同济大学高等数学1期末试题(含答案)
高等数学同济版上册期末复习题含答案
※高等数学上册期末复习一.填空题x3x?ecos23lim?1.2xsin20x?2x??)(2,2exey? 2.曲线的拐点是)(xf??lim0x?)(0)?(ff(x)00,f在则处可导且设3. x0x???x1?cos2)1???x(,y1?xy?在处的切线方程为4.曲线222 2x?y1?x?1?y和水平渐近线5.曲线有垂直渐近线21?xxx2xx?dx))]?f?(sine[f(esin)]2[f(eey??(fu)dy，则6.设可导，?dxe?)e1?2(7.0)hx?3?h)?f(f(x?00?lim3)??fx(12?，则8.若4#x2?dxx1?p?p收敛，则的范围是9.若10h0h???p3?2x#1x?e lim()?10.12x???c?(F2x)?)dxf(2xdx?F(x)?cf(x)11.设，则2??x1#?cx??ln?xf(x)dxxlnx)xf(，则设12.的一个原函数是2422xx???x)dxf(?x)f(，则13.设?60?,xx1??#2?x?y x21)(1,3的曲2?0?xx,11线方程为14.过点且切线斜率为xsin??0x?,?x?)xf(?)f(x15.已知函数时，函数是无穷小；当，则当?x?0?a,x??a0x?x?01)xf(（一）类间断点。
处连续，否则时，函数为函数的第在1??c?)dx?F(xf(x)f(arcsinx)dx?F(arcsinx)?c，则已知16. 2x1?1 / 13?dt? 132?a x1?xcos?01??ax)(13时，是等价无穷小，则与17.当2tsin?3xt0#?a?f(x)10?,x是连续函数，则18.?3x?0x?a,?1112?????(x)dxxf(x0f(1)?,[f(x)]dx?1)f]1f(x)[0,上连续，且19.，则在2 0011112????))xxf?(f(x)?xxf(x)df()?xfd((xxf(x)f)(x)dx提示：00001112?????dx)(xdx?)xfxf((x)]dx??xff(x??)f(x)[f(x)?，移项便得。
同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x =和()g x =（C ）()f x x =和()2g x =（D ）()||x f x x=和()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =（）.（A ）0（B ）14（C ）1（D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =-（B ）(1)y x =-+（C ）()()ln 11y x x =--（D ）y x =4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1||y x =的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（）.（A ）arctan xe C +（B ）arctan xe C -+（C ）x x e e C --+（D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰（B ）44arcsin x x dx ππ-⎰（C ）112x xe e dx --+⎰（D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()102f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f -（B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条.4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '.3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰②()0a >③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B2．B3．A4．C5．D6．C7．D8．A9．A10．C二．填空题1．2-2．-３．２４．arctan ln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3.①11ln||23xCx+++②ln|x C+③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=。
同济大学《高等数学》(上)期末试卷A及答案
高等数学(上)期末考试试卷试 题一、填空、选择题1．函数)(x f 在],[b a 上可积是)(x f 在],[b a 上连续的 条件，函数)(x f 在],[b a 上可导是)(x f 在],[b a 上连续的 条件．2．曲线(ln y x =在点(),ln(1处的切线方程是 ．3．函数()(1)cos sin f x x x x =−−在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．4．曲线()x x y x −=2e 上有 个拐点．5．设可导函数()g x 满足(0)0g =，()00≠′g ，设())(sin 2x g x G =，则当0x →时， ．（A ）()G x 与()g x 是等价无穷小． （B ）()G x 与()g x 是同阶的无穷小． （C ）()G x 是比()g x 高阶的无穷小．（D ）()G x 是比()g x 低阶的无穷小．6．极限nnn nnn 333lim 21+++∞→"= ．7．如果一物体沿直线运动，物体的运动速度的变化曲线如图3所示（单位省略），则物体在这段位移过程中的平均速度为 ．8．微分方程x x y x y sind d =+的通解为 ． 二、1．设函数ln sec y x =，,22x ππ⎛⎞∈−⎜⎟⎝⎠．(1)讨论函数的单调区间与该函数的图形的凹凸性； (2)该曲线在哪点处的曲率半径为2？2．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∫,0,,0,d e 22x a x x t x x xt ϕ 求a 的值，使得()x ϕ在0=x 处连续，并用导数定义求(0)ϕ′．三、1．求定积分I =∫−π22d sin 1x x x ．2．若()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=,0,11,0,112x x x x xx f 对于(,)x ∈−∞+∞，求()()∫∞−=xt t f x F d ．四、1．设曲边梯形由曲线1y x x=+（0x >）与直线0y =，x a =，1x a =+所围成（其中0a >），问：当a 为何值时，曲边梯形的面积为最小，最小面积是多少？2．设一平板浸没在水中且垂直于水面(水的密度为1000kg/m 3)，平板的形状为双曲四边形，即图形由双曲线2244x y −=，直线1y =与1y =−所围成(如图4所示，单位：m)．(1)如果平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的水的总压力是多少？