 （100+3）（100-3） （120-2）（120+2）
5 平方差公式（第2课时）
1、平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2、公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与
这两数差的积；右边是两数的平方差。
3、应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
3）注意计算过程中的符号和括号
活动探究一
计算： 1） 2001×1999 -20002
2）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
3） (1 x 2) (1 x 2) - 1 x（x+8）
2
2
4
北师大版数学七年级下册 1.5 平方差公式 ppt（2课时打包）
新课讲解
练一练 3 计算下列式子： (3) (-2a2+5b)(-2a2-5b) ;
1
1
(4)( 4 x+y)(-4 x+y) .
解：(3) (-2a2+5b)(-2a2-5b)= (-2a2)2-(5b)2=4a2-25b2 ;
(4) ( 1 x+y)(-1 x+y)=y2-( 1 x)2=y2- 1 x2 .
第一章 整式的乘除
5 平方差公式 课时1 平方差公式的认识
学习目标
1.了解并掌握平方差公式.（重点） 2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行 计算.(难点）
新课导入
思 考 观察下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)=x·x-x+x-1=x2 -12 ;
(2) (m+2)(m-2)=m·m-2m+2m-4=m2 -4=m2 -22 ;
当堂小练
计算下列式子： (1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) ;
(2)102×98.
解：(1) (2)
(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=4y+1 ; 102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996.
当堂小练
为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)，以下变形正确的是（ B ）
=(2a+1)×1 =2a+1.
布置作业
请完成对应习题
(3) (2x+1)(2x+1)=2x·2x-2x+2x-1=(2x)2 -1=(2x)2 -12 .
1.5__平方差公式(2)
例题 (1)10397 (2)118122
解： (1)103 97 (2)118122
100 3100 3 120 2120 2
1002 32
10000 9 9991
1202 22
14400 4 14396
练一练
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1.
下列各式的解法中，哪种简单？请选择
20002 20002 1
1
练一练
计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1);
（2）x(x-1)-
(x
1) 3
(
x
1 3
)
.
(3)(x 3)(x 3)(x2 9)
(4) (x 1)(x2 1)(x 1)
2
42
公 1.学校有一个边长为 m米的正方形 式 花坛，现在要进行改建，将它的一 的 边增加3米，而另一边缩短3米.问改 应 建后的正方形花坛的面积是多少？
63
143
6399
64
144
6400
2.从以上的过程中，你发现了什么规律？
3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？
a 1a 1 a2 1
例3 用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （2）118×122 （100+3）（100-3） （120-2）（120+2）
用平方差公式进行简便计):原式
a3 a2b
a b a2b2
a4 a3b a3b a2b2 a2b2
a4
解(二):原式 a2 a2 b2 a2b2
a4 a2b2 a2b2
a4
辨析与 反思
2
1.5.2平方差公式(峄城 许冲)
课时课题：第一章第5节平方差公式第2课时执教者：峄城区吴林中学许冲课型：新授课授课时间：2013年3月11日星期一第1、2节课教学目标：1．经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算.2．通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力.3．了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.教学重点与难点：重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用．难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能．教法及学法指导：有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆，我以问题为线索，让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识，让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法．以探究体验的教学法为主，为学生创造一个良好的学习情境，指导学生深刻思考，细心观察，在解题时，一切从习题特点出发，根据习题特点寻找最佳解题方法，具体在运用公式计算时，要认清结构，找准a、b．课前准备：多媒体课件，一张正方形纸板，剪刀．教学过程:一、我班有个小神童师：班级准备召开联欢会，班上生活委员周宁同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，周宁就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”周宁同学说：“过奖了，我只是利用了在数学上刚学过的一个公式.”你知道周宁同学用的是什么公式吗？怎么计算的呢?（学生讨论，部分预习效果较好的同学能够体会其中的道理，仍有部分学生很困惑．） 师：这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能像周宁一样聪明，能够迅速得到结果，我们开始今天的学习吧．