广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.平面向量
2015年广东省中山市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年广东省中山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a＝（）A．3B．C．5D．2．（5分）在△ABC中，已知b＝4，c＝2，∠A＝120°，则a＝（）A．2B．6C．2 或6D．23．（5分）设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．（﹣a）7＜（﹣a）9B．b﹣9＜b﹣7C．lg＞lg D．＞4．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2＝﹣8x B．y2＝8x C．y2＝﹣4x D．y2＝4x5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β6．（5分）已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm37．（5分）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）A．48B．﹣48C．112D．﹣1128．（5分）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）已知复数z满足＝i（其中i是虚数单位），则|z|＝．10．（5分）设z＝2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是．11．（5分）已知抛物线x2＝3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1＝0的两个实根，则直线AB的方程是．12．（5分）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．13．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，点M满足＝3，则sin∠BAM的最大值是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为．【几何证明选讲选做题】15．（几何证明选做题）如图圆O的直径AB＝6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CP A＝30°，则PC＝．三、解答题：本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B＝5c，cos B＝．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|＝，求△ABC的面积．17．（12分）在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）如图所示，P A⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，P A＝AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面P AC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S4＝40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3＝0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．20．（13分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l1，l2交于点F，其斜率k1，k2满足k1k2＝﹣．设l1交椭圆Γ于A、C两点，l2交椭圆Γ于B、D两点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．21．（14分）已知函数f（x）＝lnx+（x﹣a）2，a∈R．（1）若a＝0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）若函数f（x）在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围．2015年广东省中山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a＝（）A．3B．C．5D．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x＝3对称，∴2a﹣3+a+2＝6，∴3a＝7，∴a＝，故选：D．2．（5分）在△ABC中，已知b＝4，c＝2，∠A＝120°，则a＝（）A．2B．6C．2 或6D．2【解答】解：△ABC中，已知b＝4，c＝2，∠A＝120°，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc •cos A＝16+4+8＝28，∴a＝2，故选：D．3．（5分）设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．（﹣a）7＜（﹣a）9B．b﹣9＜b﹣7C．lg＞lg D．＞【解答】解：对于A，a＞1时，a7＜a9，∴﹣a7＞﹣a9，即（﹣a）7＞（﹣a）9，∴A错误；对于B，1＞b＞0时，0＜b9＜b7＜1，∴b﹣9＞b﹣7，∴B错误；对于C，a＞1＞b＞0时，0＜＜1＜，∴lg＜lg，∴C错误；对于D，a＞1＞b＞0时，lna＞0，lnb＜0，∴＞，∴D正确．故选：D．4．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2＝﹣8x B．y2＝8x C．y2＝﹣4x D．y2＝4x【解答】解：∵准线方程为x＝﹣2∴＝2∴p＝4∴抛物线的方程为y2＝8x故选：B．5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β【解答】解：若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．6．（5分）已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm3【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA＝2，四边形ABCD为直角梯形，AD＝1，BC＝2，AB＝2，∴四棱锥的体积V＝××2×2＝2（cm3）．故选：A．7．（5分）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是（）A．48B．﹣48C．112D．﹣112【解答】解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得＝﹣80；第一个因式取﹣1，第二个因式取（﹣2）5，可得（﹣1）×（﹣2）5＝32∴（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项是﹣80+32＝﹣48．故选：B．8．（5分）袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球，共12颗，故甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回共有＝220种不同情况；其中甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的情况有：3×4×5＝60种，故甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率P＝＝，故选：D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）已知复数z满足＝i（其中i是虚数单位），则|z|＝2．【解答】解：由＝i，得（1﹣i）z＝﹣2﹣2i，∴，∴|z|＝．故答案为：2．10．（5分）设z＝2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且﹣2≤x﹣y≤0，则z的取值范围是[21，31]．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+5y，得y＝x+表示，平移直线y＝x+，当直线y＝x+经过点A时，直线y＝x+的截距最大，此时z最大，由得，即A（3，5），此时z max＝2×3+5×5＝31．当直线y＝x+经过点C时，直线y＝x+的截距最小，此时z最下，由得，即C（3，3），此时z min＝2×3+5×3＝21．即z的取值范围是[21，31]故答案为：[21，31]11．（5分）已知抛物线x2＝3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1＝0的两个实根，则直线AB的方程是5x+3y+1＝0．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则把A的坐标代入抛物线解析式和已知的方程得：x12＝3y1①，x12+5x1+1＝0②，①﹣②整理得：5x1+3y1+1＝0③；同理把B的坐标代入抛物线解析式和已知的方程，化简可得：5x2+3y2+1＝0④，③④表示经过A和B的方程，所以直线AB的方程是：5x+3y+1＝0．故答案为：5x+3y+1＝0．12．（5分）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．【解答】解：由题设知X的可能取值为1，2，3，4，5．随机地取出两个球，共有：＝15种，∴P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝，∴随机变量X的分布列为故EX＝1×+2×+3×+4×+5×＝．故答案为：．13．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，点M满足＝3，则sin∠BAM的最大值是．【解答】解：以CB，CA为x，y轴建立坐标系，设B（4a，0），A（0，b），∵＝3，∴M（a，0），∴＝（a，﹣b）•（4a，﹣b）＝4a2+b2，∵，∴cos∠BAM＝＝＝∴cos∠BAM最小值为，∵sin2∠BAM+cos2∠BAM＝1，sin∠BAM≥0，∴sin∠BAM的最大值是为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为．【解答】解：直线的直角坐标方程为x+y﹣6＝0，曲线C的方程为x2+y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为故答案为：．【几何证明选讲选做题】15．（几何证明选做题）如图圆O的直径AB＝6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CP A＝30°，则PC＝3．【解答】解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，又∵∠CP A＝30°，R＝3，∴，∴．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B＝5c，cos B ＝．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|＝，求△ABC的面积．【解答】解：（I）在△ABC中，∵，∴，∵，∴2•a•＝5c∴3a＝7c，∵，∴3sin A＝7sin C，∴3sin A＝7sin（A+B），∴3sin A＝7sin A cos B+7cos A sin B，即3sin A＝7•sin A•+7cos A∴﹣sin A＝cos A，∴，即．（Ⅱ）∵，又3a＝7c，∴BD＝＝，∴，∴c＝3，则a＝7，∴．17．（12分）在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B，由于事件A、B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，所以选出的4人均选科目乙的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）＝；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，则P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝+＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝0）﹣P（ξ＝1）﹣P（ξ＝3）＝，ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×＝1．18．（14分）如图所示，P A⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，P A＝AB，AC⊥CD，M为AC中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面P AC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD．…3分又因为BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BM∥平面PCD．…5分（Ⅱ）解：因为CD⊥AC，CD⊥P A，所以CD⊥平面P AC，故PD与平面P AC所成的角即为∠CPD．…7分不妨设P A＝AB＝1，则PC＝．由于tan，所以CD＝．…9分（方法一）在等腰Rt△P AC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F（图1所示）．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角．…12分由题意知PE＝3EC，ME＝，EF＝＝，所以tan∠EFM＝＝，即二面角C﹣PD﹣M的正切值是．…15分（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立如图2所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则P（0，0，1），M（，0，0），C（1，0，0），D（1，，0）．则，，．若设＝（x1，y1，z1）和＝（x2，y2，z2）分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则，可取．同理，得＝（2，﹣，1）．…12分所以cos＜＞＝＝，故二面角C﹣PD﹣M的余弦值是，其正切值是．…15分19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S4＝40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3＝0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n＝4n，∵T n﹣2b n+3＝0，∴当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3＝0，两式相减，得b n＝2b n﹣1，（n≥2）则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，P n＝（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）＝．当n为奇数时，n＝1时，P1＝c1＝a1＝4，（法一）n﹣1为偶数，P n＝P n﹣1+c n＝2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n＝2n+n2+2n﹣1，（法二）P n＝（a1+a3+…+a n﹣2+a n）+（b2+b4+…+b n﹣1）＝．∴．20．（13分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l1，l2交于点F，其斜率k1，k2满足k1k2＝﹣．设l1交椭圆Γ于A、C两点，l2交椭圆Γ于B、D两点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）设右焦点F（c，0）（其中），依题意，a+c＝3，解得a＝2，c＝1．…（3分）∴，∴椭圆Γ的方程是．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1，0）．将通过焦点F的直线方程y＝k（x﹣1）代入椭圆Γ的方程，得（3+4k2）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0，其判别式△＝（8k2）2﹣16（k2﹣3）（3+4k2）＝144（k2+1）．特别地，对于直线l1，若设A（x1，y1），C（x2，y2），则＝，k1∈R且k1≠0．…（10分）又设B（x3，y3），D（x4，y4），由于B、D位于直线l1的异侧，∴k1（x3﹣1）﹣y3与k1（x4﹣1）﹣y4异号．∴B、D到直线l1的距离之和：＝＝．…（12分）综合可得，四边形ABCD的面积：．∵，∴，∴，当时，f（t）单调递减，∴当，即时，四边形ABCD的面积取得最大值．…（15分）21．（14分）已知函数f（x）＝lnx+（x﹣a）2，a∈R．（1）若a＝0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）若函数f（x）在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围．【解答】解：（1）定义域为（0，+∞），∵，…（3分），∴f（x）在[1，e]上单调递增，…（5分）∴当x＝1时，f（x）min＝f（1）＝1…（7分）（2），…（9分）由题可知，在区间上存在子区间使不等式2x2﹣2ax+1＞0成立使成立又x＞0，∴在上有解…（11分）令，则只需2a小于g（x）在上的最大值由知，∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，…（13分）∴又，故，即…（15分）。
【2015广东高考模拟 理科数学】广东省各地2015届高三一模二模试题汇总 12份
图17432109878试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）2015广州一模 数学（理科）2015.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．M N B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 924. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是22222222侧视图正视图222222A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞- 6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是图2A. B. C. D. 7. 已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R );其中, 具有性质P 的映射的序号为 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 .10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .图3OADE C B 11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 .12. 已知幂函数()223(mm f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅， 由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 . 15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ， 则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.图4OF ED C B A 图5FE PODB A17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且10PB =.（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,21n n a a S +==+，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线20+=x y 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)-，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分） 已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围； （2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *，e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 43-10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅ 14. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭15. 3说明: 第14题答案可以是2,2,4k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分 由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCAACBB∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………………………6分（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. …………………………7分∴ 06x π=. …………………………8分 ∴0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分 sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分12322222=⨯+⨯…………………………11分 264+=. …………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为： X 0 12 3GH F EPODBA…………………………11分∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………3分∴BD ⊥平面POA . …………………………4分 （2）解法1：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==. ……5分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=，在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .∵=HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分 在Rt △POA 中，2230=+=AP AO PO ，在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分P 47 27 435 135z yxH F EPODBA∴=PO PAHG HA. ∴32330530⋅⨯===PO HA HG PA . …………………………12分 在Rt △BHG 中，230tan 3305∠===BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O 的正切值为303. …………………………14分 解法2：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==.………………………5分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=，在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系-O xyz ，则()0,33,0-A ，()2,3,0-B ，()0,0,3P ，()0,3,0-H .…………8分 ∴()0,33,3=AP ，()2,23,0=AB . 设平面PAB 的法向量为=n (),,x y z ，由⊥n AP ，⊥n AB ，得 3330,2230.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩y z x y ……9分令1=y ，得3=-z ，3=-x .∴平面PAB 的一个法向量为=n ()3,1,3--. …………………………10分由（1）知平面PAO 的一个法向量为()2,0,0=-BH ， ……………………11分设二面角--B AP O 的平面角为θ， 则cos θ=cos ,n BH⋅=n BH n BH233913132==⨯.………………………12分 ∴2130sin 1cos13θθ=-=，sin 30tan cos 3θθθ==.………………………13分 ∴二面角--B AP O 的正切值为303. …………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识） （1）解：∵111,21n n a a S +==+，∴21121213a S a =+=+=. …………………………1分（2）解法1：由121n n a S +=+，得121n n n S S S +-=+， …………………………2分故()211n n S S +=+. …………………………3分∵0n a >，∴0n S >. ∴11n n S S +=+. …………………………4分∴数列{}nS 是首项为11S =，公差为1的等差数列.∴()11n S n n =+-=. …………………………5分 ∴2n S n =. …………………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法2：由121n n a S +=+，得()2114n n a S +-=， …………………………2分 当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分 ∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分 ∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………６分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分 ∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分 解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………………2分 下面用数学归纳法证明.① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分 由已知121k k a S +=+，得()2114k k a S +-=， 故()2114k k a S --=.∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k kk k a a aa +++--=. …………………………6分∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分 ∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分 故当1n k =+时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分（3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==.假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分 ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得2664431384k ±+⨯±==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , …………1分 ∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (2,1)-，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分 ∴ ()22222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , ……………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (2,1)-， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)-及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)-， ∴(2,1)AQ x y =+-，11(2,1)AP x y =+-，(2,1)BQ x y =-+，11(2,1)BP x y =-+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11(2)(2)(1)(1)0x x y y +++--=， ……………………5分 即 11(2)(2)(1)(1)x x y y ++=---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11(2)(2)(1)(1)x x y y --=-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(2,1)P --或(2,1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)-- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)-，由②得 23y x =-，解方程组2225,23,x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=, 除去四个点()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()2,1-, 2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)-及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥. ∴1111122y y x x --⨯=-++()12x ≠-，① ……………………5分1111122y y x x ++⨯=---()12x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=. 若点(2,1)P --或(2,1)P , 此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)-- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)-，由②得 23y x =-，解方程组2225,23,x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=, 除去四个点()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 20x y +=的距离为23x y+.△ABQ 的面积为2221(22)(11)23x y S +=++--⋅………………………10分 2x y =+22222x y xy =++. ………………………11分而22222(2)()422y y xy x x =⨯⨯≤+（当且仅当22y x =时等号成立） ∴22222222522224522y S x y xy x y x x y =++≤+++=+522=. ……12分 当且仅当22yx =时, 等号成立. 由222,225,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分 ∴△ABQ 的面积最大值为522, 此时,点Q 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法２：由于()()22221123AB =++--=，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………1０分 设与直线AB 平行的直线为20x y m ++=，由2220,25,x y m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22542250y my c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得522m =±． ………………………1１分若522m =，则2y =-，22x =-；若522m =-，则2y =，22x =．…1２分 故当点Q 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为()2222221522212S AB +⨯=⨯=+． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） （1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>， 当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分 （2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分∴2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分 由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n +-+-+--=≥=. …………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分 ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）2015广州二模 数学（理科）2015.4参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示， 则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为y xO 1 5 3 -3图1A ．425B ．12C ．23D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433 D ．3327．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= A .0 B .9 C .18 D .36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）． 13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．x=1, y=2z=xy是z<20? x =yy =z输出z结束否开始图3AV CB图2（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．组号年龄分组 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率 1 [20,30) 28 b2 [30,40) 27 0.93 [40,50) 5 0.54 [50,60]a0.4（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值； （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分） 如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别 是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．BACDFG 图4年龄频率/组距20 30 40 50 60 0.010 c 0.0350.0250 C 1ABA 1B 1D 1 CDMNEFE 1F 119．（本小题满分14分）已知点(),n n nP a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e bQ b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D A A B B C C二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 9 10 1112 131415答案1327210305-43116．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，……2分 由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯……3分 12=-．…4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A 是△ABC 的内角， 所以2sin 1cos A A =-32=．……6分 由（1）知5b k =，3c k =， 因为△ABC 的面积为453，所以1sin 4532bc A =，……8分 即135345322k k ⨯⨯⨯=， 解得23k =．………10分由正弦定理2sin a R A =，即71432sin 32k R A ==，…………11分解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．12分 17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．1分第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………2分 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……3分 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……4分 （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.5分 依题意X 的取值为0，1，2．…………6分()022426C C 20C 5P X ===，…7分()112426C C 81C 15P X ===，8分()202426C C 12C 15P X ===，9分所以X 的分布列为：X 0 12P25 815115所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． …………12分 18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．………………………………………10分 C 1ABA 1B 1D 1CDM NEFE 1F 1所以11A B E D ．……2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E ，()33,1,0M ，8分则333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()33,2,0DM =-．……10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取33y =，则2x =，33z =．所以()2,33,33=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n nxzyC 1ABA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E ，()33,1,0M ，()33,0,1N ，2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． …3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合， 所以1DE MN ．…5分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分 （2）解：由（1）知333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()33,2,0DM =-． (10)分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取33y =，则2x =，33z =．所以()2,33,33=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………12分xzyC 1A BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．……2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分 （2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．……7分连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，C 1ABA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1则sin hADθ=．8分 因为A DMN D AMN V V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…9分 在边长为3的正六边形ABCDEF 中，33DB =，6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=， 由余弦定理可得，31DM =．在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以37DN =． 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以2MN =． 在△DMN 中，31DM =，37DN =，2MN =， 由余弦定理可得，2cos 31DMN ∠=-，所以29sin 31DMN ∠=． 所以158sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………11分 又12AMN S ∆=，12分 所以3358AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．………13分 所以174sin 116h AD θ==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ． (6)分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=．……7分 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭．…………8分 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，…10分 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦………11分 15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………12分 16<． 又当1n =时，212111106PP =<．……13分 所以22212131+111116n PP PP PP +++<．………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．……1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k 满足00211k y kx k -+-=+，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，……7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-()()22000022000412122y y x x x x x x -+⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦……9分 因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+．………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………5分 设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C 相切，所以()0022001a y ax y a x -+=-+，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以()24AB a b a b ab =-=+-200002422y x x x ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭ ()()2000204422y x x x ++=+．…9分因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+…………10分()2001652222x x =-+++．…………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以222165AB t t =-+252522163264t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，12分 当532t =时，max 524AB =， 当14t =时，min 2AB =． 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14分21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()221xa x ≥+2分212x x =++()01x <<， 因为21122x x <++在()0,1x ∈内恒成立，所以12a ≥．故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，2分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意．当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩解得12a ≥或1a >， 所以12a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．………4分 （2）证明：因为函数()e xg x =，所以()e xg x '=．过点(),e b P b ，(),e bQ b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+，2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b bb by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 6分消去y ，解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-． ①…7分下面给出判定00x >的两种方法： 方法一：设e bt =，………8分 因为0b >，所以1t >，且ln b t =． 所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．………9分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >，则()12ln h t t t t t '=-+()1t >．……10分 令()12ln u t t t t t =-+()1t >，则()212ln 1u t t t'=+-．当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t'=+->，……11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10u t u >=，即()0h t '>，12分 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10h t h >=．…13分因为当1t >时，210t ->，所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．14分。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.函数
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编函数1、（2015届广州市）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b < D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2（2015届广州市）已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．4 3．（2015届广州市）已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为A ．425B ．12C ．23D ．1 4（2015届惠州市）下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( ) A ．3y x = B ．1y x x=+ C ．e x y x -=⋅ D ．ln()y x =- 5（2015届揭阳市）已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则12log (2)f 的值为 ．6（2015届茂名市） 若函数()y f x =在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得()()f t x tf x +=恒成立，则称()y f x =是一个“关于t 函数”．现有下列“关于t 函数”的结论：①常数函数是“关于t 函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③x x f )21()(=是一个“关于t 函数”．其中正确结论的个数是 ( ).A ．1B ．2C ．3D ．07（2015届茂名市） 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x >0 时,()f x ＝1＋x)21(，则(2)f -＝ .8（2015届深圳市）下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是A ．2x y =B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =9（2015届肇庆市）函数x x y -+-=3)2ln(的定义域 ▲ . 答案：D A B B 1 B 45- B (]3,2。
广东省广州市2015届高三毕业班综合测试(二)数学(理)试题 Word版含答案
