21.3.5一元二次方程的应用(动点问题)
一元二次方程应用题动点问题
拓展与创新
例3如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个
动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿 AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点 到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒 （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；
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课外延伸
4．有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR
＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q
两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方
向匀速运动，
（1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5
新知探究
Rt△ABC中,AB=BC=12cm,动点P从A点出发,以2cm/s的速 度沿AB向B移动,通过点P作PR//BC,PQ//AC，求P出发几 秒时,四边形PQCR的面积等于20cm2?
∵0＜x＜6
2X
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2X
12-2X
例2 如图,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm，
BC=3cm，点P以1的速度从点B开始沿
边BC向点C移动.如果点P、Q同时出发，几秒后
PQ之间的的距离等于 cm? 4 2
C
(2t)2(6t)2(42)2
↑ Q
t2 t2 5
A P→
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B t=2不符合题意，舍去
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在
，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
一元二次方程的应用——动点问题
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半
一元二次方程-动点问题
D
C
整理，得 x262x80
解这个方程，得 x1 2,x2 4
Q
0x6所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面
积等于8cm2
A
B
P
A
R
P
例2：等腰直角⊿ ABC
中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,
解：设AP=x，则PR=x，PB沿B=C8A,A-BC向x的B直移线动与,通A过C点,BPC引分平别行交于于R、
四边形DFCE的面积为20cm2？
Ｃ
F Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
添加标题
01 经过多少时间后，S△PCQ的面积为 15cm2？
添加标题
02 请用配方法说明，何时△PCQ的面积 最大，最大面积是多少？
单击此处添加 大标题内容
如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截 去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm． 底面的长AB=_______cm，宽BC=__________cm（用含x的代数式表示） 当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积． 该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明 理由．
5．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5，点Q 从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点 B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后， △PBQ的面积等于4cm2？ （2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明 理由．
3、如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶
点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C同时 出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为止,
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计1
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程教学设计1一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程”是本册教材的重要内容，旨在让学生通过解决实际问题，掌握一元二次方程的解法和应用。
本节内容通过引入实际问题，让学生理解一元二次方程的模型，培养学生的数学建模能力，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了代数基础知识，对一元二次方程有一定的了解，但解决实际问题的能力还有待提高。