(2)如果水位下降，在时刻t ，水面位于y =()h t 处，且水面匀速下降，速率为0.01（m/s ），问：当水面下降至平板的中位线(即x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率是多少？五、设函数()f x 满足方程x x f u u f x u x 2cos )(d )()(0+=−∫，求()f x ．参考答案一、1．必要，充分．2．|1x y ′，因此所求切线是ln(1y x =．3．()(1)sin f x x x ′=−−，在区间(0,)2π内有唯一驻点1x =且为极大值点，因此所求最大值是(1)sin1f =−．4．()x x y x 3e 2+=′′有2个零点3x =−与0x =，且y ′′在这2个零点的左、右两侧邻近异号，因此该曲线上有2个拐点．5．2222000(sin )(0)()(sin )sin (0)sin lim lim lim 00()(0)()()(0)x x x g x g G x g x x g x g x g g x g x x g x→→→−′==⋅=⋅=−′，因此当0x →时，()G x 是比()g x 高阶的无穷小，故选（C ）．6．利用定积分的定义，得3ln 2d 3333lim1021==+++∫∞→x n x nn n n n "． 7．1011()d 101v v t t =−∫，根据定积分的几何意义，其中的定积分101()d v t t ∫是图中的图形面积，即10111118()d [4(61)4(86)(24)(108)]1019223v v t t ==⋅⋅−+⋅−++⋅−=−∫． 8．通解为()11d d sin 1cose e d sin d x x x x x x Cy x C x x C x xx−⎛⎞−+∫∫=+=+=⎜⎟⎝⎠∫∫． 二、1．(1)tan y x ′=，在,02π⎛⎞−⎜⎟⎝⎠内，0y ′<；在0,2π⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0y ′>．故,02π⎛⎤−⎜⎥⎝⎦是单调减少区间，0,2π⎡⎞⎟⎢⎣⎠是单调增加区间；而由2sec 0(,)22y x x ππ⎛⎞′′=>∈−⎜⎟⎝⎠得，该函数的图形是凹的． (2)322|||cos |(1)y K x y ′′==′+．由12K =，得3x π=±，故曲率半径为2的点是(,ln 2)3π±．2．11e e 2lim d e lim2224020=−=→→∫xx x xxt x xt ，因此1=a 时，()x ϕ在0=x 处连续． 22020d e lim1d e lim)0()(lim)0(22x x t xx t xx x xt x x xt x x −=−=−=′∫∫→→→ϕϕϕ02e 2e 16lim 21e e 2lim 22224040=−=−−=→→xx x x x x x x x ．三、 1．I =∫∫∫−=ππππ222022d cos d cos d |cos |x x x x x x x x x[][]πππ22202sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin xx x x xxx x x x −+−−+=4222−+=ππ．2．当0x <时，()2arctan d 112π+=+=∫∞−x t t x F x ； 当0x ≥时，()2arctan 2]arctan 2[2d )1(1d 11002ππ+=+=+++=∫∫∞−x t t t t t t x F xx ． 因此()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=.0,2arctan 2,0,2arctan x x x x x F ππ 四、1．曲边梯形的面积1111()()d ln2a a a A a x x a x a ++=+=++∫， 11()11A a a a ′=+−+．令()0A a ′=，解得在0a >范围内的唯一驻点12a −=，易知该点为极小值点，因此必为最小值点．而其最小面积min 1)ln 22A A −==+ 2．(1)水压力111000(1)2000F g y y g y −=−=∫∫10120002ln(10004ln 2g y g +⎤=++=+⎥⎦．(2)在时刻t ，水面位于()y h t =，平板一侧所受到的水压力为()(()1111000[()]1000()1000h t h t h t F g h t y y gh t y g y −−−=−=−∫∫∫，上式两边对t 求导，得(1d d 1000d d h t F hg y t t−=∫， 由于d 0.01d ht=−，因此，当水面下降至平板的中位线(即x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下降速率为01d 10102ln(d F g y g y t −−⎤=−=−++⎥⎦∫154ln 2g =−+． 五、原方程为x x f u u f x u u f u xx 2cos )(d )(d )(0+=−∫∫，代入0x =，得(0)1f =−．上式两端对x 求导，得x x f u u f x2sin 2)(d )(0−′=−∫，代入0x =，得(0)0f ′=．上式两端再对x 求导，得x x f x f 2cos 4)()(−′′=−．故()y f x =满足初值问题⎩⎨⎧=′−==+′′==.0|,1|,2cos 400x x y y x y y 解得124cos sin cos 23y C x C x x =+−，代入初始条件解得113C =，20C =．故14()cos cos 233f x x x =−．。
高数期末考试题及答案同济
高数期末考试题及答案同济一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在区间[-1, 1]上的最大值是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D2. 曲线\( y = x^3 \)在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 4答案：C3. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \)为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在区间(0, +∞)上的连续性是：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 有界答案：A5. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：D6. 微分方程\( y'' - y' - 6y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - r - 6 = 0 \)B. \( r^2 + r - 6 = 0 \)C. \( r^2 - r + 6 = 0 \)D. \( r^2 + r + 6 = 0 \)答案：A7. 若\( \lim_{x \to \infty} f(x) = L \)，则\( \lim_{x \to \infty} f(2x) \)为：A. \( \frac{L}{2} \)B. \( 2L \)C. \( L \)D. 