同济大学高等数学1期末试题(含答案)
同济大学《高等数学》[上册]的答案解析
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练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1（上）
一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）
()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x =和(
)g x =（C ）
()f x x =和(
)2
g x =
（D ）()||
x f x x
=和()g x =1 2．函数()
00
x f x a x ≠=⎨⎪
=⎩
在0x =处连续，则a =（）.
（A ）0（B ）1
4
（C ）1（D ）2
3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =-（B ）(1)y x =-+（C ）()()ln 11y x x =--（D ）y x =
4．设函数
()||f x x =，则函数在点0x =处（）.
（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4
y x =的（）.
（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1
||
y x =
的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．
211
f dx x x
⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰
的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
（B ）1f C x ⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
8．
x x dx
e e -+⎰的结果是（）.
(完整版)同济大学第六版高等数学第一章综合测试题答案
第一章综合测试题解答
一、 1． [1,2)
2． g (x)
1 ln x
3．
1 4． ln 5
1 e
5． [ 1 e, 2] U [ 2, 1 e]
二、 1．（ C ）
2． (B)
3．（D ） 4.（ D ） 5.（ C ）
f ( x)
1 | x |)
0, x 0, (x)]
0, ( x) 0 0, x 0,
三、解
( x x, x
f [ ( x), (x)
x 2 , x 0,
2
0.
Q f ( x)
0, [ f ( x)]
1 ( x
2 x | x |).
2
四、解 1、令 2
x t ，则 x 2 时， t
0 ，
原式
lim(4 t)t cot t
lim (4 t)t
cos t 16 .
t 0
4
t 0
t 4
4
1 x x
2
3
2、原式 = lim
1 x 3
lim
x 1
x 1
1 1
3
x
1，原式 = 3、设 f ( x)
x
( x 1)( x 2)
lim
( x 2) 1 .
(1 x)(1
x x 2 )
x x 2 x 1
1
1 xf ( x)
lim
1 f (x) f
(x)
.
x
1 1 lim x
1
1 Q lim xf (x)
lim x[ 3x
1]
lim x(3
x
1)
x
x
x
x
x x
1 lim x 1
ln 3 1 ln 3,
x
x
原式e 1 ln3
3e.
1 2 L
n
1
2
L
n 1 2
L n 4、
n
n 2 1 n 2
2
n 2 n
n 2
，
n 2
1
1 2
L n
n(n 1) 1
lim 1 2 L
n
Q lim
2
lim
2
2
,
n
n
1 n
2( n
1)
2
n
n
n
原式
1
.
2
5、 Q lim
e 1/ x 1 arctan 1 =
1 (
)
2
同济大学高等数学考试题
同济大学高等数学考试题
高等数学(上)期中考试试卷 1
(答卷时间为 120 分钟)
一.选择题(每小题 4 分)
1.以下条件中( )不是函数 f ( x) 在 x0 处连续的充分条件.
(A) lim f ( x) , lim f ( x0 ) (B) lim f ( x) , f ( x0 ) x x0 ，0 x x0 0 x x0
(C) f ,( x0 ) 存在 (D) f ( x) 在 x0 可微
2.以下条件中( )是函数 f ( x) 在 x0 处有导数的必要且充分条件. (A) f ( x) 在 x0 处连续 (B) f ( x) 在 x0 处可微分
f (x0 ， x) f (x0 x) lim f ,( x) 存在 (D)存在 (C) lim x 0 x x0
x 1 的( )间断点. 3. x , 1是函数 f ( x) , sin x (A)可去 (B)跳跃 (C)无穷 (D)振荡
4.设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续并在开区间 (a, b) 内可导，如果在 ( a , b ) 内
). f ,( x) , 0 ，那么必有(
(A)在 [ a , b ] 上 f ( x) , 0 [ a , b ] 上 f ( x) 单调增加 (B)在
(C)在 [ a , b ] 上 f ( x) 单调减少 (D)在 [ a , b ] 上 f ( x) 是凸的
5.设函数
). f ( x) , ( x 2 3x ， 2) sin x ，则方程 f ,( x) , 0 在 ( 0 , ) 内根的个数为( (A)0 个 (B)至多 1 个 (C) 2 个 (D) 至少 3 个
高等数学 课后答案 - 高等教育出版社(同济大学数学系)
高等数学 高等教育出版社
--同济大学数学系
习题一
1、（4）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-254876131210131311412 （5）原式=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++++++333232131323222121313212111321)(x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x
2
3
3332323131322322222121311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++= =j i ij j i x x a ∑=3
1,
2、（1）T B A 23-=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡165654111202022242363636333 （2）B AB T -=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10101211110
101112
1121212111 =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101441300101012111202431211 （3）T BA A -2=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡12
1
211121
101012111121212111121212111
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41
4
645233
24203121165
同济大学高等数学第七版下册系列练习题答案
《高等数学》期末练习题1答案
题目部分，（卷面共有25题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共30分）1-5．BCAAC 6-10．ABADC 二、填空（5小题，共10分）1．答案：π-arccos 45
2．答案：平面y x =上的所有点。
3．答案：-16xy
4．答案：
22
20
().