因此，在教学过程中，要注重培养学生的数学建模能力，引导学生将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。
3.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。
四. 教学重难点1.教学重点：理解实际问题与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法。
2.教学难点：将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，案例教学法和小组合作学习法。
通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生理解和应用一元二次方程。
2.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如物体运动问题、面积问题等，引导学生关注实际问题中的一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义和解法，让学生理解一元二次方程的模型，并能熟练运用解法求解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，将导入环节中的实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程进行解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些类似的实际问题，巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
一元二次方程应用题(动点问题)
一元二次方程的概述
一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程，表达式形式为ax²+bx+c=0。它是数学中常见的方程类型，具有 重要的应用价值。
寻找问题的关键变量和已知条件
在解决动点问题时，我们需要仔细分析问题，确定关键变量和已知条件。这样可以帮助我们建立一元二次方程， 进而求解问题。
如何列出动点问题的一元二次方程
一元二次方程应用题(动 点问题)
在这个演示我们将介绍 问题的定义和一元二次方程的基本概念，以及如何寻找关键变量并列出方程。 通过实际案例分析，帮助您掌握解决这类问题的技巧。
动点问题的介绍与定义
动点问题是指根据物体的运动轨迹及已知条件，找出该物体的位置或状态。它常常涉及时间、距离、速度等变 量。
在列出方程时，我们通常需要根据关键变量和已知条件进行代入。通过代入求解，我们可以得到方程的解，从 而解决动点问题。
解方程并求出问题的答案
解一元二次方程通常会涉及到配方法、因式分解、求根公式等解法。通过运用这些方法，我们可以计算出问题 的答案，并得出具体的结论。
实际应用案例分析
通过实际应用案例的分析，我们将展示动点问题在现实生活中的应用场景。这些案例将帮助您更好地理解和掌 握一元二次方程在动点问题中的应用。
总结和应用技巧
在这个部分，我们将对整个演示进行总结，并提供一些应用技巧，帮助您在解决动点问题时更加高效和准确。
一元二次方程的应用之动点问题
飞机航线问题
一架飞机以速度v0从机场起飞，以角度θ和速度v1改变航向，最终飞向位于d距离处的目的地。
集训队掉队问题
两个集训队进行长跑训练，已知甲队每分钟跑400米，乙队每分钟跑300米， 求甲队领先乙队的时间和距离。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一元二次方程的应用之动 点问题
了解一元二次方程在动点问题中的应用。介绍动点问题的概念和常见场景， 回顾一元二次方程的概念和求解方法，以及解决动点问题的思路。探讨各种 实际问题，从车辆行驶到射击训练。
动点问题的基本概念介绍
动点问题是指描述运动中物体位置随时间变化的数学问题。通过一元二次方 程模型，我们能够分析和解决各种动点问题。
动点问题的常见场景
某车辆行驶问题
人跑步问题
分析车辆的位移和速度随时间的变
研究人的速度和位置关系，解决跑
化，解决关于车辆行驶距离的问题。 步速度和时间的关联问题。
弹射问题
探讨弹射物的抛射高度与发射角度、 速度之间的关系。
某车辆行驶问题
一辆车以匀减速行驶，在t=0时刻开始减速，当速度减至0时停下。已知车辆 总行程为S，求车辆的减速度和总的减速时间。
人跑步问题
一个人跑步以恒定速度v1从起点出发，在t1时刻以恒定速度v2超过位于d距离 处的另一个人，求v1和v2之间的关系。
弹射问题
如果我们以速度v和角度θ把一个抛射物发射到水平面上某一目标点，求v和θ之间的关系。
抛物线下落问题
一个物体从某一高度h以速度v0抛出，求该物体抛出后的落地点和落地时间。
一元二次方程应用题动点问题
一元二次方程应用题动点问题1. 引言嘿，朋友们！今天咱们聊聊一元二次方程。
听到这个名词，有人可能会皱起眉头，觉得这是个高深莫测的数学问题，其实它就像个大闸蟹，外表坚硬，里面却是满满的美味。
动点问题听起来也有点复杂，但实际上，它们和我们生活中的许多事都息息相关。
比如说，咱们的运动、追逐梦想，甚至是追公交车的那一瞬间，都是动态变化的过程，不是吗？今天，就让我们轻松地探索一下这些动点问题，用一元二次方程来解锁它们的秘密。
2. 一元二次方程的基本概念2.1 方程的定义说到一元二次方程，咱们得先搞清楚这是什么玩意儿。
一元二次方程的标准形式是这样的：( ax^2 + bx + c = 0 )。
看上去是不是很高大上？其实，a、b、c 就是一些常数，而 x 就是我们要找的未知数。
简单来说，它就像是在说：“嘿，x 你在哪儿呢？”每个数都有自己的故事，就像我们每个人都有自己的烦恼和喜好。
2.2 动点的概念那么，动点又是什么呢？想象一下你在公园里散步，突然发现一只小狗在草地上追蝴蝶。