教师板书课题：平方差公式（2）师：大家回顾一下上节课学习的平方差公式的内容，哪个同学来回答？生1：平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．生2：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差．生3：这个公式的结构特点是：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差.师：大家回答的都很好.下面通过一组习题来复习一下大家的掌握情况.（出示课件）利用平方差公式计算：（1）(23)(23)x y x y +-； （2）(2)(-2)x y y x --；（3）(5+8)(58)x x -； （4）2(3)(9)(3)x x x -++．（学生独立做题，师巡视.）【答案：（1）2249x y -；（2）224y x -；（3）22564x -；（4）481x -．】师：在运用平方差公式时要注意什么？生：1．字母a 、b 可以是数，也可以是整式；2．注意计算过程中的符号和括号． 设计意图：通过生活小情境，调动学生学习的热情，能迅速集中注意力投入到新知识学习中.在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备．二、师生合作，验证公式师：同学们，要验证平方差公式，我们只要把左边的多项式相乘展开合并就行了，其实我们还有其他方法去验证、体会这个公式的正确性.请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a .这个正方形的面积是多少？生：a 2．师：请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形.现在我们就有了一个新的图形(如下图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？生：剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2)．师：你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论．(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)生：我是把剩下的图形（即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b)，长是a；下面的小长方形长是(a－b)，宽是b．我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b)，我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如下图所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为(a+b)、(a－b)，面积为(a+b)(a－b) ．师：比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？生：这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2．生：这恰好是我们上节课学过的平方差公式．生：用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证．师：由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用．设计意图：本环节通过几何拼图，给平方差公式一个几何背景，使学生在拼图和计算过程中发现规律，验证自己的猜想，使学生对平方差公式，有一个直观感受和认识，避免在公式的学习过程中单纯依赖背诵的弊病.通过拼图操作，让学生经历观察、交流的过程，倡导思维和算法多样化，让学生在图形直观分析的基础上，从代数角度推导公式，培养学生的逻辑推理能力，渗透了转化的数学思想．三、观察思考，探究结论师：为了解决上课之初周宁的那个问题，我们来看下面一组题目．（出示课件） 想一想：(1)迅速计算下列各组算式，并观察它们的特点．7988⨯=⎧⎨⨯=⎩ 11131212⨯=⎧⎨⨯=⎩ ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？(1)中算式算出来的结果如下：⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179生：从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1．师：是不是所有的自然数都有这个特点呢？学生再举例说明结论的正确性．师：你能用字母表示这一规律吗？生：设这个自然数为a ，与它相邻的两个自然数为a －1，a +1，则有(a +1)(a －1)=a 2－1． 师：用上节课的平方差公式也能验证．这里的a 只能是一个自然数吗？(同学们交流讨论)生：a 可以是任意数．师：很好！下面运用你得到的结论来计算．(出示课件)例3 用平方差公式进行计算：（1）103×97；（2）118×122．生：因为103=100+3，97=100－3，所以103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991．第(2)题学生独立完成．118=120－2，122=120+2．118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396．师：我们再来看一个例题(出示课件).例4 计算：（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2；（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)．师生共同分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简．解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4．(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x-25．注意：2x(2x-3)的结果要用括号括起来.设计意图：想一想中通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.这一过程的经历，让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用，也为例3数的简便运算做好知识的铺垫.例3运用平方差公式，把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，体现了转化的思想和数式通性，进一步巩固平方差公式，体会符号运算对于解决问题的作用．