不存在答案：C8. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的原函数是：A. \( x \)B. \( x^2 \)C. \( e^x \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D9. 函数\( f(x) = e^x \)的泰勒展开式是：A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \)B. \( 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \ldots \)C. \( 1 + x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \ldots \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \)答案：A10. 若\( \int_{a}^{b} f(x) dx = 0 \)，则\( f(x) \)在区间[a, b]上：A. 恒为0B. 有界C. 单调递增D. 至少有一个零点答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 若\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，则\( f'(x) = \)______。
《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]
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《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]一、选择题（本题共5小题；每小题3分；共15分）1、若函数xx x f =)(；则=→)(lim 0x f x （ ）.A 、0B 、1-C 、1D 、不存在 2、下列变量中；是无穷小量的为（ ）. A 、1ln(0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.A 、极大值点B 、极小值点C 、驻点D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）.A 、必要但非充分条件B 、充分但非必要条件C 、充分必要条件D 、既非充分又非必要条件5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、⎰+∞sin xdx B 、dx ex⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞1D 、dx x⎰+∞01二、填空题（本题共5小题；每小题3分；共15分）6、当k= 时；2,0(),x e x f x x k x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在0=x 处连续.7、设x x y ln +=,则_______________dxdy=. 8、曲线x e y x-=在点（0；1）处的切线方程是 .9、若⎰+=C x dx x f 2sin )(；C 为常数；则()____________f x =10、定积分dx x xx ⎰-+554231sin =____________.三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）11、求极限 xx x 2sin 24lim 0-+→.12、求极限 2cos 12limxt x e dtx-→⎰.13、设)1ln(25x x e y +++=；求dy .14、设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2所确定；求dy dx 和22dx yd .15、求不定积分212sin 3dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰.16、设,0()1,01x e x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩；求20(1)f x dx -⎰.四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分）17、证明：dx x x n m )1(1-⎰=dx x x m n )1(1-⎰ (N n m ∈,).18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0a b <<时；ln b a b b ab a a--<<.五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分）19、要造一圆柱形油罐；体积为V ；问底半径r 和高h 各等于多少时；才能使表面积最小？20、设曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形为A ；求 （1）平面图形A 的面积；（2）平面图形A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积.《高等数学》试卷（同济六版上）答案一．选择题（每小题3分；本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分；本题共15分）6、17、1xx+ 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题；每小题6分；共36分）11、解：x x x 2sin 24lim-+→x →= 3分01128x →== 6分12、解：2cos 12limxdt e x tx ⎰-→2cos0sin lim 2xx xe x-→-= 3分12e=-6分 13、解：)111(1122xxx y ++++=' 4分211x +=6分14、解：t t t t dx dy 21121122=++= 3分222232112()241d y t d dydxt dtt dt dxdx t t -+===-+ 6分15、解：212122sin(3)sin(3)(3)23dx d x x x +=-++⎰⎰ 3分 12cos(3)2C x=++ 6分 16、解：⎰⎰⎰⎰--+==-011112d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 0110d 1xxe dx x -=++⎰⎰ 3分1010|ln(1)x e x -=++11ln 2e -=-+ 6分四、证明题（本题共2小题；每小题8分；共16分） 17、证明：11(1)(1)m n m n x x dx t t dt -=--⎰⎰ 4分11(1)(1)m nm nt t dt x x dx=-=-⎰⎰ 8分18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈；0a b <<显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分由于1()f x x'=, 因此上式即为 l n l n b a b a ξ--=.