这个小狗就是动点，它的位置会随着时间不断变化。
用数学的语言来说，动点就是指在某个时间段内，位置随着变化而不断更新的点。
就像我，今天心情好，走路像个小精灵，明天心情差，走路就像个拖着沉重行李的人，这就是动态变化的魅力。
3. 应用实例3.1 追逐游戏让我们通过一个有趣的例子来说明吧。
想象一下，有两个小朋友在操场上玩追逐游戏。
小明的速度是每秒3米，而小红则快了点，能达到每秒5米。
小明从某个点出发，而小红则在距离小明10米的地方开始追。
我们要想知道小红什么时候能追上小明，就得用一元二次方程来帮忙。
假设小明的起始位置是0米，那么他在t秒后的位置就是 ( 3t ) 米；小红的起始位置是10米，她在t秒后的位置是 ( 10 + 5t ) 米。
要想知道小红什么时候追上小明，就得解方程：3t = 10 + 5t经过简单的变形，我们可以得到：2t = 10从而得出 ( t = 5 ) 秒。
一元二次方程的应用(动点问题)
二次函数
一元二次方程的图像是抛物线，其性质和特征对于
顶点和轴对称
抛物线的顶点是二次函数的最值点，而抛物线关于
什么是动点问题
动点问题涉及物体、车辆、人员等在空间或时间中的运动，通过建立一元二次方程描绘其变化规律。
1 运动轨迹
描述物体或人员在空间中的路径或轨迹，了 解运动方式和特点。
2 运动速度
计算物体或人员在不同时间点的速度，以推 断其行进过程。
例一：物体自由落体问题
考虑一个物体自由落体的场景，建立一元二次方程解决高度、时间和速度等相关问题。
下落距离
计算物体自由落体所经历的高度以及特定时间点的 下落距离。
速度计算
根据物体自由落体的加速度和时间，计算物体的速 度。
达到特定时间
通过一元二次方程，求解物体自由落体到达特定时
抛物线轨迹
分析抛物线运动的特点，找出物体的最高点和最远
物体自由落体问题
计算自由落体物体的高度、速度等参数，并确 定其运动轨迹。
两车相遇问题
研究两辆车从不同地点同时出发，相向而行的 问题，求出两车相遇的时间和位置。
跳伞问题
求解跳伞过程中的空中时间、速度、高度等数 据，为安全跳伞提供参考。
炮弹射击问题
通过炮弹的射程、发射角度等参数，计算击中 目标所需的条件与策略。
一元二次方程的应用(动 点问题)
一元二次方程的应用(动点问题) PPT大纲
一元二次方程的定义和基本形式
介绍一元二次方程的定义、基本形式和一些基础概念，帮助理解和解决动点问题。
方程的定义
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、 c都是实数，a≠0。
基本形式
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、 c是已知实数，且a≠0。
21.3 实际问题与一元二次方程(销售问题、图表问题、动点问题)九年级数学上册(人教版)
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，
解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
新新知知讲讲解解
如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的
（2）当利润是1080元时，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080， 整理得：-8x2+128x+640=1080， 解得：x1=5，x2=11，
∵x=11＞10，不符合题意，舍去。∴x=5， 答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元。
针针对对训训练练
【详解】解：设每副羽毛球拍降价x元， 由题意得：（40-x）（20+5x）=1700，
3x
16-5x
E 2x
2x 2x
针针对对训训练练
如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以
3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。
1)当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？
2)当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
探探究究新新知知
九年级学生小明在暑假期间勤工俭学。
1）他每天在批发市场以每斤2.5元买进黄瓜，再到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那
么他每卖1斤黄瓜可以赚到 1.5 元； 2）如果他每天都能卖完50斤黄瓜，则他每天收入是 75 元。 3）他每天外面吃饭需花费20元，则他每天实际可以获得______5_0______元。
一元二次方程的应用题(动点问题)
x²+ (14-x)²=100 x²+ (14-x)²=196 x²+ (14-x)²=200
二课本79页第14题
解:设水渠应挖X米宽
92m 60m
水渠的面积=耕地的民面积-6个矩形的面积
92x+60x+60x=92╳60-6╳885
92m
60-2x 60m
92-2x
. 90-30X
50
东
解得 X1= 56 (不符合题意)
. X2=226
B 答:最早2时能侦察到
把长为36厘米的铁丝剪成相等的两段,用一段弯成一个 矩形,另一段弯成一个有一.个有一条边为5厘米的等腰 三角形,如果举矩形面积与等腰三角形面积相等,求矩形 的边长 .
5
5
3
6.5
6.5
6
44 设:长方形的长X为厘米,则宽为(9-X)厘米. 5
用一元二次方程的数学模型解具体问题
解应用题的步骤: 1弄清题意,设适当的未知数,
注意写上单位. 2寻找已知量,未知量的相等关系,
列出所需要的代数式. 3列出方程,解方程. 4检验方程的根是否符合题意.
是否满足方程.
例1课本65页随堂练习第1题
3 7
X
解:设相遇时甲走X步
10
因为乙速是甲速的七分之三.
