【精品】PPT课件 一致收敛性及其判别法含参量反常积分的性质
1905含参量反常积分一致收敛性的定义和判别
函数项级数.
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
设函数 f ( x, y)定义在无界区域 R= I ×[c, + ∞)上,
其中I是任意区间. 若∀x ∈ I , 反常积分
+∞
∫ c f ( x, y) dy
(1)
都收敛，则它的值是区间 I 上的函数.
记这个函数为 Φ ( x), 则有
+∞
= Φ ( x) ∫ c f ( x, y) dy x ∈ I
∫ A2 f ( x, y) dy < ε . A1
(3)
定理19.8
+∞
含参量反常积分 ∫c f ( x, y)dy 在I上一致收敛的充
要条件是
+∞
∫ lim F (A)= lim sup f ( x, y) dy =0.
A→∞
A→∞ x∈I A
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
§2 含参量反常积分
二、含参量反常积分的 性质
*点击以上标题可直接前往对应内容
§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
性质
含参量无界函数的反常积分
第五讲
含参量反常积分 一致收敛性的定义和判别
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
§2 含参量反常积分
一致收敛性及其判别法
含参量反常积分的性质
一致收敛性及其判别法
(2)
称(1)为定义在 I 上的含参量 x 的无穷限反常积分,
或称含参量反常积分.
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
后退 前进 目录 退出
§2 含参量反常积分
一致收敛性及其判别法
一致收敛性及其判别法(22页)
单调递减且当 y ? ?? 时，对参量 x ,g (x, y) 一致
???
地收敛于 0 ， 则 f(x,y)g(x,y)dy c
在 [a,b ] 上一致收敛.
首页 ×
阿贝尔判别法 设
? ⑴
??
f(x,y)dy 在 [ a,b ] 上一致收敛.
c
⑵ 对每一个固定的 x ∈[a, b]，函数 g (x, y) 为 y
首页 ×
定理19.12 设 f(x,y)在
[a,?? )? [c,?? )上连续.若
??? f(x,y)dx 关于 y在任何闭区间
[c,d ]上一致收敛，
a
??? f(x,y)dy 关于 x在任何闭区间 [a ,b]上一致收敛， c
? ? ? ? ??
??
积分 dx | f(x,y)|dy
a
c
与
?? dy ?? | f(x,y)|d x
c
a
中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且
? ? ? ? ??
??
??
??
dx f(x,y)dy ? dy f(x,y)dx
a
c
c
a
首页 ×
例5 计算
? I ?
?? 0
e? px
sinbx ? sinax x
dx
(p ? 0,b ? a)
例6 计算
? I ?
?? sinax dx 0x
例7 计算
? ? (r)? ?? e? x2 cosrxdx 0
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
? ? ? 0,?N (?,x)? c, 使得 ? M ? N ,
?| M c
f(x,y)dy ? I(x)|? ?
数学分析课件 一致收敛性资料讲解
列(1)在点 x0 发散. 当函数列(1)在数集 D E上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每
一点 x 都有数列 { fn( x)}的一个极限值与之相对应 ,
根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数
列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
lim
n
fn(x)
f (x) ,
xD
前页 后页 返回
或 fn(x) f (x) (n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
0, | x | 1,
f
(
x)
1,
x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时,就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2,L .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), L , fn( x0 ), L .
(2)
前页 后页 返回
如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 x0 收敛, x0 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数
数学分析课件：20-2含参量的反常积分的一致收敛
§20.2 含参量的反常积分的 一致收敛
本节研究形如
c f ( x, y)dy
d
f ( x, y)dy,
(d 为瑕点)
c
的含参变量广义积分的连续性、可微性与 可积性.
只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可 类似处理.
一、含参量反常积分的定义
设f ( x, y)定义在无界区域 R [a,b][c,)上,
收敛于0,
则含参量反常积分
f ( x, y)g( x, y)dy
c
在[a, b]上一致收敛 .
5. Abel 判别法
若
(i) f ( x, y)dy 在[a,b]上一致收敛; c
(ii) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数, 且对参量x, g( x, y)在[a,b]上一致有界 ,
含参量反常积分 f ( x, y)dy在[a,b]上一致 c
收敛的充要条件是:
对任一趋向于 的递增数列{An }(其中A1 c), 函数项级数
n1
An1 An
f ( x, y)dy
un ( x)
n1
在[a, b]上一致收敛 .
证 只证明必要性
3. Weierstrass判别法
设有函数g( y), 使得 f ( x, y) g( y),a x b,c y .
若 g( y)dy 收敛, 则 f ( x, y)dy 在[a, b]上
c
c
一致收敛.
4. Dirichlet 判别法
N
若 (i) N c,含参量正常积分 c f ( x, y)dy
对参数x在[a , b]上一致有界 ,
(ii) x [a,b],函数g( x, y)关于y是单调递减
函数项级数的一致收敛性及基本性质ppt课件
.
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
n1
.
练习题答案 一1、 .取自然 N数 x．
二、一致收敛．
.
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
故 数 列nn q1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M (n1,2,) x1
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包 含端点．
.