试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2015.4参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠ B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b < D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示， 则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪44⎝⎭ B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭图1C ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪24⎝⎭ D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425 B ．12 C ．23D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A BC ．3D ．27．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= A.0 B.9 C.18 D.36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．AVCB图211．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）．13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +•+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；B ACDFG 图4（2）若△ABC的面积为ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n组号年龄 分组 答对全卷 的人数答对全卷的人数 占本组的概率1 [20,30)28 b2 [30,40)270.93 [40,50)50.54 [50,60]a0.4（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F 的侧棱C 1A 1B 1 D 1E 1F 1垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M，N分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面； （2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),ebQ b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A =2=6分 由（1）知5b k =，3c k =， 因为△ABC的面积为1sin 2bc A =，……………………………………………8分即15322k k ⨯⨯⨯=，解得k =10分 由正弦定理2sin a R A =，即72sin 2k R A ==，…………………………………………………11分解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14． (12)分17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分 第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………………………………………………2分第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……………………………………………3分第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……………………………………………4分（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分依题意X 的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===，…………………………………………………………………………………7分()112426C C 81C 15P X ===，………………………………………………………………………………8分()202426C C 12C 15P X ===，………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：12815115所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）………………………………………10分第（1）问用几何法，第（2）问用向量法： （1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ，C 1ABA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B，9,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E，()M ，…………………………8分则3,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()32,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x=，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n116==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B ，9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E ，()M ，()N ，……………2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． ………………3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合， 所以1DE MN ．…………………………………………5分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：由（1）知3,02BC ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()32,0DM =-．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n==故直线BC 与平面1MNE D 14分第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，D 1E 1所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin hADθ=．……………………………………………………………………………………………8分 因为A DMN D AMNV V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…………………………………………9分 在边长为3的正六边形ABCDEF中，DB =6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=，由余弦定理可得，DM =在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以DN = 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以MN = 在△DMN中，DM =DN =，MN =由余弦定理可得，cos DMN∠=∠=，所以sin DMN所以1sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………………………………………………11分又12AMN S ∆=，……………………………………………………………………………………………12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．…………………………………………………………………………13分所以sin 116h AD θ==． 故直线BC 与平面1MNE D所成角的正弦值为116．………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分 因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-． 所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++． 所以()222211310n PP n n n +=+=． (7)分所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭．……………………………………8分因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，……………………………10分 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦……………………………………………………………11分15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分 16<． 又当1n =时，212111106PP =<．………………………………………………………………………13分所以22212131+111116n PP PP PP +++<．……………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r-+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =9分 因为()220044y x =--，所以AB =10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭，所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ， 则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===．……………………………………………………………………9分因为()220044y x =--，所以AB =10分=………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==，………………………………………12分当532t =时，max 4AB =，当14t =时，min AB =所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数，所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<，即()221xa x ≥+……………………………………………………………………………………………2分212x x =++()01x <<， 因为21122x x <++在()0,1x ∈内恒成立，所以12a ≥．故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………………4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2210ax a x a +-+≥()01x <<， (2)分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意．当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩ 解得12a ≥或1a >，所以12a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………4分（2）证明：因为函数()e xg x =，所以()e xg x '=．过点(),e b P b ，(),e b Q b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+， 2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b bb by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ ………………………………………………………………………………6分 消去y ，解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-． ①…………………………………………7分下面给出判定00x >的两种方法：方法一：设e bt =，………………………………………………………………………………………8分因为0b >，所以1t >，且ln b t =． 所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-． (9)分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >，则()12ln h t t t t t '=-+()1t >．………………………………………………………………………10分 令()12ln u t t t t t =-+()1t >，则()212ln 1u t t t'=+-．当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t '=+->，………………………………11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10u t u >=，即()0h t '>，…………………………………………………………………12分所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=．…………………………………………………………………………………13分 因为当1t >时，210t ->， 所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．…………………………………………………………………14分 方法二：由①得0x ()221+e 11e b b b --=--． 设2e b t -=，…………………………………………………………………………………………………8分 因为0b >，所以01t <<，且ln 2t b =-． 于是21ln b t -=，……………………………………………………………………………………………9分 所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭．…………………………………………………………10分由（1）知当12a =时，()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数，………………………… 11分 所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+， 即ln 2t <11t t -+． …………………………………………………………………………………………12分 即210ln 1t t t ++>-，………………………………………………………………………………………13分 已知0b >， 所以0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭．…………………………………………………………………………14分欢迎下载，资料仅供参考!!!。
广东省各市高考二模数学理试题分类汇编
即 ．………………………………………………………8分
所以 或 ， ．…………………………10分
即 或 ， ．
又 ，所以 ．…………………………………………………………11分
所以 ．………………………………………………………………………12分
13（本小题满分12分）
解：（1） （2分）
（1）求函数 的解析式；
（2）若角 满足 ，且 ，求 的值．
解：（1）由 最小值 且 ，所以 ．…………………………………………1分
因为 ，所以 ，……………………………………………………2分
由 可得 ，所以 ，………………………………………3分
所以 ．……………………………………………………………………………………4分
又∵ ，∴ ，……10分
cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ . ……12分
10解：（1）由 为图象的最高点知 ，---------------------1分
又点M 知函数 的最小正周期 ，-----------------------3分
∵ ∴ ,-------------------------------------------------5分
解得 ．
所以△ 外接圆半径的大小为 ．…………………………………………………………………12分
9（本小题满分12分）
解：(1)依题意得 ，∴ ，……2分
由f(2π)=2，得 ，即 ，∴A=4，……4分
∴ . ……5分
(2)由 ，得 ，
即 ，∴ ，……6分
又∵ ，∴ ，……7分
由 ，得 ，
即 ，∴ ，……9分
8（2015届广州市）（本小题满分12分）
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（平面向量）一、选择题：1.（2015安徽理）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B2、（2015北京文）设a ，b是非零向量，“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b ∙=∙<> ，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ，//a b .而当//a b时，,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ∙=- ，故“a b a b ⋅= ”是“//a b”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.3．（2015福建文）设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb =+ ．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）A．32-B．53-C．53D．32【答案】A考点：平面向量数量积．4．（2015福建理）已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5.（2015广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A = （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．6、(2015湖南文)已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（）A、6B、7C、8D、9【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB+取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质7.(2015湖南理)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.8、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = ()（A）(7,4)--（B）(7,4)（C）(1,4)-（D）(1,4)9.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC=-（C ）4133AD AB AC=+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.考点：平面向量运算10.(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.11.(2015山东理)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A）232a -（B）234a -（C）234a （D）232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.12.(2015陕西文、理)对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.13.(2015四川理)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD = .若点M，N 满足3BM MC =，2DN NC = ，则AM NM ⋅= （）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.14、(2015四川文)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝()(A )2(B )3(C )4(D )6【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.15．(2015重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.16.(2015重庆文)已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（）(A)3π(B)2π(C)32π(D)65π【答案】C考点：向量的数量积运算及向量的夹角.二、填空题：1.（2015安徽文）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.平面向量
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编平面向量1（2015届潮州市）已知)2,1(-A ，)1,(-a B ，)0,(b C -三点共线，其中0,0>>b a ，则ba 21+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 2（2015届佛山市）已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的投影为（ ）A ．3-B ．3-C ．3D ．3 3（2015届广州市）设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=A .0B .9C .18D .364（2015届广州市）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ． 5（2015届惠州市）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( )A ．3B ．7C ．19D ．23 6（2015届揭阳市）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为A ．43 B ．413 C ．49- D ．4 7（2015届茂名市）在△ABC 中,54sin =A ,6=∙AC AB ,则△ABC 的面积为（ ）. A ．3 B ．125 C ．6 D ．4 8（2015届深圳市）平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =-b ，若a // b ，则x 等于A ．4B ．4-C ．1-D ．29（2015届湛江市）若平面向量()1,2a =- 与b 的夹角是0180，且53||=b ，则b 的坐标为（ ）．A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(- 10（2015届肇庆市）已知向量)4,2(=a ，)1,1(-=b ，则=-b a 2A ．（3，7）B ．（3，9）C ．（5，7）D ．（5，9） 答案：D A C 5- B A D A B C。
2015广州二模理科数学试题及答案