.Q 向点C以2cm/s的移动,点 Q从点B出发向点C以 1cm/s的速度移动.若P、 Q分别同时从A、B出发， 几秒后四边形APQB是 C ΔABC面积的三分之二？
B
设X秒后四边形APQB是
1x
10
Q ΔABC面积的三分之二.
则AP=2X ,BQ=1X
一元二次方程的应用(几何问题)
下的部分种上草坪，要使草坪的面积为
540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜20.
x
可列方程为 (32 − x)(20 − x) = 540，
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 答：道路的宽为 2 m.
20-x 32-x
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
分析:这本书的长宽之比为 9 : 7 ，正中央的长方形的长宽 之比为 9 : 7 ，上下边衬与左右边衬的宽度 之比为 9 : 7.
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a， 由此得到上下边衬宽度之比为
27 cm
1 (27 9a) : 1 (21 7a)
多少米？
A
D
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得 (58 − 2x)x = 200，
B
C
整理得 x2 − 29x + 100 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = 4. 当 x = 25 时，58 − 2x = 8；
当 x = 4 时，58 − 2x = 50.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m， 50 m.
答：道路的宽为 (18 - 274) m.
x
20-x
32-2x 32
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样
宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草
坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道
路的宽为多少？
2x
解：设道路的宽为 x m，且 x＜10.
一元二次方程实际问题
一元二次方程实际问题
一元二次方程是数学中的重要概念，它在实际问题中有许多应用。
下面我将从几个不同的角度来讨论一元二次方程在实际问题中的应用。
首先，一元二次方程可以用来解决关于抛物线的实际问题。
例如，当一个物体从特定的高度以特定的初速度被抛出时，它的高度可以用一元二次方程来描述。
这种问题在物理学和工程学中经常出现，通过解一元二次方程可以求解出物体的最高点、飞行时间、落地点等相关信息。
其次，一元二次方程也可以用来解决关于面积和周长的实际问题。
例如，一个矩形的面积是其长和宽的乘积，可以表示为一元二次方程的形式。
通过解这个方程，可以找到给定周长条件下面积最大或最小的矩形，这在数学优化和经济学中有广泛的应用。
另外，一元二次方程还可以用来解决关于速度、时间和加速度的实际问题。
例如，一个物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述，通过对这个方程进行求导可以得到物体的速度和加速度。
这对于物理学和工程学中研究运动的问题非常重要。
此外，一元二次方程还可以用来解决关于金融和投资的实际问题。
例如，复利计算中的本金、利率和时间之间的关系可以表示为一元二次方程。
通过求解这个方程，可以得到投资的最佳方案和最大收益。
总的来说，一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用，涉及到物理学、工程学、数学优化、经济学、金融学等多个领域。
通过解一元二次方程，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，这使得它成为数学中一个非常重要的概念。
一元二次方程的应用之动点问题
例题赏析
如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一
重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位
于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小
岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给
船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送
图 2-8 北
到0.1海里,其中
)
6 2.449
200
D
东
解: 若设相遇时补给船的行程DE为x海里, 则相遇时军舰的行程应2x为海里,
x 100
即 D E x海,A 里 B B E 2x海里B 另外易证 ΔDFC为等腰直角三角形
E? F
45º C
FC D F 10(海 0 )里 E F B C B E FC x1
重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位
于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小
岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给
船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送
达军舰.
(1) 小岛D和小岛F相距多少海里?
A
图 2-8 北
分析: 连接DF,根据题意得,
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，
经几秒钟，使△PBQ的面积为8cm 2 ？
Q
（2）如果P、Q分别从A、B出发，并 A P
B
且P到B后又继续在BC半上前进，Q到C后
又继续在CA边上前进，经过几秒钟后使
△PCQ的面积等于12.6cm2 .
