高考数学一轮复习 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理 新人教B版
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 第2节空间点、直线、平面之间的位置关系
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解析 在图①中,MG∥HN且MG=NH,则四边形MGHN是平行四边形,有
HG∥MN,不是异面直线;在图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此GH
与MN异面;在图③中,M,G分别是所在棱的中点,所以GM∥HN且GM≠HN,故
HG,NM必相交,不是异面直线;在图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此
于C,当圆上两点为一直径的两个端点时,它们与圆心三点共线不能确定平
面,故C不正确;对于D,梯形的两个底边所在直线平行,可确定一个平面,故D
正确.
6.(人教A版必修第二册习题8.4第2(2)题)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则
下列结论成立的是( B )
A.α内的所有直线与a是异面直线
B.α内不存在与a平行的直线
BCC1B1内,直线MB1与平面BCC1B1相交于点B1,点B1不在直线BN上,所以直
线BN与直线MB1是异面直线,故C正确;对于D,因为点M与DD1都在平面
C1D1DC内,点A在平面C1D1DC外,DD1不过点M,所以AM与DD1是异面直线,
故D正确.故选CD.
考点三 正方体中的切割(截面)问题
题组三连线高考
8.(2006·上海,文15)若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这
两条直线没有公共点”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若“这两条直线为异面直线”,则“这两条直线没有公共点”;若“这两条
直线没有公共点”,则“这两条直线可能异面,也可能平行”.
9.(2021·全国乙,理5)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线
2023年高考数学一轮复习课件：第八章 8-3空间点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练3 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点， 用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视 图是
√
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后， 剩余部分的直观图如图. 则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.
(2)当AC，BD满足条件__A_C__＝__B_D_且__A_C__⊥__B_D___时，四边形 EFGH为正方形.
∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 平面基本性质的应用 例1 如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1， C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
√C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对； 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β ＝AB，B对； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对.
教师备选
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中 点，连接D1F，CE.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
如图所示，连接CD1，EF，A1B， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且 EF＝12A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F， 即E，C，D1，F四点共面.
高考数学一轮总复习 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系精品课件 理 新人教版
形 ABCD 为平面图形,这与四边形 ABCD 为空间四边形相矛盾.∴BC 与 AD
(2)EG 与 FH 相交.
是异面直线.
(2)如图,连接 AC,BD,则 EF∥AC,HG∥AC,因此 EF∥HG;同理 EH∥FG,
则 EFGH 为平行四边形.又 EG,FH 是▱ EFGH 的对角线,∴EG 与 HF 相交.
(1)位置关系的分类
相交直线
:同一平面内,有且只有
共面直线
一个公共点
平行直线
异面直线:不同在
任何
:同一平面内,没有公共点
一个平面内,没有公共点
(2)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示为:设 a,b,c 是三条直线,a∥b,c∥b,则
a∥c .
公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间中这个性质都适用.
与 b'所成的
锐角(或直角) 叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角),两
条异面直线所成的角的范围是
π
0,
2
,计算中,通常把两条异面直线所成的角
转化为两条相交直线所成的角.
第六页，共30页。
梳理(shūlǐ)
自测
3.直线和平面的位置关系
位置关
系
公共点
直线 a 在平面 α 内
无数个 公共点
直线 a 与平面 α 相交
或 75°.
(kǎo diǎn)一
答案
答案
(dá àn)
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第二十三页，共30页。
探究(tànjiū)
突破
方法提炼
求异面直线所成角的一般步骤:
高三数学一轮复习 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
考点1
考点2
考点3
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对点训练1如图,空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中
点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
(1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
考点1
考点2
考点3
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证明 (1)∵E,F分别为AB,AD的中点, ∴EF∥BD.
一个平面.
(3)基本性质3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们
有且只有一条
过这个点的公共直线.
(4)推论1:经过一条直线和 直线外 的一点,有且只有一个平
面.
(5)推论2:经过两条 相交直线
,有且只有一个平面.
(6)推论3:经过两条 平行直线 ,有且只有一个平面.
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
考点1
考点2
考点3
-23-
②是异面直线.理由如下:
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴B,C,C1,D1不共面.
假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂ 平面α,
∴D1,B,C,C1∈α,与B,C,C1,D1不共面矛盾. ∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.
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考点1
考点2
考点3
考点 1 平面的基本性质及应用
例1
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点, 求证:
(1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点. 思考如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点?