数学（理科）试题A 第 1 页 共 13 页数学（理科）参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b < D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示， 则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为A ．425B ．12C ．23D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A BC D 图1AV CB图2数学（理科）试题A 第 2 页 共 13 页7．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}na是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= A .0 B .9 C .18 D .36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x=+⎪⎝⎭，若cos 5α=02α<< ⎪⎝⎭，则12f α+= ⎪⎝⎭ ．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）． 13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参BACDE FG 图4数学（理科）试题A 第 3 页 共 13 页数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC的面积为，求△ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．（1）分别求出a ，b ，c ，n的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别 是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．C 1ABA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1 图5数学（理科）试题A 第 4 页 共 13 页19．（本小题满分14分）已知点(),n n nP a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<． 20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e bQ b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．数学（理科）试题A 第 5 页 共 13 页数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题： CDAA BBCC 二、填空题：9.1 10. 3211. 1012. 30 13. 5- 14.15. 1 16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…3分12=-．…4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A=6分 由（1）知5b k =，3c k =，因为△ABC的面积为1sin 2bc A =8分即1532k k ⨯⨯=k =……………10分 由正弦定理2sin a R A =，即72sin k R A ==，…………………………………………………11分 解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．……12分17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分 第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………………………………………………2分 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……………………………………………3分 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……………………………………………4分 （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.……5分依题意X 的取值为0，1，2．………6分()022426C C2C5P X===，……7分()112426C C81C15P X===，……8分()202426C C12C15P X===，………………9分所以X的分布列为所以281012515153EX=⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接1A B，11B D，BD，11A E，在四边形1111A B D E中，1111A EB D且1111=A EB D，在四边形11BB D D中，11BD B D且11=BD B D，所以11A E BD且11=A E BD，所以四边形11A BDE是平行四边形．所以11A B E D．………………………………2分在△1ABA中，1AM AN==，13AB AA==，所以1AM ANAB AA=，所以1MN BA．……………………………4分所以1MN DE．所以M，N，1E，D四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：以点E为坐标原点，EA，ED，1EE所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B，9,02C⎫⎪⎪⎝⎭，()0,3,0D，()10,0,3E，()M，…………………………8分………………………………………10分C1A BA1B1D1CDMNEFE1F1数学（理科）试题A 第 6 页共数学（理科）试题A 第 7 页 共 13 页则3,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BC BCθ=n n116==． 故直线BC 与平面1MNE D ．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则()B ，9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E ，()M ，()N ，……………2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． ………………3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合， 所以1DE MN ．…………………………………………5分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分数学（理科）试题A 第 8 页 共 13 页（2）解：由（1）知3,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分 设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BC BCθ=n n==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A B E D ．………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，所以1AM ANAB AA =， 所以1MNBA ．……4分 所以1MNDE ． 所以M ，N ，1E ，D 四点共面．…6分（2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分C 1BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1数学（理科）试题A 第 9 页 共 13 页连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin h AD θ=．……8分 因为A DMN D AMN V V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．……9分 在边长为3的正六边形ABCDEF中，DB =6DA =，在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=，由余弦定理可得，DM 在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以DN = 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以MN = 在△DMN中，DM =DN =MN =由余弦定理可得，cos DMN ∠=，所以sin DMN ∠=．所以1sin 2DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…11分 又12AMN S ∆=，…12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==13分所以sin h AD θ== 故直线BC 与平面1MNE D所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．…2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-． 所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=．………………………………………………………………………7分 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭．……………………………………8分数学（理科）试题A 第 10 页 共 13 页因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，……………………………10分 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦………11分 15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…12分 16<． 又当1n =时，212111106PP =<．…13分 所以22212131+111116n PP PP PP +++<．…14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，…1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩…3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…4分 方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…3分 所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -，所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k 1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，…7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x = …9分数学（理科）试题A 第 11 页 共 13 页因为()220044y x =--，所以AB =10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．…11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分 所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，()()(){}min 0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭，所以AB的取值范围为⎦．…………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤…5分 设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…7分 即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===9分 因为()220044y x =--，所以AB =10分=…11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．数学（理科）试题A 第 12 页 共 13 页所以AB ==，………………………………………12分 当532t =时，max 4AB =，当14t =时，min AB = 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．……1分 即()2120a x x +-≥()01x <<， 即()221xa x ≥+……2分 212x x =++()01x <<，因为21122x x<++在()0,1x ∈内恒成立， 所以12a ≥．故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．……1分 即()2120a x x +-≥()01x <<， 即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，……2分 设()()221g x ax a x a =+-+， 当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意．当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩ 解得12a ≥或1a >，所以12a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…4分 （2）证明：因为函数()e xg x =，所以()e xg x '=．过点(),e b P b ，(),e bQ b --作曲线C 的切线方程为：数学（理科）试题A 第 13 页 共 13 页1l ：()e e b b y x b =-+，2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b bb by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩……6分消去y ，解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-． ①………7分下面给出判定00x >的两种方法：方法一：设e bt =，……8分 因为0b >，所以1t >，且ln b t =,所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．…9分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >，则()12ln h t t t t t'=-+()1t >．…10分 令()12ln u t t t t t =-+()1t >，则()212ln 1u t t t '=+-． 当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t'=+->，…11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10u t u >=，即()0h t '>，…12分所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=．…13分 因为当1t >时，210t ->，所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．…14分 方法二：由①得0x ()221+e 11eb bb --=--．设2ebt -=，…8分 因为0b >，所以01t <<，且ln 2t b =-． 于是21ln bt-=，…9分 所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭．…10分 由（1）知当12a =时，()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数，…………………………11分 所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+，即ln 2t <11t t -+．…12分 即210ln 1tt t++>-，…13分 已知0b >，所以0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭．…14分。
广东省2015年高三普通高考测试数学理试题及答案
湛江市2015年普通高考测试（二）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则MN =（ ）． A ．M B ．N C ．{}12x x -<< D ．{}3x x < 2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --13．随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）．A ．37B ．34C ．3D ．44．一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（ ）．A ．5πB ．6πC ．7πD ．9π5．在右图所示的程序框图中，输出的i 和s 的值分别为（ ）．A ．3,21B ．3,22C ．4,21D ．4,226．设)(x f 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间]1,2[-上的图像，则)2015()2014(f f +=（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．07．若平面向量()1,2a =-与b 的夹角是0180，且53||=b ，则b 的坐标为（ ）．A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-8．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下：当n 是偶数时，()()!!24642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；当n 是偶数时，()()!!24531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；且有()()!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．则如下四个命题：①()()2015!!2016!!2016!⋅=；②10082016!!21008!=⨯；③2015!!的个位数是5；④2014!!的个位数是0．其中正确的命题有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（9～13题）9．曲线x x y sin +=在点（0,0）处的切线方程是________________．10．双曲线C :221916x y -=的离心率是 ． 11．=-⎰dx x |1|20_______________．12．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．13．已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为31x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E ．F 分别在AB ．CD 上，且F//DE A ，若34AE =EB ，则F E 的长是 ．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设函数)(,sin 3cos )(R x x x x f ∈-=（1）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的值域（2）记AB C ∆内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若1)3(=-πA f ，且b a 23=，求B s i n 的值．17．（本小题满分12分）某中学一名数学教师对全班50名学生某次考试成绩分男生女生进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀．（1）根据以上频率表的数据，完成下面的2⨯2列联表；（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少一名女生的概率．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，045BCD 1AD AB 2CD ,,//AB ABCD =∠===⊥⊥，，且，平面DC AD DC PD ．（1）若点M 是PD 的中点，证明：PBC AM//平面;（2）若PBC ∆得面积为2，求二面角D -PC -B 的余弦值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，对任意正整数n ，均有()241n n S a =+，且0n a >． ()1求1a 及数列{}n a 的通项公式；()2令114)1(+--=n n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分14分）已知曲线E 上的任一点到点)3,0(1-F 和点)3,0(F 的距离之和为4．（1）求曲线E 的方程；（2）已知点)0,1(),2,0(C A ，设直线)0(,>=k kx y 与曲线E 交于B ．D 两点（B 在第一象限），求四边形ABCD 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数b a bx ax x f ,(,1)(2++=为实数，),0R x a ∈≠．（1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，求)(x f ； （2）设0,0,)()()(<>⎩⎨⎧-=x x x f x f x F ，0,0,0>>+<a n m mn ，且函数)(x f 为偶函数． 证明：0)()(>+n F m F ；（3）设)(,1ln )(x g ex x g x +=的导函数是),(x g '当1==b a 时，证明：对任意实数0>x ，21)(]1)([-+<'-e x g x f ．。
广东省深圳市2015年高三第二次调研考试 数学理
绝密★启用前 试卷类型：A2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 2015．4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：如果柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积为Sh V =；如果随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则,()()d b a P a X b x x μσφ<≤=⎰，其中22()2,()x x μσμσφ--=，),(∞+-∞∈x ，μ为均值，σ为标准差．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数2015i 等于 A ．1 B ．1-C ．iD ．i - 2．平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =-b ，若a // b ，则x 等于A ．4B ．4-C ．1-D ．23．下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是A ．2x y =B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =4．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）A ．π8+B ．π48+C ．π16+D ．π416+ 5．若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩, 则2x y +的取值范围是A ．[0,6]B ．[1,6]C ．[1,5]D ．[0,5]6．如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入 3a ，2a ，1a ，0a 的值依次是1，3-，3，1-，则输出v 的值为A ．2-B ．2C ．8-D ．87．从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取五个，组成五位数，则不同的五位数共有A ．50个B ．60个C ．100个D ．120个8．设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义}),(|)1,1{(*X y x x y X ∈--=．若X X =*，则称点集X “关于运算*对称”．给定点集}1|),{(22=+=y x y x A ，}1|),{(-==x y y x B ，}1|||1||),{(=+-=y x y x C ， 其中“关于运算 * 对称”的点集个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．图11正视图侧视图 俯视图图29．不等式5|2||1|≤-+-x x 的解集为 ．10．已知随机变量X 服从正态分布),1(2σN ，若(01)0.3P X <≤=，则=≥)2(X P ．11．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与抛物线24y x =的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于 ．12．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知153=S ，1539=S ，则=6S ．13．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2ab c >”是“π3C <” 的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）与曲线C ：23x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ．若60BAC ∠=︒，6BC =，则⊙O 的半径为 ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设函数)2cos()(ϕ+=x x f （其中π0<<ϕ，R ∈x ）．已知21)0(-=f ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若角θ满足)()3πsin(θθf =+，且π0<≤θ，求角θ的值． 图3 A17．（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）如图4，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形， M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．（1）证明：OB OA =；（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ；（3）若PA =，OP ，求二面角B OA P --的余弦值．CP19．（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ，且42,,321+a S a 成等比数列．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有++2143a a …12<++n a n ．20．（本小题满分14分）已知平面上的动点P 与点(0,1)N 连线的斜率为1k ，线段PN 的中点与原点连线的斜率为2k ，1221k k m =-(1m >)，动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）是否存在同时满足以下条件的圆：①以曲线C 的弦AB 为直径； ②过点N；③直径AB =．若存在，指出共有几个；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分） 已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1()(=+xf x f ， 其中b a ,为常数．（1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值； （2）已知10<<a ，求证：0)2(2>a f ； （3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．。
广东省潮州市2015年高考第二次模拟考试考试数学(理)试题及答案
C ．充分必要条件
D ．既不充分又必要条件
n 0, S 0
np
是
n n1
否
输出 S
1
结束
S S 2n
12
7．已知 A(1, 2) ， B(a, 1) ， C ( b,0) 三点共线，其中 a 0, b 0 ，则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的最小值是（
）
ab
A ．2
B．4
C．6
D ．8
8．已知奇函数 y f (x)的导函数 f x 0 在 R 恒成立，且 x, y 满足不等式 f (x 2 2x) f ( y 2 2y) 0 ，则 x 2 y 2 的取值范围是 ( )
（ 2 ）求二面角 A SM C 的正弦值。
D
C
S
A
B
如图 1
S
D
C
O M
A B
如图 2
19 ．（本小题满分 14 分）
已知数列 an 的前 n 项和 Tn 满足 an 1 2Tn 6 ，且 a1 6 ． （ 1）求数列 an 的通项公式；
18 ．（本小题满分 14 分）
15
2
如图 1,平面五边形 SABCD 中 SA
, AB BC CD DA 2, ABC
, SAD沿 AD 折起
2
3
1
成 .如图 2，使顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O ， M 为 BC 上一点， BM
.