d f r rdr π
θ⎰
⎰5．答案：120
1611+-
三、计算（8小题，共48分）
1．答案：过点P 1021(,,)-，l 1方向向量为S 1221=-{,,}，过点P 2131(,,)-，l 2方向向量为S 2421=-{,,}，
n S S P P =⨯==-12126012152{,,},{,,}
距离为d P P n n n
==⋅=
Prj ||/||1215
2．答案：cos cos αβ==
2
2∂∂∂∂z x
z
y
==11，所以∂∂z n =+=222223．解：d d d u u x x u y y =+∂∂∂∂=-+⎛⎝ ⎫
⎭⎪
1x e y x y x
x y y
x sin cos d d 4．解：由z x z y x y =-==+=⎧⎨
⎩220
240
，得D 内驻点(1，－2)，且z (,)1215
-=-在边界x y 2
2
25+=上，令L x y x y x y =+-+-++-2
2
2
2
241025λ()
由L x x L y y L x y x y =-+==++==+-=⎧⎨⎪
⎩⎪2220242025022λλλ
得x y =±=5
25, ，
(()z
z 525151055251510
同济大学2019-2020学年第一学期《高等数学C(上)》期末试卷及参考答案
同济大学 2019-2020 学年第一学期高等数学 C(上)期终试卷
一. 填空题( 4'⨯6 = 24' )
1
3 1. 已知当 x → 0 时, (1+ ax 2 )3
-1与cos x -1是等价无穷小, 则a = - .
2
2. lim( n - 2)n
=
e -3
n →∞ n +1
3. 已知 f '(3) = 2 , 则lim f (3 - h ) - f (3)
= -1 .
h →0 2h
x
4. 曲线 y =
⎰
(t -1)(t - 2)dt 在点(0, 0) 处的切线方程是
y = 2x
5. 已知 f '(x ) =2x 则 df (x 2
) =
dx 3
6. 若函数 f (x ) = a ln x + bx 2
+ x 在 x =1及 x = 2 取得极值, 则a = - 3 , b = - 1
2
6
二． 计算题( 5'⨯9 = 45' )
e x - e - x - 2x
1. 求 lim
x →0 x - sin x
[ 2 ]
2. 求 lim(
1
- cot 2 x ) [ 2
]
x →0
x 2
3
3. 求 lim(1- 2
)
5 x -2
[ e -10 ]
x →∞
x
4. 设 y = ln(cos 2
x +, 求 y ' [ y ' -sin 2x ) ]
5. 设
y =
1- x , 求 1+ x
y (n )
[ y
(n ) =
(-1)n 2n !
(1+ x )n +1 ]
6. 设 y = (tan x )
sin x
, 求 dy [ y ' = (tan x )
sin x
(cos x ln tan x + sec x ) ]
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习1-1
173 / 1512
174 / 1512
175 / 1512
176 / 1512
177 / 1512
178 / 1512
179 / 1512
180 / 1512
181 / 1512
182 / 1512
183 / 1512
184 / 1512
185 / 1512
186 / 1512
187 / 1512
188 / 1512
189 / 1512
190 / 1512
191 / 1512
192 / 1512
193 / 1512
194 / 1512
195 / 1512
196 / 1512
197 / 1512
练习1-2
198 / 1512
199 / 1512
200 / 1512
201 / 1512
202 / 1512
203 / 1512
204 / 1512
205 / 1512
206 / 1512
练习1-3
207 / 1512
208 / 1512
209 / 1512
210 / 1512
211 / 1512
212 / 1512
213 / 1512
214 / 1512
215 / 1512
216 / 1512
217 / 1512
练习1-4
218 / 1512
219 / 1512
220 / 1512
221 / 1512
222 / 1512
同济大学高等数学第七版下册系列练习题答案
《高等数学》期末练习题1答案
题目部分，（卷面共有25题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共30分）1-5．BCAAC 6-10．ABADC 二、填空（5小题，共10分）1．答案：π-arccos 45
2．答案：平面y x =上的所有点。
3．答案：-16xy
4．答案：
22
20
().