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考点1
考点2
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系(讲)(解析版)
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系【考纲解读与核心素养】1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2.了解两点间距离、点到平面的距离的含义.3.理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念.4．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 5. 高考预测：（1）以几何体为载体，考查点线面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.（2）判断线线、线面、面面的位置关系.（3）平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，少有在大题中间接考查．平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，在浙江卷中频频出现． 6.备考重点：(1) 掌握相关定义、公理、定理；（2）掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法. （3）掌握各种角的计算方法.【知识清单】知识点1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点2．空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．abc V = 知识点3．异面直线所成的角 异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 知识点4．直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.知识点5．二面角 1．求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【典例剖析】高频考点一 ：平面的基本性质【典例1】（2019·河南高三月考（文））如图，1111ABCD A B C D －是平行六面体，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（ ）A.1A M O A 、、、不共面B.A M O 、、三点共线C.A M O C 、、、不共面D.1B B O M 、、、共面【答案】B 【解析】如图所示：连接11A C ，因为AO ⊂平面11AB D ，AO ⊂平面11ACC A ，所以AO 是平面11AB D 与平面11ACC A 的交线；又因为直线1A C 交平面11AB D 于点M ，所以M ∈AO ，所以A M O 、、三点共线，则B 正确；因为M ∈平面11ACC A ，所以1A M O A 、、、共面，故A 错误，同理可知C 错误；显然M 不是1A C 中点，所以1B B O M 、、、不共面，故D 错误，故选：B.【典例2】（2020·全国高考真题（文））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥, 因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内 【规律方法】1.证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上. 2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点． 3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合 【变式探究】1.（2019·上海高三）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面，所以“这四个点中有三点在同一直线上”，则“这四个点在同一平面上”，反之不一定成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件，故选A.2.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 【总结提升】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理． 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上. 高频考点二： 空间线、面的位置关系【典例3】（2015·广东高考真题（文））若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A.l 与1l ，2l 都相交B.l 与1l ，2l 都不相交C.l 至少与1l ，2l 中的一条相交D.l 至多与1l ，2l 中的一条相交【答案】C 【解析】试题分析：若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 的一条相交.故选A ．【典例4】（2020·江苏省高考真题）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【总结提升】判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断． (2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． 【变式探究】1.（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ） A ．②③ B ．①②C ．①②③D ．②【答案】D 【解析】对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误；对于命题②，如下图所示，平面//α平面β，A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过点C 作//CG AB 交平面β于点G ，连接BG 、DG .设H 是CG 的中点，则//EH BG ，BG ⊂平面β，EH ⊄平面β，//EH ∴平面β.同理可得//HF 平面β，EHHF H =，∴平面//EFH 平面β.又平面//α平面β，∴平面//EFH 平面α，EF ⊂平面EFH ，//EF ∴平面α，//EF 平面β，命题②正确；对于命题③，如下图所示，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 上一点，过点E 作//a a '，//b b '，当点E 不与点A 或点B 重合时，a '、b '确定的平面α即为与a 、b 都平行的平面；若点E 与点A 或点B 重合时，则a α⊂或b α⊂，命题③错误.故选：D.2.若,a b 表示直线，α表示平面，下列结论中正确的是_______.①,//a b a b αα；②,//a a b b αα⊥⊥⇒；③//,a a b b αα⊥⇒⊥；④,//a b a b αα⊥⊥⇒. 【答案】①④ 【解析】 ①中，因为,//ab αα，根据线面垂直的性质，即可得到a b ⊥，所以①正确；②中，因为,α⊥⊥a a b ，所以//b α或b α⊂，故②错误； ③中，因为//,a ab α，所以//b α或b α⊂或b 与α相交，故③错误；④中，因为,a b αα⊥⊥，根据线面垂直的性质定理，即可得到//a b ，故④正确；故答案为①④ 【总结提升】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决. 高频考点三： 异面直线所成的角【典例5】（2019·浙江衢州�高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与1A C 所成角的正弦值为（ ）A ．210B ．15 C ．65 D ．86565【答案】A 【解析】延长AB 至点N ，使得12BN CM CD ==，连接1,A N CN ，//CM BN ，∴四边形BMCN 为平行四边形，∴异面直线BM 与1A C 所成角即为CN 与1A C 所成角，即1A CN ∠，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，1AC ∴==，2CN BM a ===，1A N ==，22222211115133cos 2a a a AC CN A N ACN AC CN +-+-∴∠===⋅，1sin 15A CN ∴∠==， ∴异面直线BM 与1A C.故选：A . 【规律方法】1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是]2,0(π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 2．向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a ，b ，则两异面直线所成角θ满足cos θ＝||a ||||·a b b ⋅.【变式探究】（2019·四川棠湖中学高二月考）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A.2π B. C. D.3π 【答案】A 【解析】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，22252()2a A B a BM a a ==+=，，222313()2a A M a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选：A ．