例4运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．随堂练习计算：（1）704×696；（2）9.8×10.2；（课堂引例）（3）(2)(2)(1)(1)x y x y x x+-++-；（4）11 (1)()()33x x x x---+．(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，同桌互查互纠．)设计意图：习题的设置是巩固提高的环节，为了培养学生基本的运算技能，设计必要练习，使学生准确的运用平方差公式，进行简单的混合运算，并能明白每一步计算的算理，提高综合运用公式的能力．四、拓展延伸，发散思维从前有一个农民向地主租了一块“十字型”土地，如下面左图所示．为了便于种植，他想换一块面积相同的长方形土地，你能帮他算一下这块长方形的土地长和宽分别是多少吗？学生以小组为单位展开讨论．解法一：“十字型”土地面积应为a2-4b2，逆用平方差公式可得a2-4b2=(a+2b)(a-2b)．所以，长方形土地的长应为a+2b，宽应为a-2b．解法二：将“十字型”土地分割可以重新拼成长方形，如图．所以，长方形土地的长应为a+2b，宽应为a-2b．设计意图：学生能根据平方差公式的形式，逆用公式.提高学生灵活运用公式，综合运用公式的能力.第二种方法学生使用的更多，理解也更方便．五、课堂小结，反思提高师：同学们，这节课你有哪些体会和收获？学生板演区 生1：我能用拼图对平方差公式进行几何解释．也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面．生2：平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式．生3：我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方．例如a (a +1)－(a +b )(a －b )一定要先算乘法，同时减号后面的积(a +b )(a －b )，算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了．师：大家说的很好，以后在学习过程中要善于总结问题，积累知识．设计意图：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中遇到的挫折以及积累的经验，构建自己的知识体系，同时提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识的目的．六、达标检测，评价矫正计算：（1）2001×1999－20002；（2）(3mn +1)(3mn －1)－8m 2n 2；（3）1(2)2x -1(2)2x +－14x (x +8)． 设计意图：通过检测及时获知学生对所学知识掌握情况，，及时反馈，查漏补缺．七、布置作业，落实目标必做题：课本第22页 习题1.10 第1，2题．选做题：（1）(x +y )2－(x －y )2 ； （2）252－242．板书设计：1.5平方差公式（2）平方差公式的推导例3例4教学反思：本节课我从一个生活情境出发激起学生的学习热情和求知欲，紧接着从复习旧知识入手，通过拼图、速算比赛，调动学生学习的积极性，活跃了课堂气氛，也收到了一定的效果.在发现学生不积极时，适时鼓励，让学生知道正确与否并不重要，重在参与．学生在与同学交流时，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，取得了不错的效果.学生的参与度是本节课的亮点．回顾这一节课，有两点不足，一是学生参与不够；二是教师急于求成．学生参与不足是因为整个活动的操作环节过于匆忙急于完成教学任务，进而导致学生探索的效果不理想，当我看到学生说不出来时，急于求成，就替学生完成了有难度的活动．难度大的问题都让教师解决了，学生的锻炼机会就没有了，也就失去设计探索活动的意义了．解决这两点不足，我觉得首先在备课之初，就要考虑选择的探索活动对于学生而言，难度是否适中，如果太难了，必然影响教学效果．另一个就是课前准备充分，如果教师能够组织学生准备一些教具，这样学生就能参与进来，有了更加直接的感性认识，探索活动的效果必然会好些，教学目标“过程与方法”才能有效的落实．。
1.5平方差公式2
P2×97
（2）118×122
分析：需构造符合平方差公式结构的式子
（即两数和乘以两数差）
解：(1) 原式 (100 3) (100 3)
1002 32
10000 9
9991
(2) 原式 (120 2) (120 2)
15 练习：计算 882 122 解：882 122 (88 12)(88 12)
100 76
7600
课堂小结
平方差公式： ( a +b )( a − b )＝ a2 − b2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差
活用公式： 1.熟练掌握平方差公式结构特点 2.灵活构造平方差公式结构 3.连用公式 4.逆用公式
P2 课后作业 1
1.作业本上完成P22的第1，2题 2.完成相应的练习册. 3.预习课本P23～26.
* (3)(22 1)(24 1)(28 1) 216 3
解：(1) 原式 (2015 1) (2015 1) 20152 20152 12 20152
1 (2) 原式 (3 y 5x)(3 y 5x) (9x2 y2 )
9 y2 25x2 9x2 y2 34x2 10 y2
( a +b )( a − b )＝ a2 − b2
a2 − b2＝ ( a +b )( a − b )
例：若 x y 5 x y 3 0,求x2 y2
解：由绝对值的非负性得
x x
y y
5 3
0 0
整理得
x x
y y
5 3
x2 y2 ( x y)( x y)
5 （ 3）
P21 温故知新
平方差公式： ( a +b )( a − b )＝ a2 − b2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差
1.5.2 平方差公式
(2)118×122
=(120-2)(120+2)
特征：接近整十、 整百的两个数相乘 2 1 练习 199 200 3 3
计算： (1) 9.9 ×10.1 (2) 2001×1999 -20002
(3) (3mn+1)(3m Nhomakorabea-1)-8m2n2
(4)已知A=2x+y，B=2x-y，计算A2-B2
请用直观的方法说明 (a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2
公式的几何表示：利用长方形的面积 ①构造长方形,以两个多项式为边,分割连线； ②由面积关系可知,特定几何图形的个数与计 算结果中的各项系数对应相等.