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1
R 0 ，则其和函数s(x) 在( R, R) 内可导，且
有逐项求导公式
s( x )
an xn
n1
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
含参量反常积分一致收敛的判别法王 明 星（德州学院数学科学学院,山东德州 253023）摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握.关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法.1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念1.1 含参量无穷限反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰,[],x a b ∈称(,)cf x y dy +∞⎰为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分.1.2 含参量无穷限反常积分收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x 对每一个固定的[],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有(,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰,即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上收敛于()I x .1.3 含参量无穷限反常积分一致收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x 对任给的正数ε,存在某一实数N c >,使得M N >时,对一切[],x a b ∈,都有 (,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛于()I x .1.4 含参量无穷限反常积分非一致收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x ,总存在正数0ε,对任意给定的实数N c >,总存在M N >及[]0,x a b ∈,使得 000(,)()Mcf x y dy I x ε-≥⎰,即00(,)Mf x y dy ε+∞≥⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上非一致收敛于()I x .2 含参量无穷限反常积分一致收敛的判别法2.1 用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收敛性用定义证一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ,方法常常是采取适当放大的方法.例1 证明 无穷积分dx ye xy ⎰+∞-0在区间[),a +∞()0a >一致收敛,而在()0,+∞上非一致收敛.证明 Ay Ayt Axy e dt e xy t dx ye y -+∞-+∞-==+∞∈∀⎰⎰令),,0(,对0ε∀>,取yA ε1ln0=,则0A A >∀,有0A y xy Ay Aye dx e e ε+∞---=<<⎰,因此,dx ye Axy ⎰+∞-在（0,+∞）是收敛的.根据定义4,要想证明dx yeAxy⎰+∞-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的,只需取0ε=e 21,,0>∀A 取),0(21,2''+∞∈=>=Ay A A A ,则01''''ε>==--+∞-⎰e e dx e y y A Axy . 但dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞a 一致收敛（其中0a >）,,取aA ε1ln0=,当0A A >时,对一切[)+∞∈,a y ,有ε=<=--+∞-⎰a A AyAxy e e dx ye 0. 所以,dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞∈a y （其中0>a ）上一致收敛.2.2 用柯西准则证明含参量无穷限反常积分一致收敛性和非一致收敛性定理1（柯西准则）反常积分dx y x f a⎰+∞),(在区间[]()d c y I ,∈一致收敛0ε⇔∀>,00A ∃>,10A A ∀>与20A A >,y I ∀∈,ε<⎰21),(A A dx y x f .例2 证明 若(),f x y 在[][),,a b c ⨯+∞上连续,又(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上收敛,但在x b =处发散,则(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上不一致收敛.证 用反证法.假若积分在[),a b 上一致收敛,则对于任给0ε>,总存在M c >,当1A ,2A M >时对一切[),x a b ∈恒有()21,A A f x y dy ε<⎰.由假设(),f x y 在[][]12,,a b A A ⨯上连续,所以()21,A A f x y dy ⎰是x 的连续函数.在上面不等式中令x b →,得到当21A A M >>时,()21,A A f b y dy ε≤⎰.而ε是任给的,因此(),cf x y dy +∞⎰在x b =处收敛,这与假设矛盾.所以积分(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上不一致收敛.2.3 用魏尔斯特拉斯判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理2（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()g y ,使得()(),f x y g y ≤,a x b ≤≤,c y ≤<+∞若()cg y dy +∞⎰收敛,则反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在区间[],a b 一致收敛.例3 证明含参量反常积分()320cos a u tetdt +∞-+⎰,0a >在[)0,u ∈+∞上一致收敛.证 对于任何()[)[),0,0,u t ∈+∞⨯+∞,有()322cos a u tat et e -+-≤而20at e dt +∞-⎰在0a >时收敛,故由维尔斯特拉斯判别法知()320cos a u tetdt +∞-+⎰在[)0,u ∈+∞上一致收敛.使用维尔斯特拉斯判别法,关键在于将被积函数的绝对值(,)f x u 适当地放大,以找出函数()F x （优函数）,使()(,)(),f x u F x x a u I ≤∀≥∀∈且()⎰+∞adx x F收敛,则()⎰+∞adx u x f ,关于u 在I 上一致收敛.2.4 利用变上限积分的有界性判定含参量无穷限反常积分的一致收敛性维尔斯特拉斯判别法是判别某些反常积分一致收敛性的很简便的判别法,但这种方法有一定的局限性：凡能用维尔斯特拉斯判别法判别无穷积分是一致收敛,此无穷积分必然是绝对收敛；如果反常积分是一致收敛,同时又是条件收敛,那么就不能用维尔斯特拉斯判别法来判别.对于这种情况,有如下定理定理3 若函数),(y x f 在区间)0(),,(>∈+∞<≤a I y x a D 连续,且dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界,即,),(,0D y x C ∈∀>∃都有C dt y t f y x F xa≤=⎰),(),(,则当0>λ时,反常积分dx xy x f a⎰+∞λ),(在区间I 一致收敛.分析 )i dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界)ii 1xλ在0>λ时是单调递减的,明显的满足狄利克雷判别法的条件.