高频考点四： 直线与平面所成角【典例6】（2019·陕西高三月考（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为2，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )23 C.12D.13【答案】A 【解析】易知22AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2tan 2CO CPO PO ∠==.【典例7】（2018·天津高考真题（文））如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)1326；(Ⅲ)34．【解析】（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ． （Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt△DAM 中，AM =1，故DM 22=13AD AM +．因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt△DAN 中，AN =1，故DN 22=13AD AN +在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得1132cos MNDMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD 13 （Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM 3．又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt△CAD 中，CD 22AC AD +．在Rt△CMD 中，3sin CM CDM CD ∠==所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34． 【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【变式探究】1.（2019·全国高三月考（理））已知球内接三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，332π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为________. 85【解析】 如图:由正弦定理得小圆1O 的半径为:360r =1=,则2AD =,又由343233R ππ=,得球的半径R 2=, 所以22224123AP R r =-=-=取AB 的中点E ,连接PE ,CE ,则CPE ∠就是直线PC 与平面PAB 所成的角,又2212315PC PA AC =+=+223511242PE PA AE =+=+=, 所以512cos 15CPE ∠=85=. 直线PC 与平面PAB 85. 2.（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.高频考点五：二面角【典例8】（2018年浙江卷）已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（）A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D从而因为，所以即，选D.【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找平面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.（1）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况． 【变式探究】（2019·河北高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=.若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____；当四棱锥P ABCD -的体积取得最大值时，二面角A PC D --的正切值为_______.【答案】6π5【解析】(1)．设()03CD x x =<<，则3PD x =-.∵AB ⊥平面PAD ， ∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥， ∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O 的表面积为()()22222343126x x x x πππ++-⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.(2)．四棱锥P ABCD -的体积()()213033V x x x =⨯-<<， 则22V x x '=-+，当02x <<时，0V '>；当23x <<时，0V '<. 故()max 2V V =，此时2AD CD ==，1PD =. 过D 作DH PC ⊥于H ，连接AH ，则AHD ∠为二面角A PC D --的平面角. ∵255DH ==，∴tan 5AD AHD DH ∠==.。
8.3空间点、直线、平面之间的位置关系-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共37张PPT)
类题通法 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线 (或点)在这个平面内；②证两平面重合． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点 都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一 点，再证其他直线经过该点.
以BN⊥HN，所以tan∠HBN＝ 36，故选C.
类题通法 1.求异面直线所成的角的方法 常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型： (1)利用图中已有的平行线平移． (2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移． (3)补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． (4)空间向量法．
答案：②③④
解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异 面直线，GH与MN成60°角，DE与MN为异面直线，且所成的角为 90°，即DE与MN垂直．
提醒：求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的 范围.
【跟踪训练1】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则异 面直线AE与BD1所成角的余弦值为________．
答案：
15 5
解析：设正方形ABCD的中心为O，连接AO，EO，则易得
EO∥BD1，则∠AEO即为异面直线AE与BD1所成的角．设正方体的
类题通法 异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或 相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设， 肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点 B的直线是异面直线.
微点2 两条直线平行或垂直的判定 [例3] (1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别 是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )
高考数学总复习8.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件文新人教B版
①E，F，G，H 四点共面； ②三直线 FH，EG，AC 共点． 【证明】 ①连接 EF，GH， ∵E，F 分别是 AB，AD 的中点，∴EF∥BD. 1 1 又∵CG＝3BC，CH＝3DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H 四点共面．
【答案】 ④
题型一
平面基本性质的应用
【例1】 (1)(2015· 广东高考)若空间中n个不同的点两两
距离都相等，则正整数n的取值(
A．至多等于3 C．等于5
)
B．至多等于4 D．大于5
【解析】 n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可
以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥， 侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等， 不可能，所以正整数n的取值至多等于4. 【答案】 B
②易知FH与直线AC不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M，
3 ． ( 教材改编 ) 两两平行的三条直线可确定 ________ 个
平面．
【解析】 三直线共面确定1个，三直线不共面，每两条 确定1个，可确定3个． 【答案】 1或3
4．(教材改编)如图所示，已知在长方体 ABCDEFGH 中， AB＝2 3，AD＝2 3，AE＝2，则 BC 和 EG 所成角的大小是 ________，AE 和 BG 所成角的大小是________．
【解析】 ∵BC 与 EG 所成的角等于 EG 与 FG 所成的角即 EF 2 3 ∠EGF，tan∠EGF＝FG＝ ＝1，∴∠EGF＝45°， 2 3 ∵AE 与 BG 所成的角等于 BF 与 BG 所成的角即∠GBF， GF 2 3 tan∠GBF＝ BF ＝ 2 ＝ 3，∴∠GBF＝60°.