d f r rdr π
θ⎰
⎰5．答案：120
1611+-
三、计算（8小题，共48分）
1．答案：过点P 1021(,,)-，l 1方向向量为S 1221=-{,,}，过点P 2131(,,)-，l 2方向向量为S 2421=-{,,}，
n S S P P =⨯==-12126012152{,,},{,,}
距离为d P P n n n
==⋅=
Prj ||/||1215
2．答案：cos cos αβ==
2
2∂∂∂∂z x
z
y
==11，所以∂∂z n =+=222223．解：d d d u u x x u y y =+∂∂∂∂=-+⎛⎝ ⎫
⎭⎪
1x e y x y x
x y y
x sin cos d d 4．解：由z x z y x y =-==+=⎧⎨
⎩220
240
，得D 内驻点(1，－2)，且z (,)1215
-=-在边界x y 2
2
25+=上，令L x y x y x y =+-+-++-2
2
2
2
241025λ()
由L x x L y y L x y x y =-+==++==+-=⎧⎨⎪
⎩⎪2220242025022λλλ
得x y =±=5
25, ，
(()z
z 525151055251510
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习1-1
173 / 1512
174 / 1512
175 / 1512
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177 / 1512
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练习1-2
198 / 1512
199 / 1512
200 / 1512
201 / 1512
202 / 1512
203 / 1512
204 / 1512
205 / 1512
206 / 1512
练习1-3
207 / 1512
208 / 1512
209 / 1512
210 / 1512
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练习1-4
218 / 1512
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220 / 1512
221 / 1512
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同济大学2014-2015学年高等数学(B)上期末考试试卷
本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。
同济大学2014-2015学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 填空选择题(3'824'⨯=)
1. 极限23
232lim(
)1
n
n n n e n -→∞-+=+
2. x y xe =在1x =对应点的曲率k =
3
22
3(14)
e e +
3.
反常积分
1
1
11
1dx x x αα+∞
-+⎰
⎰收敛, 则常数α的取值区间是3(,2)2
α∈
4.
1
'(32)(32)2
x x x e f e dx f e c -=-
-+⎰
5. ()f x 在[,]a b (其中1b a =+)上具有二阶导数,且"()0f x <,下列不等式正确的是 【B 】
()'()'()()(A f b f a f b f a <<-; ()'()()()'()B f b f b f a f a <-<; ()()()
'()'(C f b f a f b f a -
<<; ()'()()()'()D f a f b f a f b <-<.
6. ()f x 是连续函数, 极限1
21
lim
(
)n
n k k n f n n
→∞
=-⋅∑等于下面的定积分 【D 】
1
1
()
(21)A f x d x --⎰
; 2
()(21)B f x dx -⎰; 1
1
()2()C f x dx -⎰; 1
(NEW)同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)配套题库【考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】
1．函数 研]
在 处的n阶导数
【答案】
【解析】根据莱布尼茨公式得
______．[数二 2015
其中
因为
，所以
综上，得
．
2．曲线L的极坐标方程为 为 ______．[数二2014研]
，则L在点
处的切线方程
【答案】
【解析】先把曲线方程化为参数方程
处，
，
处的切线方程为
，即
，于是在 ，则L在点
3．设某商品的需求函数为
在点
处的切线与直线 及 轴所围成区域的面积恒
为4，且
，求 的表达式．[数一、数三 2015研]
解：设 在点
处的切线方程为
令 ，计算得该切线与x轴的交点为
．
由题意，知
化简得
即 因为
满足
．计算得
，所以
，因此
． ．
2．（1）设函数 ， 可导，利用导数定义证明
（2）设函数 ， ，…， 可导，
，
写出 的求导公式．[数一、数三 2015研]
习题7-9 欧拉方程 习题7-10 常系数线性微分方程组解法举例 总习题七 第三部分 章节题库 第一章 极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 微分中值定理与导数的应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 定积分的应用 第七章 微分方程 第四部分 模拟试题 全国硕士研究生招生考试数学一模拟试题及详解 全国硕士研究生招生考试数学二模拟试题及详解 全国硕士研究生招生考试数学三模拟试题及详解
同济大学数学系《高等数学》（第7版）（上册）配套题库【考研真题精选＋章节题库】
目 录
第一部分 考研真题精选
第1章 函数与极限
第2章 导数与微分
第3章 微分中值定理与导数的应用第4章 不定积分
第5章 定积分
第6章 定积分的应用
第7章 微分方程
第二部分 章节题库
第1章 函数与极限
第2章 导数与微分
第3章 微分中值定理与导数的应用第4章 不定积分
第5章 定积分
第6章 定积分的应用
第7章 微分方程
第一部分 考研真题精选
第1章 函数与极限
一、选择题
1若，则f（x）第二类间断点的个数为（ ）。[数二、数三2020研] A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】
C
【解析】
由f（x）表达式知，间断点有x＝0，±1，2。
因为存在，故x＝0为可去间断点；
因，故x＝1为第2类间断点；
因，故x＝－1为第2类间断点；