又由.a b ξ<< b a b a b ab aξ---∴<< 当0a b <<时；ln b a b b a b a a--<< 8分五、应用题（本题共2小题,第19小题8分；第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π=∴表面积2222222222V V S r rh r rr r rππππππ=+=+=+ 4分令22'40VS r r π=-= 得r =2h =答：底半径r =2h = 8分 20、解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1；1）； 2分于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为31]3132[)(10210232=-=-=⎰x x dx x x A 6分A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：()πππ10352)(10521042=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰y y dy y y V 10分。
同济大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷
2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试同济大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim 2x xx →= 。
2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。
3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。
4．不定积分⎰=。
5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.设函数，则A.B.C.D.2.设曲线如图示，则函数在区间内( )．A.有一个极大值点和一个极小值点B.没有极大值点，也没有极小值点C.有两个极小值点D.有两个极大值点3.极限（）．A.B.C.D.4.函数的图形如图示，则（）.A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点C.是该函数的一个极大值点2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试D.不是该函数的一个极值点5.若定积分（ ）. A. B.C. D. 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求极限 ()011lim x x x e x x e →---。
2. 设函数1sin 2 ,0(), ,0 x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。
3. 设参数方程()1sin cos x t t y t t =-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dydx 。
4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d yx 。
5．求函数321x y x =-的单调区间，极值和拐点。
6．计算定积分1ln ex xdx ⎰。
7．求不定积分3。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．设函数f (x )在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且，证明：方程在(0, 1)内至少有一个实根。
同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1 (上)(A) y =x —1 (B ) y=_(x 1) (C ) y = I n X -1x -1 ( D ) y = x4•设函数f x =|x|，则函数在点x=0处( )5 .点x = 0是函数y = x 4的( )16.曲线y的渐近线情况是( ).|x|(A )只有水平渐近线(B )只有垂直渐近线(C )既有水平渐近线又有垂直渐近线(D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.f — _2dx 的结果是().l x /Xf 1 Lf 1 L CLf 1 L (A ) f 一丄 C(B ) —f -丄 C (C ) f 1 C (D ) 一 f - CI X 丿 I X 丿 l x 丿J x 丿dx& 匚出的结果是().e e(A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e xC (D ) ln(e x e^) C9.下列定积分为零的是().1.下列各组函数中 ，是相同的函数的是 ( ).(A ) f (x ) = lnx 2 和 g (x ) = 2lnX(B )f( x ) =| x|和g (x )=J?(C ) f (X )=X和 g (x ) = (T X )(D )f (X )=|x|和Xg (x )“Jsinx+4 -2x 式02.函数 f (X )= *In (1 +x )在X = 0处连续，则 a =( )ax = 0(A ) 0( B 1 - (C ) 1(D ) 243•曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为()(A )连续且可导 (B )连续且可微(C )连续不可导(D )不连续不可微(A )驻点但非极值点(B )拐点 (C )驻点且是拐点(D )驻点且是极值点「•选择题(将答案代号填入括号内，每题 3分，共30分)10.设f x 为连续函数，则 o f ' 2x dx 等于（1 _ 1（A ）f 2-f 0（B ）^-f 11 -f 0 （C ）p 二•填空题（每题 4分，共20 分）dx②.罟予a 0JI（A ）］学買弘（B ） txarcsinxdx （C ）1 x 21e x■ e■_1_xdx 2x sin x dx1.设函数f x 二 x^0在x =0处连续, x = 02. 已知曲线y = f x 在x =2处的切线的倾斜角为3.4.Xy =— 的垂直渐近线有x -1 dx 5.x 1 In 2xi ,ix sin x cosx dx =~2"三.计算（每小题 5分，共30分） 求极限 （1+x ¥x迎CT 丿1.2. 3. ②lim x ）0x -sin xx 2x e -1求曲线y =ln x y 所确定的隐函数的导数 y x .求不定积分 四.应用题（每题 10分，共20分） 1.作出函数y =x 3 -3x 2的图像._f 2 - f 0（D ）dxxe^dx《高数》试卷1参考答案一•选择题1. B2. B3. A 4• C 5. D 6. C 7• D 8. A 9• A 10. C二.填空题1. -22.3.24. arcta nln x c5.23三.计算题2 I 11①e ②一2. y x 二 --------------6 x + y_13.①丄ln| 口| C ② In | x2- a2x| C ③-e」x 1 C2 x+3四.应用题1.略2. S =18x - a。