新高考数学通用版总复习一轮课件第八章第3讲点直线平面之间的位置关系
为( )
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这
两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；
④若 M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 M∈l.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：过不共线的三点有且只有一个平面，因此①正确； 若两直线异面则不能确定一个平面，因此②不正确； 正方体中一个顶点引出的三条棱，不在同一平面内，因此 ③不正确； 由公理可知④正确，故选 B. 答案：B
答案：③④
(3)(2019 年全国Ⅲ)如图 8-3-8，点 N 为正方形 ABCD 的中 心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，点 M 是线 段 ED 的中点，则( )
图 8-3-8 A.BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B.BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C.BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线 D.BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线
第3讲 点、直线、平面之间的位置关系
1.空间中点、直线、平面之间位置关系的基本性质(即四条 公理的“图形语言”“文字语言”“符号语言”列表)及推论
(续表)
A∈l，B∈l， A∈α，B∈α ⇒l⊂α
P∈α，P∈β ⇒αP∩∈βl ＝l，
ab∥∥cc⇒ a∥b
2.空间线、面之间的位置关系
3.异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′. 那么直线 a′与 b′所成的___锐__角__或__直__角____，叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)，其范围是__(_0_°__，__9_0_°__]__.
题组一 走出误区 1.(多选题)设α是给定的平面，A，B 是不在α内的任意两点， 则( ) A.在α内存在直线与直线 AB 异面 B.在α内存在直线与直线 AB 相交 C.在α内存在直线与直线 AB 平行 D.存在过直线 AB 的平面与α垂直
高考一轮复习通用版8.3空间点直线平面之间的位置关系课件(38张)
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
相交
________
必备知识—基础落实
一、必记3个知识点 1．平面的基本性质
表示 公理
文字语言
公理1
如果一条直线上 的两点在一个平 面内，那么这条 直线在此平面内
图形语言
符号语言
公理2
_过__不_在__一__条__直__线__上__的 三点，有且只有一个 平面
公理3
如果两个不重合的平 面有共 直线
答案：(1)D
解析：(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c可以平行，可以相交， 可以异面．
(2)[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三 角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
答案：B
反思感悟
答案：D 解析：当A∈b时，a与b相交，当A∉b时，a与b异面．
2．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直 棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图 形有___②_④__．(填上所有正确答案的序号)
解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN， 因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图 ④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以图②④中 GH与MN异面．
新高考数学一轮总复习课件第八章第二节空间点、直线、平面之间的位置关系
命题角度 2 证明三线共点 【典例 2】如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中 点，
求证：(1)四边形 ECD1F 是梯形； (2)CE，D1F，DA 交于一点．
【证明】(1)如图，连接 CD1，EF，A1B. 因为 E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， 所以 EF∥A1B 且 EF＝21 A1B. 又因为 A1D1∥BC，且 A1D1＝BC， 所以四边形 A1BCD1 是平行四边形． 所以 A1B∥CD1， 所以 EF∥CD1 且 EF＝12 CD1， 所以四边形 ECD1F 是梯形．
(2)因为 EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂ 平面 ABC， 所以 P∈平面 ABC. 同理 P∈平面 ADC. 所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， 所以 P∈AC， 所以 P，A，C 三点共线．
【通法】证明三点共线的两种方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点 都在交线上，即三点共线． (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三 点共线．
(2)将图(1)中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线 AD 折起得到空间四面 体 ABCD，如图(2)，则在空间四面体 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是( )
A．相交且垂直 C．异面且垂直
B．相交但不垂直 D．异面但不垂直
【解析】(1)选 D.方法一：由于 l 与直线 l1，l2 分别共面，故直线 l 与 l1，l2 要 么都不相交，要么至少与 l1，l2 中的一条相交．若 l∥l1，l∥l2，则 l1∥l2，这 与 l1，l2 是异面直线矛盾．故 l 至少与 l1，l2 中的一条相交．