2
（ 1 ）证明： BC 平面 SOM ；
直线的极坐标方程为 cos 2 sin 7 0 ，
则圆心到直线距离为
．
15 ．（几何证明选讲选做题） 如图所示， ⊙ O 的两条切线 PA 和 PB 相交于点 P ，与⊙ O 相切于 A, B
2015广州二模(数学理)试题及答案
x = 4t , （ t 为参数） ，则曲线 C1 和 C2 的交点有 2 y = 2t
个．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分12分） 已知△ ABC 的三边 a ， b ， c 所对的角分别为 A ， B ， C ，且 a : b : c = 7 : 5 : 3 ． （1）求 cos A 的值； （2）若△ ABC 的面积为 45 3 ，求△ ABC 外接圆半径的大小． 17． （本小题满分12分） 某市为了宣传环保知识， 举办了一次 “环保知识知多少” 的问卷调查活动 （一人答一份） ． 现 从回收的年龄在 20～60 岁的问卷中随机抽取了 n 份，统计结果如下面的图表所示． 组号 1 2 3 4 年龄 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 答对全卷 答对全卷的人数 的人数 占本组的概率 28 b 27 0.9 5 0.5 a 0.4 频率/组距 0.035 c 0.025 0.010 0
1 2 1 2
1 1 D． < 3 3
a
b
− x , 4 3．已知函数 f ( x ) = 1 x − , x
x ≥ 0, x < 0,
则f f ( 2 ) =
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1 P 1P 3
2
+3 +
1 P 1P n +1
2
<
1 ． 6
20． （本小题满分14分） 已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 ( 0, 0 ) 和 ( −1,1) ，圆 D 的方程为 ( x − 4 ) + y = 4．
各市高考二模数学理试题分类汇编.doc
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编集合与常用逻辑用语一．选择题1.（2015届潮州市）设集合101x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,{}1B x x a =-<, 则“1a =”是“A B ≠∅I ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又必要条件2.（2015届佛山市）集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）A ． 3B ．4C ．7D ．83（2015届佛山市）已知函数)( 11ln )(R a x a x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=.命题p ：)(, x f R a ∈∃是奇函数；命题q ：)(, x f R a ∈∀在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（） A ．p ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∧ 4（2015届佛山市）已知a , b , c 均为直线，α, β为平面.下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a 与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线；（2）任意给定的三条直线a , b , c ，必存在与a , b , c 都相交的直线；（3）α//β，βα⊂⊂b a , ，必存在与a , b 都垂直的直线；（4）βαβαβα⊂⊂=⊥b a c , , , I ，若a 不垂直c ，则a 不垂直b .其中真命题的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．45（2015届佛山市）若集合P 具有以下性质： ① P P ∈∈1, 0； ② 若P y x ∈,，则P y x ∈-，且0≠x 时，P x∈1. 则称集合P 是“Γ集”，则下列结论不正确的是( )A ．整数集Z 是“Γ集”B ．有理数集Q 是 “Γ集”C ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，则必有P xy ∈D ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，且0≠x ，则必有P xy ∈ 6（2015届广州市）命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+= 7．（2015届惠州市）若集合{|01,}A x x x x R =<>∈或，{}2,B x x x R =>∈，则 ( )A ．AB ⊇ B ．A B =C ．A B ⊆D ．A B φ=I 8（2015届惠州市）下列命题的说法 错误．．的是 ( ) A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题．B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” 9．（2015届揭阳市）已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈10（2015届揭阳市）命题P ：“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+>B.2,12x R x x ∃∈+≥C.2,12x R x x ∀∈+≥D.2,12x R x x ∀∈+<11（2015届茂名市） 设集合{}1,4,5M =,{}0,3,5N =,则M N I = （ ）.A ．{}1,4B ．{}0,3C ．{}0,1,3,4,5D ．{}5 12（2015届湛江市）．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则M N =I （ ）．A ．MB ．NC ．{}12x x -<<D ．{}3x x <13（2015届肇庆市）．对于非空集合A 、B ，定义运算：},|{B A x B A x x B A I Y ∉∈=⊕且.已知}|{b x a x M <<=，}|{d x c x N <<=，其中a 、b 、c 、d 满足d c b a +=+，0<<cd ab ，则=⊕N M A ．),(),(c b d a Y B ．),(),(b d a c Y C ．(][)d b a c ,,Y D ．(][)b d c a ,,Y 答案：A D D B A C A A D C D C D二．填空题1．（2015届深圳市）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2ab c >”是“π3C <” 的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）．2．（2015届湛江市）已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．答案：充分非必要 31。
2015广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(含解析)
2015年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是（ ）．A ．若2x ≠，则2320x x +≠-B ．若2320x x +=-，则2x =C ．若2320x x +≠-，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x +=-【答案】C【解答】解：命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是 “若2320x x +≠-，则2x ≠”．故选C ． 2．（5分）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（ ）．A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解答】解：选项A 错误，比如取πa =，π2b =，显然满足0a b >>，但不满足sin sin a b >； 选项B 错误，由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增可得22log log a b >； 选项C错误，由函数12y x ==[0,)+∞上单调递增可得1122a b >； 选项D 正确，由函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可得1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选D ．3．（5分）已知函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则)[](2f f =（ ）． A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A【解答】解：函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则(2)f =441[(2)](4f f f ⎛⎛==== ⎝⎝．故选A ．4．（5分）函数sin()(0,0,0π)y A x A ωϕωϕ=+>><<的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（ ）．A ．ππ3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π3π3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．ππ3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π3π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【解答】解：根据函数的图象，得知：3A =， 2(51)8T =-=，所以：2ππ84ω==，当1x =时，(1)3f =，0πϕ<<， 解得：π4ϕ=， 所以函数的解析式：ππ()3sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ．5．（5分）已知函数2()23f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使0)(0f x ≥成立的概率为（ ）．A ．425B ．12C ．23D ．1【答案】B【解答】解：已知区间[]4,4-长度为8，满足0)(0f x ≥，200()230f x x x =-++≥，解得013x -≤≤，对应区间长度为4， 由几何概型公式可得，使0)(0f x ≥成立的概率是4182=． 故选B ． 6．（5分）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线长VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）．VCBAABC D 【答案】B【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π3α=，解得：2π3α=， ∴2π2AOA '∠=，则π13∠=，过C 作CF OA ⊥， ∵C 为OB 的三等分点，3BO =， ∴1OC =， ∵160∠=︒， ∴30OCF ∠=︒，∴12FO =，∴22234CF CO OF -==，∵3AO =，12FO =，∴52AF =， 在Rt AFC △中，利用勾股定理得：2227AC AF FC =+=，则AC = 故选B ．1FCBAO A'7．（5分）已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”，给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解答】解：由题意可知，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程是2219544x y +=，①把2x =代入2219544x y +=，无解，∴2x =不是“M 型直线”；②把3y x =+代入2219544x y +=，无解，∴3y x =+不是“M 型直线”；③把21y x =--代入22144x y +=，有解，∴21y x =--是“M 型直线”；④把1y =代入22144x y +=，有解，∴1y =是“M 型直线”； ⑤23y x =+代入2219544x y +=，有解，∴23y x =+是“M 型直线”． 故选C ．8．（5分）设(,)P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r，且满足a b r r ∥，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若129))(((6)3f a f a f a +++=L ，则129a a a +++=L （ ）．A ．0B ．9C ．18D ．36【答案】C【解答】解：∵向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r ，且a b r r ∥，∴52(2)0y x x ---=， 即5(2)2y x x =-+， ∴5()(2)2f x x x =-+； 令5()(2)42g x f x x x =+-=+，则函数()g x 为奇函数，且是定义域内的增函数， 由129))(((6)3f a f a f a +++=L ， 得129(2)(2)(2)0g a g a g a +++---=L ， 又数列{}n a 是公差不为0的等差数列， ∴5(2)0g a -=，即520a -=，52a =， ∴129599218a a a a +++==⨯=L ．故选C ．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题） 9．（5分）已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则||z =__________． 【答案】1【解答】解：i 为虚数单位，复数1i1i z -=+，则1i |1i|||11i |1i |z --====++． 故答案为：1． 10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________．【答案】10【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出 22221234S -=-++的值∵2222123410S -=-++=． 故答案为：10．11．（5分）已知π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3πcos 052αα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则π12f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【解答】解：∵3cos 5α=，且π02α<<，∴4sin 5，又∵π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴πππsin 12126f αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 4α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos )αα+=，． 12．（5分）5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有__________种（用数字作答）． 【答案】30【解答】解：先从5人中任取4人，共有45C 种不同的取法．再把4人分成两部分，每部分2人，共有224222C C A 种分法．最后排在周六和周日两天，有22A 种排法，∴2242425222C C C A 30A ⨯⨯=种．故答案为：30．13．（5分）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c u r ，2c u u r ，3c u u r．若m 为()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m =__________．【答案】5-【解答】解：不妨记以A 为起点，其余顶点为终点的向量为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r分别为AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，以C为起点，其余顶点为终点的向量为1c u r ，2c u u r，分别为CD u u u r ，CA u u u r ，CB u u u r ．如图建立坐标系．（1）当1i =，2j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(1,1)5(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；（2）当1i =，2j =，1s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(0,1)]3(((i j s t a a c c +⋅+=+⋅+-=--u u r u u r u u r u r；（3）当1i =，2j =，2s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,1)(0,1)4(((]i j s t a a c c +⋅+=++-⋅--=-u u r u u r u u r u r；（4）当1i =，3j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(0,1)][1,0)(1,1)3(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；同样地，当i ，j ，s ，t 取其它值时，()()5i j s t a a c c +⋅+=-u u r u u r u u r u r，4-或3-．则()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r的最小值是5-．故答案为：5-．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为__________．