2021/6/21
7
例题赏析
1．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从
专题八：一元二次方程应用类型中的动点问题(有答案)
专题八：一元二次方程应用类型中的动点问题（有答案）➢知识指引所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．动点问题思路剖析问题1：动点问题的处理框架是什么？答：读题标注，整合信息（即明确所研究的背景图形）问题2：分析运动过程需要关注四要素是什么？答：①起点、终点、速度：标注到图形中，以示说明②时间范围根据路程、时间和速度的公式s=vt，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间③状态转折状态转折即点的运协发生变化的时刻，常体现在动点的运动方向，运动速度发生了改变④目标或结论导向根据题意作出图形，有序操作（分段作图并求解）问题3：在分析几何特征，表达时，常见表达线段长的方式有哪些？答：①路程即线段长，可根据s=vt直接进行表达已走路程或未走路程②根据研究几何特征的需求进行表达，即要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息➢知识点睛由点的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究背景图形并标注；；2.分析运动过程，并适时分段；3.表达线段长，建等式和方程．➢典型例题【例1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=12，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P．Q分别从A．B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）（2）经过几秒，PQ的长为6√2cm？（3）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？【解答】（1）根据题意得：BQ=2t，PB=9-t．故答案为：2t；9-t．（2）根据题意得：（9-t）2+（2t）2=72，，t2=3，解得：t1=35秒或3秒，PQ的长为6√2cm．∴经过35×（9-t）×2t=8，（3）根据题意得：12解得：t1=8，t2=1．∵0≤t≤6，∴t=1．答：经过1秒，△PBQ的面积等于8cm2．【例2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ，∠C=90°， BC=16，DC=12 ，AD=21 ，动点P从点D出发，沿线段 DA的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点B运动；点P，Q 分别从点D，C同时出发，当点P运动到点 A 时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）.（1）当t=2时，求△BPQ的面积；（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.（3）当t为何值时，以 B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？备用图【解答】（1）如图，过点P 作PM ⊥BC 于M ，则四边形PDCM 为矩形，∴PM=DC=12．∵QB=16－t ，当t=2时，则BQ=14，则S=12QB ⋅PM =12×14×12=84；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP=BQ,即21－2t=16－t ．解得t=5． ∴当t=5时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ=BQ ，在Rt △PMQ 中，PQ 2=t 2+122，由PQ 2= BQ 2， 得t 2+ 122= (16-t)2 解得t=72；②若BP=BQ ，在Rt △PMB 中，PB 2=(16-2t)2+122，由PB 2= BQ 2得(16-2t)2+ 122= (16-t)2，即3t 2+-32t+144= 0．此时，Δ= (-32)2 －4×3×144= －704＜0, 所以此方程无解，所以PB ≠BQ ；③若PB=PA ，由PB 2= PQ 2,得t 2+ 122= (16-2t)2 + 122 , 解得t 1=163,t 2=16，（不合题意，舍去）；综上所述，当t=72或163时，以B ，P ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.➢ 跟踪训练1．如图，在△ABC 中，AC=50cm ，BC=40 cm ，∠C =90°，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以每秒2 cm 的速度匀速移动，同时另一点Q 由C 点开始以每秒3 cm 的速度沿着射线CB 匀速移动，当△PCQ 的面积等于300 cm 2运动时间为（ ）．A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定【解答】由题意，得AP=2t ，CQ=3t ，∴PC=50-2t ，∴12•PC•CQ=300，∴12•（50-2t ）•3t=300，解得t=20或5，∴t=20s 或5s 时，△PCQ 的面积为300m 2．故选：C ．2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．若P 、Q 两点同时出发，当点P 运动到点B 时，P ，Q 两点同时停止运动，当三角形PQB 的面积是三角形ABC 的面积的三分之一时，所需时间为（ ）A ．4 sB ．2 sC ．2或4sD ．3或4s【解答】设经过x 秒，三角形PQB 的面积是三角形ABC 的面积的三分之一．∵P 、Q 移动t 秒时，AP=t ，BQ=2t ，则PB=AB-AP=6-t ，∴S △P B Q =13，由S △A B C =12AB•BC=12×6×8=24，当S △P B Q =13S △A B C 时，则12•2t（6-t ）=13×24，整理，得t 2-6t+8=0，解得t 1=2，t 2=4，即当t=2或4时，△PBQ 的面积等于△ABC 的面积的三分之一． 故选：C ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12 cm ，点D 从点A 开始沿边AB 以2 cm/s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持四边形DFCE (点E ，F 分别在AC ，BC 上)为平行四边形，则出发________s 时，四边形DFCE 的面积为20 cm 2.【解答】设点D从点A出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.由题意，得12×12×12−4x22−(12−2x)22＝20，解得x1＝1，x2＝5，故答案为：1或5.4.