同济大学大一高等数学期末试题精确答案
同济大学大一高等数学期末试题精确答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy yC yydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,z y∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =+方向的方向导数。
同济大学大一高等数学期末试题精确答案
课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）C 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在D 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．C 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．题 号（型）一二三四 核分人 得 分总分评卷人B 4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定A 5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =-1 .2．交 换ln 1(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =___I =1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰__________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 242 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -=1(1)!n n n x n +∞=-∑ . 5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 (2,2).三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctany z y x=, 求z x ∂∂,z y ∂∂.解：222yx y x z +-=∂∂; (3分)y z ∂∂=x y arctan +22y x xy +2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r满足：00023232x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分)3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+r r r方向的方向导数。
同济大学大一 高等数学期末试题 精确答案
课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）C 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在D 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．C 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则题 号（型）一二三四 核分人得 分总分评卷人(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．B 4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定A 5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =-1 .2．交 换ln 10(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =___I =1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰__________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 242 .4.已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -=1(1)!n n n x n +∞=-∑ .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 (2,2).三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,z y∂∂. 解：222yx y x z +-=∂∂; (3分)y z ∂∂=x y arctan +22y x xy +2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r满足：00023232x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- (4分)， 法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分)3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+r r r方向的方向导数。
《高等数学(一)》期末复习题(答案)
《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是 （ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数 （B) 偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时， 下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ）.（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ） （D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数 （B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数 （D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减 （B)在（+∞,1e）内单调递减 （C ）在（0，+∞）内单调递减 （D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ） （B ）（C ） （D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减 （B)在(,0)-∞内单调递减 （C ）在(,0)-∞内单调递增 （D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）． （A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点 （B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小 （C ） 高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数 （B ）是偶函数，非奇函数 （C ）既非奇函数，又非偶函数 （D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数 （B) 奇函数 （C)偶函数 （D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导； （B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导； （C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续； （D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。