证 )i 由已知dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界,即(),,C O x y D ∃>∀∈,都有C dt y t f y x F xa≤=⎰),(),(.)ii 对每一个y I ∈,1x λ关于x 是单调递减且当x →+∞时,对参变量y,1x λ一致收敛于0,则由狄利克雷判别法可知含参量反常积分dx x y x f a⎰+∞λ),( 在区间I 一致收敛.例4 证明反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.证 由题可知tdt e y x F xyt sin ),(1⎰-=,)0,1(),(+∞<≤+∞<≤∈∀y x D y x 从而有)(01)1(2),(2+∞→→++≤-y e yy y x F y, 而1sin yt e tdt -⎰是定积分,必然有界.即存在C ,(),x y D ∀∈有sin xyt e tdt C -≤⎰ 又10λ=>,则由定理3可知反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.2.5 用确界法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性和非一致收敛性在知道反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上的收敛值()y ϕ时,可应用下述定理定理4 含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ的充要条件是0)(),(sup lim =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎰∈+∞→ξξφa Iy y dx y x f . (1)证 [必要性] 若dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ,则对任给的正数ε,存在不依赖于x 的正整数N ,当n N >时,有()(),af x y dx y ϕε+∞-<⎰,y I ∀∈.由上确界的定义,亦有()()sup,y Iaf x y dx y ϕε+∞∈-≤⎰.这就证明了(1)式成立.[充分性] 由假设,对任给的0ε>,存在正整数N ,使得当n N >时,有()()sup,y Iaf x y dx y ϕε+∞∈-<⎰ （2）因为对一切y I ∈,总有()()()(),sup ,y Iaaf x y dx y f x y dx y ϕϕ+∞+∞∈-≤-⎰⎰.故由（2）式得()(),af x y dx y ϕε+∞-<⎰.于是dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ.例 5 证明反常积分dx yx y⎰+∞+0221关于y 在)0(),,[>+∞c c 上的一致收敛性和),0(+∞内的非一致收敛性.解 显然dx yx y⎰+∞+0221关于y 在),0(+∞内收敛于2π （事实上22lim 1AA y dx x y →∞+⎰=()0lim arctan AA xy →∞∣=()lim arctan arctan 0A Ay →∞-=2π）. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎰≥+∞→ξξπ02221sup lim dx y x y c y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥+∞→ξπξy c y arctan 2sup lim=0)arctan 2(lim =-+∞→ξπξc ,而⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎰>+∞→ξξπ022021sup lim dx y x y y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧->+∞→ξπξy y arctan 2sup lim 0=22limππξ=+∞→.由定理4,得dx yx y⎰+∞+0221 关于y 在),[+∞c ,()0c >上一致收敛于2π,在),0(+∞内非一致收敛. 定理 5 含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于)(y φ的充要条件是：对任意{}[):,+∞∈a n ξ{}),2,1(:,lim =∈⊂+∞=∞→n I y I y n n n n ξ,都有 0)(),(lim=-⎰+∞→nan nn y dx yx f ξφ.例6 试证dx y x y⎰+∞+12)(关于y 在),0(+∞内非一致收敛. 证明 显然dx y x y⎰+∞+12)( 关于y 在),0(+∞内收敛于yy+1.取),,2,1(, ===n n y n n n ξ那么就有),,2,1)(,0(,lim =+∞∈+∞=+∞→n y n n n ξ但是2121lim lim 1)(lim12==+=+-+∞→∞→∞→⎰n n n n n n n n n n y y y y dx y x y nξξ由定理5,()dx y x y⎰+∞+12关于y 在()+∞,0内非一致收敛.2.6 用狄利克雷判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理6 （狄利克雷判别法）设 )i 对一切实数0>N ,含参变量反常积分()⎰Ncdx y x f ,对参变量y 在[]b a ,上一致有界,即存在正数M ,对一切c N >及一切[]b a y ,∈,都有()M dx y x f Nc≤⎰,；)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,关于x 是单调递减且当+∞→x 时,对参变量y ,()y x g ,一致地收敛于0,则含参变量反常积分()()dx y x g y x f c,,⎰+∞在[]b a ,上一致收敛.例7 对于()0,1a ∀∈,讨论含参量反常积分sin 10a x xdx x +∞+⎰的一致收敛性.解 )i 对于0A ∀>,都有sin 2Axdx ≤⎰.)ii 因为()()'12101010a x a x x x x x -=+-⎡⎤⎣⎦++⎛⎫ ⎪⎝⎭,当101ax a>-时,'010x x <+⎛⎫ ⎪⎝⎭,即10ax x +在10,1a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减,并且lim 010ax x x →+∞=+.因此由狄利克雷判别法可知,含参量反常积分101sin 10a a ax xdx x +∞-+⎰对()0,1a ∀∈是一致收敛的.而在100,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦上是定积分,必收敛,则对()0,1a ∀∈是一致收敛的. 所以含参量反常积分sin 10a x xdx x +∞+⎰对()0,1a ∀∈是一致收敛的.2.7 用阿贝尔判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理7 （阿贝尔判别法）设)i ()dx y x f c⎰+∞,在[]b a ,上一致收敛;)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,为x 的单调函数,且对参变量y ,()y x g ,在[]b a ,上一致有界,则含参变量反常积分()()⎰+∞cdx y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛.例8 证明含参变量反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在[]d ,0上一致收敛.证明 由于反常积分dx x x⎰+∞sin 收敛,（当然,对于参变量y ,它在[]d ,0一致收敛）,函数()xy e y x g -=,对每一个[]d x ,0∈单调,且对任何d y ≤≤0,0≥x ,都有()1,≤=-xy e y x g ,故由阿贝尔判别法即得含参变量反常积分dx xxe xy⎰+∞-0sin在[]d ,0上一致收敛.