FCBAGD【答案】【解答】解：∵AE 为DAB ∠的平分线， ∴DAF BAF ∠=∠， ∵DC AB ∥， ∴BAF DEA ∠=∠， ∴DAF DEA ∠=∠， ∴AD ED =， 又E 为DC 的中点， ∴DE CE =，∴11222AD DE DC AB ====，在Rt ADG △中，根据勾股定理得：AG则2AE AG == ∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC ∥，∴DAE F ∠=∠，ADE FCE ∠=∠， 在ADE △和FCE △中，DAE FADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE △≌()FCE AAS △， ∴AE FE =，则2AF AE ==．故答案是：．E DGABCF（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有__________个． 【答案】1【解答】1解：已知曲线1C 方程3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程为：20x y --=．曲线2C 的方程242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为：28x y = 所以：2820x yx y ⎧=⎨--=⎩，整理得：28160x x +=-， 所以：64640∆=-=， 则：曲线1C 和2C 的交点有1个．故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知ABC △的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值．（2）若ABC △的面积为ABC △的外接圆半径的大小． 【答案】见解析．【解答】解：（1）根据题意设7a k =，5b k =，3c k =，∴2222222259491cos 2302b c a k k k A bc k +-+-===-， 则2π3A =．（2）∵1sin 2ABC S bc A ==△∴21152k ⋅=k =，∴7a k == 由正弦定理2sin aR A =，得：142sin a R A ==． 17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在2060:岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如图表所示．（1）分别求出a ，b ，c （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．年龄【答案】见解析．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得(0.0100.0250.035)101c +++⨯=， 解得0.03c =．第3组人数为50.510÷=，所以100.1100n =÷=． 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=． 第4组人数为1000.2525⨯=，所以250.410a =⨯=． （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=， 所以第3，4组应依次抽取2人，4人． 依题意X 的取值为0，1，2．002426C C 2(0)C 5P X ===， 112426C C 8(1)5C 1P X ===， 202426C C 1(2)5C 1P X ===， 所以X 的分布列为：所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=．18．（14分）如图，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面． （2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．F 1E 1C 1D 1A 1B 1N F ECB A D【答案】见解析．【解答】（1）证明：连接1A B ，11D B ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D =，且1111A E B D ∥， 在四边形11BB D D 中，11BD B D ∥，且11BD B D =， 所以：11A E BD ∥，且11A E BD =， 则四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A B E D ∥．在1ABA △中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以：1AM ANAB AA = 则：1MN BA ∥， 且：1MN DE ∥，所以：M ，N ，1E ，D 四点共面；D A B CEFN B 1A 1D 1C 1E 1F 1（2）解：以点E 坐标原点，EA ，ED ，1EE 线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则B，9,,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,3,0)D ，10,(0,3)E，M ．3,,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，1(0,3,3)DE =-u u u u r，2,0)DM =-u u u u r ， 设平面1MNE D 的法向量为：(,,)m x y z =u r ，则：100m DE m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u u r ，即：33020y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：m =，设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin ||||m BC m BC θ⋅=u r u u u r u r u u u r ， 故直线BC 与平面1MNE DFF19．（14分）已知点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求证：2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 【答案】见解析．【解答】（1）解：∵点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，∴31n n b a =+，直线l 与y 轴的交点为(0,1)，∴10a =，11b =．∵数列{}n a 是公差为1的等差数列，∴1n a n =-．∴3(1)132n b n n =-+=-．∴数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：1n a n =-，32n b n =-．（2）证明：∵1)(0,1P ，1,3(2)n P n n --，∴1,31()n P n n ++．∴222211||(3)10n PP n n n +=+=， ∴1221111111111||1010521214n PP n n n n +⎛⎫=<⋅=- ⎪-+⎝⎭-． ∴当2n ≥时，22212131111111111111||||||10535572121n PP PP PP n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111110532110156n ⎛⎫=+-<+< ⎪+⎝⎭． 又当1n =时，212111||106PP =<． ∴2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 20．（14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)-，圆D 的方程为22(4)4x y -+=． （1）求圆C 的方程．（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求||AB 的取值范围．【答案】见解析．【解答】解：（1）过两点(0,0)A 和(1,1)B -的直线的斜率为1-， 则线段AB 的中垂线方程为：11122y x ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，整理得：1y x =+． 取0y =，得1x =-．∴圆C 的圆心坐标为(1,0)-，半径为1，∴圆C 的方程为：22(1)1x y ++=；（2）设00)(,P x y ，(0,)A a ，(0,)B b ，则直线PA 方程为00y a x y a x -=-，整理得：000()0y a x x y ax -+=-．∵直线PA 与圆C1=，化简得2000(2)20x a y a x +--=；同理可得PB 方程2000(2)20x b y b x +--=， 因而a ，b 为2000(2)20x x y x x +--=的两根，∴||||AB a b =-== 令02[,8]4t x =+∈，则||AB =，配方可求得min ||AB，max ||AB =．故答案为：⎦21．（14分）已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+，()e x g x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(e ),b P b 、(,)e b Q b --，过点P 、Q 作图象C 的切线分别记为1l 、2l ，设1l 与2l 的交点为00)(,M x y ，证明：00x >．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵2()ln 11f x a x x =+-+， ∴22(1)2()(1)a x x f x x x +-'=+， 若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数， 则2(1)20a x x -+≥，∴2222(1)4x a x =++≥， ∴12a ≥． （2）∵()e x g x '=，∴()()e b g b g b '==，∴1:(e )e b b l y x b =-+…①，()()e b g b g b -'-=-=，∴2:(e )e b b l y x b --=++…②，由①②得：e )e e ()e (b b b b x b x b ---+=++，两边同乘以e b 得：22e )e (1b b x b x b -+=++，∴222(e 1)e e 1b b b x b b =-+-⋅+，∴2202e e 1e 1b b b b b x -++=-， 分母2e 10b ->， 令22()e e 1b b h b b b -=++， ∴22()2e e 1b b h b b -'=+， ∴2()4e 10b h b b ''=+>， ∴min ()(0)0h b h +''→→，∴min ()(0)0h b h b →→>， ∴00x >．。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编不等式1（2015届惠州市）若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11 2（2015届惠州市）设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b+的最小值为__________． 3（2015届揭阳市）已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是A.1B. 4C.23D.0 4（2015届茂名市）设变量y x ,满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 2+=的最小值为（ ）.A. -3B. -1 C ．13 D ．-5 5（2015届茂名市）不等式112≤+--x x 的解集为 . 6（2015届深圳市）若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩,则2x y +的取值范围是A ．[0,6]B ．[1,6]7（2015届深圳市）不等式5|2||1|≤-+-x x 的解集为 ．C ．[1,5]D ．[0,5]8（2015届湛江市）2015某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．9（2015届肇庆市）不等式0|5||12|>--+x x 的解集为 ▲ .10（2015届佛山市）不等式112<-x 的解集为 . 答案：C 4 C A [)+∞,0 B []2,3- 10 ),34()6,(+∞--∞ （0, 1）广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编复数1．（2015届潮州市）若复数(2)(1)i ai ++是纯虚数(i 是虚数单位，a 是实数)，则a 等于（ ）A. -1B. 21-C.2D. 3 2．（2015届佛山市）若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3（2015届惠州市）已知b 为实数，i 为虚数单位，若21b ii+⋅-为实数，则b = ( ) A ．1- B ．2- C ．1 D ．24（2015届揭阳市）已知复数1z i =+，则21z z=- A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 5（2015届茂名市） 复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ）. A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)--6（2015届深圳市）设i 为虚数单位，则复数 2015i 等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -7（2015届湛江市）已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --1 8（2015届肇庆市）设i 为虚数单位，则复数)1(i i z -=对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C B B B D B A9（2015届广州市）已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 答案：1广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编集合与常用逻辑用语一．选择题1.（2015届潮州市）设集合101x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,{}1B x x a =-<,则“1a =”是“A B ≠∅ ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又必要条件 2.（2015届佛山市）集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）A ． 3B ．4C ．7D ．83（2015届佛山市）已知函数)( 11ln )(R a x a x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=.命题p ：)(, x f R a ∈∃是奇函数；命题q ：)(, x f R a ∈∀在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∧4（2015届佛山市）已知a , b , c 均为直线，α, β为平面.下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a 与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线； （2）任意给定的三条直线a , b , c ，必存在与a , b , c 都相交的直线； （3）α//β，βα⊂⊂b a , ，必存在与a , b 都垂直的直线； （4）βαβαβα⊂⊂=⊥b a c , , , ，若a 不垂直c ，则a 不垂直b . 其中真命题的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ．3D ．45（2015届佛山市）若集合P 具有以下性质：① P P ∈∈1, 0； ② 若P y x ∈,，则P y x ∈-，且0≠x 时，P x∈1.则称集合P 是“Γ集”，则下列结论不正确的是( ) A ．整数集Z 是“Γ集” B ．有理数集Q 是 “Γ集”C ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，则必有P xy ∈D ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，且0≠x ，则必有P xy∈ 6（2015届广州市）命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+= 7．（2015届惠州市）若集合{|01,}A x x x x R =<>∈或，{}2,B x x x R =>∈，则 ( )A ．AB ⊇ B ．A B =C ．A B ⊆D ．A B φ=8（2015届惠州市）下列命题的说法 错误．．的是 ( ) A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”9．（2015届揭阳市）已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈ 10（2015届揭阳市）命题P ：“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+>B.2,12x R x x ∃∈+≥C.2,12x R x x ∀∈+≥D.2,12x R x x ∀∈+<11（2015届茂名市） 设集合{}1,4,5M =,{}0,3,5N =,则M N = （ ）.A ．{}1,4B ．{}0,3C ．{}0,1,3,4,5D ．{}512（2015届湛江市）．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则M N = （ ）．A ．MB ．NC ．{}12x x -<<D ．{}3x x <13（2015届肇庆市）．对于非空集合A 、B ，定义运算：},|{B A x B A x x B A ∉∈=⊕且. 已知}|{b x a x M <<=，}|{d x c x N <<=，其中a 、b 、c 、d 满足d c b a +=+，0<<cd ab ，则=⊕N MA ．),(),(c b d aB ．),(),(b d a cC ．(][)d b a c ,,D ．(][)b d c a ,, 答案：A D D B A C A A D C D C D二．填空题1．