同济大学高等数学上期末试卷(2套)
《高等数学》上 期末试卷（基础卷）一．填空题（本题满分15分，每小题3分）1.极限π2ln sin lim1sin x xx →=-________.2.设()ln 1arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩,则1d |d t yx ==________.3. 曲线323y x x =+在 x = 1 处对应的切线方程为： .4. 333)e d xx x x -+=⎰（________.5. 常系数齐次线性微分方程6130y y y '''++=的通解是 ________. 二．选择题（本题满分15分，每小题3分）下列每小题给出4个答案， 其中只有一个是正确的，请将正确答案的编号填入括号内。
1.设()1,0sin ,0x x f x x x x-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,则0x =为()f x 的_______.A ． 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 连续点2.设()()()()123f x x x x x =---,则()f x ''在()0,3上恰有_______零点.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 当0x →时，cos x x x -与sin cos x x x -是 无穷小.A.等价B.同阶C.高阶D.低阶 4. 函数()(ln ln f x x a =-是 .A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D. 奇偶性取决于a 值5. 微分方程d e d x yy x= 的通解为 .A ．e x y C = B. e e xy C = C ． x C y ln =； D.ln e x y C x =+.三．计算题（本题满分24 分，共4小题，每小题满分6分）1.求I x =⎰.2.30ln cos d limxx t t x+→⎰.3. 函数)(x y y =由方程e cos x y y =+确定，求d d yx. 4. 求tan sin 2y y x x '+=的通解.四.（本题10分）设平面区域D由曲线y =直线 1x = 及0y =所围成, 求区域D 的面积，以及该区域绕y 轴旋转所成旋转体的体积V .五.（本题10分）求内接于椭圆12222=+by a x 而面积最大的矩形的各边之长..六.（本题10分）设函数()x bx ax x f ++=23在1=x 取得极大值5， （1）求常数a 和b ； （2）求函数()x f 的极小值. 七.（本题10分）求函数2361(3)xy x =++的单调区间，凹凸区间、拐点和渐近线，并画出函数的图形.八.（本题6分）设()f x 二阶可导,且()00f =,()0f x ''>,证明:()f x x在 ()0,+∞上单调增加.《高等数学》上 期末试卷（综合卷）一．填空题（本题满分15分，每小题3分） 1. 极限()cot 0lim 12xx x →+=________.2. 设()f x 可导，并且()()112lim3x f f x x→--=，则()1f '=________.3. 设2e et tx t y t -⎧=-⎨=+⎩，求22d d y x =________. 4.设()23f '=，则函数()22y f x =在1x =处的微分为________. 5.(5π5πln d x x -⎡=⎢⎣⎰________.二．选择题（本题满分15分，每小题3分）下列每小题给出4个答案， 其中只有一个是正确的，请将正确答案的编号填入括号内。
(2021年整理)同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)
课程名称：《高等数学》试卷类别:A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示,不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷,流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质:期末统考(A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则( ）A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于( ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy y C y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处( ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点(1，1，2）处的一个切线方向向量为( ）. A. （—1，3，4） B.（3，—1，4） C 。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．设函数 ，则 是 的第类间断点.
2．函数 ，则 .
3． .
4．曲线 在点 处的切线方程为.
5．函数 在 上的最大值，最小值.
6． .
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列 有界是它收敛的（）.
必要但非充分条件； 充分但非必要条件；
充分必要条件； 无关条件.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数 ，则函数 在 内零点的个数为（B）.
(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.
2．微分方程 的特解形式为（C）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
3．下列结论不一定成立的是（A）
(A)(A)若 ,则必有 ;
(B)(B)若 在 上可积,则 ;
(C)(C)若 是周期为 的连续函数,则对任意常数 都有 ;
2．下列各式正确的是（）.