推论 1 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞⨯上,且对y 的偏导数(,)y f x y 存在.若下列条件满足1）对每一个[],y c d ∈,反常积分(),af x y dx +∞⎰收敛；2）存在常数0M >,使得对任意0b >及所有的[],y c d ∈,恒有 (),by af x y dx M ≤⎰,即(),by af x y dx ⎰关于b 及[],y c d ∈一致有界.则含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.证明 由于[],c d 为有限闭区间.根据有限覆盖定理,对任给的0ε>,一定存在有限个点011n n c y y y y d -=<<⋅⋅⋅<<=,使得[][]11,,n i i i c d y y -==且1i i y y ε--<.由于反常积分(),af x y dx +∞⎰收敛,于是对任给的()1,2,,i y i n =⋅⋅⋅,都存在()0,i A y ε,使得对任给的()10,,i A A A y ε>有()1,,1,2,,A i Af x y dx i n ε<=⋅⋅⋅⎰（3）另一方面,对任意的[],y c d ∈,一定存在一点i y ,使得i y y ε-<.令(){}00max ,,1,2,,i A A y i n ε==⋅⋅⋅,则0A 只与ε有关.同时对任意的10,A A A >,式（3）必然成立.于是根据微分学中值定理及式（3）有()1,A Af x y dx⎰()()()()1,,,A iiAf x y f x y f x y dx =-+⎰()()()()11,,,A A i i A Af x y f x y dx f x y dx ≤-+⎰⎰()()()11,,A A y i i AAf x y y dx f x y dx ξ=-+⎰⎰()()()1,,21AA y y i aaf x dx f x dx y y M ξξεε⎛⎫≤+-+≤+⎪⎝⎭⎰⎰即含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.如果将推论1中的条件1）变弱,则条件2）会变强.得如下推论推论 2 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞⨯上,且关于[],y c d ∈可微.若满足如下条件1）存在一点[]0,y c d ∈,使得反常积分()0,af x y dx +∞⎰收敛；2）反常积分(),y af x y dx +∞⎰于[],y c d ∈一致收敛. 则含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.例9 判断含参量反常积分22cos2xe xydx α+∞-⎰在(),y ∈-∞+∞范围上的一致收敛性,其中0α>.解 由于对固定的y R ∈,当x →+∞时,222222cos 2cos 20x x x x exy xy eαα-=→,于是对固定的y R ∈,广义积分22cos2xe xydx α+∞-⎰收敛.另一方面,考虑积分()22,2sin 2xy f x y dx xe xydx α+∞+∞-=-⎰⎰,这里()22,cos 2xf x y e xy α-=.由于当x →+∞时,()222232,sup sin 20x x y x x xexy eαα-∈-∞+∞⋅=→.从而有(),y af x y dx +∞⎰在(),y ∈-∞+∞上一致收敛,由推论2知,22cos2xe xydx α+∞-⎰在(),y ∈-∞+∞范围上的一致收敛.总之,判断含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法多种多样,关键在于理解它们各自应用的范围及其相互联系,以达到灵活应用.参考文献:[1]贺自树.一致收敛教学的探讨[J].重庆师范学院学报（自然科学版）,1998(15)：66-78.[2]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992.[3]华东师范大学数学系编. 数学分析第三版下册[M].北京:高等教育出版社,2001. [4]吕通庆.一致连续与一致收敛[M].北京:人民教育出版社,1982.[5]刘玉琏.数学分析讲义练习题选解[M]. 北京:高等教育出社,1994(414). [6]钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京;崇文书局,2003(643).[7]徐晶.一种反常积分与正项级数收敛的判别法[J].邯郸师范学院学报,2005,8(3)：25-34.[8]温朝晖,李天胜,朱存斌.无穷积分敛散性的一个新的判别法[I].大学数学,2005,21（2).[9]张永锋.含参量反常积分的局部一致收敛与连续性[J].咸阳师范学院学报,2006,21（6）：59-70.[10]吴良森,毛羽辉,韩士安.数学分析学习指导书下册[M].北京：高等教育出版社,2009,9（2）.[11]孙清华等.数学分析内容、方法与技巧下[M].武汉：华中科技大学出版社,2003,5（1）：74-97.Criterions about the Convergence of Parameter ImproperIntegrationWang Mingxing(College of Mathematical Sciences in Dezhou , Shandong Dezhou 253023) Abstract: The convergence of parameter improper integral is to study and expression in particular non-primary function of a powerful tool.Based on the uniform convergence of parameter improper integral analysis and research, summarized several simple and effective method and the theorem of the discriminant of uniform convergence of parameter improper integral(Cauchy criterion, M criterion, Bound method, Dirichlet criterion and so on), So as to convenient to learn and master for uniform convergence of parameter improper integral.key words: Improper Integration;Uniform Convergence;criterion。
§13..2一致收敛性质ppt课件
9
0, N
0,n
N ,x I ,有 |
fn(x)
f ( x) |
, ba
故n N ,有
b
a
lim
n
fn( x)dx
b
b
b
| a fn( x)dx a f ( x)dx || a[ fn( x) f ( x)]dx |
b
|
a
fn(x)
f
( x) | dx
(b a) .
n1
cos n
3nx， n1
sin nx n4
,
n1
sin nx n2
在(,)上一致收敛.
f
'( x)
cos nx
3
n n1
f
"(
x)
n1
且 lim xa
fn ( x)
存在,
则有
lim
xa
lim
n
fn
(
x)
lim
n
lim
xa
fn( x);
若
f
n
(
x
)
在
(a
,
b)
上一致收敛,且
lim
xb
fn( x) 存在, 则有
lim
xb
lim
n
fn
(
x
)
lim
n
lim
xb
fn( x).
5
fn ( x)
f (x)
则 lim lim x x0 n
fn(x)
6
定理13.9的逆否命题：
若fn(x)的极限函数f(x)在I上不连续，则
I
fn ( x)
含参变量反常积分
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
则称含参量反常积分
f ( x, y)dy
c
在[a, b]一致收敛于I( x),
或含参量积分在[a, b]一致收敛.