因，故x＝2为第2类间断点；
综上，共有3个第二类间断点，故应选C项。
2当x→0时，若x－tanx与x k是同阶无穷小，则k＝（ ）。[数一2019研]
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】
C
tanx在x＝0处的泰勒展开式为：tanx＝x＋（1/3）x3＋o（x3），因此当x→0时有x－【解析】
tanx～－（1/3）x3，即x－tanx与－（1/3）x3是x→0时的等价无穷小，进一步可得x－tanx与x3是同阶无穷小，所以k＝3，故选C。
3已知方程x5－5x＋k＝0有3个不同的实根，则k的取值范围（ ）。[数三2019研] A．（－∞，－4）
B．（4，＋∞）
C．{－4，4}
D．（－4，4）
【答案】
D
【解析】
方程x5－5x＋k＝0有3个不同实根等价于曲线y＝x5－5x与直线y＝－k有3个不同的交点，因此研究曲线y＝x5－5x的曲线特点即可。
同济大学高等数学习题答案
习题一 解答
1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A =“一个数是另一个数的2倍”，B =“两个数组成既约分数”中的样本点。
解 Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}；
A ={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}；
B ={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）}
2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A ＝{选出的学生是男生}，B ＝{选出的学生是三年级学生}，C ＝{选出的学生是科普队的}．
(1)叙述事件ABC 的含义．
(2)在什么条件下，ABC ＝C 成立？ (3)在什么条件下，C ⊂B 成立？
解 (1)事件ABC 的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．
(2)由于ABC ⊂C ，故ABC ＝C 当且仅当C ⊂ABC ．这又当且仅当C ⊂AB ，即科普队员都是三年级的男生．
(3)当科普队员全是三年级学生时，C 是B 的子事件，即C ⊂B 成立． 3.将下列事件用A ，B ，C 表示出来： （1）只有C 发生；
（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生；
（4）三个事件至少有一个不发生；
（5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。
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1. 若82lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1
cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2
3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n
n n n n n πππ
______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分）
1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ）
A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .
B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .
C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .
D.A 、B 、C 均不对.
2.设函数)(x f y =二阶可导，且
,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ∆'=-∆+=∆<''<'，
当,0>∆x 时，有（A ） A. ,0<<∆dy y B. ,0>>∆dy y C. ,0<∆
3. =+⎰-dx e x x x ||2
2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e
4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ）
A. dx x f ⎰3
0)( B.
dx x f dx x f ⎰⎰-3110)()( C. dx x f ⎰-30)( D. dx x f dx x f ⎰⎰+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361
，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ）
A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解
1.求数列极限n n n n +∞→1!sin lim 3
2. 0 2.求极限2200
sin lim 2x tdt e x t x ⎰→. 2
三、计算题（每题9分）
1. ⎰+=C x dx x xf arcsin )(（其中C 为任意常数），求⎰
dx x f )
(1. C 131-32+-）（x 2.设函数)(x f 连续，且dx x f x x x x f ⎰-++=1022
)(11)(，求dx x f ⎰10)(. π-42ln 2 四、10分
设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个解为x x x xe e e y ++=2，求常数c b a ,,的值. 1-,2,3==-=c b a
五、证明题（8分）
设函数)(x f 在],[b a 上可导，且0)()(==b f a f ，并存在一点),(b a c ∈，使得0)(>c f ，证明至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(<'ξf .
证明：函数)(x f 在],[b c 上应用拉格朗日中值定理，则存在),(b c ∈ξ 使得0)()()()(<--=--='c
b c f c b c f b f f ξ. 六、应用题（8分）
设有长为l ，质量为M 的均匀直细棒AB ，在AB 的延长线上与其近端点相距r 处有一质量为m 的质点，求细棒对质点的引力.
)()(0
2l r r GMm dx x r GMm F l +=-=⎰-