； ；
； .
3．设 在 上， 且 ，则曲线 在 上.
沿 轴正向上升且为凹的； 沿 轴正向下降且为凹的；
沿 轴正向上升且为凸的； 沿 轴正向下降且为凸的.
4．设 ，则 在 处的导数（）.
等于 ； 等于 ；
等于 ； 不存在.
5．已知 ，以下结论正确的是（）.
函数在 处有定义且 ； 函数在 处的某去心邻域内有定义；
大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共12分）
1. （3分）若 为连续函数,则 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. （3分）已知 则 的值为（ ）.
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
3. （3分）定积分 的值为（ ）.
同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)[1]
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课程名称：《高等数学》一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .xxyy yy A xy+ln ln .xy y B x ln ln ln .ln xxyy C yydx dy x+ln ln ln ln .xxyyyx D dx dy xy+3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = . 2．交 换ln 1(,)ex I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn xe n ∞==∑，则xxe-= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x∂∂,z y∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。
高等数学(同济版)上册期末复习题(含答案)
高等数学(同济版)上册期末复习题(含答案)一、填空题1.lim(e^3x-cos2x)/(3sin2x-2x^2) = 12.曲线y=xe的拐点是(2,2e)3.设f(x)在x=0处可导且f(0)=0，则lim(x→0) [f(x)/x] =f'(0)4.曲线y=(1-cos2x)/π+x在(-1,1)处的切线方程为y=x+15.曲线y=2x/(x^2-1)有垂直渐近线x=±1和水平渐近线y=06.设f(u)可导，y=sin[f(e)]，则dy=sin2[f(e)]·f'(e)·e dx7.∫e^x dx = 2(e^2+1)8.若f'(x)=-3，则lim(h→0) [(f(x+h)-f(x))/h] = -39.若∫xp dx收敛，则p的范围是p<-110.lim(x→∞) [(2x+3)/(x+1)] = e11.设∫f(x)dx=F(x)+c，则∫f(2x)dx=F(2x)/2+c12.设f(x)的一个原函数是x ln x，则∫x f(x)dx = x^2 ln x - ∫x dx + C13.设f(x)={x^2.x>1.-x。
x≤1}，则∫f(x)dx = -1614.过点(1,3)且切线斜率为2的曲线方程为y=x^2+115.已知函数f(x)={xsinx。
x≠a。
A。
x=a}，则当x→∞时，函数f(x)是无穷小；当a=1时，函数f(x)在x=1处连续，否则x=a为函数的第一类间断点。
16.已知∫f(x)dx=F(x)+c，则∫f(arcsin x)dx=F(arcsin x)+c17.当x→0时，(1+ax)^(-1)与1-cosx是等价无穷小，则a=2/318.f(x)={x^3sin(1/x)。
x≠0.0.x=0}是连续函数，则a=1/319.f(x)在[0,1]上连续，且f(1)=1，[f(x)]dx=1，则∫0^1 xf(x)f'(x)dx = -1/220.Φ(x)=∫xe^tdt，则Φ(1)=e-1，Φ'(1)=e2.曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于直线y=3x+1，则f'(2)=33.设f(x)=arctanx，则当x→+∞时，lim f(x)=π/25.函数y=x的导数为y'=x(lnx+1)6.∫0+∞ xe^(-x) dx=27.∫-1^1 (x+2)/(√(1+x^2)(2+x)) dx=19.f(x)=x的积分曲线中过(1,-1)的那条曲线的方程为y=x^2-2x11.设s为曲线y=xlnx与x=1,x=e及x轴所围成的面积，则s=(e^2+1)/213.曲线y=ln(e^x)的全部渐近线为y=1,x=0,x=-1/e15.曲线y=x^2与y^2=x所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体体积为(π/5)(7-2√6)16.点(1,1,1)到平面2x+y-2z+2=0的距离为(√14)/318.设向量a=2i-j+k,b=4i-2j+λk，则当λ=-10时，a⊥b；当λ=2,a//b。
同济大学高等数学1期末试题(含答案)
一、 填空题（每题4分）1. 若82lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→xx a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1cossin 3lim 20x x x x x x ____.23 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim nn n n n n πππ ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C二、选择题（每题4分）1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ）A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .D.A 、B 、C 均不对.2.