由于
I( x) c f ( x, y)dy
所以上述定义中的不等式
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
0x
从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛，
函数 g( x, y) e xy 对每个 x ∈[ 0, d ]，关于变量 y
单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界：
| g( x, y) || e xy | 1, 0 y d , x 0
故由阿贝尔判别法，知 e xy sin xdx
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
其中 N 与 x 有关.如果存在一个与 x [a, b]
无关的 N ( ) 使得该不等式成立，就称
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
定义1. 若 0, N c, 使得当 M N 时，
对一切 x [a, b]，都有
sin xy
sinu
A
dy
du
y
Ax u
其中 A > 0.
由于 sinu du 收敛，故
0 u
0, M c，使得当 A M时，就有|
sinu du |
A u
取 N M ， 则当 A N 时 ， A M，
对一切 x [， )，有 Ax A M，
0
x
在[ 0, d ] 上一致收敛
二、含参量反常积分的性质
一致收敛级数的判别与性质
− nx) 。可知 un (x) 在 x
=
α
n
处达到最大值 ⎜⎛α
⎝e
⎟⎞α ⎠
1 nα
，即
0
≤
un
(
x)
≤
⎜⎛ ⎝
α
e
⎟⎞α ⎠
1 nα
， x ∈[0,+∞) 。
∑ 由 于
α
>1
，正项级数
∞ ⎜⎛ α
n=1 ⎝ e
⎟⎞α ⎠
1 nα
收敛，由
Weierstrass
判别法，
∞
∑ xα e−nx (α > 1) 在[0,+∞) 上一致收敛。
是单调的，且{an(x)}在 D 上一致有界： │an(x)│ ≤ M， x∈D，n∈N+ ；
∞
同时， ∑ bn (x) 在 D 上一致收敛。 n =1 ⑵ （Dirichlet 判别法）函数序列{an(x)}对每一固定的 x∈D 关于 ∞
n 是单调的，且{an(x)}在 D 上一致收敛于 0；同时，函数项级数 ∑ bn (x) n =1
m > n > N 与一切 x∈D，成立
∑ ∑ │ un+1(x) + un+2 (x) + " + um (x)│=
m
uk (x) −
k =1
n
uk (x)
k =1
<
ε 2
∞
固定 x∈D，则数项级数 ∑ un (x) 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设 n=1
∞
S(x) = ∑ un (x) ， x∈D， n=1
│ un+1 (x) + un+2 (x) + " + um (x)│ ≤ │ un+1 (x) │ + │ un+2 (x) │ + " + │um (x)│ ≤ an+1 + an+2 + " + am ，
函数项级数的一致收敛性课件
一致收敛性的判定准则
柯西准则
如果存在常数$M$，使得对于任意的$x in I$和任意的$n in mathbb{N}$，都有 $|f_n(x)| leq M$，则该级数在区间$I$上一致收敛。
狄利克雷-阿贝尔准则
如果存在一个非零函数$g(x)$，使得对于任意的$x in I$和任意的$n in mathbb{N}$，都有$|f_n(x)| leq g(x)$，并且$sum_{n=0}^{infty} g(x)$在区间 $I$上收敛，则该级数在区间$I$上一致收敛。
微分方程求解
一致收敛的函数项级数可以用来 求解某些微分方程，例如求解某 些初值问题和边值问题。
在实变函数中的应用
测度论
一致收敛的函数项级数在测度论中有重要应用，例如在证明某些测度的可积性和可测性 时需要用到一致收敛性。
积分方程
一致收敛的函数项级数可以用来求解某些积分方程，例如求解某些初值问题和边值问题 。
Part
03
一致收敛性的判定方法
柯西准则
柯西准则
如果对于任意的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，对于所有的$x$，都有$left| sum_{k=n}^{m} a_k(x) right| < varepsilon$，则函数项级数$sum_{k=0}^{infty} a_k(x)$在$mathbf{R}$上一 致收敛。
总结了几种常用的判别函数项 级数一致收敛的方法，包括柯 西准则、狄利克雷定理、阿贝 尔定理等，并给出了相应的证 明和实例。
探讨了函数项级数一致收敛性 与函数项级数项的连续性的关 系，证明了函数项级数一致收 敛时，其项的极限函数是连续 的。
通过几个具体的例子，展示了 函数项级数一致收敛性在解决 实际问题中的应用，如近似计 算、积分计算等。
反常积分敛散性的判别演示精品PPT课件
b
同时收敛或同时发散，且
b
a f ( x)dx a f ( x)dx b f ( x)dx.
5
例1 若 f ( x) h( x) g( x), x [a,) , f (x), g (x),
h(x) 在任意 [a, u]上可积, 且
f ( x)dx 和
g( x)dx
a
a
都收敛,则
1
f 2( x)dx 1
g2( x)dx
a
2
2a
2a
收敛,因此 f ( x)g( x) dx 收敛. a
推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 [a,u] 上可积, 且
lim f ( x) c. x g( x)
(i) 若 0 c ，则 f ( x)dx 与 g( x)dx 收敛性相同;
例3 设 f (x), g(x) 是 [a,) 上的非负连续函数. 证
明:若 f 2( x) dx 和 g2( x)dx 收敛,则
a
a
f ( x)g( x)dx 收敛. a
11
证 由于 f ( x)g( x) f 2( x) g2( x) , 而 2
f
2(x)
g2(x) dx
u
f ( x)dx
u
g( x)dx M .
a
a
由非负函数无穷积分的判别法,
f ( x)dx 收敛.
a
第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.