某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系l=t2+3t（t≥0），乙以8cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为42cm．（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？【解答】（1）当t=4s 时，l=t2+3t=16+12=28（cm）．答：甲运动4s后的路程是28cm．（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm，甲走过的路程为t2+3t，乙走过的路程为4t，则t2+3t+8t=42，解得：t1=3，t2=-14（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s．（3）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为三个半圆3×42=126cm，则t2+3t+8t=126，解得：t=7或t=-18（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s ．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向B 移动，点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 两点同时停止运动． （1）是否存在某一时刻使得△PQD 的面积等于8cm 2？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．（2）几秒后，△PQD 是以DP 为斜边的直角三角形．【解答】（1）不存在，理由如下：设出发秒x 时△DPQ 的面积等于8cm 2． ∵S 矩形A B C D -S △A P D -S △B P Q -S △C D Q =S △D P Q ，∴6×12-12×12×x -12×（6-x ）•2x -12（12-2x ）×6=8，∴x 2-6x+28=0，∵∆=b 2-4ac=36-4×28=-76＜0，∴原方程无实数根，即不存在某一时刻使得△PQD 的面积等于8cm 2． （2）∵∠A=∠B=∠C=90°，∴PD 2=t 2+122，PQ 2=（6-t ）2+（2t ）2，QD 2=（12-2t ）2+62， ∵△PQD 是以DP 为斜边的直角三角形，∴PD 2=PQ 2+QD 2，即t 2+122=（6-t ）2+（2t ）2+（12-2t ）2+62， 整理得2t 2-15t+18=0，解之得t 1=6，t 2=32，即当t 为32秒或6秒时，△PQD 是以PD 为斜边的直角三角形．6.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点B 出发沿线段BC 、CD 以2cm/s 的速度向终点D 运动；同时，点Q 从点C 出发沿线段CD 、DA 以1cm/s 的速度向终点A 运动（P 、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ 的面积能否等于22cm 2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由【解答】（1）点P 从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2=9s，点Q 从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1=18s， ∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是：（6+12）-1×9=9cm， 答：点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是9cm ；（2）在运动过程中，△APQ 的面积能等于22cm 2，当P 从点B 运动到点C 的过程中，设点P 运动时间为as ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2， ∴12×6-2a×62−(12−2a)×a2−(6−a)×122=22，解得，此方程无解；当点P 从C 到D 的过程中，设点P 运动的时间为（b+6）s ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2， ∴12×6-(6+2b)×122−b(6−2b)2=22，解得，b 1=1，b 2=14（舍去），即需运动6+1=7s ，△APQ 的面积能等于22cm 2．7．如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒． （1）填空：BQ=__________，PB=_________；（用含t 的代数式表示） （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP=tcm．∵AB=5cm，∴PB=（5-t）cm．∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，∴BQ=2tcm；（2）由题意，得(5-t)2+(2t)2=52．解得t1=0（不合题意，舍去），t2=2．所以当t=2秒时，PQ的长度等于5cm．（3）存在，t=1秒时，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．由矩形ABCD的面积是5×6=30cm2，若五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBG的面积为30－26=4 cm2，=4．解得t1=4（不合题意，舍去），t2=1．即（5－t）×2t×12即当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2．8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC=6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．点Q在射线PC上，且PQ ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，设运动时间为t秒，(1)当N点落在BC上时，t= 秒;(2)若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．备用图【解答】(1)当N 落在BC 上时，Q 点在C 处，此时CP+AP=2t+t=6,∴t=2,.