设函数)(x f y =二阶可导，且,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ∆'=-∆+=∆<''<'，当,0>∆x 时，有（A ） A. ,0<<∆dy y B. ,0>>∆dy y C. ,0<∆<y dy D. .0>∆>y dy3. =+⎰-dx e x x x ||22)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ）A. dx x f ⎰30)( B.dx x f dx x f ⎰⎰-3110)()( C. dx x f ⎰-30)( D. dx x f dx x f ⎰⎰+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ）A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解二、 计算题（每题8分）1.求数列极限n n n n +∞→1!sin lim 32. 0 2.求极限2200sin lim 2x tdt e x t x ⎰→. 2三、计算题（每题9分）1. ⎰+=C x dx x xf arcsin )(（其中C 为任意常数），求⎰dx x f )(1. C 131-32+-）（x 2.设函数)(x f 连续，且dx x f x x x x f ⎰-++=1022)(11)(，求dx x f ⎰10)(. π-42ln 2 四、10分设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个解为x x x xe e e y ++=2，求常数c b a ,,的值. 1-,2,3==-=c b a五、证明题（8分）设函数)(x f 在],[b a 上可导，且0)()(==b f a f ，并存在一点),(b a c ∈，使得0)(>c f ，证明至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(<'ξf .证明：函数)(x f 在],[b c 上应用拉格朗日中值定理，则存在),(b c ∈ξ 使得0)()()()(<--=--='cb c f c b c f b f f ξ. 六、应用题（8分）设有长为l ，质量为M 的均匀直细棒AB ，在AB 的延长线上与其近端点相距r 处有一质量为m 的质点，求细棒对质点的引力.)()(02l r r GMm dx x r GMm F l +=-=⎰-。
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1. 若82lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1
cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2
3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n
n n n n n πππ
______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分）
1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ）
A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .
B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .
C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf .
D.A 、B 、C 均不对.
2.设函数)(x f y =二阶可导，且
,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ∆'=-∆+=∆<''<'，
当,0>∆x 时，有（A ） A. ,0<<∆dy y B. ,0>>∆dy y C. ,0<∆<y dy D. .0>∆>y dy
3. =+⎰-dx e x x x ||2
2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e
4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ）
A. dx x f ⎰3
0)( B.
dx x f dx x f ⎰⎰-3110)()( C. dx x f ⎰-30)( D. dx x f dx x f ⎰⎰+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361
，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ）
A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解
1.求数列极限n n n n +∞→1!sin lim 3
2. 0 2.求极限2200
sin lim 2x tdt e x t x ⎰→. 2
三、计算题（每题9分）
1. ⎰+=C x dx x xf arcsin )(（其中C 为任意常数），求⎰
dx x f )
(1. C 131-32+-）（x 2.设函数)(x f 连续，且dx x f x x x x f ⎰-++=1022
)(11)(，求dx x f ⎰10)(. π-42ln 2 四、10分
设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个解为x x x xe e e y ++=2，求常数c b a ,,的值. 1-,2,3==-=c b a
五、证明题（8分）
设函数)(x f 在],[b a 上可导，且0)()(==b f a f ，并存在一点),(b a c ∈，使得0)(>c f ，证明至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(<'ξf .
证明：函数)(x f 在],[b c 上应用拉格朗日中值定理，则存在),(b c ∈ξ 使得0)()()()(<--=--='c
b c f c b c f b f f ξ. 六、应用题（8分）
设有长为l ，质量为M 的均匀直细棒AB ，在AB 的延长线上与其近端点相距r 处有一质量为m 的质点，求细棒对质点的引力.
)()(0
2l r r GMm dx x r GMm F l +=-=⎰-。