1.依据图形面积间的关系，便可验证一个等 2=a2+6ab+9b2 ( a +3 b ) 式，这个等式是_____________________． ab ab ab a2 b 2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2
用如图所示的正方形和长方形卡片若干张,拼成 一个边长为(a+2b)的正方形,则需要A类卡片___ 张,B类卡片___张,C类卡片____张．并画出示意 图
如图,正方形卡片A类、C类和长方形卡片B类若 干张,若要拼一个长为(a+2b),宽为(a+b)的大长方 形,则需要B类卡片___张．请通过拼接的方法说 明(a+2b)(a+b)的结果为____________．并画出示 意图.
1.5 平方差公式
完全相同项
2 2 (a+b)(a−b)＝a −b
互为相反数
(相同项)2-(相反项)2
运用平方差公式时,关键要找相同项和 相反项,其结果是相同项的平方减去相反项 的平方.
[37208233]1.5平方差公式(第二课时)课件 2022-2023学年北师大版数学七年级
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巩固练习
计算: (1) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) （2）原式= y2-22-(y2+4y-5)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= y2-4-y2-4y+5
ZYT
ZYT
第一章 整式的乘除
1.5 整式的乘法
第2课时 平方差公式的运用
ZYT
1.问：平方差公式是怎样的？ (a+b)(a−b)=a2−b2
2.利用平方差公式计算： （1）(2x+7b)(2x–7b)；4x2－49b2 （2）(－m+3n)(m+3n). 9n2－m2 3.你能快速的计算201×199吗？
ZYT
11×13=143 79×81=6399 12×12=144 80×80=6400
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？ (a-1) (a+1) = a2 – 1 (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?
(a+b)(a−b)=a2−b2 平方差公式
ZYT
典例精析
例1 用平方差公式进行计算：
解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2 =a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
=4x2-52-(4x2-6x)
=4x2-25-4x2+6x
=6x-25
不符合平方差公式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算.
平方差公式与完全平方公式
1.5 平方差公式一、知识必备：1.背默公式：2.公式的结构特征：二、经典应用：例1.计算：(1) )54(54y x y x -+）（ (2))73(73----a a ）（ （3）)3(3a b b a ---）（(4)(x+y-z ) (x-y-z ) (5)(x-y+z ) (-x+y+z ) (6)(2a + b-c-3d ) (2a -b-c+3d )；（7）)1)(1(12++-n n n ）（ (8) ( x -2)(16+ x 4) (2+x )(4+x 2)(9)( x - y )( x + y ) ( x 2+ y 2) ( x 4+ y 4)·…·(x 16+ y 16)；(10)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．例题2.填空(3x-y 2)( )＝y 4-9 x 2 ( )(1-2x)＝1—4 x 2 (4 x m -5 y 2) (4 x m +5y 2)＝ (x-y+z )( )＝z 2-( x-y )2 (m+n+p+q ) (m-n-p-q )＝( ) 2-( ) 2．例题3.化简及计算：（1）102⨯98 （2）2016201420152⨯-（3）22655616⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）()()22c b a c b a +--++ 例4.应用：某农村中学进行校园改造建设，他们的操场原来是正方形，改建后变为长方形，长方形的长比原来的边长多5米，宽比原来的边长少5米，那么操场的面积是比原来大了，还是比原来小了呢?相差多少平方米?1.6 完全平方公式一、知识必备：1.背默公式：2.公式的结构特征：二、经典应用：例1.计算：（1）()232b a +- （2））（n m --2（3））（y x 32+- （4）)(c b c b --+）（ （5）(-2ax -3by )(2ax-3by ) （6）(-2ax -3by )(2ax+3by )（7）()2c b a ++ （8）()232c b a +- 例2.填空1. 2242y y x x +-=（ ）2；()++=+a a a 124222 ； 2222)(y x xy --= 2.若2244my xy x +-是完全平方式，则m =_________. 3.若42++mx x 是完全平方式，则m =_________. 4. 若()221612y xy m x ++-是完全平方式，则m =_________.例3.计算：（1）2301 （2）23130⎪⎭⎫ ⎝⎛例4：求值1.已知的值。
1.5平方差公式(2)
学生自主学习方案 科 目 设计人： 学习目标 七年级数学
班级： 课题
姓名： 1.5 平方差公式(2)
编号： 授课 时间 序号
七年级备课组
1、会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景; 2、会运用所学的知识，进行简单的混合运算.