10
dx
例2 判别 1 5 x6 1 的收敛性.
解
显然
5
1 x6 1
1 x6
5
.
由于
dx 收敛,因此 1 x6 5
dx 收敛. 1 5 x6 1
第2讲 一致收敛级数的判别和性质
k n1
m
uk ( a ) , m n N 1 ,
k n1
m
uk ( b ) , m n N 2 ,
令 N=max N 1 ,N 2 , 则 m n N 时 ,上 两 式 子 同 时 成 立 . 由 (*),有
m
k n1
b
i 1
k
i
,
k 1、、 2 3......,
（ 1） ak 单 调 ； （ 2） B k 有 界 ： k M ( k 1、、 B 2 3......);
则
a
k 1
p
Hale Waihona Puke kb k M a 1 2 a p ). （
定 理 (Abel判 别 法 ),若 a n (x) b n( x ),满 足
n=1
证 明 : 由 bn ( x )在 D 上 的 一 致 收 敛 性 , 对 任 给 0， N N ( )， 使得m n N时，
m
k n1
bk ( x ) , x D
应 用 A bel引 理 , 得
k n1
m
a k ( x ) bk ( x ) ( a n 1 ( x ) 2 a m ( x ) ) 3 M , x D
一、一致收敛的判别 定 理 （ 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 的 C au ch y 收 敛 原 理 ） .
u
n=1
n
( x )在 D 上 一 致 收 敛 的 充 要 条 件 是 ：
对 任 给 0， N N ( )， 使 得 m n N 时 ， un 1 ( x ) un 2 ( x ) um ( x ) 对 一 切 x D成 立 。
理学第讲一致收敛级数的判别和性质
k
Bk bi , k 1、2、3...... i 1
p
p1
则
ak bk a p Bp (ak1 ak )Bk .
k 1
k 1
引理( Abel引理），设ak 、bk 为两数列，
k
且Bk bi , k 1、2、3......, i 1
且 （1）ak 单调；
（2）Bk 有界：Bk M (k 1、2、3......);
对一切x D成立.
(5)余和函数rn ( x)在D上一致趋于0. (6)任意点列xn D,有rn ( xn ) （ 0 n ).
定理（weierstrass判别法)设 un ( x)，x D满足 n1
un ( x) an ,x D
且 an收敛，则 un ( x)在D上一致收敛.
n1
n1
根据Cauchy原理， an ( x)bn ( x)在D上一致收敛. n1
例 : 设an收敛,则an xn在0,1上一致收敛.
证明:因为 xn 关于n单调,且
xn 1,x 0,1,n N
又an收敛(当然关于x 0,1一致收敛), 由Abel判别法,an xn在0,1上一致收敛。
例 : 设an单调收敛于0,则 an cos nx与 an sin nx
故 un ( x)在D上一致收敛。 n1
例：若an绝对收敛，则an cosnx与an sinnx在,
上一致收敛。
证明：因为 an cosnx an ， an sinnx an ,
而 an 收敛
由weierstrass判别法，
则an cosnx与an sinnx在,上一致收敛.
引理( Abel变换）：设an、bn是两数列，记
本节主要任务： （1）函数项级数的一致收敛判别法；
一致收敛性-PPT精选文档
N 的依赖关系), 使当 n 时, 总有
|f () x fx () | . n
使函数列 { f n } 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列
{ f n } 的收敛域.
前页 后页 返回
n f ( x ) x , n 1 , 2 , 为 定 义 在 ( , ) 例1 设 上的 n
l i m fx ( ) f ( x ) ,x D n
n
前页 后页 返回
或
f ( x ) f ( x ) ( n ) , x D . n
D 函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x ,任
给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
§1 一致收敛性
对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位.
一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法
前页 后页 返回
一、函数列及其一致收敛性
设
f ,, f f 1 2,, n
函数列, 证明它的收敛域是 ( 1, 1] , 且有极限函数 , 0, | x|1 f (x) , x 1. 1
证 任 给 0 ( 不 妨 设 1 ) , 当 0 | x | 1 时 , 由 于
n |f () x fx () || x | , n
l n 只 要 取 N ( ,) x , 当 n N ( ,) x 时 , 就 有 l n | x |
前页 后页 返回
定义1 设 数集 D { f } 与 函 数 f 定 义 在 同 一 函 数 列 n 上， 若 对 任 给 的 正 数 , 总 存 在 某 一 正 整 数 N , 使当 时， 对 一 切 xD , 都 有 nN
含参量反常积分的一致收敛性判别法
3. 含参量的反常积分一致收敛性判别法 Weierstrass 判别法 设函数(,)f x t 定义在{}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈⊂R中，若（a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的；（b ） 存在()x ϕ，使得()ax dx ϕ+∞⎰收敛，且(,)(),[,)f x t x x a ϕ≤∈+∞；则反常积分(,)af x t dx +∞⎰关于t T ∈绝对一致收敛，亦即，反常积分(,)af x t dx +∞⎰关于t T ∈一致收敛.