故填：2（2）∵AP ＝t ，PQ ＝2AP ，∴PQ ＝2t ，①如图1，当0≤t ≤2时，S ＝（2t ）2﹣12t 2＝72t 2＝8， 解得：t 1＝47√7，t 2＝﹣47√7（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t ≤3时，S ＝12×6×6﹣12t 2﹣12（6﹣2t ）2＝12t ﹣25t 2＝8， 解得：t 1＝4（不合题意，舍去），t 2＝45（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t ≤6时，S ＝12×6×6﹣12t 2＝8，解得：t 1＝2√5，t 2＝﹣2√5（不合题意，舍去）， 综上，t 的值为47√7或2√5时，重叠面积为8．9.等腰△ABC 的直角边AB=BC=10cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，△PCQ 的面积为S ． （1）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？（2）作PE ⊥AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．【解答】（1）由S △ABC =12AB •BC ＝12×10×10=50.当t ＜10秒时，P 在线段AB 上，此时CQ=t ，PB=10-t. ∴S △PCQ ＝12×t×(10−t)＝12 (10t −t 2) ＝50.整理得t 2-10t+100=0无解.当t ＞10秒时，P 在线段AB 得延长线上，此时CQ=t ，PB=t-10. ∴S △PCQ ＝12×t×(t −10)＝12(t 2−10t) ＝50.整理得t 2-10t-100=0解得t=5±5√5（舍去负值）. ∴当点P 运动5+5√5秒时，S △PCQ =S △ABC .（2）当点P,Q 运动时，线段DE 的长度不会改变． 证明：过Q 作QM ⊥AC ，交直线AC 于点M 易证△APE ≌△QCM ，∴AE=PE=CM=QM=√22t ，∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半． 又∵EM=AC=10√2，∴DE=5√2.∴当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变． 同理，当点P 在点B 右侧时，DE=5√2。
一元二次方程动点问题讲解
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
C
当L位于CD的左侧时,与AC L
Q
交于点Q,则PQ=X
p
A·
∴S△APQ=½×x×x=½x²
DB
(0＜x≤2)
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
解：设x秒后，三角形的面积为8 D
C
则AP=Xcm PB=6-X
Q
BQ=2X 依题意列方程：½2x(6-x)=8
整理 得到 x2 6x 8 0
解这个方程，得
x1 2, x2 4
∵0≤x≤6
A· P
·B
所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面积等于8cm²
n--5
例3：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A
B
Q
C
P
A
练习2:在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D
从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点
ＤD做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC
上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为
20cm2？
Ｃ
F Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
·A
R
பைடு நூலகம்
P
∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
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例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后△ PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后△ PBQ的面积等于8cm2
1 根据题意，得 2 x (6 x) 8 2 2
解：设货轮从出发到两船相遇共航行 了x海里，过D作DF⊥ CB，交BD于F， 则DE=x，AB+BE=2x，DF=100， EF=300-2x
2 2 2 在Rt⊿DEF 中， DE DF EF
A
D
x 100 (300 2 x)
2 2
2
100 6 100 6 x 200 200(舍去) 所以DE 200 3 3
1 2 解：当0 x 2时，S x 2 当2 x 3时，S 3 3 x
2
6 x 200 3
C
F
E
B
例4： △ ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB, 垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重 合),且AP=x,过点P作直线l与AB垂直. i)设△ ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S 与x之间的函数关系式; ii)当x为何值时,直线l平分△ ABC的面积?
整理，得 x
D
C
6x 8 0
解这个方程，得
x1 2, x2 4
A P
Q
0 x 6
所以2秒或4秒后△ PBQ的 面积等于8cm2
B
例2：等腰直角 △A B中,AB=BC=8cm, 动点P从A点出发,沿AB向B移动,经过点 P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别 交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行 四边形PQCR的面积等于16cm2?
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x 根据题意得：x 8-x 16 整理得：x 8 x 16 0
2
A R P
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm
C
2
Q
B
例3：某海军基地位于A处，在其正南方 向200海里处有一重要目标B，在B的正 东方向200海里处有一重要目标C。小岛 D位于AC的中点，岛上有一补给码头； 小岛F位于BC的中点。一艘军舰从A出发， 经B到C匀速寻航，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲 将一批物品送达军舰。已知军舰速度是 补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与 补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航 行了多少海里？