【自主探究】 温故而知新： 平方差公式： （a+b） （a-b）=a2-b2 公式的结构特点:左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差. 探索发现： a a
b
图 1-3
b
图 1-4
如图 1-3，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形. （1）请表示图 1-3 中阴影部分的面积 （2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图 1-4） ，这个长方形的长和宽分别是多少？ 你能表示出它的面积吗？ 比较（1） （2）的结果，你能验证平方差公式吗？ 自学 P21 的想一想 练一练：将 P22 中的例 3、例 4 的解法抄在学案 例 3 用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （2）118×122
）
2 2 ） （x+ ） 3 3
（3） （a4+b4） （a2+b2） （a+b） （a-b）
3、利用平方差公式进行计算。 （1）701×699 （2）99×101
（3）121×119
（4）1007×993
【要点回顾】 1．平方差公式中字母a、b可以是那些形式？ 2．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？ 【学后反思】 谈谈你的收获和疑惑吧！
七年级数学下册第一章
例 4 计算： （1）a2（a+b） （a-b）+a2b2 ； （2） （2x－5） （2x+5）－2x（2x－3）
北师大版七年级数学下册1.5平方差公式课件
（2）9.9 ×10.1 解：9.9×10.1
=(10-0.1)(10+0.1) =102－0.12 = 99.99
随堂练习
4. 利用乘法公式计算： (1)计算：(2+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1)； (2)计算：(3+1)·(32+1)·(34+1)·(38+1)； (3)计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
79×81= 6399 80×80= 6400
1、从以上过程中，你发现了什么规律？ 一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
2、你能用字母表示这一规律吗？
设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1， 则有(a+1)(a－1)=a2－1．
例1、用平方差公式进行计算：
（1） 103×97；
（2） 118×122．
1.5 平方差公式
学习目标
1.探索平方差公式的几何背景，培养数形结合的数学思想； 2.会运用平方差公式进行简单的简便运算，培养运算技能.
导入新课 1、设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1， 则有(a+1)(a－1)=a2－1．
2、应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围（前同号，后异号）
解：（1）原式＝(2﹣1)·(2+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1) ＝(22﹣1)·(22+1)·(24+1)·(28+1) ＝(24﹣1)·(24+1)·(28+1) ＝(28﹣1)·(28+1) ＝216﹣1
1.5平方差公式(二)
请利用平方差公式计算： （1)（2a+1)(2a-1)
导学案
(2)(4a2-1)(-4a2-1)
(3) (a+b)(a－b)(a2+b2)
a
b
你能从 这个游 戏中得 到一个 怎样的 等式？
a
b
如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长 为b的小正方形。 （1）图中的红色部分部分面积是__________. a 2 b2
2、x(x-1)3、导学案 P20、6
自我检测
计算： 1） 2001×1999 -20002 2）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2 3） （x+8）
课堂小结
本节课你有哪些收获？
还有那些困惑？
作业
1. 教材习题1.10 2. 拓展作业： 计算 (21+1)( 22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
例3
用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （100+3） （100-3） （2）118×122 （120-2） （120+2）
练一练
导学案 P20、 5
例4 计算： （1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
注意运算顺序
练一练
1、导学案 P20、 (二）
（2）你能将红色部分拼成一个完整的长方形图案吗？ (a b )(a b) 你拼出的长方形的面积是________________.