我们称定理中的()x ϕ为(,)f x t 的优函数.Abel 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在{}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈⊂R中，若（a ） 若反常积分(,)af x t dx +∞⎰关于t T ∈一致收敛；（b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且存在常数0L >（与[,)x a ∈+∞、t T ∈无关），使得(,)g x t L ≤；则反常积分(,)(,)af x tg x t dx +∞⎰关于t T ∈一致收敛.Dirichlet 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在{}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈⊂R中，若（a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的，且积分(,)Aaf x t dx ⎰关于t T ∈一致有界，亦即，0M∃>（与A 、t 无关），使得(,)Aaf x t dx M ≤⎰；（b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且lim (,)0x g x t →+∞=关于t T ∈一致成立；则反常积分(,)(,)af x tg x t dx +∞⎰关于t T ∈一致收敛.补充例9 试证反常积分 ()20sin u xex dx α+∞-+⎰，0α>为常数，关于[)0,u ∈+∞一致收敛.证 0α>，由()2sin u xx ex e αα-+-≤， [),0,x u ∀∈+∞， （*）而11xxedx eαααα+∞+∞--=-=⎰收敛，故由Weierstrass 判别法知反常积分()20sin u xex dx α+∞-+⎰关于 [)0,u ∈+∞ 一致收敛；补充例10 试证反常积分 ()20sin u xex du α+∞-+⎰，0α≥为常数，关于[)0,x ∈+∞一致收敛.证 0α≥，由()22sin sin u xxu x AAex du ex e duαα+∞+∞-+--=⎰⎰，作变量代换t x u =，上式右边成为2sin x t xAe xe dt xα+∞--⎰. ？ （**）注意到00sin sin lim lim 0x x x x e x x e x x xαα--→+→+== 与222t txAedt e dt π+∞+∞--<=⎰⎰，积分22t e dt π+∞-=⎰是著名的欧拉积分，我们将在下面计算它.于是，对于（**），0ε∀>，0δ∃>，当()0,x δ∈时，有sin 2x e x x αεπ-<；进而，0A ∀>，()0,x δ∈，有()222sin sin 2u xuxxAAex du ex e du ααεπεπ+∞+∞-+--=<⋅=⎰⎰；显然，0x=上述不等式也成立，因此，对于0A ∀>、[)0,x δ∈时，()2sin u xAex du αε+∞-+<⎰.另一方面，[),x δ∀∈+∞，由()()222sin u xu uex ee ααδδ-+-+-≤≤与2u edu δ+∞-⎰收敛（欧拉型积分），故由Weierstrass 判别法，知反常积分()20sin u xex du α+∞-+⎰在[),x δ∀∈+∞中一致收敛. 联合关于[)0,x δ∈与[),x δ∈+∞的结果，补充例10得证.补充例11 试证反常积分sin x uxe dx x+∞-⎰ 关于[)0,u ∈+∞一致收敛. 证 由sin xdx x+∞⎰收敛，因此关于[)0,u ∈+∞一致收敛； 另一方面，(),x u g x u e -= 关于[)0,x ∈+∞单调递减，且在()[)[),0,0,x u ∈+∞⨯+∞中一致有界01x u e -≤≤，Abel 判别法便证明了例11.补充例12 试证反常积分sin 0sin 2x xe dx xλ+∞⎰ 关于()0,λ∈+∞一致收敛.证 由 ()1,gx x λλ=当x →+∞时单调递减且()1,0g x x λλ=→；另一方面， sin sin sin 0sin 22sin cos 2AAAxxt ex dx ex x dx t e dt ==⎰⎰⎰sin sin 2sin 16A A A e e e =⋅-+≤；Dirichlet 判别法证明了补充例12 .补充例13 设p -∞<<+∞，考虑反常积分 11sin px I dx x=⎰，试证 （1） 当 1p -∞<< 绝对收敛、当12p ≤<非绝对收敛、当2p ≤<+∞发散；（2） 当(]0,2p δ∈- 一致收敛，其中0δ>、 当 ()0,2p ∈ 非一致收敛.证 （1） 将有限区间[]0,1x ∈上的函数1sinpx x 的积分化为无限区间上的积分比较方便.① 当1p -∞<< 时，令 1t x =，21dx dt t=-，[](]0,1,1x t ∈→∈+∞，故1122011sin sin 1sin 1p p p t t x I dx dt dt x t t t+∞-+∞-===⎰⎰⎰. 于是，2211sin 1pptI dt dt t t+∞+∞--=≤⎰⎰，因此当1p <时，有21p ->，故积分211pdt t+∞-⎰的收敛性保证了反常积分I绝对收敛；因此，当 1p -∞<< 时，积分绝对收敛；② 当12p ≤<，则021p <-≤，积分21sin ptdt t+∞-⎰发散，这是因为 22sin sin 1cos 21cos 2222pt t t tt t t t t--≥==-， [)1,t ∈+∞， 112dt t+∞⎰发散，而1cos 22tdt t+∞⎰收敛；另一方面，由1sin cos1cos 2At dt A =-≤⎰，21pt-单调递减趋向于零，因此由Dirichlet 判别法知，积分I 当12p ≤<时积分I收敛；综合，当 12p ≤< 时，积分I非绝对收敛；③ 当2p ≤<+∞，对于2p =，积分211sin sin ptdt t dt t+∞+∞-=⎰⎰发散；对于2p >，积分21sin p I t t dt +∞-=⎰，故对于每个n ∈N ，有 23222211222sin sin n n p p n n tt dt t t dt πππππππππππ+∞+---⎧⎫=++++++⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ，且()()2222222sin 2sin 22n n p p p nntt dt n t dt n ππππππππ++--->=⎰⎰()()22222sin 22sin 22n p p n tt dt n y n y dy πππππππππ---=-+-+⎰⎰ ()2222sin p n y y dy ππππ-=-+⎰()22sin p n u u du ππ-=--⎰，由()()()()2220002sin 2cos 22p p p n u u du n u n πππππ---<-<-=⎰得到()()22222sin 0p p n n u u du πππ---<--<⎰，故23222211222sin sin n n p p n n tt dt t t dt πππππππππππ+∞+---⎧⎫=++++++⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()222221sin 22222222p p p p p t t dt n n πππππ----->-+--+-⎰()2111sin sin cos 1cos1p tt dt t dt t πππε-=>=-=->⎰⎰，？