（2015届深圳市）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2ab c >”是“π3C <”的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）． 2．（2015届湛江市）已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种． 答案：充分非必要 31广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编函数1、（2015届广州市）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2（2015届广州市）已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．43．（2015届广州市）已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425B ．12C ．23D ．14（2015届惠州市）下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( ) A ．3y x = B ．1y x x=+C ．e x y x -=⋅D ．ln()y x =- 5（2015届揭阳市）已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则12log (2)f 的值为 ．6（2015届茂名市） 若函数()y f x =在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得()()f t x tf x +=恒成立，则称()y f x =是一个“关于t 函数”．现有下列“关图1侧视图正视图h65于t 函数”的结论：①常数函数是“关于t 函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③xx f )21()(=是一个“关于t 函数”．其中正确结论的个数是 ( ).A ．1B ．2C ．3D ．0 7（2015届茂名市） 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x >0 时, ()f x ＝1＋x)21(，则(2)f -＝ .8（2015届深圳市）下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是A ．2x y =B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =9（2015届肇庆市）函数x x y -+-=3)2ln(的定义域 ▲ . 答案：D A B B 1 B 45-B (]3,2 广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编 立体几何1．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，得该几何体的表面积是________.2．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433D ．3323．多面体MN ABCD -的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( ) A ．163B ．6C ．203D ．64．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 的几何体的三视图，AV CB图22224ABC DMN则侧视图中的h =_________cm ．5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）. A ．23 B ．43 C ．83D ．46．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸， 则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） A ．π8+ B ．π48+C ．π16+D ．π416+答案： 12π B C 6 B C 7（本小题满分14分）如图1,平面五边形SABCD 中SAD ABC DA CD BC AB SA ∆=∠=====,32,2,215π沿AD 折起成.如图2，使顶点S 在底面的射影是四边形ABCD 的中心O ，M 为BC 上一点，21=BM . （1）证明：SOM BC 平面⊥； （2）求二面角C SM A --的正弦值。
广东省佛山市2015年高考数学二模试卷(理科) 解析版
广东省佛山市2015年高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈N|0＜x＜4}的子集个数为（）A．3B．4C．7D．82．（5分）若复数z满足（1﹣i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=，=，则向量在方向上的投影为（）A．﹣3 B．C．D．34．（5分）不可能把直线作为切线的曲线是（）A．B．y=sinx C．y=lnx D．y=e x5．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0 D．3x±4y=06．（5分）已知函数．命题p：∃a∈R，f（x）是奇函数；命题q：∀a∈R，f（x）在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（）A．¬p B．p∧q C．（¬p）∧q D．p∧（¬q）7．（5分）已知a，b，c均为直线，α，β为平面．下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a与一个平面α，则平面α内必存在与a垂直的直线；（2）任意给定的三条直线a，b，c，必存在与a，b，c都相交的直线；（3）α∥β，a⊂α，b⊂β，必存在与a，b都垂直的直线；（4）α⊥β，α∩β=c，a⊂α，b⊂β，若a不垂直c，则a不垂直b．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）若集合P具有以下性质：①0∈P，1∈P；②若x，y∈P，则x﹣y∈P，且x≠0时，∈P．则称集合P是“Γ集”，则下列结论不正确的是（）A．整数集Z是“Γ集”B．有理数集Q是“Γ集”C．对任意的一个“Γ集”P，若x，y∈P，则必有xy∈PD．对任意的一个“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，则必有二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|2x﹣1|＜1的解集是．10．（5分）已知等差数列{a n}满足a3+a4=12，3a2=a5，则a6=．11．（5分）将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b）（sinA﹣sinB）=（b+c）sinC，则A=．13．（5分）已知A={（x，y）||x+1|≤y≤2}，B={（x，y）|x+2y﹣a=0}，若A∩B≠∅，则实数a的最大值为．三、（极坐标与参数方程选讲）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程为，则直线l和曲线C的公共点有个．（几何选讲）15．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，且AD=2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F，若CD=，则EF=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）求函数f（x）的值域和单调递增区间．17．（12分）寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日天气小雨小雨阴阴转多云多云转阴销售量（件）白天39 33 43 41 54晚上42 46 50 51 61已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家．（1）画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2）从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变．假如明年花市5天每天下雨的概率为，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？（3）若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）条件下，你认为“值得投资”吗？18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，D为AC的中点，P为棱A1B上的动点．（1）探究：AP能否与平面A1BC垂直？（2）若AA1=，求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值．19．（14分）设数列{a n}满足a1=1，a1+a2+…+a n﹣1=a n﹣1（n≥2，n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足log a b n=a n（a＞1），求证：≤++…+．20．（14分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）过点（0，﹣2），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，ABD是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，求动点N（m，k）轨迹方程．21．（14分）设常数a＞0，λ∈R，函数f（x）=x2（x﹣a）﹣λ（x+a）3．（1）若函数f（x）恰有两个零点，求λ的值；（2）若g（λ）是函数f（x）的极大值点，求g（λ）的取值范围．广东省佛山市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈N|0＜x＜4}的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，即可得到结论．解答：解：A={x∈N|0＜x＜4}={1，2，3}，则A={1，2，3}，共3个元素，其子集个数为23=8个，故选：D点评：本题主要考查集合关系的应用，根据条件求出A，确定集合元素个数是解决本题的关键．2．（5分）若复数z满足（1﹣i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，然后求出在复平面上复数z对应的点的坐标，则答案可求．解答：解：由（1﹣i）z=（1+i）2，得，∴在复平面上复数z对应的点的坐标为：（﹣1，1），位于第二象限．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知向量=，=，则向量在方向上的投影为（）A．﹣3 B．C．D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为θ，求得cosθ=的值，只根据向量在上的投影为||•cosθ，计算求得结果．解答：解：由题意可得||=2，||=2，=0﹣6=﹣6，设向量与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴向量在上的投影为||•cosθ=2•（﹣）=﹣3，故选：A．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于基础题．4．（5分）不可能把直线作为切线的曲线是（）A．B．y=sinx C．y=lnx D．y=e x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：逐一求出四个选项中函数的导函数，由导函数等于求解x的值，不能求出x的即为不可能把直线作为切线的曲线．解答：解：对于A，由y=﹣，得：，由，得，解得：，∴直线可以作为曲线y=﹣的切线方程；对于B，由y=sinx，得：y′=cosx，∵cosx≤1，∴直线不可以作为曲线y=﹣的切线方程；对于C，由y=lnx，得：，由，得，∴直线可以作为曲线y=﹣的切线方程；对于D，由y=e x，得：y′=e x，由，得，∴直线可以作为曲线y=﹣的切线方程．∴不可能把直线作为切线的曲线是y=sinx．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．5．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0 D．3x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可用筛选，由4x±3y=0得，取a=3，b=4，则c=5，满足a+c=2b．解答：解：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c，右焦点到渐近线距离为b，所以有：a+c=2b，由4x±3y=0得，取a=3，b=4，则c=5，满足a+c=2b．故选：C．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）已知函数．命题p：∃a∈R，f（x）是奇函数；命题q：∀a∈R，f（x）在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（）A．¬p B．p∧q C．（¬p）∧q D．p∧（¬q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：判定命题p、q的真假，再根据复合命题真值表可得答案．解答：解：存在a=0，f（x）=ln（1﹣）=ln1=0既是奇函数又是偶函数，也存在a=2，使f（x）=ln（1﹣）=ln（1﹣）=ln（），因为f（﹣x）=ln（）=ln（）=﹣f（x）此时函数f（x）是奇函数，所以命题p为真命题，￢p为假命题，而当a=0，f（x）=ln（1﹣）=ln1=0没有单调性，所以命题q为假命题，￢q为真命题，故p∧（¬q）为真命题，故选：D．点评：本题借助考查复合命题的真假判断，考查了函数的奇偶性及单调质，解题的关键是熟练掌握复合命题的真假规律．7．（5分）已知a，b，c均为直线，α，β为平面．下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a与一个平面α，则平面α内必存在与a垂直的直线；（2）任意给定的三条直线a，b，c，必存在与a，b，c都相交的直线；（3）α∥β，a⊂α，b⊂β，必存在与a，b都垂直的直线；（4）α⊥β，α∩β=c，a⊂α，b⊂β，若a不垂直c，则a不垂直b．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间线线关系和线面关系定理对四个命题分别分析解答．解答：解：对于（1），任意给定一条直线a与一个平面α，根据线面垂直的性质或者所以定理可以得到，平面α内必存在与a垂直的直线；（1）正确；对于（2），当a∥b，且a，b⊂α，c∥α时，结论不成立；故（2）错误；对于（3），α∥β，a⊂α，b⊂β，只要与平面垂直的直线，必与直线a，b垂直；所以必存在与a，b都垂直的直线；（3）正确；对于（4），若b⊥c⇒b⊥α⇒b⊥a，故（4）错误．故真命题的个数为2个；故选：B．点评：本题考查了空间线线关系以及线面关系的判断，用到了面面平行和面面垂直的性质定理．8．（5分）若集合P具有以下性质：①0∈P，1∈P；②若x，y∈P，则x﹣y∈P，且x≠0时，∈P．则称集合P是“Γ集”，则下列结论不正确的是（）A．整数集Z是“Γ集”B．有理数集Q是“Γ集”C．对任意的一个“Γ集”P，若x，y∈P，则必有xy∈PD．对任意的一个“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，则必有考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．当x=2时，∉Z，即可判断出正误；B．∀x，y∈P，则x﹣y∈P，且x≠0时，∈P，即可判断出正误；C．由已知可得：∀x，y∈P，则x﹣y∈P，可得x+y∈P．若x，y中有0或1时，显然xy∈P．下设x，y均不为0，1．由定义可知：x﹣1，，∈P．可得∈P．从而得到x2∈P．2xy=（x+y）2﹣x2﹣y2∈A．于是∈P．=∈P，可得xy∈P．D．对任意的一个“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，则∈P，由C可知：必有=，即可判断出正误．解答：解：A．当x=2时，∉Z，所以整数集Z不是“Γ集”；B．∀x，y∈P，则x﹣y∈P，且x≠0时，∈P，因此有理数集Q是“Γ集”；C．由已知可得：∀x，y∈P，则x﹣y∈P，取x=0，可得﹣y∈P，∴x﹣（﹣y）=x+y∈P．若x，y中有0或1时，显然xy∈P．下设x，y均不为0，1．由定义可知：x﹣1，，∈P．∴∈A，即∈P．∴x（x﹣1）∈P．因此x（x﹣1）+x∈P，即x2∈P．同理可得y2∈P．若x+y=0或x+y=1，则显然（x+y）2∈P．若x+y≠0，或x+y≠1，则（x+y）2∈P．∴2xy=（x+y）2﹣x2﹣y2∈A．∴∈P．=∈P，∴xy∈P．即C为真命题．D．对任意的一个“Γ集”P，若x，y∈P，且x≠0，则∈P，由C可知：必有=，因此正确．综上可知：只有A不正确．故选：A．点评：本题考查了新定义、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|2x﹣1|＜1的解集是（0，1）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用绝对值不等式的等价形式，转化求解即可．解答：解：不等式|2x﹣1|＜1⇔﹣1＜2x﹣1＜1，⇔0＜2x＜2⇔0＜x＜1．∴不等式|2x﹣1|＜1的解集是：（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力．10．（5分）已知等差数列{a n}满足a3+a4=12，3a2=a5，则a6=11．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得首项和公差的方程组，解方程组由等差数列的通项公式可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=12，3a2=a5，∴2a1+5d=12，3（a1+d）=a1+4d，联立解得a1=1，d=2，∴a6=a1+5d=11故答案为：11点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及方程组的解法，属基础题．11．（5分）将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为20．