知识出击:
上面是利用几何图形的面积验证 了平方差公式，这就是平方差的 上面是 几何意义。
1.5平方差公式第2课时-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)
四、当堂练习
13.已知2a2+3a-6=0，求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值.
解:原式=6a2+3a-4a2+1 =2a2+3a+1.
因为2a2+3a-6=0, 所以2a2+3a=6, 所以原式=6+1=7.
五、课堂小结
本节课你有哪些收获？
1.利用几何图形，借助等面法可以验证平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 2.运用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个数的平均数， 再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式.
[解析] 左图中阴影部分的面积是 a2-b2,右图中梯形的面积是 (2a+2b)·(a-b)=(a+b)(a-b). 因为两图中阴影部分的面积相等,所以(a+b)(a-b) = a2-b2.
二、新知探究
知识归纳
运用不同方法分别表示两个不同图形的面积，利用 面积相等，从而验证平方差公式.
二、新知探究
用含字母a的式子表示这一规律,可写成 (a-1)(a+1)=a2-1 .
应用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2即可说明以上规律的正确性.
差公式进行计算: (1)103×97; 解:103×97
=(100+3)(100-3) =1002-32 =9991.
(2)118×122. 解:118×122
解:由题意得这块L型菜地的面积为2× (a+b)·(b-a)=(b2-a2)m2.当 a=10,b=30时,原式=302-102=800.因此,这块L型菜地的面积共有(b2a2)m2.当a=10,b=30时,L型菜地的总面积为800 m2.
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a b 1.5 平方差公式（2）
一、学习目标
1．进一步使学生掌握平方差公式，让学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异
二、学习重点：公式的应用及推广
三、学习难点：公式的应用及推广
四、学习设计
（一）预习准备
（二）预习书p21-22
（三）思考：如何确定平方差公式中哪个是多项式中的和哪个是多项式的差？
（四）预习作业：
你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）10397⨯ （2）9981002⨯ （3）59.860.2⨯
（4）2(3)(3)(9)x x x +-+ （5）⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
2141212x x x
学习设计：
1、做一做：如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b b 的小正方形。
（1）请表示图中阴影部分的面积：S =
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是
多少？
你能表示出它的面积吗？
长＝ 宽＝ S =
（3）比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗?
∴ ＝
进一步利用几何图形的面积相等验证了平方差公式
平方差公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是多项式，在平方时，应把单项式或多项式加括号；学会灵活运用平方差公式。
有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．•如：()()x y z x y z +---中相等的项有 和 ；相a b
反的项有 ，因此
22()()[()][()]()()x y z x y z y y +---=+-=-
形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式
例1．计算
（1）()()x y z x y z +-++ （2）()()a b c a b c -++-
（1）题中可利用整体思想，把x y +看作一个整体，则此题中相同项是()x y +，相反项是z -和z ；
（2）题中的每个因式都可利用加法结合律改变形式，则a 是相同项，相反项是b c -+和b c - 变式训练：计算：
（1）)])(())()][()((2[2b c c b a c a c b a b a a +-++--+-；（2）22)()(c b a c b a +--++
方法小结 我们在做恒等变形时，一定要仔细观察：一是观察式子的结构特征，二是观察数量特征，看是否符合公式或是满足某种规律，同时逆用公式可使运算简便。
2、知识回顾：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号
例2 1．在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）a b c a +-=+（ ） （2）a b c a -+=-（ ）
（3）a b c a --=-（ ） （4）a b c a ++=-（ ）
2．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？若可以，请用平方差公式解出
（1）))((c b a c b a +-++ （2）))((c b a c b a -+--
（3）()()c b a c b a --+- （4）(22)(22)a b c a b c +++-
变式训练：
1、248(21)(21)(21)(21)1+++++
2、222222(24100)(1399)+++-+++
3、观察下列各式：
2
(1)(1)1x x x -+=-
23(1)(1)1x x x x -++=-
324(1)(1)1x x x x x -+++=- 根据前面的规律可得：
1(1)(1)n n x x x x --++++= ________________
回顾小结：1．什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？
2．平方差公式中字母a b 、可以是那些形式？
3．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？。