当2p ≤<+∞时，积分发散.（2） ① 对于0δ>，在(],2p δ∈-∞-中，由22p p δδ≤-⇒-≥，得2110pt t δ-<≤与 1tδ 单调递减趋于零；而积分1sin cos1cos 2At dt A =-≤⎰一致有界，故据Dirichlet 判别法，得到积分 11sin px Idx x=⎰在 (],2p δ∈-∞-上一致收敛；② 最后，积分 12011sinsin p p t x I dx dt x t +∞-==⎰⎰ 在 (),2p ∈-∞ 非一致收敛.我们用反证法，设积分在区间(),2-∞上一致收敛，则对01ε=，()001A A a ε∃=>=，s.t. 0'''A A A ∀>> 时，有''02'sin 1A p A tdt t ε-<=⎰， (),2p ∀∈-∞. 但这不可能，因为若取'2A k π=、()''21A k π=+，则当k 充分大时，有()()()()2121022222sin 121sin 2121k k ppp kkt dt t dt t k k ππππεππ++---=>≥=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰，当2p -→时，上式右边()22221pk π-→+⎡⎤⎣⎦，得到012ε=>的矛盾.补充习题1、讨论积分0sin ln xI xdx xλ+∞=⎰的收敛性，其中λ为实数. 2、讨论积分sin 0sin 2x xI e dx xλ+∞=⎰ 的收敛性，其中0λ>. 3、讨论积分0x I x e dx α+∞-=⎰在[)0,αα∈+∞上的一致收敛性，其中00α>. 4、讨论积分0sin cos xI x dx xα+∞=⎰在[)0,αα∈+∞上的一致收敛性，其中01α>. 5、讨论积分110p I x dx -=⎰ 在[)0,p p ∈+∞上的一致收敛性，其中00p >.6、讨论积分110ln p I x x dx -=⎰ 在[)0,p p ∈+∞上的一致收敛性，其中00p >.。
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法一、定义首先，我们来回顾一下含参量反常积分的定义。
设函数$f(x,t)$定义在区间$[a,b]$上的一个闭区间$[c,d]$，则含参量反常积分可以表示为：$$\int_a^b f(x,t)dx$$其中，函数$f(x,t)$称为被积函数，参数$t$称为参数。
参数$t$取值在闭区间$[c,d]$上。
1.依据一致收敛的定义如果对任意给定的$\epsilon>0$，存在正数$\delta$，当$，x-a，<\delta$且$t\in[c,d]$时，$，f(x,t)-f(a,t)，<\epsilon$，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上关于$x$一致收敛。
这是最常用的判别方法之一2.莱布尼茨定理对于含参量反常积分，如果被积函数$f(x,t)$在闭区间$[c,d]$上关于$t$是逐点收敛的，并且对所有$x\in[a,b]$，极限$\lim_{t\to\infty}f(x,t)$存在，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
3.狄利克雷判别法狄利克雷判别法主要用于判别含参变量正交级数的一致收敛性，但同样适用于含参量反常积分。
如果被积函数$f(x,t)$和其导数$f'(x,t)$在$[a,b]$上对于$t$关于$x$一致有界，并且在区间$[c,d]$上关于$x$一致收敛，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
4.魏尔斯特拉斯判别法魏尔斯特拉斯判别法是判别含参量反常积分收敛性的重要方法之一、如果被积函数$f(x,t)$在闭区间$[c,d]$上对于$t$关于$x$一致有界，并且对于任意给定的$x\in[a,b]$，被积函数$f(x,t)$对于参数$t$在闭区间$[c,d]$上关于$x$一致收敛，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
5.独立变量法独立变量法是一种常用的判别方法。
对于含参量反常积分$\int_a^bf(x,t)dx$，将被积函数$f(x,t)$视为关于$x$的函数，并对其进行研究。
数学分析一致收敛函数列和函数项级数的性质讲解-推荐优秀PPT
下面证明 lim f(x ) lim lim f(x ) A . 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立.
上都收敛于0, 由于
上的连续性、可积性与可微性. x x 0
x x 0 n n
注意到 与前面两个定理一样, 一致收敛是极限运算与求导
| f(x)A|
| f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
n
显然 { fn( x)}是[ 0 , 1 ] 上的
fn
图13 6
连续函数列, 且对任意
x[0,1], lni m fn(x)0. O
x x0
x li m x 0f(x ) l n i m f n (x 0 ) f(x 0 ) , 因 此 f(x )在 x 0 上 连 续 .
定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数
列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函 的各项在(1, 1] 上都是连续的, 但
( 1 )
证 先证 { a n } 是收敛数列. 对任意 0 , 由于{ f n } 一
致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p,
对一切 x (a ,x 0 ) (x 0 ,b )有
|fn (x)fn p(x)|.
从而
|a n a n p | x l i m x 0 |f n ( x ) f n p ( x ) | .
若 f n ( x ) 在 ( a , b ) 上 一 致 收 敛 , 且 x l i m b f n ( x ) 存 在 , 则 有
x li m b l n i m f n (x ) l n i m x li m b f n (x ) .