考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：先选出2个小球，放到对应序号的盒子里，由组合数公式可得其不同的放法数目，而其余的3个球的编号与盒子的不同，易得其不同的放法，由分步计数原理计算可得答案．解答：解：先选出2个小球，放到对应序号的盒子里，有C52=10种情况，其余的3个球的编号与盒子的不同，其中第一个球有2种放法，第二个小球有1种放法，第三个小球也只有1种放法，则其余的3个球有2×1×1=2种不同的放法，故5个球共有10×2=20种不同的放法，故答案为：20．点评：本题考查两个计数原理的综合运用，解题的关键在于用“先选出2个小球，放到对应序号的盒子里”来满足“恰好有两个球的编号与盒子的编号相同”的条件限制．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b）（sinA﹣sinB）=（b+c）sinC，则A=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦正理化简已知等式可得：b2+c2﹣a2=﹣bc，由余弦定理可得求得cosA=﹣，结合A的范围，即可求得A的值．解答：解：利用正弦正理可知：（a+b）（sinA﹣sinB）=（b+c）sinC⇒（a+b）（a﹣b）=（b+c）c⇒b2+c2﹣a2=﹣bc，∴，∵A∈（0，π），∴．故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于基础题．13．（5分）已知A={（x，y）||x+1|≤y≤2}，B={（x，y）|x+2y﹣a=0}，若A∩B≠∅，则实数a的最大值为5．考点：交集及其运算；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：集合．分析：集合A中不等式变形后，在平面直角坐标系画出图形，根据图形得出目标函数a=x+2y表示的平行直线系经过可行域上的点A（1，2）时，a取得最大值，求出a最大值即可．解答：解：由A中不等式变形得：，整理得：，集合A={（x，y）||x+1|≤y≤2}的元素（x，y）是如右图所示的阴影部分，∵A∩B≠∅，∴目标函数a=x+2y表示的平行直线系经过可行域上的点A（1，2）时，a取最大值为1+2×2=5．故答案为：5点评：此题考查了交集及其运算，利用了数形结合的思想，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．三、（极坐标与参数方程选讲）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程为，则直线l和曲线C的公共点有1个．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程化为普通方程，得到方程表示一条直线．把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，表示一个圆．圆心到直线的距离等于半径，可得直线和圆相切，从而得到结论．解答：解：把直线l的参数方程（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x﹣y+4=0，表示一条直线．曲线C的极坐标方程为，即ρ2=4ρ（+），即x2+y2=4y+4x，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，表示以（2，2）为圆心，以r=2为半径的圆．圆心到直线的距离等于d==2=半径r，故直线和圆相切，故直线l和曲线C的公共点的个数为1，故答案为1．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判定，属于基础题．（几何选讲）15．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，且AD=2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F，若CD=，则EF=．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题；推理和证明．分析：AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．利用射影定理可得CD2=AD•DB．已知AD=2DB，得DB=1，已知E为AD的中点，可得ED=1．在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE．利用△ACE∽△FBE可得：EA•EB=EC•EF，即可求得EF．解答：解：在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，∴CD2=AD•BD=2BD2=2，∴DB=1，∵E为AD的中点，∴AE=ED=1，∴，又△ACE∽△FBE，∴．故答案为：．点评：熟练掌握圆的性质、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）求函数f（x）的值域和单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过三角函数的恒等变换把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步求出函数的值．（2）利用（1）的函数的解析式，利用整体思想求函数的单调区间．解答：解：（1）==2（）=2sin（2x+），所以：f（）=2sin（）=1；（2）由于f（x）=2sin（2x+），所以函数f（x）的值域为：[﹣2，2]．令：，整理得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的值域，利用整体思想求函数的单调区间，主要考查学生的应用能力．17．（12分）寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日天气小雨小雨阴阴转多云多云转阴销售量（件）白天39 33 43 41 54晚上42 46 50 51 61已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家．（1）画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2）从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变．假如明年花市5天每天下雨的概率为，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？（3）若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）条件下，你认为“值得投资”吗？考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）根据表中10个销售数据，可得茎叶图，从而求出这组数据的中位数；（2）设明年花市期间下雨天数为X，则X～B（5，），估计明年花市可能有1天为下雨天，4天为非雨天，即可得出结论；（3）确定利润大于500元时Y的取值为480或500，求出相应的概率，即可得出结论．解答：解：（1）茎叶图如图所示，中位数=44.5（2）设明年花市期间下雨天数为X，则X～B（5，），∴E（X）=5×=1，∴估计明年花市可能有1天为下雨天，4天为非雨天，∴推测花市期间所租档口大约能售出的精品数位1×80+4×100=480件；（3）设花市期间所租档口获得利润为L元，则L=3Y﹣900，由3Y﹣900＞500得Y＞＞460，∴利润大于500元时Y的取值为480或500，由（2），P（Y=480）+P（Y=500）=+=＞0.6，∴在（2）条件下，认为“值得投资”．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，考查了中位数的计算问题，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，D为AC的中点，P 为棱A1B上的动点．（1）探究：AP能否与平面A1BC垂直？（2）若AA1=，求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）假设AP能与平面A1BC垂直，则AP⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，可得BC⊥平面AA1B，因此BC⊥AB，与已知∠ABC=120°矛盾，即可判断出结论；（2）设点E是A1C1的中点，分别以DB，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），则，可得，取平面BDB1的法向量为=（0，1，0）．利用===即可得出．解答：解：（1）假设AP能与平面A1BC垂直，则AP⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，又AA1∩AP=A，可得BC⊥平面AA1B，∴BC⊥AB，与已知∠ABC=120°矛盾，因此假设不成立，故P在棱A1B上的什么位置：不可能有AP⊥平面A1BC垂直．（2）设点E是A1C1的中点，分别以DB，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），B（1，0，0），A（0，﹣，0），A1．=（1，0，0），=，设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），则，取=，取平面BDB1的法向量为=（0，1，0）．∴===．点评：本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的计算公式、反证法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）设数列{a n}满足a1=1，a1+a2+…+a n﹣1=a n﹣1（n≥2，n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足log a b n=a n（a＞1），求证：≤++…+．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）将表达式a1+a2+…+a n﹣1=a n﹣1（n≥2，n∈N*）两边都加上a n，得S n=2a n﹣1，从而a n=S n ﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，即得通项公式；（2）确定）b n=，化简++…+=﹣．即可证明结论．解答：解：（1）∵a1+a2+…+a n﹣1=a n﹣1（n≥2，n∈N*），∴a1+a2+…+a n﹣1+a n=2a n﹣1，即S n=2a n﹣1，∴a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1，又a1=1，∴a n=1×2n﹣1=2n﹣1；（2）数列{a n}满足log a b n=a n（a＞1），∴b n=，∴=﹣，∴++…+=﹣，∵{﹣}是一个递增数列，∴＞0，﹣≥﹣=，∴≤﹣＜，∴≤++…+．点评：本题考查数列的通项公式，递推公式，对表达式的灵活变形是解题的关键，属于中档题．20．（14分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）过点（0，﹣2），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，ABD是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，求动点N（m，k）轨迹方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知得b和，结合隐含条件a2=b2+c2求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意求出A，B，D的坐标，得到直线AD的方程，再设出直线BP方程，联立两直线方程求得P的坐标，联立直线BP的方程与椭圆方程求得M的坐标，再由M，D，Q三点共线求得Q的坐标，代入两点求斜率公式得到直线PQ的斜率，整理后即可得到关于k，m的等式，则可求得点N（m，k）的轨迹方程．解答：解：（1）依题意，b=2，=，又a2=b2+c2，∴5a2=9c2=9（a2﹣b2）=9a2﹣36，即a2=9．∴椭圆E的方程为：+=1；（2）由（1）知，A（﹣3，0），B（3，0），D（0，2），∴直线AD的方程为y=x+2，由题意，直线BP的方程为y=k（x﹣3），k≠0且k，由，解得P（，），设M（x1，y1），则由，消去y整理得（9k2+4）x2﹣54k2x+81k2﹣36=0．∴3x1=，即x1=，即M（，﹣），设Q（x2，0），则由M，D，Q三点共线得：k DM=k DQ，即=，∴x2=，则Q（，0），∴PQ的斜率m==．∴3k+2=6m，即点N（m，k）的轨迹方程为6x﹣3y﹣2=0．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线和圆锥曲线位置关系的应用，（2）的求解着重体现了“设而不求”和整体运算思想方法，属中档题．21．（14分）设常数a＞0，λ∈R，函数f（x）=x2（x﹣a）﹣λ（x+a）3．（1）若函数f（x）恰有两个零点，求λ的值；（2）若g（λ）是函数f（x）的极大值点，求g（λ）的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）分类讨论，当λ=1时，f（x）=x2（x﹣a）﹣（x+a）3=﹣a（4x2+3ax+a2）；由二次函数的性质判断；当λ≠1时，则必有一个零点是极值点；不妨设该零点为x0，从而可得f（x0）=x02（x0﹣a）﹣λ（x0+a）3=0，再求导得f′（x0）=3x02﹣2ax0﹣3λ（x0+a）2=0，从而解得x0=0或x0=；再检验即可；（2）求导f′（x）=3x2﹣2ax﹣3λ（x+a）2=3（1﹣λ）x2﹣2a（1+3λ）x﹣3λa2，分类讨论；①当λ=1时，f′（x）=﹣8ax﹣3a2；从而确定极大值点g（λ）=﹣a；②当λ≠1时，1﹣λ≠0，令△=4a2（1+3λ）2+36（1﹣λ）λa2=4a2（1+15λ），讨论二次项系数及判断式的正负以确定f′（x）的正负，从而确定极大值点g（λ）；可得λ＞﹣且λ≠1时，g（λ）=a；再利用换元法令=t，则λ=，（t＞0且t≠4）；从而得g（λ）=h（t）=a；从而求取值范围．解答：解：（1）当λ=1时，f（x）=x2（x﹣a）﹣（x+a）3=﹣a（4x2+3ax+a2）；∵﹣a＜0，△=（3a）2﹣16a2=﹣7a2＜0，∴f（x）＜0恒成立；故没有零点；当λ≠1时，函数f（x）恰有两个零点；则必有一个零点是极值点；不妨设该零点为x0，则f（x0）=x02（x0﹣a）﹣λ（x0+a）3=0，即x02（x0﹣a）=λ（x0+a）3，①又f′（x）=3x2﹣2ax﹣3λ（x+a）2故f′（x0）=3x02﹣2ax0﹣3λ（x0+a）2=0，②由①②化简可得，x0=0或x0=；经检验，当x0=0时成立，此时λ=0；当x0=时也成立，此时λ=﹣；故λ=0或λ=﹣；（2）∵f′（x）=3x2﹣2ax﹣3λ（x+a）2=3（1﹣λ）x2﹣2a（1+3λ）x﹣3λa2；①当λ=1时，f′（x）=﹣8ax﹣3a2；则x＜﹣a时，f′（x）＞0，x＞﹣a时，f′（x）＜0；故g（λ）=﹣a；②当λ≠1时，1﹣λ≠0，令△=4a2（1+3λ）2+36（1﹣λ）λa2=4a2（1+15λ），（i）当λ≤﹣时，1﹣λ＞0且△≤0，故f′（x）≥0，函数f（x）是R上的增函数，函数f（x）无极值点；（ii）当﹣＜λ＜1时，1﹣λ＞0且△＞0，由f′（x）=0解得，x1=a，x2=a；注意到x1＜x2，且x＜x1时，f′（x）＞0，x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，x＞x2时，f′（x）＞0；故g（λ）=a；（iii）当λ＞1时，1﹣λ＜0且△＞0，由f′（x）=0解得，x1=a，x2=a；注意到x1＞x2，且x＜x2时，f′（x）＜0，x2＜x＜x1时，f′（x）＞0，x＞x1时，f′（x）＜0；故g（λ）=a；综上所述，λ＞﹣且λ≠1时，g（λ）=a；令=t，则λ=，（t＞0且t≠4）；将λ=代入g（λ）=a得，g（λ）=h（t）=a；当λ=1时，t=4，g（λ）=﹣a，上式也成立；∵h（t）=a=（﹣1+）a是（0，+∞）上的减函数，由t＞0得﹣a＜h（t）＜，即g（λ）的取值范围是（﹣a，）．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，本题难点在于分类讨论的情况比较多，讨论的依据也比较多，属于难题．。
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广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编
平面向量
1（2015届潮州市）已知)2,1(-A ，)1,(-a B ，)0,(b C -三点共线，其中0,0>>b a ，则
b
a 21+的最小值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 2（2015届佛山市）已知向量a ()32, 0-=，b ()
3, 1=，则向量a 在b 上的投影为（ ）
A ．3-
B ．3-
C ．3
D ．3 3（2015届广州市）设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a
是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=
A .0
B .9
C .18
D .36
4（2015届广州市）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ． 5（2015届惠州市）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( )
A ．3
B ．7
C ．19
D ．23
6（2015届揭阳市）设向量(1
2)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为
A ．
43 B ．413 C ．49
- D ．4 7（2015届茂名市）在△ABC 中,5
4sin =A ,6=∙AC AB ,则△ABC 的面积为（ ）. A ．3 B ．125 C ．6 D ．4 8（2015届深圳市）平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =-b ，若a // b ，则x 等于
A ．4
B ．4-
C ．1-
D ．2
9（2015届湛江市）若平面向量()1,2a =-与b 的夹角是0180，且53||=b ，则b 的坐标
为（ ）．
A ．)6,3(-
B ．)6,3(-
C ．)3,6(-
D ．)3,6(- 10（2015届肇庆市）已知向量)4,2(=a ，)1,1(-=b ，则=-b a 2
A ．（3，7）
B ．（3，9）
C ．（5，7）
D ．（5，9） 答案：D A C 5- B A D A B C。